Sau quá trình tìm tòi, học hỏi, rút kinh nghiệm tôi đã chọn đề tài: NÂNG CAO HIỆU QUẢ GIẢNG DẠY BÀI: “CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC-ĐẠI SỐ 10” BẰNG VIỆC SỬ DỤNG MỘT SỐ BÀI TẬP PHÙ HỢP, TỪ ĐÓ
Trang 1I.MỞ ĐẦU.
1.1 Lý do chọn đề tài : Trong chương trình Đại số lớp 10, lượng giác được đưa
vào chương cuối cùng Nội dung chính là cho học sinh tiếp cận được với công thức lượng giác Lên đến đầu chương trình Đaị số và giải tích 11 mới học nốt phần còn lại là phương trình lượng giác Do vậy đòi hỏi các em học sinh lớp 10 phải nắm chắc công thức lượng giác, phải thành thạo các biến đổi lượng giác làm cơ sở tiền
đề cho năm học tới
Chính vì vậy mà việc vận dụng tốt các công thức lượng giác để làm bài tập là rất quan trọng Nếu không thì các em không cách nào học được phương trình lượng giác Trong kì thi THPT quốc gia tới đây có câu về giải phương trình lượng giác Đó là một câu hỏi không phải là khó trong đề thi Bởi vậy nếu không làm được thì thật là đáng tiếc vì những phần khác nội dung hóc búa hơn để phân loại học sinh Chẳng những vậy, nó còn liên quan đến nhiều nội dung khác của toán như đạo hàm, tích phân, chứ không đứng riêng lẻ một mình Ngoài ra lượng giác còn
bổ trợ cho những môn học khác như vật lí, hóa học , Qua đó ta thấy được tầm quan trọng không thể thiếu được của phần lượng giác
Nhưng thực trạng thì sao? Học sinh trường tôi đa số là con em dân tộc, lại
ở một huyện miền núi có điều kiện kinh tế vô cùng khó khăn đã ảnh hưởng rất lớn đến việc dạy và học Các em ngại nhất là môn toán, mà trong môn toán thì lại ngại nhất là phần lượng giác dù biết nó rất quan trọng Chính vì tâm lí đó cho nên đa số không biết gì về lượng giác, một thực tế thật đáng buồn Đó là vấn đề cấp bách thôi thúc tôi suy nghĩ và trăn trở rất nhiều, vì sao các em lại sợ lượng giác đến thế? Nguyên nhân do các em không giải nổi những bài toán trong sách giáo khoa nên mất hứng thú học tập, càng ngày càng kém Như vậy phải hướng tới đối tượng là các học sinh ngay từ năm lớp 10 Nếu như các em đã có kiến thức vững chắc và có hứng thú rồi thì tin rằng sang đầu năm lớp 11 việc hoàn thành nốt phần giải phương trình lượng giác sẽ rất tốt Hơn nữa phải chú ý trọng tâm là các học sinh trung bình
và yếu kém vì đối tượng này chiếm phần nhiều ở trường tôi Bởi vậy mục đích cần đạt là để các em có thể làm được những bài toán dễ nhất về lượng giác, từ đó tạo nên niềm vui học tập với những em lâu nay còn kém, tạo tiền đề vững chắc cho các
em khá giỏi tìm tòi khám phá sâu hơn
Sau quá trình tìm tòi, học hỏi, rút kinh nghiệm tôi đã chọn đề tài:
NÂNG CAO HIỆU QUẢ GIẢNG DẠY BÀI: “CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC-ĐẠI SỐ 10” BẰNG VIỆC SỬ DỤNG MỘT SỐ BÀI TẬP PHÙ HỢP, TỪ ĐÓ GIÚP HỌC SINH HỨNG THÚ HƠN, PHÁT HUY TÍNH TÍCH CỰC, CHỦ ĐỘNG SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH Ở TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH 4 đưa vào giảng dạy và thu được kết quả
là các em rất thích thú khi học phần này nên tôi viết sáng kiến để đồng nghiệp tham khảo và góp ý
Trang 21.2 Mục đích nghiên cứu của đề tài.
- Góp phần đổi mới phương pháp dạy học môn toán nói chung và môn Đại
Số 10 nói riêng theo phương hướng tinh giản kiến thức, phát huy tính tích cực, chủ động và sáng tạo của học sinh, giúp học sinh có phương pháp học tốt thích ứng với
xu hướng hiện nay
- Góp phần gây hứng thú học tập môn Toán cho học sinh, một môn học được coi là khô khan, hóc búa, không những chỉ giúp giáo viên lên lớp tự tin, nhẹ nhàng, học sinh lĩnh hội được tri thức một cách đầy đủ, khoa học mà còn giúp các em củng
cố và khắc sâu các tri thức
1.3 Đối tượng nghiên cúu :
- Khắc sâu và vận dụng thành thạo công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức
biến đổi tích thành tổng, tổng thành tích để giải những bài toán lượng giác đơn giản
1.4 Phương pháp nghiên cứu :
Để thực hiện đề tài này, tôi đã sử dụng các phương pháp sau :
1 Nghiên cứu tài liệu :
- Đọc các tài liệu sách, báo, tạp chí giáo dục có liên quan đến nội dung đề tài
- Đọc SGK, sách giáo viên, các loại sách tham khảo
2 Nghiên cứu thực tế :
- Dự giờ, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp về nội dung kiến thức trong bài dạy
- Tổng kết rút kinh nghiệm trong quá trình dạy học
- Tổ chức và tiến hành thực nghiệm sư phạm (Soạn giáo án thông qua các tiết dạy)
để kiểm tra tính khả thi của đề tài
1.5 Những điểm mới của SKKN.
Từ khi tôi áp dụng đề tài này vào trong thực tiễn giảng dạy (bắt đầu từ năm học 2018-2019) thì tôi thấy kết quả có chuyển biến rõ rệt, các em nắm bài nhanh và tốt hơn nhiều, tiết học sôi nổi hơn, các em phát biểu ý kiến nhiều hơn, các em vận dụng thành thạo công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức biến đổi tích thành tổng, tổng thành tích để giải những bài toán lượng giác đơn giản, chất lượng bộ môn được nâng lên Số học sinh mà tôi dạy ngày cáng yêu thích học môn Toán hơn
II.NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
2.1
Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm.
2.1.1 Vị trí của môn Toán trong nhà trường :
Môn toán cũng như những môn học khác cung cấp những tri thức khoa học, những nhận thức về thế giới xung quanh nhằm phát triển năng lực nhận thức, hoạt động tư duy và bồi dưỡng tình cảm đạo đức tốt đẹp của con người
Môn toán ở trường THPT là một môn độc lập, chiếm phần lớn thời gian trong chương trình học của học sinh
Trang 3Môn toán có tầm quan trọng to lớn Nó là bộ môn khoa học nghiên cứu có hệ thống, phù hợp với hoạt động nhận thức tự nhiên của con người
Môn toán có khả năng giáo dục rất lớn trong việc rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận lôgíc, thao tác tư duy cần thiết để con người phát triển toàn diện, hình thành nhân cách tốt đẹp cho con người lao động trong thời đại mới
2.1.2 Đặc điểm tâm sinh lý của học sinh THPT.
- Ở lứa tuổi THPT cơ thể của các em đang trong thời kỳ phát triển hay nói cụ thể là các hệ cơ quan gần như hoàn thiện, vì thế sức dẻo dai của cơ thể rất cao nên các em rất hiếu động, thích hoạt động để chứng tỏ mình
- Học sinh THPT nghe giảng rất dễ hiểu nhưng cũng sẽ quên ngay khi chúng không tập trung cao độ Vì vậy người giáo viên phải tạo ra hứng thú trong học tập
và phải thường xuyên luyện tập cho học sinh
2.1.3 Nhu cầu về đổi mới phương pháp dạy học :
Muốn giờ học có hiệu quả thì đòi hỏi người giáo viên phải đổi mới phương pháp dạy học hướng tập trung vào học sinh, trên cơ sở hoạt động của các
em, là người định hướng, tổ chức ra những tình huống học tập kích thích óc tò mò
và tư duy độc lập, phải biết thiết kế bài giảng sao cho hợp lý, gọn nhẹ Muốn các em học được thì trước hết giáo viên phải nắm chắc nội dung của mỗi bài và lựa chọn, vận dụng các phương pháp sao cho phù hợp
Bên cạnh những học sinh hiếu động, ham hiểu biết cái mới, thích tự mình tìm tòi, khám phá, sáng tạo thì lại có một bộ phận không nhỏ học sinh lại học yếu, lười suy nghĩ nên đòi hỏi người giáo viên phải tâm huyết, có năng lực thật sự, đa dạng trong phương pháp, biết tổ chức, thiết kế qua từng tiết dạy
Theo chúng tôi, khi dạy đối tượng học sinh đại trà như hiện nay, người giáo viên phải thật cô đọng lý thuyết, sắp xếp lại bố cục bài dạy, định hướng phương pháp, tăng cường các ví dụ và bài tập từ đơn giản đến nâng cao theo dạng chuyên
đề và phù hợp với từng đối tượng học sinh
2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi á p dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Trước khi chưa áp dụng đề tài vào giảng dạy trong bài các công thức lượng giác
thì mức độ nhận thức, cũng như mức độ nắm bài học của học sinh còn hạn chế nhiều Minh chứng điều đó là kết quả khảo sát chất lượng nội dung học của 2 lớp khi tôi dạy bài “Các công thức lượng giác” theo phương pháp cũ
Trang 4Số lượng
học sinh
nắm
bài
Lớp
Sĩ số
Số lượng HS nắm bài ở mức tốt
Tỉ lệ (%)
Số lượng HS nắm bài ở mức khá
Tỉ lệ (%)
Số lượng HS nắm bài ở mức trung bình
Tỉ lệ (%)
Số lượng HS không nắm được bài
Tỉ lệ (%)
Lớp 10 B3
Lớp 10 B4
Tổng số HS
2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
+Vì thời lượng phân phối chương trình không cho phép nên tôi dự định thực hiện đề tài này vào các tiết tự chọn với thời lượng là 6 tiết
+Trong quá trình hướng dẫn các em làm bài tập tôi đã định hướng rằng nếu gặp hàm tan, cot thì xử lí bằng hàm sin và cos nhằm tránh phải nhớ nhiều công thức.
+Hệ thống bài tập được tôi phân loại như sau :
2.3.1 Sử dụng một số bài tập lượng giác giúp học sinh rèn luyện kĩ năng vận dụng công thức cộng để giải được những bài toán biến đổi lượng giác đơn giản.
+Do đây là công thức đầu tiên , các em học sinh còn bỡ ngỡ nên tôi đưa ra bài tập vận dụng trưc tiếp một công thức là đươc kết quả ngay Hơn nữa chỉ chứa các cung là số chứ không chứa chữ tạo cảm giác dễ làm.
Bài tập 1 : Tính giá trị của biểu thức :
A cos 32 0 cos 28 0 sin 32 0 sin 28 0
Bài giải : cos( 32 0 28 0 ) cos 60 0 12
A
Bài tập tương tự : Cho học sinh ghi lại về nhà làm Nếu lớp có nhiều học sinh yếu kém có thể chữa thêm một số bài cho các em rõ hơn
Tính giá trị các biểu thức sau :
1) B cos 740cos 29 0 sin 74 0 sin 29 0 ; 2) C sin 23 0 cos 7 0 sin 7 0 cos 23 0 3)D sin 59 0 cos 14 0 sin 14 0 cos 59 0
Trang 54)E cos 220 0 cos 170 0 sin 220 0 sin 170 0 ; 5) sin718
9
5 sin 18
7 cos 9
5
F
6) 00 00 00 00
11 sin 19 sin 11 cos 19 cos
20 sin 10 cos 10 sin 20 cos
25 tan 20 tan 1
25 tan 20 tan
8) 0 0 0 0 0 0 00
22 cos 23 sin 23 cos 22 sin
45 sin 15 sin 45 cos 15 cos 1
P
+Sau đó, tôi đưa thêm bài tập có chứa chữ nhưng với biến đổi vẫn đơn giản mục đích cho các em nhớ và biết cách vận dụng công thức.
Bài tập 2 : Rút gọn biểu thức :
A
2
sin 2
cos 2
sin 2
Bài giải :
a a sina sina
2 sin cos 2
cos 2
a a sina cosa
2 cos cos
2
sin 2
a a sina sina
2 sin cos 2
cos 2
a a sina cosa
2 cos cos
2
sin 2
Vậy A=sina+cosa+sina-cosa=2sina
Ghi chú :Bài tập trên có thể giải được nhanh hơn bằng cách sử dụng công thức của
những góc có liên quan đặc biệt Tuy nhiên các công thức đó khó nhớ và hay lẫn Bởi vậy từ nay khi gặp các cung đặc biệt ta có thể loại chúng nhờ công thức cộng Nhưng cách làm dài hơn nên phải biến đổi cẩn thận tránh sai sót
Bài tập tương tự : Rút gọn các biểu thức sau :
B
3
sin 3
4
sin 4
2
7 sin 2
7 cos 2
3 sin 2
3
D
3
2 cos 3
2 cos
E
F
2
sin 2
sin ) sin(
)
6)
a a
a a
H
4 sin 2 sin 2
4 cos 2 cos 2
; 7)
4
cos 4 sin
4
cos 4 sin
a a
a a
K
8) cos(sin(45450 )) sin(cos(45450 ))
0 0
a a
a a
L
Chứng minh các biểu thức sau :
Trang 69)
4 sin 2 cos
4
sin 4
3
sin 3 sin
+ Bài tập 2 và các bài tương tự đều không chứa tan và cot, nếu có sẽ phức tạp hơn ta nghĩ Theo dõi bài tập tiếp theo sẽ rõ :
Bài tập 3 : Rút gọn biểu thức :
A
2
3 tan ) 2 cot(
2 cos )
Bài giải :
sin( a) sin cosa cos sina sina
a a sina sina
2 sin cos 2
cos 2
a a
a
a a
a
a
sin
cos sin
2 cos cos
2 sin
sin 2 sin cos 2 cos 2
sin
2 cos 2
a
a a
a
a a
a
a
sin
cos sin
2
3 sin cos 2
3 cos
sin 2
3 cos cos
2
3 sin 2
3 cos 2
3 sin 2
3
Vậy : A=-sina-sina-cota+cota=-2sina
Ghi chú : Nếu biểu thức lượng giác có chứa cung đặc biệt trong hàm tan và cot mà
không dùng được công thức cộng thì ta phải xử lí thông qua hàm sin, cos như bài tập trên
Bài tập tương tự : Rút gọn các biểu thức sau :
1)
2
3 cos 2 cot
2) C cos2700 a 2 sina 4500 cosa 9000 2 sin7200 a cot 5400 a
D
2
3 cot 2
tan 2
3 sin ) 5
4)
2
3 cos 2 cot
5)
a a
a F
2 tan 2
3 sin 5
cos
7 tan 2 cos ) sin(
6)
a a
a
a a
a G
2
3 cot cot
2 sin
2 sin 2 cos sin
Trang 72.3.2 Sử dụng một số bài tập lượng giác giúp học sinh rèn luyện kĩ năng vận dụng công thức nhân đôi để giải được những bài toán biến đổi lượng giác đơn giản
+Trước hết tôi đưa ra một bài tập có dạng quen thuộc giúp các em làm quen với công thức nhân đôi.
Bài tập 1 : Cho sin a 153 và 0 a2 Tính cosa, sin2a, cos2a
Bài giải :
Ta có :
225
216 15
3 1 sin 1 cos
2 2
2
a
5
6 2 cos
a (do 0 a2 ) sin2a=2sinacosa=
25
6
2 2
a
Bài tập tương tự :
1) Cho cos a 13 và 0
a Tính sina và cos2a
2) Cho cosa 13 và a
2 Tính sin2a
3) Cho
3
6
2 Tính sin2a
4) Cho sin a 31 và a
2 Tính cos2a ;sin2a
5) Cho
13
5
2
3
a Tính sin2a, cos2a, tan2a
6) Cho cos a 54 và 0
a Tính tan2a
7) Tính các giá trị lượng giác của cung 2a trong các trường hợp :
a) Biết cos a 41 và 0 a2 b) Biết sin a 53 và a
c) Biết
2
1
2
3
+Sau đó, tôi hướng dẫn các em làm bài tập tiếp theo có hình thức ra đề khác với bài tập 1 nhưng vẫn trên tinh thần làm quen với công thức nhân đôi,
Bài tập 2 : Rút gọn biểu thức sau :
a a
a a
A
sin 2 sin
2 cos cos
1
Bài giải :
a
a a
a
a a
a a a
a a
sin
cos ) 1 cos 2 ( sin
) 1 cos 2 ( cos sin
cos sin 2
1 cos 2 cos
Ghi chú : Nếu trong biểu thức có chứa cung (2a) ta thường sử dụng công thức
nhân đôi
Bài tập tương tự : Chứng minh các đẳng thức sau :
Trang 81) a
a a
a a
tan cos
2 cos 1
sin 2 sin
; 2) a a a
2 sin
2 cot
3)
2
2 sin 1 cos sin
cos
a a
a a
+Theo phản ánh của các em học sinh thì khi mới tiếp cận công thức nhân đôi cảm thấy khó khăn nhất Bởi vậy tôi sẽ đưa ra và hướng dẫn các em nhiều bài tập dễ, áp dụng từng công thức một cho đến khi thành thạo Bài tập tiếp theo vận
2
1 cos
Bài tập 3 : Tính giá trị biểu thức sau : cos6
12
cos 24
cos 24
A
Bài giải :
12
cos 24
cos 24
A
6
cos 12
cos 12
sin 2
6
cos 12
cos 12
sin 2
6
cos 6
sin
2
1
2
6
cos 6
sin 4
3
sin 2
1 4
16
3
Bài tập tương tự : Tính giá trị các biểu thức sau :
6
cos 12
cos 12
cos8
4
cos 8
24
cos 24
+Bài tập trên các cung đều bằng số dễ tiếp nhận Tiếp theo là bài tập có cung chứa chữ nên cảm giác khó hơn.
Bài tập 4: Rút gọn biểu thức sau : A (sina cosa) 2 (sina cosa) 2 2 sin 2a
Bài giải :
A sin 2a cos 2a 2 sinacosa sin 2a 2 sinacosa cos 2a 2 sin 2a
4 sinacosa 2 sin 2a sin 2 2 sin 2 0
2
1
Bài tập tương tự : Chứng minh đẳng thức sau :
a
cos
2 sin cos
1 tan
1 cos
1 tan
+Sau đây là các bài tập vận dụng công thức :cos 2a cos 2a sin 2a ;
1 cos
2
2
dụng theo chiều từ phải qua trái Bởi vậy tôi đưa bài tập nhận dạng công thức.
Bài tập 5: Tính giá trị biểu thức sau : 2 cos 2 75 0 1
A
Bài giải :
A cos 150 0
2
3
Bài tập tương tự : Tính giá trị các biểu thức sau :
B 1 2 sin 2 75 0 ; C cos 15 0 sin 15 0cos 15 0 sin 15 0
Ccos 75 0 sin 75 0cos 75 0 sin 75 0
Trang 9+Tiếp theo là bài tập dạng như bài tập 5 nhưng có cung chứa chữ chứ không phải số :
Bài tập 6: Rút gọn biểu thức sau :
a a
a a
a
a A
sin cos
1 cos 2 sin cos
sin 2
Bài giải :
A a a a a a a
sin cos
2 cos sin
cos
2 cos
a a a
a
a
sin cos
1 sin
cos
1 2
a a
a
sin cos
cos 2 2
cos
a
a a
2 cos
cos 2 2
Bài tập tương tự : Chứng minh các đẳng thức sau :
1)
a
a a
a
a
2
2 sin 2 1
cos tan
cot
cot
2) sin 4a cos 4a 1 2 cos 2a
3)
a
a a
a
2 sin 1
sin 2 1 2 cos
1 2
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức : B cos 4a sin 4a
+Như vậy tôi đã hướng dẫn các em một số lượng lớn bài tập luyện tập công thức cộng và nhân đôi Sau đây để cho học sinh nhuần nhuyễn và thấy được mối liên quan , tôi đưa ra bài tập vận dụng cả hai công thức này.
Bài tập 7: a) Rút gọn biểu thức sau : A a sin acos 2a
2
b) Chứng minh đẳng thức sau :
4 2 sin 2 sin
a
Bài giải :
a) A a sina sin cosa cos sinacos 2a
2 cos cos
2
sinacosacos 2a sin 2acos 2a
2
1
2
1
2
1 2
1
a
4
sin
4
1
b)
2 2 cos 1 2 4 2 sin
2 sin sin 2 cos cos
Ghi chú : Nếu hàm lượng giác vừa có bậc 2, vừa chứa cung đặc biệt ta tiến hành hạ
bậc trước rồi mới dùng công thức cộng để loại cung đặc biệt Nếu thực hiện ngược lại sẽ dài hơn
Bài tập tương tự : Rút gọn các biểu thức sau :
a
a a
a A
cos 2
6 2 cos 6 2 cos cos
B a a a a
2 sin cos
sin
Trang 10
C
4
cos 4
cos
4 4 cos 2 8
D
2 sin cos 2
4
;
a a
F
0 2 0
2
90 cot 90
tan
90 cos 90
sin
2 4 cos 4 2 sin sin
a a
H cos 4a sin 4a ;
2 cos 4
4 sin 2 sin
a
a a
K
Chứng minh các đẳng thức sau :
2 cos 4 cos cos sin
b a b
2 4
cot sin
1
sin
a
2 cos 2 cos cos cos sin
sin
b a a b
a
2 sin 4 cos
cos sin
b a b
a a
a
a a
4
tan 2
cos 2 sin 1
2 cos 2 sin
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức :
4
sin 4
L
2.3.3 Sử dụng một số bài tập lượng giác giúp học sinh rèn luyện kĩ năng vận dụng công thức biến đổi tích thành tổng để giải được những bài toán biến đổi lượng giác đơn giản
+Công thức này dễ vận dụng nhất và dễ dàng nhận ra dấu hiệu áp dụng là nếu có tích ta biến đổi thành tổng để rút gọn Do vậy tôi chỉ đưa ra một bài tập để các em nhận dạng khi nào thì dùng công thức này
Bài tập 1: a) Biến đổi tích sau thành tổng : A sin 3asin 5a
b) Chứng minh đẳng thức sau : 15 12
2 cos 15 2 sin 2
a
Bài giải :
a) A sin 5asin 3a cosa cos 4a
2
1
2 cos 15 2 sin 2
a
2
1 15 2 sin 15 2 cos 2
a
2
1 30 sin sin 2
1 2
2
1 2
1
Đẳng thức cuối cùng đúng , vậy đẳng thức ban đầu được chứng minh
Ghi chú : Biểu thức lượng giác có dạng tích ta biến đổi thành tổng để rút gọn.