Loại 1: Hệ đối xứng loại 1 là hệ mà ta thay đổi x thành y và y thành x nhưng hệ không thay đổi... Phương pháp: Lấy phương trình này trừ pt kia vế theo vế Bài II.4.6...[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO BÌNH PHƯỚC TRƯỜNG THPT LỘC THÁI
TỔ TOÁN
TÀI LIỆU ƠN TẬP HỌC KÌ MƠN TỐN
Họ tên học sinh: Lớp:
(2)CẤU TRÚC ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ NĂM HỌC: 2015 – 2016
Câu 1: (1đ) Tìm tập xác định, tính chất hàm số Câu 2: (2đ)
- Lập bảng biến thiên vẽ parabol
- Xác định hàm số bậc hai, tìm giao điểm đường thẳng parabol
Câu 3: (3đ)
- Giải phương trình quy phương trình bậc hai có chứa - Giải phương trình chứa ẩn mẫu
- Giải hệ phương trình bậc gồm ẩn (khơng dùng MTBT)
Câu 4: (3đ)
- Các phép tốn vectơ, tọa độ vectơ
- Tính giá trị lượng giác theo giá trị hàm số lượng giác cho trước - Biểu thức tọa độ tích vô hướng hai vectơ, hệ thức lượng
trong tam giác
Câu 5: (1đ) Chứng minh bất đẳng thức Chỉ sử dụng phương pháp: - Sử dụng bất đẳng thức Cauchy
(3)PHẦN I
HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI I Ôn tập hàm số
Dạng: Tìm tập xác định hàm số
1 1
1) DK A: 0 2) A DK A: 0 3) A 0
A→ ≠ → ≥ A → >
Ví dụ 1: Tìm tập xác định hàm số a) y=f(x)= x−3 b) y= 3
2
x+ c) y= x+ +1 1−x Dạng: Sự biến thiên hàm số
Cho f(x) xác định khoảng K Khi đó:
f đồng biến ( tăng) K ⇔∀x1;x2∈K ; x1 < x2⇒ f(x1) < f(x2) f nghịch biến ( giảm) K ⇔∀x1;x2∈K ; x1 < x2⇒ f(x1) > f(x2) Bảng biến thiên: bảng tổng kết chiều biến thiên hàm số (xem SGK)
Ví dụ: Xét sựđồng biến, nghịch biến hàm số
2
) 2 3 ) 3 4 ) 2 5 ) 2 3
a y= x− b y= − x c y=x − x+ d y = − x + −x 1 Dạng Tính chẵn lẻ hàm số
+ f gọi chẵn D ∀∀∀∀x∈∈∈∈D ⇒⇒⇒⇒−−−−x ∈∈∈∈D f(−−−−x) = f(x), đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng
+ f gọi lẻ D ∀∀∀∀x∈∈∈∈D ⇒⇒⇒⇒−−−−x ∈∈∈∈D f(−−−−x) = −−−− f(x), đồ thị nhận O làm tâm đối xứng
Ví dụ: Xét tính chẵn lẻ hàm số
a) y=x4−2x2 +3 b) y=5x3−2x c y) =x2 −3x+1 BÀI TẬP
Bài 1.1 Tìm tập xác định hàm số sau a) y= 3x3−x+2 b) 3 1
2 2
x y
x − =
− + c) y= 3x−2
d) y= − + −2x 1 x−1 e) y= 22 1
2 1
x
x x
+ − +
f) y=1 x 1
x+ + g) y=
2 1
x + h)
2 1
4 5
y
x x
=
(4)a) R b) R\ 1{ } c) 2; 3
+∞
d/ ∅ e) R\ 1{ } f) [− +∞1; ) { }\ 0 g) R h)R
Bài 1.2 Tìm tập xác định của hàm số sau: a)
(2 21)(5 2) + = − + x y x x b)
(2 1 33)( 4) + = + − x y x x
c) 22 1
3 2 + = − + x y x x
d) y= x− +3 5−x
e) 2 4 2 1
6 − = − + − x y x x f)
(3 2) 7 11
− −
= −
− +
x x
y
x x x
g) 5
10 − = − x y x
h) y= 1− +x 1+x k) y= 2x− +1 1 2− x l) y= 3x−25+ 1−x
m) y= 13 4− x+ − +7x 22
n) 1 2
4 8 − = − − x y x
k) y= 31−x2 + − −3 x x 3
s) 4
7 1 3 4 28
= −
− −
x x
y
x x
t) 1
2 3 18
= + − − x y x x u) 1 1 = + + y x x
Bài 1.3 Cho hàm số y=g(x) 3 8
7 2
với x < 2 với x x x − + + ≥
a) Tìm TXĐ
b) Tính giá trị g(−3); g(0); g(1); g(2); g(9) HD:
a)TXĐ: D = R b)g(-3) = 17;g(0)= 8; (1) 5
(5)Bài 1.4: Xét tính chẵn lẻ của hàm số sau: a) y=3x2−1
b) y=6x 3
c) y=(2x−2)2014 +(2x+2)2014 d) y= x4−4x2+2
e) y= −2x3+3x f) y= −(x 1)2 g) y= x2+x
h) 2
1 =
+ x y
x
i) y=(x−1)2
j) y= −4x2+5x −3 k) y= −5x4−3x +8 l)
2
4 4 + = x y
x
m) y= 2x+ +1 2x−1
n) 1 1
1 1
+ + − =
+ − −
x x
y
x x
o) y=2x2− x p) y= 2x+9
q) y= 2+ −x 2−x r) y= 25 4− x 2
s) y= x2+ −x x2−x
t) 2 1
2
= + +
−
y x
x h) y= x+ − −2 x 2
x
2 Dạng: Hàm số bậc
Bài tập 2.1 Xác định a, b đểđồ thị hàm số y= ax+b, biết:
a) Đi qua M(−1;3) N(1;2); b) Đi qua M(2;3) song song y=3x−2 ; c) Đi qua A(2
3;−2) B(0;1); d) Đi qua C(−1;−2) D(99;−2); e) Đi qua P(4;2) Q(1;1)
KQ: a/ 1 5
2 2
y= − x+ b/ y=3x−3 c/ 9 1 2
y= − x+ d/ y=-2 e) 1 \ 3 2 \ 3
y= x+
Bài tập 2.2 Xác định a b cho đồ thị hàm số y = ax +b , biết a) qua hai diểm (-1;-20) (3;8) KQ : y=7x+13
b) qua (4;-3) song song với đường thẳng y=
2x −
+1
KQ: 2 1
3 3
(6)3 Dạng: Hàm số bậc hai
1 Hàm số bậc hai hàm sốđược cho công thức y= ax2 + bx + c với a ; b; c∈ R a ≠
+ Tập xác định D=ℝ + Đỉnh I (
b a − ;
4a
∆
− ) với ∆ = b2−4ac + Trục đối xứng đường x =
2 b
a − 2 Sự biến thiên
3 Cách vẽ đồ thị
-Xác định đỉnh : I
∆
− −
a 2a
b
; ; ∆ =b2−4ac(khơng có ∆') (Sau tính xI =
2 b
a
− ⇒⇒⇒⇒ yI = axI2 +bxI +c Khi đó I(xI ; yI )) -Vẽ trục đối xứng
2 b x
a = −
- Xác định điểm đặc biệt (thường giao điểm parabol với các trục tọa độ điểm đối xứng với chúng qua trục đối xứng) - Căn vào tính đối xứng , bề lõm hình dáng parabol để nối điểm lại
(Đồ thị hàm số bậc hai y = ax2
+ bx + c parapol) Ví dụ: Xác định hàm số bậc hai y=2x2 +bx+cbiết đồ thị 1/Có trục đối xứng x=1 cắt trục tung điểm có tung độ 2/Có đỉnh (-1;-2)
3/Có hồnh độđỉnh qua điểm (1;-2) Tìm tọa độ giao điểm
Cho hai đồ thị (C1) : y = f(x); (C2) y = g(x).Tọa độ giao điểm (C1) và (C2) ngiệm hệ phương trình
= =
) (
) (
x g y
x f y
Phương trình f(x) = g(x) (*) gọi phương trình hồnh độ giao điểm (C1) (C2) Ta có:
+ Nếu (*) vơ nghiệm (C1) (C2) khơng có giao điểm
(7)+ Nếu (*) có nghiệm kép (C1) (C2) tiếp xúc BÀI TẬP
Bài 3.1 Lập bảng biến thiên vẽđồ thị hàm số sau
a) y= −x2 + 2x−2 b) y= 2x2 + 6x+3 c) y = x2−2x d) y = −x2+2x+3 e) y = −x2+2x−2 f) y = −
2
x2+2x-2 Bài 3.2 Xác định parapol y=2x2+bx+c, biết nó:
a) Có trục đối xứng x=1 vá cắt trục tung điểm (0;4);
Đáp số: b= −4, c=
b) Có đỉnh I(−1;−2); Đáp số: b= 4, c=
c) Đi qua hai điểm A(0;−1) B(4;0);
Đáp số: b= −31/4, c=−1 d) Có hồnh độđỉnh qua điểm M(1;−2)
Đáp số: b= −8, c= Bài 3.3 Xác định parapol y=ax2−4x+c, biết nó:
a) Đi qua hai điểm A(1;−2) B(2;3); Đáp số: a= 3, c= −1 b) Có đỉnh I(−2;−1); Đáp số: a= −1, c= −5 c) Có hồnh độđỉnh −3 qua điểm P(−2;1);
Đáp số: a= −2/3, c= −13/3 d) Có trục đối xứng đường thẳng x=2 vá cắt trục hoành điểm
M(3;0) ĐS a=1
Bài 3.4 Tìm parapol y = ax2+bx+2 biết parapol đó: a) qua hai điểm M(1;5) N(-2;8) Đáp số: a=2, b=1 b) qua điểm A(3;-4) có trục đối xứng x=
4 −
Đáp số: a=−4 9, b=−
2 c) có đỉnh I(2;-2) Đáp số: a=1, b=4
d) qua điểm B(-1;6), đỉnh có tung độ−
KQ: a=16,b=12hoặc a=1, b=−3 Bài 3.5 Xác định parapol y=a x2+bx+c, biết nó:
a) Đi qua ba điểm A(0;−1), B(1;−1), C(−1;1)
Đáp số: a=1, b=−1, c= −1 b) Đi qua điểm D(3;0) có đỉnh I(1;4)
(8)c) Đi qua A(8;0) có đỉnh I(6;12)
Đáp số: a=−3, b=36, c=−96 d) Đạt cực tiểu x=−2 qua A(0;6)
Đáp số: a=1/2, b=2, c=6 Bài 3.6 Tìm toạđộ giao điểm hàm số cho sau Trong
trường hợp vẽđồ thị hàm số hệ trục toạđộ: a) y = x-1 y = x2-2x-1 b) y = -x+3 y = -x2-4x+1
c) y = 2x-5 y = x2-4x+4
d) y = 2x – & y = x2 – 3x + e) y = x - & y = x2 – 5x + HD: a) Giao điểm (0;-1);(3;2) b) (-1;4); (-2;5) c) (3;1)
Bài 3.7 Tìm hàm số y = ax2+bx+c biết hàm sốđạt GTNN x=2 đồ thị hàm sốđi qua điểm A(0;6)
HD: Đỉnh I(2; 4) a > 0; 1, 2, 6 2
a= b= − c=
Bài 3.8 Tìm hàm số y = ax2+bx+c biết hàm sốđạt GTLN x=2 đồ thị hàm sốđi qua điểmA(0;−1)
HD: Đỉnh I(2;3) a < 0; a= −1,b=4,c= −1 Bài 3.9. Tìm Parabol y = ax2 + bx + bieát :
1) Parabol qua A(1;2) B(-1;0)
2) Parabol qua M(2;-4) có trục đối xứng x= 2
5 − 3) Tọa đỉnh Parabol I(-3;0)
4) Parabol tiếp xúc với trục hoành x = -1 5) Hàm số y = f(x) đạt cực đại 12 x = Bài 3.10. Tìm Parabol (P) : y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) biết :
1) (P) qua ba điểm A(1;0) , B(-1;6) , C(3;2) 2) (P) qua A(2;3) có đỉnh S(1;7/2)
3) (P) cắt trục hồnh hai điểm có hồnh độ -1, cắt trục tung điểm có tung độ –
(9)PHẦN II
PHƯƠNG TRÌNH-HỆ PHƯƠNG TRÌNH II.1 Đại cương phương trình BÀI TẬP
Bài II.1.1 Tìm điều kiện phương trình
a) 22
4 x
x
x − = − b) x x x + = −
− c)
1 2x
x + =
d)
2 x x x x + = + +
+ e)
2
1
x
x− = x+ f)
2
1
x
x x −+ = + Đáp số a) x≤ 3, x≠ ± b) Khơng có giá trị x thỏa c) x≥−1/2 x≠0
d) ∀ x ∈ Re) x>1 f) x≥−1 x≠2
Bài II.1.2 Chứng tỏ phương trình sau vơ nghiệm
a) 3
2 x
x x
+ = −
− + b) x− − = +4 x 4−x Bài II.1.3 Giải phương trình sau
a) x+ + = +1 x x+1 b) x− − = +5 x x−5
c)
3
x x
x x
+ = +
− − d)
2
2
1
x
x+ = x+
ĐS: a) x=3 b) Vô nghiệm c) Vô nghiệm d) x=2 Bài II.1.4 Giải phương trình sau
1 2 1
) (2) 1 1 x a x x x − + =
− − 2
3 2 2 1 ) − − = − + x x x x b (VN) 0 3 ) 2 3 (
) x2 − x+ x− =
c (3) d)(x2 −x−2) x+1=0(-1,2)
Bài II.1.5 Giải phương trình sau cch bình phương hai vế
) 3 9 (4) ) 1 3(5) ) | 1 | 2(0; 4)
)| 2 | 2 1(1)
a x x b x x c x x
d x x
− = − − = − − = +
− = −
Bài II.1.6 Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau cách xét điều kiện
(10)II.2 PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI
II.2.1.Giải phương trình dạng ax2+bx+c = 0(a≠0)
Nếu ∆ > 0: phương trình có hai nghiệm phân biệt x =
2 b
a − − ∆ ∨
x = b
a − + ∆ Nếu ∆ = : phương trình có nghiệm kép : x =
2 b a − Nếu ∆ < : phương trình vơ nghiệm
II.2 Định lí Vi−−−−ét
Nếu phương trình bậc hai ax2
+bx+c = (a≠0) có hai nghiệm x1, x2 tổng (S) tích (P) hai nghiệm là:
S = x1+x2 = a b − P = x1.x1 =
a c
Ngược lại, hai số u, vcó S=u+v; P=u.v u, v nghiệm phương trình x2
-Sx+P =
Ví dụ 1: Tìm hai số biết S =19 , P = 84 KQ: 12
* Chú ý: điều kiện để phương trình x2-Sx+p =0 có nghiệm S2≥4P Đây điều kiện để tồn hai số có tổng S, tích P
* Ứng dụng
P S x x x
x x
x ( ) 2 2
2 2 2
1 + = + − = − ;
P S x x1 + 2 =
1
PS
S x x x x x
x x
x ( ) 2( 2) 3
2 3
1 + = + − + = −
4
x +x =(x12+x22)2−2x x12 22=(S 2−
2P)2−2P2
Ví dụ 1: Cho phương trình x2−4x+m−1= Xác định m để phương trình có hai nghiệm thoả x12+x22=10
Ví dụ 2: Xác định m để phương trình x2-4x+m-1= có hai nghiệm x1, x2 thỏa xệ thức 40
3 +x = x
* Xét dấu nghiệm phương trình bậc hai
(11)x1≤x2 < ⇔
< ≥ ∆
> 0
S P
( hai âm)
< x1≤x2 ⇔
> ≥ ∆
> 0
S P
(hai dương) Ví dụ: Cho phương trình x2 +5x+3m− =1 0(1)
a) Tìm giá trị m để pt (1) có hai nghiệm trái dấu KQ: m < 1 b) Tìm giá trị m để pt (1) có hai nghiệm âm phân biệt
KQ:
3 12 29< <
m II.2.3 Phương trình quy phương trình bậc nhất, bậc hai
A Phương trình trùng phương Phương trình dạng ax4 + bx2 + c =0
Cách giải:
+ đặt t=x2, đk: t≥
+ Giải phương trình: at2 + bt + c=0 + kết hợp điều kiện ⇒ x
Ví dụ : Giải phương trình x4−8x2−9 = KQ: x = ±3 B Phương trình chứa ẩn dấu (phương trình vơ tỉ)
Cách giải:
- Bình phương hai vế + đặt điều kiện ⇒để làm - Đặt ẩn phụ
Các dạng
Dạng 1: f x( )= g x( ), ta sử dụng phép biến đổi tương đương ( )
( ) ( )
( ) ( ) f x
f x g x
f x g x ≥
= ⇔ =
(có thể chọn điều kiện g(x)≥0)
Dạng 2: f x( )=g x( ), ta sử dụng phép biến đổi tương đương
( ) ( ) ( )
( ) ( )
g x f x g x
f x g x ≥
= ⇔
(12)Ví dụ: Giải phương trình 2x+ = −7 x KQ: x = Dạng 3: f x( )+ g x( ) = ⇔0 f x( )=g x( )=0
* Chú ý: Biến đổi phương trình cho dạng (nếu được) BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài II.2.1 Giải phương trình
a/ x4− 4x2 + = b/ x4 + 10x2 + = c/ (1 − x2)(1 + x2) + = HD: a) x= ±1;x= ± 3 b) VN
c) (1 − x2)(1 + x2) + = 0⇔ x4− =4 0x= ± 2
Bài II.2.2 Cho phương trình (m2 - 3m)x + m2 - 4m +3 = 0, định m để: a/ Phương trình có nghiệm
b/ Phương có nghiệm x =
c/ Phương trình vơ nghiệm d/ Phương trình có vơ số nghiệm KQ: a/ m≠0,m≠3 b/ 3, 1
3
m≠ m= c/ m = d/ m=3 Bài II.2.3 Tìm hai số có:
a) Tổng 19, tích 84 b) Tổng 5, tích -24 c) Tổng -10, tích 16
KQ: a/ (12,7) b/ (8,-3) c/ (-2,-8) Bài II.2.4 Cho phương trình x2+(2m−3)x+m2−2m=0
a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
b) Với giá trị m phương trình có hai nghiệm tích chúng 8? Tìm nghiệm trường hợp
Đáp số: a) m<9/4; b) m=−2; 1,2 17 x = ± Bài II.2.5 Cho phương trình mx2+(m2−3)x+m =
a) Xác định m để phương trình có nghiệm kép tìm nghiệm kép b) Với giá trị m phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn
1 13
4 x +x =
Đáp số: a) m= ± 1; m= ± 3;
(13)c/Tìm m để pt có hai nghiệm dương phân biệt KQ: b/ m < c/ m >3 Bài II.2.7 Cho phương trình: (m + 1)x2 – 2(m –1)x + m –2 = (m tham số)
a) Tìm m để pt có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm m để pt có nghiệm Tính nghiệm
c) Tìm m để pt có hai nghiệm x1 x2 cho 4(x1 + x2 ) = 7x1.x2 (ĐS:m= 1) Bài II.2.8
a Cho phương trình: x2 + (m –1)x + m + = ( m tham số).Tìm m để pt có hai nghiệm x1 x2 cho: 22 10
2 +x =
x (ĐS: m = -3) b Cho phương trình: x2 – 2mx + 3m-2 = ( m tham số)
Tìm m để pt có hai nghiệm x1 x2 cho: x12+x22 =x x1 2+4 (ĐS: m = v m = ¼) c/ Cho phương trình: x2 - 3x + m -2 = ( m tham số).Tìm m để pt có hai nghiệm x1 x2 cho: x13+x23 =9 (ĐS: m = 4) Bài II.2.8 Giải phương trình sau
a) 2x− 4x− =9 5b) x2−7x+10=3x−1 c) 2x+ =3 x−3 d) 3x− = −4 x e) 1+ x2−2x+ =3 2x
f) 2x2 +3x+ = +7 x g) 3x2−4x− =4 2x+5
a/
2
x= + b) x=1 c) Vô nghiệm d) x= (9+ 29) / e) (1+ ) / f) Vô nghiệm g) x= −1;
Bài II.2.10 Giải phương trình sau a) x+3+ x+8=5{ }1
b) 3x+12− 5x+6=2{ }−1 c) x2 −x−3+ x2−x+9=0 { }0,1 d) 2x2−8x+12=x2−4x−6{−2;6}
(14)C PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU Bài tập II.11: Giải phương trình sau: a) 1 22
1
x x
x x x x
− − = −
+ +
b) 2 3 2 1
x x x
x x x x
− + − = +
− −
c) 1
1−x−5+2x =
d) 2
3
x x
x x
+ − − =
+ −
e) 2 5 x x x x + + − = + f) 3 1 x x x x + + + = − −
g) ( )
2
3
3 1
1 1
x x
x x x
+ − − = − + − h) 3 x x x x − + = − − k) ( )( )
3
3
x x
x x x
− + =
− + −
l)
( )( )
2 8
2 4
x x x
x x x x
+
− =
− + − +
m)
3 2
3
7 30 16
1
x x x x x
x x x
+ + − = − +
− + +
n)
4
9 17
1
x x
x x x x
+ − =
− + + +
p)
( )( )
2
2 11
1
x x x
x x x
+ = − − − + − q) 14
x x x
x x
+ =
+ +
r) 22
1
x
x − − x+ =
s) 11
2
x− +x+ = t)
( )( )
2 10 50
1
2 3
x x x x
+ = −
− + − +
u) 152
2
x x
x x x
− =
− −
Bài tập II.12 Giải phương trình sau:
1/ − + = −
− −
2 2x 2
x 1
x 2 x 2
2/ 3 x 2x 7 3 x 1 1 − − = − + 3/ ( ) − − = + −
x 2 1 2
x 2 x x x 2
4/ + − =
+
2
x x 2
10 x 2
5/ + = −
− −
4 3x 2
x
x 2 x 2
6/ + + =
− −
x 1 3x
4 2x 2 2x 3
7/ + + =
− −
x 1 3x
4 2x 2 2x 3
8/ + − − + =
− −
x 1 2x 1
3 0 x 1 x 2
9/ − = − −
+ −
2x 5 3x 1 1
x 1 x 1
10/ − + + =
+ −
(15)II.3 BÀI TỐN LẬP PHƯƠNG TRÌNH
Bài II.3.1 Tìm tuổi học sinh, biết sau năm nửa tuổi em bình phương sồ tuổi em cách năm
(ĐS: tuổi) Bài II.3.2 Tuổi anh gấp đôi tuổi em, biết sau 48 năm tuổi anh bình phương số tuổi em Hỏi tuổi em nay?
(ĐS: tuổi) Bài II.3.3 Tìm độ dài ba cạnh tam giác vuông biết cạnh dài cạnh thứ hai 2m cạnh thứ hai cạnh ngắn 23m
(ĐS: 12m ; 35m ; 37m) Bài II.3.4 Chu vi một hình thoi 34cm , hiệu hai đường chéo 7cm Tính độ dài hai đường chéo?
(ĐS: 8cm ; 15cm) Bài II.3.5 Một miếng đất hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng Nếu tăng chiều rộng thêm 3m chiều dài tăng 4m diện tích miếng đất tăng gấp đơi Hỏi kích thước miếng đất lúc đầu?
(ĐS: 6m ; 12m) Bài II.3.6 Một miếng đất hình vng Nếu tăng cạnh thêm 30m miếng đất hình chữ nhật có diện tích gấp lần diện tích lúc đầu Hỏi cạnh miếng đất lúc đầu?
(ĐS: 15m) Bài II.3.7 Tìm độ dài ba cạnh tam giác vng có chu vi 30m, biết hai cạnh góc vuông 7m?
(ĐS: 5m ; 12m ; 13m) Bài II.3.8 Tìm độ dài ba cạnh tam giác vuông biết chu vi diện tích tam giác 120m 480m2
(ĐS: 20m ; 48m ; 52m) II.4 PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN
1 Hệ phương trình bậc hai ẩn
Định nghĩa: Hệ phương trình bậc hai ẩn số có dạng :
′ = ′ + ′
= +
(6) (5) c y b x a
c by ax
(16)Cho hệ phương trình : ′ = ′ + ′ = + c y b x a c by ax
với a b ; a/ b/ không đồng thời
Lập biểu thức : D = b a
b a
′
′ = ab/ - a/b Dx = b c b c ′
′ = cb/ - c/b Dy = a c c a
′
′ = ac/ - a/c Nếu D ≠0 : Hệ phương trình có nghiệm (x , y) với :
D D x= x
D D y= y Nếu D = :
+ Nếu Dx ≠0 Dy ≠0 hệ phương trình vơ nghiệm
+ Nếu Dx = Dy = tập nghiệm hệ phương trình nghiệm phương trình bậc ax + by = c
Ví dụ : Giải hệ phương trình = + = − 13 y x y x ⇔ − = − = = = = = 29 87 29 58 D Dy y D Dx x
2 Hệ phương trình bậc ẩn
* Hệ phương trình bậc ẩn
1 1
2 2
3 3
a x+b y+c =d a x+b y+c =d a x+b y+c =d
Mỗi (x0;y0;z0) nghiệm ba phương trình hệ gọi nghiệm hệ
Ví dụ: Giải hệ phương trình a)
2
3 15
x y z
x y z
x y z
+ + = − − − = − − =
Đáp án: x=2; y=−3; z=1
b)
2
4 3 4
x y z
x y z
x y z
+ − = − + + = + + =
(17)BÀI TẬP
Bài II.4.1 Giải hệ phương trình sau: a = + = − 18 19 y x y x b − = − = + 22 3 y x y x c = − − + = − + + 13 ) ( ) ( 11 ) ( ) ( 2 2 y y x x y y x x d = − − − = − + 2 1 y x y
x e
= + + = − + 14 y x y x f = + − − = + + − 11 2 2 y x y x g = − + + − = − − + 12 5 y x y x h/ = + = + y x y x 2 2
ĐS:a.(3;-2) b.(-6;12) c.(1; 1),(-3; 1) d − ;
e (1; 1),(-3; 1) f VN g (-3; 2), (-3; 0), (-1; 2), (-1; 0) h VN
Bài II.4.2./ Giải hệ phương trình sau: a = + + = + + = + − 22 17 z y x z y x z y x b = + + = + + = + + z y x z y x z y x c − = − + = + − = + − 3 3 z y x z y x z y x d = + + = + − = + + 3 2 z y x z y x z y x
ĐS: a (1;3;2) b (-1;2;3) c d (x,y,z) tùy ý Bài II.4.3. Giải phương trình hệ phương trình sau: 1) − =
− =
5
7
x y
x y 2)
+ = − = −
2 16
x y
x y 3)
+ = − + = 10 16 x y x y
4) − =
− + =
3
6
x y
x y 5)
− = + =
3
4
2 2
5
x y x y
6) − = − − + =
3
5 13
x y
x y
7) − =
+ =
6 13
10 3
x y
x y 8)
− = −
− + =
3 10 24
6
x y
x y 9)
+ = −
− =
11 23
7 10 13
x y
(18)10) − = + = −
3
4
1
2
x y
x y
Bài II.4.4. Giải hệ phương trình 1) − + = − + + = − + + =
2
4
2
x y z
x y z
x y z
2) − + − = − − + = − − = −
3 2
5 10
2
x y z
x y z
x y z
3) − + = − + = − + + = − 12
2 18
3
x y z
x y
x y z
4) + + = − + = − + =
3 2
4 10
x y z
x y z
x y z
5) + − = − + + = + − =
3 12
4 7
5 12
x y z
x y z
x y z
6) − + = − + + = − + =
0,3 4,7 2,3 4,9
2,1 3,2 4,5 7,6
4,2 2,7 3,7 5,7
x y z
x y z
x y z
3 Hệ phương trình có pt bậc Dạng hai pt bậc : (2) pt bậc : (1)
*Cách giải : từ phương trình bậc ta rút ẩn theo ẩn lại vào phương trình bậc hai
Ví dụ: Giải hệ = + = + (2) (1) 2 y x y x KQ: (2;1) 4 Hệ phương trình đối xứng
Loại 1: Hệ đối xứng loại hệ mà ta thay đổi x thành y y thành x hệ không thay đổi
Phương pháp: Đặt S x y p xy = + = Ví dụ 1: Giải hệ
− = + − − + = + + 31 ) ( 11 2 y x xy y x y xy x
HD: hệ VN Ví dụ 2: Giải hệ
(19)Ví dụ 3: Giải hệ = = − 90 y x y x HD: đặt t =-y ; nghiệm (15;6) , (-6;-15) Bài II.4.5 Giải hệ phương trình sau:
a/ 2 2 3
2
x y xy
x y xy + + =
+ =
(1,1) b)
2
3 5
x y x y
xy x y
+ + + = + + = (1,2),(2,1) c) 2 4
( ) 78
97
x y xy
x y + = + = (3,2),(2,3),(-3,-2),(-2,-3) d) ( )( ) + = − − = 2 65
1 18
x y
x y e)
( ) + = + + = 2 2
x y xy
x y
f) + = + + =
2
6 x y xy
xy x y g) ( )
+ = + = 3 2 x y
xy x y
Loại 2: Hệ đối xứng loại hệ mà ta thay đổi x thành y y thành x phương trình trở thành phương trình
Phương pháp: Lấy phương trình trừ pt vế theo vế Bài II.4.6 Giải hệ phương trình sau:
a) 2 2 2 3 2 3 y y x x x y + = + = b) 3 3 8 3 8
x x y
y y x
+ = + = c) 4 3 4 3 y x y x x y x y − = − =
d) = +
= + 3 2
x x y y y x
Bài II.4.7 Giải hệ phương trình sau 2 ) x y a x y + = + =
(20)2
3
)
2
x xy y x y
c x y − + + + − = − = ( ) 49 )
3 84 x y d x y − = + =
Đáp số: a) (2;1) b) (-9;-19/3); (8;5) c) (2;1); (3;3) d) (16;9); (8;15) Bài II.4.8.Giải hệ phương trình sau
2 2
11
) )
2( ) 31 13
x xy y x y
a b
x y xy x y x xy y
+ + = + =
+ − − + = − + + =
2 2
4
) )
28
xy xy x y
c d
x y x y x y
= + + =
+ = + + + =
e) = +
= + 2 3
x x y
y y x f)
− = + − = + 2 2 2 2
x y x y
y x y x Đáp số:
a) VN b) (1;3); (3;1) c) (3− 5;3+ 5); ( 3− − 5; 3− + 5) d) (1;2); (2;1)
Bài II.4.8 Giải hệ phương trình sau 2
9 x y 164
) b)
90 x-y
x y a xy − = + = = = 2 2 ) )
6 ( 1) ( 1)
xy x y x y x y
c d
x y x y xy x x y y y
− + = −
+ + − =
+ − + + = − + + − =
Đáp số: a) (15;6); (-6;-15) b) (10;8); (-8;-10) c) (0;-3); (3;0) d) (± 2;± 2); (1; 2); ( 2; 1)− −
II.5 Bài tốn lập hệ phương trình:
Bài II.5.1 Tìm hai số biết tổng chúng 188 lấy số lớn chia cho số nhỏ ta thương số dư KQ: (157,31) Bài II.5.2 Số cơng nhân hai xí nghiệp tỉ lệ với Nếu số công nhân xí nghiệp I tăng 80 người số cơng nhân xí nghiệp II tăng 40 người số cơng nhân hai xí nghiệp tỉ lệ với Hỏi số công nhân lúc đầu xí nghiệp?KQ: (400,600)
(21)Bài II.5.4 Hai công nhân phải làm số dụng cụ thời gian Người I làm tăng dụng cụ nên cơng việc hồn thành trước Người II làm tăng dụng cụ nên cơng việc hồn thành trước cịn làm thêm dụng cụ Tính số dụng cụ cơng nhân phải làm thời gian phải hồn thành công việc?
KQ:I(120,8),II(126,9) Bài II.5.5 Một số tự nhiên có hai chữ số Nếu lấy sốđó trừđi hai lần tổng chữ số kết 51 Nếu lấy hai lần chữ số hàng chục cộng với ba lần chữ số hàng đơn vị 29 Tìm sốđã cho?
(22)PHẦN III
BẤT ĐẲNG THỨC-BẤT PHƯƠNG TRÌNH Bài 1: BẤT ĐẲNG THỨC
1 Định nghĩa
Số thực a gọi lớn b, kí hiệu a > b a−b > Khi ta kí hiệu b<a (b nhỏ a)
a > b ⇔ a-b > (b−a<0) 2 Các tính chất ∀a,b,c,d∈R ta có :
1) a > b ⇔ a+c > b+c (cộng vế bất đẳng thức số) 2) a > b+ c ⇔ a−c > b (chuyển vế)
3) a > b ⇔ ac > bc > < <
neáu c
ac bc neáu c (nhân hai vế số)
4) a c b d
d c
b a
+ > + ⇒
> >
5) ac bd
d c
b a
> ⇒
> >
> >
0
6) Với n nguyên dương: a > b ⇔ a2n+1 > b2n+1 a > b>0 ⇒ a2n > b2n 7) Nếu b>0 a>b ⇔ a > b; a>b ⇔3
a > b
8) a c
c b
b a
> ⇒
> >
(bắc cầu)
9) a > b ⇔
< >
> <
0 ab neáu b a
0 ab neáu a
b
10) a > b > ⇒ an > bn ( n∈N+ ) 11) a > b > ⇒ n n
b
a > ( n∈N+ )
(23)PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Ví dụ: Chứng minh rằng
a) Nếu a,b≥0 a+b≥2 ab
b) Chứng minh a2+b2-ab ≥ Khi đẳng thức xảy 3 Bất đẳng thức Côsi
a/ Định lý: Nếu a≥0, b≥0 a+b ≥ ab
2 hay a+b ≥2 ab Dấu '=' xảy ⇔ a=b
b/ Các hệ quả:
b.1 Nế a≥0,b≥0 có a+b=const (hằng số) a.b max ⇔ a = b
b.2 Nếu a≥0,b≥0 có a.b = const a + b ⇔ a = b b.3 Nếu a1, a2, a3,… ,an ≥0 thì:
n
n n
a a a a n
a a
a
3 2
1+ + + ≥
b.4 a a
+ ≥ , a > * Ý nghĩa hình học:
+ Trong tất cả hình chữ nhật có chu vi, hình vng có diện tích lớn
+ Trong tất cả hình chữ nhật có diện tích, hình vng có chu vi nhỏ
Ví dụ 1: cho hai số a, b> Chứng minh + ≥2 a b b a
Ví dụ 2: Chứng minh với a,b>0 (a+b)(ab+1) ≥4ab 5 Bất đẳng thức chứa giá trị tuyệt đối
Định nghĩa: |x| =
< ≥
0 x neáu x
-0 x neáu x
; ∀a,b∈R ta có
b a b
a+ ≤ + , dấu '=' xảy ⇔a.b≥ b
a b
a− ≤ + , dấu '=' xảy a.b≤0 b
a b
(24)BÀI TẬP
Bài III.1 Cho a, b, c, d những số dương; x, y, z số thực tùy ý Chứng minh rằng:
a) x4+y4≥x y3 +xy3
b) x2+4y2+3z2 +14>2x+12y+6z
HD:( )b ⇔ −(x 1)2+(2y−3)2+( 3.z− 3)2+ >1
c)* a b a b
b + a ≥ +
d) 1
a+ ≥b a+b
e)*
4 a b c d
abcd
+ + + ≥ (bđt Cô-si cho số)
f) 1 1 16
a+ + + ≥b c d a+ + +b c d g) a2b 2a
b + ≥
(Áp dụng bđt Cô-si cho số dương a2b, 1/b) h) (a+b b)( +c c)( +a)≥8abc
(Áp dụng bđt Cô-si cho a, b b, c c, a) i) ( a + b)2 ≥2 2(a+b) ab
(Khai triển đẳng thức áp dụng bđt Cô-si cho (a+b)và ab )
j) 1
a+ + ≥b c a+ +b c
Bài III.2 Chứng minh bất đẳng thức sau a) Với x>−3 Chứng minh
3 x
x
+ ≥
+
(HD: x+ ≥4 x+3Áp dụng bđt Cô-si cho x+3) b) Với
2
y
4
x
+ = CM |x.y|≤3
(HD: Áp dụng bđt Cô-si cho x
, y
(25)HD: b+c ≥ bc⇔ (b+c)2≥ 4bc (1) a+(b+c) ≥2 a b( +c)⇔ 1≥ 4a(b+c) (2) lấy (1)x(2) ta được⇒đpcm
d) Cho a, b, c, d ≥ Chứng minh: (abc+2)(bc+2)(a+d)(d+1) ≥ 32abcd HD: Áp dụng bđt Cô-si cho: abc 2; bc 2; a d; d e) Cho a,b,c >0 CMR : (1+ )(1+ )(1+ )≥8
a c c b b a
HD: Áp dụng bđt Cô-si cho 1,a; 1, ; 1,b c
b c a
f) Với a,b,c,d không âm CMR : (a+b)(b+c)(c+d)(d+a)≥16abcd
(HD: Áp dụng BDT Cô-SI) g) Cho a,b,c > CMR : ca b ab
c
+ ≥ (HD: Áp dụng BDT Cô-Si) h) Cho a,b,c > CMR : (a+b+c)(
c b a
1 1
+
+ ) ≥ 9(Áp dụng BDT Cô-Si) k) Cho a,b > CMR : (a+b)(1
a +b) ≥ (HD: Áp dụng BDT Cô-Si) l) Cho a,b,c > CMR :
4 2 a bc
ab c
+ ≥
(HD:
2
2 2
a bc a
ab bc ab
c c
+ ≥ ⇔ + ≥
) m) Cho a,b,c > a+b+c =1 CMR : (1+ 1)(1+1)(1+1)≥64
c b a
(Áp dụng BDT Cô-Si) n) Cho a > CMR :
2
1 a
a− ≤
HD: bình phương vế o) Cho a,b,c >0 CMR : 1 1 1
a + + ≥b c ab + bc + ac
(Áp dụng BDT Cô-Si) Bài III.3 Chứng minh bất đẳng thức
(26)b) a2 + + ≥b2 c2 ab+bc+ca, a,b,c∀ ∈ℝ Khi dấu "=" (đẳng thức) xảy ra?
c) a2 + +b2 ab≥ ∀0, a b, ∈ℝ Khi dấu "=" (đẳng thức) xảy ra.? d) (a+b+c)2 ≤3(a2+b2+c2) với a,b,c∈ℝ
e) a2b+ab2≤a3+b3 , với a, b dương Đẳng thức xảy xảy ? Bài III.4 Cho hàm số f(x) = (x+3)(5-x) với−3≤x≤5 Xác định x cho f(x) đạt giá trị lớn nhất?KQ: x=1
Bài III.5/ Tìm già trị nhỏ hàm số sau a) f(x)= vớix
x
x+ > (min=2 3, x= 3) b) f(x)=
1
− +
x
x với x > (min =3, x=2)
Bài III.6* Tìm giá trị nhỏ của hàm số y=
x+ −x với 0<x<1
HD: 4( ) 9( )
1
x x x x
y
x x x x
+ − + −
= + = +
− −
2 (min 25,
5 x = = ) Bài III.7 Chứng minh bất đẳng thức sau:
1/ a b c 1
bc+ca+ab≥ + +a b c (a, b , c > 0) 2/ ab bc ca a b c
c + a + b ≥ + + (a, b , c > 0) 3/ x2 y2 1 2( x y)
x y
+ + + ≥ + (x , y > 0) 4/ a b− +1 b a− ≤1 ab ∀a, b ≥
5/ 4a+ +1 4b+ +1 4c+ <1 với a + b + c = a, b, c ≥ -1 6/.Tìm GTLN hàm số sau:
y = (x + 5)(7 – x) với -5 ≤ x ≤ (maxy = 36 x = 1) y = (2x - 3)(10 – 3x) với 10
2≤ ≤x y =
2 x
x −
với x ≥ (maxy =
(27)Phần IV HÌNH HỌC VECTƠ Chủ đề Chứng minh đẳng thức Vectơ VD1 Cho điểm A, B, C, D, E, F CMR :
a)AB CD+ =AD+CB b) AB CD− =AC+DB
c) AD+BE+CF=AE+BF+CD
HD: Dùng quy tắc cộng hay trừ
VD2 Cho tam giác ABC với M, N, P trung điểm cạnh AB, BC, CA Chứng minh :
a) AN+BP+CM=O b) AN=AM+AP
c) AM+BN+CP=O
HD:
a) Thay =1( + )
AN AB AC , vv
b) AMNP hình bình hành
c) Thay AM=PN VD3 Cho hai điểm A, B
a) Cho M trung điểm A, B Chứng minh với điểm I ta có : IA+ =IB 2IM
b) Với điểm N cho NA= −2NB CMR với I : +2 =3
IA IB IN
c) Vơi điểm P cho PA=3PB CMR với I bất ki : −3 = −2
IA IB IP
HD: b) Chèn điểm I vào đẳng thức PA=3PB c) Tương tự câu b) VD3 Cho tam giác ABC G trọng tâm tam giác
a) Chứng minh AG+BG+CG=0 Với I ta có : IA IB IC+ + =3IG b) M thuộc đoạn AG =1
4
MG GA
CMR: 2MA MB+ +MC=O Với I bki 2IA IB IC+ + =4IM c) Cho hai tam giác ABC DEF có trọng tâm G G1 Chứng
minh :
+ AD+BE+CE=3GG1
(28)HD: b) Từ =1
4
MG GA suy M trung điểm AK, K trung điểm BC
d) + Chèn G, G1 vào vế trái đẳng thức AD+BE+CE=3GG1
+ ĐK: CM AD+BE+CE=0
VD4 Cho hình bình hành ABCD tâm O
CMR : AO+BO+CO+DO=O, Với I IA IB IC+ + + =ID 4IO
HD: +Hình bình hành có hai đường chéo cắt trung điểm chúng
+ Chèn I vào ý
VD5 Cho tứ giác ABCD Gọi M, N trung điểm AB CD CMR :
a) AD+BC=2MN b) AC+BD=2MN
c) Tìm vị trí điểm I cho IA IB IC+ + + =ID O
d) Với P bất kì, CMR : PA PB PC+ + +PD=4PI
HD: a) Chèn hai điểm M,N vào VT
b) Như câu a)
c)IA IB IC+ + + =ID O ⇔2IM+2IN= ⇔0 IM+ = ⇔IN I trung điểm MN
d) Chèn P vào VT c)
VD6 Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm AB N điểm cạnh AC cho NC = 2NA Gọi K trung điểm MN
a) CMR : =1 +1
4
AK AB AC
b) D trung điểm BC CMR : =1 +1
4
KD AB AC
HD: Ta có = −2 ⇔ =1
3
NC NA AN AC
a) Hãy phân tích AK theo AB AC; =1( + )
(29)BÀI TẬP:
Bài tập IV.1.1 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi H trực tâm của tam giác ABC, B’ điểm đối xứng với B qua O Chứng minh rằng AH =B C'
Bài tập IV.1.2 Cho tam giác ABC Vẽ D đối xứng với A qua B, E đối xứng với B qua C F đối xứng với C qua A Gọi G giao
điểm giữa trung tuyến AM của tam giác ABC với trung tuyến DN của tam giác DEF Gọi I, K lần lượt trung điểm của GA GD Chứng minh:
a) AM=NM b) MK =NI
Bài tập IV.1.3 Cho tam giác ABC M một điểm không thuộc các cạnh của tam giác Gọi D, E, F lần lượt trung điểm của AB, BC CA Vẽđiểm P đối xứng với M qua D, điểm Q đối xứng với P qua E, điểm N đối xứng với Q qua F Chứng minh rằng
MA=NA
Bài tập IV.1.4 Cho tam giác ABC có G trọng tâm a) Hãy phân tích AG theo hai vectơ AB AC,
b) Gọi E, F hai điểm xác định bởi điều kiện: EA=2EB,
3FA+2FC=0 Hãy phân tích vectơ EF theo AB AC, Bài tập IV.1.5 Cho điểm A, B, C, D Chứng minh:
AB+CD=AD+CB
Bài tập IV.1.6 Cho tứ giác lồi ABCD Gọi E, F lần lượt trung
điểm của AB CD
a) Chứng minh rằng: AC+BD=AD+BC=2EF
b) Gọi G trung điểm của EF Chứng minh rằng:
GA+GB+GC+GD= EF
Bài tập IV.1.7 Cho hình bình hành ABCD có tâm O Chứng minh rằng:
a) DA−DB+DC=0 b) OA+OB+OC+OD=0
Bài tập IV.1.8 Cho điểm A, B, C, D tùy ý Chứng minh rằng: a) AB+CD= AD+CB
(30)c) AB−CD=AC−BD
Bài tập IV.1.9 Cho điểm A, B, C, D, E tùy ý Chứng minh rằng:
a) AB+CD+EA=CB+ED
b) CD+EA=CA+ED
Bài tập IV.1.10 Cho điểm A, B, C, D, E, F Chứng minh rằng: a) AB+CD= AD+CB
b) AB−CD=AC+DB
c) AD+BE+CF= AE+BF+CD
d) Nếu AC=BD AB =CD
Bài tập IV.1.11 Cho điểm A, B, C, E, F, G Chứng minh rằng: a) AB+CD+EA=CB+ED
b) AB+CD+EF+GA=CB+ED+GF
c) AB−AF+CD−CB+EF−ED=0
Bài tập IV.1.12 Cho điểm A, B, C, D, E, F, G, H Chứng minh rằng:
AC+BF+GD+HE=AD+BE+GC+HF
Bài tập IV.1.13 Cho tam giác ABC Gọi M, N, P lần lượt trung
điểm của BC, CA, AB O điểm bất kỳ Chứng minh rằng:AM +BN+CP=0 OA OB+ +OC =OM +ON +OP Bài tập IV.1.14 Cho tứ giác ABCD M, N , I lần lượt trung
điểm của đoạn thẳng AB,CD, BC Chứng minh rằng: a/ CA+DB=CB+DA =2MN
b/ AD BD+ +AC BC+ =4MN c/ 2 AB( +AI+NA+DA)=3DB
Bài tập IV.1.15 Cho tam giác ABC Gọi E trung điểm của
đoạn BC Các điểm M, N theo thứ tựđó nằm cạnh BC cho E trung điểm đoạn MN Chứng minh rằng:
+ = +
AB AC AM AN
(31)1/ Cho hình bình hành ABCD Gọi I trung điểm của AB M một điểm thỏa IC=3IM Chứng minh rằng:
= +
3BM 2BI BC Suy B, M, D thẳng hàng 2/ Cho hình bình hành ABCD Chứng minh rằng:
− =
AB BC DB ; DA−DB+DC=0
3/ Cho hình bình hành ABCD, gọi O giao điểm của hai
đường chéo Chứng minh rằng BC OB+ +OA =0 4/ Cho hình bình hành ABCD, gọi I trung điểm của CD
Lấy M đoạn BI cho BM = 2MI Chứng minh rằng ba điểm A, M, C thẳng hàng
5/ Cho hình bình hành ABCD có tâm O, gọi M trung điểm BC Chứng minh rằng: AM =AB+1AD
2
6/ Cho hình bình hành ABCD có tâm O Với điểm M tùy ý hãy chứng minh rằng: MA+MC=MB+MD
7/ Cho tam giác ABC Bên của tam giác vẽ hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS Chứng minh rằng:
+ + =
RJ IQ PS 0
Bài tập IV.1.17 Cho tam giác ABC, vẽ bên ngồi hình bình hành ABIF, BCPQ, CARS Chứng minh rằng: RF+IQ+PS =0 Bài tập IV.1.18 Cho tam giác MNP có MQ trung tuyến của tam giác Gọi R trung điểm của MQ Chứng minh rằng:
a) 2RM+RN+RP=0
b) ON+2OM+OP=4OR, với O bất kì
c) Dựng điểm S cho tứ giác MNPS hình bình hành Chứng tỏ rằng:
MS+MN−PM=2MP
d) Với điểm O tùy ý, chứng minh rằng: ON+OS=OM+OP ;
+ + + =
ON OM OP OS 4OI
(32)a) AB+2AC =3AM b) MA+MB+MC =3MG
Bài tập IV.1.20 Cho tứ giác ABCD Gọi I, J lần lượt trung
điểm của AB, CD, O trung điểm của IJ M điểm bất kỳ Chứng minh rằng:
a) AD+BC =2IJ
b) OA OB+ +OC+OD=0 c) MA+MB+MC+MD=4MO
Bài tập IV.1.21 Cho tứ giác ABCD Gọi E, F, G, H lần lượt trung điểm của AB, BC, CD, DA G trung điểm của FH, M
điểm tùy ý Chứng minh rằng: a) AF+BG+CH +DE=0 b) AB+AC+AD=4AG
c) MA+MB+MC+MD=ME+MF +MG+MH
Bài tập IV.1.22 Cho hình bình hành ABCD có tâm O E trung điểm của AD Chứng minh rằng:
a) OA OB+ +OC+OD=0 b) EA+EB+2EC =3AB c) EB+2EA+4ED=EC
Bài tập IV.1.23 Cho điểm A, B, C, D Gọi M, N lần trung điểm của đoạn thẳng BC, CD Chứng minh rằng:
3 2
+ + + =
AB AM NA DA DB
Bài tập IV.1.24 Cho tứ giác ABCD có AB CD khơng song song Gọi M, N, P, Q lần lượt theo thứ tự trung điểm của
đoạn thẳng AD, BC, AC, DB
a) Chứng minh rằng: 1( ) 2
= +
MN AB DC 1( )
2
= −
PQ AB DC
b) Chứng minh điểm M, N, P, Q đỉnh của một hình bình hành
(33)Chứng minh: IA+IB+IC+ID=0 4
+ + + =
OA OB OC OD OI
Bài tập IV.1.25 Cho hình bình hành ABCD có tâm O Gọi M, N lần lượt trung điểm của BC, DC Chứng minh rằng:
a) OA OM+ +ON =0
b) 1( 2 )
2
= +
AM AD AB
c) 3
2
+ =
AM AN AC
Bài tập IV.1.26 Cho tam giác ABC có góc nhọn Gọi H, G, O lần lượt trực tâm, trọng tâm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, D điểm đối xứng với A qua O
a) Chứng minh rằng BHCD hình bình hành Từđó tính tổng +
HB HC
b) Chứng minh rằng: HA+HB+HC =2HO
+ + =
OA OB OC OH
c) Có nhận xét về điểm O, G, H?
Bài tập IV.1.27 Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm của AB và N một điểm cạnh AC cho NC=2NA Gọi K, D lần lượt trung điểm của MN BC Chứng minh rằng:
a) 1 1
4 6
= +
AK AB AC
b) 1 1
4 3
= +
KD AB AC
Bài tập IV.1.28 Cho tứ giác ABCD Gọi I J lần lượt trung
điểm của hai đường chéo AC BD Chứng minh rằng: 2
+ =
AB CD IJ
Bài tập IV.1.29 Cho tam giác đều ABC có tâm O Gọi M
điểm thuộc miển của tam giác D, E, F lần lượt hình chiếu của M lên ba cạnh của tam giác
Chứng minh rằng: 3 2
+ + =
(34)Bài tập IV.1.30 Cho hình bình hành ABCD có tâm O điểm M tùy ý Chứng minh rằng:
a) DO+AO= AB b) CO−OB=BA c) AB−BC=DB d) DA−DB=OD OC −
e) MA+MC =MB+MD=2MO f) OA OB+ +OC+OD=0
Bài tập IV.1.31 Cho tam giác ABC Gọi M, N, P lần lượt trung
điểm của cạnh BC, CA, AB Chứng minh rằng: a) AB+BC+CA=0
b) MN +NP+PM =0 c) AN +CM −PB=0 d) AP+BM +MP=0
e) 1
2
+ =
AP BM AC
f) AM +BN+CP=0
g) AP+BM +AN+BP=PC
Bài tập IV.1.32 Cho hình thang OABC Gọi M, N lần lượt trung điểm của OB OC Chứng minh rằng:
a) 1
2
= −
AM OB OA
b) 1
2
= −
BN OC OB
c) 1( )
2
= −
MN OC OB
Bài tập IV.1.33 Cho tứ giác ABCD M, N lần lượt trung
điểm của đoạn thẳng AB,CD Chứng minh rằng: a/ CA+DB=CB+DA =2MN b/ AD BD+ +AC BC+ =4MN
(35)( + + + )= 2 AB AI NA DA 3DB
Bài tập IV.1.34 Cho tam giác ABC, có AM trung tuyến, I trung điểm của AM
a) Chứng minh: 2IA+IB+IC =0
b) Với điểm O bất kỳ, chứng minh: 2OA OB+ +OC =4OI Chủđề Tìm độ dài (mô đun) vectơ
Bài tập IV.2.1 Cho tam giác ABC đều cạnh a Tính độ dài vectơ AB+BC AB, −BC
Bài tập IV.2.2 Cho hình vng ABCD cạnh a Tính AB+AC+AD
Bài tập IV.2.3 Cho hình bình hành ABCD tâm O Hãy biểu diễn các vectơ AB BC CD DA, , , theo hai vectơ AO BO,
Bài tập IV.2.4 Cho tam giác ABC đều cạnh a, trực tâm H Tính
độ dài vectơ HA HB HC, ,
Bài tập IV.2.5 Cho hình vng ABCD cạnh a, tâm O Tính độ dài vectơ AB+AD, AB+AC, AB−AD
Bài tập IV.2.6 Cho tam giác ABC vng tại A có AB=AC= (cm) Tính AB+AC
Bài tập IV.2.7 Cho tam giác ABC đều cạnh a, trọng tâm G Hãy tính:
a) AB−AC b) AB+AC c) GB+GC
Bài tập IV.2.8 Cho hình chữ nhật ABCD có AB=5 (cm), BC= 10cm Tính AB+AC+AD
(36)Bài tập IV.2.10 Cho tam giác ABC vuông tại A có 30 =
B ,
AB=a Gọi I trung điểm của AC Hãy tính AC AI, , AB+AC BC ,
Bài tập IV.2.11 Cho tam giác ABC vuông tại A có BC= 15 cm, AC=5 cm Tính CA+BC BC, −BA
Bài tập IV.2.12
1/ Cho tam giác ABC đều cạnh a 3 Tính
− +
AB AC ; AB AC
2/ Cho tam giác ABC đều cạnh bằng 8, gọi I trung điểm BC Tính BA−BI
3/ Cho tam giác ABC đều, cạnh a, tâm O Tính
− −
AC AB OC
4/ Cho hình chữ nhật ABCD, tâm O, AB = 12a, AD = 5a Tính AD−AO
5/ Cho hình chữ nhật ABCD, biết AB = 4, BC = 3, gọi I trung điểm BC Tính IA−DI ; IA+IB
6/ Cho hình vng ABCD cạnh a, tâm O Tính độ dài của −
BC AB ; OA+OB
7/ Cho hình vng ABCD có tâm O, cạnh bằng cm Tính độ dài vectơ sau: u=AB+AD; v=CA+DB
(37)Chủ đề TOẠ ĐỘ
Bài tập IV.3.1. Cho tam giác ABC Các điểm M(1; 0), N(2; 2), P(-1;3) trung điểm cạnh BC, CA, AB Tìm tọa độ đỉnh tam giác
HD: ANMP hình bình hành ⇒ AP=NM ⇒ A(0;5), tương tự cho B,C
Bài tập IV.3.2. Cho A(1; 1); B(3; 2); C(m+4; 2m+1) Tìm m để điểm A, B, C thẳng hàng
HD:Tìm m để AB AC, phương ⇒m=1
Bài tập IV.3.3 Cho A(-1; 2), B (3; -4), C(5; 0) Tìm tọa độ điểm D biết:
a) AD – 2BD + 3CD = b)AD– 2AB = 2BD + BC c)ABCD hình bình hành
d) ABCD hình thang có hai đáy BC, AD với BC = 2AD HD: Gọi D( ; )a b a) Tìm toạđộ vectơ
( 1; 2) AD= a+ b− ,
( 3; 4) 2 ( 2 6; 2 8)
BD= −a b+ ⇒− BD= − + − −a b , ( 5; ) 3 (3 15;3 )
CD= −a b ⇒ CD= a− b ,
AD – 2BD + 3CD = ( 2a-8;2b-10)
AD – 2BD + 3CD=0 2 8 0 4
2 10 0 5
a a
b b
− = =
⇔ ⇔
− = =
⇒D(4;5)
b) Tương tự
c) ABCD hình bình hành ⇒ AB=DC d) BC =2AD
Bài tập IV.3.4 Cho hai điểm I(1; -3), J(-2; 4) chia đọan AB thành ba đọan AI = IJ = JB
a)Tìm tọa độ A, B
b)Tìm tọa độ điểm I’ đối xứng với I qua B
(38)b) B trung điểm II’⇒I′ c) K trung điểm AC⇒C
Bài tập IV.3.5. Cho a=(2; 1) ;b=( ; 4) c=(7; 2) a)Tìm tọa độ vectơ u= 2a - 3b + c
b)Tìm tọa độ vectơ x thỏa x + a =b - c c)Tìm số m ; n thỏa c = ma+ nb HD: b) x + a =b - c ⇔ = − −x b c a
c) Tìm toạđộ ma+ nb sử dụng kiến thức hai vectơ
Bài tập IV.3.6. Cho tam giác ABC với A ( 1; 1) ; B(2;3) ; C(5; -1) a)Chứng minh tam giác vng
b)Xác định tâm đương trịn ngoại tiếp
c)Tính diện tích tam giác diện tích đường tròn ngoại tiếp tam giác HD:
a) AB=(1; 2),AC =(4; 2)− ,AB AC. =0 b) Trung điểm BC
c) 1 . ;
2 ABC
S∆ = AB AC S =πR
Bài tập IV.3.7. Cho A (-1 ; -1) B (5; 6) a)Tìm M ∈ x’Ox để tam giác ABM cân M b)Tìm N ∈ y’Oy để tam giác ABN vuông N HD:
a)
M∈Ox⇒M a( ;0),
2 59
( 1 ) 1 (5 ) 36
12 MA=MB⇔ − −a + = −a + ⇔ =a b) N∈Oy⇒ N(0; );b NA NB. = ⇔ = ±0 b 5 65 Baøi tập IV.3.8
(39)MỘT SỐ BÀI TẬP BỔ SUNG Bài tập 1: Cho điểm A(1;2), B( 2;6),C(4;4) − 1/ Chứng minh A, B, C không thẳng hàng 2/ Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB 3/ Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC
4/ Tìm tọa độđiểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành
5/ Tìm tọa độđiểm N cho B trung điểm của đoạn AN 6/ Tìm tọa độ điểm H, Q, K cho C trọng tâm của
tam giác ABH, B trọng tâm của tam giác ACQ, A trọng tâm của tam giác BCK
7/ Tìm tọa độđiểm T cho hai điểm A T đối xứng qua B, qua C
8/ Tìm tọa độđiểm U cho AB=3BU;2AC= −5BU Bài tập 2: Cho tam giác ABC có M(1;4), N(3;0), P( 1;1) l− ần lượt trung điểm của cạnh BC, CA, AB Tìm tọa độ A, B, C Bài tập 3: Trong hệ trục tọa độ cho hai điểm A(2;1);B(6; 1) − Tìm tọa độ:
1/ Điểm M thuộc Ox cho A, B, M thẳng hàng 2/ Điểm N thuộc Oy cho A, B, N thẳng hàng
Bài tập 4: Cho bốn điểm A(1;1), B(2;-1), C(4;3), D(16;3) Hãy biểu diễn vectơ AD theo vectơ AB AC
Bài tập 5: Cho bốn điểm A(0;1), B(2;0), C(-1;2), D(6;-4) Hãy biểu diễn vectơ AD theo vectơ AB AC
Bài tập 6: Cho hai điểm A(-1;1), B(1;3) a) Tìm tọa độđiểm M cho BM =( )3;0 b) Tìm tọa độđiểm N cho NA=( )1;1
Bài tập 7: Cho ba điểm A(1;-2), B(0;4), C(3;2) a) Tìm tọa độ vectơ AB AC BC , ,
b) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB
(40)Bài tập 8: Cho ba điểm A(1;-2), B(2;3), C(-1;-2) a) Tìm tọa độđiểm D đối xứng với A qua C
b) Tìm tọa độđiểm E đỉnh thứ tư của hình bình hành có đỉnh là A, B, C
c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác
Bài tập 9: Cho ba điểm A(-2;1), B(3;-2), C(0;3) a) Tìm tọa độ của u= AB+3BC−2CA
b) Chứng minh A, B, C ba đỉnh của một tam giác tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC
c) Tìm tọa độđiểm D cho CD=2AB+3BC
d) Tìm tọa độđiểm E cho ABCE hình bình hành Tìm tâm của hình bình hành đó
Bài tập 10: Cho ba điểm A( ) (2;3 ,B −1;1 ,) ( )C 6;0 a) Tìm tọa độ vectơ u=4AB+3AC−2BC
b) Chứng rằng A, B, C khơng thẳng hàng tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC
c) Tìm tọa độđiểm D để tứ giác ABCD hình bình hành Tìm tâm của hình bình hành đó
Bài tập 11: Trong mp tọa độ Oxy cho ba điểm A(-3;6), B(1;-2), C(6;3)
a) Tìm tọa độđiểm D để ABCD hình bình hành tìm tọa độ trọng tâm G của ∆ABC
b) Tìm tọa độđiểm E thỏa mãn đẳng thức CE =2AB−3AC c) Tìm tọa độđiểm F thỏa mãn AF+2BF−4CF =0
Bài tập 12: Cho hai điểm A( ) ( )4;4 ;B 0;1 Tìm điểm C Oy cho trung trực của đoạn AC qua điểm B
Bài tập 13: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có ( 1;1 ,) ( )5;3
A − B , đỉnh C nằm trục tung Oy trọng tâm G của tam giác thuộc trục hồnh Ox Tìm tọa độđiểm C tính diện tích tam giác ABC
Bài tập 14: Trong mp tọa độ Oxy, cho điểm sau chứng minh chúng thẳng hàng:
(41)b) A( ) ( ) ( )1;3 ,B 2;5 ,C 4;9 c) A96;2),B(-2;2), C(0;2) d) A(0;4), B(3;2), C(-9;10)
Bài tập 15: Cho ba điểm A(x;3), B(-4;2), C(3;5) Tìm x để A, B, C thẳng hàng
Bài tập 16: Cho ba điểm A(4;y), B(2;-3), C(6;3) Tìm y để A, B, C thẳng hàng
Bài tập 17: Cho ba điểm A(4+2x;-3), B(2;-3+5y), C(6;3) Tìm x; y để A, B, C thẳng hàng
Bài tập 18: Cho A(1;1), B(-2;1), C(m+1; 2m+3) Tìm m để ba
điểm A, B, C thẳng hàng
Bài tập 19: Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A(-3;4), B(1;1), C(9;-5)
a) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng
b) Tìm tọa độđiểm D cho A trung điểm của BD
c) Tìm tọa độđiểm E trục hồnh Ox cho A, B, E thẳng hàng
Bài tập 20: Trong mp Oxy cho ba điểm A( ) (1;4 ,B − −3; ,) ( )C 2;3 a) Chứng minh A, b, C ba đỉnh của một tam giác tìm
vectơ trung tuyến tương ứng
b) Tìm tọa độđiểm D cho ABCD hình bình hành c) Tìm điểm E trục tung Oy cho ba điểm A, C, E
thẳng hàng
Bài tập 21: Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm A(−1;4) , ( 3; 2)
B − − , C(−4;2)
a) Chứng minh A, B, C ba đỉnh của một tam giác b) Tìm tọa độđiểm D cho ABCD hình bình hành c) Tìm tọa độđiểm E x( );6 cho ba điểm A, B, E thẳng
hàng
Bài tập 22: Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm A(−6;2) , B( )2;6 , ( 7;8)
C −
(42)b) Tìm tọa độ trọng tâm G tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
c) Tìm tọa độđiểm H cho ABGH hình bình hành Bài tập 23: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(2;1), B(6;-1) a) Tìm điểm M ∈Ox cho ba điểm A, B, M thẳng hàng b) Tìm điểm N∈Oy cho ba điểm A, B, N thẳng hàng c) Tìm điểm P khác với B cho A, P, B thẳng hàng
2 5 = PA
Bài tập 24: Trong mặt phẳng Oxy , cho hai điểm A(-1;-4), B(3;4) a) Tìm điểm M ∈Ox cho ba điểm A, B, M thẳng hàng b) Tìm điểm N∈Oy cho ba điểm A, B, N thẳng hàng c) Tìm điểm P khác với B cho A, P, B thẳng hàng
(43)PHẦN V LƯỢNG GIÁC
Bài tập 5.1 Cho biết một giá trị lượng giác của một góc, tính giá trị lượng giác lại:
a) sin 1, 4
β = β nhọn
b) cos 1 3
α = −
c) cos 5 90( 1800) 13
α = − < <α
d) tanx=2 2
e) sin 4(00 1800) 5
α = < <α
f) cot 1(00 900) 2
α = − < <α
Bài tập 5.2 Biết sin150 6 2 4 −
=
Tính 0 0
cos15 , tan15 , cot15 , cos 75 , cos105
Bài tập 5.3 Biết giá trị lượng giác của một góc, tính giá trị lượng giác của một biểu thức:
a) Biết sin 1 3 =
x , 900 < <x 1800 Tính tan 3cot 1 tan cot
+ +
=
+
x x
A
x x
b) Biết tanα = 2 Tính 3 sin 3cos
sin 3cos 2sin
α α
α α α
− =
+ +
B , 3sin cos
sin cos
α α
α α
− =
+ C
c) Biết sin 3 2 =
x Tính cot tan tan cot
α − α
=
+ A
x x
e) Biết cotx= −3 Tính
2
2
sin 2sin cos cos 2sin 3sin cos 4 cos
+ +
=
− +
x x x x
E
x x x x
(44)a) sin 1, 4
β = β nhọn
b) cos 1 3
α = −
c) cos 5 90( 1800) 13
α = − < <α
d) tanx=2 2
e) sin 4(00 1800) 5
α = < <α
f) cot 1(00 900) 2
α = − < <α
Bài tập 5.5 Biết sin150 6 2 4 −
=
Tính cos15 , tan15 , cot15 , cos 75 , cos105 0 0 0
Bài tập 5.6 Biết giá trị lượng giác của một góc, tính giá trị lượng giác của một biểu thức:
a) Biết sin 1 3 =
x , 900 < <x 1800 Tính tan 3cot 1 tan cot
+ +
=
+
x x
A
x x
b) Biết tanα = 2 Tính 3 sin 3cos
sin 3cos 2sin
α α
α α α
− =
+ +
B , 3sin cos
sin cos
α α
α α
− =
+ C
c) Biết sin 3 2 =
x Tính cot tan tan cot
α − α
=
+ A
x x
e) Biết cotx= −3 Tính
2
2
sin 2sin cos cos 2sin 3sin cos 4 cos
+ +
=
− +
x x x x
E
(45)PHẦN VI HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 1) a=5 ; b = ; c = Tính S, ha, hb , hc R, r
2) a= ; b= 2; c= Tính góc
3) b =8; c=5; góc A = 600 Tính S , R , r , h
a , ma
4) a = 21; b =17;c =10.Tính S, R , r , , ma
5)A = 600; hc =
3; R = tính a , b, c
6) A=1200; B =450 ;R =2 tính cạnh
7) a = , b = , c = Tính SABC, suy SAIC ( I trung điểm AB)
8) C = , b = ; S = 3 Tính a
9) S = p (p – c) Với p = + +
2
a b c
Tam giác ABC tam giác HD:
9) S=p p c( − ⇔) p p a p b p c( − )( − )( − =) p p2( −c)2
⇔ − − = − ⇔ + − =
⇔ + =2 2
(p a p)( b) p p( c) pa pb ab pc a b c
10) S =
4(a + b – c)(a + c - b) Tam giác ABC tam giác
HD: =1( + − )( + − )
S a b c a c b
⇔ + + + − = + − + − ⇔ + =2 2
(a b c b)( c a) (a b c a)( c b) b c a
11) acosB = bcosA Tam giác ABC tam giác
HD: = ⇔ + −2 = 2+ −2 ⇔ 2=
cos cos
2
a c b b c a
a B b A a b a b
ac bc
(46)HD: Dùng cơng thức tính độ dài đường trung tuyến:
+ = ⇔ + =
2 2 2
5
b c a
m m m b c a
13) sin =2.cos
sin
A
C
B Tam giác ABC tam giác
HD: sin = ⇔ = 2+ −2 ⇔ 2=
2cos
sin
A a a b c
c b c
(47)10 ĐỀ KIỂM TRA THỬ HỌC KÌ I
Đề số 1:
Câu (1đ): Tìm tập xác định hàm số: x
y x
x −
= + −
−
Câu (2đ):
a) Lập bảng biến thiên vẽđồ thị hàm số y = x2−4 x + b) Xác định Parabol (P) y = ax2 + bx + biết Parabol qua điểm A(1;0) có trục đối xứng
2 x= Câu (3đ):
a) Giải phương trình: 4− x−x2 = +x b) Giải phương trình: 22
1
x
x − −x+ = c) Giải hệ phương trình:
1
7
2
5
3
2
x y
x y
− =
+ −
+ = −
+ −
Câu (3đ)
1 Cho tam giác ABC Gọi I một điểm cạnh BC cho IB = 3IC
a) Chứng minh 4AI =AB+3AC
b) Gọi D trung điểm AI Chứng minh 4DA DB+ +3DC=0 Cho sinx =
4 90
(48)Đề số 2:
Câu (1 điểm): Xét tính chẵn lẻ hàm số:f x( )= + − −x 1 x 1
Câu (2 điểm):
a) Lập bảng biến thiên vẽđồ thị hàm số = −2 +
4
y x x
b) Xác định hàm số bậc hai y = ax2 – 4x + c, biết đồ thị hàm số có trục đối xứng x = cắt trục hoành điểm A(3; 0)
Câu (3 điểm)
a) Giải phương trình: 4x2 +2x+10=3x+1
b) Giải phương trình: + − − + =
− −
x 1 2x 1
3 0
x 1 x 2
c) Giải hệ phương trình:
+ =
+ −
+ = −
+ −
5
2
1
3
1
1
x y
x y
Câu ( điểm )
a) Cho hình bình hành ABCD có O giao điểm hai đường chéo Chứng minh: AB+AC+AD=4AO
b) Cho sinα =3(0 < <α 90 )
5 Tính giá trị biểu thức :
α α
−
=1 tan
1+tan
P
c) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(-2; 3), B(5; 2) Tìm tọa độđiểm C Ox cho tam giác ABC vuông C điểm C có hồnh độ âm
Câu 5: (1 điểm) Chứng minh với ba số a, b, c dương ta có:
+ + + ≥
a b c
a b c abc
(49)Đề số 3:
Câu (1đ): Xét tính chẵn lẻ hàm số y= 2− −x 2+x Câu (2đ):
a) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (P) hàm số : = − +2 4 +5
y x x
b) Xác định hàm số :y=ax2+bx+c, biết đồ thị qua ba điểm ( )0;2 ,
A B( )1;0 , C(−1;6) Câu (3đ):
a) Giải phương trình: x2+2x+ =4 2−x
b) Giải phương trình: + + =
− +
2
1
3
x x
x x
c) Giải hệ phương trình:
− =
+ −
+ =
+ −
1
1
4
3
10
4
x y
x y
Câu (3đ):
a) Cho tứ giác ABCD, E trung điểm AB, F trung điểm CD Chứng minh: 2EF=AC+BD
b) Cho góc x với sinx =
3
0 ≤ ≤ 90
x Tính giá trị biểu thức:
P = 2sin2x + 3cosx -3
c) Cho tam giác ABC với A(-1, 3), B(0, 4) C(2; 1)
Xác định tọa độđiểm M trục Ox cho tam giác MAB cân M
d) Cho ABC biết a = cm, b = 2cm, c =(1 + 3)cm Tính góc Bˆ, chiều cao độ dài đường phân giác BD
Câu 5: Với a, b, c > Chứng minh: + + ≥ + −
1 1
2
a b c
(50)Đề số 4:
Câu (1đ): Tìm tập xác định hàm số sau: = − + −
1
2
5
y x
x
Câu (2đ):
a) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (P) hàm số : = − +2 4 +5
y x x
b) Xác định parabol y=ax2+ +x c, biết parabol qua điểm A(1; 2− ) cắt trục tung điểm B( )0;5
Câu (3đ)
a) Giải phương trình: 2 x2+ + = −x 3x
b) Giải phương trình: + + − = +
2
5
x x
x x
c) Giải hệ phương trình:
+ = − −
− =
−
2
1
4
3 13
1
y x
y x
Câu (3đ):
1) Trong mặt phẳng oxy cho:A(1;2), ( 3;4), (5;6)B− C
a) Chứng minh ba điểm A B C, , khơng thẳng hàng b) Tìm tọa độ trọng tâm Gcủa tam giác ABC 2) Cho α góc có tanα=5, tính giá trị biểu thức
α α
α α
+ =
−
2sin 7cos
3cos 5sin
P
(51)Đề số
Câu (1đ): Xét tính đơn điệu hàm số: f( x) = x2 – 2x + khoảng (1;+∞)
Câu (2đ): Cho hàm số
y = 2x −3x +1 (1)
a) Lập bảng biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số (1)
b) Xác định giá trị tham số thực m để đường thẳng (d): = +
y x m cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm phân biệt có hồnh độ dương
Câu (3đ):
a) Giải phương trình: x2+2= +1 x
b) Giải phương trình: + + = +
2
3
( 2)
x
x x x
c) Giải hệ phương trình:
− =
− +
+ =
− +
3
4
5 3
2
7
5 3
x y
x y
Câu (3đ): 1)
a) Cho tứ giác ABCD Gọi M, N trung điểm hai đường chéo AC BD Chứng minh: AB CD−→+−→ =2.MN−→
b) Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A ( - 1; ), B ( 2; ) Tìm tọa độđiểm N trục tung cho N cách hai điểm A B
2) Cho góc nhọn α thỏa sinα=12 13
Tính cos ; tanα α giá trị biểu thức P=2sin2α −7cos2α
3) Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A ( - 1; ), B ( 2; ) Tìm tọa độđiểm N trục tung cho N cách hai điểm A B
Câu 5A:
Cho a>0,b>0 Chứng minh : + ≥
(52)Đề số 6:
Câu (1đ): Tìm tập xác định hàm số: = − +
− − −
2
1
2
x y
x x x
Câu (2đ):
a) Lập bảng biến thiên vẽđồ thị hàm số: = 2− +
2
y x x
b) Tìm giao điểm đường thẳng ( ) :d y=3x−2 parabol = 2− +
( ):P y 2x 4x Câu 3) (3đ)
a) Giải phương trình 2x2−5x+ = −3 x
b) Giải phương trình: − + − = −
+ +
2
12
2
x x
x x x x
c) Giải hệ phương trình:
+ =
+ −
− = −
+ −
3
11
1
5
7
1
x y
x y
Câu 4: (3đ)
1) Trong mp toạđộ Oxy cho A(1;2); B(–2;6); C(9;8) a) Tìm x=2a−3b biết a=ABvà b=AC
b) Tìm toạđộđiểm M Oy để B, M, A thẳng hàng 2) Cho góc α góc tù sin α =
5 Tính cosα, tanα, cotα
α α
= +
sin 3cos
P
3) Cho tam giác ABC vuông tại B, AB=a Tính tích vơ hướng AB AC
Câu (1đ)
Cho a>0; b>0 Chứng minh a + b ≥ a+ b
b a Đẳng thức xảy
(53)Đề số
Câu (1.0 điểm): Tìm tập xác định hàm số = + − − −
3
5
2
x
y x
x
Câu (2,0 điểm):
1 Lập bảng biến thiên vẽđồ thị hàm số y= +x2 2x+3
2 Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng y= − −3x với Parabol (P) y= +x2 2x−3
Câu (3,0 điểm)
1 Giải phương trình x2−3x+ − =1 x
2 Giải phương trình: + = −
− −
1
1
3
x
x x
3 Khơng dùng máy tính, giải hệ phương trình
+ =
− +
+ =
− +
1
3
3
7
6
3
x y
x y
Câu (3,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(-1; 4); B(5; 2)
a) Tìm toạđộđiểm C cho tam giác ABC có trọng tâm G( 1; -1)
b) Tìm toạđộđiểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành
2 Cho sin =2
x Tính giá trị biểu thức P=3sin2x+5cos2x
3 a) Trong mặt phẳng Oxy, cho A( )0;2 M( )2;4
Tìm trục Ox điểm B cho tứ giác OBMA nội tiếp đường tròn
b) Cho tam giác ABC có b=7; c=4; góc A=600 Tính S, R, m Câu (1đ) Cho a, b hai số dương .Chứng minh ( + ) + ≥
2
a
a b a
(54)Đề số 8:
Câu (1đ): Tìm tập xác định hàm số: = − + + +
5
3
x x
y
x x
Câu (2đ):
a) Lập bảng biến thiên vẽđồ thị hàm số: = 2− +
2
y x x
b) Tìm phương trình parabol (P): = + +
y ax bx biết (P) qua hai điểm A 1; 5( ) B(−2; 8)
Câu (3đ):
a) Giải phương trình: x+ = −4 x
b) Giải phương trình: − + − = −
+ +
2
12
2
x x
x x x x
c) Giải hệ phương trình:
− = −
− −
+ =
− −
3
19
2 5
1
22
2 5
x y
x y
Câu (3đ):
1) Cho A(1, 1) ; B(5, 3) ; C(0, -1)
a) Chứng minh A, B, C không thẳng hàng
b) Gọi I trung điểm AB Tìm M cho IM=2AB BC−
2) Cho góc 900 < <α 1800 sinα =48
55 Tính cosα, tanα, cotα
α α
= +
sin 3cos
P
3)
a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A( 3;-2) B( 1;1).Tìm điểm C thuộc trục hồnh cho tam giác ABC vuông C
b) Cho tam giác ABC có cạnh a=2 3, b=2 Cɵ=300 Tính góc A đường cao hb tam giác
Câu (1đ) Chứng minh với a, b > ta có: ( + ) + ≥
1
4
a b
(55)Đề số 9:
Câu (1đ): Xét tính chẵn lẻ hàm số: ( )= + −
2
4
3
x x f x
x
Câu (2đ):
a) Lập bảng biến thiên vẽđồ thị hàm số: y= −x2 2x+5
b) Tìm giao điểm đường thẳng ( ) : 6d x− − =y parabol ( )P Câu 3: (3đ)
a) Giải phương trình: x+ = −1 x
b) Giải phương trình: + =
− − +
2
6 15
1 1
x x x
c) Giải hệ phương trình:
− =
− +
+ = −
− +
3
47
3
2
18
3
x y
x y
Câu (3đ):
1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A( 1;2)− ,
(2;1)
B ,C(1;3)
a) Tìm tọa độ trung điểm I của cạnh AB trọng tâm G của tam giác ABC
b) Tìm tọa độ D cho hình thang ADBC có cạnh đáy BD=2CA
2) Cho góc α góc tù sinα =65
72 Tính cosα, tanα, cotα
α α
= +
2sin 5cos
P
3) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(-2; 3), B(5; 2) Tìm tọa độđiểm C Ox cho tam giác ABC vuông C điểm C có hồnh độ âm
Câu (1đ):
Chứng minh x,y,z số dương (x+ +y z)(1+ + ≥1 1)
(56)Đề 10:
Câu (1 điểm): Xét tính chẵn lẻ hàm số: = −
2
x y
x
Câu (2 điểm):
a) Lập bảng biến thiên vẽđồ thị hàm số: : y= −3x2 + +x
(P)
b) Tìm tọa độ giao điểm (P) đường thẳng (d): y=2x−3
Câu (3 điểm):
a) Giải phương trình: 4x2 +2x+10=3x+1 b) Giải phương trình: − − = −
−
1
2( 1)
x x
x x
c) Giải hệ phương trình:
− =
+ +
+ = −
+ +
3
41
2
2
14
2
x y
x y
Câu (3 điểm):
1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A( -2 ; ); B( 1;3); C ( ; 1) a) Tọa độ trung điểm I đoạn thẳng AC tọa độ trọng tâm
tam giác ABC
b) Tìm tọa độđiểm M biết MA−2BM=3AC
2) Cho góc α, biết cosα =36
77 < <α
0
90 180 Tính
α α
=sin −3tan
P
3) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có A(1,2), B(-2;1), C(-1;4) Tìm tọa độ trực tâm H tam giác ABC
Câu (1 điểm)
Cho ba số dương a,b,c chứng minh rằng: + + + ≥ 1 1 1
a b c
b c a