Đề cương ôn thi vào lớp 10 môn Toán

-Ứng dụng tính chất đặc biệt của tam giác cân, tam giác đều, trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông, hình thang cân, hình chữ nhật, … -Sử dụng các yếu tố của đường tròn: hai d[r]

Nguyễn Tuấn Cường Trường THCS Thái Sơn – An Lão - Hải Phòng ĐỀ CƯƠNG ÔN THI VÀO LỚP 10 (Tổng số 42 tiết) =========================================== I VÒNG 1: ( 18 TIẾT): NHỮNG NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN A.Đại số: I.Căn bậc hai: Khái niệm, đẳng thức, ĐKXĐ, các phép biến đổi (2 tiết ) II.Phương trình, bất ph/trình, hệ ph/ trình bậc ẩn: Dạng, ph/pháp giải (2 tiết ) III.Hàm số bậc nhất, bậc hai: Đ/n, t/c, đồ thị, tương giao các đồ thị (2 tiết ) IV.Giải bài toán cách lập hệ phương trình, phương trình (2 tiết ) V.Phương trình bậc hai: Dạng, công thức nghiệm, Định lý Viet, ứng dụng (2 tiết ) B.Hình học: I Hệ thức lượng tam giác vuông Tỉ số lượng giác góc nhọn (2 tiết ) II Chứng minh Bằng – Song song; vuông góc - Đồng quy; thẳng hàng (2 tiết ) III.Chứng minh hai tam giác đồng dạng Hệ thức hình học (2 tiết ) IV.Tứ giác nội tiếp: Khái niệm, tính chất, dấu hiệu (2 tiết ) II VÒNG 2: ( 12 TIẾT): NHỮNG CHUYÊN ĐỀ CHUYÊN SÂU I Cực trị đại số (2 tiết ) II Sự tương giao các đường thẳng và parabol trên mặt phẳng toạ độ (2 tiết ) III Hệ thức Vi-et và ứng dụng (2 tiết ) IV Cực trị hình học (2 tiết ) V Phương trình vô tỉ (2 tiết ) VI Bất đẳng thức (2 tiết ) III VÒNG 2: ( 12 TIẾT): THAM KHẢO MỘT SỐ ĐỀ THI VÀO THPT I Đề số 1: II Đề số 2: III Đề số 3: IV Đề số 4: Lop10.com Nguyễn Tuấn Cường Trường THCS Thái Sơn – An Lão - Hải Phòng VÒNG 1: ( 18 TIẾT) NHỮNG NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN §1.CĂN BẬC HAI A.KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.Khái niệm x là bậc hai số không âm a  x2 = a Kí hiệu: x  a 2.Điều kiện xác định biểu thức A Biểu thức A xác định  A  3.Hằng đẳng thức bậc hai A A  A2  A    A A  4.Các phép biến đổi thức +) A.B  A B A  0; B   +) A A  B B +) A 2B  A B B   +) A  A.B B B A.B  0; B   +) A  0; B    m A  B m  A2  B A B   B  0; A  B  A  0; B  0; A  B +) n A  B n  AB A B +) A  B  m  m.n  n   m n  m n m  n  A với  m.n  B B.MỘT SỐ VÍ DỤ VD1.Thu gọn, tính giá trị các biểu thức Lop10.com Nguyễn Tuấn Cường  Trường THCS Thái Sơn – An Lão - Hải Phòng    3 2 B   2   1 A   2  3  C  3 2  6 D 2  2 Giải A  6   27    34 B   2   1  1 C   2 1     D     32 2     2 1        1    1    1 2 2  2  42  42 2  D       D  x2  x 2x  x VD2.Cho biểu thức y  1 x  x 1 x a)Rút gọn y Tìm x để y = b)Cho x > Chứng minh y  y  c)Tìm giá trị nhỏ y Giải x  x  1 x x 1   a) y  1  x x 1 1 x 1  x  x x  x 1 x y   x  x   x  x    x 1 x             x 20 x 2 x 4 (Ở đây ta có thể áp dụng giải phương trình bậc hai cách đặt ẩn phụ) b) Có y  y  x  x  x  x Do x   x  x  x  x   x  x  x  x y y 0     1  1 1 c) Có: y  x  x  x  x  x  x     x      4  2 4 1 1 Vậy Min y   x   x   x  2 VD3.So sánh hai số sau a  1997  1999 và b  1998 Giải 2 Lop10.com Nguyễn Tuấn Cường Có Trường THCS Thái Sơn – An Lão - Hải Phòng a  1998   1998    1998   1998    2.1998  19982   2.1998  19982  1998 Vậy a < b C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN 1.Thực phép tính, rút gọn biểu thức A   2  57  40 B  1100  44  176  1331 C    2002 2003  2002 D  72   4,5  27 3 3  3 E 62 4  12      3 2 2    F   15   15 G  4  4 H   60  45  12 I 94  94   72  K  3 7   14 12 L M 5   50  24 20  2   75  3 3 N  3 3  12  20 P 18  27  45 Q  2  52     2  R   13  48 2.Tính giá trị biểu thức 1 1 A  a  ;b a 1 b 1 74 74 B  5x  5x  x   Lop10.com Nguyễn Tuấn Cường Trường THCS Thái Sơn – An Lão - Hải Phòng  2x  2x  x    2x   2x 3.Chứng minh 1 a)     3 12 C b) c)    1 2  2  2  2  2 1 d) S  là số nguyên    1 2 99  100    x  2x  2x  x  ; B x 2 x 2 a) Rút gọn A và B b) Tìm x để A = B x 1 5.Cho A  Tìm số nguyên x để A nhận giá trị nguyên x 3 6.Tìm x, biết: x  x 1 a) 4  x  81  36 b) 3 c) x 4.Cho A  x x 5 1 x4 §2.HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN A.KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.Định lý Pitago ABC vuông A  AB2  AC2  BC2 2.Hệ thức lượng tam giác vuông Lop10.com Nguyễn Tuấn Cường Trường THCS Thái Sơn – An Lão - Hải Phòng A B H C 1) AB2 = BH.BC; AC2 = CH.BC 2) AB.AC = AH.BC 3) AH2 = BH.HC 1 4)   2 AH AB AC2 Kết quả: a -Với tam giác cạnh là a, ta có: h  ; 3.Tỉ số lượng giác góc nhọn Đặt ACB  ; ABC   đó: a2 S AB AH AC HC AB AH AC HC  ; cos   ; tg   ; cot g   BC AC BC AC AC HC AB AH b  a sin B  acosC  ctgB  ccot gC c  acosB  asinC  bctgB  btgC Kết suy ra: 1) sin   cos; cos  sin; tg  cotg; cot g  tg sin  cos 2)  sin   1;  cos <1; tg  ; cot g  cos sin 1 3) sin   cos 2  1; tg.cot g  1;   cot g;   tg sin  cos 2 4) Cho ABC nhọn, BC = a; AC = b; AB = c đó: a  b  c  2bc.cosA; SABC  bcsin A sin   B.MỘT SỐ VÍ DỤ VD1.Cho tam giác ABC có AB>AC, kẻ trung tuyến AM và đường cao AH Chứng minh: BC2 2 a) AB  AC  2AM  2 b) AB  AC  2BC.MH VD2.Cho hình thang ABCD (AB//CD có AB = 3cm; CD = 14cm; AC = 15cm; BD = 8cm a) Chứng minh AC vuông góc với BD b) Tính diện tích hình thang VD3.Tính diện tích hình bình hành ABCD biết AD = 12; DC = 15;  ADC=700 C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN Lop10.com Nguyễn Tuấn Cường Trường THCS Thái Sơn – An Lão - Hải Phòng 1.Cho tam giác ABC vuông cân A, trung tuyến BD Gọi I là hình chiếu C trên BD, H là hình chiếu I trên AC Chứng minh: AH = 3HI 2.Qua đỉnh A hình vuông ABCD cạnh a, vẽ đường thẳng cắt BC E và cắt đường thẳng DC F 1 Chứng minh:   AE AF2 a 3.Cho tam giác cân ABC có đáy BC = a;  BAC =  ;   450 Kẻ các đường cao AE, BF a) Tính các cạnh tam giác BFC theo a và tỉ số lượng giác góc  b) Tính theo a, theo các tỉ số lượng giác góc  và 2 , các cạnh tam giác ABF, BFC c) Từ các kết trên, chứng minh các đẳng thức sau: 1) sin 2  2sin cos; 2) cos2 =cos 2  sin ; 2tg 3) tg2   tg 2 §3.PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH (Bậc nhất) A.KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.Phương trình bậc ẩn -Quy đồng khử mẫu -Đưa dạng ax + b = (a ≠ 0) b -Nghiệm là x  a 2.Phương trình chứa ẩn mẫu -Tìm ĐKXĐ phương trình -Quy đồng và khử mẫu -Giải phương trình vừa tìm -So sánh giá trị vừa tìm với ĐKXĐ kết luận 3.Phương trình tích Để giái phương trình tích ta cần giải các phương trình thành phần nó Chẳng hạn: Với phương trình A(x).B(x).C(x) = Lop10.com Nguyễn Tuấn Cường Trường THCS Thái Sơn – An Lão - Hải Phòng  A x      B x   C x     4.Phương trình có chứa hệ số chữ (Giải và biện luận phương trình) Dạng phương trình này sau biến đổi có dạng ax + b = Song giá trị cụ thể a, b ta không biết nên cần đặt điều kiện để xác định số nghiệm phương trình b -Nếu a ≠ thì phương trình có nghiệm x  a -Nếu a = và b = thì phương trình có vô số nghiệm -Nếu a = và b ≠ thì phương trình vô nghiệm 5.Phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối Cần chú ý khái niệm giá trị tuyệt đối biểu thức A A  A   A A  6.Hệ phương trình bậc Cách giải chủ yếu dựa vào hai phương pháp cộng đại số và Chú ý phương pháp đặt ẩn phụ số trường hợp xuất các biểu thức giống hai phương trình 7.Bất phương trình bậc Với bất phương trình bậc thì việc biến đổi tương tự với phương trình bậc Tuy nhiên cần chú ý nhân và hai vế với cùng số âm thì phải đổi chiều bất phương trình B.MỘT SỐ VÍ DỤ VD1.Giải các phương trình sau a) x  3   x  1  c) Giải b) 13   2x  x  21 2x  x  7x 20x  1,5  x    d) x   x   10 (*) a) x  3   x  1   2x   2x   5  7 (Vô lý) Vậy phương trình vô nghệm 7x 20x  1,5  x     21x  120x  1080  80x   179x  1074  x  Vậy phương trình có nghiệm x = b) 13 13      2x  x  21 2x  x  x  32x   2x  x  3x  3 ĐKXĐ: x  3; x    13 x  3  x  3x  3  2x    13x  39  x   12x  42 c)  x   DKXD  x  x  12   x  3x       x  4  DKXD Lop10.com Nguyễn Tuấn Cường Trường THCS Thái Sơn – An Lão - Hải Phòng Vậy phương trình có nghiệm x = - d) Lập bảng xét dấu x x–3 x-7 -Xét x < 3: - - + - (*)   x  7  x   10  24  4x  10  4x  14  x  + + (loại) -Xét  x  : (*)  x   7  x   10  2x  18  10  2x  8  x  (t/mãn) -Xét x  : 17 (*)  x   x    10  4x  24  10  4x  34  x  (loại) Vậy phương trình có nghiệm x = VD2.Giải và biện luận phương trình sau x  a  b x  b  a b2  a a) (1)   a b ab a x  1 ax    b) (2) x 1 x 1 x2 1 Giải a) ĐK: a ≠ 0; b ≠ (1)  b x  a  b   a x  b  a   b  a  bx  ab  b  ax  ab  a  b  a  b  a x  b  a b  a  b  a b  a   b  a  ba -Nếu b – a =  b  a thì phương trình có vô số nghiệm Vậy: -Với b ≠ a, phương trình có nghiệm x = 2(b + a) -Với b = a, phương trình có vô số nghiệm -Nếu b – a ≠  b  a thì x  b) ĐKXĐ: x  1 (2)  ax-1x  1  x  1  a x  1  ax  ax  x   2x   ax  a  a  1x  a  a 3 a 1 -Nếu a + =  a  1 thì phương trình vô nghiệm Vậy: -Nếu a + ≠  a  1 thì x  Lop10.com Nguyễn Tuấn Cường Trường THCS Thái Sơn – An Lão - Hải Phòng -Với a ≠ -1 và a ≠ -2 thì phương trình có nghiệm x  a 3 a 1 -Với a = -1 a = -2 thì phương trình vô nghiệm VD3.Giải các hệ phương trình sau     x  y x  y  x  5y  a)  b)  3x  2y    3  x  y x  y Giải  x  2y  3z   c)  x  3y  z   x  5y    x   5y  x  5y   x   5y  x   5y x  a)      3x  2y  3 7  5y   2y  21  17y   y  y   x  5y  3x  15y  21 17y  17 y      3x  2y  3x  2y  3x  2y   x  b) ĐK: x   y 1 đặt  u; v xy xy   2v  u  v  v       Khi đó, có hệ  5 u  v  u  v  u  8   x  y  x  Thay trở lại, ta được:   x  y   y   x  2y  3z   x   5y  x   5y x      c)  x  3y  z   1  5y  2y  3z   7y  3z    y   x  5y  1  5y  3y  z  2y  z  z      C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN 1.Giải các phương trình sau x  17 3x  a) x    x    3x  1  82 b)   2 x 1 x  x  x  x 1 x 7x  c)    d)   65 64 63 62 x  x   x2 x2 e)   f) x 3 5 x  x x x   g) 3x   2x  h)  x  2x   i)  3x x  3  3x  1x   k) Lop10.com 4x  x  2x  x     10 Nguyễn Tuấn Cường Trường THCS Thái Sơn – An Lão - Hải Phòng 2.Giải và biện luận các phương trình sau xa xb a) b a a b b) a x  1  3a  x ax-1 x  a a  c)   a+1  a a  a a 1 a 1 d)    x  a x 1 x  a x 1 3.Giải các hệ phương trình sau  x  y  24  a)  x y    9 3x  4y   b)  2x  5y  12  2u  v  c)  2 u  2v  66 2 m  1x  y  4.Cho hệ phương trình  mx  y  m a) Giải hệ với m = - b) Tìm m để hệ có nghiệm cho x + y dương m  n  p  21 n  p  q  24  d)  p  q  m  23 q  m  n  22 §4.CHỨNG MINH BẰNG NHAU – SONG SONG, VUÔNG GÓC - ĐỒNG QUY, THẲNG HÀNG A.KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.Tam giác A  A '; B  B'; C  C' a) Khái niệm: ABC  A 'B'C'  AB  A 'B'; BC  B'C'; AC  A 'C' b) Các trường hợp hai tam giác: c.c.c; c.g.c; g.c.g c) Các trường hợp hai tam giác vuông: hai cạnh góc vuông; cạnh huyền và cạnh góc vuông; cạnh huyền và góc nhọn d) Hệ quả: Hai tam giác thì các đường cao; các đường phân giác; các đường trung tuyến tương ứng 2.Chứng minh hai góc -Dùng hai tam giác hai tam giác đồng dạng, hai góc tam giác cân, đều; hai góc hình thang cân, hình bình hành, … -Dùng quan hệ các góc trung gian với các góc cần chứng minh -Dùng quan hệ các góc tạo các đường thẳng song song, đối đỉnh -Dùng mối quan hệ các góc với đường tròn.(Chứng minh góc nội tiếp cùng chắn cung hai cung đường tròn, …) 3.Chứng minh hai đoạn thẳng -Dùng đoạn thẳng trung gian -Dùng hai tam giác Lop10.com 11 Nguyễn Tuấn Cường Trường THCS Thái Sơn – An Lão - Hải Phòng -Ứng dụng tính chất đặc biệt tam giác cân, tam giác đều, trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông, hình thang cân, hình chữ nhật, … -Sử dụng các yếu tố đường tròn: hai dây cung hai cung nhau, hai đường kính đường tròn, … -Dùng tính chất đường trung bình tam giác, hình thang, … 4.Chứng minh hai đường thẳng, hai đoạn thẳng song song -Dùng mối quan hệ các góc: So le nhau, đồng vị nhau, cùng phía bù nhau, … -Dùng mối quan hệ cùng song song, vuông góc với đường thẳng thứ ba -Áp dụng định lý đảo định lý Talet -Áp dụng tính chất các tứ giác đặc biệt, đường trung bình tam giác -Dùng tính chất hai dây chắn hai cung đường tròn 5.Chứng minh hai đường thẳng vuông góc -Chứng minh chúng song song với hai đường vuông góc khác -Dùng tính chất: đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại -Dùng tính chất đường cao và cạnh đối diện tam giác -Đường kính qua trung điểm dây -Phân giác hai góc kề bù 6.Chứng minh ba điểm thẳng hàng -Dùng tiên đề Ơclit: Nếu AB//d; BC//d thì A, B, C thẳng hàng -Áp dụng tính chất các điểm đặc biệt tam giác: trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, … -Chứng minh tia tạo ba điểm tạo thành góc bẹt: Nếu góc ABC 1800 thì A, B, C thẳng hàng -Áp dụng tính chất: Hai góc có hai cạnh nằm trên đường thẳng và hai cạnh nằm trên hai nửa mặt phẳng với bờ là đường thẳng trên -Chứng minh AC là đường kính đường tròn tâm B 7.Chứng minh các đường thẳng đồng quy -Áp dụng tính chất các đường đồng quy tam giác -Chứng minh các đường thẳng cùng qua điểm: Ta hai đường thẳng cắt điểm và chứng minh đường thẳng còn lại qua điểm đó -Dùng định lý đảo định lý Talet B.MỘT SỐ VÍ DỤ VD1.Cho nửa lục giác ABCD nội tiếp nửa đường tròn (O; R) Hai tiếp tuyến B và D cắt T a) Chứng minh OT//AB.(góc BAD = góc TOD) b) Chứng minh ba điểm O, C, T thẳng hàng.(phân giác BOD; song song với AB) 3R c) Tính chu vi và diện tích tam giác TBD theo R.(P = 3R ; S = ) d) Tính theo R diện tích giới hạn hai cạnh TB, TD và cung BCD   (S = R    3  VD2.Cho nửa đường tâm O đường kính AB = 2R, M là trung điểm AO Các đường vuông góc với AB M và O cắt nửa đường tròn D và C Lop10.com 12 Nguyễn Tuấn Cường Trường THCS Thái Sơn – An Lão - Hải Phòng R ) b) Tính các góc tứ giác ABCD.(ABD = 300; ABC = 450; BCD = 1200; ADC = a) Tính AD, AC, BD và DM theo R.(AD = R; AC = R ; BD = R ; DM = 1350) c) Gọi H là giao điểm AC và BD; I là giao điểm AD và BC Chứng minh IH vuông góc với AB.(AC, BD là các đường cao tam giác IAB) VD3.Cho tam giác ABC cạnh a Kéo dài BC đoạn CM = a a) Tính các góc tam giác ACM.(ACM = 1020; CAM = CMA = 300) b) Chứng minh Am vuông góc với AB.(MAB = 900) c) Kéo dài CA đoạn AN = a và kéo dài AB đoạn BP = a Chứng tỏ tam giác MNP đều.(tgMCN = tgNAP = tgPBM) C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN 1.Cho hình vuông ABCD Lấy điểm M trên đường chéo BD Gọi E, F là hình chiếu M lên AB và AD a) Chứng tỏ: CF = DE; CF vuông góc với DE Từ đó tìm quỹ tích giao điểm N CF và DE (tgCFD = tgDAE; quỹ tích N là ¼ đường tròn-cung tròn DNO có đường kính CD) b) Chứng tỏ: CM = EF và CM vuông góc với EF (tgCKM = tgFME, K là giao FM và CB) c) Chứng minh các đường thẳng CM, BF, DE đồng quy.(CM, ED, FB là ba đường cao tam giác CEF) 2.Cho tam giác ABC vuông A Đường tròn qua tâm O qua A tiếp xúc với BC B và đường tròn tâm I qua A tiếp xúc với BC C a) Chứng minh hai đường tròn (O) và (I) tiếp xúc A.(tgOAB; tgIAC cân; OAB + CAI + BAC = 1800; O, I, A thẳng hàng) b) Từ O kẻ đường vuông góc với AB và từ I kẻ đường vuông góc với AC Chứng minh chúng cắt trung điểm M BC.(MA = MB = MC) c) Chứng minh MO vuông góc với MI.(OMI = 900) d) Kéo dài BA cắt đường tròn tâm I P Chứng minh C, P, I thẳng hàng.(tính chất góc nội tiếp PIA + AIC = 1800) 3.Cho hai đường tròn (O), (O’) cắt A và B cho góc OAO’ 900 Qua A kẻ cát tuyến MAM’ vuông góc với AP đó P là trung điểm OO’ M, M’ theo thứ tự là giao điểm cát tuyến với hai đường tròn (O); (O’) Chứng minh: a) AM = AM’.(A là trung điểm DC; OC, O’D vuông góc với MM’) b) Tam giác ABM cân.(tgOAC = tgOHA) c) BM vuông góc với BM’.(AB = AM’; t/c trung tuyến tam giác vuông) d) Với vị trí nào cát tuyến MAM’ thì MM’có độ dài lớn nhất.(MM’=2OO’; MM’//OO’) -§5.PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ax2 + bx + c = (a ≠0) (1) *Trong trường hợp giải và biện luận, cần chú ý a = phương trình trở thành bậc ẩn (§5) Lop10.com 13 Nguyễn Tuấn Cường Trường THCS Thái Sơn – An Lão - Hải Phòng A.KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.Các dạng và cách giải Dạng 1: c = đó x  1  ax  bx   x ax+b     b x a  Dạng 2: b = đó c 1  ax  c   x  a c c -Nếu  thì x   a a c -Nếu  thì phương trình vô nghiệm a Dạng 3: Tổng quát CÔNG THỨC NGHIỆM TỔNG QUÁT CÔNG THỨC NGHIỆM THU GỌN   b  4ac  '  b'2  ac   : phương trình có nghiệm phân biệt b   b   x1  ; x2  2a 2a   : phương trình có nghiệm kép b x1  x  2a   : phương trình vô nghiệm  '  : phương trình có nghiệm phân biệt  b'  '  b'  ' x1  ; x2  a a  '  : phương trình có nghiệm kép  b' x1  x  a  '  : phương trình vô nghiệm Dạng 4: Các phương trình đưa phương trình bậc hai Cần chú ý dạng trùng phương, phương trình vô tỉ và dạng đặt ẩn phụ, còn dạng chứa ẩn mẫu và dạng tích đã nói §5 3.Hệ thức Viet và ứng dụng -Nếu phương trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có hai nghiệm x1, x2 thì: b  S  x  x    a  P  x x  c  a u  v  S -Nếu có hai số u và v cho  S  4P  thì u, v là hai nghiệm phương uv  P  trình x – Sx + P = c -Nếu a + b + c = thì phương trình có nghiệm là x1 = 1; x2 = a c -Nếu a – b + c = thì phương trình có nghiệm là x1 = -1; x2 =  a 4.Điều kiện có nghiệm phương trình ax + bx + c = (a ≠0) Lop10.com 14 Nguyễn Tuấn Cường Trường THCS Thái Sơn – An Lão - Hải Phòng -(1) có nghiệm   ; có nghiệm phân biệt     -(1) có nghiệm cùng dấu  P     -(1) có nghiệm dương P  S      -(1) có nghiệm âm P  S   -(1) có nghiệm trái dấu ac < P < 5.Tìm điều kiện tham số để nghiệm phương trình thỏa mãn điều kiện nào đó 1 a) x1   x  ; b) x12  x 2  m; c)  n x1 x d) x12  x 2  h; e) x13  x 23  t; Trong trường hợp này cần sử dụng hệ thức Viet và phương pháp giải hệ phương trình B.MỘT SỐ VÍ DỤ VD1.Giải các phương trình sau a) 3x  2x  d) 2x    1x   b)  x   2 0 c) x  3x  10  e) x  x   f ) x  1x  x  3x    Giải x  a) 3x  2x   x 3x      x    Vậy phương trình có nghiệm phân biệt … b)  x    x  16  x  4 Vậy phương trình có nghiệm phân biệt … c) a  1; b  3; c  10   b  4ac  32  4.1.10   49   b   3   b   3    2; x2    5 2a 2.1 2a 2.1 Vậy phương trình có nghiệm phân biệt … d) a  2; b   1; c   2 x1  Có a  b  c      2  c 1 2 4 Theo hệ thức Viet, có: x1  1; x    a 2 Lop10.com 15 Nguyễn Tuấn Cường Trường THCS Thái Sơn – An Lão - Hải Phòng e) Đặt t  x  , ta có pt mới: t2 – 4t + = Có a + b + c = + (-4) + = Vậy t1 = 1; t2 = Suy ra: x1 = 1; x2 = f) x  1x  x  3x     x  5x  x  5x   Đặt x2 + 5x + = t, ta có: t  t (t + 2) =  t  2t    t  1t  3     t  3  x  5x    x  5x    5  13 5  13 Suy ra:     x1  ; x2  2   x  5x   3  x  5x   Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt … VD2.Cho phương trình x2 + 3x – m = (1) a) Giải phương trình với m = b) Giải và biện luận theo m số nghiệm phương trình (1) c) Tìm m để (1) có nghiệm x= -2 Tìm nghiệm còn lại d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn các điều kiện sau: 2x1 + 3x2 = 13 Nghiệm này lớn nghiệm ba đơn vị x12 + x22 = 11 1 e) Chứng tỏ ; là nghiệm phương trình mx2 – 3x – = Trong đó x1, x2 x1 x là hai nghiệm (1) f) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu Em có nhận xét gì hai nghiệm đó Giải a) Với m = ta có: x2 + 3x – = (a = 1; b = 3; c = -4) Nhận thấy: a + b + c = + + (-4) = c Theo hệ thức Viet, có: x1 = 1; x2 =  4 a b) có:   b  4ac   4m     4m   m    b   3   4m  b   3   4m x1   ; x2   2a 2a     4m   m   b x1  x   2a     4m   m   phương trình vô nghiệm c) Phương trình (1) có nghiệm x = -2, đó: (-2)2 + 3(-2) – m =  m = -2 -Tìm nghiệm thứ hai Lop10.com 16 Nguyễn Tuấn Cường Trường THCS Thái Sơn – An Lão - Hải Phòng cách 1: Thay m = -2 vào phương trình đã cho: x2 + 3x + = c có a – b + c = – + = nên x1 = -1; x2 =  2 a Vậy nghiệm còn lại là x = - b b Cách 2: Ta có x1 + x2 =   x    x1  3  2   1 a a c c m Cách 3: Ta có x1x2 =  x  : x1   1 a a 2    b  x1  x    a d) Phương trình có hai nghiệm thỏa mãn 2x1 + 3x2 = 13   x x  c  a 2x  3x  13   m      x1  x  3 giải hệ tìm x1 = -22; x2 = 19; m = 418  x1x   m  2x1  3x  13 -Tương tự ta tìm (x1 = -2; x2 = -3; m = -6); (m=1) x1  x 1  x x  x x  m  4m  3  1 2 e) Ta có  mà          0 1 1 m m m m m         x1 x x1.x m 1 Vậy ; là hai nghiệm phương trình x  x    mx  3m   m m x1 x    m   f) Phương trình có hai nghiệm cùng dấu     m0 P   m  Hai nghiệm này luôn âm Vì S = - C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN 1.Giải các phương trình sau a) x  5x  e) x  7x  12  g)   b) 2x   c) x  11x  30  d) x   x   f) x   2 x4   0 x  x x   x x   i) 2x  8x  2x  4x   12 5 x 2 60 h) x  1x  x  x    20 k) x  Lop10.com 1   4,5 x   70 x2 x  17 Nguyễn Tuấn Cường Trường THCS Thái Sơn – An Lão - Hải Phòng 2.Cho phương trình x  3x   , có hai nghiệm x1, x2 Không giải phương trình Hãy tính giá trị các biểu thức sau: 3x12  5x1x  3x 2 2 3 A  x1  x ; B  x1  x ; C 4x13 x  4x1x 23 3.Cho phương trình x2 + mx + m+3 = a) Giải phương trình với m = -2 b) Giải và biện luận số nghiệm phương trình c) Tính x12 + x22 ; x13 + x23 theo m d) Xác định giá trị m để x12 + x22 = 10 e) Tìm m để 2x1 + 3x2 = f) Tìm m để phương trình có nghiệm x = -3 Tính nghiệm còn lại g) Tìm m để phương trình có nghiệm cùng dấu dương 4.Cho phương trình bậc hai: mx2 – (5m-2)x + 6m – = a) Giải phương trình với m = b) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm phân biệt c) Tìm m để phương trình có nghiệm đối d) Tìm m để phương trình có nghiệm là nghịch đảo e) Tìm m để phương trình có nghiệm là x = Tìm nghiệm còn lại f) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm 5.Cho phương trình x2 – mx + m – = 0, ẩn x, tam số m a) Chứng tỏ phương trình có hai nghiệm x1, x2 với m Tính nghiệm kép (nếu có) cùng giá trị tương ứng m b) Đặt A = x12 + x22 – 6x1x2 +) Chứng minh A = m2 – 8m + +) Tìm m để A = +) Tìm giá trị nhỏ A và giá trị tương ứng m 6*.Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = với abc ≠ a) Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm x1; x2 b) Lập phương trình nhận hai số x1   ; x    làm nghiệm c) Lập phương trình nhận hai số x1; x làm nghiệm 1 d) Lập phương trình nhận hai số ; làm nghiệm x1 x x x e) Lập phương trình nhận hai số ; làm nghiệm x x1 - §6.CHỨNG MINH HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG HỆ THỨC HÌNH HỌC Lop10.com 18 Nguyễn Tuấn Cường Trường THCS Thái Sơn – An Lão - Hải Phòng A.KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.Tam giác đồng dạng A  A '; B  B'; C  C'  -Khái niệm: ABC : A 'B'C'  AB AC BC  A 'B'  A 'C'  B'C' -Các trường hợp đồng dạng hai tam giác: c – c – c; c – g – c; g – g -Các trường hợp đồng dạng hai tam giác vuông: góc nhọn; hai cạnh góc vuông; cạnh huyền - cạnh góc vuông… *Tính chất: Hai tam giác đồng dạng thì tỉ số hai đường cao, hai đường phân giác, hai đường trung tuyến tương ứng, hai chu vi tỉ số đồng dạng; tỉ số hai diện tích bình phương tỉ số đồng dạng 2.Phương pháp chứng minh hệ thức hình học -Dùng định lí Talet, tính chất đường phân giác, tam giác đồng dạng, các hệ thức lượng tam giác vuông, … Giả sử cần chứng minh MA.MB = MC.MD -Chứng minh hai tam giác MAC và MDB đồng dạng hai tam giác MAD và MCB -Trong trường hợp điểm đó cùng nằm trên đường thẳng thì cần chứng minh các tích trên cùng tích thứ ba Nếu cần chứng minh MT2 = MA.MB thì chứng minh hai tam giác MTA và MBT đồng dạng so sánh với tích thứ ba Ngoài cần chú ý đến việc sử dụng các hệ thức tam giác vuông; phương tích điểm với đường tròn B.MỘT SỐ VÍ DỤ VD1.Cho hình bình hành ABCD Từ đỉnh A kẻ cát tuyến bất kì cắt đường chéo BD E, cắt cạnh BC F và cắt cạnh CD G Chứng minh: a) Các tam giác DAE và BFE đồng dạng b) Các tam giác DGE và BAE đồng dạng c) AE2 = EF.EG d) Tích BF.DG không đổi cát tuyến qua A thay đổi VD2.Cho hình bình hành ABCD Từ C kẻ CM vuông góc với AB, CN vuông góc với AD Giả sử AC > BD Chứng minh rằng: AB.AM + AD.AN = AC2 C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN 1.Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Các đường cao AD, BE, CF cắt H Gọi M là trung điểm BC Đường thẳng qua H vuông góc với MH cắt AB P, cắt AC Q Chứng minh: a) AHP ~ CMH b) QHA ~ HMB c) HP = HQ 2.Cho tam giác ABC Gọi M là trung điểm BC Lấy P trên cạnh AB, Q trên cạnh AC cho góc PMQ 600 Lop10.com 19 Nguyễn Tuấn Cường Trường THCS Thái Sơn – An Lão - Hải Phòng a) Chứng minh MBP ~ QCM Từ đó suy PB.CQ có giá trị không đổi b) Kẻ MH vuông góc với PQ, chứng minh MBP ~ QMP; QCM ~ QMP c) CHứng minh độ dài MH không đổi P, Q chạy trên AB, AC và thỏa mãn điều kiện góc PMQ 600 3.Cho tam giác ABC có BC = a; AC = b; AB = c (b > c) và các phân giác BD, CE a) Tính độ dài CD, BE suy CD > BE b) Vẽ hình bình hành BEKD, chứng minh CE > EK c) Chứng minh CE > BD §7.GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH A.KIẾN THỨC CƠ BẢN Phương pháp giải Bước Gọi ẩn và đặt điều kiện: Gọi (hai) số điều chưa biết làm ẩn và đặt điều kiện cho ẩn Bước Biểu diễn các đại lượng chưa biết còn lại qua ẩn Bước Lập phương trình (hệ phương trình): Dựa vào mối quan hệ đại lượng đã biết và chưa biết Bước Giải phương trình (hệ phương trình) vừa lập trên Bước Kết luận: Kiểm tra giá trị tìm với điều kiện kết luận *Chú ý việc tóm tắt bài toán trước làm B.MỘT SỐ VÍ DỤ 1.Để đoạn đường từ A đến B, xe máy đã hết 3h20 phút, còn ôtô hết 2h30phút Tính chiều dài quãng đường AB biết vận tốc ôtô lớn vận tốc xe máy 20km/h Quãng đường (km) Xe máy x Ôtô x Từ đó có phương trình Thời gian (h) 10 3h20ph = h 2h30ph = h Vận tốc (km/h) 10 3x x:  10 2x x:  2x 3x   20 , giải x = 200 km 10 Vận tốc (km/h) Thời gian (h) Lop10.com Quãng đường (km) 20