Hệ phương trình tương đương: Hai hệ phơng trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm II.PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH: Giải hệ phương trình bằng phương pháp[r]
(1)ĐẠI SỐ CĂN THỨC – RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỦ ĐỀ 1: I CĂN THỨC: Kiến thức bản: Điều kiện tồn : A Có nghĩa A 0 Hằng đẳng thức: Liên hệ phép nhân và phép khai phương: Liên hệ phép chia và phép khai phương: Đưa thừa số ngoài căn: Đưa thừa số vào căn: A B A B A B A B A B A Khử thức mẫu: B C A B A2 A A.B A B A A B B ( A 0; B 0) ( B 0) ( A 0; B 0) ( A 0; B 0) A.B B ( A 0; B 0) ( B 0) C( A B ) A B A B Trục thức mẫu: Bài tập: Tìm điều kiện xác định: Với giá trị nào x thì các biểu thức sau đây xác định: 1) x 3) x 3 2) x2 4) 5 x 6 2 6) x 5) x 2x 3 3x 7) Rỳt gọn biểu thức 8) 1) 12 48 3) 32 18 5) 12 75 27 2) 5 20 45 4) 12 27 48 6) 18 162 7) 20 45 8) ( 2) 2 9) 11) 1 1 10) 2 43 2 2 12) 13) ( 28 14 7) 14) ( 14 ) 28 15) ( ) 120 16) (2 ) 24 (2) 2 17) (1 ) ( 3) ( 2) ( 1) 18) 2 19) ( 3) ( 2) 20) ( 19 3)( 19 3) 7 21) x ( x 12) ( x 2) 22) 7 7 7 2 23) x y ( x xy y ) ( x 2 y ) Giải phương trình: 1) x 2) x 3 3) 9( x 1) 21 4) x 50 0 5) 3x 12 0 6) ( x 3) 9 7) x x 6 8) (2 x 1) 3 9) x 6 10) 4(1 x) 0 3 11) x 2 12) x II CÁC BÀI TOÁN RÚT GỌN: A.CÁC BƯỚC THỰC HIÊN: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (rồi rút gọn được) Tìm ĐKXĐ biểu thức: là tìm TXĐ phân thức kết luận lại Quy đồng, gồm các bước: + Chọn mẫu chung : là tích các nhân tử chung và riêng, nhân tử lấy số mũ lớn + Tìm nhân tử phụ: lấy mẫu chung chia cho mẫu để nhân tử phụ tương ứng + Nhân nhân tử phụ với tử – Giữ nguyên mẫu chung Bỏ ngoặc: cách nhân đa thức dùng đẳng thức Thu gọn: là cộng trừ các hạng tử đồng dạng Phân tích tử thành nhân tử ( mẫu giữ nguyên) Rút gọn B.BÀI TẬP LUYỆN TẬP: x 2x x x x x với ( x >0 và x ≠ 1) Bài Cho biểu thức : A = 1) Rút gọn biểu thức A 2) Tính giá trị biểu thức A x 3 2 a4 a 4 a 2 Bài Cho biểu thức : P = 1) Rút gọn biểu thức P 2) Tìm giá trị a cho P = a + 4 a 2 x 1 x x x x x 1 Bài 3: Cho biểu thức A = 1/.Đặt điều kiện để biểu thức A có nghĩa a ( Với a ; a ) (3) 2/.Rút gọn biểu thức A 3/.Với giá trị nào x thì A< -1 Bài 4: Cho biểu thức A = a) Rút gọn A b) Tìm x để A = - (1 x x x x )(1 ) x 1 x1 Bài 5: Cho biểu thức : B = x 2 x a; Tìm TXĐ rút gọn biểu thức B b; Tính giá trị B với x =3 c; Tìm giá trị x để A x 1 x x 1 Bài 6: Cho biểu thức : P = a; Tìm TXĐ b; Rút gọn P c; Tìm x để P = ( Với x 0; x 1 ) x x x 2 25 x 4 x 1 a 1 ):( a Q=( a1 a Bài 7: Cho biểu thức: a; Tìm TXĐ rút gọn Q b; Tìm a để Q dương c; Tính giá trị Biểu thức biết a = 9- a 2 ) a1 a a a a a 2 a a a Bài 8: Cho biểu thức: M = a/ Tìm ĐKXĐ M b/ Rút gọn M Tìm giá trị a để M = - CHỦ ĐỀ 2: HÀM SỐ - HÀM SỐ BẬC NHẤT I HÀM SỐ: Khái niệm hàm số * Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng x cho giá trị x, ta luôn xác định giá trị tương ứng y thì y gọi là hàm số x và x gọi là biến số * Hàm số có thể cho công thức cho bảng II HÀM SỐ BẬC NHẤT: Kiến thức bản: Định nghĩa: Hàm số bậc có dạng: y ax b Trong đó a; b là các hệ số a 0 Như vậy: Điều kiện để hàm số dạng: y ax b là hàm số bậc là: a 0 Ví dụ: Cho hàm số: y = (3 – m) x - (1) Tìm các giá trị m để hàm số (1) là hàm số bậc Giải: Hàm số (1) là bậc m 0 m 3 (4) Tính chất: + TXĐ: x R + Đồng biến a Nghịch biến a Ví dụ: Cho hàm số: y = (3 – m) x - (2) Tìm các giá trị m để hàm số (2): + Đồng biến trên R + Nghịch biến trên R Giải: + Hàm số (1) Đồng biến m m + Hàm số (1) Nghịch biến m m Đồ thị: + Đặc điểm: Đồ thị hàm số bậc là đường thẳng cắt trục tung điểm có tung độ bằngb b a cắt trục hoành điểm có hoành độ + Từ đặc điểm đó ta có cách vẽ: x -b/a y b Vẽ đường thẳng qua hai điểm: -b/a ( trục hoành) và b ( trục tung) Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số : y = 2x + Giải: x y 0, Điều kiện để hai đường thẳng: (d1): y = ax + b; (d2): y = a,x + b, : , + Cắt nhau: (d1) cắt (d2) a a ' */ Để hai đường thẳng cắt trên trục tung thì cân thêm điều kiện b b ' */ Để hai đường thẳng vuông góc với thì : a.a , ' + Song song với nhau: (d1) // (d2) a a ; b b , ' + Trùng nhau: (d1) (d2) a a ; b b Ví dụ:Cho hai hàm số bậc nhất:y = (3–m)x+ (d1) và y=2x–m(d2) a/ Tìm giá trị m để đồ thị hai hàm số song song với b/ Tìm giá trị m để đồ thị hai hàm số cắt c/ Tìm giá trị m để đồ thị hai hàm số cắt điểm trên trục tung Giải: (5) 3 m 2 m 1 m 1 m m a/ (d1)//(d2) b/ (d1) cắt (d2) m 2 m 1 c/ (d1) cắt (d2) điểm trên trục tung m 2 m Hệ số góc đường thẳng y = ax + b là a + Cách tính góc tạo đường thẳng với trục Ox là dựa vào tỉ số lượng giác tg a Trường hợp: a > thì góc tạo đường thẳng với trục Ox là góc nhọn Trường hợp: a < thì góc tạo đường thẳng với trục Ox là góc tù ( 180 ) Ví dụ 1: Tính góc tạo đường thẳng y = 2x + với trục Ox Giải: Ta có: Tan=2 ~630 Vậy góc tạo đường thẳng y = 2x + với trục Ox là: 63 Ví dụ 2: Tính góc tạo đường thẳng y = - 2x + với trục Ox Ta có: Tan(1800-) =2 1800- =630 =1170 Vậy góc tạo đường thẳng y = - 2x + với trục Ox là: 117 CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP: (6) - Dạng1: Xác dịnh các giá trị các hệ số để hàm số đồng biến, nghịch biến, Hai đường thẳng song song; cắt nhau; trung Phương pháp: Xem lại các ví dụ trên -Dạng 2: Vẽ đồ thị hàm số y = ax + b Xem lại các ví dụ trên Xác định toạ độ giao điểm hai đường thẳng (d1): y = ax + b; (d2): y = a,x + b, Phương pháp: Đặt ax + b = a,x + b, giải phương trình ta tìm giá trị x; thay giá trị x vào (d1) (d2) ta tính giá trị y Cặp giá trị x và y là toạ độ giao điểm hai đường thẳng Tính chu diện tích các hình tạo các đường thẳng: Phương pháp: +Dựa vào các tam giác vuông và định lý Py ta go để tính độ dài các -Dạng 3: Tính góc tạo đường thẳng y = ax + b và trục Ox Xem lại các ví dụ trên -Dạng 4: Điểm thuộc đồ thị; điểm không thuộc đồ thị: Phương pháp: Ví dụ: Cho hàm số bậc nhất: y = ax + b Điểm M (x1; y1) có thuộc đồ thị không? Thay giá trị x1 vào hàm số; tính y0 Nếu y0 = y1 thì điểm M thuộc đồ thị Nếu y0 y1 thì điểm M không thuộc đồ thị -Dạng 5: Viết phương trình đường thẳng: Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng y = ax + b qua điểm P (x0; y0) và điểm Q(x1; y1) Phương pháp: + Thay x0; y0 vào y = ax + b ta phương trình y0 = ax0 + b (1) + Thay x1; y1 vào y = ax + b ta phương trình y1 = ax1 + b (2) + Giải hệ phương trình ta tìm giá trị a và b + Thay giá trị a và b vào y = ax + b ta phương tri9nhf đường thẳng cần tìm -Dạng 6: Chứng minh đường thẳng qua điểm cố định chứng minh đồng quy: Ví dụ: Cho các đường thẳng : (d1) : y = (m2-1) x + m2 -5 ( Với m 1; m -1 ) (d2) : y = x +1 (d3) : y = -x +3 a) C/m m thay đổi thì d1 luôn qua 1điểm cố định b) C/m d1 //d3 thì d1 vuông góc d2 c) Xác định m để đường thẳng d1 ;d2 ;d3 đồng qui Giải: a) Gọi điểm cố định mà đường thẳng d1 qua là A(x0; y0 ) thay vào PT (d1) ta có : y0 = (m2-1 ) x0 +m2 -5 Với m => m2(x0+1) -(x0 +y0 +5) =0 với m ; Điều này xảy : x0+ =0 x0+y0+5 = suy : x0 =-1 Y0 = - (7) Vậy điểm cố định là A (-1; - 4) b) +Ta tìm giao điểm B (d2) và (d3) : Ta có pt hoành độ : x+1 = - x +3 => x =1 Thay vào y = x +1 = +1 =2 Vậy B (1;2) Để đường thẳng đồng qui thì (d1) phải qua điểm B nên ta thay x =1 ; y = vào pt (d1) ta có: = (m2 -1) + m2 -5 m2 = => m = và m = -2 Vậy với m = m = - thì đường thẳng trên đồng qui Bài tập: Bài 1: Cho hai đường thẳng (d1): y = ( + m )x + và (d2): y = ( + 2m)x + 1) Tìm m để (d1) và (d2) cắt 2) Với m = – , vẽ (d1) và (d2) trên cùng mặt phẳng tọa độ Oxy tìm tọa độ giao điểm hai đường thẳng (d1) và (d2) phép tính Bài 2: Cho hàm số bậc y = (2 - a)x + a Biết đồ thị hàm số qua điểm M(3;1), hàm số đồng biến hay nghịch biến trên R ? Vỡ sao? Bài 3: Cho hàm số bậc y = (1- 3m)x + m + qua N(1;-1) , hàm số đồng biến hay nghịch biến ? Vì sao? Bài 4: Cho hai đường thẳng y = mx – ;(m 0) và y = (2 - m)x + ; (m 2) Tỡm điều kiện m để hai đường thẳng trên: a) Song song b) Cắt Bài 5: Với giỏ trị nào m thì hai đường thẳng y = 2x + 3+m và y = 3x + 5- m cắt điểm trên trục tung Viết phương trình đường thẳng (d) biết (d) song song với 1 x (d’): y = và cắt trục hoành điểm có hoành độ 10 Bài 6: Viết phương trình đường thẳng (d), biết (d) song song với (d’) : y = - 2x và qua điểm A(2;7) Bài 7: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A(2; - 2) và B(-1;3) x2 Bài 8: Cho hai đường thẳng : (d1): y = và (d2): y = x a/ Vẽ (d1) và (d2) trên cùng hệ trục tọa độ Oxy b/ Gọi A và B là giao điểm (d1) và (d2) với trục Ox , C là giao điểm (d1) và (d2) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC (đơn vị trên hệ trục tọa độ là cm)? Bài 9: Cho các đường thẳng (d1) : y = 4mx - (m+5) với m 0 (d2) : y = (3m2 +1) x +(m2 -9) a; Với giá trị nào m thì (d1) // (d2) b; Với giá trị nào m thì (d1) cắt (d2) tìm toạ độ giao điểm Khi m = c; C/m m thay đổi thì đường thẳng (d1) luôn qua điểm cố định A ;(d2) qua điểm cố định B Tính BA ? Bài 10: Cho hàm số : y = ax +b a; Xác định hàm số biết đồ thị nó song song với y = 2x +3 và qua điểm A(1,-2) b; Vẽ đồ thị hàm số vừa xác định - Rồi tính độ lớn góc tạo đường thẳng trên với trục Ox ? (8) c; Tìm toạ độ giao điểm đường thẳng trên với đường thẳng y = - 4x +3 ? d; Tìm giá trị m để đường thẳng trên song song với đường thẳng y = (2m-3)x +2 CHỦ ĐỀ 3: HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN I CÁC KHÁI NIỆM: Phương trình bậc hai ẩn: +Dạng: ax + by = c đó a; b; c là các hệ số đã biết( a 0 b 0) + Một nghiệm phương trình là cặp số x0; y0 thỏa mãn : ax0 + by0 = c + Phương trình bậc hai ẩn ax + by = c luôn luôn có vô số nghiệm + Tập nghiệm biểu diễn đường thẳng (d): ax + by = c Nếu a 0; b 0 thì đường thẳng (d) là đồ thị hàm số bậc nhất: Hệ hai phương trình bậc hai ẩn: y a c x b b ax by c.(1) , , , + Dạng: a x b y c (2) + Nghiệm hệ là nghiệm chung hai phương trình + Nếu hai phương trình không có nghiệm chung thì ta nói hệ vô nghiệm + Quan hệ số nghiệm hệ và đường thẳng biểu diễn tập nghiệm: -Phương trình (1) biểu diễn đường thẳng (d) -Phương trình (2) biểu diễn đường thẳng (d') *Nếu (d) cắt (d') hệ có nghiệm *Nếu (d) song song với (d') thì hệ vô nghiệm *Nếu (d) trùng (d') thì hệ vô số nghiệm Hệ phương trình tương đương: Hai hệ phơng trình gọi là tương đương với chúng có cùng tập nghiệm II.PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH: Giải hệ phương trình phương pháp thế: a) Quy tắc thế: + Bước 1: Từ phương trình hệ đã cho, ta biểu diễn ẩn theo ẩn kia, thay vào phương trình thứ hai để phương trình (chỉ còn ẩn) + Bước 2: Dùng phương trình này để thay cho phương trình thứ hai hệ (phương trình thứ thường thay hệ thức biểu diễn ẩn theo ẩn có bước 1) Ví dụ: xét hệ phương trình: x y 1.(1) 3 x y 3.(2) + Bước 1: Từ phương trình (1) ta biểu diễn x theo y ( gọi là rút x) ta có: x 1 y.(*) Thay x 1 y.(*) vào phương trình (2) ta được: 3(1 y ) y 3.(**) + Bước 2: Thế phương trình (**) vào phương trình hai hệ ta có: x 1 y 3(1 y ) y 3 b) Giải hệ : (9) x 1 y x 1 y x 1 y 3(1 y ) y 3 3 y y 3 y 0 x 1 y 0 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x = 1; y = 0) Giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số: a)Quy tắc cộng đại số: + Bước 1: Cộng hay trừ vế hai phương trình hệ hệ phương trình đã cho để phương trình + Bước 2: Dùng phương trình thay cho hai phương trình hệ (và giữ nguyên phương trình kia) Lưu ý: Khi các hệ số cùng ẩn đối thì ta cộng vế theo vế hệ Khi các hệ số cùng ẩn thì ta trừ vế theo vế hệ Khi hệ số cùng ẩn không không đối thì ta chọn nhân với số thích hợp để đưa hệ số cùng ẩn đối (hoặc nhau) ( tạm gọi là quy đồng hệ số) BÀI TẬP: Giải hệ phương trình phương pháp 4 x y 8 x y 5 2 x y 1 x y x y 2 3x y 4 x y m 2 x y 2 x y 5 5 x y 1 x y x y 9 2 x 11y 10 x 11y 31 3x y 3x y 3 x y 3 2 x y 7 x y 6 x y Giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số 3 x y 1 2 x y 3 2 x y 6 x 15 y 6 Đặt ẩn phụ giải các hệ phương trình sau 2( x y ) 3( x y ) 4 ( x y ) 2( x y ) 5 1 x y 5 1 1 x y CHỦ ĐỀ 4: HÌNH HỌC I HỆ THỨC TRONG TAM GIÁC VUÔNG: Hệ thức cạnh và đường cao: 3 x y 6 x y 2 3x y 7 x y 0 2x 3y 2 4x 6y 2 2 x y 8 + 2 x y 0 2 x y 11 x y 5 3 x y 4 6 x y 3 x x 2 y1 1 y (10) , , * b a.b ; c a.c , , * h b c * a.h b.c 2 * a b c , , * a b c b2 b, c c, , ; , c b b *c 1 , , * h b c Hệ thức cạnh và góc: Tỷ số lượng giác: Sin D K D K ; Cos ; Tan ; Cot H H K D “Sin học Cos không hư Tan đoàn kết, Cot kết đoàn” Tính chất tỷ số lượng giác: Sin Cos Cos Sin Tan Cot Cot Tan 1/ Nếu 90 Thì: 2/Với nhọn thì < sin < 1, < cos < *sin2 + cos2 = ; *tan = ; *cot = ;*tan cot =1 Hệ thức cạnh và góc: + Cạnh góc vuông cạnh huyền nhân Sin góc đối: b a.SinB.; c a.SinC + Cạnh góc vuông cạnh huyền nhân Cos góc kề: b a.CosC.; c a.CosB + Cạnh góc vuông cạnh góc vuông nhân Tan góc đối: b=ctanB; c=btanC + Cạnh góc vuông cạnh góc vuông nhân Cot góc kề: b=cCotC ; c=bCotB BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1: Cho ABC vuông A Biết b = cm, c = cm Giải tam giác ABC Bài 2: Cho ABC vuông A Biết b’ = 7, c’ = Giải tam giác ABC? ’ Bài 3a: Cho ABC vuông A Biết b = 4, b = 3.2 Giải tam giác ABC? Bài 3b: Cho ABC vuông A Biết c = 4, b’ = 3.2 Giải tam giác ABC? Bài 4: Cho ABC vuông A Biết AH = 4.8, BC =10 Giải tam giác ABC? (11) Bài 5: Cho ABC vuông A Biết h = 4, c’ = Giải tam giác ABC? Bài 6: Cho ABC vuông A Biết b = 12, a = 20 Giải tam giác ABC? Bài7: Cho ABC vuông A Biết h = 4, c = Giải tam giác ABC? Bài 8: Cho ABC vuông A = 900 Biết b = 5, B̂ = 400 Giải tam giác ABC? B̂ = 600 Giải tam giác ABC? Bài 9: Cho ABC vuông A Biết a = 15, Bài 10:Cho ABC vuông A Biết Biết AH = 3, Ĉ = 400 Giải tam giác ABC? Bài 11: Cho ABC vuông A Biết c’ = 4, B̂ = 550 Giải tam giác ABC? Bài 12: Cho ABC vuông A, trung tuyến ứng với cạnh huyền m a = 5, h = Giải tam giác ABC? Bài13: Cho ABC vuông A, trung tuyến ứng với cạnh huyền m a = 5, góc nhọn 470 Giải tam giác ABC? Bài14: Cho vuông A Biết h = 4, Đường phân giác ứng với cạnh huyền g a = Giải tam giác ABC? Bài15: Cho vuông A Đường phân giác ứng với cạnh huyền g a = = 300 Giải tam giác ABC? Đường tròn Su xác dịnh đường tròn: -Tìm đường tròn biết tâm và bán kính -Tìm đường tròn biết bán kính -Tìm đường tròn qua điểm không thẳng hàng Tính chất đối xứngc: -Tâm đối xứng -Trục đối xứng Các mối lien hệ: -Quan hệ đường kính và dây -Đường kính vuông góc với dây -Đường kính qua trung điểm dây không qua tâm -Quan hệ dây và khoảng cách đến tâm Vị trí tương đối đường thẳng và đường tròn: -Ba vị trí tương đối -Hệ thức lien hệ d và R Tiếp tuyến đường tròn: -Định nghĩa tiếp tuyến -Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến -Tính chất tiếp tuyến cắt Vị trí tương dối đường tròn: -Ba vị trí tương đối -Quan hệ với đường nối tâm BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1: ChoABC(AB=AC)đường cao AH cắt đường tròn ngoại tiếp D.Chứng minh a) AD là đường kính b) =? c) Biết AB=AC=20cm;BC=24cm.Tính R=? (12) Bài 2: Cho (O) kẻ tiếp tuyến AB và AC với (O) Chứng minh: a) OA BC b) Vẽ đường kính CD Chứng minh BD//AO c) Tính độ dài các cạnh ABC biết OB=4 cm; OC=8cm Bài 3: Cho (O:R) AB=2R C(O) Kẻ tiếp tuyến d với đường tròn C AE d; AF d; CH AB.Chứng minh: a) CE=CF b) AC là phân giác c) CH2 =AE.BF Bài 4: Cho (O) AB=2R Kẻ tiếp tuyến Ax và Ay Từ M (O) kẻ tiếp tuyến thứ cắt Ax và Ay C và D BC cắt AO N Chứng minh a) = b) MN AB c) =900 Bài 5:Cho (O) AB=2Rvà M (O) N đối xứng với A qua M, BN cát (O) C,AC cắt BM E Chứng minh a) NE AB b) F đối xứng với E qua M Chứng minhFA là tiếp tuyến (O) c) FN là tiếp tuyến (B;BA) d) BM.BE=BF2 - FN2 Baì 6: Cho nửa đường tròn O có AB=2R Kẻ tiếp tuyến Ax và By.Qua M trên nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ cắt Ax và By taị C và D Chứng minh: a) CD=AC+BD; =900 b) AC.BD=R2 c) OC cắt AM E ;OD cắt AM F Chứng minh È=R d) Tìm vị trí M để CD bé Bài 7: Cho (O:R) có AB=2R Kẻ tiếp Ax và By Đường thẳng qua O cắt Ax và By M và P Từ O vẽ đường vuông góc với MP cắt By N Chứng minh a) OM=OP ; NMP cân b) Kẻ OI MN Chứng minh OI=R; MN là tiếp tuyến (O) c) AM.BN=R2 d) Tìm M để SAMNB nhỏ vẽ hình minh họa Bài 8: Cho nửa đường tròn tâm O AB=2R Từ M (O) kẻ tiếp tuyến xy AD xy; BC xy a) MC=MD b) AD+BC không đổi M chuyển động trên nửa đường tròn (13)