Bài 7 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi Ax, By là đường thẳng vuông góc với AB, M là một điểm bất kỳ trên cung AB và không trùng với A, B. Kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn nó [r]
(1)Bài 1: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Qua điểm C thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến d với đường tròn Gọi E, F chân đường cao đường vuông góc kẻ từ A, B đến d Gọi H chân đường vng góc kẻ từ C đến AB Chứng minh :
a)
CE CF
b)AC tia phân giácBAE
c)CH
2
AE BF
.
Bài 2: Cho đường trịn (O) đường kính AB Từ A B kẻ hai tiếp tuyến Ax By Qua điểm E thuộc nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax By C D Chứng minh rằng:
a) CD = AC + BD b) Tam giác COD tam giác vng AC.BD=R2
Bài 3: Cho nửa đờng trịn đờng kính AB Từ A B vẽ hai tia Ax, By vng góc với AB, nử đờng tròn vừa vẽ lấy điểm M ( M khác A, khác B) Qua M vẽ tiếp tuyến với nửa đờng tròn ( M tiếp điểm ) tiếp tuyến cắt Ax, By theo thứ tự C D.Chứng minh
a)
COD
90
0 b) CD = AC + BDc) Tích AC.BD khơng đổi điểm M di chuyển nửa đờng tròn
Bài 4: Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AB Kẽ tiếp tuyến Ax, By phía với nửa đường tròn AB. Từ điểm M nửa đường trịn kẽ tiếp tuyến thứ ba với đường trịn, cắt Ax By C D
a) Chứng minh: Tam giác COD tam giác vuông b) Chứng minh: MC.MD=OM2.
c) Cho biết OC=BA=2R, tính AC BD theo R
Bài 5: Cho đường trịn (O) đường kính AB Từ A B kẻ tiếp tuyến Ax, By Từ điểm C ( khác A,B) đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba, tiếp tuyến cắt Ax E By F ,
a) Chứng minh AE + BF = EF
b) AC cắt EO M ; BC cắt OF N C/m: MN // AB c) Chứng minh OF//AC
d) Chứng minh MC OE = EM OF
Bài 6: Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax, By phía với nửa đường trịn AB Vẽ bán kính OE Tiếp tuyến nửa đường tròn E cắt Ax, By theo thứ tự C D
a) Chứng minh CD = AC + BD b) Tính số đo góc DOC
c) Gọi I giao điểm OC AE; K giao điểm OD BE Tứ giác EIOK hình gì? Vì sao? Và IK//MN d) Xác định vị trí OE để tứ giác EIOK hình vng
Bài Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Gọi Ax, By đường thẳng vng góc với AB, M điểm cung AB không trùng với A, B Kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Ax, By C, D Chứng minh :
a)
COD
90
0 b)CD
AC BD
c) Tích AC.BD khơng đổi M di chuyển nửa đường tròn d) Đường tròn qua C, D, O tiếp xúc AB O
Bài 10: Cho đoạn thẳng AB với trung điểm O Trên nửa mặt phẳng bờ AB kẻ tia Ax, By vng góc với AB Một góc vng
POQ
quay xung quanh O cắt Ax, By P, Q Gọi P’ giao điểm tia đối tia OP, Bya) Tam giác QPP’ tam giác gì, ?
b) Chứng minh đường thẳng PQ ln ln tiếp xúc với đường trịn (O,OA)
c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp OPQ luôn tiếp xúc với đường thẳng cố định
Bài 11: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, kẻ tiếp tuyến Ax, By phía với nửa đường tròn AB Trên Ax lấy điểm C, By lấy điểm D cho góc COD = 900 ; OD kéo dài cắt CA I Chứng minh :
a) OD = OI b)CD = AC + BD
Bài 12Cho đoạn thẳng AB O trung điểm Vẽ phía cảu AB tia Ax By vg góc với AB điểm M
và N theo thứ tự di chuyển Ax By cho MON =900.Gọi I trung điểm MN.Chứng minh:
a) MN = AM + BN
b) MN tiếp tuyến (O;
AB
2
) c) AB tiếp tuyến (I;IO) (2)Bài 13: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB.Vẽ hai tia tiếp tuyến Ax, By (Ax, By nửa đường tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB).Gọi M
là điểm thuộc nửa đường tròn (AM < BM) Tiếp tuyến M với nửa đường tròn cắt Ax, By C D a) Tính số đo góc COD
b) Chứng minh đường trịn có đường kính CD tiếp xúc với AB
Bài 14: Gọi O trung điểm AB.Vẽ hai tia Ax, By vng góc với AB chiều Vẽ góc vng zOt cho Oz cắt Ax C Ot cắt By D
a) Chứng minh CO tia phân giác góc ACD
b) Chứng minh CD tiếp xúc với đường trịn đường kính AB
c) AB tiếp xúc với đường trịn đường kính CD
Bài 15: Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB = cm.Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến Ax ,By.Gọi C điểm tia Ax,kẻ tiếp tuyến CE với nửa đờng tròn (E tiếp điểm),CE cắt By D a) Chứng minh tam giác COD tam giác vuông
b) Giả sử ED = 2cm.Tính độ dài đoạn CE
c) Gọi I trung điểm CD,vẽ đờng tròn tâm I bán kính IC.Chứng minh AB tiếp tuyến đờng trịn (I)
Bài 16: Cho tam giác ABC vuông A Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC d tiếp tuyến đường tròn tại A Các tiếp tuyến đường tròn B C cắt D theo thứ tự D E
a) Tính DOE
b) Chứng minh : DE=BD +CE
c) Chứng minh BD.CE = R2 ( R bán kính đường trịn tâm O ) d) Chứng minh BC tiếp tuyến đường tròn đường kính DE
Bài 17: Cho nửa đường trịn ( O ; R ) đường kính AB M điểm tuỳ ý nửa đường tròn , tiếp tuyến M cắt tiếp tuyến A B C D
a) Chứng minh CD = AC + BD
DOC vuôngb) Chứng minh AC BD = R2
c) Chứng minh ba điểm C , O , D thuộc đường tròn Hãy xác định tâm đường trịn
d) Chứng minh AB tiếp tuyến đường trịn đường kính CD
Bài 18: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính CD = 2R Từ C D kẻ tiếp tuyến Cx Dy phía nửa đường tròn Từ điểm E nửa đường tròn (E khác C D) kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt tiếp tuyến Cx Dy A B
a) Chứng minh: AB = AC + BD
b) Chứng minh tam giác AOB tam giác vuông
c) Gọi F giao điểm AD BC Chứng minh: EF.AB = AC.BD
Bài 19: Cho nửa đường trịn (O), đường kính AB Từ A B kẻ hai tia Ax By vuông góc với AB ( Ax, By nằm nửa mặt phẳng với nửa đường tròn bờ AB) Trên nửa đường tròn lấy điểm M bất kỳ, tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Ax, By C D
a) Chứng minh góc COD vuông b) Chứng minh CD = AC + BD
c) Chứng minh AB tiếp tuyến đường trịn đường kính CD d) Gọi I giao điểm AD BC Chứng minh MI AB
BÀI 20: Cho đường trịn (O) đường kính AB = 2R Kẻ tiếp tuyến Ax lấy điểm C cho OC = 2R Từ C kẻ tiếp tuyến tuyến tiếp xúc với đường tròn (O) D
a) Tính AC theo R
b) Chứng minh CO đường trung trực AD CO// BD
c) Tiếp tuyến B cắt tia CD E Chứng minh : CE = AC + BE AC BE = R2 không đổi. d)Tính chu vi diện tích tam giác ACD theo R
(3)a) Chứng minh MN = AM + BN
MON = 90
b) Chứng minh AM BN = R2c) OM cắt AE P, ON cắt BE Q Chứng minh PQ không đổi E chuyển động nửa đường tròn
Bài 22 Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R, M điểm tùy ý nửa đường tròn (M A ;B) Kẻ hai tiếp tuyến Ax By với nửa đường tròn Qua M kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax By C D
a) Chứng minh CD = AC + BD
b) Chứng minh tam giác COD tam giác vuông c) Chứng minh AC BD = R2
d) OC cắt AM E , OD cắt BM F Chứng minh EF = R
Bài 23 Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax, By phía với nửa đường trịn AB Vẽ bán kính OE Tiếp tuyến nửa đường tròn E cắt Ax, By theo thứ tự C, D
a) Chứng minh CD = AC + BD b)Tính số đo
COD
c) Gọi I giao điểm OC AE, gọi K giao điểm OD BE Tứ giác EIOK hình ? ? d) Cho OC =
5
, OD =7
Tính bán kính đường tròn ?Bài 24 Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Từ A, B vẽ hai tiếp tuyến Ax, By (3đ) với nửa đường tròn Từ M điểm nửa đường tròn (O) (M khơng điểm cung AB) vẽ tiếp tuyến cắt Ax, By điểm C, D
a) Chứng tỏ AC + BD = CD
b) Chứng minh tam giác COD vuông
c) Tia BM cắt Ax P, tia AM cắt By Q Chứng minh ba đường thẳng AB, CD, PQ đồng quy
Bài 25 Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB Từ A B kẻ hai tia Ax By vng góc với AB ( Ax, By nằm nửa mặt phẳng với nửa đường tròn bờ AB) Trên nửa đường tròn lấy điểm M bất kỳ, tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Ax, By C D
a) Chứng minh góc COD vng b) Chứng minh CD = AC + BD
c) Chứng minh AB tiếp tuyến đường trịn đường kính CD d) Gọi I giao điểm AD BC Chứng minh MI AB
Cho (O), đường kính AB = 2R hai tia tiếp tuyến Ax, By Lấy điểm C tuỳ ý cung AB Từ C kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax, By D E
a)Chứng minh : DE = AD + BE
b) Chứng minh : OD trung trực đoạn thẳng AC OD // BC
c)Gọi I trung điểm đoạn thẳng DE, vẽ đường tròn tâm I bán kính ID Chứng minh: (I ; ID) tiếp xúc với đường thẳng AB
d) Gọi K giao điểm AE BD Chứng minh: CK vng góc AB H K trung điểm đoạn CH
Bài 27: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Vẽ tiếp tuyến Ax, By ( Ax, By nửa đường tròn thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB ) Gọi M điểm thuộc nửa đường tròn Tiếp tuyến M cắt Ax, By theo thứ tự C, D a) Chứng minh đường trịn đường kính CD tiếp xúc AB;
b) Gọi E giao điểm BC AD ME cat AB H Chứng minh: E trung điểm đoạn MH b) Tìm vị trí M để hình thang ABDC có chu vi nhỏ nhất;
d) Tìm vị trí C, D để hình thang ABDC có chu vi 14cm, biết AB = 4cm
Bài 28: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB Từ A B kẻ hai tiếp tuyến Ax,By Qua điểm M thuộc nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến thứ 3, cắt hai tiếp tuyến Ax,By E F MH vng góc với AB cắt EB K
a) Chứng minh AE + BF = EF b) Chứng minh 4ME.MF = AB2 c) So sánh MK KH
(4)Bài 29: Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB Từ điểm A, B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By Qua điểm M thuộc nửa đường tròn này, kẻ tiếp tuyến thứ cắt tiếp tuyến Ax, By E, F
1 Chứng minh A, E, M, O thuộc đường tròn Chứng minh EO
OF.3 Chứng minh EF = AE+BF AE.BF không đổi M di chuyển nửa đường trịn (O) Tìm vị trí M để chu vi tứ giác( diện tích) tứ giác AEFB nhỏ
5 Chứng minh AB tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp
EOF AM cắt OE P, BM cắt OF Q Tứ giác MPOQ hình gì? sao? Kẻ MH
AB( H thuộc AB) Chứng minh EB qua trung điểm K MH. Chung minh ba diem A,K,F thang hang9 Cho EO = a Tính MH theo R a
Bài 30:Cho (O;R)đường kính AB ,vẽ tiếp tuyến AxVà By nằm nửa mặt phẳng Từ E thuộc (O)Ta vẽ tiếp tuyến với (O) cắt Ax,By M N
a) Chứng minh : AB tiếp tuyến đường trịn đường kính MN b)
2
.
4
R
AN NB
b) KỴ EQ
AB( H thuc AB) Chng minh AN cat EQ tai I.Cmr: M,I,B thang hang va I la trung diem EQc) Tìm A M, A N để hình thang AMNB cĩ chu vi 14cm, biết AB = 6cm
Bài 31: Cho đường trịn (O) đường kính AB, vẽ tiếp tuyến Ax, By Từ M trên đường tròn khác A B) vẽ tiếp tuyến thứ cắt Ax C, cắt By D cắt đường thẳng BA E Gọi N giao điểm BC AD Chứng minh rằng: MN
AB.2
COD
90
03
DM
CM
DE
CE
4 N trung điểm MH
5 Cho OD = d; OB = R.Tính MH theo d R
Bài 32: Cho đường trịn (O, R), đường kính AB Qua A B vẽ hai tiếp tuyến (d) (d’) với đường tròn (O) Một đường thẳng qua O cắt đường thẳng (d) M cắt đường thẳng (d’) P Từ O vẽ tia vng góc với MP cắt đường thẳng (d’) N
a) Chứng minh OM = OP ΔNMP cân
b) Hạ OI MN Chứng minh OI = R MN tiếp tuyến (O) c) Chứng minh AM BN = R2.
d) Tìm vị trí M để diện tích tứ giác AMNB nhỏ Vẽ hình minh họa
Bài 33 Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R Từ A B kẻ hai tiếp tuyến Ax By Từ điểm E đường tròn, kẻ tiếp tuyến với đường trịn gặp Ax By C D Tia CO cắt tia DB F
a/ Chứng minh góc COD vng tam giác DCF cân
b/ Chứng minh AB tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác COD c/ Cho AC =
2
R
.Tính diện tích tam giác DCF theo R
Cho nửa (O) đờng kính AB Từ A, B vẽ hai tiếp tuyến Ax, By với đờng tròn C điểm nửa đờng tròn, qua C vẽ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax, By thứ tự M, N
a/ Chøng minh : AM + BN = MN
(5)c/ Xác định vị trí C để diện tích
Δ
AKB đạt giá trị lớnCho nửa đờng trịn (O) đờng kính AB = 2R Trên nửa mặt phẳng chứa nửa đờng tròn dựng tia Ax, By vng góc với AB Qua điểm M thuộc nửa đờng tròn (M khác A B ), kẻ tiếp tuyến với nửa đờng trịn , cắt Ax, By lần lợt C D
a) Chứng minh góc COD vuông
b) Gọi I giao điểm AD BC, MI cắt AB H Chứng minh MH vuông góc với AB I trung điểm MH
c) Biết OD = d, tÝnh MH theo d vµ R
Câu (3,5 điểm) Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB Từ A B kẻ hai tiếp tuyến Ax By với đờng tròn (Ax, By thuộc mặt phẳng bờ AB) Qua điểm E (E không trùng với A B) kẻ tiếp tuyến với (O) cắt tia Ax, tia By lần lợt M N
a) Chứng minh tam giác MON vuông
b) Gọi tia BE cắt tia Ax C Chứng minh M trung điểm AC
c) Gi tia AE cắt By D Xác định vị trí điểm E để diện tích tứ giác MNDC đạt giá trị nhỏ
11) Cho đường tròn (O, R), đường kính AB Qua A B vẽ hai tiếp tuyến (d) (d’) với đường tròn (O) Một đường thẳng qua O cắt đường thẳng (d) M cắt đường thẳng (d’) P Từ O vẽ tia vng góc với MP cắt đường thẳng (d’) N
a) Chứng minh OM = OP ΔNMP cân
b) Hạ OI MN Chứng minh OI = R MN tiếp tuyến (O) c) Chứng minh AM BN = R2.
d) Tìm vị trí M để diện tích tứ giác AMNB nhỏ Vẽ hình minh họa
Bài 4: Cho nửa đờng trịn ( O;R), đờng kính AB M điểm nằm nửa đờng tròn, tiếp tuyến M cắt tiếp tuyến A B C D
a) Chøng minh: CD = AC + DB COD vuông b) Chứng minh: AC BD = R2
c) Chứng minh: AB tiếp tuyến đờng trịn đờng kính CD d) Cho biết BM = R Tính diện tích ACM
5/ Cho đường trịn (O, R) đường kính AB điểm M đường tròn( M khác A B) Tiếp tuyến A B (O) cắt tiếp tuyến M theo thứ tự C D
a) Chứng tỏ ACDB hình thang vng b) Chứng tỏ AM // OD ( điểm)
c) AM cắt OC E BM cắt OD F.Chứng tỏ: OE.OC = OF.OD.) d) Biết
MAB
60
0 Tính theo R diện tích tứ giác OMDB.e) Biết x = MBA = 300 Tính cosx, tanx, cotx.)
Bài 4.(4 điểm) Cho nửa đường trịn (O;R) đường kính AB Kẻ hai tiếp tuyến Ax By nằm phía với nửa
đường trịn M điểm nửa đường tròn ( M khác A B) Tiếp tuyến M nửa đường tròn cắt Ax By E N
Chứng minh AE BN = R2
Kẻ MH vng góc By Đường thẳng MH cắt OE K Chứng minh AK MN.
Xác định vị trí điểm M nửa đường tròn (O) để K nằm đường trịn (O) Trong trường hợp tính Sin MAB ?
Bài Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R Trên nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ hai tiếp tuyến Ax ; By phía với nửa đường tròn AB tiếp tuyến M cắt hai tiếp tuyến Ax By C D
a/ Chứng minh AC +BD = CD AC.BD không đổi b/ Chứng minh đường trịn đường kính CD tiếp xúc với AB c/ Cho
2
R
AC
Tính MA, MB bán kính đường trịn ngoại tiếp
BMD (6)a) Chứng minh CD = AC + BD
b) Chứng minh CODˆ 900 tích AC.BD không thay đổi M di chuyển (O). c) CD cắt AB E Tính ME MABˆ 600.
d) Tìm vị trí M (O) để tổng AC, BD đạt giá trị nhỏ nh ất
Bài : Cho nửa đờng tròn đờng kính AB M điểm nửa đờng tròn(M khác A,B).Đờng thẳng d tiếp xúc đờng tròn M cắt đờng trung trực AB I Đờng tròn tâm I tiếp xúc với AB cắt đờng thẳng d C D (C nằm AOM O trung điểm AB)
a) Chứng minh tia OC,OD theo thứ tự phân giác AOM BOM
b)
`
Chng minh AC, BD hai tiếp tuyến đờng tròn đờng kính AB c) Chứng minh AMB đồng dạng CODd) Chøng minh
AC BD=
AB
2
4
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB M điểm trênnửa đường tròn (M khác A,B) Đường thẳng d tiếp xúc với nửa đường tròn M cắt trung trực AB I Đường tròn tâm I tiếp xúc với AB cắt đường thẳng d C D (C nằm góc AOM ) Chứng minh :
a.OC , OD theo thứ tự tia phân giác góc AOM BOM b CA,DB hai tiếp tuyến đường trịn đường kính AB c AC BD =
AB
2