XÁC ĐỊNH GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Dạng 3.1 Góc của cạnh bên với mặt phẳng đáy.. Câu 23..[r]
(1)TOÁN 11 1H3-3 Contents
A CÂU HỎI
DẠNG CÂU HỎI LÝ THUYẾT
DẠNG XÁC ĐỊNH QUAN HỆ VNG GĨC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG, ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG
Dạng 2.1 Đường thẳng vng góc với mặt phẳng
Dạng 2.2 Đường thẳng vng góc với đường thẳng
DẠNG XÁC ĐỊNH GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Dạng 3.1 Góc cạnh bên với mặt phẳng đáy
Dạng 3.2 Góc cạnh bên với mặt phẳng bên 10
Dạng3.3Gócgiữađườngthẳngkhácvớimặtphẳng 14
DẠNG MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN KHÁC 17
B LỜI GIẢI 19
DẠNG CÂU HỎI LÝ THUYẾT 19
DẠNG XÁC ĐỊNH QUAN HỆ VUÔNG GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG, ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG 19
Dạng 2.1 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 19
Dạng 2.2 Đường thẳng vng góc với đường thẳng 24
DẠNG XÁC ĐỊNH GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 26
Dạng 3.1 Góc cạnh bên với mặt phẳng đáy 26
Dạng 3.2 Góc cạnh bên với mặt phẳng bên 40
Dạng3.3Gócgiữađườngthẳngkhácvớimặtphẳng 52
DẠNG MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN KHÁC 60
A CÂU HỎI
DẠNG CÂU HỎI LÝ THUYẾT
Câu (CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN - 2018)Cho hai đường thẳng phân biệt ,a bvà mặt phẳng P , a P Chọn mệnh đề sai
A.Nếu //b a b// P B.Nếu //b a b P C.Nếu b P //b a D.Nếu b// P ba
(2)Câu (THPT QUẢNG YÊN - QUẢNG NINH - 2018) Qua điểm O cho trước, có mặt phẳng vng góc với đường thẳng cho trước?
A Vô số B 2 C 3 D 1
Câu (THPT QUẢNG YÊN - QUẢNG NINH - 2018) Khẳng định sau sai?
A Nếu đường thẳng d vng góc với mặt phẳng d vng góc với hai đường thẳng mặt phẳng
B Nếu đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng nằm mặt phẳng d vng góc với mặt phẳng
C Nếu đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng cắt nằm mặt phẳng d vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng
D Nếu d đường thẳng a// d a
Câu (SỞ GD&ĐT BÌNH THUẬN - 2018) Trong khơng gian, khẳng định sau sai?
A Nếu ba mặt phẳng cắt theo ba giao tuyến phân biệt ba giao tuyến đồng quy đôi song song với
B Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song với C Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song với
D Cho hai đường thẳng chéo Có mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng
Câu (SGD&ĐT BẮC NINH - 2018) Mệnh đề mệnh đề sau đây?
A Góc đường thẳng a mặt phẳng P góc đường thẳng a mặt phẳng Q
thì mặt phẳng P song song trùng với mặt phẳng Q
B Góc đường thẳng a mặt phẳng P góc đường thẳng b mặt phẳng P
thì đường thẳng a song song với đường thẳng b
C Góc đường thẳng a mặt phẳng P góc đường thẳng b mặt phẳng P
thì đường thẳng a song song trùng với đường thẳng b
D Góc đường thẳng mặt phẳng góc đường thẳng hình chiếu mặt phẳng cho
Câu (THPT TRẦN NHÂN TÔNG - QN - LẦN - 2018) Chọn mệnh đề mệnh đề sau đây:
A Qua điểm có mặt phẳng vng góc với mặt phẳng cho trước
B Cho hai đường thẳng chéo a b đồng thời ab Luôn có mặt phẳng chứa a b
C Cho hai đường thẳng a b vng góc với Nếu mặt phẳng chứa a mặt phẳng chứa b
D Qua đường thẳng có mặt phẳng vng góc với đường thẳng khác Câu (THPT BÌNH GIANG - HẢI DƯƠNG - 2018)Cho hai đường thẳng phân biệt a b, mặt phẳng
P Chọn khẳng định đúng?
(3)DẠNG XÁC ĐỊNH QUAN HỆ VNG GĨC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG, ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG
Dạng 2.1 Đường thẳng vng góc với mặt phẳng
Câu (SỞGDĐỒNGNAIHKIKHỐI12-2018-2019)Cho tứ diện MNPQ có hai tam giác MNP QNP hai tam giác cân M Q Góc hai đường thẳng MQ NP A 45 B 30 C 60 D 90
Câu (TRƯỜNG THPTTHANH THỦY 2018 -2019)Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành tâm O, SASC SB, SD Trong khẳng định sau khẳng định đúng?
A SAABCD B SOABCD C SCABCD D SBABCD
Câu 10 (LƯƠNGTÀI2BẮCNINHLẦN1-2018-2019)Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng, cạnh bên SA vng góc với đáy (ABCD)
Khẳng định sau sai?
A CD(SBC) B SA(ABC) C BC(SAB) D BD (SAC)
Câu 11 (THPT NGUYỄN TẤT THÀNH - YÊN BÁI - 2018)Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC ABD hai tam giác Gọi M trung điểm AB Khẳng định sau đúng?
A CM ABD B ABMCD C ABBCD D DM ABC
Câu 12 (SGD&ĐT HÀ NỘI - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng SA vng góc đáy Mệnh đề sau sai?
A BC SAB B ACSBD C BDSAC D CDSAD
Câu 13 (THPT XUÂN HÒA - VP - LẦN - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật tâm I, cạnh bên SA vng góc với đáy Gọi H, K hình chiếu A lên SC,
SD Khẳng định sau đúng?
A AH SCD B BDSAC C AK SCD D BCSAC
Câu 14 (THPTNGUYỄNTRÃI-THANHHỐ-Lần1.Năm2018&2019)Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCDlà hình vng, SAABCD Gọi M hình chiếu A SB Khẳng định sau đúng?
A AM SD B AM SCD C AM CD D AM SBC
Câu 15 (ĐỀTHITHỬĐỒNGĐẬU-VĨNHPHÚCLẦN01-2018–2019)Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng, SA vng góc với mặt phẳng đáy Mệnh đề sau đúng?
A BASAD B BASAC C BASBC D BASCD
Câu 16 (LÊ Q ĐƠN - HẢI PHỊNG - LẦN - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O cạnh , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M trung điểm cạnh bên SB N hình chiếu vng góc A SO Mệnh đề sau đúng? A ACSDO B AM SDO C SASDO D ANSDO
(4)C BC SAB D SH, AK BC đồng quy Dạng 2.2 Đường thẳng vng góc với đường thẳng
Câu 18 (THPT CHUYÊN QUANG TRUNG - BP - LẦN - 2018) Cho tứ diện ABCD có AB AC2,
3
DBDC Khẳng định sau đúng?
A BC AD B ACBD C ABBCD D DCABC
Câu 19 (THPT CHUYÊN BẮC NINH - LẦN - 2018) Cho hình chóp S ABC đáy ABC tam giác đều, cạnh bên SA vng góc với đáy Gọi M N, trung điểm AB SB Trong mệnh đề sau, mệnh đề mệnh đề sai?
A CM SB B CM AN C MN MC D AN BC
Câu 20 (CHUYÊN LONG AN - LẦN - 2018) Cho hình chóp S ABC có SAABC H hình chiếu vng góc S lên BC Hãy chọn khẳng định đúng
A BC SC B BC AH C BC AB D BC AC
Câu 21 (THPT TRẦN PHÚ - ĐÀ NẴNG - 2018) Cho tứ diện S ABC có đáy ABC tam giác vng B SA vng góc với mặt phẳng ABC Gọi M ,Nlần lượt hình chiếu vng góc A cạnh SB SC Khẳng định sau sai?
A AM SC B AM MN C AN SB D SABC
Câu 22 (SGD&ĐT HÀ NỘI - 2018) Cho tứ diện ABCD có M , N trung điểm cạnh AB CD Mệnh đề sau sai?
A MN AB B MN BD C MN CD D ABCD
DẠNG XÁC ĐỊNH GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Dạng 3.1 Góc cạnh bên với mặt phẳng đáy
Câu 23 (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN - 2018) Cho hình chóp S ABC có SAABC; tam giác ABC cạnh a SAa (tham khảo hình vẽ bên) Tìm góc đường thẳng SCvà mặt phẳng ABC
A 60o. B 45o C 135o. D 90o
Câu 24 (TrườngTHPTThăngLongLần1năm2018-2019)Cho hình chóp S ABC có cạnh SA vng góc với đáy Góc đường thẳng SB mặt phẳng đáy góc hai đường thẳng đây?
A SB AB B SBvà SC C SAvà SB D SBvà BC
Câu 25 (THPTNGUYỄNTRÃI-THANHHỐ-Lần1.Năm2018&2019)Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD cạnh a, SA vng góc với đáy SAa Góc đường thẳng SD mặt phẳng
(ABCD)bằng:
S
A
B
(5)A arcsin3
5 B
0
45 C
60 D
30
Câu 26 (THPT YÊN KHÁNH A - LẦN 2 - 2018) Cho hình chóp S ABCD đáy hình vng cạnh
, ,
a SA ABCD SAa Tính góc SC mặt phẳng ABCD
A 300 B 450 C 600 D 900
Câu 27 (THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN 4 - 2018) Cho hình lăng trụ
ABC A B C có AB AA 1 Góc tạo đường thẳng AC ABC
A 45o B 60o C 30o D 75o
Câu 28 (SGD -NAMĐỊNH- LẦN1-2018) Cho tứ diện ABCD Gọi góc đường thẳng
AB mặt phẳng BCD Tính cos
A cos0 B cos
C cos 3
D cos
Câu 29 (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương thi thử lần 1 (2018-2019)) Cho hình chóp tứ giác
S ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên 2a Độ lớn góc đường thẳng SA mặt phẳng đáy
A 45 B 75 C 30 D 60
Câu 30 (101- THPT 2019) Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng ABC,SA2a, tam giác ABC vuông B, ABa 3và BCa (minh họa hình vẽ bên) Góc đường thẳng
SCvà mặt phẳng ABC
A 90 B 45 C 30 D 60
B D
(6)Câu 31 (102 -THPT2019) Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng ABC, SA2a, tam giác ABC vuông B, ABa BC 3a (minh họa hình vẽ bên)
Góc đường thẳng SC mặt phẳng ABC
A 90 B 30 C 60 D 45
Câu 32 (103 -THPT 2019)Cho hình chóp S ABCcóSAvng góc với mặt phẳng ABC SA 2a Tam giácABC vuông cân B ABa( minh họa hình vẽ bên)
Góc đường thẳng SC mặt phẳng ABC
A 45 B 60 C 30 D 90
Câu 33 (104 -THPT 2019)Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng ABC, SA2a, tam giác ABCvuông cân B ABa (minh họa hình vẽ bên)
Góc đường thẳng SC mặt phẳng ABC
A 60o B 45o C 30o D 90o
Câu 34 (Mã đề101BGD&ĐTNĂM2018)Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA
vng góc với mặt phẳng đáy SB2a Góc đường thẳng SB mặt phẳng đáy A 60 B 90 C 30 D 45
2a 2a
S
C
B A
(7)Câu 35 (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vuông C , AC a , BC 2a, SA vng góc với mặt phẳng đáy SAa Góc đường thẳng SB
mặt phẳng đáy
A 60 B 90 C 30 D 45
Câu 36 (Mãđề104BGD&ĐTNĂM2018)Cho hình chóp S ABC có SAvng góc với mặt phẳng đáy,
ABavà SB2a Góc đường thẳngSBvà mặt phẳng đáy
A 600 B 450 C 300 D 900
Câu 37 (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102)Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a,
SA vng góc với mặt phẳng đáy SA 2a Góc đường thẳng SC mặt phẳng đáy A 45 B 60 C 30 D 90
Câu 38 (THPTCộngHiền-Lần1-2018-2019)Cho hình chóp S ABC tam giác ABC vng B cạnh
bên SA vng góc với mặt phẳng đáy (ABC) Gọi H hình chiếu củaA SB Mệnh đề sau SAI?
A Các mặt bên hình chóp tam giác vng B SBC vng
C AH SC
D Góc đường thẳng SC với mặt phẳng ABC góc SCB
Câu 39 (Thi thử lần 4-chuyênBắc Giang_18-19) Cho hình chóp S ABCDcó đáy ABCD hình chữ nhật có ABa AD, 2a, SA vng góc với mặt phẳngABCD, SA3a Gọi góc
SC ABCD ( tham khảo hình vẽ bên) Khi tan
A
5 B
3
5 C
5
3 D
3
5
Câu 40 (Nho QuanA- NinhBình-lần 2-2019)Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc điểm S lên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm H cạnh BC Biết tam giác SBC tam giác Gọi số đo góc đường thẳng SA mặt phẳng ABC Tính tan
A 1 B C 0 D
3
A C
B S
(8)Câu 41 (Thithửhội8trườngchuyênlần3-23-5-2019)Cho lăng trụ ABC A B C có tất cạnh a Góc đường thẳng AB mặt phẳng A B C
A 60 B 45 C 30 D 90
Câu 42 (BạchĐằng-QuảngNinh-Lần1-2018)Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh 2a, cạnh bên SA vng góc mặt đáy SAa Gọi góc tạo SB mặt phẳng ABCD Xác định cot?
A cot2 B cot
C cot2 D cot
4
Câu 43 (n Định1-ThanhHóa-2018-2019)Cho hình chóp S ABC có SB vng góc ABC Góc SC với ABC góc
A SC AC B SC AB C SC BC D SC SB
Câu 44 (GiaBìnhIBắcNinh-L3-2018)Cho hình thoi ABCD tâm O có BD4 ,a AC2a Lấy điểm
S không thuộc ABCD cho SOABCD Biết tan
SBO Tính số đo góc SC
ABCD A
60 B
75 C
30 D
45
Câu 45 (SỞGDĐỒNGNAIHKIKHỐI12-2018-2019)Cho hình chóp S MNP có đáy tam giác đều,
MN a, SM vng góc với mặt phẳng đáy, SP2a, với 0 a Tính góc đường thẳng
SN mặt phẳng đáy
A 45 B 90 C 60 D 30
Câu 46 (ĐỀTHITHỬĐỒNGĐẬU-VĨNHPHÚCLẦN01-2018–2019)Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh 3a, SA vng góc với mặt phẳng đáy, SB5a Tính sin góc
SC mặt phẳng ABCD A 2
3 B
3
4 C
3 17
17 D
2 34 17
Câu 47 (THPT LỤC NGẠN - LẦN - 2018)Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật,
AB a, ADa. SA vng góc với mặt phẳng đáy SAa Cosin góc SC mặt đáy bằng:
A
4 B
7
4 C
6
4 D
10
Câu 48 (CHUYÊN HÀ TĨNH - LẦN - 2018) Cho hình chóp SABCDcó đáy ABCDlà hình thoi cạnh
2a, ADC60 Gọi O giao điểm ACvà BD, SOABCD SOa Góc đường thẳng SD mặt phẳng ABCDbằng
A 60 B 75 C 30 D 45
Câu 49 (THPT NGHEN - HÀ TĨNH - LẦN - 2018) Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD hình
vng cạnh a SAABCD Biết a
SA Góc SC ABCD là: A 45 B 30 C 75 D 60
(9)Biết thể tích khối chóp S ABCD
3
15
a
Góc đường thẳng SC mặt phẳng đáy
ABCD
A 120o B 30o C 45o D 60o
Câu 51 (THPT CHUYÊN BIÊN HÒA - HÀ NAM - 2018) Cho hình lăng trụ ABC A B C có tất cạnh a Gọi M trung điểm AB góc tạo đường thẳng MC mặt phẳng ABC Khi tan
A
7
B
2
C
7
D
3
Câu 52 (THPT NGUYỄN ĐỨC THUẬN - NAM ĐỊNH - LẦN - 2018)Cho hình chóp S ABC có đáy
ABC tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc S lên ABC trùng với trung điểm H cạnh BC Biết tam giác SBC tam giác Tính số đo góc SA ABC A 30 B 75 C 60 D 45
Câu 53 (THPT NGÔ QUYỀN - HẢI PHỊNG - 2018)Cho hình chóp S ABC có SAABC, SAa, tam giác ABC cạnh a Góc SC mặt phẳng ABC là:
A arctan B
60 C
30 D
45
Câu 54 (SỞ GD&ĐT NAM ĐỊNH - HKI I - 2018)Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a, SAABC, SAa Tính góc đường thẳng SB mặt phẳng ABC
A 75. B 45. C 60. D 30.
Câu 55 (SỞ GD&ĐT HÀ TĨNH - 2018)Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Đường thẳng SAvng góc với mặt phẳng đáy SA2a Góc đường thẳng SC mặt phẳng ABCD α Khi tanα
A B
3 C 2 D 2
Câu 56 (SỞ GD&ĐT LÀO CAI - 2018)Cho hình chóp SABCcó đáy ABC tam giác cạnh 2a, H hình chiếu S lên AB, tam giác SAB vuông cân S, SH vng góc với ABC Góc cạnh SC mặt đáy bằng:
A 60 B 300. C 90 D 45
Câu 57 (THI THỬ L4-CHUN HỒNG VĂN THỤ-HỊA BÌNH-2018-2019)Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông A Tam giác SBC tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Số đo góc đường thẳng SA ABC bằng:
A 45 B 30 C 75 D 60
Câu 58 (HỒNG LĨNH - HÀ TĨNH - LẦN - 2018) Cho hình chóp S ABC có SA,SB, SC đơi vng góc với SASBSC a sin góc đường thẳng SC mặt phẳng ABC
bằng
A
3 B
2
2 C
1
3 D
2
Câu 59 (THPT CHUYÊN NGUYỄN ĐÌNH TRIỂU - ĐỒNG THÁP - LẦN - 2018)Cho hình chóp
(10)A SOABCD B SAC SBD C EF//ABCD D SA ABCD, 60
Câu 60 (THPT HỒNG MAI - NGHỆ AN - 2018)Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh
a Hình chiếu vng góc S lên ABC trung điểm cạnh BC Biết ΔSBC đều, tính góc SA ABC
A 45 B 90 C 30 D 60
Câu 61 (Thi thử Lômônôxốp - Hà Nội lần V 2019) Cho hình lăng trụ ABC A B C , đáy ABC tam giác vuông B, ABa, ACB300 Mlà trung điểm AC Hình chiếu vng góc đỉnh A lên mặt phẳng ABC trung điểm H BM Khoảng cách từ C đến mặt phẳng BMB
bằng
4
a
Tính số đo góc tạo cạnh bên mặt phẳng đáy hình lăng trụ
A 600 B 300 C 900 D 450 Dạng 3.2 Góc cạnh bên với mặt phẳng bên
Câu 62 (THPT Minh Khai - lần 1)Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi tâm O, SOABCD Góc SA mặt phẳng SBD góc
A ASO B SAO C SAC D ASB
Câu 63 (THPT CHUYÊN BẮC NINH - LẦN - 2018) Cho hình chóp S ABCDcó đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt đáyvà SAa Tìm số đo góc đường thẳng SC mặt phẳng SAB
A 45 o B 30 o C 90 o D 60 o
Câu 64 (THPT KINH MÔN - HD - LẦN - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh
a, SAABCD SAa Gọi góc tạo đường thẳng SB mặt phẳng SAC
, thỏa mãn hệ thức sau đây:
A cos
B sin
C sin
D cos
(11)A
14 B
2
2 C
3
2 D
1
Câu 66 (THPT CHUNĐHVINH- LẦN3-2018)Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, cạnh ABa, AD 3a Cạnh bên SAa vng góc mặt phẳng đáy Góc đường thẳng SB mặt phẳng SACbằng:
A 75 B 60 C 45 D 30
Câu 67 (THPTKIẾNAN-HẢIPHỊNG-LẦN1-2018)Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C có đáy
ABC tam giác vng B, ABBCa, BB'a Tính góc đường thẳng A B mặt phẳng BCC B
A 45 B 30 C 60 D 90
Câu 68 (CụmliêntrườngHảiPhịng-L1-2019)Cho khối chóp S ABC có SAABC, tam giác ABC
vng B, AC2a, BCa, SB2a Tính góc SA mặt phẳng SBC
A 45 B 30 C 60 D 90
Câu 69 (CHUYÊNVINH-LẦN1-2018) Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C có đáy ABC tam giác vuông cân A, ABAAa (tham khảo hình vẽ bên) Tính tang góc đường thẳng BC
và mặt phẳng ABB A
A
2 B
6
3 C D
3
(12)A 45 B 90 C 30 D 60
Câu 71 (ThithửchunHàTĩnh lần1(13/4/2019))Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi cạnh 2a, ABC600, SAa SAABCD Tính góc SA mặt phẳng SBD
A 60 B 90 C 30 D 45
Câu 72 (Kinh Môn - Hải Dương L2 2019)Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật ABa, ADa Cạnh bên SAABCD SAa Góc đường thẳng SC mặt phẳng SAB
A 30 B 90 C 45 D 60
Câu 73 (HKI-Chun Vinh 18-19) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy hình vng cạnh a,
SA ABCD SAa Góc đường thẳng SB SAC
A 30 B 75 C 60 D 45
Câu 74 (QUẢNG XƯƠNG - THANH HÓA - LẦN - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Hai mặt phẳng SAB SAC vng góc với đáy ABCD
2
SA a Tính cosin góc đường thẳng SB mặt phẳng SAD A
5 B
2
5 C
1
2 D 1
Câu 75 (THPT YÊN LẠC - LẦN - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật,
2
ABa , ADa, SA vuông góc với đáy SAa Tính góc SC SAB A 90 B 60 C 45 D 30
Câu 76 (THPT MỘ ĐỨC - QUẢNG NGÃI - 2018)Cho hình lập phương ABCD A B C D (hình bên) Tính góc đường thẳng AB mặt phẳng BDD B
A 60 B 90 C 45 D 30
Câu 77 (THPT CHUYÊN NGUYỄN THỊ MINH KHAI - SÓC TRĂNG - 2018)Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, SA vng góc với ABCD, AB3,BC4,SA1 (tham khảo hình vẽ đây) Sin góc đường thẳng SC mặt phẳng SBD
A 11 26
328 B
12 26
338 C
13 26
338 D
12 65
3
1
C A
B
D
(13)Câu 78 (THPT CHUYÊN THĂNG LONG - ĐÀ LẠT - 2018)Cho hình chóp S ABCD có đáyABCD hình chữ nhật có AB2AD2a cạnh bên SAvng góc với đáy SAa 15 Tính tang góc SCvà mặt phẳngSAD
A B 2 C 1
2 D
3
Câu 79 (ChunPhanBộiChâu-lần1-2018-2019)Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm I , cạnh a, góc BAD60o
2
a
SASBSD Gọi góc đường thẳng SD mặt phẳng SBC Giá trị sin
A 1
3 B
2
3 C
5
3 D
2
Câu 80 (Thi thửchuyên HùngVương Gia Lailần -2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy SAa Gọi góc SD SAC Giá trị sin
A
4 B
2
2 C
3
2 D
2
Câu 81 (BìnhMinh -Ninh Bình-Lần 4-2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi cạnh a, góc ABC600, SAABCD, SA a Gọi góc SA mặt phẳng SCD Tính
tan A 1
2 B
1
3 C
1
4 D
1
Câu 82 (CHUN ĐHSPHN - 2018) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng B, cạnh bên
SA vng góc với mặt phẳng đáy, AB2a, 60
BAC SAa Góc đường thẳng SB
và mặt phẳng SACbằng
A 30 B 45 C 60 D 90
Câu 83 (CHUYÊN VINH - LẦN - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành,
2
AB a, BCa, ABC120 Cạnh bên SDa SD vng góc với mặt phẳng đáy (tham khảo hình vẽ bên) Tính sin góc tạo SB mặt phẳng SAC
A 3
4 B
3
4 C
1
4 D
3
Câu 84 (LÊ Q ĐƠN - HẢI PHỊNG - LẦN - 2018) Cho hình lập phương ABCD A B C D có cạnh
S
D C
(14)bằng a, gọi góc đường thẳng A B mặt phẳng BB D D Tính sin A
4 B
3
2 C
3
5 D
1
Câu 85 (SỞ GD&ĐT LÀO CAI - 2018)Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vuông B, cạnh bên
SA vng góc với mặt đáy, AB2a, BAC 600 SAa Góc đường thẳng SB mặt phẳng (SAC)
A 45 B 60 C 30 D 90 Dạng3.3Gócgiữađườngthẳngkhácvớimặtphẳng
Câu 86 (SGD&ĐT HÀ NỘI - 2018) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh Gọi E, M trung điểm cạnh BC SA, góc tạo đường thẳng EM mặt phẳng SBD Giá trị tan
A 2 B C 1 D
Câu 87 (SGD&ĐT BẮC GIANG - LẦN - 2018) Cho hình hộp ABCD A B C D có M , N, P trung điểm cạnh A B , A D , C D Góc đường thẳng CP mặt phẳng DMN
bằng?
A 0 B 45 C 30 D 60
Câu 88 (PHAN ĐĂNG LƯU - HUẾ - LẦN - 2018) Cho tứ diện ABCD có tam giác BCD cạnh a
, AB vng góc với mp BCD ,AB2a M trung điểm đoạn AD,gọi góc CM với
mp BCD ,khi đó:
A tan
B tan 3
C tan 2
D tan
Câu 89 (THPT THUẬN THÀNH - BẮC NINH - 2018)Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh 2a Tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M , N trung điểm SC AD (tham khảo hình vẽ)
A
B C
D A
B C
D
M
(15)Góc MN mặt đáy ABCD
A 90 B 30 C 45 D 60
Câu 90 (THPT NGUYỄN HUỆ - TT HUẾ - 2018)Cho tứ diện ABCD có cạnh a Gọi M, N trung điểm BC AD (tham khảo hình vẽ) Gọi góc đường thẳng MN mặt phẳng BCD Tính tan
A tan B tan 2
C tan D tan
3
Câu 91 (THPT Cẩm Bình Hà Tỉnh lần 1 năm 18-19) Cho hình chóp S ABC có
, 3,
SA ABC SA a AB a, tam giác ABC vuông cân B Gọi M trung điểm SB Góc đường thẳng CM mặt phẳng SAB bằng:
A 90 B 60 C 45 D 30
Câu 92 (Hội trường chuyên ĐBSH - Lần - Năm học 2018 - 2019)Cho hình chóp S ABCD có đáy
ABCD hình vng cạnh a Tam giác SAB nàm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi H, K trung điểm cạnh AB AD Tính sin góc tạo hai đường thẳng SA mặt phẳng SHK
A
2 B
2
4 C
14
4 D
7
M
N D
A
B C
S
H N
M
D
C B
(16)Câu 93 (Thamkhảo 2018)Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh a Gọi M trung điểm SD (tham khảo hình vẽ bên) Tang góc đường thẳng B M mặt phẳng
ABCD
A
2 B
3
3 C
2
3 D
1 3
Câu 94 [THPT THĂNG LONG-HÀ NỘI-LẦN 2-2018-2019] Cho hình chóp S ABCD có
SA a,AB a Gọi M N P Q, , , trung điểm củaSA SB SC SD, , , Tính cosin góc đường thẳng DN mặt phẳng MQP
A
2 B
1
2 C
3
2 D
15
Câu 95 (Thi thử SGDCần Thơ mã 121 – 2019)Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, ABa, BCa 3, SAa SA vng góc với mặt phẳng ABCD Đặt góc đường thẳng BD SBC Giá trị sin
A
4 B
5
5 C
1
2 D
3
Câu 96 (HKI CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG 2018-2019)Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh Gọi M N, trung điểm cạnh BC SA, góc tạo đường thẳng MN với SBD Tính tan
A B 1 C 2 D
Câu 97 (CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN - 2018)Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a, tâm O Gọi M N trung điểm SA BC Biết góc MN ABCD
60 , cosin góc MN mặt phẳng SBD bằng: A 41
41 B
5
5 C
2
5 D
2 41 41
Câu 98 (THPT LÊ XOAY - LẦN - 2018) Cho lăng trụ ABC A B C có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc B lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm G tam giác ABC Cạnh bên hợp với ABC góc 60 Sin góc AB mặt phẳng BCC B
A
13 B
3
2 13 C
1
13 D
2 13
Câu 99 (TRẦN PHÚ - HÀ TĨNH - LẦN - 2018) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân B, ABa, SAAB, SCBC, SB2a Gọi M , N trung điểm SA, BC Gọi góc MN với ABC Tính cos
A
B C
D S
M
(17)A cos 11 11
B cos
C cos
D cos 10
Câu 100 (THPT PHAN CHU TRINH - ĐẮC LẮC - 2018)Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh a Gọi M điểm đoạn SD cho SM 2MD
Tan góc đường thẳng BM mặt phẳng ABCD A 1
3 B
5
5 C
3
3 D
1
DẠNG MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN KHÁC
Câu 101 (CHUYÊN BẮC NINH - LẦN - 2018) Cho hình chóp S ABC có SASBSCvà tam giác
ABC vuông C Gọi H hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng ABC Khẳng định sau khẳng định đúng?
A H trung điểm cạnh AB B H trọng tâm tam giác ABC C H trực tâm tam giác ABC D H trung điểm cạnh AC
Câu 102 (ĐộCấnVĩnhPhúc-lần1-2018-2019)Cho hình chóp S ABCD có SAABCDvà đáy ABCD hình vng tâm O; Gọi I trung điểm SC; Xét khẳng định sau:
1 OI ABCD BDSC
3 SAClà mặt phẳng trung trực đoạn BD SBSCSD
Trong bốn khẳng định trên, số khẳng định sai
A 1 B 4 C 2 D 3
Câu 103 (TH&TTLẦN1–THÁNG12)Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD nửa lục giác với cạnh a Cạnh SA vuông góc với đáy SAa M điểm khác B SB cho
AM vng góc với MD Khi đó, tỉ số SM
SB
A 3
4 B
2
3 C
3
8 D
1
Câu 104 (THPT THĂNG LONG - HÀ NỘI - 2018) Cho hình chóp tam giác S ABC có độ dài cạnh đáy a Độ dài cạnh bên hình chóp để góc cạnh bên mặt đáy
60
D S
C B
A
(18)A a
B
6
a
C
6 a
D 2
3
a
Câu 105 (THPT HẬU LỘC - TH - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh ,
a cạnh bên SA vng góc với đáy, cạnh bên SB tạo với đáy góc 45 Một mặt phẳng qua A vng góc với SC cắt hình chóp S ABCD theo thiết diện tứ giác AB C D có diện tích bằng: A a
B
2 a
C
2 a
D
2 3 a
Câu 106 (THPT HAI BÀ TRƯNG - HUẾ - 2018) Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD hình thang vng A B, SA vng góc với đáy, M điểm cạnh AB Gọi P mặt phẳng qua
M song song với SA AD, Thiết diện hình chóp với mặt phẳng P
A Hình bình hành B Hình vng C Hình thang vng D Hình chữ nhật
Câu 107 (THPT NGUYỄN TẤT THÀNH - YÊN BÁI - 2018) Cho hình hộp đứng ABCD A B C D có đáy ABCD hình vng cạnh a, AA 3a Mặt phẳng qua A vng góc với A C cắt cạnh
, ,
BB CC DD I J K, , Tính diện tích thiết diện AIJK
A 2 11
3 a
B
2 11 a
C
2 11 a
D
2 11
2 a
Câu 108 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh 2a, mặt bên tam giác vuông cân S Gọi G trọng tâm ABC, mặt phẳng qua G vng góc với SC Diện tích thiết diện hình chóp S ABC cắt mặt phẳng
A 4
9a B
2
3a C
2
3a D
2 9a
Câu 109 Cho lăng trụ ABC A B C ' ' ' có cạnh đáy a, cạnh bên a Gọi M trung điểm AB Diện tích thiết diện cắt lăng trụ cho mặt phẳng A C M' '
A 7 2
16 a B
2 35
16 a C
2
4 a D
2 8a
Câu 110 (CHUYÊN TRẦN PHÚ - HẢI PHÒNG - LẦN - 2018) Cho hình chóp S ABCD với đáy ABCD hình thang vng A, đáy lớn AD8, đáy nhỏ BC6 SA vng góc với đáy,
6
SA Gọi M trung điểm AB P mặt phẳng qua Mvà vng góc với AB Thiết diện hình chóp S ABCD cắt mặt phẳng P có diện tích bằng:
A 20 B 15 C 30 D 16
Câu 111 (THPT CHUYÊN LAM SƠN - THANH HÓA - 2018) Xét tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc Gọi , , góc đường thẳng OA, OB, OC với mặt phẳng
(19)Khi giá trị nhỏ biểu thức M 3 cot 2 cot 2 cot 2 A Số khác B 48 C 48 D 125
B LỜI GIẢI
DẠNG CÂU HỎI LÝ THUYẾT Câu Nếu a P //b a b P
Câu Theo tính chất SGK Hình học 11 trang 100
Câu Khẳng định B sai vì: đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng nằm mặt phẳng mà hai đường thẳng song song d khơng vng góc với mặt phẳng
Câu Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song với Câu Phát biểu D theo định nghĩa góc đường thẳng mặt phẳng không gian Câu Hiển nhiên B
Có vơ số mặt phẳng qua điểm vng góc với mặt phẳng cho trước Do đó, A sai Nếu hai đường thẳng a b vng góc với cắt mặt phẳng chứa a b
không thể vng góc với b Do đó, C sai
Qua đường thẳng có vơ số mặt phẳng vng góc với đường thẳng khác Do đó, D sai Câu Chọn B
DẠNG XÁC ĐỊNH QUAN HỆ VNG GĨC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG, ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG
Dạng 2.1 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Câu ChọnD
O C
(20)Gọi I trung điểm cảu NP, ta có: NP MI NP QI
NP QIMNPQM
Câu ChọnB
Ta có O trung điểm AC BD,
Mà SASC SB, SDSOAC SO, BD
SO ABCD
Câu 10 ChọnA
Từ giả thiết, ta có : SA(ABC) B
Ta có : BC AB BC (SAB) BC SA
C
Ta có: BD AC BD (SAC) BD SA
D
Do đó: A sai Chọn A
Nhậnxét: Ta có giải sau: ( )
CD AD
CD SAD
CD SA
Mà (SCD) (SAD) không song song hay
Trùng nên CD(SCD) sai Chọn A
I
M P
N Q
O D
C B A
S
O A
B
D
(21)Câu 11
CM AB
AB CDM
DM AB
Câu 12 Ta có:
+ BC AB BC SAB BC SA
+ CD AD CD SAD CD SA
+ BD AC BD SAC BD SA
Suy ra: đáp án B sai
Câu 13
M
A C
B D
H
I
C
A B
D
S
(22)Có CD SA CD SAD CD AK
CD AD
Có AK SD AK SCD
AK CD
Câu 14 ChọnD
Do SAABCD ABCDlà hình vuông nên SA BC AB BC
BC SAB
BC SAB
AM BC
AM SAB
; AM SB AM SBC
AM BC
Câu 15 ChọnA
Ta có:
BA SA (do SAABCD)
BAAD (do ABCD hình vng)
BA SAD
A
B
D
C S
(23)Câu 16
Ta có: BC AC BC SAC AN AN BC BC SA
Theo giả thiết: AN SO Vậy ADSDO
Câu 17 Cách 1:
Ta có BC SA BC SAH BC SH
nên A suy C sai mặt phẳng SAH mặt phẳng SAB hai mặt phẳng phân biệt vng góc với BC suy SAH // SAB Điều khơng thể hai mặt phẳng có SA chung
Cách 2:
Ta có BCSABBCBA nên tam giác ABC vuông B, điều giả thiết không cho suy C sai
N
O
D
C A
B
M
S
K H
A C
(24)Dạng 2.2 Đường thẳng vng góc với đường thẳng
Câu 18
Theo đề ta có: ABC, DBClần lượt cân A D, Gọi H trung điểm BC
AH BC
DH BC
AD ADH
BC ADH
BC AD
Câu 19 Ta có
,
CM AB
CM SA CM SAB CM SB
SA AB SAB
Mà ANSABCM AN
Mặt khác
MN SA
MN ABC
SA ABC
Vì
MN
MN CM
CM ABC
SAB
H
D
C B
A
S
A
B M
(25)Câu 20 Ta có: BC SH BC AH
BC SA
Câu 21
Ta có: SAABCSABC mà BC ABBCSAB, AM SABBCAM Vậy AM SB AM SBC
AM BC
AM SC
Đáp án AM SC
Vì
AM SBC
AM MN
MN SBC
Đáp án AM MN
SA ABC SABC Đáp án SABC Vậy AN SB sai
Câu 22 • NAB cân N nên MN AB • MCD cân M nên MN CD • CDABNCDAB
• Giả sử MN BD
N M
C
B A
S
N M
B C
(26)mà MN AB Suy MN ABD(Vơ lí ABCDlà tứ diện đều) Vậy phương án B sai
DẠNG XÁC ĐỊNH GĨC CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Dạng 3.1 Góc cạnh bên với mặt phẳng đáy
Câu 23 Góc đường thẳng SCvà mặt phẳng ABC góc SCA Tam giác SAC vng cân A nên góc SCA 45
Câu 24 ChọnA
Ta có: Hình chiếu SB mặt phẳng (ABC) AB nên góc đường thẳng SB mặt phẳng đáy góc hai đường thẳng SB AB
Câu 25 ChọnC
Vì SAABCDnên góc đường thẳng SD mặt phẳng (ABCD)là góc SDA Trong tam giác vng SDA ta có:
tanSDA SA SDA 60
AD
Câu 26
SC ABCD, SC AC, SCA
Trong tam giác vng SAC có SA ACa 2SCA45
A C
B S
B C
D A
S
a
a
a C
B
A D
(27)Câu 27
Ta có AC,ABC AC AC, CAC, tanC AC CC AC
3
C AC 30o
Câu 28
Gọi M trung điểm CD Ta có
2 AB
BM
Gọi H chân đường cao hạ từ A xuống mặt phẳng BCD HBM
3 BH BM
3 AB
Góc đường thẳng AB mặt phẳng BCD ABM Ta có coscosABM BH
AB
3
AB AB
3
Câu 29 ChọnD
H M
B D
(28)Gọi O tâm hình vng ABCD, ta có SOABCD
SA ABCD, SA AO, SAO
Ta có 1 2
2 2
a OA AC AB BC
SAO
vuông O có
2 cos
2
a OA
SA a
suy 60
Vậy góc SA ABCD 60
Câu 30 ChọnB
Ta thấy hình chiếu vng góc SC lên ABClà ACnên SC ABC, SCA Mà AC AB2BC2 2anên tanSCA SA
AC
Vậy góc đường thẳng SCvà mặt phẳng ABC 45
Câu 31 ChọnD
Vì SA vng góc với mặt phẳng ABC, suy góc đường thẳng SC mặt phẳng ABC
bằngSCA
Mà
2
2
tan
3
SA a
SCA
AC a a
Vậy SCA45
(29)Ta có AC hình chiếu vng góc SC mặt phẳng ABC Suy góc đường thẳng SC mặt phẳng ABC bằngSCA Ta có AC a ,SAa 2nên tam giác SAC vuông cân A 450 Câu 33 ChọnB
Ta có SAABC nên đường thẳngAC hình chiếu vng góc đường thẳng SC lên mặt phẳng ABC
Do đó, SC,ABCSC AC, SCA (tam giác SAC vng A) Tam giác ABC vuông cân B nên AC AB 2a
Suy tanSCA SA 1
AC nên 45 o
Câu 34 ChọnA
Do SAABCD nên góc đường thẳng SB mặt phẳng đáy góc SBA Ta có cosSBA AB
SB
2
SBA60
Vậy góc đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng 60 Câu 35 ChọnC
2a 2a
S
C
B A
a 2 a 2
D A
B C
(30)Có SAABC nên AB hình chiếu SA mặt phẳngABC
SB ABC, SB AB, SBA
Mặt khác có ABC vuông C nên AB AC2BC2 a
Khi tan
3
SA SBA
AB
nên SB ABC, 30 Câu 36 ChọnA
Ta có SAABCtạiA nên ABlà hình chiếu SBlên mặt phẳng đáy Suy góc đường thẳngSBvà mặt phẳng đáy SBA
Tam giác SABvuông A nên cos 600
AB
SBA SBA
SB
Câu 37 ChọnA
Do SAABCD nên góc đường thẳng SC mặt phẳng đáy góc SCA Ta có SA 2a, AC 2a tanSCA SA
AC
1SCA45
a
2a
S
C
A B
D A
B C
(31)Vậy góc đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 45 Câu 38 ChọnD
Ta có cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy (ABC) Nên hình chiếu SC mặt phẳng đáy (ABC) AC
Vậy góc đường thẳng SC với mặt phẳng ABC góc SCA Câu 39 ChọnD
+) AClà hình chiếu SC ABCD nên SC ABCD, SC AC, SCA Ta có: AC AD2DC2 4a2a2 5a
Tam giác SACvuông A nên tan 3 5
5
SA a
AC a
Câu 40 ChọnA
AH hình chiếu SA ABC SA,ABCSA AH, SAH
SBC ABC
SH AH SAH vuông cân H SAH45 Vậy tan1
Câu 41 ChọnB
Từ giả thiết toán suy ra: A B hình chiếu vng góc AB' A B C ' ' Do đó, AB,A B C AB A B, AB A
Tam giác AB A vng A cóAA A B a AA B vuông cân A Suy AB,A B C AB A B, AB A 45
Câu 42 ChọnA
A
B
C
A'
B'
(32)Ta có SAABCDSB,ABCDSB BA, SBA
cot AB 2a
SA a
Câu 43 ChọnC
* Hình chiếu vng góc SC lên ABC BC nên góc SC với ABC góc SC BC
Câu 44 ChọnD
Góc SC ABCD góc SCO
4
BD aBO a
D A
B C
S
B
A
(33)
tan
2
SOBO SBO a a
2
AC aOCa Vậy
45 SCO Câu 45 ChọnC
Ta có: SN SP2a
Vì SM MNPSN,MNPSNM
cos
2
MN a
SNM
SN a
SNM60 Câu 46 ChọnD
ABCD hình vng cạnh 3a nên AC 3a
Xét tam giác SAB vuông A: SA SB2 AB2 4a ,
SA ABCD SC ABCD SCA Xét tam giác SAC vuông A:
2
34 SC SA AC a
34
sin
17
SA SCA
SC
M P
(34)Câu 47
Hình chiếu SC lên ABCD AC Do SC ABCD, SCA
2 4 2 5
AB AD
AC a a a SC2a Trong tam giác vuông SAC: cos 10
4 2
AC a
SCA
SC a
Câu 48
Ta có ABCDlà hình thoi cạnh 2a, ADC60 nên ACD 3
a
OD a
Góc đường thẳng SD mặt phẳng ABCDlà SDO tan SO SDO
DO
suy 30
(35)Câu 49 Ta có: SAABCD
Do AC hình chiếu SC lên ABCD
SC, ABCD
SC AC, SCA
Xét tam giác SAC vuông A có
6 3
tan
3
a SA SCA
AC a
30
SCA
Vậy góc SC ABCD 30
Câu 50
Gọi H trung điểm AB Ta có SH (ABCD)
2
ABCD
S a
a
a
a
A D
B C
(36)1 ABCD
V S SH 15
2
ABCD
V a
SH S
2
2 a CH AC AH
SC ABCD, SC CH,
tanSCH SH CH
Vậy SC ABCD, 60o
Câu 51 Ta có MC hình chiếu MC lên ABC Suy C CM Xét tam giác MCC vng C có: tan
3
CC a
CM a
Câu 52
Dễ thấy AH hình chiếu vng góc SA lên mặt phẳng đáy Do góc tạo SA ABC SAH
Mặt khác, ABC SBC
2 a
SH AH
Vậy tam giác SAH tam giác vuông cân đỉnh H
hay SAH 45
a
a a
a
a
H
A B
C
(37)Câu 53
- Nhận thấy AC hình chiếu vng góc SC mặt phẳng ABC nên góc SC ABC góc SCA
- Do SAC vng cân A nên SCA450
Câu 54
Vì SAABCnên SB ABC, SBA Suy tanSBA SA
AB
SBA60
Câu 55
2
tan
2
SA a
AC a
S
A C
B
a 2a
C A
B
D
(38)Câu 56
Do tam giác SAB vuông cân Snên Hlà trung điểm AB ta có
SH ABa
Góc cạnh SC mặt đáy góc SCH Xét tam giác vng HSC có 3
2 a
HC a , SH a nên tan HS SCH
HC
30 SCH
Câu 57 ChọnD
Gọi H trung điểm cạnh BC SH BC; BC
SH (SBC đều)
;
SBC ABC
SBC ABC BC SH ABC
SH AB SH SBC
SA ABC; SA AH; SAH
ABC
vuông A H; trung điểm
2 BC BCAH
SAH
vuông
tan 60
2
BC SH
H SAH SAH
BC AH
(39)Câu 58
Trong tam giác ABC kẻ đường cao AK CF AKCF E nên E trực tâm tam giác ABC
SC SA SC SB
SC SAB
hay SC AB
Mà CF AB nên ABSCFABSE Chứng minh tương tự ta BCSAK
BC SE
Vậy SE ABC
Ta có CE hình chiếu SC lên mặt phẳng ABC
SC ABC, SC CE, SCE
Ta có tam giác SCF vuông S nên 12 12 12
SE SC SF Mặt khác tam giác SAB vuông S nên 12 12 12
SF SA SB Suy 2 2
1 1
SE SC SA SB 2
1
SE a
3
a
SE
sinSCE SE
SC
:
3
a a
3
Câu 59 Ta có:
+ S ABCD hình chóp SOABCD + BD AC BD SAC SBD SAC
BD SO
S A
B
C
F E K
F E
O
A D
C B
(40)+ EF BD// EF//ABCD
+ SA ABCD, SA AO, SAO45
Câu 60
Gọi H trung điểm BC suy SH ABC Do hình chiếu SA lên mặt phẳng ABC AH
Do ΔABC ΔSBC cạnh a nên SH AH ΔSAH vuông cân H
SA ABC, SAH 45
Câu 61 ChọnA
Ta có: , , ,
a d C BMB d C BMB d A BMB ,
Trong tam giác ABCcó:AC2 ,a BM a AM, a suy tam giác ABM tam giác cạnh a Dựng hình bình hành AA H H suy HBMB, Klà hình chiếu A lên H H
BM AH
BM AA H H BM AK
BM A H
,
AK BM a
AK BMB d A BMB AK
AK HH
Trong hình bình hành AA H H ta có
4
A H AK a
AK HH A H AH
HH AH a
Mặt khác: AA,ABCAA AH, A AH'
Trong tam giác vuông AA H' có ' '
sin 60
2
A H A H
AA H AA H
AA HH
Dạng 3.2 Góc cạnh bên với mặt phẳng bên H
B A
(41)Vì ABCD hình thoi AOBD
Mà AOSO SOABCD Suy AOSBD hay O hình chiếu A lên SBD Suy góc SA mặt phẳng SBD góc ASO (ASO90do SAO vng O)
Câu 63
Dễ thấy CBSAB SB hình chiếu vng góc SC lên SAB Vậy góc đường thẳng SC mặt phẳng SAB CSB
Tam giác CSBcó 90 ; ; tan
3
CB a
B CB a SB a CSB
SB a
Vậy CSB 30
Câu 64 Gọi O tâm đáy ABCD
Ta có BOAC BOSA nên SO hình chiếu SB SAC Suy BSO
Lại có 2 a
BO , 2
2
SB SA AB a Suy sin BO SB
O
D A
B C
S
A
B C
D S
(42)Câu 65
Gọi O tâm hình vng ABCD BOSAC SB SAC, BSO Ta có SBa 7, sin BO
SB
2
7 a a
14
Câu 66
Kẻ BH AC HAC BH SAC
SH hình chiếu BH mặt phẳng SAC Góc SB mặt phẳng SAC BSH Ta có
2
2
AB BC a
BH
AB BC
, SB SA2AB2 a
Trong tam giác vng SBH ta có sin BH BSH
SB
BSH 30
D
B
A
C S
(43)Câu 67
Hình lăng trụ đứng ABC A B C nên BBA B C BB A B A B BB 1
Bài có ABBC A B B C
Kết hợp với 1 A B BCC B A B BCC B ; A BB
tan A B BCC B ; tanA BB
A B
BB
a a
3
A B BCC B ; 30 Câu 68 ChọnB
Trong SAB kẻ AHSB HSB Vì SA BC BC SAB BC AH
AB BC
Mà SBAH cách dựng nên AH SBC, hay H hình chiếu A lên SBC suy góc SA SBC góc ASH hay góc ASB
Tam giác ABC vng B AB AC2BC2 a Tam giác SAB vuông A sin 30
2
AB
ASB ASB
SB
Câu 69 ABC vuông cân A AB ACa ABA
vuông AA B a
Ta có C A A B C A AA
C A ABB A
C
B A
C'
B' A'
A
B
C S
(44)BA
hình chiếu BC lên mặt phẳng ABB A
BC; ABB A BC BA;
A BC
vuông A tan ABC A C A B
a
a
2
Câu 70 ChọnD
Ta có: (BCC B )
AB BC
AB
AB BB , suy BB hình chiếu vng góc AB mặt phẳng
(BCC B )
Vậy góc đường AB (BCC B )chính góc góc AB B Xét tam giácABBvng Bcó BBAA1, 2
3
AB AC BC
Suy tan 3 60
AB
AB B AB B
BB
Câu 71 ChọnC
Gọi O tâm hình thoi ABCD, gọi H hình chiếu vng góc A lên SO, ta có:
BD AC
BD SAC BD AH
BD SA
Từ AHSO AH, BD suy AH SBD, hay SH hình chiếu vng góc SA lên SBD,
C'
B' A
B
C
A'
O
B S
C D
(45)Suy SA SBD, SA SO, ASO Ta có ABC cạnh 2a nên OAa
SAO
vuông A nên tan 30
3 OA
ASO AOS
SA
Câu 72 ChọnC
Ta có BC AB, BCSA BCSAB
Hình chiếu vng góc SC lên mặt phẳng SAB SB
Suy góc đường thẳng SC mặt phẳng SAB góc BSC Xét tam giác SBC vng B có SB SA2AB2 2a2a2 a
3 BC ADa
Suy tam giác SBC vuông cân B Suy BSC45
Vậy góc đường thẳng SC mặt phẳng SAB 45 Câu 73 ChọnA
Gọi I tâm hình vng ABCD
Vì ABCD hình vng nên BDAC; Vì SAABCD nên SABD Suy BDSAC, góc đường thẳng SB SAC góc BSI Ta có: SBa 2;
2 a
BI sin 30
2
BI
BSI BSI
SB
D
A
C
B S
I
D
C B
(46)Câu 74
Ta có:
SAB ABCD
SAC ABCD
SAB SAC SA
SA ABCD
Mà
AB AD
AB SA
AD SA A
AB SAD
cos SB SAD, cosBSA
2
SA SA AB
2
Câu 75
Ta có: BC AB SA SAB BC SA
SB hình chiếu vng góc SC lên SAB
SC SAB, CSB
Tam giác SAB vng A có: 2
3
SB SA AB a
Tam giác SBC vng B có: tan 30
3 BC
CSB CSB
SB
(47)Câu 76
Gọi O tâm hình vng ABCD ta có AOBD (1)
Mặt khác ta lại có ABCD A B C D hình lập phương nên BB ABCD BBAO (2) Từ (1) (2) ta có AOBDD B AB,ABCDAB B O, AB O
Xét tam giác vng AB O có sin AO AB O
AB
AB O 30
Vậy AB,ABCD30
Câu 77 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, gốc tọa độ trùng với điểm A, trục Ox nằm đường thẳng AD, chiều dương từ AD,
Tương tự trục Oy nằm đường thẳng AB, chiều dương từ AB, trục Oz nằm đường thẳng AS, chiều dương từ AS
Vậy A0 0, , ,D4 0, , ,B 0, , ,C4 0, , ,S 0 1, , Ta có mặt phẳng
4 x y z
SBD : 3x4y12z120, SC4 1, , Gọi góc tạo SC SBD
12 26 sin
338
Câu 78 Ta có
CD AD
CD SAD
CD SA Do góc SCvà mặt phẳngSAD góc
CSD
2 2
2
tan
2 15
CD CD a
CSD
SD SA AD a a
Câu 79 ChọnC
O D' B'
A'
C'
C B
A D
D
C B
(48)Theo giả thiết, ABD tam giác
Gọi H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD Do SASBSD nên S nằm trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD suy SH ABD hay SH ABCD
Do SBC SBH nên từ H kẻ HK SB K HKd H ,SBC
2 2
1 1 15
9
a HK
HK HB HS
Mặt khác, , , , , 15
3
a
d H SBC d A SBC d D SBC d D SBC
Gọi O hình chiếu vng góc điểm D SBC Khi đó: SD SO, DSO
, 15
6
a
DOd D SBC
Xét tam giác SDO vng O có:
15
sin
3
a DO
SD a
Câu 80 ChọnA
Gọi O ACBD Ta có:
DO AC
DO ABCD
DO SA SA ABCD
SO
hình chiếu SD lên mặt phẳng SACSD SAC; SD SO; DSO Xét SAD vuông A: 2
3
SD a a a
H
I
D
B C
A
S
K
(49)Xét SOD vng O: có SD2a, sin sin
2
a DO
OD DSO
SD
Câu 81 ChọnA
Trong mặt phẳng ABCD kẻ AH CD H
Trong mặt phẳng SAH kẻ AK SH K Khi AK SCD nên góc SA mặt phẳng SCD ASH
Tam giác ADC nên a AH
Trong tam giác vng ASH có tan AH ASH
AS
Câu 82
Trong mặt phẳng ABC kẻ BH AC
Mà BH SA BH SAC
Góc đường thẳng SB mặt phẳng SAC BSH Xét tam giác ABH vuông H,
.sin 60
(50)0 cos 60
AH AB
2 a
a
Xét tam giác SAH vuông S, 2
SH SA AH
2 2
a a
a
Xét tam giác SBH vuông Hcó SH HBa suy tam giác SBH vng H Vậy
45 BSH
Câu 83
Ta có sinSB SAC; d B SAC ;
SB
d D SAC ;
SB
Xét tam giác ABC ta có AC BA2BC22BA BC .cosBAC a
2 2
2
BA BC AC
BO
2 2
4
2
a a a a
3 BD a
SB SD2BD2 3a23a2 a
Xét tam giác ADC ta có
sin sin
AD AC
C D
sin sinC AD D
AC
sin120
7 a a 21 14
Gọi K hình chiếu D lên AC, I hình chiếu D lên SK Ta có
AC DK AC DI AC SD
Do DI SK DI AC ;
d D SAC DI
Mặt khác sinC DK DC
(51)Xét tam giác SDK ta có
2
SD DK DI
SD DK
2
21
7 21
49
a a
a a
6 a
Vậy sinSB SAC; d D SAC ;
SB
DI
SB
6
6 a a
4
Trong mặt phẳng SDK kẻ DI SK suy d D SAC ; DI
Câu 84
Gọi H tâm hình vng A B C D
Ta có A H B D , A H BBA H BB D D BH hình chiếu A B BB D D
A H BB D D ,
A BH sin A H
A B
2
2 a a
1
Câu 85
Kẻ BH AC H( AC) theo giả thiết BH SA nên BH (SAC)
Do đó, SH hình chiếu vng góc SB lên mặt phẳng (SAC)
Suy ra, (SB SAC, ( ))(SB SH, )B HS
Mà ta có: SBa 6, HB ABsin 600 a sin( S )
B H
B HS 450
600 A
B
C S
(52)Dạng3.3Gócgiữađườngthẳngkhácvớimặtphẳng
Câu 86
Dựng hình bình hành ABFC
Ta có EM //SFnên góc EM SBD góc SF SBD //
FB AC FBSBD góc SF SBD góc FSB Ta có tanFSB BF AC
SB SB
Vậy chọn D
Câu 87
Ta có // //
// MN B D
MN BD
BD B D
bốn điểm M , N, B, D đồng phẳng
Lại có tứ giác BCPM hình bình hành
// CP BM
BM DMN
//
CP DMN
CP DMN,
F E
M
O C
A B
D
S
A
B C
D A
B
C
D
M
(53)Câu 88
Gọi N trung điểm BC Ta có góc CM với mp BCD góc MCN +
2 AB MN a
+
2 a CN
Vậy tan 2
3 MN
a
CN a
Câu 89
Gọi H trung điểm AB SH ABCD a SH
Gọi P trung điểm CH MP SH// MPABCD, suy góc MN với mặt đáy ABCD góc MNP (do MPN90)
Có
2
a MP SH ,
2 AH CD
PN
2
a a
a
tanMNP MP
PN
3
3 3
4
a a
MNP30
Câu 90 Trong AMD, kẻ NH MD, suy NH BCD
Nên MD hình chiếu vng góc MN lên mặt phẳng BCD
P H
M
N D
A
B C
(54)Khi MN BCD, MN MD, NMD
Ta có NMD vng N tan 2 2 a ND MN
a
Câu 91 ChọnC
Có BC AB BC SAB BC SA
Có BM hình chiếu CM lên mặt phẳng SAB Suy CM SAB; CMB Ta có
2 2 2
2 2.2
tan
2
BC AB AB a
CMB
MB SB SA AB
a a
45 CMB
Vậy CM;SAB45
Câu 92 ChọnB
Gọi E trung điểm đoạn KH, ta có AHK vng cân A
AH AK a nên AEKHdo
AE SH
AE SHK
AE HK
, suy
SA SHK, SA SE, ASE
Mà 1 2
2
a AE KH AH AK
M A
B
(55)SEA
vuông E có sin AE SA
Vậy sin Câu 93 ChọnD
Gọi O tâm hình vng Ta có SOABCD
2
2
2
a a
SO a
Gọi M trung điểm OD ta có MH/ /SO nên H hình chiếu M lên mặt phẳng ABCD
và
2
a
MH SO
Do góc đường thẳng B M mặt phẳng (ABCD) MBH Khi ta có
2 tan
3
3
4
a MH MBH
BH a
Vậy tang góc đường thẳng B M mặt phẳng ABCD
3
Câu 94 ChọnA
Do M N P Q, , , trung điểm SA SB SC SD, , , nên mặt phẳng (ABCD) song song mặt phẳng (MPQ) suy góc đường thẳng DN mặt phẳng MQP góc đường thẳng DN mặt phẳng ABCD
O A
B C
D S
M
H
K Q
P N
M
O D
S
A
(56)CóK SODN Do S ABCD hình chóp nên SO (ABCD) suy hình chiếu vng góc đường thẳng DN mặt phẳngABCD đường thẳng DO nên
(DN ABCD,( )) ( DN DO, )
Xét tam giác vng SOAcó
2 ;
OA a SA a SO a Mà K trọng tâm tam giác
1
3
a
SBD OK SO OD OKDvuông cân O hay KDO 450
Hay 450
2
,( ) cos ,( )
DN MPQ DN MPQ
Câu 95 ChọnA
Ta có sin d D SBC , d A SBC ,
BD BD
SAB SBC
SAB SBC SB
Kẻ AH SB AH SBC AH d A SBC ,
2 2 2
1 1 1
AH AB AS a a a
2
a AH
2
2
BD BA AD a
Vậy sin , 2
2.2
d A SBC AH a
BD BD a
Câu 96 ChọnD
Gọi O ACBD, I J, trung điểm OS OB, O
A
C S
B
(57)Ta có / / / / NI SBD OA SBD MJ SBD
NI AC MJ
Suy MN SBD, MN IJ, Có:
/ / / /
NI AC MJ
NI AC MJ
MJNI
hình bình hành Gọi K MNIJ suy K trung điểm
của IJ MN đồng thời NI IK
Ta có
2
tan tan
2 a NI OA NKI a IK SB
a cạnh hình vng ABCD
Câu 97
Gọi E, F trung điểm SO,OB EF hình chiếu MN SBD Gọi P trung điểm OA PN hình chiếu MN ABCD
Theo ra: MNP60
Áp dụng định lý cos tam giác CNP ta được:
2 2
2 cos 45
NP CP CN CP CN
2
2
3 2
2
4 4 2
a a a a a
Suy ra: 10
4
a
NP , tan 60 30
4
a
MP NP
; 30
2
a
SO MP
2
2
SB SO OB a EF a
Ta lại có: MENF hình bình hành ( ME NF song song 2OA) Gọi I giao điểm MN EF, góc MN mặt phẳng SBD làNIF
cos
2 10
IK a
NIF
IN a
(58)Câu 98
Ta có B G ABC nên BG hình chiếu BB lên mặt phẳng ABC
BB, ABC BB BG,
B BG 60
Gọi M trung điểm BC H hình chiếu A lên B M , ta có
BC AM
BC B G
BC AB M
BC AH
Mà AH B M nên AH BCC B
Do HB hình chiếu AB lên mặt phẳng BCC B
AB BCC B,
AB HB, ABH
Xét tam giác ABH vuông H có sinABH AH AB
B G BG tan 60 3 a
a
2
B M B G GM
2
2
a
a
39 a
Ta có AHM B GM AH AM B G B M
3
3
39 13
6
a a
a a
Vậy
3 13 sin
a ABH
a
13
G
M B
B'
C
C'
A A'
(59)Câu 99
Gọi D hình chiếu S lên ABC, ta có: BC SC BC SD BC CD
AB SA
AB SD AB AD
Mà ABC tam giác vuông cân B nên ABCD hình vng Gọi H trung điểm AD, ta có MH //SD mà MH ABCD Do HN hình chiếu MN lên ABC
MN, ABC
MN NH, MNH
2
SC SB BC 4a2a2 a
2
SD SC DC 3a2a2 a
tan MH NH SD AB 2 a a 2 cos tan 1 Câu 100 Ta có BDa 2
2
ODa
Xét tam giác SODvng O có:
2
2 2 2
2 a a
SO SD OD a
Kẻ MH BD Hnên BM;ABCDMBH
a
a
2 a
(60)Do MH BDMH//SO Ta có
MH MD HD
SO SD OD
2
3
MH SO a
3
a
HD OD 2
6
BH BDHDa a a
Xét tam giác BHMvuông H có:
tan BM; ABCD MBH MH
BH
1 tan ;
5
BM ABCD
DẠNG MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN KHÁC
Câu 101
Do SASBSC nên hình chiếu vng góc điểm S ABC trùng với tâm H đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Mặt khác tam giác ABC vuông C nên H trung điểm AB Câu 102 ChọnA
Xét khẳng định 1, Ta có: OI đường trung bình tam giác SAC nên OI/ /SA, mà
SA ABCD suy OI ABCD Khẳng định Xét khẳng định 2, Ta có: BD AC BD SC
BD SA
Khẳng định
Xét khẳng định 3, Ta có:
BD SAC O
BD SAC
, O trung điểm BD Khẳng định
H C
A
B S
I
O
C
A D
B
(61)Xét khẳng định 4, Ta có:
2 2
2 2
2 2
SB SA AB
SC SA AC
SB SD SC
SD SA AD
AB AC
Khẳng định sai
Vậy khẳng định số khẳng định sai Câu 103 ChọnA
Áp dụng tính chất nửa lục giác đều, ta có BD AB
Mặt khác, BDSA Suy BDSAB, ta BD AM Kết hợp AM MD, ta AM SBD Suy AM SB Khi
2
2 2
3
4
SM SM SB SA a
SB SB SB a
O mặt phẳng ABC
AH BC nên H trực tâm tam giác ABC
Câu 104
Đặt SA x
Gọi O tâm tam giác ABCSOABC
Hình chiếu SA mặt phẳng BCD AO góc cạnh bên SA mặt đáy góc
60 SAO
Xét tam giác vuông SAO: cos 60 AO
SA
3
cos 60
2
a
AO a
SA
A D
B C
S
(62)Câu 105
Dễ thấy SBA 45 Ta có B D SC BDSC SC khơng vng góc với mặt phẳng SBD, suy BD/ /B D Nên từ I SOAC nên từ I kẻ B D / /BD cắt SB, SD B, D
Từ suy B D AC AB SC AB SB
AB BC
Suy
2
AB C D
S AC B D Mà a
AC
2
2
B D SB a
BD SB a
2 a B D
Vậy
2
AB C D
S AC B D a
Câu 106
Do P // SA MSAB P nên P SABMN(với NSB MN; //SA) Do P // AD MABCD P nên P ABCDMQ(với QBC MQ; // AD) Do P // AD NSBC P nên P SBCNP(với PSC NP; // AD//BC) Vậy thiết diện hình thang vng MNPQ
D'
B' I
O
B C
D A
S
C'
A D
B C
S
M Q
(63)Câu 107
Dựng AM A D ta có AM A DC AM A C ,
Tương tự, dựng AN A B ta có AN A BC AN A C Vậy mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu toán mặt phẳng AMN
Kéo dài AM DD K ,ANBB I , ASCC J với S MNA C Thiết diện AIJK thiết diện cần tìm
Dễ thấy ABCD hình chiếu vng góc AIJKlên mặt phẳng ABCD Ta có SABCD SAIJK.cosABCD , AIJK
Dễ thấy góc hai mặt AIJK ABCDlà góc hai đường A A &A C góc
AA C
Xét tam giác vuông A AC A 1v có cos 3 11 11
A A a
AA C
A C a
Vậy
cos ,
ABCD AIJK
S S
ABCD AIJK
2 11
AIJK
a S
Câu 108 ChọnA
O'
I J
T S
O
B C K
A
C'
A' B'
D'
D M
(64)Xét SBC vuông cân S BC, 2a ta có:
2 2 2 2
2 2
SB SC BC SB a SB a SBa SASC
Gọi J trung điểm BC, SJA kẻ GK/ /SA cắt SJ K
Trong SBC kẻ đường thẳng qua K song song với SB cắt SC CB H I Trong SAC kẻ HM/ /SA cắt SC M
Do mặt bên hình chóp S ABC tam giác vng S nên ta có:
SA SC
SA SBC SA SB
mà GK/ /SAGK SBCGK SC (1)
Do
/ / SB SC
IH SC IH SB
(2)
Từ (1) (2) SCHMI Vậy thiết diện HMI
Ta có: KG/ /SA KJ; / /SB G trọng tâm ABC nên
3
JG JK JI CI
JA JS JB CB
Mặt khác: HI / /SB HM; / /SA nên ta có:
2 2
3 3
CI HI a
HI SB
CB SB
2 2
3 3
CI CH HM a
HM SA
CB CS SA
Do SB(SAC;HI/ /SBHI SACHI MH HMIvuông H
Diện tích HIM là:
2
1 2
2
HIM
a a
S HM HI
Câu 109 ChọnB
(65)Gọi N trung điểm BC Kẻ MN/ /ACMN/ / ' 'A C
Mặt phẳng A C M' ' cắt lăng trụ theo thiết diện hình thang A C NM' '
Gọi E E, ' trung điểm AC A C' ' Gọi H giao điểm MN BE
Ta dễ dàng chứng minh MN E HE'
Ta có
' ' '
A C NM ABC MN
EH MN
E H MN
A C NM' ' , ACNMHE HE, 'E HE'
Ta có 3
2
a a
BE HE
2
2 2 35
' '
16
a a
E H E E EH a
Từ cos
' 35 35
HE a
HE a
Diện tích hình thang cân
2
3
2 16
ACNM
a a
a
MN AC HE a
S
Ta có SACNM SA C NM' ' cos,
2
' '
3 35 35
cos 16 16
ACNM A C NM
S a a
S
Câu 110 Ta có AB SA
AB AD
ABSAD Mà
P
qua Mvà vng góc với AB nên P // SAD P //SA
, P //AD P //SD
(66)Trong mặt phẳng ABCD kẻ MN AD// với NCD Trong mặt phẳng SCD kẻ NP SD// với PSC
Vì Mlà trung điểm AB nên N , P, Q trung điểm cạnh CD, SC, SB Do thiết diện hình thang MNPQ vng Q M
Ta có
1
MN ADBC 18 6
2 ,
MQ SA
và
1
3
PQ BC
Vậy diện tích thiết diện :
2
MNPQ
MN PQ QM
S 7 3 15
2
Câu 111 Gọi H trực tâm tam giác ABC, tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc nên ta có OH ABC 2 12 12 12
OH OA OB OC
Ta có OA ABC; OAH, OB ABC; OBH, OC ABC; OCH Nên sin OH
OA
, sin OH OB
, sin OH OC
Đặt aOA, bOB, cOC, hOH 12 12 12 12 h a b c
3 cot cot cot
M 12 12 12
sin sin sin
2 2
2 2
2 a b c
h h h
2 2 2 2 2 2
2
1 1
8 a b c a b b c c a a b c
h h h
Ta có: a2 b2 c2 12 h
a2 b2 c2 12 12 12
a b c
3 2 3
2 2
1 1
3 a b c .3
a b c
2 2 2
4 a b b c c a
h
2
2 2 2
2 2
1 1
a b b c c a
a b c
2
3 2 2 2
3
2 2
1 1
3 a b b c c a
a b c
3 4 3
4 4
1
3 a b c 27
a b c
2 2 a b c
h
3
2 2 2
3
2 2 2
1 1 1
27
a b c a b c
a b c a b c
Do đó:
2 2 2 2 2 2
2
1 1
8
M a b c a b b c c a a b c
h h h
8 4.9 2.27 27 125
(67)h
c
b a
α
A
O
B