Chuyên đề 1: Phương trình đại số & bất phương trình đại số

Cao Minh Nhaân Tùy theo số nghiệm của phương trình 2 mà ta suy ra được số nghiệm cuûa phöông trình 1.. Phöông trình baäc ba:.[r]

Cao Minh Nhaân Chuyên đề 1: PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ & BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TOÙM TAÉT GIAÙO KHOA CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC CƠ BẢN (a  b)2  a2  2ab  b2 (a  b)2  a2  2ab  b2 a  b  (a  b)  2ab a  b  (a  b)  2ab (a  b)3  a3  3a2b  3ab2  b3 a  b3  (a  b)3  3ab(a  b) a2  b2  (a  b)(a  b) (a  b)3  a3  3a2b  3ab2  b3 a3  b3  (a  b)(a2  ab  b2 ) a3  b3  (a  b)(a2  ab  b2 ) AÙp duïng: Biết x  y  S và xy  P Hãy tính các biểu thức sau theo S và P a) A  x  y b) B  (x - y) c) C  x  y A PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ I Giaûi vaø bieän luaän phöông trình baäc nhaát: Daïng : x : aån soá  a, b : tham soá ax + b = (1) Giaûi vaø bieän luaän: Ta coù : Bieän luaän: (1)  ax = -b (2) b a  Nếu a = thì (2) trở thành 0.x = -b * Neáu b  thì phöông trình (1) voâ nghieäm * Nếu b = thì phương trình (1) nghiệm đúng với x Toùm laïi : b  a  : phöông trình (1) coù nghieäm nhaát x   a  a = vaø b  : phöông trình (1) voâ nghieäm  a = và b = : phương trình (1) nghiệm đúng với x  Neáu a  thì (2)  x   Lop12.net d) D  x4  y4 Cao Minh Nhaân AÙp duïng: Ví duï : Giaûi vaø bieän luaän caùc phöông trình sau: 1) m x   x  2m xm x2  2) x 1 x 1 Ñieàu kieän veà nghieäm soá cuûa phöông trình: Ñònh lyù: Xeùt phöông trình ax + b = (1) ta coù:  (1) coù nghieäm nhaát   (1) voâ nghieäm   (1) nghiệm đúng với x  a 0 a   b  a   b  AÙp duïng: Ví duï : 1) Với giá trị nào a, b thì phương trình sau nghiệm đúng với x a  ( x  1)a  x  b  2) Với giá trị nào m thì phương trình sau có nghiệm 2x  m x  2m   x 1  x 1 x 1 II.Giaûi vaø bieän luaän phöông trình baäc hai: Daïng: (1) ax  bx c x : aån soá  a, b , c : tham soá Giaûi vaø bieän luaän phöông trình : Xét hai trường hợp Trường hợp 1: Nếu a  thì (1) là phương trình bậc : bx + c =  b  : phöông trình (1) coù nghieäm nhaát x   c b  b = vaø c  : phöông trình (1) voâ nghieäm  b = và c = : phương trình (1) nghiệm đúng với x Trường hợp 2: Nếu a  thì (1) là phương trình bậc hai có b ) ' b '2 ac với b' (  Bieät soá b2 4ac Bieän luaän:  Neáu  thì pt (1) voâ nghieäm x2  Neáu  thì pt (1) coù nghieäm soá keùp x1  b 2a  Neáu  thì pt (1) coù hai nghieäm phaân bieät x1,2  b  2a Lop12.net x2 ( x1  ( x1,2  b'  a b' ) a ' ) Cao Minh Nhaân AÙp duïng: Ví duï 1: Giaûi caùc phöông trình sau: a)  12 x x 12 x  b) x  2x   3 ( x  1) Ví duï 2: Giaûi vaø bieän luaän phöông trình : x  x  m( x  1)  Ñieàu kieän veà nghieäm soá cuûa phöông trình baäc hai: bx c (1) Ñònh lyù : Xeùt phöông trình : ax  a  a    b     c    Pt (1) voâ nghieäm  Pt (1) coù nghieäm keùp  Pt (1) coù hai nghieäm phaân bieät  Pt (1) coù hai nghieäm  Pt (1) nghiệm đúng với x a      a      a      a    b  c   Ñaëc bieät Nếu pt(1) có hệ số a,c thoả a.c < thì pt(1) luôn có hai nghiệm phân biệt AÙp duïng: Ví dụ 1: Với giá trị nào m thì phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: 2x  x   mx x 1 Ví dụ 2: Với giá trị nào m thì phương trình sau có ba nghiệm phân biệt: ( x  1)( x  2mx  m  2)  Định lý VIÉT phương trình bậc hai: bx c  Ñònh lyù thuaän: Neáu phöông trình baäc hai : ax  ( a  ) coù hai nghieäm x1, x2 thì b  S  x1  x   a   P  x x  c a   Định lý đảo : Nếu có hai số , phöông trình maø     S vaø    P ( S  P) thì , Lop12.net laø nghieäm cuûa Cao Minh Nhaân x2 - Sx + P =  YÙ nghóa cuûa ñònh lyù VIEÙT: Cho phép tính giá trị các biểu thức đối xứng các nghiệm ( tức là biểu thức chứa x1, x2 và x  x 22 1 không thay đổi giá trị ta thay đổi vai trò x1,x2 cho Ví dụ: A    ) maø x1 x x1 x khoâng caàn giaûi pt tìm x1, x2 , tìm hai soá bieát toång vaø tích cuûa chuùng … Chuù yù:  Nếu pt (1) có các hệ số thoả mãn a+b+c=0 thì pt (1) có hai nghiệm là x1 1 và x c a vaø x  Nếu pt (1) có các hệ số thoả mãn a-b+c=0 thì pt (1) có hai nghiệm là x1  AÙp duïng: Ví duï : Cho phöông trình: x  x  m   (1) Với giá trị nào m thì pt (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x12  x 22  Ví duï 2: Cho phöông trình: x  2mx  3m   (1) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1  x  Ví duï 3: Cho phöông trình: (3m  1)x  2(m  1)x  m   (1) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1  x  Daáu nghieäm soá cuûa phöông trình baäc hai: Dựa vào định lý Viét ta có thể suy định lý sau: bx c (1) Ñònh lyù: Xeùt phöông trình baäc hai : ax   >   Pt (1) coù hai nghieäm döông phaân bieät  P > S >   >   Pt (1) coù hai nghieäm aâm phaân bieät  P > S <   Pt (1) coù hai nghieäm traùi daáu  P<0 ( a  0) AÙp duïng: Ví dụ : Với giá trị nào m thì phương trình sau có hai nghiệm dương phân biệt: mx  x  m  II Phöông trình truøng phöôngï: 1.Daïng : ax  bx c (a 0) (1) 2.Caùch giaûi:  Đặt ẩn phụ : t = x2 ( t  ) Ta phương trình: at  bt  c  (2) Giải pt (2) tìm t Thay t tìm vào t = x2 để tìm x Lop12.net c a Cao Minh Nhaân Tùy theo số nghiệm phương trình (2) mà ta suy số nghiệm cuûa phöông trình (1) AÙp duïng: 89x  25 với x  0; x  2x Ví dụ 2: Với giá trị nào m thì phương trình sau có nghiệm phân biệt: x  x   m III Phöông trình baäc ba: Ví du 1ï: Giaûi phöông trình : 32x3  Daïng: (1) ax  bx cx d (a  0) Cách giải: Áp dụng biết nghiệm phương trình (1) Bước 1: Nhẩm nghiệm phương trình (1) Giả sử nghiệm là x = x0 Bước 2: Sử dụng phép CHIA ĐA THỨC sơ đồ HOÓCNE để phân tích vế trái thành nhân tử và đưa pt (1) dạng tích số : (1)  (x-x0)(Ax2+Bx+C) =  x  x0   Bx C (2)  Ax  Bước 3: Giải phương trình (2) tìm các nghiệm còn lại ( có) AÙp duïng: Ví duï 1: Giaûi caùc phöông trình sau: a) x  x  12 x   b) x  x  x   x  Ví dụ 2: Với giá trị nào m thì phương trình sau có ba nghiệm phân biệt x  x   mx  m  Chuù yù Ta có thể áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử kỷ thuật sử dụng sơ đồ HOÓCNE, để giải các phương trình đa thức bậc cao (với điều kiện nhẩm nghiệm đa thức) Ví duï: Giaûi phöông trình: x  x  x  21x  18  IV PHÖÔNG TRÌNH BAÄC BOÁN QUY VEÀ BAÄC HAI BAÈNG PHEÙP ÑAËT AÅN PHUÏ 1.Daïng I: ax  bx c (a 0)  Ñaët aån phuï : t = x2 Daïng II ( x  a)( x b)( x c)( x d ) k (k ) đó a+b = c+d  Ñaët aån phuï : t = (x+a)(x+b) Lop12.net Cao Minh Nhaân 3.Daïng III: 4.Daïng IV: ( x  a )4 ( x b )4 (k 0)  Ñaët aån phuï : t = x  ab ax  bx cx k bx a Chia hai veá phöông trình cho x2  Ñaët aån phuï : t = x  Lop12.net x Cao Minh Nhaân B BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ I Baát phöông trình baäc nhaát: Daïng : (hoặc ax  b  (1) , ,  ) Giaûi vaø bieän luaän: Ta coù : (1)  ax  b (2) Bieän luaän:    b a b Neáu a  thì (2)  x   a Nếu a  thì (2) trở thành : 0.x  b * b  thì bpt voâ nghieäm * b  thì bpt nghiệm đúng với x Neáu a  thì (2)  x   AÙp duïng: Ví duï1: Giaûi vaø bieän luaän baát phöông trình : mx   x  m 2 x    Ví duï 2: Giaûi heä baát phöông trình sau: 4  x  3 x    2x   x  Ví dụ 3: Với giá trị nào m thì hệ phương trình sau có nghiệm:  5x  2m   x  m II Dấu nhị thức bậc nhất: Daïng: f ( x)  ax  b (a  0) Bảng xét dấu nhị thức: x ax+b   Trái dấu với a b a  Cùng dấu với a AÙp duïng: Ví dụ : Xét dấu các biểu thức sau: A  ( x  3)( x  1)(2  x) III Dấu tam thức bậc hai: Lop12.net B x7 ( x  2)(2 x  1) Cao Minh Nhaân f ( x)  ax  bx  c Daïng: (a  0) Bảng xét dấu tam thức bậc hai: 0   b  4ac 0 x f(x) x  Cuøng daáu a   Cuøng daáu a f(x) 0   x f(x) b 2a x1 Định lý: Cho tam thức bậc hai: f ( x)  ax  bx  c f (x)  x  R  f (x)  x  R  f (x)  x  R  f (x)  x  R (a  0)     a      a      a      a  AÙp duïng: Ví dụ1 : Cho tam thức f ( x)  (m  1) x  2(m  1) x  3(m  2) Tìm m để f (x)  x  R Ví dụ 2: Với giá trị nào m thì 2  IV Baát phöông trình baäc hai: Daïng: Cuøng daáu a x2  Cuøng daáu a Traùi daáu a Cuøng daáu a Điều kiện không đổi dấu tam thức:   2x  x  3a  thỏa với x   x2  x  ax  bx  c  ( , ,  ) Cách giải: Xét dấu tam thức bậc hai vế trái chọn nghiệm thích hợp Lop12.net Cao Minh Nhaân AÙp duïng: 3 x  11  Ví duï1 : Giaûi caùc heä baát phöông trình: a)  b)  11x  10 x   x  2x   2 Ví duï : Giaûi baát phöông trình: 2x  x  Ví dụ 3: Với giá trị nào m thì phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: x  (2m  3) x  2(m  3)  2x  Ví duï 4: Tìm taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá: y  2x  x   x  5x  3 x  x     x  x   Ví dụ 5: Chứng minh phương trình sau vô nghiệm: x  2y  3x  5y   Ví duï 6: Tìm nghieäm nguyeân cuûa phöông trình: 3x  4y   6x  4y V So sánh số  với các nghiệm tam thức bậc hai f ( x)  ax  bx  c ( a  ) Ñònh lyù:  Tam thức có hai nghiệm x1 ,x thỏa    x1    x     Tam thức có hai nghiệm x1 ,x thỏa    x1  x       Tam thức có hai nghiệm x1 ,x thỏa      x1  x     Tam thức có hai nghiệm x1 ,x thỏa   nghiệm thuộc khoảng (;) và  nghiệm còn lại nằm ngoài đoạn [;]       a.f()  0          a.f()    S                  a.f()    S         f().f()  0 AÙp duïng: Ví duï 1: Cho phöông trình: x  2mx  3m   (1) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x1, x2 thỏa mãn  x1  x Ví dụ 2: Xác định m để phương trình : x  (m  5) x   5m  có nghiệm x  1;4 Ví dụ : Với giá trị nào m thì mx  4x  3m   với x  (0;  ) Lop12.net Cao Minh Nhaân Ví dụ : Với giá trị nào m thì 2x  mx   với x   1;1 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN: x  2x   mx   2m (1) x2 Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt Baøi 2: Cho phöông trình: x  (m  1) x  3m   (1) Baøi 1: Cho phöông trình: (m>1) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm dương phân biệt Baøi 3: Cho phöông trình: mx  x  m 0 x 1 (  m  3 m  ) (1) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt ( Baøi 4: Cho phöông trình: x  mx  m   (1) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt  m 0) (m   m  2) Baøi 5: Cho phöông trình: ( x  1)( x  mx  m)  (1) (m   m   m   ) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt Baøi 6: Cho phöông trình:  x  x  k  3k  (1) Tìm k để phương trình (1) có nghiệm phân biệt Baøi 7: Cho phöông trình : mx  (m  1) x  3(m  1)  (1  k   k  0;2) (1) Với giá trị nào m thì pt (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa 1   x1 x (m  ) Baøi 8: Cho phöông trình : x  2(m  1) x  m  4m   (1) Với giá trị nào m thì pt (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa x1 x  2( x1  x )  (m  4) Baøi 9: Cho phöông trình: mx  x  m   (1) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn 1  1 x1 x (0  m   m  1)  x  m (1) x 1 Tìm m để pt (1) hai nghiệm phân biệt x1, x2 cho biểu thức d  ( x1  x ) đạt GTNN (m  0) Baøi 10: Cho phöông trình:  x   x2  x 1  mx  (1) x 1 Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt nhỏ -1 Baøi 12: Cho phöông trình: x  mx  x  m   (1) 3 Baøi 11: Cho phöông trình: 10 Lop12.net (m ) Cao Minh Nhaân Tìm m để phương trình (1) có ba nghiệmphân biệt x1, x2, x3 thỏa mãn x12  x 22  x32  15 (m  1  m  1) Heát 11 Lop12.net