Đang tải... (xem toàn văn)
VẤN ĐỀ 1: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG BẢNG NGUYEÂN HAØM Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản.. Tìm nguyên hàm Fx của fx, rồi sử dụng trực tiếp định n[r]
(1)Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân CHÖÔNG III NGUYÊN HAØM, TÍCH PHÂN VAØ ỨNG DỤNG I NGUYEÂN HAØM Khaùi nieäm nguyeân haøm Cho haøm soá f xaùc ñònh treân K Haøm soá F ñgl nguyeân haøm cuûa f treân K neáu: F '( x ) f ( x ) , x K Neáu F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa f(x) treân K thì hoï nguyeân haøm cuûa f(x) treân K laø: f ( x )dx F ( x ) C , C R Mọi hàm số f(x) liên tục trên K có nguyên hàm trên K Tính chaát f '( x )dx f ( x ) C f ( x ) g( x )dx f ( x )dx g( x )dx kf ( x )dx k f ( x )dx (k 0) Nguyên hàm số hàm số thường gặp Nguyên hàm hàm số sơ cấp thường gặp dx x C x dx x 1 C 1 1 dx x ln x C x 0 e dx e C x x ax C 0 a 1 ln a cos xdx sin x C sin xdx cos x C Nguyên hàm hàm số hợp đơn giản kdx kx C ax b ax b dx 1 1 a du u C C 1 dx ax b a ln ax b C x 0 e ax b dx ax b e C a a x dx dx tan x C cos x dx cot x C sin x tan xdx ln cos x c cot xdx ln sin x c Nguyên hàm hàm số hợp u du u 1 C 1 1 du u ln u C u 0 e du e C u u au C 0 a 1 ln a cos udu sin u C sin udu cos u C a u dx cosax bdx a sinax b C sinax bdx a cosax b C 1 dx tan ax b C a cos ax b 1 dx cot ax b C a sin ax b Ñinh Xuaân Thaïch – THPT Yeân Moâ B Trang Lop12.net cos u sin u du tan u C du cot u C (2) Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân Phöông phaùp tính nguyeân haøm a) Phương pháp đổi biến số Nếu f (u)du F (u) C và u u( x ) có đạo hàm liên tục thì: f u( x ) u '( x )dx F u( x ) C b) Phương pháp tính nguyên hàm phần Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì: udv uv vdu VẤN ĐỀ 1: Tính nguyên hàm cách sử dụng bảng nguyên hàm Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng bảng các nguyên hàm Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải: – Nắm vững bảng các nguyên hàm – Nắm vững phép tính vi phân Baøi Tìm nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau: a) f ( x ) x –3 x d) f ( x ) x x 2 x 1 e) f ( x ) x x x f) f ( x ) h) f ( x ) tan2 x i) f ( x ) cos2 x l) f ( x ) 2x4 c) f ( x ) b) f ( x ) ( x 1)2 g) f ( x ) 2sin2 k) f ( x ) x x2 cos x sin x.cos2 x e x o) f ( x ) e x cos x sin x.cos x n) f ( x ) e x e x – 1 x2 x x m) f ( x ) 2sin x cos x p) f ( x ) e3 x 1 Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước: a) f ( x ) x x 5; F (1) b) f ( x ) 5cos x; F ( ) Baøi 5x ; c) f ( x ) x e) f (x )= x3 x2 ; g) f ( x ) sin x.cos x; i) f ( x ) F (e) x2 ; d) f ( x ) x F (2) f) f ( x ) x x F ' 3 h) f ( x ) x3 3x3 3x ( x 1)2 ; F (0) Ñinh Xuaân Thaïch – THPT Yeân Moâ B F (1) x 3x x3 x2 x k) f ( x ) sin2 ; Trang Lop12.net ; F (1) 2 ; F (1) F 2 (3) Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân VẤN ĐỀ 2: Tính nguyên hàm f ( x )dx phương pháp đổi biến số Daïng 1: Neáu f(x) coù daïng: Khi đó: f(x) = g u( x ) u '( x ) thì ta ñaët t u( x ) dt u '( x )dx f ( x )dx = g(t)dt , đó g(t)dt dễ dàng tìm Chuù yù: Sau tính g(t )dt theo t, ta phaûi thay laïi t = u(x) Dạng 2: Thường gặp các trường hợp sau: f(x) có chứa x a sin t, a2 x a2 x Baøi Cách đổi biến t x a cos t, 2 0t x a tan t, x a cot t, t 2 0t Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 1): dx a) (5 x 1)dx b) d) (2 x 1)7 xdx e) ( x 5)4 x dx g) x 1.xdx k) sin x cos xdx n) e x dx c) 2xdx (3 x )5 3x h) x3 sin x l) dx cos x dx x e 3 d) g) (1 x )3 dx x2 x dx 1 x i) x (1 x )2 m) p) dx s) ln3 x dx dx x2 dx o) x.e x 1dx dx q) r) x x e 1 Bài Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 2): a) x f) b) dx (1 x ) e) x x dx h) Ñinh Xuaân Thaïch – THPT Yeân Moâ B dx x x 1 Trang Lop12.net tan xdx cos2 x e x x dx etan x cos2 x dx c) x dx f) dx x2 i) x x 1.dx (4) Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân VẤN ĐỀ 3: Tính nguyên hàm phương pháp tính nguyên hàm phần Với P(x) là đa thức x, ta thường gặp các dạng sau: P( x ).e u dv x dx P( x ).cos xdx P( x ).sin xdx P( x ).ln xdx P(x) cos xdx P(x) sin xdx lnx P(x) P(x) x e dx Tính caùc nguyeân haøm sau: a) x.sin xdx b) x cos xdx c) ( x 5)sin xdx d) ( x x 3) cos xdx e) x sin xdx f) x cos xdx g) x.e x dx h) x 3e x dx i) ln xdx k) x ln xdx l) ln2 xdx m) ln( x 1)dx n) x tan2 xdx o) x cos2 xdx p) x cos xdx q) x ln(1 x )dx r) x.2 x dx s) x lg xdx Baøi Baøi 2 Tính caùc nguyeân haøm sau: ln xdx a) e x dx b) d) cos x dx e) x.sin x dx f) sin xdx h) sin(ln x )dx i) cos(ln x )dx g) ln(ln x ) dx x c) sin x dx x Tính caùc nguyeân haøm sau: a) e x cos xdx b) e x (1 tan x tan2 x )dx c) e x sin xdx Baøi d) g) ln(cos x ) dx cos2 x x ln x x x 1 e) dx h) Ñinh Xuaân Thaïch – THPT Yeân Moâ B ln(1 x ) x2 f) x cos2 x dx x3 1 x dx dx Trang Lop12.net ln x i) dx x (5) Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân VẤN ĐỀ 4: Tính nguyên hàm phương pháp dùng nguyên hàm phụ Để xác định nguyên hàm hàm số f(x), ta cần tìm hàm g(x) cho nguyên hàm các hàm số f(x) g(x) dễ xác định so với f(x) Từ đó suy nguyên haøm cuûa f(x) Bước 1: Tìm hàm g(x) Bước 2: Xác định nguyên hàm các hàm số f(x) g(x), tức là: F ( x ) G( x ) A( x ) C1 F ( x ) G( x ) B( x ) C2 (*) Bước 3: Từ hệ (*), ta suy F ( x ) A( x ) B( x ) C là nguyên hàm f(x) Baøi Tính caùc nguyeân haøm sau: sin x cos x dx a) sin x cos x sin x dx b) sin x cos x sin x dx c) sin x cos x cos x dx d) sin x cos x e) g) 2sin2 x.sin xdx h) cos2 x.sin xdx k) e x e x e x l) dx sin x cos4 x ex e x e x dx dx f) cos4 x sin x cos4 x ex i) x x dx e e e x m) x x dx e e dx VẤN ĐỀ 5: Tính nguyên hàm số hàm số thường gặp f(x) là hàm hữu tỉ: f ( x ) P( x ) Q( x ) – Nếu bậc P(x) bậc Q(x) thì ta thực phép chia đa thức – Nếu bậc P(x) < bậc Q(x) và Q(x) có dạng tích nhiều nhân tử thì ta phân tích f(x) thành tổng nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất ñònh) A B ( x a)( x b) x a x b Chaúng haïn: ( x m)(ax bx c) ( x a)2 ( x b)2 A Bx C , với b2 4ac x m ax bx c A B C D x a ( x a)2 x b ( x b)2 f(x) laø haøm voâ tæ + f(x) = R x, m ax b cx d ñaët t m Ñinh Xuaân Thaïch – THPT Yeân Moâ B ax b cx d Trang Lop12.net (6) Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân ( x a)( x b) + f(x) = R ñaët t x a x b f(x) là hàm lượng giác Ta sử dụng các phép biến đổi lượng giác thích hợp để đưa các nguyên haøm cô baûn Chaúng haïn: + sin ( x a) ( x b) sin(a b) 1 , sử dụng sin(a b) sin( x a).sin( x b) sin(a b) sin( x a).sin( x b) + sin ( x a) ( x b) sin(a b) 1 , sử dụng sin(a b) cos( x a).cos( x b) sin(a b) cos( x a).cos( x b) + cos ( x a) ( x b) cos(a b) 1 , sử dụng cos(a b) sin( x a).cos( x b) cos(a b) sin( x a).cos( x b) + Neáu R( sin x,cos x ) R(sin x,cos x ) thì ñaët t = cosx + Neáu R(sin x, cos x ) R(sin x,cos x ) thì ñaët t = sinx + Nếu R( sin x, cos x ) R(sin x,cos x ) thì đặt t = tanx (hoặc t = cotx) Baøi Tính caùc nguyeân haøm sau: dx dx a) x ( x 1) b) ( x 1)(2 x 3) dx d) x x 10 x dx g) ( x 1)(2 x 1) k) Baøi dx e) h) l) x ( x 1) dx f) x 6x x x 3x dx c) dx x3 i) x2 dx x2 dx x2 x3 x 3x x m) dx x 1 dx Tính caùc nguyeân haøm sau: a) dx b) dx e) 1 x 1 d) x4 x k) x x 2 x x 2 x dx c) dx f) dx x ( x 1) x x 3 x (2 x 1)2 x h) 1 x x l) dx x dx dx g) x 1 dx x 5x Tính caùc nguyeân haøm sau: a) sin x sin xdx b) cos x sin xdx 1 x 1 dx x x dx i) 1 x x m) dx x2 6x Baøi cos x dx d) sin x cos x sin x dx g) cos x dx e) 2sin x sin3 x dx h) cos x Ñinh Xuaân Thaïch – THPT Yeân Moâ B Trang Lop12.net c) (tan2 x tan x )dx dx f) cos x i) cos x cos x cos3 xdx (7) Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân II TÍCH PHAÂN Khaùi nieäm tích phaân Cho haøm soá f lieân tuïc treân K vaø a, b K Neáu F laø moät nguyeân haøm cuûa f b trên K thì: F(b) – F(a) đgl tích phân f từ a đến b và kí hiệu là f ( x )dx a b f ( x )dx F (b) F (a) a Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì chữ khác thay cho x, tức là: b a b b a a f ( x )dx f (t )dt f (u)du F (b) F (a) Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì diện tích S hình thang cong giới hạn đồ thị y = f(x), trục Ox và b hai đường thẳng x = a, x = b là: S f ( x )dx a Tính chaát cuûa tích phaân f ( x )dx b a a b b b b a a a b b a a kf ( x )dx k f ( x )dx (k: const) f ( x )dx f ( x )dx f ( x ) g( x )dx f ( x )dx g( x )dx b c b a a c f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx b Neáu f(x) treân [a; b] thì f ( x )dx a b b a a Neáu f(x) g(x) treân [a; b] thì f ( x )dx g( x )dx Phöông phaùp tính tích phaân a) Phương pháp đổi biến số b f u( x ) u '( x )dx u( b ) f (u)du u( a ) a đó: u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, y = f(u) liên tục và hàm hợp f[u(x)] xaùc ñònh treân K, a, b K b) Phương pháp tích phân phần Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K, a, b K thì: b b b udv uv a vdu a a Chuù yù:– Caàn xem laïi caùc phöông phaùp tìm nguyeân haøm b b a a – Trong phương pháp tích phân phần, ta cần chọn cho vdu dễ tính udv Ñinh Xuaân Thaïch – THPT Yeân Moâ B Trang Lop12.net (8) Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân VẤN ĐỀ 1: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG BẢNG NGUYEÂN HAØM Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng bảng các nguyên hàm Tìm nguyên hàm F(x) f(x), sử dụng trực tiếp định nghĩa b tích phaân: f ( x )dx F (b) F (a) a Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải: – Nắm vững bảng các nguyên hàm – Nắm vững phép tính vi phân Ví dụ 1: Tính các tích phân a) I1 = (3x 1)3dx e b) I2 = x2 dx c) I3 = 2 x 1dx 1 Giải: 1 (3 x 1) a) I1 = (3x 1) dx = 1 (1) 4 12 0 b) I2 = e c) I3 = 0 x2 dx = e x = – ( e – 2+2 – e2) = e2 –1 1 2 x 1dx = 2 ln 2 x 1 Vậy: I3 = 1 = (ln1 ln 3) ln Ví dụ 2: Tính các tích phân a) J1 = b) J2 = c) J3 = x 1 dx 2x dx x x 26 x dx x Giải: a) Ta có: (x2 + 1)2 = (x2)2 +2.x2.1 + 12 = x4 + 2x2 + x5 206 x3 suy J1 = x 1 dx = ( x x 1)dx = x = 15 0 2x 2 b) Ta có : 2 x 2 x 2 2 Ñinh Xuaân Thaïch – THPT Yeân Moâ B Trang Lop12.net (9) Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân 2x suy J2 = dx = 2 x 1 (2 x )dx 2 x ln x = (–2 –7ln1) – (0 – 7ln2) = 7ln2 – c) x x x1/2 x1/6 x1/21/6 x1/3 1/6 x x 8 suy J3 = 101 3 3 dx x 4/3 x = 84/3 ( 2) = 4 1 x 1/3 Ví dụ 3: Tính các tích phân a) K1 = s in3x.cos xdx b) K2 = cos 2xdx c) K3 = e x 1 1dx Giải: a) Ta có: sin3x.cosx = s in4x s in2x suy 1 1 4 cos x cos x (s in4 x s in2 x ) dx 0 = 2 K1 = b) K2 = cos 2xdx Ta có: cos22x = cos x c) K3 = e 1 4 x sin x (1 cos x ) dx = sin 0 2 8 suy K2 = 2 x 1 1 1 = 2 4 1dx Ta có : e2x–1 – = e2x–1 = = e0 2x – = x = Suy 0;1 2 1 x 1 x 1 x 1 x 1 0 (e 1)dx 1 (e 1)dx = e x e x K3 = 2 1 1 1 1 1 1 1 = e0 e 1 + e 1 e0 = e 1 + e 1 2 2 2 2 2 2 2 Vậy K3 = 1 e e 1 2 Ñinh Xuaân Thaïch – THPT Yeân Moâ B Trang Lop12.net (10) Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân BAØI TAÄP Baøi a) Tính caùc tích phaân sau: 2 (x x 1)dx x d) 1 x 2 dx g) ( x 1)( x x 1)dx x2 2x k) x3 Baøi dx x 4 dx x2 x 1 dx x2 x x 7x dx x l) f) ( x h) ( x x x x )dx e2 c) e 2 i) x x )dx x 23 x 44 x dx 8 m) x 1 dx x Tính caùc tích phaân sau: a) x 1dx xdx d) 0 x2 x2 x 2 dx dx b) Baøi e) 1 2 2 b) ( x e x 1 )dx x 3x e) 0 x3 dx c) ( x x x x )dx f) 0 x x 9dx Tính caùc tích phaân sau: a) sin(2 x )dx b) (2sin x 3cosx x )dx c) sin x cos x dx tan x dx d) cos2 x e) 3tan2 x dx f) (2 cot x 5) dx dx g) sin x Baøi cos x h) dx cos x i) sin2 x.cos2 xdx Tính caùc tích phaân sau: x a) e e x 0e x ln d) 0 e x ex dx ex e cos x g) dx e ln x sin xdx dx k) 1 x ( x 1).dx b) x x ln x x e (1 e) 4e h) 1 x x e x )dx x dx c) 0 f) 0 e i) 1 m) 2x 4 x e 2 1e l) 0 xe x dx Ñinh Xuaân Thaïch – THPT Yeân Moâ B 1e x 2x dx ln x dx x x 1 e Trang 10 Lop12.net dx dx (11) Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân VẤN ĐỀ 2: TÍNH TÍCH PHAÂN BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP ĐỔI BIẾN SỐ b Dạng 1: Giả sử ta cần tính g( x )dx a Nếu viết g(x) dạng: g( x ) f u( x ) u '( x ) Thì b u( b ) a u( a ) g( x )dx f (u)du Ví dụ 1: Tính các tích phân a) J1 = x xe dx e b) J2 = ln x dx x 1 c) J3 = x (x 1)5 dx d) J4 = x xdx cos x dx (1 sin x) /2 e) J5 = Giải: a) J1 = x xe dx + Đặt u = x2 du = 2xdx xdx = du x = u = 12 = 1; x = u = 22 = 4 u x2 1 + J1 = xe dx = e du = eu = ( e4 – e1) = ( e4 – e) 2 2 1 + Đổi cận: e b) J2 = 1 ln x dx x + Đặt u = ln x u2 = + lnx 2udu = dx x + Đổi cận: x = u = ln1 = 1; x = e u = ln e = e ln x dx = x 2 ( 2)3 13 ) = (2 1) 3 1 Ghi nhớ: Học sinh có thể đặt: u = + lnx du = dx x + J2 = u.2udu = u Ñinh Xuaân Thaïch – THPT Yeân Moâ B = Trang 11 Lop12.net (12) Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân x (x c) J3 = 1)5 dx + Đặt u = x4 – du = 4x3dx x3dx = du + Đổi cận: x = u = – = –1; x = u = 14 – = 5 1 u6 x ( x 1) dx + J3 = = u du = 4 1 = 1 24 d) J4 = x xdx x u2 = – x 2udu = – 2xdx xdx = –udu + Đặt u = + Đổi cận: x = u = x = 2 u = + J4 = 02 = 2; 22 = 0 2 x xdx = u.( u )du = u du = u = /2 e) J5 = 3 cos x dx (1 sin x) + Đặt u = + sinx du = cosxdx + Đổi cận: x = u = +sin0 = 1; x = u = + sin = 2 /2 + J5 = 2 du 4 cos x 3 dx = u = = u du = u (1 sin x) 3 24 1 Ví duï Tính tích phaân sau : 1 0 a ) I (3 x 2)( x 1)6 dx b) J x5 x3 dx Baøi giaûi a) Ñaët t = x+1 x = t – dx = dt + Đổi cận: * x=0 t = vaø x = t = I = (3t 1)t dt ( 3t t ) 1… b) Ñaët t = x x3 = – t2 2t dt 2tdt (t t )dt x x dx (1 t ).t 3 + Đổi cận: * x = t = 1; * x = t = 2 t4 t5 1 I = (t t )dt ( ) = 30 30 x2 dx = Ñinh Xuaân Thaïch – THPT Yeân Moâ B Trang 12 Lop12.net (13) Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân Ví duï Tính tích phaân sau: I = dx 1 x Baøi giaûi Ñaët t = x Khi ño ù x = t2 -2t + dx = (2t -2)dt dx 1 x 2t dt t + Đổi cận: x = t = x=9 t=4 I= (2 t )dt (2t ln t ) ln 2 Ví duï ÑHK.A-2004 Tính tích phaân sau: I = 1 xdx x 1 Baøi giaûi Ñaët t = x x = t2 – 2t + dx = (2t-2)dt + Đổi cận: x = t = x=2 t=2 2 (t 2t 2)(2t 2) 2t 6t 8t 4 dt dt (2t 6t )dt t t t 1 I ( 2t 11 3t 8t ln t ) 12 ln 3 Ví duï Tính tích phaân sau a)ÑHK.A-2003 : I = dx b) DHAN 1999 : J x x 4 x dx x 9 2 c) K dx x x2 1 Baøi giaûi a) Ñaët t = x x2 = t2 -4 xdx = tdt + Đổi cận: * x = xdx x2 x2 tdt 1 ( )dt (t 4).t t t 2 t=3 * x= t = I= 1 1 t2 ( )dt ln ln 3 t2 t2 t2 b) + c) Làm tương tự Ví duï Tính tích phaân sau : I = ln dx ex Baøi giaûi Ñaët t = e x ex = t2 – exdx = 2tdt Ñinh Xuaân Thaïch – THPT Yeân Moâ B dx ex e x dx ex ex Trang 13 Lop12.net 2tdt 1 ( )dt (t 7).t t t (14) Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân + Đổi cận: * x = t = 2 * x = ln2 t = 3 I= ( 2 t t )dt ln t t 2 Ví duï ÑHK.B-2006 Tính tích phaân sau : I = ln e x ln (ln 3 3 ln dx 2e x Baøi giaûi Ñaët t = ex dt = exdx * x = ln3 t = * x = ln4 t = + Đổi cận: I = dx e x dx dt 1 ( )dt 2x x x x t t 1 e 2e e 3e t 3t t2 ( t t 1)dt ln t 4 ln Ví duï Tính tích phaân sau : a) ÑHTM-97 : I = ln 1 ex dx 1 ex c) ÑHBK – 2000 : I = ln e ln 2x 1 ex b) HVQY – 97 : I = dx Hướng dẫn a) Đặt t = ex, làm tương tự b,c) Ñaët t e x Ví duï ÑHHH – 98 Tính tích phaân : I = e x ln x ln x Baøi giaûi Ñaët t = ln x lnx = t2 – dx 2tdt x t 1 dx 2tdt (2t 2)dt t x ln x ln x + Đổi cận: I= * x = t = *x=e t= 2 (2t 2)dt ( 2t 42 2t ) 3 Ví duï 10 Tính tích phaân sau: a) ÑH.K.B – 2004.: I = e b) J = e ln x ln x dx x ln x ln x dx ; x Ñinh Xuaân Thaïch – THPT Yeân Moâ B Trang 14 Lop12.net dx 1 ex dx 2 2 ) (15) Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân Baøi giaûi a) Ñaët t = ln x t 1 dx 2tdt ln x ln x t 2tdt dx t (t t )dt lnx = x x 3 + Đổi cận: * x = t = *t=e t=2 2 t t 2 31 116 ; ( t t ) dt ( )1 ( ) 1 9 135 I= b) Làm tương tự BAØI TAÄP AÙP DUÏNG 2a 1) A x 3x dx; B x 2a x dx(a 0) 15 0 a 2) A x a x dx; B 3) A x x 1 1 4) A dx dx (a 0) x(1 x ) dx ; B ( x 1)( x 2) 1 x dx dx ; B x x2 1 x 2 5) A 2 dx x x 6) A x dx x 1 7) (*) A 1 ; B x x 1.dx dx ; B3 ;A 2x 3 x 8 dx 1 x ; (*)B ( x 2)dx x 2x x x dx ; x 1 x 1 8) A x dx; B x x dx 1 C x 1 dx; D x 1 x2 dx x2 9) (HVNH THCM 2000) I 10) x dx x x2 1 a)(ÑH BKHN 1995) I dx x x 1 b) (HVKTQS 1998) I 1 11) (ÑHAN 1999) I x dx x2 Ñinh Xuaân Thaïch – THPT Yeân Moâ B Trang 15 Lop12.net dx 1 x x2 1 (16) Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân 12) (ÑHQG HN 1998) I x x dx 13) (ÑHSP2 HN 2000) I 1 14) (ÑHXD HN 1996) I dx x x ( x 1).dx x 1 15) (ÑHTM 1997) I x dx 1 x2 16) x.dx (ÑHQG TPHCM 1998) I 2x Baøi Tính các tích phân sau (đổi biến số dạng 1): a) x(1 x)19 dx b) d) g) dx n) h) x x2 ln3 k) e x dx l) ex 3 e 2 sin x cos x sin x 2 dx o) Ñinh Xuaân Thaïch – THPT Yeân Moâ B x5 0 x dx c) e) x x dx 2x x3 0 (1 x ) xdx 1 f) x x dx ln x5 2x3 dx 1 x2 i) ln x dx 2x e m) ex ex dx ln x ln x dx x cos x sin x 0 sin x dx Trang 16 Lop12.net p) sin sin x dx x cos x (17) Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân Dạng 2: Giả sử ta cần tính f ( x )dx Đặt x = x(t) (t K) và a, b K thoả mãn = x(a), = x(b) b b a a g(t) f x(t) x '(t) f ( x )dx f x(t) x '(t)dt g(t)dt thì Dạng thường gặp các trường hợp sau: f(x) có chứa a x a x Cách đổi biến x a sin t, x a2 t x a cos t, 2 0t x a tan t, x a cot t, a x , sin t a x , cos t t 2 0t t ; \ 0 2 t 0; \ 2 Ví dụ 1: Tính tích phân a) I1 = x dx b) I2 = 9 x dx Giải: a) I1 = x dx + Đặt x = 2sint , t ; 2 dx = 2costdt + Cận mới: x= 2sint = sint = t = x = 2sint = sint = t = 2 + I1 = x dx = 2 2 0 0 4sin t cot dt = sin t cot dt = cos t cost dt =4 cos tdt 2 0 I1 = (1 cos 2t )dt = t s in2t = Ñinh Xuaân Thaïch – THPT Yeân Moâ B Trang 17 Lop12.net (18) Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân b) I2 = 9 x dx + Đặt x = 3tant, t ; dx = 3(1 +tan2t)dt 2 + Cận mới: x = 3tant = tant = t = x = 3tant = tant = t = + I2 = dx = x2 Vậy I2 = 3(1 tan t ) 0 tan t dt = 3(1 tan t ) 4 dt dt = = t0 = 0 9(1 tan t ) 3 4 Baøi giaûi: I = 12 Ví duï Tính tích phaân sau: I = x x dx 4 ( x x 4) dx ( x 2) dx; Ñaët x - = 2sint, t ; 2 *x=0 t=0;x=3 t= ( x 2) dx 4(1 sin x) cos tdt cos tdt (1 cos 2t )dt I= (1 cos 2t )dt Toång quaùt : a x dx a 2 , a Phöông phaùp : Ñaët x = asint a Ví dụ ĐHSP1-2000 Tính tích phân : I = x a x dx; với a > 0 Baøi giaûi: Ñaët x = asint t ; 2 *x=0 t=0 *x=a t= a x dx a sin t a (1 sin t ) a cos tdx a sin t cos tdx I= a (1 cos 4t )dt a 4 16 Ví duï Tính tích phaân : I = 5 x dx Baøi giaûi Ñaët x = tant, t ; Ñinh Xuaân Thaïch – THPT Yeân Moâ B 2 Trang 18 Lop12.net a4 a4 sin 2tdt (1 cos 4t )dt (19) Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân *x=0 t=0 *x= t= 4 (1 tan t ) 5 dx dt 0 x 0 tan t 0 5dt Toång quaùt : a x a dx , a a Phöông phaùp : Ñaët x = atant 1 Ví duï Tính tích phaân sau : a) I a) I = 1 dx ; (x ) Ñaët x+ *x=0 t= dx ; b) HVTC 2000; J x x 1 xdx ; x x2 1 tan t , t ; 2 ; x=1 t= 3 (1 tan t ) 3 dx 3 dt dt I = tan t 12 (x ) 6 b) Đặt x2 + tan t (Làm tương tự) 1 Ví duï Tính tích phaân sau : I = x dx 1 x4 Ñaët x2 = sint, t ; 2 xdx = cosxdx ; 1 x4 *x=0 t=0 1 sin x *x= t xdx dx 1 x4 cos x I= dx 12 Ví duï HVKTQS – 2001 Tính tích phaân sau: I = b a x2 0 (a x ) dx; a, b Hướng dẫn : Đặt x = a tan t a x2 a (1 tan t ) cos 2t dx a dt dt 2 2 2 (a x ) a (1 tan t ) cos t a b I = = a b2 Ví duï 8: Ñinh Xuaân Thaïch – THPT Yeân Moâ B Trang 19 Lop12.net (20) Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân BAØI TAÄP Tính các tích phân sau (đổi biến số dạng 2): a) dx 1 x2 d) x 0 g) 1 dx 3 dx x2 2x b) e) k) dx x x2 (x 2 l) Ñinh Xuaân Thaïch – THPT Yeân Moâ B c) x x dx x2 h) x dx dx 1)( x 2) x 1 dx x3 x2 x2 dx Trang 20 Lop12.net f) x i) xdx x2 1 dx 1 x m) x x x dx (21)