Tìm nguyên hàm của các hàm số sau 1. Các phương pháp tính tích phân[r]
(1)Tl ôn tập khối 12 – 2010-2011 ƠN TẬP NGUN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
I NGUN HÀM A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 Định nghĩa:
Hàm số f xác định K Hàm số F gọi f K F x'( )f x( ), x K 2 Định lý:
Nếu F(x) nguyên hàm f(x) K CR, F(x) + C nguyên hàm f(x). Ta ký hiệu:
f x dx F x( ) ( )C gọi họ nguyên hàm f K.Bảng nguyên hàm Nguyên hàm của những hàm số sơ cấp
thường gặp
Nguyên hàm những
hàm số hợp Nguyên hàm hàm sốhợp đơn giản
C x dx
duuC kdx kx C
1
1
dx x C
x
1
1
1
du u C
u
1
1
1
ax b C
a dx b ax
0
ln
x C xx
dx
0 ln
u C uu
du
0 ln
1
ax b C xa b ax
dx
C e dx ex x
eudu eu C
e Ca dx
eax b ax b
0 1
ln
a dx aa C ax
x
0 1
ln
a dx aa C au u
(
0 1)
ln
mx n
mx n a
a dx C a
m a
+
+ = + < ¹
ò
C x xdx
cos sin
cosudusinuC
ax b
C adx b
ax
cos 1sinC x xdx
sin cos
sinudu cosuC
C b ax a
dx b
ax
sin 1cosC x dx
x
cos12 tan
cos udutanuC1
2
axb
dxatan
axb
C1 cos
1
2
C x dx
x
sin12 cot
sin udu cotuC1
2
axb
dx acot
axb
C1 sin
1
2
tanxdx ln cosx c
cotxdxln sinx c
3
Các tính chất nguyên hàm:
Cho hàm số f(x) g(x) có nguyên hàm Khi đó:
k f x dx ( ) k f x dx
( )( k số)
[ ( )f x g x dx( )]
f x dx( )
g x dx( ) (2)Tl ôn tập khối 12 – 2010-2011 4
Các phương pháp tìm nguyên hàm:
a) Nguyên hàm phần
udv uv= - vdu
ò
ò
b) Phương pháp đổi biến
[ ( )] '( ) ( )
f u x u x dx= f u du
ò
ò
B BÀI TẬP ÁP DỤNG
Tìm nguyên hàm hàm số sau f x( ) x3 2x2 3x 2
f x( ) x x 23x3 f x( ) sin x2 cos(x1) 3
4
2
( )
3
x f x
x x
3
( ) (2 1)
f x x x x f x( ) sin cos 5x x
7 f x( )x.sinx 8 f x( )x.sin2 x f x( )x.cos2x
10 f x( ) (2 x1).cos(3x 2) 11 f x( ) ex.cosx
12 f x( ) ln 2x
II TÍCH PHÂN A KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1.Định nghĩa
( ) ( ) ( )
b
a f x dx F b F a
đó, F(x) nguyên hàm f(x) K chứa [a; b]2 Tính chất
Với f(x), g(x) liên tục khoảng K a, b, c
ba số thuộc K Khi ta có:
1) a ( )
a f x dx=
ò
2) a ( ) a ( )b f x dx=- b f x dx
ò
ò
3)
b ( )
c ( )
c ( )a f x dx b f x dx a f x dx 4) [ ( ) ( )] ( ) ( )
b b b
a f x ±g x dx= a f x dx± a g x dx
ò
ò
ò
5) b ( ) b ( )
a k f x dx k= a f x dx
ò
ò
; kR3 Các phương pháp tính tích phân
a Phương pháp đổi biến:
( )
( )
( ) '( ) ( )
u b b
a
u a
f u x u x dx f u du
b Phương pháp tích phân phần: ( ) '( )
( ) ( ) |
( ) '( )b b
b a
a a
u x v x dx u x v x v x u x dx
B BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Tính tích phân sau:
1.
3
( 1)
x dx 2.2
2
1
(2 - 3)( - 1)
x x x dx3.
1
3
(3 -1)
ex ex dx ; (3)Tl ôn tập khối 12 – 2010-2011
4.
13(3x4)dx5.
-2 ( -1)
x x dx 6.
01( - )2x
x e dx 7.
2
2
3
xx xdx 8.2
4
x x xdx9.
1 3 0( - )
x e dx xBài 2: Tính tích phân sau:
1
- (2sin - cos )
x x dx3
2
1
(sin )
cos
x x dx
3
0 cos (1 tan )
x x dx
4
3
2
1- sin sin
xxdx
0
cos sin cos
x x xdx
6.
40 cos 2
xdx
7 4 tan
xdx
8
2
6 cos sin
dxx x
2
sin cos
x xdx
10
0 (1 sin ) cos
x xdx
11.
2
1
cot (1 )
sin
x x dx
12.
3
2
cos sin
xxdx
Bài Tính tích phân sau
1.
2
2 1
x x dx 2.1
5 -1
2
x x dx 3.
1
3
2
x x x dx4. 22
3
1
x
dx
x x
5.
2
3
3 1
02x dx
x 6.
2
2 -1 - 6
x xx dxBài Tính tích phân sau
0 sin
x xdx
0 xcosxdx
3
1 ln
ex xdx4
1
xe dxx0 ( 1)sin
x xdx
6
0 sin
x xdx7.
0 cos
x xdx;2 sin
xdxx
9.
20 cos
xdxx
10 2 2 cos
x xdx
11 2 2 sin
x xdx
12.
1 ln
e xdxBài 5: Tính tích phân sau:
a)
1
1 x dx
-ò
b)
3
4
x - dx
ò
c)
2
2
1
x x dx
-é - + + ù
ë û
ò
d)
3
4
x - x+ dx
ò
e)
0
1 sin2xdx p
-ò
f)
ln
e
e
x dx
ò
Bài 6: Tính tích phân:
a)
1
2
1 x dx
-ò
b)
1
2
1
2
x x dx
-ò
c)
0 2
x dx x
-
-ò
(4)Tl ôn tập khối 12 – 2010-2011
d)
1
2
1 1+x dx
ò
e)
0 2 13
x dx x
- +
ò
f)
0
1
2 2dx
x x
- + +
ị
Bài 7: Tính tích phân sau:
a)
2
1 1 x
I dx
x
=
+
-ò
b)
0
1 2sin sin2
x
I dx
x p
-=
+
ò
c)
1
1 3ln ln
e
x x
I dx
x
+
=
ò
d)
(
)
4
2
1
sin 2cos
I dx
x x
p
=
+
ò
e)
0
sin2 sin
1 3cos
x x
I dx
x p
+ =
+
ò
f)
2
5
dx I
x x
=
+
ò
g)
0
tan cos2
x
I dx
x p
=
ò
h)
4
sin( )
4
sin2 2(1 sin cos )
x
I dx
x x x
p p
-=
+ + +
ò
i)
1
2
(x- 2)e dxx
ò
j) I =
3 2
ln(x - x dx)
ò
k) I =
2
lnx dx
x
ò
l) I =
sin0
(e x cos )cosx xdx
p
-ò
m) I =
2
2
(x 1) x
e dx x
-ò
n)
0
sin
sin cos
x
I dx
x x
p
=
+