II.øng dông cña ®Þnh lý Lagrange trong chøng minh BÊt ®¼ng thøc... øng dông cña ®Þnh lý Lagrange trong ph¬ng tr×nh.[r]
(1)định lý lagrange ứng dụng
A.Định lý Lagrange 1.Định lý Weierstrass
Nếu hàm số f(x) liên tục [a ;b] đạt đợc giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn giá trị trung gian giá trị nhỏ giá trị lớn
[a ;b]
(SGK §S> 11)
2.Định lý Fermat
Nu hm s f(x) có đạo hàm x0 đạt cực trị điểm
f '(x0)=0
(SGK Giải tích 12)
3.Định lý Rolle
Giả sử f(x) liên tục [a ;b] có đạo hàm (a ;b) Nếu
f(a)=f(b) tồn điểm c(a ;b) cho f '(c)=0
Chøng minh
Vì f(x) liên tục [a ;b] nên f(x) đạt giá trị nhỏ m giá trị lớn M [a ;b]
+ NÕu m=M th× f(x)=m=M ∀x∈[a ;b] suy f '(x)=0∀x∈(a ;b)
Do ∀c∈(a ;b) ta có f '(c)=0
+ Nếu m<M f (a) m f(a) M
Giả sử f(a)=f(b)≠ m Vì f(x) liên tục [a ;b] nên theo định lý Weierstrass
tồn điểm c∈[a ;b] cho f(c)=m Hiển nhiên c ≠ a c ≠ b suy c∈(a ;b) Vì f(x)≥ f(c)∀x∈(a; b) nên f(x) đạt cực tiểu c
Theo định lý Fermat ta có f '(c)=0
( Chøng minh tơng tự cho TH f(a)=f(b) M )
4.Định lý Lagrange
Nếu hàm số f(x) liên tục [a ;b] có đạo hàm (a ;b) tn
tại điểm c(a ;b) cho f(b)− f(a)=f '(c).(b −a) Chøng minh
XÐt hµm sè g(x)=f(x)− f(a)−f(b)− f(a)
b − a (x − a) víi x∈[a ;b]
Ta có g(x) liên tục [a ;b] có đạo hàm (a ;b) :
g '(x)=f '(x)−f(b)− f(a)
b − a
Mặt khác g(a)=g(b)=0 nên theo định lý Rolle tồn c∈(a ;b)
cho g '(c)=0
Do g '(c)=f '(c)−f(b)− f(a)
b −a =0⇔ f(b)− f(a)=f '(c).(b −a) (§pcm)
5.ý nghĩa hình học định lý Lagrange Do f(x) liên tục [a ;b] nên đồ thị f(x) [a ;b] cung liền AB với A(a;f(a)), B(b;f(b))
C¸t tuyÕn AB cã hÖ sè gãc f(b)− f(a)
b − a
(2)sao cho f '(c)=f(b)− f(a)
b −a nghÜa lµ hƯ sè gãc cđa tiÕp tun cđa cung AB t¹i
C(c;f(c)) b»ng hƯ sè góc cát tuyến AB Nói cách khác, cung AB tồn điểm C cho tiÕp tun t¹i C song song víi AB
B.Một số ứng dụng định lý Lagrange
I.Một số tính chất hàm số đồ thị 1.Định lý Nếu f '(x)=0∀x∈(a ;b) f(x)=const∀x∈(a ;b) Chứng minh
Xét x0 cố định , x0∈(a ;b) ∀x∈(a ;b) ta có + Nếu x=x0 f(x)=f(x0)
+ Nếu x ≠ x0 theo định lý Lagrange ∃c nằm x0 x cho
f(x)− f(x0)=f '(c)(x − x0) V× c∈(a ;b) nªn f '(c)=0 suy f(x)=f(x0) VËy f(x)=f(x0)=const∀x∈(a ;b)
2.Điều kiện đủ để hàm số đồng biến ,nghịch biến Cho hàm số f(x) có đạo hàm (a ;b)
a Nếu f '(x)>0∀x∈(a ;b) f(x) đồng biến (a ;b)
b Nếu f '(x)<0x(a ;b) f(x) nghịch biến (a ;b)
Chøng minh
∀x1, x2∈(a ;b); x1<x2 ta có f(x) liên tục có đạo hàm [x1; x2] Theo định lý Lagrange ∃c∈(x1; x2) cho f(x2)− f(x1)=f '(c)(x2− x1)
a Nếu f '(x)>0∀x∈(a ;b) f '(c)>0 f(x2)>f (x1) suy f(x) đồng biến (a ;b)
b Nếu f '(x)<0∀x∈(a ;b) f '(c)<0 f(x2)<f (x1) suy f(x) nghịch biến (a ;b)
3.Điều kiện đủ để đồ thị hàm số lồi, lõm
Cho hàm số f(x) có đạo hàm (a ;b) Đồ thị hàm số f(x)
(a ;b) lµ cung (C).Víi x0∈(a ;b) , tiÕp tuyến (C) M(x0;f(x0)) có ph-ơng trình
y=f(x0)+f '(x0)(x − x0)
Định nghĩa: Cung (C) đợc gọi lồi điểm cung nằm dới tiếp tuyến cung ( trừ tiếp điểm )
Tøc lµ : NÕu ∀x0∈(a ;b) ta lu«n cã
f(x)<y=f(x0)+f '(x0)(x − x0)∀x∈(a ;b); x ≠ x0 cung (C) đợc gọi lồi
Tơng tự Cung (C) đợc gọi lõm điểm cung nằm tiếp
tun bÊt kú cđa cung ( trõ tiÕp ®iĨm )
Tức : Nếu x0(a ;b) ta cã
(3)Định lý: Giả sử hàm số f(x) có đạo hàm cấp (a ;b)
a NÕu f \( x \) >0` forall x in \( a;b \) \} \{¿ ¿
đờng cong y=f(x) lõm
(a ;b)
b NÕu f \( x \) <0` forall x in \( a;b \) \} \{¿ ¿
đờng cong y=f(x) lồi
(a ;b)
Chøng minh
a Gi¶ sư f \( x \) >0` forall x in \( a;b \) \} \{¿ ¿
∀x0∈(a ;b) Tiếp tuyến đờng cong y=f(x) M(x0;f(x0)) có ph-ơng trình y=f(x0)+f '(x0)(x − x0)
áp dụng định lý Lagrange cho f(x) (a ;b) , ta có:
tån t¹i c nằm x0 x cho f(x) f(x0)=f '(c).(x − x0)
Suy f(x)− y=f(x)− f(x0)− f '(x0)(x − x0)=f '(c)(x − x0)− f '(x0)(x − x0)
¿[f '(c)− f '(x0)](x − x0) (*) V× f \( x \) >0` forall x in \( a;b \) \} \{¿
¿
nên f '(x) đồng biến (a ;b) Do
+ Nếu x>x0 x0<c<x suy f '(x0)<f '(c) Khi (*) ⇒f(x)− y>0⇔f(x)>y
+ Nếu x<x0 x<c<x0 suy f '(c)<f '(x0) Khi (*) ⇒f(x)− y>0⇔f(x)>y
VËy f(x)>y=f(x0)+f '(x0)(x − x0)∀x∈(a ;b); x ≠ x0
⇒ §êng cong y=f(x) lâm trªn (a ;b)
b Chứng minh tơng tự.
(4)Bài 1: CMR a) sinx<x∀x∈(0;π
2)
b) |sinx|≤|x|∀x∈R
Bµi 2: CMR ∀x , y∈R Ta cã a) |sinx −siny|≤|x − y|
b) |cosx −cosy|≤|x − y| Bµi 3: CMR ∀x , y∈(0; π
2) Ta cã
a) |tgx−tgy|≥|x − y|
b) |cot gx−cot gy|≥|x − y| Bµi 4: CMR ∀a , b∈(0;π
2) Ta cã
a) b − a
cos2a<tgb−tga<
b − a cos2b b) b − a
sin2b<cot ga−cot gb<
b −a sin2a
Bµi 5: Cho 0<a<b CMR b− a
b <ln b a<
b− a a Bµi 6: Cho x>y>0 CMR
2006y2005(x − y)<x2006− y2006<2006x2005(x − y)
Bµi 7: CMR x
1+x<ln(1+x)<x∀x>0
Bµi 8: Cho n∈N❑ Tìm GTLN hàm số f(x)=e x
(1+x
n) Bài 9: Cho a<b<c CMR
a) a2
+b2+c2>ab+bc+ca
b) 3a<a+b+c −√a2
+b2+c2−ab−bc−ca<¿
a+b+c+√a2+b2+c2−ab−bc−ca<3c
Bµi 10: Cho 0<a<b<c<d
CMR √3 abc+abd+acd+bcd
4 <√
ab+ac+ad+bc+bd+cd
6
Bµi 11: Cho
¿ 0<α<1
x>0
¿{
¿
CMR (1+x)α<1+αx
Bµi 12: Cho 3≤n∈Z CMR nn+1
>(n+1)n
Bµi 13: Cho a<b ; k ≠0 CMR a) |sin ka−sin kb
k |≤|a −b|
a) |cos ka−cos kb
k |≤|a − b| Bµi 14: CMR ea
(b − a)<eb− ea<eb(b −a)∀a<b
Bµi 15: CMR a.e−ax
<1− e
−ax
(5)Bµi 16: CMR (1+
x+1)
x+1
>(1+1
x)
x
∀x>0
Bµi 17: CMR (1+1
x)
x
<e<(1+1
x)
x+1 ∀x>0
Bµi 18: Cho x∈(0;1), n∈N❑ .CMR xn√1− x<
2 ne Bài 19: Tìm GTNN hàm số f (x)=sinx+tgx+1
2x+1 ,voix∈¿
Bµi 20: Cho 0≤ x<x+y ≤π
2 CMR sin(x+y)<sinx+ycosx Bài 21: Cho f:(a ;b)→ R có đạo hàm cấp (a ;b)
CMR a) NÕu f \( x \) >0` forall x in \( a;b \) \} \{¿ ¿
th×
f(x+y )≤
f(x)+f(y)
2 ∀x , y∈(a ;b)
b) NÕu f \( x \) <0` forall x in \( a;b \) \} \{¿ ¿
th× f(x+y
2 )≥
f(x)+f(y)
2 ∀x , y∈(a ;b)
Bài 22: Cho f:(a ;b)→ R có đạo hàm cấp (a ;b)
CMR a) NÕu f \( x \) >0` forall x in \( a;b \) \} \{¿ ¿
th×
f(αx+βy)≤ αf(x)+βf(y)∀x , y∈(a ;b)∀α , β>0, α+β=1
b) NÕu f \( x \) <0` forall x in \( a;b \) \} \{¿ ¿
th× f(αx+βy)≥ αf(x)+βf(y)∀x , y∈(a ;b)∀α , β>0, α+β=1
Bµi 23: Cho f: R thoả mÃn điều kiện sau: a) f(a)<0 b) f '(x)>1∀x∈¿
CMR f[a − f(a)]>0
Bµi 24: CMR a) ln(1+x)<x∀x>0
b) tgx>x∀x∈(0;π
2)
c) ex>x+1∀x>0
d) ln(1+x)≥ 2x
2+x∀x ≥0
Bµi 25: CMR (x+1)cos π
x+1− xcos
π
x>1x>2 Bài 26: Cho f: R thoả mÃn điều kiƯn sau:
a) f liªn tơc trªn ¿ b) f' tăng (0;+) c) f(0) =0 CMR
g:(0;+∞)→ R
x↦g(x)=f(x)
x
tăng (0;+)
Bài 27: (Định lý Cauchy)
Cho f, g hàm liên tục [a ;b] có đạo hàm (a ;b) ,
g '(x)≠0∀x∈(a ;b)
CMR ∃c∈(a ;b) cho f(b)− f(a)
g(b)− g(a)=
f '(c)
(6)Bài 28: Cho f, g có đạo hàm R, |f '(x)|<g '(x)∀x ≥ x0 ( x0 số ), g hàm đồng biến R
CMR |f(x)− f(x0)|≤ g(x)− g(x0)∀x ≥ x0
Bài 29: Giả sử hàm số f có đạo hàm [a ;b] (a>0) CMR ∃c∈(a ;b) cho a− b1 | a b
f(a) f(b)|=f(c)−c.f '(c)
Bài 30: Giả sử f liên tục [a ;b] ,có đạo hàm cấp (a ;b) ,
f(a)=f(b)=0 c điểm cho trớc (a ;b)
CMR ∃d∈(a ;b) cho
¿
f \( d \) \} over \{2\} \} \} \{ ¿f(c)=(c − a)(c − b)
¿ Bµi 31: Giả sử f(x) khả vi (a ;b)
x → a+¿
f(x)=lim
x → b−f
(x)=A
lim
¿
CMR ∃c∈(a ;b) để f '(c)=0
Bµi 32: CMR NÕu f(x) liên tục [a ;b] , khả vi (a ;b) f(x) không
hm bc nht thỡ ∃c∈(a ;b) để |f '(c)|>|f(b)− f(a)
b − a | Bµi 33: CMR
2002<ln 2002 2001<
1 2001 Bµi 34: CMR x −x
2
2<ln(1+x)<x∀x>0 Bµi 35: Cho 0≤ x ≤ y ≤π
2 CMR x+cosx ≤ y+cosy Bµi 36: a) CMR sinx+tgx3xx
b) Tìm GTNN hàm số
f(x)=2 sinx+tgx+2006
3x+2006 x∈¿
c) CMR ∀ΔABC nhän , ta cã :
2(sinA+sinB+sinC)+(tgA+tgB+tgC)>3π
Bµi 37: CMR n
√u−√nv<√nu −w −√nv − w víi
¿ 0<w<v<u
¿
{{n∈N{0;1}
no ¿ Bµi 38: Cho x>1,a>1 CMR xa−1>a(x −1)
Bài 39: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục [0;2] thoả mãn điều kiện f(0)=f(2)=1,|f '(x)|≤1∀x∈[0;2] CMR ∫
0
f(x)dx>1
Bài 40: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục [a ;b] f (a)=f(b)=0
Đặt M=max
x[a ;b]|
f '(x)| CMR
b − a¿2 ¿ ¿ M ≥4¿
(7)Bµi 1: Cho m>0 vµ a
m+2+
b m+1+
c m=0
CMR Phơng trình ax2
+bx+c=0 có nghiệm thuộc (0;1)
Bµi 2: Cho an
n+1+
an −1
n + .+ a2
3 + a1
2+a0=0
CMR Phơng trình anxn+an 1xn −1+ +a2x+a0=0 cã nghiÖm thuéc
(0;1)
Bài 3: CMR Phơng trình asin 7x+bcos 5x+csin 3x+dcosx=0 cã nghiƯm
víi mäi sè a,b,c,d
Bµi 4: Giải phơng trình 2000x+2002x=2 2001x
Bi 5: Cho f:[a ;b+¿]→ R¿ có đạo hàm (a ;b)
CMR Phơng trình f(a)
f(b)=e
(a b).f '(x)
f(x) cã Ýt nhÊt mét nghiƯm trªn (a ;b) .
Bài 6: Cho f(x) khả vi [a ;b] phơng trình f'(x)=0 có nghiệm [a ;b] CMR Phơng trình f(x)=0 khơng thể có q hai nghiệm phân biệt [a ;b]
Bài 7: Cho a-b+c=0 CMR Phơng trình
asinx+9bsin 3x+25csin 5x=0 cã Ýt nhÊt nghiƯm ph©n biệt thuộc
[0;]
Bài 8: CMR Phơng tr×nh a(25 sin 5x −sinx)+b(49 sin 7x −9 sin 3x)=0 cã Ýt nhÊt
nghiƯm trªn [0;2π]
Bài 9: Giả sử hàm số f(x) có đạo hàm cấp n [a ;b] CMR Nếu pt f(x)=0 có n+1 nghiệm phân biệt [a ;b] phơng trình f(n)
(x)=0 cã Ýt nhÊt
nghiƯm (a ;b)
Bài 10: CMR Phơng trình acos 4x+bcos 3x+ccos 2x+dcosx=0 lu«n cã nghiƯm (0; π) với a,b,c,d
Bài 11: CMR Nếu phơng trình a0x
n
+a1xn −1+ +an −1x=0 cã nghiệm dơng
x1 phơng trình na0xn 1+(n 1)a1xn −2+ +an−1=0 cịng cã nghiƯm d¬ng
x2 , (x2<x1)