Ôn thi - Đơn điệu của hàm số (phần 2)

Dạng 2 : Sử dụng tính đơn điệu của hàm số CM bất đẳng thức..  Dựa vào bảng biến thiên và kết luận..[r]

http://mathsvn.violet.vn http://violet.vn/mathsvn Dạng : Sử dụng tính đơn điệu hàm số CM bất đẳng thức  Đưa bất đẳng thức dạng f x  M , x  a ;b    Xét hàm số y  f x  , x  a;b       Lập bảng biến thiên hàm số trên khoảng a;b  Dựa vào bảng biến thiên và kết luận Ví dụ :   Chứng minh : sin x  t a n x  2x , x   0;   2 Giải : Xét hàm số f x  sin x  t a n x  2x liên tục trên nửa khoảng      0;   2 Ta có :   1   cos2 x    0, x   0;  2 cos x cos x  2    f x là hàm số đồng biến trên  0;  và f x  f ,  2   f ' x  cos x           x   0;  hay sin x  t a n x  2x , x   0;  (đpcm)  2  2 Ví dụ : Chứng minh   sin x  x , x  0;   2 x3 sin x  x  3! cos x    ,x  (0; ) x2 x   , x  (0; ) 24  sin x      cos x , x  (0; )  x  Giải : Lop12.net http://mathsvn.violet.vn http://violet.vn/mathsvn   sin x  x , x  0;   2   Xét hàm số f (x )  sin x  x liên tục trên đoạn x   0;   2   Ta có: f '(x )  cos x   ,x  0;   f (x ) là hàm nghịch  2   biến trên đoạn  0;   2   Suy f (x )  f (0)   sin x  x x  0;  (đpcm)  2 sin x  x  x3 3!  ,x  (0; ) x3 Xét hàm số f (x )  sin x  x  liên tục trên nửa khoảng   x  0;   2 Ta có: f '(x )  cos x     x2  f "(x )   sin x  x  x  0;   2 (theo câu 1)      f '(x )  f '(0)  x  0;   f (x )  f (0)  x  0;   2  2   x3  sin x  x  , x   0;  (đpcm) 3!  2 cos x   x2 x   , x  (0; ) 24 Xét hàm số g(x )  cos x   x2 x  liên tục trên nửa khoảng 24   x  0;   2 Lop12.net http://mathsvn.violet.vn http://violet.vn/mathsvn   x3 Ta có: g '(x )   sin x  x   x  0;  (theo câu  2   2)  g(x )  g (0)  x  0;   2  cos x     x2 x4  , x   0;  (Đpcm) 24  2  sin x      cos x , x  (0; )  x  Theo kết câu 2, ta có: sin x  x  x3   , x   0;   2 3   sin x  sin x x2 x2  x2 x4 x6     1          x 6  12 216  x     sin x  x2 x4 x4 x2    (1  )   1 24 24  x     sin x  x2 x2 x4 Vì x   0;    0     x 24       x2 x4 Mặt khác, theo câu 3:    cos x ,x   0;  24  2  sin x    Suy    cos x ,x   0;  (đpcm)  x   2 Ví dụ : Chứng minh   1  1 , x   0;   2 sin2 x x 2 Giải :   1 Xét hàm số f (x )   liên tục trên nửa khoảng x   0;   2 sin2 x x Ta có: f '(x )   cos x sin3 x  x3  2(x cos x  sin x ) x sin3 x Lop12.net http://mathsvn.violet.vn http://violet.vn/mathsvn  sin x    Theo kết câu - ví dụ , ta có:    cos x ,x   0;   x   2      x cos x  sin x  ,x   0;   f '(x )  ,x   0;   2  2      f (x )  f     , x   0;  2  2 2   1 Do vậy:  1 , x   0;  (đpcm)  2 sin2 x x 2 Ví dụ : x 1  Với  x  Chứng minh 22 sin x  2t a n x  2 Giải : sin x Ta có: 2 ta n x sin x  2 sin x  t a n x Ta chứng minh:  .2 3x 22 ta n x sin x  t a n x  2.2  sin x  ta n x  x 2   x   0;   2   Xét hàm số f x  sin x  3x ta n x  liên tục trên nửa khoảng 2    0;   2 cos x  cos2 x  Ta có: f x  cos x    cos2 x 2 cos2 x ,   (cos x  1)2 (2 cos x  1) cos2 x   , x  [0; )  f (x ) đồng biến trên   [0; )  f (x )  f (0)   sin x  tan x  x , x  [0; ) 2 2 (đpcm) Lop12.net http://mathsvn.violet.vn http://violet.vn/mathsvn Ví dụ : Chứng minh ex   x , x x2 e x   x  , x  Giải : ex   x , x Xét hàm số f (x )  e x  x  liên tục trên  Ta có: f '(x )  e x   f '(x )   x  Lập bảng biến thiên, ta thấy f (x )  f (0)  x x2 e x   x  , x  Xét hàm số f (x )  e x   x  x2 liên tục trên nửa khoảng  0;  Ta có: f '(x )  e x   x  x (theo kết câu 1)  f (x )  f (0)  x  đpcm Ví dụ : 1 Chứng minh ln(1  x )  x  x x  2 Tìm số thực a nhỏ để bất đẳng thức sau đúng với x  ln(1  x )  x  ax Giải : 1 Chứng minh ln(1  x )  x  x x  (1) Xét hàm số f (x )  ln(1  x )  x  x liên tục trên nửa khoảng  0;   x2 1 x   0, x  1x x 1  f (x )  f (0)  x   (1) đúng Ta có f '(x )  Lop12.net  http://mathsvn.violet.vn http://violet.vn/mathsvn Tìm số thực a nhỏ để BĐT sau đúng với x  ln(1  x )  x  ax (2) Giả sử (5) đúng với x   (2) đúng với x   ln(1  x )  x x2  a x  (3) Cho x  0 , ta có: ln(1  x )  x x2  1  a  a  2 Khi đó: x  x  x  ax x  Mà theo chứng minh câu thì: ln(1  x )  x  x x  , suy ln(1  x )  x  ax x  Vậy a  là giá trị cần tìm Ví dụ : Tìm tất các giá trị a để : a x   x Giải : x  Xét hàm số : f (x )  a x  x   với x  (*) Ta có: f (x ) là hàm liên tục trên [0; ) và có f '(x )  a x ln a     Nếu  a   ln a   f '(x )  x   f x nghịch biến  f (x )  f (0)  x   mâu thuẫn với (*)  a  không thỏa yêu cầu bài toán  Nếu a  e  a x ln a   ex   x   f (x ) là hàm đồng biến trên [0; )  f (x )  f (0)  x   a  e thỏa yêu cầu bài toán   a  e , đó f '(x )   x  x   loga (ln a )  và f '(x ) đổi dấu từ âm sang dương x qua x , dẫn đến f (x )  f (x ) x 0  f (x )  x   f (x )    loga (ln a )   ln a Lop12.net http://mathsvn.violet.vn http://violet.vn/mathsvn ln(ln a )      ln(ln a )  ln a  ln a ln a e ln a  ln   e ln a  a  e ln a  a  (**) a Xét hàm số g(a )  e ln a  a với  a  e , ta có:  e   a  (1; e)  g(a )  g (e)  a  (1; e) mâu a thuẫn với (**)   a  e không thỏa yêu cầu bài toán Vậy a  e g '(a )  Nghiên cứu kỹ dạng toán này chuyên đề “ Mũ – Logarit” BÀI TẬP TỰ LUYỆN   Cho hàm số f x  sin x  t a n x  3x   a ) Chứng minh hàm số đồng biến trên nửa khoảng  0;   2   b) Chứng minh sin x  t a n x  3x với x   0;   2   a ) Chứng minh t a n x  x với x   0;   2   x3 với x   0;   2   Cho hàm số f x  x  t a n x với x   0;    4 b) Chứng minh t a n x  x      a ) Xét chiều biến thiên hàm số trên đoạn  0;   4   b) Từ đó suy x  t a n x với x   0;    4 Chứng minh các bất đẳng thức sau : a ) sin x  x với x  , sin x  x với x  Lop12.net http://mathsvn.violet.vn http://violet.vn/mathsvn x2 với x  x3 c) sin x  x  với x  b) cos x   , sin x  x  x3 với x    d ) sin x  t a n x  2x với x   0;   2 Hướng dẫn :   a ) Chứng minh hàm số đồng biến trên khoảng  0;   2   Hàm số f x  sin x  tan x  3x liên tục trên nửa khoảng  0;   2 cos x   cos2 x và có đạo hàm f ' x  cos x  3  cos2 x cos2 x       f' x 1  cos x  2 cos x  1  0, x   0;    cos2 x    2   Do đó hàm số f x  sin x  tan x  3x đồng biến trên nửa   khoảng  0;   2   b) Chứng minh sin x  tan x  3x với x   0;   2   Hàm số f x  sin x  tan x  3x đồng biến trên nửa khoảng      0;  và f x  f  0, x   0;  ; đó  2  2   sin x  t a n x  3x  x   0;  hay sin x  t a n x  3x  2   với x   0;   2    Lop12.net http://mathsvn.violet.vn http://violet.vn/mathsvn   a ) Chứng minh hàm số f x  t a n x  x đồng biến trên nửa   khoảng  0;   2   Hàm số f x  t a n x  x liên tục trên nửa khoảng  0;  và có đạo  2   hàm f ' x    t a n x  0, x   0;  cos x  2       Do đó hàm số f x  t a n x  x đồng biến trên nửa khoảng  0;   2   và f x  f  0, x   0;  hay tan x  x  2        x3 với x   0;   2   x3 Xét hàm số g x  t a n x  x  trên nửa khoảng  0;   2 b) Chứng minh t a n x  x      Hàm số g x  t a n x  x  x3 liên tục trên nửa khoảng    0;  và  2   x  t a n2 x  x 2 cos x   g ' x  t a n x  x t a n x  x  0, x   0;  câu a )  2 x3 Do đó hàm số g x  t a n x  x  đồng biến trên nửa khoảng     x3 và hay t a n x  x  với 0; g x  g  0,  x  0;      2  2   có đạo hàm g ' x              x   0;   2   a ) Xét chiều biến thiên hàm số trên đoạn  0;   4 Lop12.net http://mathsvn.violet.vn http://violet.vn/mathsvn x  t a n x liên trục trên đoạn     0;  và có đạo  4   4  hàm f ' x     t a n x , x   0;  ,  cos x   4   Hàm số f x      f ' x   ta n x          t a n nên tồn số c   0;    4 Vì  cho t a n c          f ' x  0, x  0; c  hàm số f x đồng biến trên đoạn x  0; c     f ' x  0, x  c;   hàm số f x nghịch biến trên đoạn  4   x  c;   4 b) Dễ thấy      4  f x  f c ; x  0;   x  t a n x  hay x  ta n x    4   với x   0;   4 a ) sin x  x với x       Hàm số f x  x  sin x liên tục trên nửa khoảng  0;  và có đạo  2   x hàm f ' x   cos x  sin  0, x   0;  Do đó hàm số  2       đồng biến trên nửa khoảng  0;  và ta có  2 Lop12.net http://mathsvn.violet.vn http://violet.vn/mathsvn   f x  f  0, x   0;  , tức là  2     x  sin x  0, x   0;  hay x  sin x , x   0;   2  2 x2 b) cos x   với x  x2 Hàm số f x  cos x   liên tục trên nửa khoảng  0;  và có đạo hàm f ' x  x  sin x  với x  ( theo câu a )         Do đó hàm số f x  đồng biến trên nửa khoảng  0;   và ta có    f x  f  0, x  , tức là cos x   x2  0, x  Với x  , ta có   cos x  x  1  0, x  hay cos x   x2  0, x  2 x2 Vậy cos x   với x  x3 c) Hàm số f x  x   sin x Theo câu b thì f ' x  0, x   f x  f x  Do đó hàm số nghịch biến trên  Và   f x  f x    d ) sin x  t a n x  2x với x   0;   2             Hàm số f x  sin x  tan x  2x liên tục trên nửa khoảng  0;   2 và có đạo hàm   1 f ' x  cos x    cos x    0,  x   0;  cos2 x cos2 x  2     Lop12.net http://mathsvn.violet.vn http://violet.vn/mathsvn   Do đó hàm số đồng biến trên nửa khoảng  0;  và ta có  2   f x  f  0, x   0;   2    Lop12.net