Đang tải... (xem toàn văn)
Vậy phương trình đó chỉ có một nghiệm. Xem thêm các bài tiếp theo tại:.[r]
(1)Giải SBT Tốn 12 ơn tập chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số
Bài 1.49 trang 36 Sách tập (SBT) Giải tích 12 Cho hàm số: y = 4x3 + mx (m tham số) (1)
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số ứng với m =
b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) song song với đường thẳng y = 13x + Hướng dẫn làm bài:
a) y=4x3+x,y′=12x2+1>0, x R∀ ∈
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
b) Giả sử tiếp điểm cần tìm có tọa độ (x0; y0) f′(x0)=12x20+1=13 (vì tiếp tuyến
song song với đường thẳng (d): y = 3x + 1) Từ ta có: x0=±1
Vậy có hai tiếp tuyến phải tìm y=13x±8
c) Vì y’ = 12x2 + m nên: m≥0:y′′=−6(m2+5m)x+12m
(2)Vậy hàm số (1) luôn đồng biến m≥0:y′′=−6(m2+5m)x+12m
+) Với m < y=0 x=±√−m/12⇔ Từ suy ra:
y’ > với −∞<x<−√−m/12 √−m/12<x<+∞ y’ < với −√−m/12<x<√−m/12
Vậy hàm số (1) đồng biến khoảng (−∞;−√−m/12),(√−m/12;+∞) nghịch biến khoảng (−√−m/12;√−m/12)
Bài 1.50 trang 37 Sách tập (SBT) Giải tích 12 Cho hàm số: y = x3 + mx2 – (1)
a) Xác định m để hàm số (1) ln ln có cực đại, cực tiểu
b) Chứng minh phương trình: x3 + mx2 – = (2) ln ln có một
nghiệm dương với giá trị m thuộc R
c) Xác định m để phương trình (2) có nghiệm Hướng dẫn làm bài:
Hàm số y=x3+mx2−3 xác định có đạo hàm R.
y′=3x2+2mx=x(3x+2m)
Để hàm số có cực đại, cực tiểu phương trình y’ = phải có hai nghiệm phân biệt:
x1=0;x2=−2m/3≠0
Muốn phải có m≠0
b) Ta có: limx→+∞(x3+mx2−3)=+∞ y(0)=−3<0
Vậy với m, phương trình x3 + mx2 – = ln ln có nghiệm dương.
c) Phương trình f(x) = x3 + mx2 – = có nghiệm khi
cực đại cực tiểu hàm số y = f(x) dấu, tức là: f(0)f(−2m/3)>0
(3)⇔8m3−12m3+81>0
⇔4m3<81 m⇔ (m≠0)
Bài 1.51 trang 37 Sách tập (SBT) Giải tích 12 Cho hàm số: y=−(m2+5m)x3+6mx2+6x−5
a) Xác định m để hàm số đơn điệu R Khi đó, hàm số đồng biến hay nghịch biến? Tại sao?
b) Với giá trị m hàm số đạt cực đại x = 1? Hướng dẫn làm bài:
a)
y=−(m2+5m)x3+6mx2+6x−5
y′=−3(m2+5m)x2+12mx+6
Hàm số đơn điệu R y’ không đổi dấu Ta xét trường hợp:
+) m2+5m=0 [m=0;m=−5⇔
- Với m = y’ = nên hàm số đồng biến - Với m = -5 y’ = -60x + đổi dấu x qua +) Với m2+5m≠0 Khi đó, y’ không đổi dấu nếu
Δ′=36m2+18(m2+5m)≤0
⇔3m2+5m≤0 −5/3≤m≤0⇔
- Với điều kiện đó, ta có −3(m2+5m)>0 nên y’ > hàm số đồng biến
trên R
Vậy với điều kiện −5/3≤m≤0 hàm số đồng biến R b) Nếu hàm số đạt cực đại x = y’(1) = Khi đó: y′(1)=−3m2−3m+6=0 [m=1;m=−2⇔
(4)+) Với m = y’’ = -36x + 12 Khi đó, y’’(1) = -24 < , hàm số đạt cực đại x =
+) Với m = -2 y’’ = 36x – 24 Khi đó, y’’(1) = 12 > 0, hàm số đạt cực tiểu x =
Vậy với m = hàm số đạt cực đại x = Bài 1.52 trang 37 Sách tập (SBT) Giải tích 12 Cho hàm số y=(a−1)x3/3+ax2+(3a−2)x
a) Xác định a để hàm số luôn đồng biến
b) Xác định a để đồ thị hàm số cắt trục hoành ba điểm phân biệt c) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số ứng với a=3/2 Từ suy đồ thị hàm số: y=|x3/6+3x2/2+5x/2|
Hướng dẫn làm bài: a) Ta có:
y′=15x4+5>0, x R∀ ∈
y=(a−1)x3/3+ax2+(3a−2)x
y′=(a−1)x2+2ax+3a−2.
+)Với a = 1, y’ = 2x + đổi dấu x qua −1/2 Hàm số khơng ln ln đồng biến
+) Với a≠1 với x mà y′≥0 ⇔{a−1>0;Δ′=−2a2+5a−2≤0 a≥2⇔
(y’ = x = -2 a = 2)
Vậy với a≥2 hàm số luôn đồng biến
b) Đồ thị cắt trục hoành ba điểm phân biệt phương trình y = có ba nghiệm phân biệt Ta có:
y=0 x[(a−1)x⇔ 2/3+ax+3a−2]=0
(5)y = có ba nghiệm phân biệt phương trình: (a−1)x2+3ax+9a−6=0 có hai nghiệm phân biệt khác 0.
Muốn vậy, ta phải có: a−1≠0
Δ=9a2−4(a−1)(9a−6)>0
9a−6≠0
Giải hệ ta được:
10−√28/9<a<2/3;2/3<a<1;1<a<10+√28/9 c) Khi a=3/2 y=x3/6+3x2/2+5x/2
y′=x2/2+3x+5/2
y′=0 x⇔ 2+6x+5=0 [x=−1;x=−5⇔
Bảng biến thiên:
Đồ thị
(6)Nên từ đồ thị (C) ta suy đồ thị hàm số: y=|x36+3x2/2+5x/2|
Bài 1.53 trang 37 Sách tập (SBT) Giải tích 12 Cho hàm số: y = x3 – 3x2
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho
b) Tìm giá trị tham số m để phương trình: x3 – 3x2 – m = có ba nghiệm
phân biệt
(Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2008) Hướng dẫn làm bài:
a) TXĐ: D = R Sự biến thiên: y′=3x2−6x=3x(x−2)
y′=0 [x=0;x=2⇔
Hàm số đồng biến khoảng (−∞;0),(2;+∞) Hàm số nghịch biến khoảng (0; 2)
Hàm số đạt cực đại x = ; yCĐ = y(0) =
(7)Giới hạn: limx→±∞y=±∞
Điểm uốn: y′′=6x−6,y′′=0 x=1;y(1)=−2⇔ Suy đồ thị có điểm uốn I(1; -2)
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
Đồ thị cắt trục hoành O(0; 0), A(3; 0) Đồ thị qua điểm B(-1; -4); C(2; -4) b) x3−3x2−m=0 x⇔ 3−3x2=m
Phương trình (*) có nghiệm phân biệt đường thẳng y = m cắt (C) điểm phân biệt Từ suy ra:
- < m <
Bài 1.54 trang 38 Sách tập (SBT) Giải tích 12 Cho hàm số: y=−x4−x2+6
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho
(8)(Đề thi tốt nghiếp THPT năm 2010) Hướng dẫn làm bài:
a)
b) Ta có: y′=−4x3−2x
Vì tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y=1/6x−1 nên tiếp tuyến có hệ số góc – Vì vậy:
−4x3−2x=−6
⇔2x3+x−3=0
⇔2(x3−1)+(x−1)=0
⇔(x−1)(2x2+2x+3)=0
⇔x=1(2x2+2x+3>0, x)∀
Ta có: y(1) =
Phương trình phải tìm là: y – = -6(x – 1) y = -6x +10⇔ Bài 1.55 trang 38 Sách tập (SBT) Giải tích 12 Cho hàm số: y = f(x) = x4 – 2mx2 + m3 – m2
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m =
b) Xác định m để đồ thị (Cm) hàm số cho tiếp xúc với trục hoành hai điểm phân biệt
Hướng dẫn làm bài: a)
y=x4−2x2
y′=4x3−4x=4x(x2−1)
(9)Đồ thị
b) y′=4x3−4mx=4x(x2−m)
Để (Cm) tiếp xúc với trục hoành hai điểm phân biệt điều kiện cần đủ
phương trình y’ = có hai nghiệm phân biệt khác yCT =
+) Nếu m≤0 x2−m≥0 với x nên đồ thị tiếp xúc với trục Ox tại
hai điểm phân biệt
+) Nếu m > y’ = x=0;x=±√m f(√m)=0 m⇔ 2−2m2+m3−m2=0
⇔m2(m−2)=0 m=2⇔
(do m > 0)
Vậy m = giá trị cần tìm
Bài 1.56 trang 38 Sách tập (SBT) Giải tích 12 Cho hàm số y=3(x+1)/x−2
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
(10)Hướng dẫn làm bài: a)
b) Cách
Phương trình tiếp tuyến điểm M0(x0; y0) là:
y – y0 = y’(x0)(x – x0)
Trong y′(x0)=−9/(x0−2)2 Ta có:
y=−9/(x0−2)2(x−x0)+y0 với y0=3(x0+1)/x0−2
Để đường thẳng qua O(0; 0), điều kiện cần đủ là: 9x0/(x0−2)2+3(x0+1)/x0−2=0
⇔{x0≠2;x02+2x0−2=0
⇔x0=−1±√3
+) Với x0=−1+√3, ta có phương trình tiếp tuyến: y=−3/2(2+√3)x
+) Với x0=−1−√3, ta có phương trình tiếp tuyến: y=−3/2(2−√3)x
Cách
Phương trình đường thẳng qua gốc tọa độ O có dạng y = kx
Để xác định tọa độ tiếp điểm hai đường: y=3(x+1)/x−2 y = kx, ta giải hệ:
Giải phương trình thứ ta được: x=−1±√3 Thay vào phương trình thứ hai ta có:
k1=−3/2(2+√3);k2=−3/2(2−√3)
Từ có hai phương trình tiếp tuyến là: y=−3/2(2+√3)x y=−3/2(2−√3)x c) Để tìm (C) điểm có tọa độ nguyên ta có:
(11)Điều kiện cần đủ để M(x,y) (C) có tọa độ nguyên là:∈ {x Z;9/x−2 Z∈ ∈
tức (x – 2) ước
Khi đó, x – nhận giá trị ±1;±3;±9 hay x nhận giá trị 1; 3; -1; 5; -7; 11 Do đó, ta có điểm (C) có tọa độ nguyên là: (1; -6), (3; 12), (-1; 0), (5; 6), (-7; 2), (11; 4)
Bài 1.57 trang 38 Sách tập (SBT) Giải tích 12 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số y=x+2/x−3
b) Chứng minh giao điểm I hai tiệm cận (C) tâm đối xứng (C)
c) Tìm điểm M đồ thị hàm số cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang
Hướng dẫn làm bài: a)
b) Tiệm cận đứng đường thẳng x = Tiệm cận ngang đường thẳng y =
Do đó, giao điểm hai đường tiệm cận I(3; 1) Thực phép biến đổi: {x=X+3;y=Y+1
Ta Y+1=X+5/X Y=X+5/X−1 Y=5/X⇔ ⇔
Vì Y=5/X hàm số lẻ nên đồ thị (C) hàm số có tâm đối xứng gốc tọa độ I hệ tọa độ IXY
c) Giả sử M(x0;y0) (C) Gọi d∈ khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng d2
khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang, ta có: d1=|x0−3|,d2=|y0−1|=5/|x0−3|
Có hai điểm thỏa mãn đầu bài, hai điểm có hồnh độ x0=3±√5
(12)Chứng minh phương trình: 3x5 + 15x – = có nghiệm thực.
Hướng dẫn làm bài:
Hàm số 3x5 + 15x – = hàm số liên tục có đạo hàm R.
Vì f(0)=−8<0,f(1)=10>0 nên tồn số x0∈(0;1) cho f(x0) = 0, tức
phương trình f(x) = có nghiệm
Mặt khác, ta có y′=15x4+5>0, x R nên hàm số cho luôn đồng biến.∀ ∈