Ebook Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz Phần 2 - Nguyễn Quốc Thịnh

Tìm tọa độ điểm đối xứng với một điểm qua 1 mặt phẳng cho trước.. Hướng dẫn giải.[r]

(1)

PHẦN 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

A TĨM TẮT LÝ THUYẾT

1 Phương trình tham số phương trình tắc đường thẳng

 Phương trình tham số đường thẳng d qua điểm M x y z0( ;0 0; 0) có vectơ

phương a( ;a a a1 2; 3)với a0 là:

1

( ) : ( )

  

   



   

o o o x x a t

d y y a t t

z z a t  Nếu a a a1 0

0 0

1

( ) :d xx  yy  zz

a a a gọi là phương trình tắc của d 2 Vị trí tương đối hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng d d,  qua hai điểm M0



x y z



M



x

y

z



a



a a a



a



a a

a





0

; a a d d

M d        

  

€



0

; a a d d

M d      

  

    d cắt d

0 ;

;

a a

a a M M    

 

  

   

 d d chéo a a; .M M0 00

 d d a a 0

3 Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng

Cho mặt phẳng

 

Ax

By Cz

D

0

:

  

   

   

x x ta d y y ta

z z ta

Xét phương trình: A x( 0ta1)B y( 0ta2)C z( 0ta3) D (ẩn t) (*)

 d€

 

(*) vô nghiệm

(2)

4 Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu

Cho đường thẳng

0

:

  

   

   

x x ta d y y ta z z ta

(1) mặt cầu

 

: (  ) (  )  ( ) 

S x a y b z c R (2)

Để xét vị trí tương đối đường thẳng d mặt cầu

 

S



x

ta

a

 

yx

ta

b

 

z

ta

c



 d

 

S

có điểm chung

(*) vô nghiệm

d I d

 

R

d

 

S

(*) có nghiệm

d I d

 

R

d

 

S

hai điểm phân biệt

(*) có hai nghiệm phân biệt

d I d

 

R

5 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng (chương trình nâng cao) Cho đường thẳng d qua M0 có VTCP a điểmM

0 ; ( , ) M M a

d M d

a

 

 



6 Khoảng cách hai đường thẳng chéo (chương trình nâng cao) Cho hai đường thẳng chéo d1 d2

1

d qua điểm M1 có VTCP a1, d2 qua điểm M2 có VTCP a2









1 2

1

, ( , )

,  a a M M d d d

a a

Chú ý: Khoảng cách hai đường thẳng chéo d1, d2 bằng khoảng cách d1 với mặt phẳng

 

chứa d

song song với d

7 Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song

Khoảng cách đường thẳng d với mặt phẳng

 

song song với khoảng cách từ một

điểm M d đến mặt phẳng

 

8 Góc hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng d1, d2lần lượt có VTCP a a1, 2 Khi góc d1, d2 là:









1

cos ; cos ,

  a a

d d a a

a a 9 Góc đường thẳng mặt phẳng

Cho đường thẳng d có VTCP a( ;a a a1 2; 3) mặt phẳng

 

có VTPT n

A B C

.

Góc đường thẳng d mặt phẳng

 

góc đường thẳng d với hình chiếu d của

nó

 





2 2 2

1

sin , ( )

   

   

Aa Ba Ca d

(3)

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Dạng 1. Phương trình đường thẳng qua điểm biết véctơ phương Phương pháp giải:

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, đường thẳng d qua điểm M0



x y z



a



a a a



2 2

1  2 0

a a a có phương trình tham số là:

0

  

   

   

x x a t y y a t z z a t

VD 1. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng

 

P

x

y

z

 

Q

x

y

z

 

P

 

Q

2

  

    

  

x t

y t

z t

B

2

  

    

   

x t

y t

z t

C

2

         

x t

y t

z t

D

2

         

x t

y t

z t Hướng dẫn giải

Cách 1: Xét hệ ( )

3

   



      

x y z

Cho x0 thay vào ( ) tìm y 8,z 4

Đặt A(0; 8; 4) 

Cho z0 thay vào ( ) tìm x2,y 1

Đặt B(2; 1; 0)  AB





   

P

Q

   

P

Q

2

  

    

  

x t

y t

z t Chọn đáp án A

Cách 2: Xét hệ ( )

3

   



      

x y z

Cho z0 thay vào ( ) tìm x2,y 1

Đặt B(2; 1; 0)

 

P

x

y

z

nP

 

Q

x

y

z

nQ





, 4;14;8

 

n nP Q chọn u(2; 7; 4) VTCP giao tuyến

   

P

Q

   

P

Q

2

  

    

  

x t

y t

z t Chọn đáp án A

Cách 3: (kỹ máy tính cầm tay)

(4)

A 2B 3C 4: 3A 2B 5C 4     

Rút toạ độ điểm ( ;x y z0 0; 0) từ PTTS câu, dùng lệnh CALC nhập vào máy

KQ ứng với câu cho đáp số nhận (ở tạm thời nhận A B)

Tiếp tục cho t1 (ngoài nháp) vào PTTS nhận để có số ( ; ; )x y z lại thay vào biểu thức nhập hình

Lại tìm số cho đáp số (ở câu A đảm bảo điều nên đáp án A)

VD 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d qua điểm M





u





d

A          x y z t

B

1 2            x t y t z t

C

1          x t y t z

D

1 2            x t y t z Hướng dẫn giải

Học thuộc lịng cơng thức

0 0           

x x at y y bt z z ct

thay số vào

1

2

0                     

x t x

y t y

z t z t

Chọn đáp án A

VD 3. Phương trình tham số đường thẳng d biết qua điểm M(1; 2;3) có véctơ





 

a

A            x t y t z t

B

1              x t y t z t

C

1            x t y t z t

D

1              x t y t z t

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d qua điểm M(1; 2;3) có vectơ phương a





trình tham số là:

1            x t y t z t

VD 4. Phương trình tham số đường thẳng d biết qua điểm M(0; 2;5) có véctơ





 

a

A 1             x t y t z t B              x t y t z t C 2             x t y t z t D 2            x t y t z t

(5)

Đường thẳng d qua điểm M(0; 2;5) có vectơ phương a





tham số là:

0 2

  

    

   

x t

y t

z t

Chọn đáp án C

VD 5. Phương trình tham số đường thẳng d biết qua điểm M(1; 2;3) có véctơ







a

A

1

          

x t

y t

z t

B

1

          

x t

y t

z t

C

1

        

x t

y z

D

1

         

x t

y t

z

Đường thẳng d qua điểm M(1; 2;3) có véctơ phương a





tham số là:

1

        

x t

y z

VD 6. Phương trình tham số đường thẳng d biết qua gốc tọa độ O có véctơ phương





 

a

A

2

  

    

   

x t

y t

z t

B

0

          

x t

y t

z t

C

1

          

x t

y t

z t

D

1

         

x t

y t

z

Đường thẳng d qua điểm qua gốc tọa độ O có véctơ phương a





trình tham số là:

0

          

x t

y t

z t

Chọn đáp án B

Dạng 2. Phương trình đường thẳng qua điểm M N; Phương pháp giải:

 Tìm tọa độ véctơ MN

 Phương trình đường thẳng cần tìm qua M ( hoặcN) có véctơ phương

phương với véctơ MN

(6)

A





1

2

4

  

    

    

x t

y t t

z t

B





2

3

1

  

     



    

x t

y t t

z t

C





1

2

4

  

    

    

x t

y t t

z t

D





2

3

1

  

    



    

x t

y t t

z t

Phương pháp: Để tìm toạ độ điểm đầu mút đoạn thẳng có phương trình tham số có điều kiện kèm theo ta thay giá trị (đầu mút) tham số vào phương trình tìm x y z, ,

a) Với phương án A, thay t1 vào PTTS ta toạ độ điểm





nhưng t2 ta lại điểm





t

B





và t0 ta toạ độ điểm A





Lưu ý 1:

- Để viết phương trình tham số đoạn thẳng AB ta viết phương trình tham số đường thẳng AB, tìm giá trị t tA, B để từ phương trình tham số ta tìm lại toạ độ điểm

,

A B

- Kết phương trình tham số có kèm điều kiện t đoạn tạo t tA, B

- Tuy nhiên phương pháp chậm khó để chọn phương án cách cho đề Lưu ý 2:

- Nếu HS dùng phương pháp thay toạ độ điểm A B vào phương trình tham số phương án (A,B,C,D) để tìm giá trị t tìm t tA, B đầu mút

đoạn điều kiện cho kèm theo phương trình tham số, phương án

VD 8. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A





B





A

B

A

3 1

     

x y z

B

2

     

x y z

C 1

1

     

x y z

D

2

     

x y z

Hướng dẫn giải:

Phương pháp tự luận:

Gọi d đường thẳng qua điểm A





B





d

(1; 2; 3)

A có vectơ phương ud AB(2; 3; 4) nên có phương trình tắc là:

1

2

     

x y z

(7)

Đường thẳng qua A





B





AB

A

VD 9. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, đường thẳng qua hai điểm A



 

B



A

1

    

x y z

B

1

     

x y z

C

1

    

x y z

. D

1

    

x y z

Đường thẳng AB qua A





AB

1

    

x y z

VD 10. Phương trình tham số đường thẳng qua hai điểm M(1; 2;3) N(3; 0; 0)

A            x t y t z t

B

3            x t y t z t

C

1 2 3            x t y t z t

D

3 2            x t y t z t Hướng dẫn giải

Ta có véctơ MN 





MN

Chọn đáp án D

VD 11. Phương trình tham số đường thẳng qua hai điểm A(1; 2; 3)  B(3; 0;1)

A            x t y t z t

B

3            x t y t z t

C

1 2 3            x t y t z t

D

3 2            x t y t z t

Ta có véctơ AB





AB

u





VD 12. Phương trình tham số đường thẳng qua hai điểm A(1; 2; 3)  B(3; 0;1)

A            x t y t z t

B

2 1              x t y t z t

C

1 2 3            x t y t z t

D

3 2            x t y t z t

Ta có véctơ AB





AB

u





Mặt khác tọa độ trung điểm AB điểm I





Chọn đáp án B

(8)

Phương pháp giải:

 Véctơ phương đường thẳng  u

 Phương trình đường thẳng cần tìm qua điểm M có véctơ phương phương với véctơ u

VD 13. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, phương trình đường thẳng qua điểm M





Ox

A 2          x t y t z t

B

2           x y t z

C

2           x t y z

D

2           x t y t z t Hướng dẫn giải

Trục hoành Ox nhận véctơ đơn vị i (1;0;0) làm VTCP

Đường thẳng d song song với trục hồnh phải nhận i (1;0;0) làm VTCP ln Ngồi M





d

VD 14. Phương trình tham số đường thẳng  qua hai điểm M(1; 2;3) song song với đường

thẳng d cóphương trình

1             x t y t z t A            x t y t z t

B

3            x t y t z t

C

1              x t y t z t

D

3            x t y t z t Hướng dẫn giải

Ta có véctơ u





d

Vì €d nên véctơ u





Chọn đáp án A

VD 15. Phương trình tham số đường thẳng  qua hai điểm M(1;1;1) song song với đường

thẳng d cóphương trình

1             x t y t z t A 1            x t y t z t

B

1            x t y t z t

C

1            x t y t z t

D

3            x t y t z t Hướng dẫn giải

Ta có véctơ u





d

(9)

VD 16. Phương trình tham số đường thẳng  qua hai điểm M(1;1;1) song song với đường

thẳng d có phương trình

1

          

x t

y

z t

A

1 1

         

x t

y

z t

B

1 1

         

x t

y

z t

C

1 1

         

x t

y

z t

D

1

          

x t

y t

z t

Ta có véctơ u





d

Vì €d nên véctơ a 





Chọn đáp án C

Dạng 4. Phương trình đường thẳng qua điểm M0 vng góc với mặt phẳng ( )P cho trước

 Véctơ pháp tuyến mặt phẳng ( )P n

 Phương trình đường thẳng cần tìm qua điểm M0 có véctơ phương phương

với véctơ n

VD 17. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, gọi  đường thẳng qua điểm M





 

x

y

z

A

1

   



x y z

B

2

   



x y z

C

2

   



x y z

D

2

   

x y z

 

x

y

z

n





n

Ngoài ra, M





2

 

  



x y z

VD 18. Phương trình tham số đường thẳng  qua hai điểm M(1; 2;3) vng góc với mặt phẳng

 

P

x

y

z

A

1

  

   

   

x t

y t

z t

B

1

          

x t

y t

z t

C

1

  

    

    

x t

y t

z t

D

1

          

x t

y t

z t

Ta có véctơ n





(P)

(10)

 

P

x

z

A

1

         

x t

y

z t

B

1

         

x t

y

z t

C

1

      

    

x t

y

z t

D

1

         

x t

y

z t

Ta có véctơ n





 

P

Vì  ( )P nên véctơ u 





Chọn đáp án A



Oxy



A

1

        

x t

y z

B

1

        

x

y t

z

C

1

        

x y

z t

D

1

          

x t

y t

z t

Ta có véctơ k 





Oxy

Vì  (Oxy) nên véctơ n





Chọn đáp án C

Dạng 5. Phương trình giao tuyến hai mặt phẳng Phương pháp giải:

Cách 1:

 Đặt ẩn t giải hệ phương trình theo t Cách 2:

 Véctơ phương đường thẳng tích có hướng véctơ pháp tuyến mặt phẳng

 Chọn điểm thuộc mặt phẳng điểm thuộc đường thẳng

VD 21. Phương trình tham số đường thẳng  giao tuyến hai mặt phẳng có phương trình

( ) : x2y  z ( ') : x y 2z 3

A

5

   

   

  

x t

y t

z t

B

5

   

   

  

x t

y t

z t

C

5

   

      

x t

y t

z t

D

1

          

x t

y t

z t

Ta có phương trình tổng qt đường thẳng là

2

x y z

    

     

(11)

( ) :2 x2y  z ( ') :2 x   y z

A

6

         

x t

y t

z t

B

6

         

x t

y t

z t

C

6

         

x t

y t

z t

D

6

 

    

   

x t

y t

z t

Ta có phương trình tổng qt đường thẳng là 2

2

x y z

x y z     

     

Đặt xt tìm y z; theo t Chọn đáp án D

( ) : x y () :2x  y z 150

A

15

     

   

x t

y t

z t

B

15

     

   

x t

y t

z t

C

15

    

   

x t y t

z t

D

15

      

   

x t

y t

z t

Ta có phương trình tổng quát đường thẳng là

2 15

  

    

 x y

x y z Đặt xt tìm y z; theo t

Dạng 6. Phương trình đường thẳng d qua điểm M0 vuông góc với đường thẳng d d1; khơng

song song

 Véctơ phương đường thẳng d u  u u1; 2

 Phương trình đường thẳng cần tìm qua M0 có véc tơ phương u

VD 24. Cho hai đường thẳng d d1; 2 có phương trình

1:

6

 

    

   

x t

d y t

z t

2:

2

 

 



x y z

d Phương trình tắc đường thẳng d3đi qua





M vng góc với d1và d2là

A

1 14 17

  

    

   

x t

y t

z t

B

1 14 17

  

    

   

x t

y t

z t

C

1 14 17

  

    

   

x t

y t

z t

D

1 14 17

  

    

   

x t

y t

(12)

Hướng dẫn giải Ta có: véctơ phương d3là u3u u1; 2





1:

2

         

x t

d y t

z t

2

:

2

         

x t

d y t

z t

Phương trình tắc đường thẳng d3đi qua





M vng góc với d1và d2là

A

1 14 17

  

    

   

x t

y t

z t

B

1 14 17

  

    

   

x t

y t

z t

C

1 14 17

  

    

   

x t

y t

z t

D

1 14 17

  

    

   

x t

y t

z t

Hướng dẫn giải Ta có: véctơ phương d3là u3u u1; 2





1:

2

         

x t

d y t

z t

và 2

2

:

2

     

    

x t

d y t

z t

Phương trình tắc đường thẳng d3đi qua M





vuông góc với d1và d2là

A

1

  

    

   

x t

y t

z t

B

1

  

    

   

x t

y t

z t

C

1

  

    

   

x t

y t

z t

D

1

  

    

   

x t

y t

z t

Hướng dẫn giải Ta có: véctơ phương d3là u3u u1; 2 





Dạng 7. Tìm tọa độ hình chiếu vng góc điểm M0 lên mặt phẳng ( ) cho trước Tìm tọa độ điểm đối xứng với điểm qua mặt phẳng cho trước

 Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M0 vng góc với ( )

 Tọa độ H hình chiếu điểm M0lên mặt phẳng ( ) nghiệm hệ phương trình

( )

   d  Điểm M’ điểm đối xứng điểm M0 qua mặt phẳng ( ) suy H trung điểm

0 '

(13)

VD 27. Cho điểm M





x

y

z

H

M

A

















Hướng dẫn giải

Ta có:

Phương trình đường thẳng d qua điểm M





1 2

          

x t

y t

z t

Tọa độ điểm H nghiệm hệ phương trình

4 2

x y z  



   

   

     

x t

y t

z t





x

y

z

H

M

A

















Ta có:

Phương trình đường thẳng d đi qua điểm M vng góc với mặt phẳng ( ) là:

1 2

  

    

   

x t

y t

z t

Tọa độ điểm H nghiệm hệ phương trình

1 2

2 11

  

    

   

     

x t

y t

z t

x y z





x

y

z

M

M

A

















Ta có:

Phương trình đường thẳng d đi qua điểm M





1 2

          

x t

y t

z t

Tọa độ hình chiếu M ( ) nghiệm hệ phương trình

4 2

2

  

   

   

     

x t

y t

z t

x y z

(14)





x

y

z

M

M qua mặt phẳng ( )

A

















Ta có:

Phương trình đường thẳng d qua điểm M vng góc với mặt phẳng ( ) là:

1 2

  

    

   

x t

y t

z t

Tọa độ hình chiếu M ( ) nghiệm hệ

1 2

2 11

  

    

   

     

x t

y t

z t

x y z

Vì H trung điểm MM nên tọa độ điểm M 





Chọn đáp án A

Dạng 8. Hình chiếu điểm M đường thẳng d Phương pháp giải:

 Lấy Hd Tính MH

 H hình chiếu M d MH u d 0

VD 31. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng :

1

x y z

d     điểm A





H

A

d

A H





H





H





H





Hướng dẫn giải: Phương pháp trắc nghiệm:

Nhập vào máy tính: 1



A

 

B

 

C



Sau đó: CALC A4,B5,C2 ta  6 0 loại đáp án A CALC A2,B1,C0 ta 60 loại đáp án B CALC A3,B3,C1 ta  chọn đáp án C CALC A1,B 1,C 1 ta 120  loại đáp án D Chọn đáp án C

Đường thẳng d có vectơ phương ud 





H hình chiếu vng góc A d  H d H



t

t t







(15)

Ta có: AH u d 0 1 3



t

 

t

 

t



t

Vậy H





Chọn đáp án C

VD 32. Trong khơng gian Oxyz, tọa độ hình chiếu vng góc điểm M





1

:

1

x y z

d     là:

A

















Hướng dẫn giải: Phương pháp trắc nghiệm:

Nhập vào máy tính: 1



A

 

B

 

C



Sau đó: CALC A1,B0,C2 ta  6 0 loại đáp án A CALC A2,B2,C3 ta 120 loại đáp án B CALC A0,B 2,C1 ta  chọn đáp án C CALC A 1,B 4,C0 ta 60 loại đáp án D Chọn đáp án C

Đường thẳng d có vectơ phương ud 





H hình chiếu vng góc A d  H d H



t t

t







MH t  t t

Ta có: MH u d 0 1 3



t

 

t

 

t



t

Vậy H





Chọn đáp án C

VD 33. Trong không gian Oxyz, cho điểm A





6

:

1

x t

d y t

z t

  

    

    

Hình chiếu

của A lên d có tọa độ là:

A

















Hướng dẫn giải Phương pháp trắc nghiệm:

Nhập vào máy tính: 4 3



A

 

B

 

C



(16)

CALC A2,B 3,C 1 ta 40 loại đáp án B CALC A2,B3,C1 ta 60 loại đáp án C CALC A 2,B 4,C3 ta  21 0 loại đáp án D Chọn đáp án A

Đường thẳng d có vectơ phương ud   





GọiH hình chiếu vng góc A d  H d H



t







AH  t t t

Ta có: AH u d 0  4 4



t

 

t

 

t



t

Vậy H





Chọn đáp án A

Dạng 9. Hình chiếu đường thẳng d mặt phẳng

 

Phương pháp giải:

Trường hợp 1: d cắt

 

 Tìm giao điểm A d

 

 Lấy M cụ thể d Tìm hình chiếu M M

 

d

AM

Trường hợp 2: d€

 

 Lấy M cụ thể d Tìm hình chiếu M M d  Hình chiếu d đường thẳng qua M song song với d

VD 34. Trong không gian Oxyz cho đường thẳng :

2 1

x y z

d    



 

P

x

y

z

d

d

 

P

Mặt phẳng

 

P

n





M





d

A

d

 

P





6

1

2 6; 2;6

2 1

10

x

x y z

y A

x y z z

 

 

  

     



 

      

 

(17)

Đường thẳng MH qua M





n





3 x t

y t

z t

         

Toạ độ H thoả hệ





2

1

2;3;5

3

10

x t x

y t y

H

z t z

x y z t

 

 

    

  

    

 

      

 

Đường thẳng d qua H





AH





2 5

x t

y t

z t

          

VD 35. Trong không gian Oxyz cho đường thẳng : 1

2

x y z

d     

 

P

x

y

z

d

d

 

P

Hướng dẫn giải Mặt phẳng

 

P

n





Đường thẳng d qua điểm M





u





Nhận thấy d€

 

P

H

M

 

P

d

H

d

MH

M





n





1 2

x t

y t

z t

  

    

   





1

2;1;0

2

x t x

y t y

H

z t z

x y z t

  

 

     

  

    

 

      

 

Đường thẳng d qua H





u





2 2

x t

y t

z t

          

VD 36. Trong không gian Oxyz cho đường thẳng :

3

x y z

d     



 

P

x

y

z

d

d

 

P

(18)

Mặt phẳng

 

P

n





M





d

A

d

 

P





1

4

0 1;0;6

3

2 13

x

x y z

y A

x y z z

 

  

  

   



 

      

 

Gọi H hình chiếu M

 

P

Đường thẳng MH qua M





n





4 2

x t

y t

z t

          





4

1

5;0;4

2

2 13

x t x

y t y

H

z t z

x y z t

  

 

    

  

    

 

      

 

Gọi M đối xứng với M qua

 

P

H

MM

M





Đường thẳng d qua M





AM 





6

x t

y t

z   

    

  

Dạng 10. Phương trình đường vng góc chung hai đường thẳng chéo d1 d2 Phương pháp giải:

 Chuyển d d1, 2 dạng tham số

 Giả sử A B, chân đường vuông góc chung d d1, 2  Tìm toạ độ A B, theo tham số d d1, 2

 Từ điều kiện dd d1, d2 suy

1

2

d d

AB u

 

 



  toạ độ A B  Đường thẳng d đường thẳng qua A nhận AB làm VTCP

VD 37. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng

 

d

 

d

 

1

: 10

x

d y t

z t  

   

  

,

 

3

:

2 x t

d y t

z          

Gọi đường thẳng vng góc chung

(19)

A

2 177

3 98

17

49

x t

y t

z t

B

7 46

147 246

x t

y t

z t

C     

 

 

t z

t y

t x

3

2

D

    

 

 

t z

t y

t x

4

3

2

Hướng dẫn giải Phương pháp trắc nghiệm:

Nhập vào máy tính: 0A2B1C

Sau đó: CALC A2,B3,C 6 ta  chọn đáp án A

CALC A 46,B 147,C246 ta  48 0 loại đáp án B CALC A2,B3,C 3 ta 30 loại đáp án C

CALC A2,B 3,C 4 ta 100 loại đáp án D Chọn đáp án A

 

d

u





 

d

u





M



t t

  

d

N



t

  

d

Suy MN 



t



Ta có:

1 1

1 2

2

164

16 49

4 13 11

49

t

MN u t t

t t

MN u t

  

      

  

     

 

 

 



Do đó: 1;162 164; ,

49 49

M 

 

27 129

; ;

49 49

N  

 ,





11

2;3; 49

MN    Từ suy phương trình

MN

Cách làm trắc nghiệm:

 

u



u u







Chọn đáp án A

VD 38. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, gọi đường vng góc chung hai đường thẳng:

 

2 :

1 x

d y t

z t

         

và

 

4 :

4 11

4

x t

d y t

z t

   

   



   

(20)

A x t

y t

z t

B

2

x t

y t

z t

C

3

2

1   

 y z

x

D

2

1    

 y z

x Hướng dẫn giải Phương pháp trắc nghiệm:

 

u



u u











Để loại A D, ta cần xét thêm có cắt với

 

d

Chọn đáp án B

 

d

u





 

d

u





M



t

  

d

 

4

N t t t  d

 

Suy 42 2; 2 1 7; 2 1

4

MN  t  t  t t  t 

 

Ta có:

1

2

0

1

4

t MN u

 

 

 

  



 

 

Do đó: M





N





MN









Từ suy phương trình

MN

Chọn đáp án B.

VD 39. Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng chéo

3

:

1

x t

d y t

z t

  

    

    

6 :

2 x t

d y t

z t

   

         

Phương trình sau phương trình đường vng góc chung d d

A 1

1 2

x y z

  B 1

1 2

x y z

 

C 1

1 2

x y z

  D 1

1 2

x y z

 

Đường thẳng d d có vectơ phương a 





b





M



t



d N



t



d



