Tìm tọa độ điểm đối xứng với một điểm qua 1 mặt phẳng cho trước.. Hướng dẫn giải.[r]
(1)PHẦN 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
A TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1 Phương trình tham số phương trình tắc đường thẳng
Phương trình tham số đường thẳng d qua điểm M x y z0( ;0 0; 0) có vectơ
phương a( ;a a a1 2; 3)với a0 là:
1
( ) : ( )
o o o x x a t
d y y a t t
z z a t Nếu a a a1 0
0 0
1
( ) :d xx yy zz
a a a gọi là phương trình tắc của d 2 Vị trí tương đối hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng d d, qua hai điểm M0x y z0; 0; 0, M0x0 ;y0 ;z0 có vectơ phương aa a a1; 2; 3, a a a1 ; 2 ;a3 Khi đó, ta có:
0
; a a d d
M d
€
0
; a a d d
M d
d cắt d
0 ;
;
a a
a a M M
d d chéo a a; .M M0 00
d d a a 0
3 Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng
Cho mặt phẳng :AxBy Cz D đường thẳng
0
0
0
:
x x ta d y y ta
z z ta
Xét phương trình: A x( 0ta1)B y( 0ta2)C z( 0ta3) D (ẩn t) (*)
d€ (*) vô nghiệm
(2)4 Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu
Cho đường thẳng
0
0
0
:
x x ta d y y ta z z ta
(1) mặt cầu 2 2
: ( ) ( ) ( )
S x a y b z c R (2)
Để xét vị trí tương đối đường thẳng d mặt cầu S ta thay (1) vào (2), a phương trình: x0ta1a 2 yx0ta2b 2 z0ta3c2 0 (*)
d S khơng có điểm chung (*) vô nghiệm d I d , R d tiếp xúc S (*) có nghiệm d I d , R d cắt S tạihai điểm phân biệt (*) có hai nghiệm phân biệt d I d , R
5 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng (chương trình nâng cao) Cho đường thẳng d qua M0 có VTCP a điểmM
0 ; ( , ) M M a
d M d
a
6 Khoảng cách hai đường thẳng chéo (chương trình nâng cao) Cho hai đường thẳng chéo d1 d2
1
d qua điểm M1 có VTCP a1, d2 qua điểm M2 có VTCP a2
1 2
1
1
, ( , )
, a a M M d d d
a a
Chú ý: Khoảng cách hai đường thẳng chéo d1, d2 bằng khoảng cách d1 với mặt phẳng chứa d2 song song với d1
7 Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song
Khoảng cách đường thẳng d với mặt phẳng song song với khoảng cách từ một điểm M d đến mặt phẳng
8 Góc hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng d1, d2lần lượt có VTCP a a1, 2 Khi góc d1, d2 là: 1 2 1 2
1
cos ; cos ,
a a
d d a a
a a 9 Góc đường thẳng mặt phẳng
Cho đường thẳng d có VTCP a( ;a a a1 2; 3) mặt phẳng có VTPT n( ; ; )A B C .
Góc đường thẳng d mặt phẳng góc đường thẳng d với hình chiếu d của nó
2 2 2
1
sin , ( )
Aa Ba Ca d
(3)B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Dạng 1. Phương trình đường thẳng qua điểm biết véctơ phương Phương pháp giải:
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, đường thẳng d qua điểm M0x y z0; 0; 0 có vectơ phương aa a a1; 2; 3 với
2 2
1 2 0
a a a có phương trình tham số là:
0
0
0
x x a t y y a t z z a t
VD 1. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng P :x2y3z 4
Q : 3x2y5z 4 Giao tuyến P Q có phương trình tham số là: A
2
x t
y t
z t
B
2
x t
y t
z t
C
2
x t
y t
z t
D
2
x t
y t
z t Hướng dẫn giải
Cách 1: Xét hệ ( )
3
x y z
x y z
Cho x0 thay vào ( ) tìm y 8,z 4
Đặt A(0; 8; 4)
Cho z0 thay vào ( ) tìm x2,y 1
Đặt B(2; 1; 0) AB2; 7; 4 VTCP P Q Như vậy, phương trình tham số P Q
2
x t
y t
z t Chọn đáp án A
Cách 2: Xét hệ ( )
3
x y z
x y z
Cho z0 thay vào ( ) tìm x2,y 1
Đặt B(2; 1; 0)
P :x2y3z 4 có VTPT nP (1; 2;3)
Q : 3x2y5z 4 có VTPT nQ (3; 2; 5)
, 4;14;8
n nP Q chọn u(2; 7; 4) VTCP giao tuyến P Q Như vậy, PTTS P Q
2
x t
y t
z t Chọn đáp án A
Cách 3: (kỹ máy tính cầm tay)
(4)A 2B 3C 4: 3A 2B 5C 4
Rút toạ độ điểm ( ;x y z0 0; 0) từ PTTS câu, dùng lệnh CALC nhập vào máy
KQ ứng với câu cho đáp số nhận (ở tạm thời nhận A B)
Tiếp tục cho t1 (ngoài nháp) vào PTTS nhận để có số ( ; ; )x y z lại thay vào biểu thức nhập hình
Lại tìm số cho đáp số (ở câu A đảm bảo điều nên đáp án A)
VD 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d qua điểm M1; 2; 0 có véctơ phương u0; 0;1 Đường thẳng d có phương trình tham số là:
A x y z t
B
1 2 x t y t z t
C
1 x t y t z
D
1 2 x t y t z Hướng dẫn giải
Học thuộc lịng cơng thức
0 0
x x at y y bt z z ct
thay số vào
1
2
0
x t x
y t y
z t z t
Chọn đáp án A
VD 3. Phương trình tham số đường thẳng d biết qua điểm M(1; 2;3) có véctơ
1; 4;5
a
A x t y t z t
B
1 x t y t z t
C
1 x t y t z t
D
1 x t y t z t
Hướng dẫn giải
Đường thẳng d qua điểm M(1; 2;3) có vectơ phương a1; 4;5 có phương
trình tham số là:
1 x t y t z t
Chọn đáp án A
VD 4. Phương trình tham số đường thẳng d biết qua điểm M(0; 2;5) có véctơ
1; 1;3
a
A 1 x t y t z t B x t y t z t C 2 x t y t z t D 2 x t y t z t
(5)Đường thẳng d qua điểm M(0; 2;5) có vectơ phương a1; 1;3 có phương trình
tham số là:
0 2
x t
y t
z t
Chọn đáp án C
VD 5. Phương trình tham số đường thẳng d biết qua điểm M(1; 2;3) có véctơ
2; 0; 0
a
A
1
x t
y t
z t
B
1
x t
y t
z t
C
1
x t
y z
D
1
x t
y t
z
Hướng dẫn giải
Đường thẳng d qua điểm M(1; 2;3) có véctơ phương a2; 0; 0có phương trình
tham số là:
1
x t
y z
Chọn đáp án C
VD 6. Phương trình tham số đường thẳng d biết qua gốc tọa độ O có véctơ phương
2; 3;1
a
A
2
x t
y t
z t
B
0
x t
y t
z t
C
1
x t
y t
z t
D
1
x t
y t
z
Hướng dẫn giải
Đường thẳng d qua điểm qua gốc tọa độ O có véctơ phương a2; 3;1 có phương
trình tham số là:
0
x t
y t
z t
Chọn đáp án B
Dạng 2. Phương trình đường thẳng qua điểm M N; Phương pháp giải:
Tìm tọa độ véctơ MN
Phương trình đường thẳng cần tìm qua M ( hoặcN) có véctơ phương
phương với véctơ MN
(6)A
1
2
4
x t
y t t
z t
B
2
3
1
x t
y t t
z t
C
1
2
4
x t
y t t
z t
D
2
3
1
x t
y t t
z t
Hướng dẫn giải
Phương pháp: Để tìm toạ độ điểm đầu mút đoạn thẳng có phương trình tham số có điều kiện kèm theo ta thay giá trị (đầu mút) tham số vào phương trình tìm x y z, ,
a) Với phương án A, thay t1 vào PTTS ta toạ độ điểm 2;3; 1
nhưng t2 ta lại điểm 3; 4; 6 khác toạ độ điểm A điểm B b) Với phương án B, thay t 1 ta toạ độ điểm B1; 2; 4
và t0 ta toạ độ điểm A2;3; 1 Chọn đáp án : B
Lưu ý 1:
- Để viết phương trình tham số đoạn thẳng AB ta viết phương trình tham số đường thẳng AB, tìm giá trị t tA, B để từ phương trình tham số ta tìm lại toạ độ điểm
,
A B
- Kết phương trình tham số có kèm điều kiện t đoạn tạo t tA, B
- Tuy nhiên phương pháp chậm khó để chọn phương án cách cho đề Lưu ý 2:
- Nếu HS dùng phương pháp thay toạ độ điểm A B vào phương trình tham số phương án (A,B,C,D) để tìm giá trị t tìm t tA, B đầu mút
đoạn điều kiện cho kèm theo phương trình tham số, phương án
VD 8. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A1; 2; 3 B3; 1;1 Phương trình sau phương trình tắc đường thẳng qua hai điểm A B ?
A
3 1
x y z
B
2
x y z
C 1
1
x y z
D
2
x y z
Hướng dẫn giải:
Phương pháp tự luận:
Gọi d đường thẳng qua điểm A1; 2; 3 B3; 1;1 Đường thẳng d qua
(1; 2; 3)
A có vectơ phương ud AB(2; 3; 4) nên có phương trình tắc là:
1
2
x y z
Chọn đáp án B
(7)Đường thẳng qua A1; 2; 3 B3; 1;1 có vectơ phương AB(2; 3; 4) nên loại phương án A C Xét thấy điểm A(1; 2; 3) thỏa mãn phương trình tắc phương án B nên chọn B đáp án
VD 9. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, đường thẳng qua hai điểm A1; 2;1 , B 2;1;3 có phương trình:
A
1
x y z
B
1
x y z
C
1
x y z
. D
1
x y z
Hướng dẫn giải
Đường thẳng AB qua A1; 2;1 nhận AB(1; 3; 2) làm vectơ phương nên có phương trình:
1
x y z
Chọn đáp án A
VD 10. Phương trình tham số đường thẳng qua hai điểm M(1; 2;3) N(3; 0; 0)
A x t y t z t
B
3 x t y t z t
C
1 2 3 x t y t z t
D
3 2 x t y t z t Hướng dẫn giải
Ta có véctơ MN 2; 2; 3 véctơ phương đường thẳng MN Chọn đáp án D
VD 11. Phương trình tham số đường thẳng qua hai điểm A(1; 2; 3) B(3; 0;1)
A x t y t z t
B
3 x t y t z t
C
1 2 3 x t y t z t
D
3 2 x t y t z t
Hướng dẫn giải
Ta có véctơ AB2; 2; 4 nên véctơ phương đường thẳng AB u1;1; 2
Chọn đáp án B
VD 12. Phương trình tham số đường thẳng qua hai điểm A(1; 2; 3) B(3; 0;1)
A x t y t z t
B
2 1 x t y t z t
C
1 2 3 x t y t z t
D
3 2 x t y t z t
Hướng dẫn giải
Ta có véctơ AB2; 2; 4 nên véctơ phương đường thẳng AB là u1;1; 2
Mặt khác tọa độ trung điểm AB điểm I2; 1; 1 Chọn đáp án B
(8)Phương pháp giải:
Véctơ phương đường thẳng u
Phương trình đường thẳng cần tìm qua điểm M có véctơ phương phương với véctơ u
VD 13. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, phương trình đường thẳng qua điểm M2;1; 2 song song với trục Ox là:
A 2 x t y t z t
B
2 x y t z
C
2 x t y z
D
2 x t y t z t Hướng dẫn giải
Trục hoành Ox nhận véctơ đơn vị i (1;0;0) làm VTCP
Đường thẳng d song song với trục hồnh phải nhận i (1;0;0) làm VTCP ln Ngồi M2;1; 2d nên viết PTTS d ta chọn phương án C
Chọn đáp án C
VD 14. Phương trình tham số đường thẳng qua hai điểm M(1; 2;3) song song với đường
thẳng d cóphương trình
1 x t y t z t A x t y t z t
B
3 x t y t z t
C
1 x t y t z t
D
3 x t y t z t Hướng dẫn giải
Ta có véctơ u1; 4; 5 véctơ phương đường thẳng d
Vì €d nên véctơ u1; 4; 5 véctơ phương đường thẳng Chọn đáp án A
VD 15. Phương trình tham số đường thẳng qua hai điểm M(1;1;1) song song với đường
thẳng d cóphương trình
1 x t y t z t A 1 x t y t z t
B
1 x t y t z t
C
1 x t y t z t
D
3 x t y t z t Hướng dẫn giải
Ta có véctơ u1; 4; 5 véctơ phương đường thẳng d
(9)VD 16. Phương trình tham số đường thẳng qua hai điểm M(1;1;1) song song với đường
thẳng d có phương trình
1
x t
y
z t
A
1 1
x t
y
z t
B
1 1
x t
y
z t
C
1 1
x t
y
z t
D
1
x t
y t
z t
Hướng dẫn giải
Ta có véctơ u1; 0; 2 véctơ phương đường thẳng d
Vì €d nên véctơ a 2; 0; 4 véctơ phương đường thẳng Chọn đáp án C
Dạng 4. Phương trình đường thẳng qua điểm M0 vng góc với mặt phẳng ( )P cho trước
Phương pháp giải:
Véctơ pháp tuyến mặt phẳng ( )P n
Phương trình đường thẳng cần tìm qua điểm M0 có véctơ phương phương
với véctơ n
VD 17. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, gọi đường thẳng qua điểm M2;0; 3 vuông góc với mặt phẳng : 2x3y5z 4 Phương trình tắc là:
A
1
x y z
B
2
x y z
C
2
x y z
D
2
x y z
Hướng dẫn giải
: 2x3y5z 4 có VTPT n 2; 3;5 Do ( ) nên nhận n làm VTCP
Ngoài ra, M2;0; 3 nên phương trình tắc :
2
x y z
Chọn đáp án C
VD 18. Phương trình tham số đường thẳng qua hai điểm M(1; 2;3) vng góc với mặt phẳng P cóphương trình x4y5z 3
A
1
x t
y t
z t
B
1
x t
y t
z t
C
1
x t
y t
z t
D
1
x t
y t
z t
Hướng dẫn giải
Ta có véctơ n1; 4; 5 véctơ pháp tuyến mặt phẳng (P)
(10)VD 19. Phương trình tham số đường thẳng qua hai điểm M(1; 2;3) vng góc với mặt phẳng P cóphương trình x 5z
A
1
x t
y
z t
B
1
x t
y
z t
C
1
x t
y
z t
D
1
x t
y
z t
Hướng dẫn giải
Ta có véctơ n1; 0; 5 véctơ pháp tuyến mặt phẳng P
Vì ( )P nên véctơ u 1; 0;5 véctơ phương đường thẳng Chọn đáp án A
VD 20. Phương trình tham số đường thẳng qua hai điểm M(1; 2;3) vng góc với mặt phẳng Oxy
A
1
x t
y z
B
1
x
y t
z
C
1
x y
z t
D
1
x t
y t
z t
Hướng dẫn giải
Ta có véctơ k 0; 0;1 véctơ pháp tuyến mặt phẳng Oxy
Vì (Oxy) nên véctơ n0; 0; 1 véctơ phương đường thẳng Chọn đáp án C
Dạng 5. Phương trình giao tuyến hai mặt phẳng Phương pháp giải:
Cách 1:
Đặt ẩn t giải hệ phương trình theo t Cách 2:
Véctơ phương đường thẳng tích có hướng véctơ pháp tuyến mặt phẳng
Chọn điểm thuộc mặt phẳng điểm thuộc đường thẳng
VD 21. Phương trình tham số đường thẳng giao tuyến hai mặt phẳng có phương trình
( ) : x2y z ( ') : x y 2z 3
A
5
x t
y t
z t
B
5
x t
y t
z t
C
5
x t
y t
z t
D
1
x t
y t
z t
Hướng dẫn giải
Ta có phương trình tổng qt đường thẳng là
2
x y z
x y z
(11)VD 22. Phương trình tham số đường thẳng giao tuyến hai mặt phẳng có phương trình
( ) :2 x2y z ( ') :2 x y z
A
6
x t
y t
z t
B
6
x t
y t
z t
C
6
x t
y t
z t
D
6
x t
y t
z t
Hướng dẫn giải
Ta có phương trình tổng qt đường thẳng là 2
2
x y z
x y z
Đặt xt tìm y z; theo t Chọn đáp án D
VD 23. Phương trình tham số đường thẳng giao tuyến hai mặt phẳng có phương trình
( ) : x y () :2x y z 150
A
15
x t
y t
z t
B
15
x t
y t
z t
C
15
x t y t
z t
D
15
x t
y t
z t
Hướng dẫn giải
Ta có phương trình tổng quát đường thẳng là
2 15
x y
x y z Đặt xt tìm y z; theo t
Chọn đáp án A
Dạng 6. Phương trình đường thẳng d qua điểm M0 vuông góc với đường thẳng d d1; khơng
song song
Phương pháp giải:
Véctơ phương đường thẳng d u u u1; 2
Phương trình đường thẳng cần tìm qua M0 có véc tơ phương u
VD 24. Cho hai đường thẳng d d1; 2 có phương trình
1:
6
x t
d y t
z t
2:
2
x y z
d Phương trình tắc đường thẳng d3đi qua
1; 1; 2
M vng góc với d1và d2là
A
1 14 17
x t
y t
z t
B
1 14 17
x t
y t
z t
C
1 14 17
x t
y t
z t
D
1 14 17
x t
y t
(12)Hướng dẫn giải Ta có: véctơ phương d3là u3u u1; 214;17;9
Chọn đáp án B
VD 25. Cho hai đường thẳng d d1; 2 có phương trình
1:
2
x t
d y t
z t
2
2
:
2
x t
d y t
z t
Phương trình tắc đường thẳng d3đi qua
1; 1; 2
M vng góc với d1và d2là
A
1 14 17
x t
y t
z t
B
1 14 17
x t
y t
z t
C
1 14 17
x t
y t
z t
D
1 14 17
x t
y t
z t
Hướng dẫn giải Ta có: véctơ phương d3là u3u u1; 214;17;9
Chọn đáp án A
VD 26. Cho hai đường thẳng d d1; 2 có phương trình
1:
2
x t
d y t
z t
và 2
2
:
2
x t
d y t
z t
Phương trình tắc đường thẳng d3đi qua M1; 1; 2
vuông góc với d1và d2là
A
1
x t
y t
z t
B
1
x t
y t
z t
C
1
x t
y t
z t
D
1
x t
y t
z t
Hướng dẫn giải Ta có: véctơ phương d3là u3u u1; 2 2;3; 1
Chọn đáp án C
Dạng 7. Tìm tọa độ hình chiếu vng góc điểm M0 lên mặt phẳng ( ) cho trước Tìm tọa độ điểm đối xứng với điểm qua mặt phẳng cho trước
Phương pháp giải:
Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M0 vng góc với ( )
Tọa độ H hình chiếu điểm M0lên mặt phẳng ( ) nghiệm hệ phương trình
( )
d Điểm M’ điểm đối xứng điểm M0 qua mặt phẳng ( ) suy H trung điểm
0 '
(13)VD 27. Cho điểm M1; 4; 2 mặt phẳng ( ) : x2y z Tọa độ điểm H hình chiếu vng góc điểm M lên mặt phẳng ( )
A 1; 2; 0 B 1; 2; 0 C 1; 2; 0 D 1; 2;1 Hướng dẫn giải
Ta có:
Phương trình đường thẳng d qua điểm M1; 4; 2 vng góc với mặt phẳng ( ) là:
1 2
x t
y t
z t
Tọa độ điểm H nghiệm hệ phương trình
4 2
x y z
x t
y t
z t
Chọn đáp án A
VD 28. Cho điểm M1; 1; 2 mặt phẳng ( ) :2 x y 2z110 Tọa độ điểm H hình chiếu vng góc điểm M lên mặt phẳng ( )
A 3; 1; 2 B 3;1; 2 C 3;1; 2 D 3;1; 2 Hướng dẫn giải
Ta có:
Phương trình đường thẳng d đi qua điểm M vng góc với mặt phẳng ( ) là:
1 2
x t
y t
z t
Tọa độ điểm H nghiệm hệ phương trình
1 2
2 11
x t
y t
z t
x y z
Chọn đáp án C
VD 29. Cho điểm M1; 4; 2 mặt phẳng ( ) : x2y z Tọa độ điểm M điểm đối xứng điểm M qua mặt phẳng ( )
A 1; 2;1 B 3;0; 2 C 3; 0; 2 D 3;0; 2 Hướng dẫn giải
Ta có:
Phương trình đường thẳng d đi qua điểm M1; 4; 2 vng góc với mặt phẳng ( ) là:
1 2
x t
y t
z t
Tọa độ hình chiếu M ( ) nghiệm hệ phương trình
4 2
2
x t
y t
z t
x y z
(14)VD 30. Cho điểm M1; 1; 2 mặt phẳng ( ) :2 x y 2z110 M điểm đối xứng điểm
M qua mặt phẳng ( )
A 7;3; 6 B 7;3; 6 C 7; 3; 6 D 7;3; 6 Hướng dẫn giải
Ta có:
Phương trình đường thẳng d qua điểm M vng góc với mặt phẳng ( ) là:
1 2
x t
y t
z t
Tọa độ hình chiếu M ( ) nghiệm hệ
1 2
2 11
x t
y t
z t
x y z
Vì H trung điểm MM nên tọa độ điểm M 7;3; 6 Chọn đáp án A
Dạng 8. Hình chiếu điểm M đường thẳng d Phương pháp giải:
Lấy Hd Tính MH
H hình chiếu M d MH u d 0
VD 31. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng :
1
x y z
d điểm A1;2;7 Tìm toạ độ điểm H hình chiếu vng góc A d?
A H4;5;2 B H2;1;0 C H3;3;1 D H1; 1;
Hướng dẫn giải: Phương pháp trắc nghiệm:
Nhập vào máy tính: 1 1 A 2 2B 1 7C
Sau đó: CALC A4,B5,C2 ta 6 0 loại đáp án A CALC A2,B1,C0 ta 60 loại đáp án B CALC A3,B3,C1 ta chọn đáp án C CALC A1,B 1,C 1 ta 120 loại đáp án D Chọn đáp án C
Phương pháp tự luận:
Đường thẳng d có vectơ phương ud 1;2;1
H hình chiếu vng góc A d H d H2t;1 ; t t 3 ; ; 7
(15)Ta có: AH u d 0 1 3 t 2 2t 1 t7 0 t
Vậy H3;3;1 Chọn đáp án C
VD 32. Trong khơng gian Oxyz, tọa độ hình chiếu vng góc điểm M 2; 1;1 đường thẳng
1
:
1
x y z
d là:
A 1;0;2 B 2;2;3 C 0; 2;1 D 1; 4;0
Hướng dẫn giải: Phương pháp trắc nghiệm:
Nhập vào máy tính: 1 2 A 2 B 1 1C
Sau đó: CALC A1,B0,C2 ta 6 0 loại đáp án A CALC A2,B2,C3 ta 120 loại đáp án B CALC A0,B 2,C1 ta chọn đáp án C CALC A 1,B 4,C0 ta 60 loại đáp án D Chọn đáp án C
Phương pháp tự luận:
Đường thẳng d có vectơ phương ud 1;2;1
H hình chiếu vng góc A d H d H1t t;2 ;2t 3 ;1 ; 1
MH t t t
Ta có: MH u d 0 1 3 t 2 2 t 1 t 1 t
Vậy H0; 2;1 Chọn đáp án C
VD 33. Trong không gian Oxyz, cho điểm A3; 5;2 đường thẳng
6
:
1
x t
d y t
z t
Hình chiếu
của A lên d có tọa độ là:
A 2; 3;1 B 2; 3; C 2;3;1 D 2; 4;3
Hướng dẫn giải Phương pháp trắc nghiệm:
Nhập vào máy tính: 4 3 A 1 B 2 2C
(16)CALC A2,B 3,C 1 ta 40 loại đáp án B CALC A2,B3,C1 ta 60 loại đáp án C CALC A 2,B 4,C3 ta 21 0 loại đáp án D Chọn đáp án A
Phương pháp tự luận:
Đường thẳng d có vectơ phương ud 4; 1;2
GọiH hình chiếu vng góc A d H d H6 ; 2 t t; 2t 3 ;3 ;2 3
AH t t t
Ta có: AH u d 0 4 4 t 1 3 t 2 2t 3 t
Vậy H2; 3;1 Chọn đáp án A
Dạng 9. Hình chiếu đường thẳng d mặt phẳng Phương pháp giải:
Trường hợp 1: d cắt
Tìm giao điểm A d
Lấy M cụ thể d Tìm hình chiếu M M Hình chiếu d đường thẳng AM
Trường hợp 2: d€
Lấy M cụ thể d Tìm hình chiếu M M d Hình chiếu d đường thẳng qua M song song với d
VD 34. Trong không gian Oxyz cho đường thẳng :
2 1
x y z
d
P :x y z 100 Viết phương trình hình chiếu d d lên P
Hướng dẫn giải
Mặt phẳng P có vectơ pháp tuyến n1;1;1, lấy M0;1;3d Toạ độ giao điểm A d P nghiệm hệ
6
1
2 6; 2;6
2 1
10
x
x y z
y A
x y z z
(17)Đường thẳng MH qua M0;1;3 nhận n1;1;1 làm vectơ phương nên có phương trình:
3 x t
y t
z t
Toạ độ H thoả hệ
2
1
2;3;5
3
10
x t x
y t y
H
z t z
x y z t
Đường thẳng d qua H2;3;5 nhậ AH 4;5; 1 làm vectơ phương nên có phương trình:
2 5
x t
y t
z t
VD 35. Trong không gian Oxyz cho đường thẳng : 1
2
x y z
d P :x2y2z 4 Viết phương trình hình chiếu d d lên P
Hướng dẫn giải Mặt phẳng P có vectơ pháp tuyến n1;2; 2
Đường thẳng d qua điểm M1; 1;2 có vectơ phương u2;1;2
Nhận thấy d€ P nên gọi H hình chiếu cuả M P d qua H d€d Đường thẳng MH qua M1; 1;2 nhận n1;2; 2 làm vectơ phương nên có phương trình:
1 2
x t
y t
z t
Toạ độ H thoả hệ
1
1
2;1;0
2
2
x t x
y t y
H
z t z
x y z t
Đường thẳng d qua H2;1;0 nhận u2;1;2 làm vectơ phương nên có phương trình:
2 2
x t
y t
z t
VD 36. Trong không gian Oxyz cho đường thẳng :
3
x y z
d
P :x y 2z130 Viết phương trình đường thẳng d đối xứng với d qua P
(18)Mặt phẳng P có vectơ pháp tuyến n1; 1;2 , lấy M4;1;2d Toạ độ giao điểm A d P nghiệm hệ
1
4
0 1;0;6
3
2 13
x
x y z
y A
x y z z
Gọi H hình chiếu M P
Đường thẳng MH qua M4;1;2 nhận n1; 1;2 làm vectơ phương nên có phương trình:
4 2
x t
y t
z t
Toạ độ H thoả hệ
4
1
5;0;4
2
2 13
x t x
y t y
H
z t z
x y z t
Gọi M đối xứng với M qua P H trung điểm MM M6; 1;6
Đường thẳng d qua M6; 1;6 nhận AM 5; 1;0 làm vectơ phương nên có phương trình:
6
x t
y t
z
Dạng 10. Phương trình đường vng góc chung hai đường thẳng chéo d1 d2 Phương pháp giải:
Chuyển d d1, 2 dạng tham số
Giả sử A B, chân đường vuông góc chung d d1, 2 Tìm toạ độ A B, theo tham số d d1, 2
Từ điều kiện dd d1, d2 suy
1
2
d d
AB u
AB u
toạ độ A B Đường thẳng d đường thẳng qua A nhận AB làm VTCP
VD 37. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 d2 chéo có phương trình 1
1
: 10
x
d y t
z t
, 2
3
:
2 x t
d y t
z
Gọi đường thẳng vng góc chung
(19)A
2 177
3 98
17
49
x t
y t
z t
B
7 46
147 246
x t
y t
z t
C
t z
t y
t x
3
3
2
D
t z
t y
t x
4
3
2
Hướng dẫn giải Phương pháp trắc nghiệm:
Nhập vào máy tính: 0A2B1C
Sau đó: CALC A2,B3,C 6 ta chọn đáp án A
CALC A 46,B 147,C246 ta 48 0 loại đáp án B CALC A2,B3,C 3 ta 30 loại đáp án C
CALC A2,B 3,C 4 ta 100 loại đáp án D Chọn đáp án A
Phương pháp tự luận:
d1 có VTCP u1 0;2;1 , d2 có VTCP u13; 2;0 Gọi M1;10 ; t t1 1 d1 , N3 ;3 ; 2t2 t2 d2
Suy MN 3t2 1; 2t22t1 7; t1 2
Ta có:
1 1
1 2
2
164
16 49
4 13 11
49
t
MN u t t
t t
MN u t
Do đó: 1;162 164; ,
49 49
M
27 129
; ;
49 49
N
,
11
2;3; 49
MN Từ suy phương trình MN Chọn A
Cách làm trắc nghiệm:
có VTCP u u u1, 22;3; 6 Chọn đáp án A
VD 38. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, gọi đường vng góc chung hai đường thẳng:
1
2 :
1 x
d y t
z t
và 2
4 :
4 11
4
x t
d y t
z t
(20)A x t
y t
z t
B
2
x t
y t
z t
C
3
2
1
y z
x
D
2
2
1
y z
x Hướng dẫn giải Phương pháp trắc nghiệm:
có VTCP u u u1, 2 2; 4; 4 2 1; 2; 2 Chọn A D
Để loại A D, ta cần xét thêm có cắt với d1 hay không cách giải hệ Chọn đáp án B
Phương pháp tự luận:
d1 có VTCP u1 0; 1;1 , d2 có VTCP u14;1;1 Gọi M2;t1;1 t1 d1 , ;2 2;11 2 2
4
N t t t d
Suy 42 2; 2 1 7; 2 1
4
MN t t t t t
Ta có:
1
2
0
1
4
t MN u
t MN u
Do đó: M2;0;1 , N1;2;3, MN 1;2;2 1; 2; 2
Từ suy phương trình MN Chọn đáp án B.
VD 39. Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng chéo
3
:
1
x t
d y t
z t
6 :
2 x t
d y t
z t
Phương trình sau phương trình đường vng góc chung d d
A 1
1 2
x y z
B 1
1 2
x y z
C 1
1 2
x y z
D 1
1 2
x y z
Hướng dẫn giải
Đường thẳng d d có vectơ phương a 4;1;1 b 6;1;2 Lấy M3 ; 2 t t; t d N, 6 ;1t t;2 2 td
3; 3;2 3