Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của P trên ABC.. Hãy viết p.trình mpP đi qua các hình chiếu của A trên các trục tọa độ, và p.trình mpQ đi qua các hình chiếu của A trên các mặt phẳng tọa
Trang 1PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (HỌC KÌ 2 ;
12NC&CHUẨN)
I TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
A Hệ trục toạ độ Oxyz gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau với ba
vectơ đơn vị i j kr ur ur , ,
(ri = = =rj kur 1)
B a a a auur( 1 ; ; 2 3 ) ⇔aur=a i a j1ur+ 2uur+a k3uur; M(x;y;z)⇔OMuuuuur=xiur+y juur+zkuur
C Tọa độ của vectơ: cho u x y z v x y zr( ; ; ), ( '; '; ')r
1 u vr r= ⇔ =x x y y z z'; = '; = '
2 u vr r± = ± (x x y y z z'; ± '; ± ' )
3 kur= ( ; ; )kx ky kz
4 u v xx yy zzur r = ' + ' + '
5 u vr⊥ ⇔r xx' + yy' +zz' 0 =
6 ur = x2 +y2 +z2
' ' ' ' ' ' yz y z zx z x xy x y
y z z x x y
u v
y z z x x y
=
v v
8 u vur r, cùng phương⇔[ , ] 0u vr r =r
cos ,
.
u v
u v
u v
=
r r
r r
r r
D Tọa độ của điểm: cho A(xA;yA;zA), B(xB;yB;zB)
1.uuurAB= (x B −x y A; B −y z A; B −z A) 2.AB= (x B −x A) 2 + (y B −y A) 2 + (z B −z A) 2
3.G là trọng tâm tam giác ABC ta có:
x G=x A +x3B +x C
;y G= y A + y3B +y C
; z G=z A +z3B +z C
5 ABC là một tam giác⇔uuur uuurAB AC, ≠0 r
khi đó S=1 ,
2 uuur uuurAB AC
6 ABCD là một tứ diện⇔uuur uuurAB AC, .uuurAD
≠0, V ABCD=1 ,
6 uuur uuur uuurAB AC AD , V ABCD=1 .
3S BCD h (h là đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh A)
II PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG & MẶT PHẲNG
úng Mặt phẳng α được xác định bởi: {M(x0;y0;z0), nr= ( ; ; )A B C } Phương trình tổng quát của mặt phẳng α:Ax+By+Cz+D=0, tìm D từ Ax0+By0+Cz0+D=0
hay A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0⇔ Ax+By+Cz+D=0.
Y một số mặt phẳng thường gặp:
a/ Mặt phẳng (Oxy): z=0; mặt phẳng (Oxz): y=0; mặt phẳng (Oyz): x=0.
b/ Mặt phẳng đi qua ba điểm A,B,C: co ù nr(ABC) = [uuur uuurAB AC, ]
c/ α//β⇒nuur uurα =nβ d/ α⊥β⇒nuur uurα =uβ và ngược lại
e/ α // d⇒uuur uurα =u d f/ α⊥d⇒nuur uurα =u d
( ) 1;0;0
i r
( 0;1;0 )
j
r
( 0;0;1 )
k r
O
z
x
y
Trang 2CHUYÊN ĐỀ KHƠNG GIAN OXYZ
Đường thẳng ∆ được xác định bởi: {M(x0;y0;z0),uuur∆
=(a;b;c)}
i.Phương trình tham số: 00
0
x x at
y y bt
z z ct
= +
= +
= +
;
ii.Phương trình chính tắc: x x0 y y0 z z0
iii.Đường thẳng qua giao tuyến hai mặt phẳng: 1 1 1 1
0 0
A x B y C z D
A x B y C z D
trong đó nuur1 = ( ; ;A B C1 1 1 ),nuur2 = ( ;A B C2 2 ; 2 )là hai VTPT và VTCP uuur uuruur∆ = [n n1 2 ]
†Chú ý: a/ Đường thẳng Ox: =z y=00 ; Oy:x z ==00
; Oz: =x y=00
b/ (AB): urAB =uuurAB ; c/ ∆1//∆2⇒uuur∆1 =uuur∆2; d/ ∆1⊥∆2⇒uuur∆1 =nuur∆2
Góc giữa hai đường thẳng *cos(∆,∆’)=cosϕ=
' '
u u
u u
ur uur
r uur ;
Góc giữa hai mp
*cos(α,α’)=cosϕ= '
'
n n
n n
ur uur
r uur
;
Góc giữa đường thẳng và
mp *sin(∆,α)=sinψ= .
.
n u
n u
ur r
r r
III KHOẢNG CÁCH
Cho M (xM;yM;zM), α:Ax+By+Cz+D=0,∆:{M0(x0;y0;z0), u∆
r
},
∆’ {M’0(x0';y0';z0'), u' ∆
uur
}
* Khoảng cách từ M đến mặt phẳng α: d(M,α)= Ax M By2 M 2CZ M2 D
+ +
* Khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆: d(M,∆)= [MM u1, ]
u
uuuuur r r
* Khoảng cách giữa hai đường thẳng: d(∆,∆’)=[ , ']. 0 '0
[ , ']
u u M M
u u
r uur uuuuuuuur uur uur
IV PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
Trang 3Mặt cầu (S){I(a;b;c),bán kính R}
Dạng 1: (x - a)2+(y - b)2+(z - c)2=R2 : (S)
Dạng 2: x2+y2+z2+2Ax+2By+2Cz+D=0 khi đó : I(-A;-B;-C) R= A2 +B2 +C2 −D
1 d(I, α)>R: α∩(S)=∅
2 d(I, α)=R: α∩(S)=M (M gọi là tiếp điểm)
*Điều kiện để mặt phẳng α tiếp xúc mặt cầu (S): d(I, α)=R (mặt phẳng α là
tiếp diện của mặt cầu (S) tại M khi đó nuurα
=IMuuur
)
3 Nếu d(I, α)<R thì α sẽ cắt mc(S) theo đường tròn (C) có phương trình là giao của α và (S) Để tìm tâm H và bán kính r của (C) ta làm như sau:
a Tìm r = R d I2 - 2 ( , )α
b Tìm H: +Viết phương trình đường thẳng ∆ qua I, vuông góc với α
+H=∆∩α (toạ độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình ∆ với α)
I/ VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN.
Bài 1: Tìm điểm M trên trục Oy, biết M cách đều 2 điểm A(3; 1; 0) và B(–2; 4; 1)
Bài 2: Trên mặt phẳng Oxz tìm điểm M cách đều 3 điểm A(1; 1; 1), B(–1; 1; 0) và C(3; 1; –1)
Bài 3: Tính diện tích của hình bình hành ABCD có uuurAB= (6;3; 2) − và uuurAD= (3; 2;6) −
Bài 4: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, biết A(1; 0; 1) và B(2; 1; 2); OD iuuur r ur ur= − +j k ,
' 4 5 5
OCuuuur= ir− urj − kur Tìm tọa độ các đỉnh còn lại
Bài 5: Cho A(2;–1; 1), B(4; 5; –2) Đường thẳng AB cắt mp Oxy tại điểm M Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số nào? Tìm tọa độ điểm M
*Bài 6: Cho A(1; 1; 1), B(5; 1; –2) và C(7; 9; 1).
a/ Chứng minh A, B, C không thẳng hàng b/ Tính cosin của góc BAC và diện tích
∆ABC
*Bài 7: Cho A(1; -1; 1), B(1; 3; 1), C(4; 3; 1) và D(4; –1; 1).
a/ CMR: A, B, C, D là bốn đỉnh của hình chữ nhật b/ Tính đường cao của tam giac BCD kẻ từ đỉnh D
*Bài 8: Cho A(1; 0; 0), B(0; 0; 1) và OCuuur= 2ir ur ur+ +j k
a/ CMR: A, B, C là ba đỉnh của một tam giác b/ Tính chu vi và diện tích của ∆ABC
c/ Tìm tọa độ đỉnh D để tứ giác ABCD là hình bình hành
d/ Tính độ dài đường cao của ∆ABC hạ từ đỉnh A e/ Tính các góc của
∆ABC
*Bài 9: Cho A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1) và D(–2; 1; –1) a/ CMR: A, B, C, D là bốn
đỉnh của một tứ diện
b/ Tính góc tạo bởi các cặp cạnh đối diện của tứ diện ABCD
c/ Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao hạ từ A
Bài 10: Cho A(1; –2; 2), B(1; 4; 0), C(–4; 1; 1) và D(–5; –5; 3).
a/ CMR: tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc b/ Tính diện tích tứ giác ABCD
Trang 4CHUYÊN ĐỀ KHƠNG GIAN OXYZ
Bài 11: Cho tứ diện PABC, biết P(1; –2; 1), A(2; 4; 1), B(–1; 0; 1) và C(–1; 4; 2) Tìm tọa
độ hình chiếu vuông góc của P trên (ABC)
Bài 12: Cho A(1; 0; 1), B(–2; 1; 3) và C(1; 4; 0).
a/ Tìm hệ thức giữa x, y, z để điểm M(x; y; z) thuộc mp(ABC) b/ Tìm trực tâm H của ∆ABC
c/ Tìm tâm I và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp ∆ABC
II/ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN.
A/ Phương trình của mặt phẳng.
Bài 1: Lập phương trình ø tổng quát của mp(α) đi qua 3 đ A(2; –5; 1), B(3; 4; –2) C(0; 0; – 1)
Bài 2: Cho điểm M(2; –1; 3) và mp(α) có p.trình 2x –y + 3z –1 = 0 Lập pt tổng quát của mp(β) đi qua M và song song với mp(α)
Bài 3: Hãy lập pt mp(α) đi qua 2 điểm M(7; 2; –3), N(5; 6; –4) và song song vơi trục Oz Bài 4: Lập pt mp(α) đi qua điểm M(2; –1; 2) và vuông góc với các mp: 2x – z + 1 = 0 và y
= 0
Bài 5: Lập pt mp(α) đi qua gốc tọa độ và vuông góc với các mp: 2x – y + 3z – 1 = 0 và x + 2y + z = 0
Bài 6: Lập pt mp(α) đi qua hai điểm A(1; –1; –2) B(3; 1; 1) và vuông góc với mp x – 2y + 3z – 5 = 0
Bài 7: Cho mpα có phương trình :3x-y+z-4=0 Tính góc ϕ tạo bởi mp(α) và mp((α,) có pt:
x + y + 2z –10 = 0
Bài 8: Tính khoảng cách từ điểm A(7; 3; 4) đến mp(α) có phương trình: 6x – 3y + 2z –13 = 0
Bài 9: Chomp(α):2x – 2y – z – 3 = 0 Lập PT mp(β) song song với mp(α) và cách mp(α) một khoảng d = 5
Bài 10: Viết phương trình mặt phẳng trong mỗi trường hợp sau:
a/ Đi qua M(1; 3; –2) và vuông góc với trục Oy b/Đi qua M(1; 3; –2) và song song với mp: 2x – y + 3z + 4 = 0
Bài 11: Cho hai điểm A(2; 3; –4) và B(4; –1; 0) Viết pt mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB
Bài 12: Viết ptmp đi qua 2điểm P(3; 1; –1) và Q(2; –1; 4) và vuông góc với mp: 2x – y + 3z + 1 = 0
Bài 13: Cho A(2; 3; 4) Hãy viết p.trình mp(P) đi qua các hình chiếu của A trên các trục tọa độ, và p.trình mp(Q) đi qua các hình chiếu của A trên các mặt phẳng tọa độ
Bài 14: Viết p.trình mp qua điểm M(2; –1; 2), ssong với trục Oy và vuông góc với mp: 2x –
y + 3z + 4 = 0
Bài 15: Viết phương trình mặt phẳng trong mỗi trường hợp sau:
a/ Qua I(–1;–2;–5) và đồng thời ⊥ với hai mp (P): x + 2y –3z +1 = 0 và (Q): 2x – 3y + z + 1 = 0
b/ Qua M(2; –1; 4) và cắt chiều dương các trục: Ox, Oy, Oz lần lượt tại P, Q, R sao cho : OR = 2OP = 2OQ
c/ Là mp trung trực của đoạn thẳng AB với A(2; 1; 0), B(–1; 2; 3)
Trang 5d/ mp(X) nhận M(1; 2; 3) làm hình chiếu vuông góc của N(2; 0; 4) lên trên mp(X) e/ Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, B và khoảng cách từ C tới mặt phẳng (P)
bằng 22 Biết A(1;0;1); B(2;–1;0); C(1;1;1)
Bài 16 : Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng : 1 1 2
x− y− z−
A(2;1;2) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa ∆ sao cho khoảng cách từ A đến (P) bằng 13
B/ Vị trí tương đối của hai mặt phẳng.
Bài 1: Xác định m để hai mặt phẳng: Song song với nhau? Trùng nhau? Cắt nhau?
(P): 2x –my + 3z –6 + m = 0; (Q): (m+3)x –2y + (5m +1)z–10 = 0
Bài 2: Tìm điểm chung của ba mặt phẳng:
x + 2y – z – 6 = 0; 2x – y + 3z + 13 = 0; 3x – 2y + 3z + 16 = 0
Bài 3: Cho tứ diện ABCD với A(2; 1; 3), B(3; –2; 1), C(–4; 1; 1) và D(1; 1; –3).
a/ Viết phương trình các mặt phẳng (ABC), (ABD) b/ Tính góc giữa (ABC) và (ABD)
c/ Tìm pt mp(P) chứa CD và // vur
= (m; 1–m; 1+m) Định m để mp(P) vuông góc với mp(ABC)
d/ Định m, n để mp(P) trùng với mp: 4x + ny + 5z + 1 – m = 0
.Bài 4: Tìm điểm M’ đối xứng của M qua mp(P) biết:
a/ M(1; 1; 1) và mp(P): x + y – 2z – 6 = 0 b/ M(2; –1; 3) và mp(P): 2x – y – 2z – 5 = 0
III/ ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN.
A/ Phương trình của đường thẳng.
Bài 1: Lập phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M(2; 0;–3) và nhận
(2; 3;5)
a
→
Bài 2: Lập p.trình của đường thẳng d đi qua điểm M(–2; 6; –3) và:
a/ Song song với đường thẳng a:
= +
= − −
= − −
1 5
2 2
1 b/ Lần lượt song song với các trục Ox, Oy, Oz
Bài 3: Lập p.trình tham số và p.trình tổng quát của đường thẳng d:
a/ Đi qua hai điểm A(1; 0; –3), B(3, –1; 0) b/ Đi qua điểm M(2; 3;–5) và // với đ.thẳng:
x y z
− + − =
+ − + =
Bài 4: Trong mpOxyz cho 3 điểm A(–1; –2; 0) B(2; 1; –1) C(0; 0; 1)
a/ Hãy viết phương trình tham số của đường thẳng AB
b/ Tính đường cao CH của ∆ABC và tính diện tích ∆ABC c/ Tính thể tích hình tứ diện OABC
Bài 5: Viết p.trình tổng quát của đ.thẳng d dưới dạng giao của hai m.phẳng song song với các trục Ox, Oy
Trang 6CHUYÊN ĐỀ KHƠNG GIAN OXYZ
biết p.trình tham số của d là: a/
2 2
1 3
4 3
= +
=− +
=− +
b/
1
2 4
3 2
=− +
= −
= +
Bài 6: Viết ptrình hình chiếu vuông góc của đt d: x2−1= y3+2 = z1−3
a/ Trên mpOxy b/ Trên mpOxz c/ Trên mpOyz
Bài 7: Viết ptrình hình chiếu vuông góc của đt d: 22x x− + + =− + =z y 3z 50 0
Bài 8: Viết phương trình đường thẳng trong các trường hợp sau:
a/ Đi qua điểm (–2; 1; 0) và vuông góc với mp: x + 2y – 2z = 0
b/ Đi qua điểm (2; –1; 1) và vuông góc với hai đường thằng: (d1): 2x x+ + =− =y z 1 00
0
x y
z
+ − =
=
Bài 9: Cho A(2; 3; 1), B(4; 1; –2), C(6; 3; 7) và D(–5; –4; 8) Viết ptts, chính tắc của:
a/ Đường thẳng BM, với M là trọng tâm của ∆ACD b/ Đường cao AH của tứ diện ABCD
Bài 10: Viết ptts của đt nằm trong mp(P): x + 3y – z + 4 = 0 và vuông góc với đt d:
2 3 0
x z
y z
− − =
− =
tại giao điểm của đường thẳng d và mp(P)
Bài 11: Lập p.trình đường thẳng đi qua điểm (3; 2; 1), vuông góc và cắt đường thẳng:
1
2 4 3
x = =y z+
Bài 12: Lập p.trình đường thẳng đi qua điểm (–4; –5; 3) và cắt cả hai đường thẳng:
x+ =y+ =z−
− − ; x2−2= y3+1=z−51
Bài 13: Lập ptts của đt d đi qua điểm (0; 0; 1), v.góc với đt: x3−1=y4+2 =1z và cắt đt:
2 0
1 0
x
+ − + =
+ =
B/ VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ CÁC MẶT PHẲNG.
Bài 1: Viết p.trình mặt phẳng đi qua điểm (3; –2; 1) và vuông góc với đường thẳng:
Bài 2: Lập p.trình các giao tuyến của mp: 5x – 7y + 2z – 3 = 0 với các mặt phẳng tọa độ Tìm giao điểm của mặt phẳng đã cho với các trục tọa độ
Bài 3: Lập phương trình tham số của đương thẳng d:
a/ Đi qua điểm M(2; –3; –5) và ⊥ với mp(α): 6x – 3y – 5z + 2 = 0
b/ Đi qua điểm N(1; 4; –2) và // với các mp : 6x + 2y + 2z + 3 = 0 và 3x – 5y – 2z – 1
= 0
Bài 4: Cho đường thẳng a có p.trình: x−y−z− =z=
2 3 0
2 0 và mp(α) có phương trình: z + 3y – z + 4
= 0
a/ Tìm giao điểm H của a và mp(α) b/ Lập ptđt ∆ nằm trong mp(α), đi qua điểm H và vuông góc với đt a
Bài 5: Cho đt a: x z+− +y y− − =z z+ =
2 3 13 0 và mp(α): 3x–2y + 3z + 16 = 0
Trang 7a/ Tìm giao điểm M của đường thẳng a và mp(α) b/ Gọi ϕ là góc giữa a và
mp(α) Hãy tính sinϕ
c/ Lập pt của đường thẳng a’, với a’ là hình chiếu vuông góc của đường thẳng a trên mp(α)
Bài 6: Cho mp(α) có p.trình: 6x + 2y + 2z + 3 = 0 và mp(β) có p.trình: 3x – 5y – 2z – 1 = 0
a/ Hãy viết p.trình tham số của đ.thẳng d đi qua điểm M(1; 4; 0) và song song với (α) và (β)
b/ Lập phương trình của mp(γ) chứa đường thẳng d và đi qua giao tuyến của hai mp (α) và (β)
c/ Lập p.trình của mp(P) đi qua M và vuông góc với (α) và (β)
Bài 7: Cho đường thẳng d có phương trình: x2+x y z4− + − =y−2z− =6 08 0
a/ Hãy tìm giao điểm của đường thẳng a với các mp tọa độ b/ Tìm VTCP của đường thẳng d
c/ Gọi M là giao điểm của đt a với mp(α) có pt: x + y – z + 12 = 0 Hãy tính tọa độ của M
d/ Gọi ϕ là góc giữa đường thẳng d và mpα nói trên Hãy tính sinϕ
Bài 8: Trong mpOxyz cho hai đường thẳng ∆ và ∆’ có p.trình:
∆ :
= +
= − −
=
3 2
2 ; ∆’ : x z x y− −− + =− =
5 0
2 3 2 5 0 a/ Tìm vectơ chi phương của mỗi đường thẳng và tính góc giữa hai đường thẳng đó b/ Viết phương trình mp(α) chứa ∆ và song song với ∆’
c/ Chứng minh ∆ và ∆’ chéo nhau Tính khoảng cách giữa chúng
Bài 9: Viết ptđt d nằm trong mặt phẳng: y + 2z = 0 và cắt hai đường thẳng:
1 4
y t
z t
= −
=
=
;
2
4 2
1
z
= −
= +
=
Bài 10: Viết p.trình đ.thẳng song song với đường thẳng:
3 1 5
x t
=
= −
= +
và cắt hai đường thẳng:
4 3 0
− − + =
− + − =
;x1−1=y4+2 =z3−2
Bài 11: Viết ptđt d đi qua điểm (1;–1; 1) và cắt hai đường thẳng: x y+ + − =+y2z z− =31 00
−
Bài 12: Cho hai đường thẳng: d:x2+1=y3−1=z−12; d’:x1−2=y5+2= z2
− a/ CMR: d và d’ chéo nhau b/ Viết p.trình đường thẳng vuông góc chung của d và d’
Bài 13: Với giá trị nào của k thì đường thẳng: − + − =2x ky z kx y z+ − + =1 01 0 nằm trong mpOyz
Trang 8CHUYÊN ĐỀ KHƠNG GIAN OXYZ
Bài 14: Cho 3 đt d1: 5 2
14 3
x t
=
= −
= −
; d2:
1 4 2
1 5
= −
= +
= +
; d3: + − =5x x−44y z− =35 07 0
a/ CMR: d1 và d2 chéo nhau b/ CMR: d1 và d3 cắt nhau Tìm tọa độ giao điểm của chúng
c/ Tìm góc nhọn giữa d1 và d2 d/ Tìm p.trình hai mp (P) // (P’) và lần lượt đi qua d1 và d2
Bài 15: Cho đt d: + + + =5x x−42y y+ − =53z z 15 05 0 và ba mp (P): x + y – z – 7 = 0; (Q): 2x – 3y – z –10 = 0;
(R): x + y + 2z – 4 = 0 .a/ CMR: d ⊥ (P), d ⊂ (Q), d // (R)
b/ Tìm ptđt qua điểm chung của (P), (Q), (R) và đồng thời cắt d và cắt đường thẳng:
x y z
= =
− −
Bài 16: Chứng minh hai đường thẳng cắt nhau; tìm tọa độ giao điểm; lập p.trình mp chứa hai đ.thẳng đó
x− =y+ =z− ; d2: 43x x−−55z y+ =− =79 00
Bài 17: Chứng minh hai đường thẳng d1và d2 chéo nhau Lập ptđt d vuông góc và cắt hai đường thẳng đó
d1: 2x y+− − =3y z− =51 00
; d2: x−2x2+ =y− =z z 00
Bài 18: Cho đt d: 2x x++23y y−−42z z+ =+ =33 00
a/ CMR: d cắt (P) Tìm giao điểm A của chúng b/ Viết p.trình mp(Q) qua d và vuông góc với (P)
c/ Viết p.t tham số của giao tuyến giữa (P) và (Q)
d/ Viết Pt đ.thẳng d’ qua A, vuông góc với d và nằm trong (P)
C/ KHOẢNG CÁCH.
Bài 1: Tìm khoảng cách: a/ Từ điểm A(3; –6; 7) đến mp(β): 4x – 3z –1 = 0
b/ Giữa mp(α): 2x – 2y + z – 1 = 0 và mp(β) :2x – 2y + z + 5 = 0
c/ Từ điểm M(4; 3; 0) đến m.phẳng xác định bởi ba điểm A(1; 3; 0), B(4; –1; 2) và C(3; 0; 1)
Bài 2: Tìm khoảng cách từ điểm P(2,3,-1) đến Đường thẳng d có phương trình:
x− =y+ =z−
− Bài 3: Tính khoảng cách từ M(1; –1; 2), N(3; 4; 1); P(–1; 4; 3) đến mp(Q): x + 2y + 2z – 10
= 0
Bài 4: Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng: (P): 2x – y + 4z + 5 = 0 (Q): 3x + 5y – z – 1 = 0
Bài 5: Trên trục Oz tìm điểm cách đều điểm (2; 3; 4) và mặt phẳng (P): 2x + 3y + z – 17 = 0
Bài 6: Trên trục Oy tìm điểm cách đều hai mp (P): x + y – z + 1 = 0 và (Q): x – y + z – 5 = 0
Trang 9Bài 7: Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng sau:x2−1= y1+3= z−24
− ; x+42 = y+22 = z4+1
Bài 8: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: (P): x + y – z + 5 = 0; (Q): 2x + 2y - 2z + 3 = 0
D/GĨC
Bài 1: Tìm góc tạo bởi đường thẳng: x2+3= y1−1= z−12 với các trục tọa độ
Bài 2: Tìm góc tạo bởi các cặp đường thẳng sau: x3−1= y1+2= z+42; 2x x++23y z− − =− =z2 10 0
Bài 3: Tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) biết:d: 2 1 3
x+ =y− =z−
− ; (P): x + y –
z + 2 = 0
Bài 4: Tính góc giữa 2 mp (P) :2x + 2y - 2z + 3 = 0 & (Q): x + 3y – z + 2 = 0
Bài 5: Viết ptđt đi qua điểm M(0; 1; 1), vuông góc với đt: x3−1=y1+2=1z và cắt đt:
2 0
1 0
x
+ − + =
+ =
E/ HÌNH CHIẾU.
Bài 1: Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M(1; –1; 2) trên mặt phẳng (P): 2x – y + 2z +
12 = 0
Bài 2: Tìm điểm đối xứng của điểm M(2; –3; 1) qua mặt phẳng (P): x + 3y – z + 2 = 0 Bài 3: Tìm điểm đ.xứng của điểm M(2; –1; 1) qua đt ∆: x2−1=y+11=2z
Bài 4: Cho hai điểm M(1;1;1), N(3;–2; 5) và mp(P): x + y –2z –6 = 0
a/ Tính khoảng cách từ N đến mp(P) b/ Tìm hình chiếu vuông góc của M trên mp(P)
c/ Tìm p.trình hình chiếu vuông góc của đ.thẳng MN trên mp(P)
Bài 5: Tìm p.trình hình chiếu vuông góc của đ.thẳng trên m.phẳng:d: x3−2= y4+2= z1−1; (P):
x + 2y + 3z + 4 = 0
Bài 6: Cho điểm M(–1; –1; –1) và đ.thẳng d: − + − =2x x+ − + =y z y z 1 01 0 Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên d và trên mặt phẳng (P): x + 2y – z + 1 = 0 Tính HK
Bài 7: Cho tứ diện ABCD có các đỉnh A(–1; 2;3), B(0; 4;4), C(2; 0; 3) và D(5; 5; –4)
a/ Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của D trên mp(ABC) b/ Tính thể tích của tứ diện
Bài 8: Cho3điểm A(–1; 2; 3), B(–2; 1; 1) và C(5; 0; 0) Tìm tọa độ hchiếu vuông góc C’của Ctrên đt: AB
IV/ MẶT CẦU.
A/ Phương trình của mặt cầu.
Bài 1: Tìm tâm và bán kính mặt cầu có phương trình:
a/ x2 + y2 + z2 – 8x + 2y + 1 = 0 b/ x2 + y2 + z2 +4x + 8y – 2z – 4 = 0 c/ 3x2 + 3y2 + 3z2 + 6x – 3y + 15z – 2 = 0 d/ x2 + y2 + z2 – 2mx – 4y + 2mz + 8 = 0 Bài 2: Lập phương trình mặt cầu (S) biết:
a/ Có tâm I(2; 1; –2) và qua A(3; 2; –1) b/ Có đường kính AB, với A(6; 2; –5) và B(–4; 0; 7)
Trang 10CHUYÊN ĐỀ KHƠNG GIAN OXYZ
c/ Có tâm I(–2; 1; 1) và tiếp xúc với mp(P): x + 2y – 2z + 5 = 0 d/ Có tâm I(6; 3; –4) và tiếp xúc với Oy
e/ Qua ba điểm A(1; 2; –4), B(1; –3; 1), C(2; 2; 3) và có tâm nằm trên mpOxy
g/ Ngoại tiếp tứ diện ABCD với A(6; –2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; –1).D(0;0;1)
h/ Có tâm I(3; –5; –2) và tiếp xúc với đ.thẳng d: x2−1= y1= z−32
i/ Có tâm nằm trên đt d: =x y= −02 và tiếp xúc với hai mp: (P): x – 2z – 8 = 0; (Q): 2x – z + 5
= 0
j/ Qua ba điểm A(0; 0; 4), B(2; 1; 3), C(0; 2; 6) và có tâm nằm trên mpOyz
Bài 3: Cho S(–3;1;–4), A(–3;1; 0), B(1; 3; 0), C(3;–1; 0), D(–1;–3;0)
a/ CMR: ABCD là hình vuông và SA là đ/cao của h/chóp S.ABCD
b/ Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
Bài 4: Cho hai đ.thẳng d:
4 3 4
z
= +
= −
=
2
1 2
x
z h
=
= +
=
Lập p.trình mặt cầu nhận đoạn vuông góc chung của d và d’ làm đường kính
B/ Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu.
Bài 1: Xét vị trí tương đối giữa hai mặt cầu (S) và mp(P):
a/ (S): x2 + y2 + z2 –6x –2y + 4z + 5 = 0; (P): x + 2y + z – 1 = 0
b/ (S): x2 + y2 + z2 –6x +2y –2z + 10 = 0; (P): x + 2y –2z + 1 = 0
c/ (S): x2 + y2 + z2 +4x + 8y –2z – 4 = 0; (P): x + y + z – 10 = 0
d/ (S): x2 + y2 + z2 – 2x – 8z + 5 = 0; (P): 4x + 3y + m = 0
Bài 2: Cho mặt phẳng (P): 2x – 2y – z + 9 = 0 và mặt cầu (S): (x – 3)2 + (y + 2)2 + (z – 1)2 = 100
a/ Lập p.trình đ.thẳng qua tâm mặt cầu (S) và vuông góc với mp(P) b/ CMR: mp(P) cắt mặt cầu (S)
c/ Viết p.trình đường tròn (C) là giao tuyến của (S) và (P) Tìm tâm và bán kính của đường tròn đó
Bài 3: Tìm tâm và bán kính của các đường tròn sau:
a/ +x x2+2y y2−+2z z2+ =−1 06x+2y−2z+10=0
Bài 4: Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu: x2 + y2 + z2 – 6x – 2y + 4z + 5 = 0 tại điểm M(4; 3; 0)
Bài 5: Cho mp(P): x + 2y + 2z + 5 = 0 và mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x – 4y + 4z = 0.Tìm p.trình các mp song song với mp(P) và tiếp xúc với mặt cầu (S)
Bài 6: Cho hai điểm A(–1; –3; 1), B(–3; 1; 5)
a/ Viết phương trình mặt cầu có đường kính AB b/ Viết phương trình các tiếp diện của mặt cầu mà chứa trục Ox
Bài 7: Lập p.trình tiếp diện của (S): x2 + y2 + z2 + 2x – 4y –6z +5 = 0:Biết Tiếp diện vuông góc với đường thẳng
d:2x x−−24y y− − =+ − =z z 31 00