Kh-c ph c nh này thông qua các VD sau:.. ng trình có nghi m..[r]
(1)Chuyên Ch PH NG TRÌNH L NG GIÁC HÀM S : L ( ( ∀ ∈ π)= + = π = ⇔ = = ⇔ = π π = ng giác: sin π)= O + cotang α cos + π)= c bi t: = ⇔ = ⇔ tang ( ( + π)= * Các giá tr i h c 2014 NG GIÁC I- LÝ THUY T: Gi i thi u t ng quan v các hàm s l ∀ ∈ − ≤ ≤ − ≤ ≤ ∀ ∈ Luy n thi π =− ⇔ + π =− = ⇔ = = ⇔ = + π = ⇔ π = π + π = ⇔ = π + π π π =− ⇔ =π + + π =− ⇔ =− π + π =− ⇔ π =− π + π + π - Hàm s y = sin x: * TX : = * Hàm s y = sin x là hàm s l th : * T p giá tr : ∀ ∈ − ≤ ≤ * Tu n hoàn v i chu k : = π y - -π π O π x π 2 Hàm s y = cos x: * TX : = * Hàm s y = cos x là hàm s ch n th : * T p giá tr : ∀ ∈ − ≤ ≤ * Tu n hoàn v i chu k : = π y -π - π π O π x -1 Giáo viên: LÊ BÁ B O Lop12.net T Toán THPT Phong i n (2) Chuyên PH NG TRÌNH L Hàm s y = tan x: π * TX : = + π ∈ NG GIÁC Luy n thi * T p giá tr : ∀ ∈ * Hàm s y = tan x là hàm s l th : i h c 2014 ∈ * Tu n hoàn v i chu k : =π y x O Hàm s y = cot x: * TX : = {π ∈ } * Hàm s y = cot x là hàm s l th : * T p giá tr : ∀ ∈ * Tu n hoàn v i chu k : ∈ =π y x O D ng toán 1: T P XÁC NH C A HÀM S L NG GIÁC *Nh c l i: M t s d ng tìm T p xác nh hàm s th ng g p: ≥ = ! "# $ % ≥ = ! ∈ = "# ! $ % = ∈ + = Giáo viên: LÊ BÁ B O ! ≠ ! Lop12.net T Toán THPT Phong i n (3) Chuyên PH NG TRÌNH L Luy n thi = ( ) ( )≠ ⇔ ( )≠ = ( ) ( )≠ ⇔ ( )≠ Bài t p 1: (M c = i h c 2014 + c b n) Tìm TX c a các hàm s sau: = H NG GIÁC − π = − + = − − − ng d n: − ≠ ) ≠ ≠ ≠ + * − π ≠ ⇔ ⇔ ≠ ⇔ + /0 ≠ π ≠ ⇔ ≠ + π⇔ ≠ ≠ π⇔ ≠ π π π + π &'( + π &'( &'( = + π π = π π = + π + ≥ ∀ ∈ ≥ ∀ ∈ − ≠ ,- π ≠ ⇔ ⇔ ≥ − ≠ π &'( { π} = trung bình) Tìm TX c a các hàm s sau: Bài t p 2: (M c 3 a) y = b) y = c) y = 2 sin x − cos x 2sin x − cos x − cos3x H ng d n: 3 y= =− sin x − x x x ≠ ⇔ 2x ≠ ) π + kπ ⇔ x ≠ 2sin x ≠ ⇔ sin x ≠ ⇔ cos3 x ≠ cos x ⇔ x≠ π π x≠ +k x ≠ − x + k 2π &'( D = R \ π + k 2π 5π x ≠ x + k 2π π &'( D = R \ +k π π + k 2π , 5π + k 2π + k 2π x ≠ kπ ⇔ π &'( D = R \ k π 4 NH T- GIÁ TR L N NH T C A HSLG x≠k D ng toán 2: TÌM GIÁ TR NH Ph ng pháp: B c 1: S d ng các k n ng bi n i có các B T và k t lu n GTLN- GTNN B c 2: Ch rõ GTLN- GTNN xãy tr ng h p nào? Giáo viên: LÊ BÁ B O Lop12.net T Toán THPT Phong i n (4) Chuyên PH Bài t p 1: (M c NG TRÌNH L Luy n thi i h c 2014 c b n) Tìm GTLN- GTNN c a các hàm s sau: = − = − = H NG GIÁC + ng d n: ∀ ∈ − ≤ = − ≤ ⇔ ≥− ⇔− ≤ − ≥− ≤ − ≤ ≤ &'( = .4 56 − = ⇔ = − 56 − =− ⇔ 70 ) ∀ ∈ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔− ≤ − ≤− − ≤ ≤− =− ⇔ =− − =− ⇔ = ⇔ 70 − =− ⇔ = ⇔ = − 56 ∀ ∈ ≤ + π = π = ⇔ &'( = − 56 π = ⇔ = π + π π = ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ + ≤ ⇔ ≤ + ≤ ≤ ≤ &'( = .4 56 70 * ∀ ∈ + = = 56 ≤ + = ⇔ ⇔ = ⇔ = ⇔ = π = ⇔ + = π π ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔− ≤ − ≤− − ≤ ≤− &'( = − 56 70 = − 56 Giáo viên: LÊ BÁ B O − =− ⇔ − =− ⇔ Lop12.net = ⇔ = ⇔ = ⇔ = = ⇔ = π π + π T Toán THPT Phong i n (5) Chuyên PH NG TRÌNH L Bài t p 2: (M c ng d n: y = 2sin x − b) y = sin x + cos x + i h c 2014 c) y = cosx + cos x − π x y = 2sin x − " Luy n thi trung bình) Tìm GTLN- GTNN c a các hàm s sau: a) y = 2sin x − cos2x H NG GIÁC x ⇔ y = 1− 70 89 : x )0 '9 ;- 1 x + ⇔ y = − sin 2 x + = − sin 2 x 2 ) y = sin x + π π π x+ x− x− = )0 '9 ;- π − 3≤ y≤ 3 6 70 89 : )0 '9 ;Bài t p 3: (M c khá) Tìm GTLN- GTNN c a các hàm s sau: a) y = sin x − cos x + b) y = 2sin x ( sin x − 4cos x ) y= =2 70 89 : c) y = 3sin x + 5cos x − 8sin xcosx − H ng d n: Chú ý: i u ki n ph x− d) y = + cos x sin x + cos x + ng trình y = sin t <) cos t có nghi m là: a + b ≥ c a) y = sin x − cos x + ⇔ sin x − cos x = y − (*) Mi n giá tr c a hàm s trên là ∀y ∈ R cho ph ng trình sau: sin x − cos x = y − có nghi m x ∈ R ⇔ + ≥ ( y − 2) ⇔ y − y ≤ ⇔ ≤ y ≤ &'( y = 4 56 sin x − cos x = ⇔ sin x − 70 y = 56 π π H ng khác: H ng 2: y = sin x − cos x + = " = > "> ( y − 2) π = π + k 2π ⇔ x = 2π + k 2π 3 sin x − cos x = −2 ⇔ sin x − 70 89 : H ng 3: =1⇔ x − = −1 ⇔ x − π =− π + k 2π ⇔ x = − π + k 2π π sin x − cos x + = 2sin x − +2 2 )0 '9 ;- ( sin x − cos x ) ≤ ( + 1) ( sin x + cos x ) = ≤ ⇔ −2 ≤ y − ≤ ⇔ ≤ y ≤ 70 89 : )0 '9 ;- Giáo viên: LÊ BÁ B O Lop12.net T Toán THPT Phong i n (6) Chuyên PH NG TRÌNH L NG GIÁC Luy n thi ) y = 2sin x ( sin x − 4cos x ) ⇔ y = 2sin 2 x − 8sin x cos x = ⇔ y = −4sin x − cos x + y = 3sin x + 70 89 : 70 89 : x − 8sin x i h c 2014 − cos x − 4sin x )0 '9 ;- x−2⇔ y =3 1− x < 1+ x − 4sin x − )0 '9 ;- + cos x ⇔ y ( sin x + cos x + ) = + cos x ⇔ y sin x + ( y − 1) cos x = − y sin x + cos x + 2 V i i u ki n có nghi m y + ( y − 1) ≥ ( − y ) 70 89 : )0 '9 ;BÀI T P T LUY!N: Bài t p 1: Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a các hàm s : + 4cos x 1) y = + 4cosx 2) y = − 8sin x.cos x 3) y = 4) y = 2sin x − cos2x * y= 5) y = − sin x 6) y = cosx + cos x − π 7) y = cos x + 2cos2x 8) y = − 2sin x.cos x Bài t p 2: Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a các hàm s : 1) y = sin x − 4sin x − 2) y = a sin x + bcosx ( a + b > ) 3) y = 3sin x + 5cos x − 8sin xcosx − 4) y = 2sin x − 4cos x + 8sin xcosx − 5) y = sin x + cos x BÀI T P T LUY!N: Bài t p: Tìm t p xác nh c a các hàm s : x 1) y = sin x 2) y = cos 6) y = sin x + cos x 4) y = cos x −1 x +1 cot x sin x + 8) y = cosx − cosx + 9) y = cosx + 10) y = 11) y = 12) y = tan x + cot x 2 sin x − cos x cos x − cos3 x D ng toán 3: XÁC NH TÍNH CH"N L# C A CÁC HÀM S L NG GIÁC Ph ng pháp: B c 1: Tìm t p xác nh D c a hàm s y = f ( x) , lúc ó: − ∈ ), ta th c hi n b c + N u D là t p i x ng (t c là ∀ ∈ + N u D không là t p i x ng ( ∃ ∈ − ∉ ), ta k t lu n hàm s y = f ( x) không ch n c ng không l B c 2: Xác nh − Lúc ó: − = ?02 @ = /0 02 A 5) y = 2cosx 3) y = sin x 6) y = cot x − − =− π 7) y = ?02 @ = /0 02 /B L u ý: V m t hình h c: th hàm s ch$n nh n tr c tung Oy làm tr c i x ng th hàm s l% nh n g c to O làm tâm i x ng Giáo viên: LÊ BÁ B O Lop12.net T Toán THPT Phong i n (7) Chuyên PH NG TRÌNH L NG GIÁC Luy n thi Nh n xét: V i các hàm s l ng giác c b!n, ta có: = /0 02 @ A a Hàm s b Hàm s = = = /0 % 02 @ /C Bài t p 1: Xác nh tính ch n, l c a các hàm s : 3π a) y = + xcos3x b) y = + cosx sin − 2x c) y = x sin x H ng d n: a) TX : D = R Ta có: ∀ ∈ − ∈ y (−x) = 1+ (−x) (−x) = 1− x x ≠ y ( x) 70 y ( − x ) ≠ − y ( x ) ?02 @ D /0 02 E A E d) y = i h c 2014 x3 − sin x cos2x /B ;- 3π − x = − cos x cos x TX : D = R Ta có: ∀ ∈ − ∈ y ( − x ) = − cos ( − x ) cos ( − x ) F − x cos x = y ( x ) ?02 @ D /0 02 A ;- c) TX : D = R Ta có: ∀ ∈ − ∈ 4 y ( − x ) = ( − x ) sin ( − x ) F − x sin x = − y ( x ) ?02 @ D /0 02 /B ;- b) y = + x sin d) TX : D = R \ π +k π Ta có: ∀ ∈ − ∈ − sin ( − x ) − x + sin x x3 − sin x =− = − y ( x) F ?02 @ D /0 02 /B ;- + x x (−x) BÀI T P T LUY!N: Bài t p: Xác nh tính ch n, l c a các hàm s : cos2x x3 − sin x 1) y = xcos3x 3) y = x3 sin 3x 4) y = 5) y = cos2x x + cosx 6) y = x − sin x 7) y = − cosx 8) y = 9) y = sin 2000 x + cos2x − cosx 2010 sin x + 2010 x 11) y = 12) y = x sin x 10) y = sin x + tan x cosx D ng toán 4: XÁC NH TÍNH TU&N HOÀN C A CÁC HÀM S L NG GIÁC Ph ng pháp: Ch ng minh hàm s y = f ( x ) tu n hoàn Xét hàm s y = f ( x ) , t p xác nh D, ta d oán có s th c d ng T0 cho: y (−x) = (−x) ∀ ∈ ( − + 70 ∈ + ∈ )= Ch ng minh là chu k c a hàm s ( ngh"a là d ng nh nh t tho! mãn h (1) và (2)) Th c hi n b ng ph n ch ng B c 1: Gi! s có s T cho < < tho! mãn các tính ch t (1) và (2): ∀ ∈ B ( + )= GH ⇔ I 7J K < < c 2: Mâu thu#n này ch ng t là s d ng nh nh t tho! mãn (2) K t lu n: V y là chu k c a hàm s y = f ( x) Xét tính tu n hoàn các các hàm s l Giáo viên: LÊ BÁ B O ng giác, ta s d ng m$t s k t qu!: Lop12.net T Toán THPT Phong i n (8) Chuyên PH NG TRÌNH L NG GIÁC Luy n thi i h c 2014 a Hàm s b Hàm s M r ng: (cm) = = c Hàm s = ( + ) = ( + ) > L 7J M d Hàm s = ( + ) = ( + ) > L 7J M L L = = nh lý: Cho c p hàm s 7J ∈ Khi ó, các hàm s : M π Mπ 7J 7J tu n hoàn trên t p M có các chu k l n l = + = π π t là 70 c ng tu n hoàn trên M H qu : Hàm s = + tu n hoàn v i chu k T là b$i chung nh nh t c a Bài t p 1: Ch ng minh r%ng m&i hàm s sau là m$t hàm s tu n hoàn và hãy tìm chu k c a nó: π π π 1) y = 2sin x + 2) y = −cos x − +5 3) y = tan x + 4) y = cos2 x 4 x π 5) y = cos + 6) y = sin x + cosx 7) y = sin xcosx 8) y = 4sin x 9) y = sin x SAI L&M ' ÂU? Xét bài toán: Tìm chu k c a hàm s : f ( x) = sin ( ax + b ) ; (a ≠ 0) ( Tr c nghi m Nghuy n V n Nho HSP2006 và nhi u sách khác) M t h(c sinh gi i nh sau: B c 1: G i T là chu k c a hàm s ã cho B c 2: Lúc ó: f ( x + T ) = f ( x) ⇔ sin a ( x + T ) + b = sin ( ax + b ) ⇔ sin ( ax + b + aT ) = sin ( ax + b ) (*) B c 3: Do hàm s y = sinx tu n hoàn v i chu k T = 2π 2π T' (*) ⇔ aT = 2π ⇔ T = a 2π V y chu k c a hàm s ã cholà T = (ycbt) a Bài gi!i c a h c sinh trên ã úng ch a? N u ch a thì sai ( b c nào? *L u ý: Nhìn t ng th thì bài gi!i có v úng nh ng b!n ch t thì sai Sai vì ch a hi u rõ th nào là chu k c a m t hàm s Nh c: T c g i là chu k c a hàm s y = f ( x) ch) khi: + f ( x + T ) = f ( x) (*) + T là s d ng nh nh t tho! (*) Giáo viên: LÊ BÁ B O Lop12.net T Toán THPT Phong i n (9) Chuyên PH NG TRÌNH L NG GIÁC Luy n thi i h c 2014 Nh v y i v i bài gi!i trên, ch) úng a > V y tr *ng h p t ng quát thì sao? Ta gi!i nh sau: TH1: a > gi!i nh trên TH2: a < Th c hi n phép bi n i: sin ( ax + b ) = −sin ( − ax − b ) Lúc này ta a bài toán v TH1 Bài t p: Tìm chu k c a các hàm s sau: 2x a) y = cos ( x − ) b) y = cot ( −3 x + 1) c) y = tan −1 c) y = sin ( −4 x + ) Bài toán: Cho hàm s f ( x) = a sin ux + b sin vx , ó a, b, u , v là các s th c khác u a) Ch ng minh r%ng: N u hàm s y = f ( x) tu n hoàn thì là s h+u t) v u b) Ng c l,i n u là s h+u t) thì hàm s y = f ( x) tu n hoàn v Ch ng minh: a) Gi! s hàm s y = f ( x ) tu n hoàn v i chu kì T Ta có: ∀x : f ( x + T ) = f ( x) Cho x = , ta có: f (T ) = f (0) ⇔ a sin uT + b Cho x = −T , ta có: f ( −T ) = f (0) ⇔ − a sin uT + b T' (1) và (2) suy : vT = sin uT = ⇔ vT = k 2π uT = mπ vT = b vT = b vT k 2π v k2 = ⇔ = ∈ Q ( p.c.m) uT mπ u m v m 2π m 2π n = ∈ Q v i m, n là các s nguyên khác Ch n T = = u n u v 2π m 2π n Khi ó: f ( x + T ) = a sin u x + +b v x+ u v = a sin ( ux + 2π m ) + b cos ( vx + 2π n ) = a sin ( ux ) + b cos ( vx ) = f ( x) V y hàm s y = f ( x) tu n hoàn ( p.c.m) nh lý: Cho c p hàm s tu n hoàn trên t p M có các chu k l n l t là b) Gi! s 70 7J ∈ Khi ó, các hàm s : = + = c ng tu n hoàn trên M H qu : Hàm s = + tu n hoàn v i chu k T là b$i chung nh nh t c a Ví d) minh h(a 1: Xác nh chu kì c a các hàm s sau: π π 1) y = tan x + 2) y = 2cos 2 x + 3) y = sin x + sin x 1 x x 4) y = sin x + sin x + sin x 5) y = tan − 3tan 6) y = cosx + 2cos x 3 Gi i: 4) Ta có: Hàm s y = sin x tu n hoàn chu kì 2π Hàm s y = sin x tu n hoàn chu kì π Giáo viên: LÊ BÁ B O Lop12.net T Toán THPT Phong i n (10) Chuyên PH NG TRÌNH L NG GIÁC Luy n thi i h c 2014 Suy ra, hàm s y = sin x + sin x tu n hoàn v i chu kì T = 2π 2π Hàm s y = sin x tu n hoàn chu kì 1 V y hàm s y = sin x + sin x + sin 3x tu n hoàn v i chu kì 2π Ví d) minh h(a 2: Cho hàm s f ( x) = x Ch ng minh r%ng hàm s trên không tu n hoàn ph i Gi i: Gi! s hàm s ã cho là tu n hoàn ph!i Khi ó có t n t,i s d ng T cho: ∀x ≥ : x +T = x Cho x = , ta có: (1) T = ⇔ T = k 2π Cho x = T , ta có: 2T = T = ⇔ 2T = m 2π k c: = ∈ Q Mâu thu#n V y hàm s ó không tu n hoàn ph!i L p t) s (1) , ta (2) m Ví d) minh h(a 3: 5x Tìm t t c! các s nguyên n khác hàm s : y = f ( x) = cos nx.sin tu n hoàn v i chu kì n 3π Gi i: Gi! s hàm s ã cho là tu n hoàn v i chu kì 3π Lúc ó, ta có: 5( x + 3π ) 5x ∀x : f ( x + 3π ) = f ( x) ⇔ cos n( x + π ).sin = cos nx.sin n n 15π 15π Thay x = ta c: sin =0⇔ = kπ ⇔ 15 = kn T c là n là c c a 15, n n ó: n ∈ {±1; ± 3; ± 5; ± 15} !o l,i: ∀n ∈ {±1; ± 3; ± 5; ± 15} thì: f ( x) = cos n( x + π ).sin 5( x + 3π ) 5x = cos nx.sin n n 15 là các s nguyên l nên : n cos n( x + π ) = cos( nx + nπ ) = − cos nx Th t v y, vì 3n và 5( x + 3π ) x 15π 5x = sin + = − sin n n n n Do ó các giá tr n c n tìm là n ∈ {±1; ± 3; ± 5; ± 15} (y.c.b.t) BÀI T P T LUY!N: Bài t p: Xác nh chu k c a các hàm s : π π 1) y = tan x + 2) y = 2cos 2 x + 3) y = sin x + sin x 1 x x 4) y = sin x + sin x + sin x 5) y = tan − 3tan 6) y = cosx + 2cos x 3 sin Giáo viên: LÊ BÁ B O 10 Lop12.net T Toán THPT Phong i n (11) Chuyên PH NG TRÌNH L PH CHUYÊN *: NG GIÁC Luy n thi NG TRÌNH L i h c 2014 NG GIÁC - Ch PH 1: NG TRÌNH L NG GIÁC C B N I- LÝ THUY T: 1)Ph ng trình sinx = a (1) Thu t toán: TH1: a > Ph ng trình (1) vô nghi m vì sinx ≤ 1, ∀x ∈ R TH2: a ≤ Ph ng trình (1) có các ngi m: x = α + k 2π , k ∈ Z x = π − α + k 2π , k ∈ Z (trong ó: sinα = a ) Ho c: x = arcsina + k 2π , k ∈ Z x = π − arcsina + k 2π , k ∈ Z 2) Ph ng trình cosx = a (2) Thu t toán: TH1: a > Ph ng trình (2) vô nghi m vì cosx ≤ 1, ∀x ∈ R TH2: a ≤ Ph ng trình (2) có các ngi m: x = α + k 2π , k ∈ Z x = −α + k 2π , k ∈ Z (trong ó: cosα = a ) Ho c: x = arccosa + k 2π , k ∈ Z x = −arccosa + k 2π , k ∈ Z 3) Ph ng trình tanx = a Thu t toán: i u ki n c a ph (3) ng trình (3) là: x ≠ π + kπ , k ∈ Z Ph ng trình (3) có các nghi m là: x = α + kπ , k ∈ Z (trong ó: tanα = a ) x = arctana + kπ , k ∈ Z Ho c: 4) Ph ng trình cotx = a (4) Thu t toán: i u ki n c a ph ng trình (4) là: x ≠ kπ , k ∈ Z Ph ng trình (4) có các nghi m là: x = α + kπ , k ∈ Z (trong ó: cotα = a ) x = arccota + kπ , k ∈ Z Ho c: II- M+T S K, N-NG C&N L U Ý: I- X lý d/u “ − ” : a) Gi!i ph ng trình: cos x − Giáo viên: LÊ BÁ B O π =− π π π ⇔ cos x − = −cos = cos π − 6 11 Lop12.net T Toán THPT Phong i n (12) Chuyên PH NG TRÌNH L NG GIÁC b) Gi!i ph ng trình: sin x − π c) Gi!i ph ng trình: tan x − π i h c 2014 π ⇔ sin x − = −sin = sin − 3 =− Luy n thi π π = − ⇔ tan x − π = − tan π = tan − π 3 3 Nh n xét: T,i l,i s d ng k n ng này? + Gi!m b t t “ nh ” máy móc các giá tr c bi t + Nh v y, x lý d u “ − ” i v i cos thì dùng công th c bù, sin, tan, cot thì dùng công th c i II- K0 thu t l/y nghi m trên m t kho ng, m t o n: VD: Tìm các nghi m x ∈ [ 0; 2π ] c a ph ng trình: cos2 x = Gi!i: cos x = ⇔ x = π +k π , k ∈Z − ≤k≤ Do x ∈ [ 0; 2π ] ⇔ ≤ x ≤ 2π ⇔ ≤ + k ≤ 2π ⇔ 2 k ∈Z π V y: k = : x = π π π B B B = ≠ π + π + , k = 2: x = π k = 0,1, 2,3 π π π + , k = : x = + 4 4 III- K, THU T GI I PH NG TRÌNH CH1A I*U KI!N: Nh c: M$t s hàm s có i u ki n: = , k = 1: x = π ∈ ≠ ≠ π ∈ ,N = THU T TOÁN GI I PH NG TRÌNH: c 1: Tìm i u ki n c a ph ng trình c 2: Gi!i ph ng trình (1) có các giá tr : c 3: i chi u i u ki n và k t lu n nghi m c a ph c bi t, i v i ph ng trình l ng giác VD1: Gi!i ph ng trình: B c 1: i u ki n: − B c 2: Cách 1: ⇔ = = ≠ ⇔ Giáo viên: LÊ BÁ B O ≥ = ng trình = =α + i ph c t p và khó kh n Kh-c ph c nh này thông qua các VD sau: π c ≠ π + π (*) = ⇔ π = π ⇔ =− ng trình có nghi m (1) = − ∈ c thù là có vô s nghi m d,ng ∈ nên v n i chi u nghi m t ng i m này, chúng ta bàn lu n cách x lý v n ph = =− π + π π Th y (2) không tho! (*) V y + π + π 12 Lop12.net T Toán THPT Phong i n (13) Chuyên PH NG TRÌNH L Nh n xét: ôi g p ph thu n l i h n Cách 2: ⇔ = ng trình + Do =− ⇔ i chi u i u ki n: ng giác và = ⇔ + Bi u di.n các cung d,ng: = = π π + ≠ A2 π + + Bi u di.n các cung ( i u ki n): Kí hi u π = π + π Ho c: Cách 4: i u ki n: Ta xét: π + ≠ π ≠ π VD2: Gi!i ph i u ki n: ( ⇔ Gi!i (2): Gi!i (3): π + π = , là − )≠ ( − )= ( − )= ( − )= ⇔ − ( − )= = ) = ( + π + = π π π + , ∈ ∈ 7J )= − − = − =− + = ⇔ ⇔ + )− )− Giáo viên: LÊ BÁ B O = = ( = = ≠ (1) ≠ = + )= 13 Lop12.net + ∈ + = i chi u i u ki n: Thay các nghi m vào ph + là các ng n cung − ⇔ ( ( A4 ∈ ng trình có nghi m là: ( x + π⇔ ≠ ng trình: A3 Suy t,i + π Nghi m c a pt π K t lu n: V y ph =− A1 O + π Kí hi u: × T' hình v th y, các cung trùng t,i nghi m: y có 2n ng n cung nghi m n π π i h c 2014 / = = ⇔ L u ý: V i h nghi m x = α + k ⇔ Luy n thi = O O − thì công th c nghi m nh trên thì = = ng tròn l Cách 3: V NG GIÁC + ( ng trình /0 + = − )= 29 + E /0 P T Toán THPT Phong i n (14) Chuyên PH NG TRÌNH L III- LUY!N T P: Bài t p 1: Gi!i các ph − Luy n thi ng trình sau: = + H NG GIÁC i h c 2014 =− = − = ng d n: "Q = ⇔ − ( = ⇔ )F − = ⇔ = π + π = ; ⇔ = π + ⇔ =π − ; &'( 5R "Q ;S % /0 = π + πO + π + π 70 = π − ; = ; = =− ⇔ =− ⇔ =− ⇔ =− ⇔ = &'( 5R "Q ;S % /0 =− π + π + π π + π ⇔ =− + π⇔ = π π + π + π π = ⇔( + )+ = ⇔ = π ⇔ =− &'( 5R ;S % π = ⇔ − &'( 5R π 70 = = "Q π + − /0 + π π + = Giáo viên: LÊ BÁ B O /0 π + π 70 = − + π π + π π ⇔ =− π + π + π π = ⇔ ;S π π⇔ = + − − = ⇔ = ⇔ = π T = π 14 Lop12.net T Toán THPT Phong i n (15) Chuyên PH NG TRÌNH L NG GIÁC Bài t p 2: Gi!i các ph ng trình sau: π − + = H N Luy n thi i h c 2014 N = = ng d n: ⇔ − &'( 5R U VW π =− ;S ⇔ /0 @ 7J % 5R "Q π − = π = ;S π + π⇔ π = + π + 70 = S = E L 3% X = = ⇔ = ⇔ ⇔ ;S % /0 = = π π + π 70 = − π ⇔ T + π = ⇔ =− &'( 5R π = ⇔ π =− π T + π + π = ≠ ⇔ ≠ ≠ ⇔ "Q π = ⇔ @ = ≠ π + π π + π + π + π = + π⇔ ⇔ π = P 5R Bài t p 3: Gi!i các ph − = H ng d n: "Q = ;S π /0 = π ng trình sau: + = + = ⇔ ⇔ = ⇔ ( − )= ⇔ = π = = ⇔ = &'( 5R U VW ;S % @ 7J % 5R Giáo viên: LÊ BÁ B O /0 ;S = π = π + O 70 15 Lop12.net = = π + π 70 = S E π = π + π + π π + π + π L 3% X T Toán THPT Phong i n (16) Chuyên PH "Q NG TRÌNH L ⇔ − ⇔ − ( = Luy n thi i h c 2014 /0 Chú ý: K2t qu + = π + = )⇔ + ;S "Q − ⇔ − )= ( − &'( 5R ⇔ NG GIÁC = = ⇔ = π π + π + = − + = − = − − + = − ( ⇔ )= + = ⇔ ⇔ = ( ⇔ )F − ;S % /0 Bài t p 4: "S2 % = π P 5R π + O − Y = ⇔ + π K π .D Z; π O ∈ = π = π 70 = ;S π = π ⇔ = &'( 5R = H ng d n: "Q = ( [ ⇔ N &J = + π ∈ )= − ⇔ = ⇔ = = ⇔ = π + π π + π O π π ⇔ ≤ ≤ - ≤ π + π≤ π ⇔ − ≤ ≤ = O O ∈ &'( "5R L S2 /0 \ 7J π O = π 70 = π ] /4 Bài t p 5: Tìm m H ng d n: "Q = [ ⇔( = − ph ) ng trình sau có nghi m: =− Giáo viên: LÊ BÁ B O − + = − N 16 Lop12.net T Toán THPT Phong i n (17) Chuyên PH "? &J = 5R ;S N ;^ "? &J ≠ 5R ;S N ;^ _ 5R `8 / ' NG TRÌNH L ;S % ;X L − − ∈ −∞O − − ≥ ⇔ − = =− + − + + = = + − = + + + + = ng trình: (Dùng k0 n3ng h b c) + = + + =− + Bài t p 4: Gi!i ph ≤− = = = = = + ng trình: (π π = Bài t p 6: "S2 π b) )= Bài t p 5: "S2 % − − ≤− ⇔ ≥ ∪ [ O +∞ ) = + Bài t p 3: Gi!i các ph Bài t p 7: a) Tìm m − ≤ ⇔ − + Bài t p 2: Gi!i các ph ng trình: + + = − + = a) 2) − ≥ ⇔ S2 /0 = ( 7E i h c 2014 − = Z BÀI T P T LUY!N: Bài t p 1: Gi!i các ph ng trình: − = Luy n thi =− − &'( % NG GIÁC P 2a 5R ;S O ∈ [ Oπ ] ) *5R T b P ph ng trình sau có nghi m: − b) V i giá tr nào c a a thì ph ( Giáo viên: LÊ BÁ B O + Y K − % 5R ;S = D )= Z; O ∈ − (π ) − (π ) + ) − ( (π ) = π − ( − + = = ( 17 Lop12.net + )= + ng trình sau có nghi m nh t thu$c ) O π ;π ) T Toán THPT Phong i n (18) Chuyên PH NG TRÌNH L NG GIÁC Luy n thi i h c 2014 Ch 2: PH NG TRÌNH L NG GIÁC TH 4NG G5P I- LÝ THUY T: D ng 1: Ph ng trình b c hai theo m t hàm l ng giác: asin x + bsinx + c = ( a ≠ ) (5) t t = sinx ; t ≤ 1, ∀x ∈ R Thu t toán: Pt (5) tr( thành: at + bt + c = Gi!i theo Hoàn toàn t ng t , i v i các d,ng: suy acos x + bcosx + c = a tan x + b tan x + c = a cot x + b cot x + c = VÍ D6 MINH H7A: Bài t p 1: Gi!i các ph ng trình sau: + − = + + H ( a ≠ 0) − = = + = ng d n: "Q ⇔ c = ( )+ − = − = ⇔− − + + = ⇔ / =− =− =− ⇔ = `8 / ' N ' = " + = − ≤ ≤ =− N + &'( 5R "Q = ⇔ + { ;S % π π + π + π /0 =− π + π 70 = π + π π} = ⇔ =π + ⇔ = ⇔ `8 / ' &'( 5R π ;S Giáo viên: LÊ BÁ B O + = ⇔ + F T /0 =π + π 18 Lop12.net T Toán THPT Phong i n (19) Chuyên PH "Q NG TRÌNH L − ( + ( ⇔ ⇔ + ⇔ + ( − + U% 5R ;S "Q )= − ( ) ) + ( − Luy n thi i h c 2014 ) − ) − = = + = N =− ) ( − − + − − ( ⇔ ) − + ⇔ NN =− N 70 NN /0 % 5R ;S )' b = 70 .Y K \ K $ (8 = ⇔ − `8 / ' NG GIÁC = = ⇔ &'( 5R + ;S /0 π = ⇔ − =− = 7E π π = Bài t p 2: Gi!i các ph ng trình sau: 1) tan x + − =0 cos x 3) + tan x + ( tan x + cot x ) + = sin x H ng d n: "Q = ⇔ − = ⇔ 2) sin x + cos x + sin x + cos x =3 + π + − = ⇔ − − = N = c [ 5R = N &J = N &J =− `8 / ' ;S N = ⇔ =− &'( 5R [ 5R = ⇔ = T π 7E =− /0 =− = π ≠ + ;S − = ⇔ = ⇔ ;S + c − ≤ + Giáo viên: LÊ BÁ B O = ⇔ − + = ⇔ 19 Lop12.net = ' = ' T Toán THPT Phong i n (20) Chuyên PH N &J NG TRÌNH L = + NG GIÁC = ⇔ + π Luy n thi π =− + π = ⇔ = N &J = `8 / ' &'( 5R "Q c + ( ⇔ ( ;S % )+ + + ) + = π + /0 = ⇔ =− π = π + π + = π + π π + π 70 = π + π π = ⇔ = ⇔ π i h c 2014 + ( + ( )+ + [ 5R = )+ + ;S = N = N + =− + = ⇔ =− N &J =− =− N &J =− =− ⇔ `8 / ' &'( 5R ⇔ ;S 7E =− =− ⇔ /0 =− =− π π + π + π BÀI T P T LUY!N: Bài t p1: Gi!i các ph ng trình sau: − + = Bài t p 2: Gi!i các ph − − + + − − = − − = ng trình sau: − = − + + = = + = + Bài t p 3: Gi!i các ph ng trình sau: 1) + cos x + − cos x = cos x cos x − = − = − + = = + = + 1 2) cos x + cos x + tan x + = cos x 3) ( tan x + cot x ) + 2( − 1) ( tan x − cot x ) − − = Giáo viên: LÊ BÁ B O 20 Lop12.net T Toán THPT Phong i n (21)