Đang tải... (xem toàn văn)
Phương pháp 6: Phương pháp làm trội Dùng tính chẩt của BĐT để đưa một vế của BĐT cần chứng minh về dạng để tính tổng hữa hạn hoặc tích hữu hạn.. - Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn:[r]
(1)MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Phương pháp 1: Phương pháp dựa vào định nghĩa - Lập hiệu A-B - Biến đổi biểu thức (A-B) và chứng minh A-B - Kết luận A B - Xét trường hợp A=B nào VD: CMR: với a, b cùng dấu CM: Ta có: a, b cùng dấu => ab>o => Vậy Dấu “=” sảy và a-b=0, hay a=b / Bài tập tương tự : CMR: với ab>1 Phương pháp 2: Phương pháp chứng minh trực tiếp - Biến đổi vế phức tạp, thường là vế trái: vì nên => Dấu “ =” sảy và M=0 VD: CMR: với x CM: Ta có: => Dấu”=” sảy và x=2 Bài tập tương tự:CMR: Phương pháp 3: Phương pháp so sánh - Biến đổi riêng vế so sánh kết Suy đpcm Nếu http://kinhhoa.violet.vn Lop10.com (2) VD: CMR: CM: => Phương pháp4: Dùng tính chất tỉ số Cho số dương a,b,c : Nếu thì Nếu thì Nếu b,d>o thì từ VD: a,b,c là số dương CMR: CM: Do c>o => (3) Tương tự ta có : (4) và: (5) cộng vế với vế BĐT kép(3),(4) và (5) ta được: (đpcm) Bài tập tương tự: Cho các số dương a1,a2,a3,b1,b2,b3 thoả: CMR: Phương pháp 5: Dùng phép biến đổi tương đương Ta biến đổi BĐT cần chứng minh tương đưng với BĐT đúng BĐT đã chứng minh đúng Chú ý các BĐT sau: - Bình phương tổng, hiệu - Lập phương tổng, hiệu - VD: Cho a,b là các số thực CMR: CM: http://kinhhoa.violet.vn Lop10.com (3) Ta có: <=> <=> <=> =>đpcm (luôn đúng) Bài tập tương tự:Cho a,b,c là các số thực CMR: Phương pháp 6: Phương pháp làm trội Dùng tính chẩt BĐT để đưa vế BĐT cần chứng minh dạng để tính tổng hữa hạn tích hữu hạn - Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn: là biểu diễn số hạng tổng quát hiệu số hạng liên tiếp : Lúc đó : -Phương pháp chung để tính tích hữu hạn là biểu diễn số hạng tổng quát thương số hạng liên tiếp Lúc đó VD:Chứng minh các BĐT sau với n là STN: a, (k>1) b, CM: a Với k>1 ta có Lần lượt thay k=2,3, ,n cộng lại có: => đpcm b Với k>1 ta có: Vậy : http://kinhhoa.violet.vn Lop10.com (4) Lần lượt thay k=2,3, ,n vào cộng lại ta được: Bài tập tương tự CMBĐT: : Phương pháp 7:Phương pháp lượng giác Sử dụng điều kiện biến Đặt x=ksina với x=kcosa với VD: CM: Điều kiện: Đặt Khi đó: với Bài tập tương tự: CMR: |x|<1 và n là số nguyên lớn thì ta cs BĐT: Phương pháp 8: Dùng BĐT tam giác Nếu a,b,c là số đó cạnh tam giác thì a,b,c>0 và |b-c|<a<b+c |a-c|<b<a+c |a-b|<c<a+b VD: Cho a,b,c là số đo cạnh tam giác.CMR: CM: a,b,c là số đo cạnh tam giác nên ta có : Cộng vế với vế BĐT trên ta (đpcm) http://kinhhoa.violet.vn Lop10.com (5) Bài tập tương tự: Cho a,b,c là số đo cạnh tam giác CMR: với a<b<c Phương pháp 9: Dùng phương pháp quy nạp Để chứng minh BĐT T(n) : n là số tự nhiên ta thực các bước sau : + Chứng minh BĐT T(1) đúng( Kiểm tra mệnh đề đúng với số nhỏ nhất) + Giả sử BĐT T(k) đúng + Ta chứng minh BĐT T(k+1) đúng Khi đó BĐT T(n) đúng với n VD: CMR với n>2 ta có : CM: Với n=3 ta có Giả sử BĐT đúng với n=k,nghĩa là: BĐT đúng Ta CM BĐT đúng với n=k+1, nghĩa là phải CM: Thật vậy, ta có: Vậy BĐT đúng với n Bài tập tương tự: Phương pháp 10: Sử dụng tính chất hàm lồi Cho hàm số f(a,b) -> R có tính chất : Dấu đẳng thức sảy và x1=x2 Khi đó: (1) với x1, x2 thuộc (a,b) và dấu đẳng thức sảy và VD: CMR: Nếu CM: thì Ta có: Vì http://kinhhoa.violet.vn Lop10.com (6) và Cách khác: f(x)=sinx có f’’(x)= nên f(x) là hàm lõm trên Bài tập tương tự: Cho A,B,C là ba góc tam giác, CMR: và ta có BĐT Phương pháp 11: Dùng miền giá trị hàm Bài toán: Chứng minh B<f(x) <A với x Đặt y=f(x) <=> y-f(x)=0 (*) Biện luận phương trình ( * ) theo y, => =>đpcm VD: CM: với x Đặt : => có miền xác định D=R có nghiệm +, Với y=1=>x=0 +>Với y khác 1, ta có (đpcm) Bài tập tương tự: CMR: với x Phương pháp 12: Dùng tam thức bậc (*Định lí dấu tam thức bậc 2: Cho tam thứcbậc :f(x) + Nếu thì af(x)>0 với x + Nếu thì với x (a khác 0) Dấu đẳng thức sảy và +Nếu lập bảng xét dấu *Định lí đảo dấu cho tam thức bậc 2: Cho:f(x) (a khác 0) Nếu tồn cho af(x)<p thì f(x) có nghiệm pb và Hệ quả: Nếu tồn cho số nằm ngoài khoảng hai nghiệm) Dạng 1:Chứng minh thì f(x) có nghiệm pb và số có x http://kinhhoa.violet.vn Lop10.com (7) Ta chứng minh VD: CMR: CM:Bđt cần Cm tương đương với với x,y Đặt f(x)=VT Ta có y x,y ( vì ) Bài tập tương tự: Cm các BĐT sau: a, x,y b, x,y,z c, x,y d, (Đề thi ĐHBK, 1988) Phương pháp 13: Dùng đạo hàm Dạng 1: Dùng tính đơn điệu hàm số Hàm số f(x) liên tục trên [a,b] và có đạo hàm trên (a,b) + Nếu f(x)>0 với x thuộc (a,b)thì hàm f(x) tăng trên [a,b] Khi đó x>a thì f(x)>f(a) + Nếu f'(x)<o x thuộc (a,b) thì hàm f giảm trên [a,b] Khi đó với x>a thì f(x)<f(a) VD: CMR : với x khác CM: đặt f(x)= Khi đó f'(x)= * Nếu x>0 thì f(x)>0 nên f tăng với Do đó f(x)>0, f(0)=0 => * Nếu x<0 thì f(x)<0 nên f giảm x<0 Dó đó f(x)>f(0)=0 => Vậy với x khác Bài tập tương tự: CMR với thì Phương pháp 14: Kĩ thuật Cô-si ngược dấu: Bây chúng ta xem xét BĐT Cô-si và kĩ thuật đặc biêt- kĩ thuật Cô-si ngược dấu Đây là kĩ thuật hay, khéo léo, mẻ BĐT Cô-si Hãy cùng xem xét các ví dụ cụ thể sau: VD1: Cho các số dương a,b,c thoả mãn Đk :a+b+c=3 CM BĐT: LG: Rõ ràng ta không thể dùng trực tiếp BĐT Cô-si với mẫu số vì BĐT đổi chiều Tuy nhiên, may mắn, có thể dùng lại BĐT đó, theo cách khác: Ta đã sử dụng BĐT Cô-si cho số mẫunhưng lại có BĐT thuận chiều http://kinhhoa.violet.vn Lop10.com (8) Nếu không biết cách sử dụng phương pháp " Ngược Cô-si" thì BĐT trên khó và dài! Từ BĐT trên, xây dựng BĐT tương tự với b,c cộng BĐT lại suy : vì ta có Đẳng thức sảy và a=b=c=1 / VD2: CMR: với số thực dương a,b,c,d ta luôn có: LG: Áp dụng BĐT Cô-Si: xây dựng BĐT tương tự với b,c,d cộng vế các BĐT lại ta có điều phải chứng minh Đẳng thức sảy a=b=c=d Hãy cùng luyện tập vơí các bài toán sau: Cho a,b,c là các số nguyên dương thoả mãn a+b+c=0 CMR: CMR: với a,b,c,d dương có tổng thì http://kinhhoa.violet.vn Lop10.com (9)