Các bước giải một phương trình lượng giác Bước 1: Tìm điều kiện nếu có của ẩn số để hai vế của pt có nghĩa Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi tương đương để biến đổi pt đến một pt đã biết[r]
(1)Lê Thị Nhung – Chuyên đề Lượng Giác LƯỢNG GIÁC Chuyên đề 1: TÓM TẮTGIÁO KHOA A KIẾN THỨC CƠ BẢN: I Đơn vị đo góc và cung: Độ: 10 Radian: (rad) 180 rad và rad = 180 180 o x O y 1800 rad Bảng đổi độ sang rad và ngược lại số góc (cung ) thông dụng: Độ Radian 00 300 450 600 900 1200 2 1350 3 1500 5 II Góc lượng giác và cung lượng giác: Định nghĩa: (tia ngọn) y O (Ox, Oy ) k 2 (k Z) Đường tròn lượng giác: B B C D A, C B, D O (tia gốc) t M x A (điểm gốc) AB k 2 Số đo số cung lượng giác đặc biệt: A (điểm ngọn) t x 3600 2 y 1800 y 2k B 2k 2k - 2k C k D k -1Lop12.net x A O (2) Lê Thị Nhung – Chuyên đề Lượng Giác III Định nghĩa hàm số lượng giác: Đường tròn lượng giác: A: điểm gốc x'Ox : trục côsin ( trục hoành ) y'Oy : trục sin ( trục tung ) t'At : trục tang u'Bu : trục cotang y B u' 1 C x' R 1 O t u A 1 D Định nghĩa các hàm số lượng giác: a Định nghĩa: Trên đường tròn lượng giác cho AM= t' y ' x'Ox và y'Oy Gọi P, Q là hình chiếu vuông góc M trên ' ' T, U t là giao điểm tia OM với t At và u Bu y t Ta định nghĩa: Trục sin Trục cotang u' U B M Q t O P Trục cosin 1 b Các tính chất : y' T x' u x A t' Trục tang Với ta có : sin hay sin cos hay cos c Tính tuần hoàn sin( k 2 ) cos( k 2 ) tan( k ) cot( k ) sin cos (k Z ) tan cot -2Lop12.net 1 cos OP sin OQ tan AT cot BU x (3) Lê Thị Nhung – Chuyên đề Lượng Giác IV Giá trị các hàm số lượng giác các cung (góc ) đặc biệt: Ta nên sử dụng đường tròn lượng giác để ghi nhớ các giá trị đặc biệt y t - - /3 -1 u' B 2/3 u /4 /6 1/2 - /2 - /2 -1/2 /2 /2 -1 -/2 -1 -/3 y' cos tan cot KXĐ 300 450 3 3 - /3 -/4 - /2 sin x A (Ñieåm goác) -/6 - /2 Hslg O -1/2 00 /3 1/2 -1 Góc /2 5/6 /3 /3 /2 3/4 x' /2 600 900 2 2 3 2 KXĐ 3 0 -3Lop12.net t' 1200 2 3 3 - 1350 3 2 -1 -1 1500 5 1800 3600 2 0 3 -1 0 KXĐ KXĐ (4) Lê Thị Nhung – Chuyên đề Lượng Giác V Hàm số lượng giác các cung (góc) có liên quan đặc biệt: Đó là các cung : Cung đối : vaø - Cung bù vaø : Cung phụ : vaø Cung kém : vaø (tổng 0) Cung kém : vaø ( tổng ) ( tổng ) Bù sin Đối cos cot Hơn kém Phụ chéo sin cos cos trừ sin ,…) & 2 ,…) & 7 ,…) cos( ) cos sin( ) sin tan( ) tan cos( ) sin sin( ) tan( ) cos cot cot( ) tan Cung kém : sin( ) sin tan( ) tan cot( ) cot & cot( ) tan cos( ) cos (Vd: 5 ,…) Cung kém tan( ) ,…) cot( ) cot cos( ) sin cos & Cung bù : Cung phụ : sin( ) (Vd: (Vd: cot( ) cot & (Vd: Cung đối nhau: cos( ) cos sin( ) sin tan( ) tan (Vd: Hơn kém tang , cotang -4Lop12.net (5) Lê Thị Nhung – Chuyên đề Lượng Giác 11 ) Ví dụ 1: Tính cos( Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: A cos( x) cos(2 x) cos(3 x) VI Công thức lượng giác: Các hệ thức bản: tan 2 = cos sin sin cos cos cot = sin tan cot 2 = = cos2 sin tan cot = Ví du: Chứng minh rằng: cos4 x sin x 2sin x cos2 x cos x sin x sin x cos x Công thức cộng : cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin sin( ) sin cos sin cos sin( ) sin cos sin cos tan +tan tan( + ) = tan tan tan tan tan( ) = tan tan Ví du: Chứng minh rằng: 1.cos sin cos( ) 2.cos sin cos( ) Công thức nhân đôi: cos cos 2 sin cos 2 cos 2 cos2 sin cos2 2sin cos4 sin sin 2 2sin cos tan 2 tan sin cos tan -5Lop12.net sin 2 (6) Lê Thị Nhung – Chuyên đề Lượng Giác Công thức nhân ba: cos 3 cos 3cos cos cos 3 cos sin sin sin 3 sin 3 3sin 4sin Công thức hạ bậc: cos cos 2 ; sin 6.Công thức tính sin ,cos , tan theo t tan sin 2t ; t2 cos cos 2 ; tan t2 ; t2 tan 2t t2 Công thức biến đổi tích thành tổng : cos cos cos( sin sin cos( sin cos sin( ) cos( ) cos( ) ) sin( ) Ví dụ: Biến đổi thành tổng biểu thức: A cos x cos x 5 7 B cos sin Tính giá trị biểu thức: 12 12 Công thức biến đổi tổng thành tích : -6Lop12.net ) cos 2 cos 2 (7) Lê Thị Nhung – Chuyên đề Lượng Giác cos cos cos .cos 2 cos cos 2sin sin 2 sin sin 2sin cos 2 sin sin cos sin 2 sin( ) tan tan cos cos sin( ) tan tan cos cos Ví dụ: Biến đổi thành tích biểu thức: A sin x sin 2x sin 3x Các công thức thường dùng khác: cos sin cos( cos sin cos( ) sin( ) sin( cos 4 cos 4 cos sin cos sin ) ) B PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Các bước giải phương trình lượng giác Bước 1: Tìm điều kiện (nếu có) ẩn số để hai vế pt có nghĩa Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi tương đương để biến đổi pt đến pt đã biết cách giải Bước 3: Giải pt và chọn nghiệm phù hợp ( có) Bước 4: Kết luận I Định lý bản: ( Quan trọng ) sinu = sinv cosu = cosv tanu = tanv u = v+k2 u = -v+k2 u = v+k2 u = -v+k2 Ví dụ : Giải phương trình: sin x sin( u = v+k x) (u;v k ) cotu = cotv u = v+k (u;v k ) ( u; v là các biểu thức chứa ẩn và k Z ) cos( x cos4 x sin x cos x sin x II Các phương trình lượng giác bản: -7Lop12.net 3 (3 cos x ) ) cos (8) Lê Thị Nhung – Chuyên đề Lượng Giác Dạng 1: sinx = a ; cosx = a ; tanx = a ; cotx = a ( a R ) * Gpt : sinx = a (1) Nếu a thì pt(1) vô nghiệm Nếu a thì ta đặt a = sin và ta có : x = +k2 x = ( - )+k2 (1) sinx=sin (k Z ) * Gpt : cosx = a (2) Nếu a thì pt(2) vô nghiệm Nếu a thì ta đặt a = cos và ta có x = +k2 x = +k2 ( pt luôn có nghiệm a R ) (2) cosx=cos * Gpt: tan x = a (3) Đặt a = tan thì (3) tan x = tan x = + k ( k Z ) * Gpt: cot x = a (4) (k Z ) ( pt luôn có nghiệm a R ) Đặt a = cot thì (4) cotx = cot x = +k ( k Z ) Các trường hợp đặc biệt: sin x sinx = x = x = k k 2 sin x x = cosx x = k cosx = cos x x= k 2 (k Z ) + k x = k 2 Ví dụ: 1) Giải các phương trình : a) sin x b) cos( x ) -8Lop12.net 2 (9) Lê Thị Nhung – Chuyên đề Lượng Giác c) sin( x ) 0 d) cos( x ) 0 f) cos x sin x cos x e) sin x cos x 2) Giải các phương trình: cos4 x sin x cos x a) b) sin x cos6 x c) 4(sin x cos x) sin x d) sin3 x.cos x cos3 x.sin x cos x x e) cot x sin x(1 tan x.tan ) 2 Dạng 2: a sin x b sin x c a cos2 x b cos x c ( a 0) a tan x b tan x c a cot x b cot x c Cách giải: Đặt ẩn phụ : t = sinx ( t = cosx; t = tanx; t = cotx) bt c (1) Ta phương trình : at Giải phương trình (1) tìm t, suy x Chú ý : Phải đặt điều kiện thích hợp cho ẩn phụ (nếu có) Ví dụ : 5sin x a) cos2 x d) cos x cos x cos x cos3 x cos x b) cos x c) 2sin x 4 5cos x cos4 x e) sin x sin x f) 2(sin x cos x) cos( x x cos4 2sin x 2 2(cos x sin x) sin x cos x g) sin k) Dạng 3: sin x a cos x b sin x x) h) sin x cos x sin x cos x 0 c (1) l) 5(sin x ( a;b Cách giải: -9Lop12.net 0) cos x sin x ) cos x sin x (10) Lê Thị Nhung – Chuyên đề Lượng Giác Chia hai vế phương trình cho a2 b2 thì pt a b c (1) cos x sin x a2 b2 a2 b2 a2 b2 Đặt a a2 b2 cosvaø b a2 (2) cosx.cos+ sinx.sin = c cos(x- ) = Ví dụ : Giải các phương trình : a) cos x sin x 1 e) d Dạng 4: c a2 b Pt acosx + bsinx = c coù nghieäm a2 c) 4(sin x cos4 x ) sin x thì : (3) a2 b Pt (3) có dạng Giải pt (3) tìm x Chú y : với 0;2 sin b2 (2) b2 c2 b) cos x sin x d) tan x cos x cos x sin x cos x sin x a sin x b sin x.cos x c cos2 x (a;c 0) (1) Cách giải 1: cos x cos x vaø cos2 x Ap dụng công thức hạ bậc : sin x 2 và công thức nhân đôi : sin x.cos x sin x thay vào (1) ta biến đổi pt (1) dạng Cách giải 2: ( Quy pt theo tang cotang ) Chia hai vế pt (1) cho cos2 x ta pt: a tan x b tan x c Đây là pt dạng đã biết cách giải Chú ý: Trước chia phải kiểm tra xem x k có phải là nghiệm (1) không? - 10 Lop12.net (11) Lê Thị Nhung – Chuyên đề Lượng Giác Ví dụ : Giải phương trình: sin x (1 ) sin x cos x cos x d Dạng 5: a(cos x sin x ) b sin x.cos x c (1) Cách giải : cos x sin x Đặt t sin x ) Do (cos x cos( x ) với - 2sin x.cos x t t2 sinx.cosx= Thay vào (1) ta phương trình : t2 at b c (2) Giải (2) tìm t Chọn t thỏa điều kiện giải pt: cos( x ) t tìm x Ví dụ : Giải phương trình : sin x 2(sin x cos x ) Chú ý : a(cos x sin x ) b sin x.cos x c Ta giải tương tự cho pt có dạng : Ví dụ : Giải phương trình : sin x 4(cos x sin x ) 4 Các phương pháp giải phương trình lượng giác thường sử dụng : a Phương pháp 1: Biến đổi pt đã cho các dạng pt lượng giác đã biết Ví dụ: Giải phương trình: sin x cos x sin x b Phương pháp 2: Biến đổi pt đã cho dạng tích số Cơ sở phương pháp là dựa vào các định lý sau đây: A.B A=0 B=0 A.B.C Ví du : Giải các phương trình : sin 2 x sin x a sin x cos x cos x c 2sin3 x A=0 B=0 C=0 cos2 x b sin x sin x cos2 x d sin x 2 cos x sin( x c Phương pháp 3: Biến đổi pt dạng có thể đặt ẩn số phụ Một số dấu hiệu nhận biết : * Phương trình chứa cùng một hàm số lượng giác ( cùng cung khác lũy thừa) - 11 Lop12.net )3 (12) Lê Thị Nhung – Chuyên đề Lượng Giác Ví dụ : Giải các phương trình : a cos x cos x cos x b cos x cos x cos x 8cos x c cos x cos x d sin x cos x * Phương trình có chứa (cos x sin x ) vaø sinx.cosx Ví dụ : Giải phương trình : a sin3 x cos3 x sin 2x 3 b sin x cos x 2(sin x cos x) C BÀI TẬP RÈN LUYỆN Giải phương trình lượng giác Sử dụng phương pháp sau Biến đổi phương trình dạng phương trình lượng giác Biến đổi phương trình dạng phương trình tích số Biến đổi phương trình dạng có thể đặt ẩn số phụ chuyển phương trình đại số Bài 1: Giải các phương trình lượng giác sau 7x 3x x 5x 1) sin x 2 cos x sin( x ) ; 2) sin cos sin cos sin x cos x ; 2 2 3) cos ( x cos 4) ) cos (2 x x x sin 2 sin x ) cos (3 x sin x sin ( x 6) sin x cos x sin x ) cos sin 2 x sin x.cos x ; 9sin x cos x 3sin x cos x x ) ; 2 ; sin x cos4 x 1 cot g2 x 5sin x 8sin x (2 sin x )sin x tan x ; cos4 x ; tan x (tan x 2sin x ) cos x ; cos x cos x.(2 tan x 1) ; ) 4sin ( 5) cos x sin x cos x sin x ; ; Bài : Giải các phương trình lượng giác sau 2sin3 x cos x cos x x x 0; sin ( ).tg2 x cos2 cos2 x (cos x 1) 2(1 sin x ) ; sin x cos x 10 tan x tan x cos x.sin x ; 8cos x 11 cos x ; cos x cos x sin x sin x ; 12 cot x tan x 2 13 cot x tan x 4sin x ; sin x x 14 tan x cos x cos2 x sin x.(1 tan x.tan ) ; - 12 Lop12.net (13) Lê Thị Nhung – Chuyên đề Lượng Giác Bài 3: Giải các phương trình sau: 1) sin x 2) sin x 6 3) sin x 300 4) sin x 4 5) sin x 4 6) sin x 1 6 7) cos x 3 8) cos x 3 2 9) cos x 1 10) tan x 3 11) tan x 450 3 12) tan x 1 3 Bài 4: Giải các phương trình sau: 1)2sin x 2) 2sin x 4)2cos x+300 7) tan x 10) tan x 1 cot x Bài 5: Giải các phương trình sau: 1) sin x sin 500 3) sin x 3 5) cos x 0 8) tan x 4 11) cos x 4) sin x sin x 5) sin x s inx=0 4 4 7) cos x cos x 8) cos x cos x 3 6 3 10) tan x tan x 11) tan x 450 tan x 3 Bài 6: Giải các phương trình sau: 1) sin x cos x 2) sin x cos x 6 4)cos 1000 x sin( x 300 ) 5) tan x cot x 4 7) tan x.tan x 1 8) cot x.cot x Bài 7: Giải các phương trình sau: 1) sin2x – 2cosx = 2) 2sin2x + cos3x = Lop12.net 6) 2cosx 9) cot x cot x 2) sin x sin x 6 - 13 - 3) sin x 300 sin x 6) cos x cos2x 6 2 9) cot x cot x 12) tan x 600 tan x 200 3) cos x 300 sin x 6) cot x tan 2x 6 9) tan x.cot x 3) 2cos2x + cos2x = (14) Lê Thị Nhung – Chuyên đề Lượng Giác 4) 8cos2xsin2xcos4x = Bài 8: Giải các phương trình sau: 1) sin2x + 2sinx – = 4) 2cos2x – 3cosx – = 7) 3tan2x – tanx – = Bài 9: Giải các phương trình sau: 1) 3sin22x + 7cos2x – = 5) tan2x – tanx = 6) cos2(x – 300) = 2) 2sin2x + sinx – = 5) 4cos2x + 4cosx – = 8) + 3tanx – tan2x = 3) 2sin22x + 5sin2x + = 6) 2cos2x – 5cosx – = 9) -5cot2x – 3tanx + = 2) 5sin2x + 3cosx + = 3) 6cos2x + 5sinx – = 4) 3cos2x – 2sinx + = 5) sin x cos x 6) cos2x – 5sinx – = 7) cos2x + cosx + = 8) 3sin2x – 4cos4x = -1 9) 5cosx – 6cos2x = 10) 2cos2x – sin2x – 4cosx + = 11) 9sin2x – 5cos2x – 5sinx + = 12) cos2x + sin2x + 2cosx + = 13) 3cos2x + 2(1 + + sinx)sinx – - = 14) sin2x - cos2x + 4sinx = 15) sin22x – 2cos2x + =0 tan x 16) sin3x + 3sin2x + 2sinx = 17) 18) 3tanx – 4cotx + = cos x Bài 10: Giải các phương trình sau: 1) sinx - cosx = 4) 2cosx – sinx = 2) sin x sin x 2 3) 2sin2x + sin2x = 5) sin5x + cos5x = -1 6) sin6x + cos6x + 7) + sinx – cosx –sin2x + 2cos2x = 8) 8cos4x – 4cos2x + sin4x – = Bài 11: Giải các phương trình sau: 1) sin2x – 2sinxcosx – 3cos2x = 3) sin2x – 2sin2x = 2cos2x 5) 4cos2x +3sinxcosx - sin2x = 2) 6sin2x + sinxcosx – cos2x = 4) 2sin2x – 3sin4x + cos22x = 6) 4sin2x – 4sinxcosx + 3cos2x = VÍ DỤ VỂ CÁC BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002 ĐẾN 2009 KHỐI A Tìm nghiệm thuộc khoảng (0;2) phương trình: cos x sin x sin x cos x sin x 5 ĐS: x ; x 3 cos x sin x sin x Giải phương trình: cot x tan x ĐS: x (Khối A_2002) Khối A_2003) k k Giải phương trình: cos 3x cos x cos x k ĐS: x k (Khối A_2005) - 14 Lop12.net sin4x = (15) Lê Thị Nhung – Chuyên đề Lượng Giác cos x sin x sin x cos x Giải phương trình: sin x 0 (Khối A_2006) 5 k 2 k Giải phương trình: sin x cos x cos x sin x sin x (Khối A_2007) ĐS: x ĐS: x k , x k 2 , x k 2 k 7 sin x sin x 5 k , x k , x k , k ĐS: x 8 1 sin x cos x Giải phương trình: 1 sin x 1 sin x sin x ĐS: x k 18 (Khối A_2008) (Khối A_2009) 2 , k KHỐI B Giải phương trình sin 3x cos x sin x cos x ĐS: x k ; x k , k 9 Giải phương trình cot x tan x sin x ĐS: x (Khối B_2002) sin x (Khối B_2003) k , k 10 Giải phương trình 5sin x 1 sin x tan x 5 k 2 , k ĐS: x k 2 ; x (Khối B_2004) 6 11 Giải phương trình sin x cos x sin x cos x (Khối B_2005) 2 k 2 k ĐS: x x Giải phương trình: cot x sin x 1 tan x tan (Khối B_2006) 2 5 k , k ĐS: x k ; x 12 12 12 Giải phương trình: sin 2 x sin x sin x (Khối B_2007) 2 5 2 ;x k , k ĐS: x k 18 18 13 Giải phương trình sin x cos3 x sin x cos x sin x cos x (Khối B_2008) k , k 14 Giải phương trình: sin x cos x sin x cos 3x cos x sin x ĐS: x ĐS: x k 42 ;x 2k , x 2k , k - 15 Lop12.net (Khối B_2009) (16) Lê Thị Nhung – Chuyên đề Lượng Giác KHỐI D 15 Tìm x[0;14] cos3x4cos2x+3cosx4=0 3 5 7 ĐS: x ; x ; x ; x (Khối D_2002) 2 2 x x 16 sin tan x cos 2 4 ĐS: x k 2 , x (Khối D_2003) k , k 17 Giải phương trình cos x 1 sin x cos x sin x sin x ĐS: x k 2 , x k , k 18 Giải phương trình: cos x sin x cos x ĐS: x (Khối D_2004) sin x 4 4 (Khối D_2005) k , k 19 Giải phương trình: cos3x+cos2xcosx1=0 2 k 2 , k ĐS: x (Khối D_2006) 20 Giải phương trình sin x x cos cos x 2 2 (Khối D_2007) k 2 , k 21 Giải phương trình sin 3x cos 3x sin x 4 2 k , k ĐS: x k 2 , x 15 ĐS: x k 2 , x (CĐ_A_B_D_2008) 22 Giải phương trình 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx 2 k 2 , x k , k ĐS: x (Khối D_2008) 23 Giải phương trình (1+2sinx)2cosx=1+sinx+cosx 5 k , k ĐS: x k , x 12 (CĐ_A_B_D_2009) 12 24 Giải phương trình cos x sin 3x cos x sin x (Khối D_2009) ĐS: x k , x k , k 18 Hết - 16 Lop12.net (17)