Đang tải... (xem toàn văn)
Trong giai đoạn hiện nay, mục tiêu đào tạo của nhà trường phổ thông Việt Nam đã được cụ thể hoá trong các văn kiện của Đảng, đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ VIII Đảng cộng sản Việt Na[r]
(1)Áp dụng phương pháp véctơ để giải toán hình học không gian - MỤC LỤC Kiến thức Trang MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng ngiên cứu Giới hạn đề tài Nhiệm vụ đề tài Phương pháp nghiên cứu Thời gian nghiên cứu NỘI DUNG Cơ sở lí luận Cơ sở triết học Cơ sở tâm lí học Cơ sở giáo dục học Thực trạng đề tài Thời gian và các bước tiến hành Khảo sát chất lượng đầu năm môn hình học Tìm hiểu nguyên nhân dẫn đến kết trên Giải vấn đề Tóm tắt lí thuyết Vectơ không gian Tích vô hướng hai vectơ 12 Quy trình giải bài toán phương pháp vectơ 12 Bài tập áp dụng 13 KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 32 Kết 32 Kết luận 32 Khuyến nghị 33 - Nguyễn Trọng Nghĩa Trường THPT Hồng Quang Lop12.net (2) Áp dụng phương pháp véctơ để giải toán hình học không gian - MỞ ĐẦU 1.Lý chọn đề tài Mục tiêu đào tạo nhà trường phổ thông Việt Nam là hình thành sở ban đầu và trọng yếu người mới: phát triển toàn diện phù hợp với yêu cầu và điều kiện hoàn cảnh đất nước người Việt Nam Trong giai đoạn nay, mục tiêu đào tạo nhà trường phổ thông Việt Nam đã cụ thể hoá các văn kiện Đảng, đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ VIII Đảng cộng sản Việt Nam và kết luận hội nghị trung ương khoá IX, mục tiêu này gắn với chính sách chung giáo dục và đào tạo “ Giáo dục và đào tạo gắn liền với phát triển kinh tế, phát triển khoa học kĩ thuật xây dựng văn hoá và người mới…” “Chính sách giáo dục hướng vào bồi dưỡng nhân lực, nâng cao dân trí, bồi dưỡng nhân tài, hình thành đội ngũ lao động có trí thức, có tay nghề…” Môn Toán trường phổ thông giữ vai trò, vị trí quan trọng là môn học công cụ học tốt môn Toán thì tri thức Toán cùng với phương pháp làm việc toán trở thành công cụ để học tốt môn học khác Môn Toán góp phần phát triển nhân cách, ngoài việc cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức, kĩ toán học cần thiết môn Toán còn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất người lao động mới: cẩn thận, chính xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ Sách giáo khoa toán là tài liệu chính thống sử dụng nhà trường phổ thông Thực tế nhà trường THPT vùng cao, vùng sâu chất lượng học tập học sinh còn thấp Các em chưa có điều kiện học tập, đặc biệt chương trình phân hoá học sinh Nhà trường PT chưa có điều kiện tốt để học sinh khá giỏi, học sinh yếu kém phát triển nhận thức phù hợp với đối tượng học sinh Học sinh hổng kiến thức từ lớp lớn Nhà trường chưa có đủ phương tiện dạy học theo phương pháp Đặc biệt lượng kiến thức đưa là nặng học sinh vùng sâu vùng xa - Nguyễn Trọng Nghĩa Trường THPT Hồng Quang Lop12.net (3) Áp dụng phương pháp véctơ để giải toán hình học không gian - Có lẽ nhận thấy điều đó, đội ngũ giáo viên trực tiếp giảng dạy, các cấp lãnh đạo, các ngành đã làm gì để khắc phục tình trạng đó Theo tôi đây là vấn đề xúc nóng bỏng còn tồn tại, tồn ta không có giải pháp hợp lí Qua năm giảng dạy tôi nhận thấy học sinh khối 11 học hình học không gian việc giải bài tập học sinh gặp nhiều khó khăn phương pháp giải, cách trình bày lời giải Vì để giúp học sinh giải tôt bài tập phần hình học không gian tôi đã chọn đề tài “Áp dụng phương pháp véctơ để giải toán hình học không gian” 2.Mục đích nghiên cứu: Tìm phương pháp dạy học phù hợp với học sinh vùng cao, tạo hứng thú học tập cho học sinh Làm cho học sinh hiểu rõ có thể ứng dụng các kiến thức véctơ để giải toán hình học không gian Từ đó nâng cao chất lượng học tập học sinh các tiết học 3.Đối tượng ngiên cứu: Các kiến thức véc tơ và ứng dụng vào giải toán hình học không gian 4.Giới hạn đề tài: Là giáo viên trực tiếp giảng dạy khối 11, khối 12 và từ thực trạng học sinh trường THPT Hồng Quang tôi tập chung vào vấn đề “Giúp đỡ học sinh ứng dụng các kiến thức véc tơ để giải toán hình học không gian” 5.Nhiệm vụ đề tài: Kế hoạch giúp đỡ học sinh học tốt môn hình học lớp 11,12(Các kiến thức véc tơ, ứng dụng vào giải toán hình học không gian) Rút kết luận và đề xuất số biện pháp tiến hành giúp đỡ đối tượng học sinh nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy nhà trường THPT 6.Phương pháp nghiên cứu: Để thực mục đích và nhiệm vụ đề tài, quá trình nghiên cứu tôi đã sử dụng các nhóm phương pháp sau: Nghiên cứu các loại tài liệu sư phạm, quản lí có liên quan đến đề tài - Nguyễn Trọng Nghĩa Trường THPT Hồng Quang Lop12.net (4) Áp dụng phương pháp véctơ để giải toán hình học không gian - Phương pháp quan sát (công việc dạy- học giáo viên và HS) Phương pháp điều tra (nghiên cứu chương trình, hồ sơ chuyên môn,…) Phương pháp đàm thoại vấn (lấy ý kiến giáo viên và HS thông qua trao đổi trực tiếp) Phương pháp thực nghiệm 7.Thời gian nghiên cứu: Năm học 2007-2008, 2008-2009 - Nguyễn Trọng Nghĩa Trường THPT Hồng Quang Lop12.net (5) Áp dụng phương pháp véctơ để giải toán hình học không gian - NỘI DUNG Chương I: Cơ sở lí luận: Cơ sở triết học: Theo triết học vật biện chứng, mâu thuẫn là động lực thúc đẩy quá trình phát triển Vì quá trình giúp đỡ học sinh, Giáo viên cần chú trọng gợi động học tập giúp các em thấy mâu thuẫn điều chưa biết với khả nhận thức mình, phát huy tính chủ động sáng tạo học sinh việc lĩnh hội tri thức Tình này phản ánh cách lôgíc và biện chứng quan niệm nội thân các em Từ đó kích thích các em phát triển tốt 2.Cơ sở tâm lí học: Theo các nhà tâm lí học: Con người bắt đầu tư tích cực nảy sinh nhu cầu tư đứng trước khó khăn cần phải khắc phục Vì GV cần phải để học sinh thấy khả nhận thức mình với điều mình đã biết với tri thức nhân loại Căn vào quy luật phát triển nhận thức và hình thành các đặc điểm tâm lí thì từ lớp cuối cấp THCS, học sinh đã bộc lộ thiên hướng, sở trường và hứng thú lĩnh vực kiến thức, kĩ định Một số học sinh có khả và ham thích Toán học, các môn khoa học tự nhiên; số khác lại thích thú văn chương và các môn khoa học xã hội, nhân văn khác Ngoài còn có học sinh thể khiếu lĩnh vực đặc biệt… Thực tế giảng dạy cho thấy nhiều học sinh học hình học không gian các em thường có tâm lí: bài tập phần này quá khó, hình vẽ không trực quan, không biết cách trình bày lời giải bài toán nào cho mạch lạc, dễ đọc Đặc biệt các kiến thức hình học phẳng các em quên nhiều, khó vận dụng vào việc giải bài tập không gian Trong đó các kiến thức véc tơ các em làm quen lớp 10, lượng kiến thức ít và ứng dụng vào việc giải bài tập hình học không gian nó giúp các em cảm thấy mình làm bài tập môn đại số (là môn học các em không có tâm lí sợ môn hình học) - Nguyễn Trọng Nghĩa Trường THPT Hồng Quang Lop12.net (6) Áp dụng phương pháp véctơ để giải toán hình học không gian - 3.Cơ sở giáo dục học: Để giúp các em học tốt GV cần tạo cho học sinh hứng thú học tập Cần cho học sinh thấy nhu cầu nhận thức là quan trọng, người muốn phát triển cần phải có tri thức cần phải học hỏi Thầy giáo biết định hướng, giúp đỡ đối tượng học sinh Chương II: Thực trạng đề tài: 1.Thời gian và các bước tiến hành: Tìm hiểu đối tượng học sinh năm học 2007-2008, 2008-2009 2.Khảo sát chất lượng đầu năm môn hình học: Thông qua việc cho học sinh làm bài tập hình học không gian kết thu có 15% học sinh có thể vẽ đúng hình và làm số ý đơn giản 3.Tìm hiểu nguyên nhân dẫn đến kết trên: Tôi nhận thấy đa số học sinh có kết thấp Vì việc lĩnh hội kiến thức và rèn luyện kĩ học sinh đòi hỏi nhiều công sức và thời gian.Sự nhận thức học sinh thể khá rõ: - Các em còn lúng túng việc tìm hướng giải bài tập hình học không gian - Kiến thức nắm chưa - Khả tưởng tượng, tư hàm, tư lôgíc còn hạn chế - Ý thức học tập học sinh chưa thực tốt - Nhiều học sinh có tâm lí sợ học môn hình học Đây là môn học đòi hỏi tư duy, phân tích các em Thực là khó không HS mà còn khó GV việc truyền tải kiến thức tới các em.Hơn vì điều kiện kinh tế khó khăn, môi trường giáo dục, động học tập,… nên chưa thực phát huy hết mặt mạnh học sinh Nhiều em hổng kiến thức từ lớp dưới, ý thức học tập chưa cao nên chưa xác định động học tập, chưa thấy ứng dụng to lớn môn hình học đời sống - Nguyễn Trọng Nghĩa Trường THPT Hồng Quang Lop12.net (7) Áp dụng phương pháp véctơ để giải toán hình học không gian - Giáo viên cần nắm rõ đặc điểm, tình hình đối tượng học sinh để có biện pháp giúp đỡ các em, song song với việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi cần giúp đỡ học sinh yếu kém Việc này cần thực tiết học, biện pháp rèn luyện tích cực, phân hoá nội thích hợp Tuy nhiên ngoài việc dạy tốt lên lớp, giáo viên nên có biện pháp giúp đỡ đối tượng học sinh để học sinh yếu kém theo kịp với yêu cầu chung tiết học, học sinh khá không nhàm chán Chương III: Giải vấn đề: Khi cho học sinh khối 11,12 giải số bài tập hình học không gian tôi nhận thấy các em gần không thể tự giải bài toán hoàn chỉnh Óc tư hàm, suy luận lôgíc, khả khaí quát phân tích còn hạn chế, đặc biệt là khả tưởng tượng Vì học sinh còn lúng túng, khó hiểu chưa kích thích nhu cầu học tập học sinh Để các em có thể giải số bài toán hình học không gian tôi đưa phương pháp ứng dụng véc tơ vào giải toán Phương pháp này giúp cho các em nhìn bài toán hình học không gian góc độ khác, đỡ phức tạp và lời giải có thể đơn giản Phần 1: Tóm tắt lí thuyết: I: Vectơ không gian: 1: Các định nghĩa và các phép toán vectơ không gian: 1.1: Khái niệm vectơ Vectơ không gian là đoạn thẳng có hướng Kí hiệu AB vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B Vectơ còn kí hiệu là: a , b , x , y 1.2: Vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng: Hai vectơ gọi là cùng phương giá chúng song song trùng 1.3: Hai vectơ nhau: 1.3.1: Độ dài vectơ: Độ dài vectơ AB là độ dài đoạn thẳng AB và kí hiệu là AB 1.3.2: Hai vectơ nhau: - Nguyễn Trọng Nghĩa Trường THPT Hồng Quang Lop12.net (8) Áp dụng phương pháp véctơ để giải toán hình học không gian - Hai vectơ là hai vectơ có cùng hướng và cùng độ dài 1.4: Vectơ – không: Vectơ – không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau.Kí hiệu là 1.5: Phép cộng và phép trừ vectơ không gian: 1.5.1: Phép cộng vectơ: 1.5.1.1: Định nghĩa: Cho hai véc tơ a , b Lấy điểm A tuỳ ý, vẽ AB a và BC b Vectơ AC gọi là tổng hai vectơ a , b Ta kí hiệu tổng hai vectơ a , b là a b 1.5.1.2: Một số quy tắc tính tổng hai vectơ: 1.5.1.2.1: Quy tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B,C bất kì ta có: AB BC AC 1.5.1.2.2: Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD là hình bình hành thì: AB AD AC 1.5.1.2.3: Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ ta có AB AD AA ' AC ' 1.5.1.3: Tính chất: Với ba vectơ a , b , c tuỳ ý ta có: a b b a a b c a b c a 00a a 1.5.2: Phép trừ hai vectơ: 1.5.2.1: Vectơ đối: Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vectơ a gọi là vectơ đối vectơ a và kí hiệu là - a 1.5.2.2: Phép trừ hai vectơ: Cho hai vectơ a và b Ta gọi hiệu hai vectơ a và b là vectơ a +(- b ), kí hiệu là a - b Với ba điểm O,A,B tuỳ ý ta có: AB OB OA -10 Nguyễn Trọng Nghĩa Trường THPT Hồng Quang Lop12.net (9) Áp dụng phương pháp véctơ để giải toán hình học không gian - 1.6: Tích vectơ với số: 1.6.1: Định nghĩa: Cho số k và vectơ a Tích vectơ a với số k là vectơ kí hiệu là k a , cùng hướng với vectơ a k>0, ngược hướng với a k<0 và có độ dài là k a 1.6.2: Tính chất: Với hai vectơ a và b bất kì, với số h và k, ta có: k a b ka kb h k a ka h ka hk a 1a a; 1 a a 1.6.3: Một số ứng dụng: 1.6.3.1: Trung điểm đoạn thẳng: IA IB Điểm I là trung điểm đoạn thẳng AB MA MB MI 1.6.3.2: Trọng tâm tam giác: GA GB GC Điểm G là trọng tâm tam giác ABC MA MB MC 3MG 1.6.3.3: Điều kiện để hai vectơ cùng phương: a và b b cùng phương k , a kb 1.6.4: Phân tích vectơ theo hai vectơ không cùng phương: Cho hai vectơ a và b không cùng phương Khi đó với vectơ x ta tìm hai số h, k cho: x = h a + k b Điều kiện đông phẳng ba vectơ: 2.1: Khái niệm đồng phẳng ba vectơ không gian: Trong không gian ba vectơ gọi là đồng phẳng các giá chúng cùng song song với mặt phẳng 2.2: Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: -11 Nguyễn Trọng Nghĩa Trường THPT Hồng Quang Lop12.net (10) Áp dụng phương pháp véctơ để giải toán hình học không gian - Định lí 1: Trong không gian cho hai vectơ a và b không cùng phương và vectơ c Khi đó ba vectơ a , b , c đồng phẳng và có cặp số m,n cho c ma nb Ngoài cặp số m,n là Định lí 2: Trong không gian cho ba vectơ không đồng phẳng a , b , c Khi đó với vectơ x ta tìm ba số h, k ,m cho: x = h a + k b +m c II: Tích vô hướng hai vectơ: 1: Góc hai vectơ không gian: Trong không gian, cho u và v là hai vectơ khác vectơ – không Lấy điểm A bất kì, gọi B và C là hai điểm cho AB u ; AC v Khi đó ta gọi góc BAC 00 BAC 1800 là góc hai vectơ u và v không gian, kí hiệu là u , v 2: Tích vô hướng hai vectơ không gian: Trong không gian, cho u và v là hai vectơ khác vectơ – không Tích vô hướng hai vectơ u và v là số, kí hiệu là u v , xác định công thức: u v u v cos u , v III Quy trình giải bài toán phương pháp vectơ: Chuyển dịch ngôn ngữ hình học thông thường sang ngôn ngữ vectơ Phân tích vectơ thành tổ hợp vectơ 2.1: Chọn hệ vectơ sở( Ba vecto không đồng phẳng) 2.2: Phân tích các yếu tố đầu bài theo hệ vectơ đã chọn Vận dụng các kiến thức vectơ để biến đổi Từ kết có dịch chuyển sang ngôn ngữ hình học và kết luận -12 Nguyễn Trọng Nghĩa Trường THPT Hồng Quang Lop12.net (11) Áp dụng phương pháp véctơ để giải toán hình học không gian - Phần II: Bài tập áp dụng: Bài 1: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ A' có các cạnh a.Một mặt phẳng M B' qua D’ song song với DA’ và AB’, cắt đường thẳng BC’ M Tính độ dài D' C' đoạn thẳng D’M Giải: Đặt : AA ' a ; AB b ; AD c Theo giả thiết ta có ba véctơ D AB ', DA '; D ' M đồng phẳng m,n cho D' M m AB' nDA' (*) Mà: AB' b a (1) DA' a c (2) D' M D' C' C' M Vì M C' B k cho C' M kC' B D' M D' C' kC' B b k a c k a b kc (3) B A C Thay (1), (2), (3) vào (*) ta được: k a b kc m n a mb nc m k m n m k k m n a D' M a b c D' M D' M 2 -13 Nguyễn Trọng Nghĩa Trường THPT Hồng Quang Lop12.net (12) Áp dụng phương pháp véctơ để giải toán hình học không gian - Bài 2: Cho hình hộp chữ A' nhật B' D' ABCD.A’B’C’D’ Gọi M là điểm chia đoạn thẳng AC’ theo tỉ số m, N là điểm chia đoạn thẳng CD’ theo tỉ số n Xác A định m, n để đường thẳng MN song B N D song với đường thẳng B’D Giải: M C' C Đặt : AA ' a ; AB b ; AD c m M chia đoạn thẳng AC’ theo tỉ số m MA mMC' MA AC' 1 m m = abc 1 m Điểm N chia đoạn CD’ theo tỉ số n NC nND' D' N CD' n 1 = a b n 1 m MN MA AD' D' N abc ac a b 1 m n 1 1 m m m 1 a b c 1 m n 1 1 m n 1 1 m B' D a b c MN / / B' D k = saocho MN k B' D m 1 m n k m 3 m k n 1 1 m n m k 1 m k Vậy với m=-3; n=-1 thì MN//B’D -14 Nguyễn Trọng Nghĩa Trường THPT Hồng Quang Lop12.net (13) Áp dụng phương pháp véctơ để giải toán hình học không gian - Bài 3: có cạnh a Trên các đường chéo D' BD và AD’ các mặt bên lấy C' hai điểm M, N thay đổi cho DM = AN = x B' A' Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ N x a Chứng minh B A MN luôn luôn song song với M D mặt phẳng cố định C AN x MD x Đặt AA ' a; AB b; AD c Ta có: ; AD ' a BD a x Đặt k ta có: AN k AD '; MD k BD a MN MD DA AN k BD AD k AD ' k c b c k c a 2k 1 c k a b 2k 1 AD k BA ' 2k 1 A ' D ' k BA ' Do đó ba véc tơ MN , A ' D ', BA ' đồng phẳng nghĩa là đường thẳng MN luôn luôn song song với mp(BCD’A’) hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Bài 4: S Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ D' có cạnh a, B' A' I C' L E Chứng minh DB’ BC’ và tính độ dài đường vuông góc chung DB’ và T BC’ K B Khối tứ diện MNPQ có M, N nằm trên DB’ và P, Q nằm trên BC’ Tính thể F R A D tích khối tứ diện đó C Điểm I thuộc B’C’ và K thuộc BB’ cho 3IB’ = 2IC’ và 3KB=2KB’ Tính góc tạo hai đường thẳng DK và BI -15 Nguyễn Trọng Nghĩa Trường THPT Hồng Quang Lop12.net (14) Áp dụng phương pháp véctơ để giải toán hình học không gian - Điểm T thuộc AA’, S thuộc A’D’ cho TA’=2TA và SD’ = 2SA’ L và R là hai điểm di động trên cạnh D’C’ và CC’ cho D’L=C’R Xác định vị trí L và R để góc tạo TL và SR là 600 Chứng minh TL và SR chéo Giải: Đặt AA ' a; AB b; AD c Ta có a b c a; ab bc ac DB ' DA AB BB ' a b c BC ' BB ' BC a c Do đó: DB '.BC ' a b c a c a a.c b a b c c a c =0 DB ' BC ' Giả sử EF là đường vuông góc chung DB’ và BC’ E DB '; F BC ' E DB ' DE DB ' a b c F BC ' BF BC ' a c EF ED DA AB BF a b c b c a c a 1 b 1 c EF là đường vuông góc chung DB’ và BC’ EF DB ' a 1 b 1 c EF BC ' a 1 b 1 c abc 0 ac 0 1 1 1 Vậy EF a b c EF 6 a 2b c a 6 -16 Nguyễn Trọng Nghĩa Trường THPT Hồng Quang Lop12.net (15) Áp dụng phương pháp véctơ để giải toán hình học không gian - Khối tứ diện MNPQ nhận E, F là N trung điểm MN và PQ Gọi x là độ dài cạnh tứ diện Ta có: E EP2=EF2+PF2 3x a x a x P M Vậy thể tích khối tứ diện MNPQ là: VMNPQ S PQE MN a F Q 36 BI BB ' B ' I BB ' B ' C ' a c 5 DK DA AB BK AD AB BB ' a b c 5 BI DK a c a b c Vậy góc tạo BI và DK là 900 Ta có: TL TA ' A ' D ' D ' L AA ' A ' D ' D ' C ' a b c 3 Víi D ' L b C ' R a D ' L C ' R 2 SR SD ' D ' C ' C ' R A ' D ' D ' C ' C ' R a b c 3 Từ đó suy ra: 13 13 2 TL.SR a ; TL a ; SR a 9 9 2 2 a TL.SR cos TL.SR 13 13 9 2 TL SR a 9 1 Mà TL.SR 60 cos TL.SR 2 13 9 -17 Nguyễn Trọng Nghĩa Trường THPT Hồng Quang Lop12.net (16) Áp dụng phương pháp véctơ để giải toán hình học không gian - Vậy D ' L D ' C '; C ' R C ' C thì góc tạo TL và SR 600 3 Giả sử TL và SR không chéo thì T, L, S, R cùng nằm trên mặt phẳng ST , SR; SL đồng phẳng tức là x, y saocho SR xST ySL (*) Mà: ST a c ; SR a b c ; SL b c 3 3 3 Thay ST , SR; SL vào (*) ta được: 2 x 1 2 2 a b c xa yb y x c y 3 3 3 3 2 y x Hệ phương trình trên vô nghiệm nên không có x,y thoả mãn (*) Vậy TL và SR chéo Bài 5: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a B' A' I D' F G là trọng tâm tam giác A’BD, chứng O minh G nằm trên AC’, AG vuông góc với mp(A’BD), tính độ dài AG E I và K là trung điểm A’D’ và BC, mp(P) chứa IK và cắt AA’ E, cắt C’D’ F, chứng minh A’E = D’F C' G B A D và EF IK O là trung điểm EF K C Điểm M, N là hai điểm di động trên AD’ và DB cho AM=DN=x 0 x a a Tìm x để MN có độ dài lớn nhất, nhỏ b Chứng minh MN song song với mp(A’D’CB) c Chứng minh MN có độ dài nhỏ thì MN//A’C d Tìm tập hợp các trung điểm MN -18 Nguyễn Trọng Nghĩa Trường THPT Hồng Quang Lop12.net (17) Áp dụng phương pháp véctơ để giải toán hình học không gian - Giải: Đặt AA ' a; AB b; AD c Ta có a b c a; ab bc ac Vì G là trọng tâm A ' BD AG AB AD AA ' a b c 3 Mặt khác: AC ' a b c AC ' AG G AC ' Ta có: A ' B AA ' AB a b ; BD BA AD b c 2 2 AG A ' B a b c a b a b AG A ' B (1) 3 AG.BD a b c b c b c AG BD (2) 3 Từ (1) và (2) AG A ' BD AG AG a b c a Vì E AA ' saocho A ' E A ' A a Vì F D ' C ' saocho D ' F D ' C ' b Ba véc tơ IK , IE , IF đồng phẳng nên m, n cho IK mIE nIF (*) Ta có: 1 IK A ' B A ' A AB a b ; IE IA ' A ' E D ' A ' A ' A c a 2 IF ID ' D ' F A ' D ' D ' C ' c b 2 Thay IK , IE , IF vào (*) ta được: 1 m nm m n a b m a n b c 1 n nm 0 Do đó: A ' E a A ' E a ; D ' F b D ' F a -19 Nguyễn Trọng Nghĩa Trường THPT Hồng Quang Lop12.net (18) Áp dụng phương pháp véctơ để giải toán hình học không gian - Vậy A’E=D’F EF EA ' A ' D ' D ' F a c b EF IK a c b b a EF IK O O IK EF Tam giác EIF cân I nên O là trung điểm EF B' A' a) D' M AD ' saocho AM AD ' a c AM 2 a N DB saocho DN DB b c DN a C' H M A" D Mà AM DN AM a c và DN b c S" T S J L B A N C MN MA AD DN a b 1 2 c MN MN a 6 4 1 Xét g ( ) 6 4 1 g '( ) 12 4; g '( ) Bảng biến thiên hàm số g ( ) trên khoảng 0;1 g '( ) g ( ) - + 3 Từ bảng biến thiên ta thấy: maxg ( ) 3; 0;1 ming ( ) 0;1 Vậy: -20 Nguyễn Trọng Nghĩa Trường THPT Hồng Quang Lop12.net (19) Áp dụng phương pháp véctơ để giải toán hình học không gian - MN lớn =1 tức là: MN a MN nhỏ = =1 thì = a tức là: MN 3 x AM AD ' a AD ' a thì x AM 3 Vậy: x a thì MN có độ dài lớn là a x a a thì MN có độ dài nhỏ là 3 b) Ta có: MN a b 1 2 c b a 1 2 c A ' B 1 2 AD A ' B 1 2 BC Vậy MN , A ' B, BC đồng phẳng MN / / A ' BC MN / / A ' BCD ' c) Khi MN nhỏ thì MN b c a Mà A ' C A ' B ' A ' D ' A ' A b c a MN A ' C MN / / A ' C d) Kẻ MH//A’D’, NL//DA, T là trung điểm đoạn thẳng MN H AA ', L AB AL DN AH AM AH AL AB DB AA ' AD ' HL cắt AB’ J và J là trung điểm HL Tứ giác MNLH là hình thang, TJ là đường trung 1 JT HM LN c 1 c c (véc tơ không đổi) 2 bình nên Do đó T là ảnh J qua phép tịnh tiến theo véc tơ 1 c , mà tập hợp J là đoạn thẳng AS với S là trung điểm AB’ Vậy tập hợp T là đoạn A”S” đó -21 Nguyễn Trọng Nghĩa Trường THPT Hồng Quang Lop12.net (20) Áp dụng phương pháp véctơ để giải toán hình học không gian - A” là ảnh A qua phép tịnh tiến theo véc tơ 1 c nên A” là trung điểm AD, S” là ảnh S qua phép tịnh tiến theo véc tơ 1 c nên S” là tâm hình lập phương Bài 6: E A' Hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có D' cạnh dài 1, trên phần kéo dài B' C' P phía D cạnh AD chọn điểm M F cho AM= Gọi E, F là B A trung điểm cạnh A’B’ và DD’ Tỉ số M MP đạt giá trị lớn bao nhiêu MQ D Q C P, Q nằm trên các đoạn AE và CF Giải: Đặt AA ' a; AB b; AD c Ta có a b c 1; ab bc ac MP MA AP; P AE AP AE 1 AE AA ' A ' E a b AP a b 2 2 MA 2 AD 2 c 5 5 2 MP a b c MP MP 5 PQ PA AD DF FQ Mà: Q FC FQ FC FD DC a b 1 Vậy: -22 Nguyễn Trọng Nghĩa Trường THPT Hồng Quang Lop12.net (21)