Rèn luyện tư duy học sinh qua giải toán phân tích đa thức thành nhân tử trong Đại số lớp 8

NỘI DUNG, BIỆN PHÁP THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI : RÈN LUYỆN TƯ DUY HỌC SINH QUA GIẢI TOÁN PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TRONG ĐẠI SỐ LỚP 8... SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.[r]

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Qua nhiều năm giảng dạy môn Toán trường THCS nói chung ,môn Toán lớp nói riêng tôi nhận thấy số điều sau: - Trong SGK có các bài tập chia thành nhiều dạng : vận dụng trực tiếp kiến thức, rèn luyện khả suy luận, rèn luyện tư sáng tạo, - Khối lượng kiến thức tiết học tương đối nhiều - HS ỷ lại vào sách giải nhiều là khả tư thân và thói quen độc lập suy nghĩ hạn chế - Trong quá trình học tập học sinh chưa biết xếp lịch học mình cách khoa học và thường học cách máy móc ,thiếu tư Vì giáo viên không thể coi nhẹ việc trau dồi tư và luyện tập cho học sinh các phương pháp suy luận sáng tạo.Do giảng dạy môn toán, giáo viên cần phải rèn luyện cho học sinh khả phân tích, xem xét bài toán các dạng khác Cần khuyến khích học sinh tìm nhiều cách giải bài toán để luyện tập cho học sinh nhìn nhận vấn đề nào đó theo nhiều khía cạnh khác Hơn phải giúp cho học sinh nắm chất bài toán để tự thân đưa đề toán theo định hướng trước, kích thích lòng say mê sáng tạo học sinh, từ đó phát huy khả tư duy, linh hoạt tìm lời giải bài toán II THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI Thuận lợi: - Học sinh khối phát triển mạnh mẽ thể chất và trí tuệ Các em muốn thể tính độc lập và hiểu biết thân Đó là điều thuận lợi cho việc rèn luyện tư sáng tạo cho các em - Được hỗ trợ Ban Giám hiệu nhà trường và đóng góp ý RÈN LUYỆN TƯ DUY HỌC SINH QUA GIẢI TOÁN PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TRONG ĐẠI SỐ LỚP Lop8.net Trang SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM kiến nhiệt tình đồng nghiệp đã tạo điều kiện cho tôi hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm này Khó khăn: - HS đa số còn lười suy nghĩ, phần lớn các em dựa vào các loại sách giải phát hành tràn lan - Phương pháp này đòi hỏi người giáo viên phải nhiều thời gian vào việc chuẩn bị bài để tìm nhiều hướng giải khác cùng bài toán - Lượng kiến thức và bài tập tiết học còn nhiều - Đa số HS chưa nắm vững kiến thức các lớp Kết điều tra bản: - Tự bài toán sách giáo khoa cách đã học : 25% - Sáng tạo giải bài toán hai cách khác nhau: 2,5% - Số còn lại thường dựa vào sách giải bài toán III NỘI DUNG ĐỀ TÀI I CƠ SỞ LÝ LUẬN: - Ngành giáo dục nước ta là đổi mục tiêu giáo dục theo hướng toàn diện nhằm đáp ứng cho phát triển đất nước và hòa nhập vào tiến chung giới Vì rèn luyện tư cho HS là các yêu cầu không thể thiếu quá trình dạy học Một đổi quan trọng cần thực dạy học toán là nhanh chóng chuyển từ hình thức thầy giảng – trò ghi sang hình thức thầy tổ chức – trò tích cực hoạt động ,sáng tạo II NỘI DUNG, BIỆN PHÁP THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI : RÈN LUYỆN TƯ DUY HỌC SINH QUA GIẢI TOÁN PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TRONG ĐẠI SỐ LỚP Lop8.net Trang SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 1.1 Phương pháp đặt nhân tử chung Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử : 10x (x – y) – 8y( y – x) Hướng giải - Tìm nhân tử chung là đơn thức , đa thức có mặt tất các hạng tử 10x (x – y) – 8y( y – x) = 5x (x –y) + 4y(x – y) = 2(x – y)(5x + 4y) - Phân tích hạng tử thành tích nhân tử chung và nhân tử khác - Viết nhân tử chung ngoài dấu ngoặc , viết các nhân tử còn lại hạng tử vào dấu ngoặc (kể dấu chúng) 1.2 Phương pháp dùng đẳng thức Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử : 25x4 – 10x2y + y2 Hướng giải 25x4 – 10x2y + y2 = (5x2 –y)2 Vận dụng các đẳng thức để biến đổi đa thức thành tích các nhân tử lũy thừa đa thức đơn giản 1.3 Phương pháp nhóm nhiều hạng tử Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử : 2x3 – 3x2 + 2x – Hướng giải 2x3 – 3x2 + 2x – Dùng các tính chất giao hoán , kết hợp phép cộng các đa thức , = (2x3 – 2x) + (3x2 +3) ta kết hợp hạng tử đa thức thành nhóm thích hợp dùng RÈN LUYỆN TƯ DUY HỌC SINH QUA GIẢI TOÁN PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TRONG ĐẠI SỐ LỚP Lop8.net Trang SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM các phương pháp khác phân tích thành nhân tử theo nhóm phân tích chung các nhóm = 2x(x2 + 1) + 3(x2 + 1) = (x2 + 1)(2x +3) 1.4 Phương pháp tách Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử : 2x2 – 7xy + 5y2 Hướng giải Ta có thể tách hạng tử nào đó 2x2 – 7xy + 5y2 2 đa thức thành hai hay nhiều hạng = 2x – 2xy – 5xy + 5y = 2x(x – y) – 5y(x – y) tử thích hợp để làm xuất nhóm hạng tử mà ta có thể dùng các = (x – y)(2x – 5y) phương pháp khác để phân tích 1.5 Phương pháp thêm bớt cùng hạng tử Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử : a4 + Hướng giải Ta thêm bớt cùng hạng tử a4 + = a4 + 4a2 + – 4a2 nào đó vào đa thức để làm xuất = (a2 + 2)2 – (2a)2 nhóm hạng tử mà ta có thể = (a2 + – 2a)(a2 + + 2a) dùng các phương pháp khác để phân = (a2 – 2a + 2)(a2 + 2a + 2) tích Vài phương pháp phân tích thành nhân tử khác 2.1 Phương pháp đặt biến phụ Trong số trường hợp để việc phân tích đa thức thành nhân tử thuận lợi ta phải đặt biến phụ thích hợp Ví dụ : Phân tích thành nhân tử A = (x2 + 2x + 8) + 3x(x2 + 2x + 8) + 2x2 Đặt y = x2 + 2x + ta có : RÈN LUYỆN TƯ DUY HỌC SINH QUA GIẢI TOÁN PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TRONG ĐẠI SỐ LỚP Lop8.net Trang SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM A = y2 + 3xy + 2x2 = y2 + xy + 2xy + 2x2 = y(y + x) + 2x(y + x) = (x + y)(2x +y)  A = (x2 + 3x + 8)(x2 + 6x + 8) = (x2 + 3x + 8)(x + 2)(x + 4) 2.2 Phương pháp giảm dần số mũ lũy thừa Phương pháp này sử dụng cho các đa thức a7 + a5 + , a8 + a4 + , … là đa thứ có dạng a3k+1 + a3k +1 Tuy nhiên tìm cách giảm dần số mũ lũy thừa , ta cần chú ý đến các biểu thức dạng a6 – , a3 – là biểu thức chia hết cho a2 + a + Ví dụ : Phân tích thành nhân tử : A = a5 + a4 + Ta có : A = a5 + a4 + a3 – a3 – a2 + a – a + = (a5 + a4 + a3) – (a3 + a2 + a) + (a2 + a +1) = (a2 + a + 1)(a3 – a + 1) 2.3 Phương pháp hệ số bất định Phân tích thành tích hai đa thức bậc bậc hai hay đa thức bậc , đa thức bậc hai dạng (a + b)(cx2 + dx + m) biến đổi cho đồng hệ số đa thức này với hệ số đa thức Ví dụ : Phân tích thành nhân tử : x3 – 15x – 18 thành tích nhị thức bậc và tam thức bậc hai Giả sử đa thức trên phân tích thì : x3 – 15x – 18 = (x + a)( x2 + bx + c)  x3 – 15x – 18 = x3 + (a+ b)x2 + (ab + c)x + ac Đồng hai đa thức vế ta : a  b  Vì hai đa thức này đồng nên : ab  c  15(*) ac  18  Từ a c = -18 ta có thể chọn a =  c = - ; b = - thỏa mãn (*) Vậy : x3 – 15x – 18 = (x + 3)(x2 – 3x – 6) RÈN LUYỆN TƯ DUY HỌC SINH QUA GIẢI TOÁN PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TRONG ĐẠI SỐ LỚP Lop8.net Trang SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Nói chung phân tích đa thức thành nhân tử ta phải vận dụng linh hoạt , sáng tạo các phương pháp trên và phải biết phối hợp chúng cách hợp lý Kết phân tích đa thức thành nhân tử là Quá trình tư cần có : 3.1 Tính mềm dẻo: Tính mềm dẻo là khả từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác vận dụng linh hoạt các hoạt động Phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng như: quy nạp, suy diễn, tương tự, điều chỉnh kịp thời hướng suy nghĩ học sinh không rập khuôn, không áp dụng máy móc kiến thức đã học Nhận vấn đề lạ điều kiện quen thuộc Ví dụ : Phân tích đa thức y6 – 64x6 thành nhân tử Ta có thể lựa chọn hai cách sau : Cách : Ta có y6 – 64x6 = (y2)3 – (4x2)3 = (y2 – 4x2)[(y2)2 + 4x2y2 + (4x2)2] = (y – 2x)(y + 2x)(y4 + 4x2y2 + 16x4) Cách : Ta có y6 – 64x6 = (y3)2 – (8x3)2 = (y3 – 8x3)(y3 + 8x3) = [y3 – (2x)3][y3 + (2x)3] = (y – 2x)(y2 + 2xy + 4x2) (y + 2x)(y2 - 2xy + 4x2) Qua ví dụ trên , ta thấy việc lựa chọn hướng biến đổi theo đẳng thức cách thích hợp nhận kết tốt 3.2 Tính nhuần nhuyễn: - Phải có khả xem xét đối tượng nhiều góc độ khác - Phải có khả tìm nhiều lời giải trên nhiều góc độ và tình khác, để từ đó tìm phương pháp hay - Để làm điều trên thân học sinh phải cần nắm vững các kiến thức đã học Do đó, giáo viên cần dặn dò học sinh tiết trước ôn lại phần nào có liên quan tới tiết học sau, kể kiến thức đã học lớp có liên quan Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử : (x2 – 4)2 – 8x – RÈN LUYỆN TƯ DUY HỌC SINH QUA GIẢI TOÁN PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TRONG ĐẠI SỐ LỚP Lop8.net Trang SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM (x2 – 4)2 – 8x – = x4 – 8x2 + 16 – 8x – = x4 + 8x2 + 16 – 16x2 - 8x – = (x2 + 4)2 – (4x + 1)2 = (x2 + – 4x – 1)(x2 + + 4x + 1) = (x2 – 4x + 3)(x2 + 4x + 5) = (x – 1)(x – 3) )(x2 + 4x + 5) Học sinh thường khó biết cách thêm bớt 8x2 3.3 Tính độc đáo: Phải rèn luyện cho học sinh các khả sau: - Tìm lời giải lạ - Tìm mối liên hệ kiến thức cũ và - Nhìn mối liên hệ điều kiện bên ngoài tưởng không liên hệ với Ví dụ : Rút gọn biểu thức : 3(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1) Khi đọc xong đề, học sinh thường máy móc tính theo cách thông thường Vì vậy, giáo viên cần gợi ý cho học sinh thấy các lũy thừa các biểu thức có liên quan gì với cách gợi ý sau: - Các biểu thức ngoặc có liên quan đến đẳng thức nào không ? - Đa thức 24 +1 nhân với đa thức nào để đưa dạng x8 – 1? - Làm nào để xuất đa thức 24 – ? - Cần biến đổi thành biểu thức nào kết hợp với 22 +1 thành đa thức 24 – ? - Từ đó học sinh áp dụng liên tiếp đẳng thức (a - b)(a + b) = a2 – b2 Giải: Thay = 22 – , ta : (22 – 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1) = (24 - 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1) = (28 - 1)(28 + 1)(216 + 1) = (216 - 1) )(216 + 1) = 232 - Các dạng bài toán bồi dưỡng tư sáng tạo: RÈN LUYỆN TƯ DUY HỌC SINH QUA GIẢI TOÁN PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TRONG ĐẠI SỐ LỚP Lop8.net Trang SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Các bài tập cho học sinh cần chọn lọc để tìm đúng bài cần thiết, đúng thời điểm cần thiết Bài dễ chuẩn bị cho bài khó, bài trước là gợi ý cho cách giải bài sau, học sinh có thể tự mình giải vấn đề đặt ra, tự mình làm công việc người khám phá kiến thức Nếu đặt trước học sinh bài toán quá khó, vượt qua sức mình làm các em choáng ngợp, tự tin, thổi tắt lửa sáng tạo nhen nhóm các em Phải luôn tạo cho học sinh nhiều dịp tập dượt các thao tác tư duy, dành lại cho các em độc lập suy nghĩ để từ đó nảy sinh mầm mống sáng tạo Một số dạng bài toán rẻn luyện tư sáng tạo cho học sinh : 4.1 Bài toán có nhiều cách giải: Giáo viên có thể: - Chia nhiều nhóm cùng giải bài toán - Hoặc gợi ý để học sinh có nhiều cách giải khác Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 + 4x + Cách 1: ( Sử dụng phép tách theo B) Ta có : x2 + 4x + = x2 + x + 3x + = (x2 + x)(3x + 3) = 4x(x + 1) – 3(x2 – 1) = 4x(x + 1) – 3(x – 1)(x + 1) = (x +1)(4x – 3x + 3) = (x + 1)(x + 3) Cách 2: ( Sử dụng phép tách theo A) Ta có : x2 + 4x + = 4x2 – 3x2 + 4x + = (4x2 + 4x) – (3x2 – 3) = 4x(x + 1) – 3(x2 – 1) = 4x(x + 1) – 3(x – 1) (x + 1) = (x + 1)(4x – 3x + 3) = (x +1)(x + 3) Cách 3: ( Sử dụng phép tách theo C) Ta có : x2 + 4x + = x2 + 4x + – = (x2 – 1)(4x + 4) = (x – 1)(x + 1) + 4(x + 1) = (x + 1)(x – + 4) = (x + 1)(x + 3) Cách 4: ( Sử dụng phép tách tạo đẳng thức) Ta có : x2 + 4x + = x2 + 2.2x + 22 – = (x + 2)2 – = (x + – 1)(x + + 1) = (x + 1)(x + 3) RÈN LUYỆN TƯ DUY HỌC SINH QUA GIẢI TOÁN PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TRONG ĐẠI SỐ LỚP Lop8.net Trang SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 4.2 Bài toán có tính đặc thù: Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh phát tính đặc thù, dạng đặc biệt bài toán, để tìm cách giải phù hợp Ví dụ: Tìm x , biết : 59  x 57  x 55  x 53  x 51  x      5 41 43 45 47 49 Nếu thu gọn vế trái cách cộng các phân thức thì học sinh gặp khó khăn tính toán Nếu phát dạng đặc biệt bài toán và dùng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để phân tích vế trái thành nhân tử thì bài toán giải dễ dàng Bài toán giải sau : 59  x 57  x 55  x 53  x 51  x      5 41 43 45 47 49  59  x   57  x   55  x   53  x   51  x   1    1    1    1    1    41   43   45   47   49   100  x 100  x 100  x 100  x 100  x     0 41 43 45 47 49 1   1  0  (100 – x)      41 43 45 47 49  Vì 1 1      , nên 100 –x =  x = 100 41 43 45 47 49 4.3 Bài toán ngụy biện: Giáo viên đưa số bài toán có lời giải sai để học sinh xem xét và phát chỗ sai Từ đó học sinh khắc sâu các kiến thức đã học Ví dụ : Rút gọn phân thức : 16(2  x) x  12 Một học sinh đã giải sau: 16(2  x) 16(2  x) 16( x  2) 8 = = = ( x  2) 6( x  2) 6( x  2) x  12 Hãy cho biết bài toán trên giải đúng hay sai ? Nếu sai thì sai từ bước nào? RÈN LUYỆN TƯ DUY HỌC SINH QUA GIẢI TOÁN PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TRONG ĐẠI SỐ LỚP Lop8.net Trang SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM * Nếu không chú ý kỹ và không nắm vững tính chất bình phương hai đa thức đối thì thì học sinh không thể phát chỗ sai Vì vậy, phát chỗ sai -16(x – 2)2 thì học sinh khắc sâu tính chất bình phương hai đa thức đối thì tránh sai lầm sau này giải bài toán tương tự 4.4 Bài toán đặt ẩn phụ: Có đa thức không đặt ẩn phụ thì gặp khó khăn, chí bế tắc việc phân tích đa thức thành nhân tử Nếu đặt ẩn phụ thì bài toán trở nên đơn giản Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử : (x2 + 3x + 1)(x2 + 3x + 2) – Hướng dẫn học sinh chọn ẩn phụ cho thích hợp : Đặt: y = x2 + 3x + , ta có : y(y + 1) – = y2 + y – = y2 + 3y – 2y – = y(y + 3) – (y + 3) = (y – 2)(y + 3) Thay y = x2 + 3x + , ta (x2 + 3x -1)(x2 + 3x + 4) IV KẾT QUẢ V BÀI HỌC KINH NGHIỆM - Giáo viên cần nhiều thời gian để đầu tư cho việc nghiên cứu, soạn giảng để tìm nhiều cách giải khác cho bài toán, - Giáo viên không nên giải bài tập tiết học mà nên chọn các bài tập có tính chất đặc trưng để rèn luyện tư cho học sinh qua số hệ thống bài tập từ đế nâng cao VI KẾT LUẬN Trong thời gian giảng dạy trường trung học sở, qua học hỏi đồng nghiệp và phần nhờ kinh nghiệm thân, tôi đã rút việc phân loại các bài toán và chọn lựa bài toán để giải cho học sinh đã phần nào giúp cho học sinh có thói quen suy nghĩ Qua đó, học sinh rèn luyện tư sáng tạo thân mình quá trình học tập RÈN LUYỆN TƯ DUY HỌC SINH QUA GIẢI TOÁN PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TRONG ĐẠI SỐ LỚP Lop8.net Trang 10 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Để tài này đã thử nghiệm lớp học đại trà Tuy bước đầu học sinh còn bỡ ngỡ (vì kiến thức cũ còn nhiều hạn chế), nhìn chung học sinh có hứng thú học tập Hy vọng điều đó giúp học sinh tích cực việc rèn luyện tư thân VII TÀI LIỆU THAM KHẢO - Sách giáo khoa Toán – Nhà xuất Giáo dục – Nhóm tác giả: Vũ Hữu Bình, Trần Đình Châu, Ngô Hữu Dũng, Phạm Gia Đức, Nguyễn Duy Thuận - Sách giáo viên Toán – Nhà xuất Giáo dục – Nhóm tác giả: Vũ Hữu Bình, Trần Đình Châu, Ngô Hữu Dũng, Phạm Gia Đức, Nguyễn Duy Thuận - Sách bài tập Toán – Nhà xuất Giáo dục – Nhóm tác giả: Tôn Thân , Vũ Hữu Bình, Trần đình Châu , Phạm Gia Đức, Nguyễn Duy Thuận MỤC LỤC Trang RÈN LUYỆN TƯ DUY HỌC SINH QUA GIẢI TOÁN PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TRONG ĐẠI SỐ LỚP Lop8.net Trang 11 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Thông tin cá nhân Lý chọn đề tài Thực trạng trước thực các giải pháp đề tài Nội dung Kết Bài học kinh nghiệm 12 Kết luận 12 Tài liệu tham khảo 13 RÈN LUYỆN TƯ DUY HỌC SINH QUA GIẢI TOÁN PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TRONG ĐẠI SỐ LỚP Lop8.net Trang 12