Đề tài Một số kinh nghiệm khi giảng dạy "7 hằng đẳng thức đáng nhớ"

- Có những học sinh đã nhận dạng được hằng đẳng thức rồi tuy nhiên chưa vận dụng linh hoạt hằng đẳng thức đó theo hai chiều hoặc đã biết vận dụng linh hoạt hằng đẳng thức trong thực hiện[r]

Mét sè kinh nghiÖm gi¶ng d¹y " đẳng thức đáng nhớ" A - Đặt vấn đề Bé m«n to¸n lµ mét nh÷ng m«n häc chñ lùc nhÊt, ®­îc vËn dụng và phục vụ rộng rãi đời sống và khoa học Häc to¸n gióp h×nh thµnh ë häc sinh tÝnh chÝnh x¸c, hÖ thèng, khoa häc, l«gic vµ t­ cao… Xuyên suốt quá trình học đại số, kỹ vận dụng " đẳng thức đáng nhớ" là công cụ bản, sử dụng nhiều biến đổi các biểu thức đại số … Trong quá trình giảng dạy môn đại số lớp 8, tôi nhận thấy học sinh kỹ vận dụng " đẳng thức đáng nhớ" còn yếu, chưa linh hoạt… dẫn đến vận dụng kỹ này phân tích đa thức thµnh nh©n tö, rót gän biÓu thøc… cßn ch­a thµnh th¹o hoÆc sai sãt… Do kết môn toán lớp qua các kỳ thi thường không cao chủ yÕu häc sinh yÕu vÒ kü n¨ng lµm bµi Nhằm đáp ứng yêu cầu đổi phương pháp giảng dạy, giúp học sinh tháo gỡ và giải khó khăn, vướng mắc học tập nên thân tôi đã trăn trở và tìm hiểu nguyên nhân từ đó xin đưa số ý kiến lưu ý giảng dạy " đẳng thức đáng nhớ" học sinh lớp Người thực : Hoàng Văn Nam Lop8.net Trường THCS Hải Nam Mét sè kinh nghiÖm gi¶ng d¹y " đẳng thức đáng nhớ" B - Giải vấn đề I - C¬ së lý luËn: - "7 đẳng thức đáng nhớ" là bảy công thức, công thức có hai vÕ: mét vÕ ë d¹ng tÝch, vÕ cßn l¹i ë d¹ng tæng: (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (A - B)2 = A2 - 2AB + B2 (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2) A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2) Trong đó: A, B có thể là các số, dạng chữ (đơn thức, đa thức), hoÆc A, B lµ c¸c biÓu thøc bÊt kú - Thực chất việc vận dụng "7 đẳng thức đáng nhớ" là thực biến đổi theo hai chiều: + Biến đổi từ tích -> tổng việc áp dụng luôn công thức mà kh«ng cÇn thùc hiÖn phÐp nh©n nhiÒu phøc t¹p Kü n¨ng nµy sö dông nhiÒu c¸c bµi to¸n rót gän biÓu thøc, tÝnh nhÈm, tÝnh hîp lý gi¸ trÞ cña biÓu thøc, t×m x + Biến đổi từ tổng -> tích là kỹ sử dụng nhiều bài toán tính nhẩm, tìm x và là phương pháp quan trọng để phân tích đa thức thành nhân tử sau này từ đó phục vụ cho các phép toán phân thức đại số, giải các loại phương trình các chương sau Người thực : Hoàng Văn Nam Lop8.net Trường THCS Hải Nam Mét sè kinh nghiÖm gi¶ng d¹y " đẳng thức đáng nhớ" II - C¬ së thùc tiÔn 1) VÒ phÝa häc sinh: - Häc sinh trung b×nh - yÕu ch­a n¾m ch¾c c¸c c«ng thøc vÒ " h»ng đẳng thức đáng nhớ", chưa nhận dạng các công thức này nó tồn dạng số, dạng chữ, dạng chữ và số hỗn hợp, dạng bình phương biểu thøc phøc t¹p - Có học sinh đã nhận dạng đẳng thức nhiên chưa vận dụng linh hoạt đẳng thức đó theo hai chiều đã biết vận dụng linh hoạt đẳng thức thực các phép tính, phép biến đổi biÓu thøc… nh­ng cßn sai sãt vÒ dÊu thùc hiÖn phÐp nh©n, sö dông quy tắc bỏ ngoặc đằng trước có dấu trừ, quy tắc chuyển vế bài toán tìm x… 2) VÒ phÝa gi¸o viªn - Trong tiết dạy đẳng thức đầu tiên để học sinh làm quen thì giáo viên có thể dạy nhanh so với trình độ nhận thức học sinh, d¹y néi dung cßn dµn tr¶i ch­a lµm næi bËt träng t©m cña bµi d¹y, ch­a cã phương pháp linh hoạt để gây hứng thú học tập học sinh đồng thời kiểm tra ®­îc viÖc n¾m c«ng thøc vµ vËn dông c¸c c«ng thøc nµy theo hai chiÒu - Trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y gi¸o viªn ch­a thùc sù quan t©m rÌn kü năng, thuật toán cho học sinh đặcbiệt là học sinh yếu kém Giáo viên chưa tình mà các em dễ nhầm lẫn qua đó góp phần củng cố kü n¨ng cho häc sinh - Sau cung cấp xong " đẳng thức đáng nhớ" cho học sinh gi¸o viªn ch­a nhÊn m¹nh sù gièng vµ kh¸c gi÷a c¸c c«ng thøc dÔ nhÇm lÉn Qua c¸c d¹ng bµi tËp gi¸o viªn ch­a nªu bËt ®­îc c¸ch vËn dông "7 đẳng thức đáng nhớ" theo hai chiều: nào thì vận dụng theo chiều tæng -> tÝch, nµo th× vËn dông theo chiÒu tÝch -> tæng…dÉn tíi häc sinh vận dụng chưa linh hoạt các đẳng thức - Giáo viên chưa thực định hướng, xây dựng cho học sinh phương pháp học tập nhẹ nhàng, hiệu mà lại nâng cao kỹ làm bài cho học sinh Giáo viên chưa ứng dụng công nghệ thông tin, phương tiện dạy học đại…trong công tác giảng dạy Người thực : Hoàng Văn Nam Lop8.net Trường THCS Hải Nam Mét sè kinh nghiÖm gi¶ng d¹y " đẳng thức đáng nhớ" III - Các biện pháp đã tiến hành để giải vấn đề: Trong quá trình giảng dạy "7 đẳng thức đáng nhớ" tôi đưa mét sè gi¶i ph¸p sau: - Nh÷ng l­u ý gi¶ng d¹y lý thuyÕt - Xây dựng phương pháp giải các dạng toán có vận dụng "7 đẳng thức đáng nhớ" - Sửa chữa các sai lầm thường gặp học sinh giải toán - Củng cố kỹ biến đổi đẳng thức theo hai chiều và hoàn thiÖn dÇn c¸c kü n¨ng rót gän biÓu thøc… - T×m tßi c¸ch gi¶i hay, khai th¸c bµi to¸n dµnh cho häc sinh kh¸ giái III.1 Mét sè l­u ý d¹y lý thuyÕt Bước 1: Chứng minh tồn đẳng thức để gây tin tưởng học sinh tính đúng đắn công thức Cô thÓ: a) Dạy đẳng thức (HĐT) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a + b)3 = a3 + a2b + 3a b2 + b3 a2 - b2 = (a +b)(a - b) a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2) Chẳng hạn: Dạy đẳng thức (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 xuất phát từ phÐp nh©n ®a thøc víi ®a thøc Yªu cÇu häc sinh tÝnh: (a + b)2 =(a +b)(a + b) = a2 + 2ab + b2 víi a,b lµ c¸c sè VËy: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Tổng quát HĐT trên đúng với A,B là các biểu thức tùy ý b) Dạy Hằng đẳng thức: (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 (a - b)3 = a3 - a2b + 3a b2 - b3 a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2) - Cã c¸ch t×m c«ng thøc: Người thực : Hoàng Văn Nam Lop8.net Trường THCS Hải Nam Mét sè kinh nghiÖm gi¶ng d¹y " đẳng thức đáng nhớ" + Cách 1: Thực nhân đa thức với đa thức để phá ngoặc thu gọn + Cách 2: Vân dụng đẳng thức đã học Ch¼ng h¹n: - Dạy đẳng thức: (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 với a,b là các số Ta cã: (a - b)2 = [a +(-b)]2 = a2 + 2a(-b) + (-b)2= a2 - 2ab + b2 VËy: (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 Tổng quát: đẳng thức đúng với A, B là biểu thức tùy ý - Sau tìm đẳng thức GV: khái quát đẳng thức đúng víi c¸c biÓu thøc tuú ý, ®i s©u vµo c¸ch nhí H§T, yªu cÇu häc sinh ph¸t biÓu thµnh lêi theo hai chiÒu tõ tÝch -> tæng vµ tæng -> tÝch Bø¬c 2: §­a c¸c t×nh huèng t¹o ®iÒu kiÖn cho HS ghi nhí c«ng thøc và phát triển công thức theo chiều tư thuận Bước này để HS tự làm là chÝnh th«ng qua c¸c trß ch¬i Bước 3: GV giúp HS hoàn thiện tư theo chiều ngược lại Bøíc 4: §Ó HS thÊy ®­îc lîi Ých cña c«ng thøc trªn, GV cho HS tÝnh nhanh số phép tính đơn giản Sau häc xong c¸c H§T, GV chØ c¸ch nhí cho HS qua viÖc so s¸nh c¸c H§T cô thÓ nh­ sau: a Cách đọc các biểu thức: (A - B)2: Bình phương hiệu A2 - B2 : Hiệu hai bình phương (A + B)3 : Lập phương tổng A3 + B3 : Tổng hai lập phương (A - B)3 : Lập phương hiệu A3 - B3 : Hiệu hai lập phương b.Sù gièng nhau, kh¸c cña c¸c H§T: (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (A - B)2 = A2 - 2AB + B2 * Gièng nhau: VÕ ph¶i cã h¹ng tö gièng Người thực : Hoàng Văn Nam Lop8.net Trường THCS Hải Nam Mét sè kinh nghiÖm gi¶ng d¹y " đẳng thức đáng nhớ" * Kh¸c nhau: DÊu cña h¹ng tö 2AB (A + B)3 = A3 + A2B + 3A B2 + B3 (A - B)3 = A3 - A2B + 3A B2 - B3 * Gièng nhau: VÕ ph¶i cã h¹ng tö gièng * Khác nhau: công thức (A - B)3 dấu “-”đứng trước luỹ thừa bậc lẻ cña B (quy t¾c ®an dÊu) A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2) Cïng dÊu céng Bình phương thiếu hiệu A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2) Cïng dÊu trõ Bình phương thiếu tổng c Mèi quan hÖ gi÷a c¸c H§T + (A - B)2 = (B - A)2 + (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 = A2 - 2AB + B2 + 4AB = (A - B)2 + 4AB VËy: (A + B)2 = (A - B)2 + 4AB + (A + B)3 = A3 + A2B + 3A B2 + B3 = A3 + B3 + 3AB(A + B) VËy: (A + B)3 = A3 + B3 + 3AB(A + B) - Tương tự ta còn có các mối quan hệ khác như: + A2 + B2 = (A + B)2 - 2AB + A2 + B2 = (A - B)2 + 2AB + A3 - B3 = (A - B)3 +3AB(A - B) III.2 Thùc hµnh Vận dụng HĐT làm bài tập là kĩ sử dụng thường xuyên, dạy lý thuyết xong GV hướng dẫn HS làm bài tập; lưu ý kĩ hay sai, GV có thể cho HS kiểm tra chéo bài từ đó củng cố kiÕn thøc vµ kÜ n¨ng lµm bµi cho HS Người thực : Hoàng Văn Nam Lop8.net Trường THCS Hải Nam Mét sè kinh nghiÖm gi¶ng d¹y " đẳng thức đáng nhớ" GV phân bậc các dạng bài tập từ dễ đến khó hợp với quá trình phát triển tư duy, bài tập trước đã có tiền đề gợi ý cho các bài tập sau D¹ng 1: VËn dông trùc tiÕp H§T: Tõ tæng thµnh tÝch, tõ tÝch thµnh tæng VÝ dô: Bµi 1: TÝnh c) (2y -x)( x2 + 2xy + 4y2) a) ( x  )2 b) (2m + d) (a + b + c)2 3n)2 Gi¶i a) ( x  )2 = x2 – 2.x +( ) = x2 - x + b) (2m + 3n)2 = (2m)2 + 2.2m.3n + (3n)2 = 4m2 + 12mn + 9n2 c) (2y -x)( x2 + 2xy + 4y2) = (2y -x)[( 2y)2 + 2yx + x2)] = (2y)3 - x3 = 8y3 - x3 d) (a + b + c)2 = [(a + b) + c]2 = (a + b)2 + 2(a + b)c + c2 = a2 + b2 + c2 + 2ab +2bc + 2ac  L­u ý: - Mét sè häc sinh ch­a nhËn d¹ng ®­îc c¸c tÝch nµy cã d¹ng H§T nªn thực phép nhân đa thức với đa thức để tính Thực bài tập này chính là vận dụng HĐT theo chiều tích -> tổng để phá ngoặc thu gọn đơn thức đồng dạng - HS thường quên không thực đóng ngoặc biểu thức là phân số đơn thức có từ thừa số trở lên đa thức - Ch¼ng h¹n ë c©u a häc sinh kh«ng viÕt ( )2 mµ viÕt 12 , ë c©u b häc sinh không viết (2m)2 mà viết 2m2 dẫn đến sai chất  câu d để vận dụng HĐT phải nhóm các số hạng (Khi gặp bình phương nhiều số hạng) Tương tự câu d ta tính các kết sau: + (a - b + c)2 = a2 + b2 + c2 - 2ab - 2bc + 2ac Người thực : Hoàng Văn Nam Lop8.net Trường THCS Hải Nam Mét sè kinh nghiÖm gi¶ng d¹y " đẳng thức đáng nhớ" + (a - b - c)2 = a2 + b2 + c2 - 2ab + 2bc - 2ac ………… Bµi : ViÕt c¸c tæng sau vÒ d¹ng tÝch: a) -6x + 9x2 + b) -9x2 +6x – c) 8x3 - 6yx2 + 12x2y - y3 Gi¶i a) -6x + 9x2 + = 9x2 - 6x + = (3x)2 - 2.3x.1 + 12 = (3x - 1)2 b) -9x2 +6x - = -(9x2 - 6x + 1) = -(3x - 1)2 c) 8x3 - 6yx2 + 12x2y - y3 = (2x)3 - (2x)2y + 3.(2x) y2 - y3 = (2x - y)3  L­u ý : - ë c©u a, c mét sè häc sinh ch­a nhËn H§T "Èn" biÓu thøc nµy, khéo léo biến đổi thêm bước thì xuất HĐT + Một số trường hợp các biểu thức chưa đúng dạng HĐT mà phải đổi vÞ trÝ h¹ng tö nh­ c©u a, c + Để xuất HĐT phải đổi dấu hạng tử cách đưa các hạng tử vào ngoặc mà trước ngoặc là dấu “-” câu b - Tuy nhiên không phải lúc nào đề bài rõ việc dựa vào HĐT mµ c©u hái kh¸c ®i ch¼ng h¹n: ViÕt tæng thµnh tÝch, tÝnh, tÝnh nhanh, thªm hạng tử vào biểu thức để có HĐT, điền biểu thức thích hợp vào ô vuông,… mấu chốt đây cho biểu thức dạng tích thì tìm cách biến đổi dạng tổng, cho đa thức thì tìm cách biến đổi dạng tích * Phương pháp: - Nhận dạng HĐT, xác định biểu thức thứ nhất, biểu thức thứ hai và viết kết theo đúng công thức đã học - Thùc hiÖn phÐp tÝnh trªn c¸c h¹ng tö cho gän Người thực : Hoàng Văn Nam Lop8.net Trường THCS Hải Nam Mét sè kinh nghiÖm gi¶ng d¹y " đẳng thức đáng nhớ" D¹ng : TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc VÝ dô: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: a) x2 - 4y2 t¹i x = 70, y = 15 b) 742 + 242 - 48.74 Gi¶i a) x2 - 4y2 = x2 - (2y)2 = (x + 2y)(x - 2y) Thay x = 70, y = 15 ta cã : (70 + 2.15)(70 - 2.15) = 100.40 = 4000 b) 742 + 242 - 48.74 = 742 + 242 - 2.24.74 = (74 - 24) = 502 = 2500 * L­u ý : - Không nên thay trực tiếp dùng máy tính để tính * Phương pháp : - Dựa vào HĐT biến đổi biểu thức đã cho theo chiều từ tích -> tổng, từ tæng -> tÝch - Thay số (đối với đa thức) * Më réng: §èi víi häc sinh kh¸ giái gi¸o viªn cã thÓ ®­a mét sè bµi tËp tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc chøa hai biÕn VÝ dô: a, Cho x - y = TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A = x(x + 2) + y(y - 2) - 2xy + 37 Người thực : Hoàng Văn Nam Lop8.net Trường THCS Hải Nam Mét sè kinh nghiÖm gi¶ng d¹y " đẳng thức đáng nhớ" * Hướng suy nghĩ: câu này vận dụng phương pháp tính giá trị biÓu thøc nh­ ë trªn th× kh«ng lµm ®­îc VËy gi¸o viªn gîi ý cho häc sinh biến đổi biểu thức A để xuất lũy thừa x - y Gi¶i: A = x(x + 2) + y(y - 2) - 2xy + 37 = x2 + 2x + y2 -2y - 2xy + 37 = (x2 - 2xy + y2) + (2x - 2y) + 37 = (x - y)2 + 2(x - y) + 37 Thay x - y = ta cã : A = 72 + 2.7 + 37 = 100 b, Cho x + y = vµ x2 + y2 = TÝnh x3 + y3 * Hướng suy nghĩ: Ta có x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy + y2), để tính x3 + y3 thì phải tính xy Giáo viên gợi ý học sinh dựa vào kiện đề bài t×m c¸ch tÝnh ®­îc xy Gi¶i: Tõ x + y = suy (x + y)2 = => x2 + 2xy + y2 = => 2xy = - => xy = Ta cã x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy + y2) = 3(5 - 2) = 3.3 =9 * Lưu ý: Trên sở bài tập trên làm các bài tập tương tự chẳng hạn cho biÕt x -y, x2 + y2 tÝnh x3 - y3 … Người thực : Hoàng Văn Nam 10 Lop8.net Trường THCS Hải Nam Mét sè kinh nghiÖm gi¶ng d¹y " đẳng thức đáng nhớ" D¹ng 3: Rót gän biÓu thøc VÝ dô: Rót gän biÓu thøc sau: a) (x + 3)(x2 - 3x + 9) - (54 +x3) b) (2x + y)(4x2 – 2xy +y2) - (2x - y)(4x2 + 2xy + y2) c) (2x - 1)2 - (2x + 2)2 d) (a + b)3 - 3ab(a + b) Gi¶i: a) (x + 3)(x2 - 3x + 9) - (54 +x3) = x3 + 33 – 54 – x3 = 27 – 54 = 27 * L­u ý: C©u a cã thÓ thay c©u hái lµ “Chøng minh r»ng gi¸ trÞ cña biÓu thøc kh«ng phô thuéc vµo x” ( v× kÕt qu¶ c©u a sau rót gän lµ h»ng sè) b) (2x + y)(4x2 – 2xy +y2) - (2x - y)(4x2 + 2xy + y2) = (2x)3 + y3 – [(2x)3 - y3] = 8x3 + y3 - 8x3 + y3 = y3 *L­u ý : + KÕt qu¶ c©u b kh«ng phô thuéc vµo biÕn x, cã thÓ thay c©u hái : “Chøng minh r»ng gi¸ trÞ cña biÓu thøc kh«ng phô thuéc vµo x” + HS thường không đóng ngoặc kết tích đa thức trước tích là dấu “-” dẫn đến rút gọn sai không viết – [(2x)3 - y3] mà viết – (2x)3 - y3 c) (2x - 1)2 - (2x + 2)2 = 4x2 - 4x + – (4x2 + 8x + 4) = 4x2 - 4x + – 4x2 - 8x - = -12x – *L­u ý : + Biểu thức trên có dạng HĐT “Hiệu hai bình phương” nên có cách thứ nh­ sau: (2x - 1)2 - (2x + 2)2 = [(2x - 1) + (2x + 2)][ (2x - 1) - (2x + 2)] = (2x - + 2x + 2)(2x - - 2x – 2) = (4x + 1)(-3) Người thực : Hoàng Văn Nam 11 Lop8.net Trường THCS Hải Nam Mét sè kinh nghiÖm gi¶ng d¹y " đẳng thức đáng nhớ" = -12x – + Gi¸o viªn cã thÓ hái thªm: * TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc trªn t¹i x = => ®­a vÒ bµi to¸n tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc * NÕu cho -12x – = t×m ®­îc x =? => ®­a vÒ bµi to¸n t×m x d) (a + b)3 - 3ab(a + b) = a3 + a2b + 3a b2 + b3 -3a2b – 3ab2 = a + b3 * Lưu ý : Có thể đưa bài toán chứng minh đẳng thức : (a + b)3 - 3ab(a + b) = a3 + b3 Thực chất chứng minh đẳng thức chính là bài toán rút gọn đã biÕt kÕt qu¶ bëi vËy qua bµi tËp nµy gi¸o viªn cung cÊp cho häc sinh c¸c cách chứng minh đẳng thức Thông thường ta biến đổi vế phức tạp - kết là vế còn lại * Phương pháp: - Xem xÐt xem c¸c h¹ng tö hoÆc tÝch c¸c ®a thøc cã t¹o thµnh H§T hay kh«ng? NÕu cã th× vËn dông H§T theo chiÒu tÝch -> tæng - Thực các phép tính bỏ dấu ngoặc thu gọn các đơn thức đồng d¹ng D¹ng : T×m x VÝ dô : T×m x, biÕt : a) x2 – 2x + = 25 b) x3 – 3x2 = -3x +1 Gi¶i a) x2 – 2x + = 25  (x - 1)2 = 52 (x - 1)2 - 52 = (x - + 5)( x - - 5) = (x + 4)(x - 6) = x + = hoÆc x - = Người thực : Hoàng Văn Nam 12 Lop8.net Trường THCS Hải Nam Mét sè kinh nghiÖm gi¶ng d¹y " đẳng thức đáng nhớ" x = - hoÆc x = VËy x = - ; x = b)  x3 – 3x2 = -3x +1 x3 – 3x2 + 3x – = (x - 1)3 =  x – =0 x=1 VËy x = L­u ý: víi nh÷ng bµi to¸n t×m x sau rót gän hai vÕ ta cã bËc cña biến từ bậc hai trở lên thì tìm cách biến đổi để xuất HĐT theo chiều từ tổng -> tích từ đó vận dụng tích chất lũy thừa để tìm x * Phương pháp : Tæng qu¸t * A = k2 (k  R) A - k2 =  (A - k)(A + k) = A – k =0 hoÆc A + k = A = k hoÆc A = - k * (A + B)3 =  A+B=0 Dạng : Chứng minh giá trị biểu thức luôn dương, luôn âm Ví dụ 1: Chứng minh giá trị biểu thức sau luôn dương với giá trÞ cña biÕn a) A = 4x2 + 4x + b) B = 2x2 - 2x + Gi¶i a) A = 4x2 + 4x + = (2x)2 + 2.2x.1 +1 +1 = (2x + 1)2 + C¸ch 1: NhËn xÐt: (2x + 1)2  víi  x vµ > víi  x Người thực : Hoàng Văn Nam 13 Lop8.net Trường THCS Hải Nam Mét sè kinh nghiÖm gi¶ng d¹y " đẳng thức đáng nhớ" Nªn (2x + 1)2 + > víi  x C¸ch 2: NhËn xÐt : (2x + 1)2  víi  x  (2x + 1)2 +  víi  x => (2x + 1)2 + 1> víi  x Vậy giá trị biểu thức A luôn dương với giá trị biến b) Gợi ý: tìm cách biến đổi biểu thức B xuất HĐT bình phương hiệu B = 2x2 - 2x + = 2(x2 - x + = 2(x2 - ) x + 2 = 2[(x- )2 + = 2(x - )2 + - + ) ] Các bước làm tương tự câu a * Më réng: ë c©u a tõ c¸ch gi¸o viªn hái thªm: + BiÓu thøc A cã gi¸ trÞ b»ng nµo? ( x = - ) + Víi x  th× A cã gi¸ trÞ nh­ thÕ nµo? ( A > 1) Từ đó GV dẫn dắt giá trị nhỏ A là x= - Đó chính là bài to¸n t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc * Phương pháp tìm GTNN (Giá trị nhỏ nhất) f(x): Biến đổi f(x) = a(x + b)2 + m ( a > 0, b và m là số) NhËn xÐt f(x): (x + b)2 > víi  x a(x + b)2 > víi  x a(x + b)2 + m > m víi  x DÊu "=" x¶y  (x + b)2 =  x=  b Người thực : Hoàng Văn Nam 14 Lop8.net Trường THCS Hải Nam Mét sè kinh nghiÖm gi¶ng d¹y " đẳng thức đáng nhớ" Từ đó kết luận giá trị nhỏ f(x) L­u ý: +Với m > thực xong bước nhận xét đã chứng minh giá trị biểu thức luôn dương + §èi víi c¸c biÓu thøc chøa biÕn th× c¸ch t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt hoÆc chứng minh giá trị biểu thức luôn dương hoàn toàn tương tự VÝ dô 2: Chøng minh r»ng gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau lu«n ©m víi mäi gi¸ trÞ cña biÕn B = -15 –x2 + 6x Gi¶i: B = -15 –x2 + 6x = –x2 + 6x - – = - (x2 - 6x + 9) – = - (x -3)2 - C¸ch 1: NhËn xÐt : (x - 3)2  víi  x  - (x - 3)2  víi  x mµ -6 <0 víi  x nªn - (x -3)2 – < víi  x C¸ch 2: NhËn xÐt : (x - 3)2  víi  x  - (x - 3)2  víi  x  - - (x - 3)2  - víi  x => - - (x - 3)2 < víi  x VËy gi¸ trÞ cña biÓu thøc B lu«n ©m víi mäi gi¸ trÞ cña biÕn  Më réng: Tõ c¸ch GV hái thªm : + Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× B cã gi¸ trÞ b»ng -6? (x = 3) + Víi x  th× B cã gi¸ trÞ nh­ thÕ nµo? (B < -6) GV chốt – là giá trị lớn B (khi x = 3), từ đó dẫn dắt đến bài to¸n t×m gi¸ trÞ lín nhÊt * Muốn tìm GTLN ( giá trị lớn nhất) f(x) thì biến đổi : Biến đổi f(x) = a(x + b)2 + m ( a < 0, b và m là số) NhËn xÐt f(x): (x + b)2  víi  x a(x + b)2  víi  x Người thực : Hoàng Văn Nam 15 Lop8.net Trường THCS Hải Nam Mét sè kinh nghiÖm gi¶ng d¹y " đẳng thức đáng nhớ" a(x + b)2 + m  m víi  x DÊu "=" x¶y  (x + b)2 = => x=  b Từ đó kết luận GTLN f(x) * Lưu ý: Nếu m< thì thực xong bước nhận xét đã chứng minh ®­îc gi¸ trÞ biÓu thøc lu«n ©m víi  x IV HiÖu qu¶ cña s¸ng kiÕn kinh nghiÖm: áp dụng số kinh nghiệm giảng dạy "7 đẳng thức đáng nhớ" đã góp phần nâng cao chất lượng môn toán Kết kiểm tra "7 đẳng thức đáng nhớ" thống kê đánh giá qua lớp đại trà trường THCS Hải Nam năm học 2009 – 2010, 2010 2011 sau: a, Ch­a ¸p dông gi¶i ph¸p (n¨m häc 2009 – 2010) ë líp 8B Sè häc sinh §iÓm tõ ->1,5 §iÓm trung b×nh trë lªn §iÓm tõ ->10 35 (14,3%) 16 (45,7%) (17,1%) * Nhận xét: đa số học sinh chưa biến đổi thành thạo các HĐT theo hai chiều, kỹ làm bài còn yếu thường nhầm lẫn dấu nhân đa thức víi ®a thøc, thùc hiÖn bá ngoÆc, chuyÓn vÕ… c¸ biÖt vÉn cßn häc sinh còn nhầm lẫn thu gọn đơn thức đồng dạng b, Sau ¸p dông gi¶i ph¸p (n¨m häc 2010 -2011) ë líp 8C Sè häc sinh §iÓm tõ ->1,5 §iÓm trung b×nh trë lªn §iÓm tõ ->10 45 (0%) 35 (77,8%) 15 (33,3%) *Nhận xét: Hầu hết học sinh đã vận dụng thành thạo các HĐT theo chiều, học sinh đã có kỹ làm bài tốt, không còn nhầm lẫn dấu, tính toán … đã nắm phương pháp giải các dạng bài tập, và nhớ sai lầm thường mắc phải giải các bài tập này Tuy nhiªn cßn mét sè häc sinh thùc sù yÕu kÐm kü n¨ng lµm bµi ch­a ch¾c chắn, việc vận dụng các đẳng thức chưa linh hoạt Vấn đề này tôi tiếp tục có kế hoạch kèm cặp thêm quá trình dạy để nâng cao kỹ giải toán cho các em Người thực : Hoàng Văn Nam 16 Lop8.net Trường THCS Hải Nam Mét sè kinh nghiÖm gi¶ng d¹y " đẳng thức đáng nhớ" Người thực : Hoàng Văn Nam 17 Lop8.net Trường THCS Hải Nam Mét sè kinh nghiÖm gi¶ng d¹y " đẳng thức đáng nhớ" C KÕt luËn Từ thực tế giảng dạy tôi nhận thấy để học sinh nắm vững “7 đẳng thức đáng nhớ”, vận dụng linh hoạt giải toán giáo viên cÇn lµm næi bËt ®­îc viÖc vËn dông theo hai chiÒu : + Biến đổi từ tích -> tổng ( để phá ngoặc) các bài toán rút gọn, chứng minh đẳng thức, tìm x làm sở cho các phép biến đổi phương trình sau nµy + Biến đổi từ tổng -> tích là phương pháp để tính nhẩm, tính nhanh, là phương pháp quan trọng để phân tích đa thức thành nhân tử sau này; làm sở cho các bài toán rút gọn phân thức, quy đồng mẫu các phân thức, và giải phương trình tích các chương sau Việc dạy học“7 đẳng thức đáng nhớ" trường THCS làm tốt các bước trên giúp học sinh định hướng kiến thức cần sử dông, n©ng cao ®­îc kÜ n¨ng lµm bµi cÈn thËn, chÝnh x¸c Người thực : Hoàng Văn Nam 18 Lop8.net Trường THCS Hải Nam Mét sè kinh nghiÖm gi¶ng d¹y " đẳng thức đáng nhớ" D ý kiến đề xuất - Đối với học sinh đại trà đặc biệt là học sinh yếu kém ngoài học trên lớp nên có buổi học phụ đạo riêng liên tục để nâng dần kü n¨ng lµm bµi cña c¸c em - Nên đưa các phương tiện dạy học đại có ứng dụng công nghệ thông tin giảng dạy để gây hứng thú học tập học sinh - Phòng giáo dục nên tiếp tục tổ chức buổi học tập chuyên đề trao đổi chuyên môn Cung cấp và phổ biến sáng kiến kinh nghiệm hay để giáo viên tham khảo và học hỏi Trªn ®©y lµ mét sè ý kiÕn chñ quan cña t«i vÒ viÖc gi¶ng d¹y “7 đẳng thức đáng nhớ" cho có hiệu cao, chắn chưa thể hoàn thiÖn Vậy tôi mong nhận ý kiến đóng góp các đồng nghiệp để chất lượng môn toán ngày càng nâng cao T«i xin tr©n thµnh c¶m ¬n! H¶i Nam, ngµy 03 th¸ng 01 n¨m 2011 Người viết Hoµng V¨n Nam ý kiến đánh giá ý kiến đánh giá cña tæ chuyªn m«n Của Hội Đồng Khoa học Nhà Trường Người thực : Hoàng Văn Nam 19 Lop8.net Trường THCS Hải Nam