Khi đó, fx có một nhân tử là x – a và fx có thể viết dưới dạng fx = x – a.qx Lúc đó tách các số hạng của fx thành các nhóm, mỗi nhóm đều chứa nhân tử là rằng, nghiệm nguyên của đa thức, [r]
(1)Chuyên đề: KỸ THUẬT PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ A CÁC PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN Phương pháp đặt nhân tử chung - Tìm nhân tử chung là đơn, đa thức có mặt tất các hạng tử - Phân tích hạng tử thành tích nhân tử chung và nhân tử khác - Viết nhân tử chung ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại hạng tử vào dấu ngoặc (kể dấu chúng) Ví dụ Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 28a2b2 - 21ab2 + 14a2b = 7ab(4ab - 3b + 2a) 2x(y – z) + 5y(z –y ) = 2(y - z) – 5y(y - z) = (y – z)(2 - 5y) xm + xm + = xm (x3 + 1) = xm( x+ 1)(x2 – x + 1) Phương pháp dùng đẳng thức - Dùng các đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử - Cần chú ý đến việc vận dụng đẳng thức Ví dụ Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 9x2 – = (3x)2 – 22 = ( 3x– 2)(3x + 2) – 27a3b6 = 23 – (3ab2)3 = (2 – 3ab2)( + 6ab2 + 9a2b4) 25x4 – 10x2y + y2 = (5x2 – y)2 Phương pháp nhóm nhiều hạng tử – Kết hợp các hạng tử thích hợp thành nhóm – Áp dụng liên tiếp các phương pháp đặt nhân tử chung dùng đẳng thức Ví dụ Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a/ 2x3 – 3x2 + 2x – = ( 2x3 + 2x) – (3x2 + 3) = 2x(x2 + 1) – 3( x2 + 1) = ( x2 + 1)( 2x – 3) b/ x2 – 2xy + y2 – 16 = (x – y)2 - 42 = ( x – y – 4)( x –y + 4) Phối hợp nhiều phương pháp - Chọn các phương pháp theo thứ tự ưu tiên - Đặt nhân tử chung - Dùng đẳng thức - Nhóm nhiều hạng tử Ví dụ Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a/ 3xy2 – 12xy + 12x = 3x(y2 – 4y + 4) = 3x(y – 2)2 b/ 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6axy2 – 3a2xy + 3xy =3xy(x2 – 2y – y2 – 2ay – a2 + 1) = 3xy[( x2 – 2x + 1) – (y2 + 2ay + a2)] = 3xy[(x – 1)2 – (y + a)2] = 3xy[(x – 1) – (y + a)][(x – 1) + (y + a)] = 3xy( x –1 – y – a)(x – + y + a) B MỘT SỐ KỸ THUẬT PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ I Phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử - Tàch hạng tử đa thức đã cho thành tổng hai hay nhiều hạng tử thích hợp để đưa dạng sử dụng các phương pháp đã học Đối với tam thức bậc hai: ax bx c Lop8.net (2) - Cách 1: Làm xuất các hệ số tỉ lệ, nhờ đó làm xuất nhân tử chung ( thường tách hạng tử thứ ) + Để phân tích ax bx c thành nhân tử, ta tách bx b1 x b2 x cho b1 c b1 b2 a.c a b2 + Cách làm Bước 1: Tìm tích a.c Bước 2: Phân tích a.c thành tích hai thừa số nguyên cách Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng b - Cách 2: Làm xuất hiệu hai bình phương ( thường tách hạng tử ) - Cach 3: Một số tam thức bậc hai ax bx c có dạng đặc biệt c + Nếu a + b + c = thì ax bx c ax 1 x x 1ax c a + Nếu a –b + c = thì ax bx c ax 1 x c x 1ax c a * Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử theo nhiều cách a/ x x b/ x x d/ x x e/ x x c/ x x 12 Đối với đa thức bậc trở lên ( tham khảo phương pháp nhẩm nghiệm IV) - Tìm nghiệm đa thức: + Số a gọi là nghiệm đa thức f(x) f(a) = + Nếu đa thức f(x) có nghiệm nguyên, thì nghiệm nguyên đó luôn là ước hệ số tự + Nếu đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ, thì nghiệm phải có dạng p đó p là ước hệ số tự do, q là q ước dương hệ số cao - Nếu đa thức f(x) có nghiệm x = a thì nó chứa nhân tử ( x – a ) Ví dụ: a/ f x x x b/ f x x x 17 x - Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số thì là nghiệm đa thức đó, hay đa thức đó chứa nhân tử là x – Ví dụ: x x x - Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số hạng tử bậc chẵn tổng các hệ số hạng tử bậc lẻ thì -1 là nghiệm đa thức, hay đa thức đó chứa nhân tử x + Ví dụ: x x x * Áp dụng: Ví dụ Phân tích đa thức f(x) = 3x2 + 8x + thành nhân tử Phân tích ac = 12 = 3.4 = (–3).(–4) = 2.6 = (–2).(–6) = 1.12 = (–1).(–12) Tích hai thừa số có tổng b = là tích a.c = 2.6 (a.c = ai.ci) Tách 8x = 2x + 6x (bx = aix + cix) Lời giải :3x2 + 8x + = 3x2 + 2x + 6x + = (3x2 + 2x) + (6x + 4)= x(3x + 2) + 2(3x + 2) = (x + 2)(3x +2) Lop8.net (3) b) Cách (tách hạng tử bậc hai ax2) Làm xuất hiệu hai bình phương f(x) = (4x2 + 8x + 4) – x2 = (2x + 2)2 – x2 = (2x + – x)(2x + + x) = (x + 2)(3x + 2) c) Cách 3: Tách thành số hạng nhóm : f(x) = 4x2 – x2 + 8x + = (4x2 + 8x) – ( x2 – 4) = 4x(x + 2) – (x – 2)(x + 2) = (x + 2)(3x + 2) d) Cách 4: (tách hạng tử tự c) Tách thành số hạng nhóm thành hai nhóm: f(x) = 3x2 + 8x + 16 – 12 = (3x2 – 12) + (8x + 16) = … = (x + 2)(3x + 2) e) Cách (tách số hạng, số hạng) f(x) = (3x2 + 12x + 12) – (4x + 8) = 3(x + 2)2 – 4(x + 2) = (x + 2)(3x – 2) f(x) = (x2 + 4x + 4) + (2x2 + 4x) = … = (x + 2)(3x + 2) f)Cách (nhẩm nghiệm): ( Xem phần IV) Chú ý : Nếu f(x) = ax2 + bx + c có dạng A2 ± 2AB + c thì ta tách sau : f(x) = A2 ± 2AB + B2 – B2 + c = (A ± B)2 – (B2 – c) Ví dụ Phân tích đa thức f(x) = 4x2 - 4x - thành nhân tử Ta thấy 4x2 - 4x = (2x)2 - 2.2x Từ đó ta cần thêm và bớt 12 = để xuất đẳng thức Lời giải: f(x) = (4x2 – 4x + 1) – = (2x – 1)2 – 22 = (2x – 3)(2x + 1) Ví dụ Phân tích đa thức f(x) = 9x2 + 12x – thành nhân tử Lời giải Cách : f(x) = 9x2 – 3x + 15x – = (9x2 – 3x) + (15x – 5) = 3x(3x –1) + 5(3x – 1) = (3x – 1)(3x + 5) Cách : f(x) = (9x2 + 12x + 4) – = (3x + 2)2 – 32 = (3x – 1)(3x + 5) Ví dụ Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) 2x2 - 5xy + 2y2 ; b) x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) Hướng dẫn a) Phân tích đa thức này tương tự phân tích đa thức f(x) = ax2 + bx + c Ta tách hạng tử thứ : 2x2 - 5xy + 2y2 = (2x2 - 4xy) - (xy - 2y2) = 2x(x - 2y) - y(x - 2y) = (x - 2y)(2x - y) a) Nhận xét z - x = -(y - z) - (x - y) Vì ta tách hạng tử thứ hai đa thức : x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = x2(y - z) - y2(y - z) - y2(x - y) + z2(x - y) = = (y - z)(x2 - y2) - (x - y)(y2 - z2) = (y - z)(x - y)(x + y) - (x - y)(y - z)(y + z) = (x - y)(y - z)(x - z) Chú ý : Lop8.net (4) 1) Ở câu b) ta có thể tách y - z = - (x - y) - (z - x) (hoặc z - x= - (y - z) - (x - y)) 2) Đa thức câu b) là đa thức có dạng đa thức đặc biệt Khi ta thay x = y (y = z z = x) vào đa thức thì giá trị đa thức Vì vậy, ngoài cách phân tích cách tách trên, ta còn cách phân tích cách xét giá trị riêng ( Phương pháp VI) II Phương pháp thêm và bớt cùng hạng tử Thêm và bớt cùng hạng tử để làm xuất hiệu hai bình phương Ví dụ: x 81 x 36 x 81 36 x x 6 x x x x x 2 Thêm và bớt hạng tử để xuất nhân tử chung Ví dụ: x x Cách 1: x5 x 1 x5 x4 x3 x3 x2 x2 x 1 x3 x2 x x2 x2 x x2 x x x 1 x x 1 Cách 2: x5 x 1 x5 x2 x2 x 1 x x 1x x 1 1 x x 1x x 1 x2 x3 x2 x 2 * Áp dụng: Ví dụ Phân tích đa thức x4 + x2 + thành nhân tử Lời giải Cách : x4 + x2 + = (x4 + 2x2 + 1) – x2 = (x2 + 1)2 – x2 = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1) Cách : x4 + x2 + = (x4 – x3 + x2) + (x3 + 1) = x2(x2 – x + 1) + (x + 1)(x2 – x + 1) = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1) Cách : x4 + x2 + = (x4 + x3 + x2) – (x3 – 1) = x2(x2 + x + 1) + (x – 1)(x2 + x + 1) = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1) Ví dụ Phân tích đa thức x4 + 16 thành nhân tử Lời giải Cách : x4 + = (x4 + 4x2 + 4) – 4x2 = (x2 + 2)2 – (2x)2 = (x2 – 2x + 2)(x2 + 2x + 2) Cách : x4 + = (x4 + 2x3 + 2x2) – (2x3 + 4x2 + 4x) + (2x2 + 4x + 4) = (x2 – 2x + 2)(x2 + 2x + 2) Ví dụ Phân tích đa thức x5 + x - thành nhân tử Lời giải Cách x5 + x - = x5 - x4 + x3 + x4 - x3 + x2 - x2 + x - = x3(x2 - x + 1) - x2(x2 - x + 1) - (x2 - x + 1)= (x2 - x + 1)(x3 - x2 - 1) Cách Thêm và bớt x2 : Lop8.net (5) x5 + x - = x5 + x2 - x2 + x - = x2(x3 + 1) - (x2 - x + 1) = (x2 - x + 1)[x2(x + 1) - 1] = (x2 - x + 1)(x3 - x2 - 1) Ví dụ Phân tích đa thức x7 + x + thành nhân tử Lời giải x7 + x2 + = x7 – x + x2 + x + = x(x6 – 1) + (x2 + x + 1) = x(x3 – 1)(x3 + 1) + (x2+ x + 1) = x(x3 + 1)(x - 1)(x2 + x + 1) + ( x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x5 - x4 – x2 - x + 1) Lưu ý : Các đa thức dạng x3m + + x3n + + x7 + x2 + 1, x4 + x5 + chứa nhân tử là x2 + x + III Phương pháp đổi biến ( đặt biến phụ ) Một số bài toán phân tích đa thức thành nhân tử mà đó đa thức đã cho có biểu thức xuất nhiều lần, ta đặt biểu thức làm biến phụ từ đó đưa đa thức đơn giản Phân tích đa thức này thành nhân tử lại thay cũ vào và tiếp tục Ví dụ: A xx x x 10 128 x 10 x x 10 x 24 128 Đặt: y x 10 x 12 , ta có y 12y 12 128 y 16 y 4y 4 x 10 x 16x 10 x 8 x 2x 8x 10 x 8 Ví dụ 1 B x x x x x x x x x 6 x x x x x Đặt x 1 y y x Do đó x x B x y y x y 3 xy x 2 2 2 1 x x x x x x Cách 2: A x x x x x x x 3 x 1 3 x 1 x x 2 * Áp dụng: Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 Lời giải x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = (x2 + 10x)(x2 + 10x + 24) + 128 Đặt x2 + 10x + 12 = y, đa thức đã cho có dạng : (y - 12)(y + 12) + 128 = y2 - 16 = (y + 4)(y - 4) = (x2 + 10x + 16)(x2 + 10x + 8) = (x + 2)(x + 8)(x2 + 10x + 8) Nhận xét: Nhờ phương pháp đổi biến ta đã đưa đa thức bậc x thành đa thức bậc y Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử : A = x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + Lời giải Cách Giả sử x ≠ Ta viết đa thức dạng : Lop8.net (6) Đặt thì Do đó : A = x2(y2 + + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + 3x)2 = = (x2 + 3x - 1)2 Dạng phân tích này đúng với x = Cách A = x4 + 6x3 - 2x2 + 9x2 - 6x + = x4 + (6x3 -2x2) + (9x2 - 6x + 1) = x4 + 2x2(3x - 1) + (3x - 1)2 = (x2 + 3x - 1)2 IV Phương pháp nhẩm nghiệm Định lí : Nếu f(x) có nghiệm x = a thì f(a) = Khi đó, f(x) có nhân tử là x – a và f(x) có thể viết dạng f(x) = (x – a).q(x) Lúc đó tách các số hạng f(x) thành các nhóm, nhóm chứa nhân tử là rằng, nghiệm nguyên đa thức, có, phải là ước hệ số tự x – a Cũng cần lưu ý Ví dụ Phân tích đa thức f(x) = x3 + x2 + thành nhân tử Lời giải Lần lượt kiểm tra với x = ± 1, ± 2, 4, ta thấy f(–2) = (–2)3 + (–2)2 + = Đa thức f(x) có nghiệm x = –2, đó nó chứa nhân tử là x + Từ đó, ta tách sau Cách : f(x) = x3 + 2x2 – x2 + = (x3 + 2x2) – (x2 – 4) = x2(x + 2) – (x – 2)(x + 2)= (x + 2)(x2 – x + 2) Cách : f(x) = (x3 + 8) + (x2 – 4) = (x + 2)(x2 – 2x + 4) + (x – 2)(x + 2)= (x + 2)(x2 – x + 2) Cách : f(x) = (x3 + 4x2 + 4x) – (3x2 + 6x) + (2x + 4)= x(x + 2)2 – 3x(x + 2) + 2(x + 2) = (x + 2)(x2 – x + 2) Cách : f(x) = (x3 – x2 + 2x) + (2x2 – 2x + 4) = x(x2 – x + 2) + 2(x2 – x + 2)= (x + 2)(x2 – x + 2) Từ định lí trên, ta có các hệ sau : Hệ Nếu f(x) có tổng các hệ số thì f(x) có nghiệm là x = Từ đó f(x) có nhân tử là x – Chẳng hạn, đa thức x3 – 5x2 + 8x – có + (–5) + + (–4) = nên x = là nghiệm đa thức Đa thức có nhân tử là x – Ta phân tích sau : f(x) = (x3 – x2) – (4x2 – 4x) + (4x – 4) = x2(x – 1) – 4x(x – 1) + 4(x – 1) = (x – 1)( x – 2)2 Hệ Nếu f(x) có tổng các hệ số các luỹ thừa bậc chẵn tổng các hệ số các luỹ thừa bậc lẻ thì f(x) có nghiệm x = –1 Từ đó f(x) có nhân tử là x + Chẳng hạn, đa thức x3 – 5x2 + 3x + có + = –5 + nên x = –1 là nghiệm đa thức Đa thức có nhân tử là x + Ta phân tích sau : f(x) = (x3 + x2) – (6x2 + 6x) + (9x + 9) = x2(x + 1) – 6x(x + 1) + 9(x + 1) Lop8.net (7) = (x + 1)( x – 3)2 Hệ Nếu f(x) có nghiệm nguyên x = a và f(1) và f(–1) khác thì và là số nguyên Ví dụ Phân tích đa thức f(x) = 4x3 - 13x2 + 9x - 18 thành nhân tử Hướng dẫn Các ước 18 là ± 1, ± 2, ± 3, ± 6, ± 9, ± 18 f(1) = –18, f(–1) = –44, nên ± không phải là nghiệm f(x) Dễ thấy không là số nguyên nên –3, ± 6, ± 9, ± 18 không là nghiệm f(x) Chỉ còn –2 và Kiểm tra ta thấy là nghiệm f(x) Do đó, ta tách các hạng tử sau : = (x – 3)(4x2 – x + 6) Hệ Nếu ( là các số nguyên) có nghiệm hữu tỉ ước a0, q là ước dương an , đó p, q Z và (p , q)=1, thì p là Ví dụ Phân tích đa thức f(x) = 3x3 - 7x2 + 17x - thành nhân tử Hướng dẫn Các ước –5 là ± 1, ± Thử trực tiếp ta thấy các số này không là nghiệm f(x) Như f(x) không có nghiệm nghuyên Xét các số Ta phân tích sau : , ta thấy là nghiệm đa thức, đó đa thức có nhân tử là 3x – f(x) = (3x3 – x2) – (6x2 – 2x) + (15x – 5) = (3x – 1)(x2 – 2x + 5) V Phương pháp hệ số bất định Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x4 - 6x3 + 12x2 - 14x - Lời giải Thử với x= ±1; ±3 không là nghiệm đa thức, đa thức không có nghiệm nguyên không có nghiệm hữu tỷ Như đa thức trên phân tích thành nhân tử thì phải có dạng (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 +(a + c)x3 + (ac+b+d)x2 + (ad+bc)x + bd = x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + Đồng các hệ số ta : Xét bd= với b, d thuộ Z, b thuộc {± 1, ± 3} Với b = thì d = 1, hệ điều kiện trên trở thành Lop8.net (8) 2c = -14 - (-6) = -8 Do đó c = -4, a = -2 Vậy x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1) VI Phương pháp xét giá trị riêng Trong phương pháp này, trước hết ta xác định dạng các nhân tử chứa biến đa thức, gán cho các biến các giá trị cụ thể để xác định các nhân tử còn lại Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử : P = x2(y – z) + y2(z – x) + z(x – y) Lời giải Thay x y thì P = y2(y – z) + y2( z – y) = Như P chứa thừa số (x – y) Ta thấy thay x y, thay y z, thay z x thì p không đổi (đa thức P có thể hoán vị vòng quanh) Do đó P đã chứa thừa số (x – y) thì chứa thừa số (y – z), (z – x) Vậy P có dạng k(x – y)(y – z)(z – x) Ta thấy k phải là số vì P có bậc tập hợp các biến x, y, z, còn tích (x – y)(y – z)(z – x) có bậc tập hợp các biến x, y, z Vì đẳng thức x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) = k(x – y)(y – z)(z – x) đúng với x, y, z nên ta gán cho các biến x ,y, z các giá trị riêng, chẳng hạn x = 2, y = 1, z = ta được: 4.1 + 1.(–2) + = k.1.1.(–2) suy k =1 Vậy P = –(x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)(x – z) VII Phương pháp đưa số đa thức đặc biệt Đưa đa thức : a3 + b3 + c3 - 3abc Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) a3 + b3 + c3 - 3abc b) (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 Lời giải a) a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b)3 - 3a2b - 3ab2 + c3 - 3abc = [(a + b)3 + c3] - 3ab(a + b + c) = (a + b + c)[(a + b)2 - (a + b)c + c2] - 3ab(a + b + c) = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc -ca) b) Đặt x - y = a, y - z = b, z - x = c thì a + b + c Theo câu a) ta có : a3 + b3 + c3 - 3abc = Þ a3 + b3 + c3 = 3abc Vậy (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 = 3(x - y)(y - z)(z - x) Đưa đa thức : (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử : Lop8.net (9) a) (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 b) 8(x + y + z)3 - (x + y)3 - (y + z)3 - (z + x)3 Lời giải a) (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = [(a + b) + c]3 - a3 - b3 - c3 = (a + b)3 + c3 + 3c(a + b)(a + b + c) - a3 - b3 - c3 = (a + b)3 + 3c(a + b)(a + b + c) - (a + b)(a2 - ab + b2) = (a + b)[(a + b)2 + 3c(a + b + c) - (a2 - ab + b2)] = 3(a + b)(ab + bc + ca + c2) = 3(a + b)[b(a + c) + c(a + c)] = 3(a + b)(b + c)(c + a) b) Đặt x + y = a, y + z = b, z + x = c thì a + b + c = 2(a + b + c) Đa thức đã cho có dạng : (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 Theo kết câu a) ta có : (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a) Hay 8(x + y + z)3 - (x + y)3 - (y + z)3 - (z + x)3 = 3(x + 2y + z)(y + 2z + x)(z + 2x + y) LUYỆN TẬP Bài tập 1: Phân tích đa thức thành nhân tử 16x3y + 0,25yz3 21 (a + b + c)2 + (a + b – c)2 – 4c2 x – 4x3 + 4x2 22 4a2b2 – (a2 + b2 – c2)2 2ab2 – a2b – b3 23 a + b4 + c4 – 2a2b2 – 2b2c2 – 2a2c2 a + a2b – ab2 – b3 24 a(b3 – c3) + b(c3 – a3) + c(a3 – b3) x + x2 – 4x - 25 a – a4 + 2a3 + 2a2 x – x2 – x + 26 (a + b)3 – (a – b)3 x + x3 + x2 - 27 X – 3x2 + 3x – – y3 x 2y2 + – x2 – y2 28 X m + + xm + – x - 10 x – x2 + 2x - 29 (x + y)3 – x3 – y3 11 3a – 3b + a2 – 2ab + b2 30 (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 12 a + 2ab + b2 – 2a – 2b + 31 (b – c)3 + (c – a)3 + (a – b)3 13 a – b2 – 4a + 4b 32 x3 + y3+ z3 – 3xyz 14 a – b3 – 3a + 3b 33 (x + y)5 – x5 – y5 Lop8.net (10) 15 x + 3x2 – 3x - 34 (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 – (y2 + z2)3 16 x – 3x2 – 3x + 17 x – 4x2 + 4x - 18 4a2b2 – (a2 + b2 – 1)2 19 (xy + 4)2 – (2x + 2y)2 20 (a2 + b2 + ab)2 – a2b2 – b2c2 – c2a2 Bài tập 2: Phân tích đa thức thành nhân tử x2 – 6x + 23 x3 – 5x2y – 14xy2 x2 – 7xy + 10y2 24 x4 – 7x2 + a2 – 5a - 14 25 4x4 – 12x2 + 2m2 + 10m + 26 x2 + 8x + 4p2 – 36p + 56 27 x2 – 13x + 36 x3 – 5x2 – 14x 28 x2 + 3x – 18 a4 + a + 29 x2 – 5x – 24 a4 + a – 30 3x2 – 16x + x4 + 4x2 + 31 8x2 + 30x + 10 x3 – 10x - 12 32 2x2 – 5x – 12 11 x3 – 7x - 33 6x2 – 7x – 20 12 x2 – 7x + 12 34 x2 – 7x + 10 13 x2 – 5x – 14 35 x2 – 10x + 16 14 x2 – 3x – 36 3x2 – 14x + 11 15 x2 – 7x + 37 5x2 + 8x – 13 16 x2 – 7x + 38 x2 + 19x + 60 17 6x3 – 17x2 + 14x – 39 x4 + 4x2 - 18 4x3 – 25x2 – 53x – 24 40 x3 – 19x + 30 19 x4 – 34x2 + 225 41 x3 + 9x2 + 26x + 24 20 4x4 – 37x2 + 42 4x2 – 17xy + 13y2 Lop8.net 10 (11) 21 x4 + 3x3 + x2 – 12x - 20 43 - 7x2 + 5xy + 12y2 22 2x4 + 5x3 + 13x2 + 25x + 15 44 x3 + 4x2 – 31x - 70 Bài tập 3: Phân tích đa thức thành nhân tử x4 + x2 + 17 x5 - x4 - x4 – 3x2 + 18 x12 – 3x6 + x4 + 3x2 + 19 x8 - 3x4 + 2x4 – x2 – 20 a5 + a4 + a3 + a2 + a + x4y4 + 21 m3 – 6m2 + 11m - 6 x4y4 + 64 22 x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + x4y4 + 23 x3 + 4x2 – 29x + 24 32x4 + 24 x10 + x8 + x6 + x4 + x2 + x4 + 4y4 25 x7 + x5 + x4 + x3 + x2 + 10 x7 + x2 + 26 x5 – x4 – x3 – x2 – x - 11 x8 + x + 27 x8 + x6 + x4 + x2 + 12 x8 + x7 + 28 x9 – x7 – x6 – x5 + x4 + x3 + x2 + 13.x8 + 3x4 + 29 a(b3 – c3) + b(c3 – a3) + c(a3 – b3) 14 x10 + x5 + 15 x5 + x + 16 x5 + x4 + Bài tập 4: Phân tích đa thức thành nhân tử x2 + 2xy – 8y2 + 2xz + 14yz – 3z2 3x2 – 22xy – 4x + 8y + 7y2 + 12x2 + 5x – 12y2 + 12y – 10xy – 2x2 – 7xy + 3y2 + 5xz – 5yz + 2z2 x2 + 3xy + 2y2 + 3xz + 5yz + 2z2 x2 – 8xy + 15y2 + 2x – 4y – x4 – 13x2 + 36 Lop8.net 11 (12) x4 + 3x2 – 2x + x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + Bài tập 5: Phân tích đa thức thành nhân tử: (a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3 (a – x)y3 – (a – y)x3 – (x – y)a3 x(y2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2) (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 3x5 – 10x4 – 8x3 – 3x2 + 10x + 5x4 + 24x3 – 15x2 – 118x + 24 15x3 + 29x2 – 8x – 12 x4 – 6x3 + 7x2 + 6x – x3 + 9x2 + 26x + 24 Bài tập 6: Phân tích đa thức thành nhân tử a(b + c)(b2 – c2) + b(a + c)(a2 – c2) + c(a + b)(a2 – b2) ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a) a(b2 – c2) – b(a2 – c2) + c(a2 – b2) (x – y)5 + (y – z)5 + (z – x)5 (x + y)7 – x7 – y7 ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) + abc (x + y + z)5 – x5 – y5 – z5 a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) + 2abc a3(b – c) + b3(c – a) + c3(a – b) 10 abc – (ab + bc + ac) + (a + b + c) – Bài tập 7: Phân tích đa thức thành nhân tử (x2 + x)2 + 4x2 + 4x – 12 (x2 + 4x + 8)2 + 3x(x2 + 4x + 8) + 2x2 (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24 (x2 + 2x)2 + 9x2 + 18x + 20 x2 – 4xy + 4y2 – 2x + 4y – 35 (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) + 16 (x2 + x)2 + 4(x2 + x) – 12 4(x2 + 15x + 50)(x2 + 18x + 72) – 3x2 Lop8.net 12 (13)