Chuyên đề rút gọn phân thức - THCS.TOANMATH.com

Sử dụng các tính chất cơ bản của phân thức đã học để rút gọn phân thức đã cho sao cho không còn các ẩn ( x,y …đề bài yêu cầu không phụ thuộc ).. Bài 8: Chứng minh biểu thức không phụ th[r]

(1)

RÚT GỌN PHÂN THỨC

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Để rút gọn phân thức cho trước ta làm sau:

Bước Sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để biến đổi tử mẫu phân thức;

Bước Sử dụng tính chất phân thức học để rút gọn phân thức cho

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

A.DẠNG BÀI MINH HỌA

Dạng Rút gọn phân thức

Phương pháp giải: Thực theo hai bước:

Bước Phân tích tử thức mẫu thức thành nhân tử;

Bước Rút gọn cách triệt tiêu nhân tử chung

Bài 1: Rút gọn phân thức

3

17 34

xy z A

x y z



2

4

y xy B

xy y

 



2

25 x C

x x  



2

x xz xy yz D

x xz xy yz

  



  

 

 2

45

15

x x

E

x x  



2

3 3 3

y x

G

x x y xy y

 

  

4

2

ax a x A

a ax x

 

 

3

6

x x x

B

x x

 





2

2a 2ab C

ac ad bc bd 



  

 2 2

2

4

9

x a x

D

a x ax

 



 

  

2

y x x y

E

x y y x

 



 

2

3

1

x x

F x

 



(2)

3

2

5

4 10

x x x

A

x x

 



  

2

3 2

3

2

x xy y

B

x x y xy y

 



    

2 2

a b c

C

a b c

 



 

2 2

2

a b c ab

D

a b c ac

  



           

3 3

2 2

b c c a a b

F

a b c b c a c a b

    



    

Dạng 2: Chứng minh đẳng thức

Phương pháp giải: Thực tương tự bước chứng minh đẳng thức học CD CD2

Bài 4: Chứng minh đẳng thức

2

3

)

2

x a

x x x

 

  

2

3

2

)

4 12

x x

b

x x x x

 

  

5

4

1

)

1 x

a x x x x

x

     



2

2 )

2

x xy y x y

b

x xy y x y

  



  

Dạng 3: Rút gọn biểu thức với điều kiện cho trước

Bước Sử dụng tính chất phân thức học để rút gọn phân thức cho

Bài 6: Cho x y z

a   b c Rút gọn biểu thức

  

 

2 2 2

2

x y z a b c

ax by cz

   

 

(3)

     

2 2

ax by cz

A

bc y z ac x z ab x y

 



    

Dạng 4: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến x

Bước Sử dụng tính chất phân thức học để rút gọn phân thức cho cho khơng cịn ẩn ( x,y …đề yêu cầu không phụ thuộc )

Bài 8: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biếnx

  

2

x y

A

x y ay ax  

 

2 3

4

ax x y ay

B

ax x y ay

  



  

Bài 9: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến x y,

2

9 3 2

; ;

1 3

x xy x y

x y

      

 

Dạng 5: Bài toán nâng cao

Bài 10: Cho x y Chứng minh

2

x y x y

  

(4)

HƯỚNG DẪN

Dạng 1: Rút gọn phân thức

Bài 1:

3

3 2

17

34

xy z yz A

x y z x

      2

4 7

y xy B

xy y

y x y y x

y x y x y

               2 25

5 5

5 x

C

x x

x x x

                 2

x xz xy yz D

x xz xy yz

x z x y x y

                

 2

45 3

3 15 x x E x x x             2

3 2

3

y x

G

x x y xy y

x y x y x y

x y x y

              Bài 2:        4 2 3 2 2 2

ax a x A

a ax x

ax x a

a ax x

ax x a a ax x

a ax x

ax x a                           3 2 6 2

x x x

B

x x

x x x

x x

x x x

x x                            2 2 2 a ab C

ac ad bc bd a a b

a c d b c d

a a b c d a b

a c d                               2 2 2 2 3

x a x

D

a x ax

x a x x a x

a ax x

x a a x x a a x x a                                      2 2 2 2 2 2 2

y x x y

E

x y y x

xy x y

xy y x

xy x y

xy y x

                            2 1 1 x x F x x x

x x x

(5)

Bài 3:               2 2

4 10

5

2

2 2

3

2

x x x

A

x x

x x x x

x x

x x x

x x x x x                                                2

3 2

2 2 2 2 2 2 2 2

x xy y

B

x x y xy y

x y x y

x x y y x y

x y x y

x y x y x y

x y

x y x y

                                2

a b c

C

a b c a b c a b c

a b c a b c

                        

2 2

2 2 2 2 2

a b c ab

D

a b c ac

a ab b c

a ac c b

a b c

a c b

a b c a b c a b c a b c a b c

a b c

                                                                              

3 3

2 2

2 2 2

2 2

3 3

b c c a a b

F

a b c b c a c a b

Mau a b c b c a c a b

a b c b c b a ac bc

a b c bc b c a b c

b c a a b c a b

b c a c a b

b c c a a b

F

a b b c c a

                                                  

Ta có nhận xét

Nếu x y z   0 x3y3z3 3xyz

Đặt b c x c a  ;   y a b z;  

0 x y z  

3 3 3

3

x y z xyz

F

xyz xyz

 

    

(6)

 

  

2

3

)

2

3

2 2 3

x a

x x x

x x

VP VT

x x x x x

 

  

 

   

    

 

      

2

3

2

3 2

2

)

4 12

2 3

2

7 12 12 4

x x

b

x x x x

x x

VP VT

x x x x x x x x x x

 

  

 



    

      

5

4

1

)

1 x

a x x x x

x

     



Thực phép chia đa thức

  

5 1 1 1

x   x x x x  x

  

2

2 2

2 )

2

2 2

x xy y x y

b

x xy y x y

x y x y

x xy y x xy xy y x y

VT

x xy y x xy xy y x y x y x y

VT VP dpcm

   

  

 

     

   

       

 

Bài 7: Cho x y z

a   b c rút gọn biểu thức

  

 

2 2 2

2

x y z a b c

ax by cz

   

 

Đặt x y z k x ka y kb z kc; ;

(7)

  

 

  

 

2 2 2

2

2 2 2 2 2

2

2 2

2

2 2

1

x y z a b c

ax by cz

k a k b k c a b c

aka bkb ckc

k a b c

   

 

   



 



 



Bài 8: Cho ax by cz  0 rút gọn phân thức

     

2 2

ax by cz

A

 



    

Áp dụng đẳng thức x y z  2 x2y2z22xy yz zx  

   

  

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

0

2

ax by cz ax by cz a x b y c z axby axcz bycz

a x b y c z axby axcz bycz

             

      

Biến đổi mẫu thức

     

 

2 2

2 2 2

2 (2)

bcy bcz acx acz abx aby abxy acxz bcyz

    

        

Thay (1) vào (2) mẫu thức

     

  

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2

bcy acx c z bcz abx b y acz aby a x

c by ax cz b cz ax by a cz by ax

cz by ax a b c

       

        

    

Vậy A

a b c 

 

Dạng 4: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến x

(8)

  

2

1

x y

A

x y ay ax x y x y a x y y x

x y x y a x y x y

a

 

 



 



  

 

  

2 3

4

1

2 3

1

2

ax x y ay

B

ax x y ay

a x y

x y a

a x

  



  

 



 

 



Bài 10: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến x y,

  

     

    

2

9 3 2

; ;

1 3

3 3

3 1

3

1

3

1

x xy x y

x y

x x x y y

x y

x

y

x x

   

  

 

    

 

  

 

   



    



Bài 11:cho x y chứng minh

2

x y x y

 



 

Do x y 0nên x y 0

Theo tính chất phân thức, ta có

  

    

2 2

x y x y

x y x y x y

x y x y x y x y x xy y

 

     

(9)

Mặt khác x y 0nênx22xy y x2y2

Vậy

2 2

2 2 2 2(2)

(1)(2)

x y x y

x xy y x y

dpcm

  

  



B.PHIẾU TỰ LUYỆN

Dạng 1: Rút gọn phân thức

Bài 1: Rút gọn phân thức sau

a)

5 2

14 21

x y z

x y z b)

    25 30

x y x xy x



 c)

 

 3

3

12

x x

x 

 d)

 

3

60

45

xy x

 

a) 62 12

24 48

x

x x



 b)

    2 2

y x x

x y y



 c)

3 yx xy x xy 

 d)

2

3

48 12

64

y y y

y

 



a) 52 3

4

x

x x



  b)

  

2

3 3

25

x x

x

 

 c)

2

x xy x y

  

   d)

3

2

3

y y y

  

  

a)

2

3 2

2 1

3 3

b b b

  



 b)

 2 2

2

4

9

x a x a x

a x ax a x

  



   c)

2

3

3 2

1

x x x

  



  

a) x y x 4x 2y x xy         b) 2

3 2

2

x xy y

x x y xy y x y

 



   

Bài 6: Cho hai phân thức 34 2

4

xy x y x

P

x x y

 





2

4

xy x y x

Q

x x

  



 với x0;x1;x2y

(10)

Bài 7: Tính giá trị biểu thức

a) 32 2

9 12

m m

A

m m

 

  m 8 b)

2

3

7

6

n n

B

n n n

 



   n1000001

Bài 8: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác, tính

   

2

a b c a b c

C

a b c a c b

     

 



 

     

Dạng 4: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến

Bài 9: Chứng minh giá trị phân thức sau số

a)

  

2

3

x y

M

x y x y

 

  b)

5 3

25 15 15

kx x y ky

N

kx x y ky

  



   (với k số khác

3  )

Bài 10: Cho phân thức 4 3 2

2

x x x

A

x x x x

  



   

a) Thu gọn biểu thức A

b) Chứng minh A không âm với giá trị x

Bài 11: Tìm giá trị ngun u để giá trị biểu thức sau số nguyên

a)

2

u với u2 b)

2

3

u u

u

 

 với

1 u 

Bài 12: a) Tìm giá trị nhỏ A x2 2x2 2019 x

 

 với x0

b) Tìm giá trị lớn

2

3 17

3

x x

B

x x

 



 

HƯỚNG DẪN

(11)

5 3

2

14

)

21

x y z x z a

x y z  y b)

 

   

3

2

25

30

x y x x x

xy x

 





c)  

 

   

3

3 5

12 12 5

x x x x x

x x x

     

   d)

 

   

3

2

60

45 3

xy x x

xy x y

  

 

a) 3 21 21

3 3

b b b

   

 b)  

2 2

2

4

9

x a x a x

a x ax a x

  



   c)

2

3

3 2

1

x x x

   

  

(12)

a)

2 x

1 y x

4x

2 2y x xy

2 

  



  

b) 2

3 2

2

x xy y

x x y xy y x y

  

   

Bài 6: - Có:

2

3

4

4 xy x y x P

x x y

 





2

4

xy x y x

Q

x x

  



 với x0;x1;x2y

Bài 7: Tính giá trị biểu thức

a) 32 2

9 12

m m

A

m m

 

  m 8

Thay m=-8 vào A ta được:

b) 3 72

6

n n

B

n n n

 



   n1000001

Thay n=1000001 vào B ta được:

Bài 8: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác, tính

   

2

2 2

a b c a b c

C

a b c a c b

     

 



 

(13)

Dạng 4: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến

Bài 9: Chứng minh giá trị phân thức sau số

a)

  

2

3

x y

M

x y x y

 

  b) (với k số khác  )

5 3

25 15 15

kx x y ky

N

kx x y ky

  



  

Khi

số

Bài 10: Cho phân thức 4 3 2

2

x x x

A

x x x x

  



   

a)Thu gọn biểu thức A

b) Chứng minh A không âm với giá trị x

Có:

Dạng 5: Bài tốn nâng cao

Bài 11: Tìm giá trị nguyên u để giá trị biểu thức sau số nguyên

a)

2

(14)

Để

2

u ngun

Ta có bảng

u-2 -1 -3

u (TM) (TM) (TM) -1 (TM)

Vậy

2

u nguyên

b) 2

3

u u

u

 

 với

1 u 

Để 2

3

u u

u

 

 nguyên

Ta có bảng

3u+1 -1 -2

u

(KTM)

0

(TM)

-1

(TM)

(KTM)

Bài 12: a) Tìm giá trị nhỏ

2

2 2019

x x

A

x

 

 với x0

(15)

Vậy x=2019

b) Tìm giá trị lớn 22 17

3

x x

B

x x

 



 

2

3 17 10 10

1

3 9

3

2

x x

B

x x x x

x

 

    

     

 

 

 

Để B lớn nhỏ

Mà

Dấu “=” xảy

Vậy MaxB = 41

Định dạng
Số trang	15
Dung lượng	635,33 KB