Tôi đã rút ra một số bài học kinh nghiệm và giải pháp thực hiện nh sau: - §Ó thùc hiÖn tèt c«ng t¸c båi dìng häc sinh giái, tríc hÕt gi¸o viªn cÇn ph¶i cã mét tr×nh độ chuyên môn vững và[r]
(1)PhÇn chung Lí chọn đề tài 1.1 C¬ së ph¸p chÕ Đào tạo bồi dỡng học sinh giỏi là công tác mũi nhọn ngành giáo dục & đào tạo Trong xu phát triển nay, việc đào tạo, bồi dỡng học sinh giỏi là nhu cầu cấp thiết xã hội, nó góp phần không nhỏ vào việc đào tạo, bồi dỡng nhân tài cho đất nớc Chính vì vậy, năm gần đây, việc đào tạo, bồi dỡng học sinh giỏi đợc ngành giáo dục hết søc chó träng 1.2 C¬ së lý luËn To¸n häc lµ m«n häc gi÷ vai trß quan träng suèt bËc häc phæ th«ng Lµ mét m«n häc khó, đòi hỏi học sinh phải có nỗ lực lớn để chiếm lĩnh tri thức cho mình Chính vì vậy, việc tìm hiểu cấu trúc chơng trình, nội dung SGK, nắm vững phơng pháp dạy học, để từ đó tìm biện pháp dạy học có hiệu là công việc mà b¶n th©n mçi gi¸o viªn ®ang trùc tiÕp gi¶ng d¹y bé m«n to¸n thêng xuyªn ph¶i lµm Trong công tác giảng dạy môn Toán, việc đào tạo, bồi dỡng học sinh có khiÕu vÒ bé m«n To¸n Gióp cho c¸c em trë thµnh nh÷ng häc sinh giái thùc sù vÒ bé m«n to¸n là công tác mũi nhọn công tác chuyên môn đợc ngành giáo dục chú trọng Các thi học sinh giỏi các cấp đợc tổ chức thờng xuyên năm lần đã thể rõ điều đó Chơng trình Toán bậc THCS có nhiều chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi, đó chuyên đề “Phân tích đa thức thành nhân tử” là chuyên đề giữ vai trò quan trọng, nó giúp cho học sinh hình thành kỹ biến đổi đồng trên các biểu thức đại số Chẳng hạn, để thực rút gọn biểu thức đại số thì không thể thiếu việc phân tích đa thøc thµnh nh©n tö, hay viÖc gi¶i mét ph¬ng tr×nh bËc cao sÏ gÆp rÊt nhiÒu khã kh¨n nÕu häc sinh không thành thạo phân tích biểu thức vế trái thành nhân tử, chí nhiều đề thi học sinh giỏi cấp huyện ,tỉnh, thành phố, nhiều năm có bài toán chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử, Chính vì vậy, việc bồi dỡng cho học sinh chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử là vấn đề mà thân tôi quan tâm 1.3 C¬ së thùc tiÔn Năm học này, thân tôi đợc Nhà trờng và Phòng giáo dục giao cho nhiệm vụ đào tạo bồi dỡng học sinh giỏi môn Giải toán trên máy tính Casio Đây là hội để tôi đa đề tài này áp dụng vào công tác đào tạo bồi dỡng học sinh giỏi Với tất lý nêu trên, tôi định chọn đề tài này Nhiệm vụ đề tài - Nghiªn cøu lÝ luËn vÒ ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö - X©y dùng hÖ thèng bµi tËp ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö víi c¸c ph¬ng ph¸p gi¶i bµi tËp thÝch hîp cho tõng bµi - Thùc nghiÖm viÖc sö dông c¸c ph¬ng ph¸p gi¶i bµi tËp ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö gi¶ng d¹y - §Ò xuÊt mét sè bµi häc kinh nghiÖm qu¸ tr×nh nghiªn cøu Giới hạn đề tài §Ò tµi nµy t«i chØ ®em ¸p dông t¹i hai trêng: Trêng THCS NguyÔn Th¸i Häc vµ Trêng THCS Dân tộc Nội trú và dành cho đối tợng là học sinh giỏi môn Toán lớp §èi tîng nghiªn cøu Häc sinh giái líp cña Trêng THCS D©n téc néi tró vµ Trêng THCS NguyÔn Th¸i Häc Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu Để thực đề tài này, tôi sử dụng phơng pháp sau đây: a) Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu lý luËn b) Ph¬ng ph¸p kh¶o s¸t thùc tiÔn c) Ph¬ng ph¸p quan s¸t d) Ph¬ng ph¸p ph©n tÝch, tæng hîp, kh¸i qu¸t hãa e) Ph¬ng ph¸p tæng kÕt kinh nghiÖm Thêi gian nghiªn cøu Từ ngày / / 2007 đến hết ngày 30 /12 / 2007 Tµi liÖu tham kh¶o Để thực đề tài này, tôi đã sử dụng số tài liệu sau: - S¸ch gi¸o khoa, s¸ch gi¸o viªn To¸n 8, To¸n - Chuyên đề bồi dỡng Đại số (Nguyễn Đức Tấn) - “23 chuyên đề giải 1001 bài toán sơ cấp” Nhóm tác giả: Nguyễn Văn Vĩnh – Chủ biên, Nguyễn Đức Đồng và số đồng nghiệp (NKTH) Nội dung đề tài Néi dung thùc hiÖn (2) 1.1 C¬ së lÝ luËn 1.1.1 §Þnh nghÜa ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) §Þnh nghÜa + Nếu đa thức đợc viết dới dạng tích hai hay nhiều đa thức thì ta nói đa thức đã cho đợc phân tích thành nhân tử + Víi bÊt k× ®a thøc ( kh¸c ) nµo ta còng cã thÓ biÓu diÔn thµnh tÝch cña mét nh©n tö kh¸c víi mét ®a thøc kh¸c ThËt vËy: a an −1 n – a0 anxn + an-1xn-1 + … + a0 = c( n xn + x + … + ) ( víi c 0, c ) c c c b) §Þnh nghÜa Giả sử P(x) P [ x ] là đa thức có bậc lớn Ta nói P(x) là bất khả quy trên trờng P nó không thể phân tích đợc thành tích hai đa thức bậc khác và nhỏ bậc P(x) Trờng hợp trái lại thì P(x) đợc gọi là khả quy phân tích đợc trên P 1.1.2 Các định lý phân tích đa thức thành nhân tử a)§Þnh lý Mỗi đa thức f(x) trên trờng P phân tích đợc thành tích các đa thức bất khả quy, và phân tích đó là sai khác thứ tự các nhân tử và các nhân tử bậc 0.” b) §Þnh lý Trªn trêng sè thùc R, mét ®a thøc lµ bÊt kh¶ quy vµ chØ nã lµ bËc nhÊt hoÆc bËc hai với biệt thức Δ < Vậy đa thức trên R có bậc lớn phân tích đợc thành tích cña c¸c ®a thøc bËc nhÊt hoÆc bËc hai víi Δ < 0” c) §Þnh lý 3( Tiªu chuÈn Eisenten ) Gi¶ sö f(x) = a0 + a1x + … + anxn , n > 1, an 0, lµ mét ®a thøc hÖ sè nguyªn NÕu tån t¹i mét sè nguyªn tè p cho p kh«ng ph¶i lµ íc cña an nhng p lµ íc cña c¸c hÖ sè cßn l¹i vµ p2 kh«ng ph¶i lµ íc cña c¸c sè h¹ng tù a0 ThÕ th× ®a thøc f(x) lµ bÊt kh¶ quy trªn Q 1.2 Mét sè ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö Qua các định lý trên, ta đã chứng tỏ đa thức phân tích đợc thành tích các đa thức trên trờng số thực R Song đó là mặt lí thuyết , còn thực hành thì khó khăn nhiều , và đòi hỏi “kĩ thuật” , thói quen và kĩ “ sơ cấp” Dới đây qua các ví dụ ta xem xét số phơng pháp thờng dùng để phân tích đa thức thành nhân tử 1.2.1 Phơng pháp đặt nhân tử chung Phơng pháp này vận dụng trực tiếp tính chất phân phối phép nhân phép cộng (theo chiÒu ngîc) Bµi : Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö A = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax - by) Gi¶i: Ta cã : A = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax –by) = 2x2 (ax + 2by + ax – by) =2x2(2ax + by) Bµi 2: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö P = (2a2 – 3ax)(5y + 2b) – (6a2 – 4ax)(5y + 2b) Gi¶i: Ta cã: P = (2a2 – 3ax)(5y +2b) – (6a2 – 4ax)(5y + 2b) = (5y+2b)((2a2 – 3ax) – (6a2 – 4ax)) = (5y + 2b)(- 4a2 + ax) = (5y + 2b)(x – 4a)a Bµi 3: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö B = 3x2(y – 2z ) – 15x(y – 2z)2 Gi¶i: Ta thÊy c¸c h¹ng tö cã nh©n tö chung lµ y – 2z Do đó : B = 3x2(y – 2z) – 15x(y – 2z)2 = 3x(y – 2z)((x – 5(y – 2z)) =3x(y – 2z)(x – 5y + 10z) Bµi : ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö C = (2a2 – 3ax)(5c + 2d) – (6a2 – 4ax)(5c +2d) Gi¶i: Ta cã: C = (2a2 – 3ax)(5c + 2d) – (6a2 – 4ax)(5c + 2d) = (5c + 2d)(2a2 – 3ax – 6a2 + 4ax) = (5c + 2d)(ax – 4a2) = a(5c + 2d)(x – 4a) Bµi 5: ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö Q = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6xy2z – xyz2 + 3xy Gi¶i: Ta cã: Q = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6xy2z – xyz2 + 3xy = 3xy(x2 – 2x –y2 – 2yz – z2 + 1) = 3xy((x2 – 2x + 1) – (y2 + 2yz + z2)) = 3xy((x – 1)2 – (y + z)2) = 3xy((x – 1) –(y + z))((x – 1) + y+ z)) = 3xy(x - y –z –1)(x + y + z – 1) Bµi : Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: (3) A = 16x2(y – 2z) – 10y( y – 2z) Gi¶i: Ta cã : A = 16x2(y – 2z) – 10y( y – 2z) = (y – 2z)(16x2 – 10y) Bµi : Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö B = x3 + 3x2 + 2x + Gi¶i: Ta cã : B = x3 + 3x2 + 2x + = x2(x + 3) + 2( x + 3) = (x2 + 2)(x + 3) Bµi : Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö A = 6z3 + 3z2 + 2z +1 Gi¶i: Ta cã : A = 6z3 + 3z2 + 2z +1 = 3z2(2z + 1) + (2z + 1) = (2z + 1)(3z2 + 1) 1.2.2 Ph¬ng ph¸p nhãm c¸c h¹ng tö Ph¬ng ph¸p nµy vËn dông mét c¸ch thÝch hîp tÝnh chÊt giao ho¸n, tÝnh chÊt kÕt hîp cña phép cộng, để làm xuất nhóm các hạng tử có nhân tử chung, sau đó vận dụng tÝnh chÊt ph©n phèi cña phÐp nh©n víi phÐp céng Sau ®©y lµ mét sè vÝ dô : Bµi 9: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö B = xy2 – xz2 + yz2 – yx2 + zx2 – zy2 Gi¶i: Ta cã : B = xy2 – xz2 + yz2 – yx2 + zx2 – zy2 = (xy2 – xz2) + (yz2 - zy2) + (zx2 – yx2) = x(y2 – z2) + yz(z – y) + x2(z – y) = x(y – z)(y + z) – yz(y – z) – x2(y – z) = (y – z)((x(y + z) – yz – x2)) = (y – z)((xy – x2) + (xz – yz) = (y – z)(x(y – x) + z(x – y)) = (y – z)(x – y)(z – x) Bµi 10 : Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö A= 4x5 +6x3 +6x2 +9 Gi¶i: Ta cã : A= 4x5 +6x3 +6x2 +9 = 2x3(2x2 + 3) + 3(2x3 + 3) = (2x3 + 3)(2x2 + 3) Bµi 11: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö B = x6 + x4 + x2 + Gi¶: Ta cã : B = x6 + x4 + x2 + = x4(x2 + 1) + ( x2 + 1) = (x2 + 1)(x4 + 1) Bµi 12: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö B = x2 + 2x + – y2 Gi¶i: Ta cã: B = x2 + 2x + – y2 = (x2 + 2x + 1) – y2 = (x + 1)2 – y2 =(x +1 – y)(x + + y ) Bµi 13 : Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö A = x2 + 2xy + y2 – xz - yz Gi¶i: Ta cã : A = x2 + 2xy + y2 – xz - yz = (x2 + 2xy + y2) – (xz + yz) = (x + y)2 – z(x + y) = (x + y)(x + y – z) Bµi 14: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö P = 2xy + z + 2x + yz Gi¶i: Ta cã : P = 2xy + z + 2x + yz = (2xy + 2x) + (z + yz) = 2x(y + 1) + z(y + 1) = (y + 1)(2x + z) Bµi 15: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö A = xm + + xm + – x - Gi¶i: Ta cã : A = xm + + xm + – x – = xm + 3(x + 1) – ( x + 1) = (x + 1)(xm + – 1) Bµi 16: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö P = x2(y – z) + y2(z - x) + z2(x – y) Gi¶i: Khai triÓn hai sè h¹ng cuèi råi nhãm c¸c sè h¹ng lµm xuÊt hiÖn thõa sè chung y - z Ta cã : P = x2(y – z) + y2z – xy2 + xz2 – yz2 = x2(y – z) + yz(y – z) – x(y2 – z2) = x2(y – z) + yz(y – z) – x(y – z)(y + z) (4) = (y – z)((x2 + yz – x(y + z)) = (y – z)(x2 + yz – xy – xz) = (y – z)(x(x – y) – z(x – y)) = (y – z)(x – y)(x – z) NhËn xÐt : dÔ thÊy z – x = -((y – z) + (x – y) nªn : P = x2(y – z) - y2((y – z) + (x – y)) + z2(x – y) =(y – z)(x2 – y2) – (x – y)(z2 – y2) = (y – z) (x – y)(x + y) - (x – y)(z - y)(z + y) = (y – z) (x – y)(x + y – (z + y)) = (y – z) (x – y)(x – z) Bµi 17: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö A = ( a + b + c)(bc + ca + ab) - abc Gi¶i: Ta cã : A = ( a + b + c)(bc + ca + ab) - abc = ( a + b)(bc + ca + ab) + c(bc + ca + ab) - abc = ( a + b)(bc + ca + ab) + bc2 + c2a + abc – abc = ( a + b)(bc + ca + ab) + c2( a + b) = ( a + b)(bc + ca + ab + c2) = ( a + b)( c(b + c) + a(b + c)) = ( a + b)(b + c)(c + a) Bµi 18: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: Q = a2b + ab2 + b2c +bc2 + c2a + ca2 + 3abc Gi¶i: Ta cã : Q = a2b + ab2 + b2c +bc2 + c2a + ca2 + 3abc = (a2b + ab2 + abc) + (b2c +bc2 +abc) + (c2a + ca2 + abc) = ab( a + b + c) + bc( a + b + c) +ca( a + b + c) = ( a + b + c)(ab + bc + ca) Bµi 19: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö A = 2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc Gi¶i: Ta cã : A = 2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc = (2a2b + 4ab2) – (a2c + 2abc) + (ac2+ 2bc2) – (4b2c+ 2abc) = 2ab(a + 2b) – ac(a + 2b) + c2(a + 2b) – 2bc(a + 2b) = (a + 2b)(2ab – ac + c2 – 2bc) = (a + 2b)(a(2b – c) – c(2b –c)) = (a + 2b)(2b – c)(a – c) Bµi 20: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö P = 4x2y2(2x + y) + y2z2(z – y) – 4z2x2(2x + z) Gi¶i: Ta cã : P = 4x2y2(2x + y) + y2z2(z – y) – 4z2x2(2x + z) = 4x2y2(2x + y) + z2(y2(z – y) – 4x2(2x + z) = 4x2y2(2x + y) + z2( y2z – y3 – 8x3 – 4x2z) = 4x2y2(2x + y) + z2(z(y2 – 4x2) – (y3 + 8x3)) = 4x2y2(2x + y) + z2(z(y – 2x)(y + 2x) – (y + 2x)(y2 – 2xy + 4x2)) = (2x + y)( 4x2y2 + z3 – 2xz3 – z2y2 + 2xyz2 – 4x2z2) = (2x + y)(4x2(y2 – z2) – z2y (y – z) +2xz2( y – z)) = (2x + y)(y – z)(4x2y + 4x2z – z2y + 2xz2) = (2x + y)( y – z)(y(4x2 – z2) + 2xz(2x + z)) = (2x + y)( y – z) (2x + z)(2xy – yz + 2xz) 1.2.3 Phơng pháp dùng đẳng thức đáng nhớ Phơng pháp này dùng đẳng thức để đa đa thức dạng tích, luỹ thừa bậc hai, bËc ba cña mét ®a thøc kh¸c Các đẳng thức thờng dùng là : A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 A2 - 2AB + B2 = (A - B)2 A2 - B2 = (A + B) (A - B) (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 A3 - B3 = (A - B)( A2 + AB + B2) A3 + B3 = (A + B)( A2 - AB + B2) Sau ®©y lµ mét sè bµi tËp cô thÓ: Bµi 21: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö A = x4 + x2y2 + y4 Gi¶i: Ta cã : A = x4 + x2y2 + y4 = (x4 + 2x2y2 + y4) - x2y2 = (x2 + y2)2 - x2y2 = (x2 + y2 + xy)(x2 + y2 – xy) Bµi 22: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö B = a6 – b6 + a4 + a2b2 + b4 (5) Gi¶i: Ta cã : B = a6 – b6 + a4 + a2b2 + b4 = (a6 – b6) + (a4 + a2b2 + b4 ) = (a3 + b3) (a3 - b3) + (a4 + a2b2 + b4 ) = (a + b)( a2 - ab + b2) (a - b)( a2 + ab + b2) + (a4 + 2a2b2 + b4) – a2b2 = (a + b)( a2 - ab + b2) (a - b)( a2 + ab + b2) +(a2 + b2 )2– a2b2 = (a + b)( a2 - ab + b2) (a - b)( a2 + ab + b2) +(a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 ) = (a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 ) ((a – b)(a + b) + 1)) = (a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 )(a2 – b2 + 1) Bµi 23: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö M = x4 + x2 + + (x2 – x + 1)2 Gi¶i: Ta cã : M = x4 + x2 + + (x2 – x + 1)2 = (x4 + 2x2 + 1) – x2 + (x2 – x + 1)2 = (x2 + 1)2 – x2 + (x2 – x + 1)2 = (x2 – x + 1) (x2 + x + 1) + (x2 – x + 1)2 = (x2 – x + 1) (x2 + x + + x2 – x + 1) = 2(x2 – x + 1)(x2 + 1) Bµi 24: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö A = x4 + y4 + z4- 2x2y2 – 2x2z2- 2y2z2 Gi¶i: Ta cã: A = x4 + y4 + z4- 2x2y2 – 2x2z2- 2y2z2 = (x4 + y4 + z4- 2x2y2 – 2x2z2 + 2y2z2) – 4y2z2 = (x2 – y2 – z2)2 – 4y2z2 = (x2 – y2 – z2 – 2yz) (x2 – y2 – z2 + 2yz) = (x2 – (y + z)2 )( x2 – (y - z)2 ) = (x – y – z) (x + y + z) (x – y + z)(x + y – z) Bµi 25: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö A = (x + y)3 +(x - y)3 Giải: Dựa vào đặc điểm vế trái và áp dụng đẳng thức ta có cách khác giải nh sau : C¸ch 1: A = (x + y)3 +(x - y)3 = ((x + y) +(x - y))3 – 3((x + y) +(x - y)) (x + y)(x - y) = 8x3 – 3.2x(x2 – y2) = 2x(4x2 – 3(x2 – y2)) = 2x(x2 + 3y2) C¸ch 2: A = (x + y)3 +(x - y)3 = ((x + y) +(x - y))((x + y)2 – (x + y)(x – y) + (x – y)2 = 2x(2(x2 + y2) - (x2 – y2)) = 2x(x2 + 3y2) Bµi 26: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö A = 16x2 + 40x + 25 Gi¶i: Ta cã: A = 16x2 + 40x + 25 = (4x)2 + 2.4.5.x + 52 = (4x + 5)2 Bµi 26: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö B = (x - y)3 +(y - z)3 +(z - x)3 Gi¶i: DÔ thÊy : x – y =(x – z) + (z – y) Từ đó ta có : (x - y)3 = (x – z)3 + (z – y)3 + 3(x – z)(z – y)((x – z) + (z – y)) = - (z - x)3 - (y - z)3 + 3(z – x)(y – z)(x – y) = 3(z – x)(y – z)(x – y) Bµi 27: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö A = (a + b+ c) – (a3 + b3+ c3) Gi¶i: Ta cã: A = (a + b+ c) –(a3 + b3+ c3) = a3 + 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + (b + c)3 - (a3 + b3+ c3) = a3 + 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + b3 + 3b2c + c3 - (a3 + b3+ c3) = 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + 3bc(b + c) = 3(b + c)(a2 + ab + ac + bc) = 3(b + c)(a(a + b) + c(a + b) = 3(b + c)(a + b)(a + c) Bµi 28: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö P = x8 – 28 Gi¶i: Ta cã : P = x8 – 28 = (x4 + 24) (x4 - 24) = (x4 + 24)((x2)2 – (22)2 ) = (x4 + 24)(x2 – 22)(x2 + 22) = (x4 + 24)(x2 + 22)(x – 2)(x + 2) Bµi 29: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö Q = (x3 – 1) + (5x2 – 5) + (3x – 3) (6) Gi¶i: Ta cã: Q = (x3 – 1) + (5x2 – 5) + (3x – 3) = (x – 1)(x2 + x + 1) + 5(x – 1) (x + 1) + 3(x – 1) = (x – 1)( x2 + x + + 5x + + 3) = (x – 1)( x2 + 6x + 9) = (x – 1)(x + 3)2 1.2.4 Ph¬ng ph¸p thùc hiÖn phÐp chia: NÕu a lµ mét nghiÖm cña ®a thøc f(x) th× cã sù ph©n tÝch f(x) = (x – a).g(x) ,g(x) lµ mét đa thức Để tìm g(x), ta chia f(x) cho (x – a) Sau đó lại phân tích tiếp g(x) Sau ®©y lµ mét sè vÝ dô cô thÓ: Bµi 30: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö f(x) = x5 + 6x4 + 13x3 + 14x2 + 12x + Gi¶i: DÔ thÊy: f(-2) = (-2)5 + 6(-2)4 + 13(-2)3 + 14(-2)2 + 12(-2) + = Nên chia f(x) cho (x + 2), ta đợc: f(x) = (x + 2)(x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4) = (x + 2).g(x) DÔ thÊy: g(x) = x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + cã g(-2) = Nên chia g(x) cho (x + 2), ta đợc: g(x) = (x + 2)(x3 + 2x2 + 2x + 2) §Æt h(x) = x3 + 2x2 + 2x + Ta cã: h(-2) = Nên chia h(x) cho(x + 2), đợc: h(x) = (x + 2)(x2 + 1) VËy: f(x) = (x + 2) (x + 2) (x + 2) (x2 + 1) = (x + 2)3(x2 + 1) Khi thực phép chia f(x), g(x), h(x) cho (x + 2), ta có thể sử dụng sơ đồ Hoocne để thực phép chia đợc nhanh VÝ dô chia f(x) cho (x + 2) nh sau : -2 1 13 14 12 VËy f(x) = (x + 2)(x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4) Chia x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + cho (x + 2) nh sau : -2 1 4 VËy x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + = (x + 2)(x3 + 2x2 + 2x + 2) Chia x3 + 2x2 + 2x + cho (x + 2) nh sau : -2 1 2 VËy x3 + 2x2 + 2x + = (x + 2)(x2 + 1) VËy h(x) = (x + 2)3(x2 + 1) Bµi 31: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö P = x4 – 2x3 – 11x2 + 12x + 36 Gi¶i: T×m nghiÖm nguyªn cña ®a thøc (nÕu cã) c¸c íc cña 36 : ± 1; ± 2; ± 3; ± 4; ± ; ± 9; ± 12; ± 18; ± 36 Ta thÊy : x = -2 P(-2) = 16 + 16 –44 – 24 +36 = 68 – 68 = Ta cã: P = x4 + 2x3 – 4x3 – 8x2 – 3x2 – 6x + 18x + 36 = x3 (x + 2) – 4x2(x + 2) – 3x(x + 2) + 18(x + 2) = (x + 2)(x3 – 4x2 – 3x + 18) L¹i ph©n tÝch Q = x3 – 4x2 – 3x + 18 thµnh nh©n tö Ta thÊy: Q(-2) = (-2)3 – 4(-2)2 – 3(-2) + 18 = Nên chia Q cho (x + 2), ta đợc : Q = (x + 2)(x2 – 6x + 9) = (x + 2)(x – 3)2 VËy: P = (x + 2)2(x – 3)2 1.2.5 Phơng pháp đặt ẩn phụ Bằng phơng pháp đặt ẩn phụ (hay phơng pháp đổi biến) ta có thể đa đa thức với ẩn số cồng kềnh , phức tạp đa thức có biến mới, mà đa thức này dễ dàng phân tích đợc thành nhân tử Sau đây là số bài toán dùng phơng pháp đặt ẩn phụ Bµi 30: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö A = (x2 + x) + 4(x2 + x) - 12 Giải: Đặt : y = x2 + x , đa thức đã cho trở thành : A = y2 + 4y – 12 (7) = y2 – 2y + 6y – 12 = y(y – 2) + 6(y – 2) = (y – 2)(y + 6) (1) Thay : y = x2 + x vào (1) ta đợc : A = (x2 + x – 2)(x2 + x – 6) = (x – 1)(x + 2)(x2 + x – 6) Bµi 33: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö A = (x2 + x + 1)( x2 + x + 2) - 12 Gi¶i: A = (x2 + x + 1)( x2 + x + 2) - 12 Đặt y = (x2 + x + 1) Đa thức đã cho trở thành : A = y(y + 1) – 12 = y2 + y – 12 = y2 – 3y + 4y – 12 = y(y – 3) + 4(y – 3) = (y – 3)(y + 4) (*) Thay: y = (x2 + x + 1) vào (*) ta đợc : A = (x2 + x + - 3)(x2 + x + + 4) = (x2 + x – 2) (x2 + x + 6) = (x – 1)(x + 2)(x2 + x + 6) Bµi 34: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö B = x12 – 3x6 + Gi¶i: B = x12 – 3x6 + §Æt y = x6 (y ) Đa thức đã cho trở thành : B = y2 – 3y + = y2 – 2y + – y = (y – 1)2 – y = (y – - √ y )(y + + √ y ) (*) Thay : y = x6 vào (*) đợc : B = (x6 – - √ x6 ¿( y+1+ √ x ) = (x6 – – x3)(x6 + + x3) Bµi 3: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö A = x3 - √ x2 + 3x + √ - Gi¶i: §Æt : y = x - √ , ta cã x = y + √ A = (y + √ )3 - √ (y + √ )2 + 3(y + √ ) + √ - = y3 + 3y2 √ + 3y.2 + √ - √ (y2 + √ y + 2) + 3(y + = y3 - 3y – = y3 - y – 2y – = y(y2 – 1) – 2(y + 1) = y(y – 1)(y + 1) – 2(y + 1) = (y + 1)(y(y – 1) – 2) = (y + 1)(y2 – y – 2) = (y + 1)(y + 1)(y – 2) = (y + 1)2(y – 2) (*) Thay : y = x - √ vào (*), đợc : A = (x - √ + 1)2(x - √ - 2) Bµi 36: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö M = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 Gi¶i: Ta cã: M = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 = ((x + 1)( x + 7))((x + 3)(x + 5)) + 15 = (x2 + 8x + 7)( x2 + 8x + 15) + 15 Đặt : y = (x2 + 8x + 7) Đa thức đã cho trở thành : M = y(y + 8) + 15 = y2 + 8y + 15 = y2 + 3y + 5y + 15 = y(y + 3) + 5(y + 3) = ( y + 3)(y + 5) Thay : y = (x2 + 8x + 7), ta đợc : M = (x2 + 8x + 10)(x2 + 8x + 12) = (x2 + 8x + 10)( x2 + 2x + 6x + 12) = (x2 + 8x + 10)((x(x + 2) + 6(x + 2)) = (x2 + 8x + 10)(x + 2)(x + 6) √2 ) + √2 - (8) NhËn xÐt: Tõ lêi gi¶i bµi to¸n trªn ta cã thÓ gi¶i bµi to¸n tæng qu¸t sau : ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö : A = (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) + m Nếu a + d = b + c Ta biến đổi A thành : A = ((x + a)(x + d))((x + b)(x + c)) + m (1) Bằng cách biến đổi tơng tự nh bài 36, ta đa đa thức (1) đa thức bậc hai và từ đó phân tích đợc đa thức A thành tích các nhân tử Bµi 37: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö A = x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + Gi¶i: Gi¶ sö x , ta viÕt ®a thøc díi d¹ng : 1 A = x2((x2 + ) + 6( x )+7) x x 1 §Æt y = x th× x2 + = y2 + x x2 Do đó : A = x2(y2 + + 6y + 7) = x2( y + 3)2 = (xy + 3x) Thay y = x , ta đợc x A = x ( x − )+ x x = (x2 + 3x – 1)2 Dạng phân tích này đúng với x = NhËn xÐt : Tõ lêi gi¶i bµi tËp nµy, ta cã thÓ gi¶i bµi tËp tæng qu¸t sau : Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö : A = a0x2n + a1xn – +…….+ an – 1xn – +anxn + an – 1xn – + … + a1x + a0 B»ng c¸ch ®a xn lµm nh©n tö cña A, hay : a1 a0 an −1 A = xn(a0xn + a1xn – + …….+ an – 1x + an + +… + n −1 + x x xn Sau đó đặt y = x + ta phân tích đợc A thành nhân tử cách dễ dàng nh bài tập x trªn Bµi 38: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö A = x2 + 2xy + y2 – x – y - 12 Gi¶i: Ta cã: A = x2 + 2xy + y2 – x – y – 12 = (x + y)2 – (x + y) – 12 - §Æt X = x + y, ®a thøc trªn trë thµnh : A = X2 – X – 12 = X2 - 16 – X + = (X + 4)(X - 4) - (X - 4) = (X - 4)(X + - 1) = (X - 4)(X + 3) (1) - Thay X = x + y vào (1) ta đợc : A = (x + y – 4)( x + y + 3) Bµi 39: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö A = (x2 + y2 + z2)( x + y + z)2 + (xy + yz + zx)2 Gi¶i: A = (x2 + y2 + z2)( x + y + z)2 + (xy + yz + zx)2 §Æt : x2 + y2 + z2 = a xy + yz + zx = b ⇒ ( x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) = a + 2b §a thøc A trë thµnh : A = a(a + 2b) + b2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 (*) Thay : a = x2 + y2 + z2 b = xy + yz + zx vào (*) ta đợc : A = (x2 + y2 + z2 + xy + yz + zx)2 Bµi 40: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö P = (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 [ ] (9) Gi¶i: §Æt : A = x – y ; B = y – z; C = z – x Ta cã : A + B + C = Nªn A+B=-C LËp ph¬ng hai vÕ : (A + B)3 = - C3 ↔ A3 + 3AB(A + B) + B3 = - C3 ↔ A3 + B3 + C3 = - 3AB(A + B) ↔ A3 + B3 + C3 = 3ABC Thay : A = x – y ; B = y – z; C = z – x, ta đợc : (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 = 3(x – y)(y – z)(z – x) 1.2.6 Phơng pháp đề xuất bình phơng đủ ( tách số hạng) Phơng pháp đề xuất bình phơng đủ là phơng pháp thêm, bớt các hạng tử đa thức để làm xuất các đa thức có thể đa đẳng thức đáng nhớ Sau ®©y lµ mét sè vÝ dô : Bµi 41: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö A = x2 – 6x + Gi¶i: Ta cã thÓ gi¶i bµi to¸n trªn ®©y b»ng mét sè c¸ch nh sau: C¸ch 1: A = x2 – 6x + = x2 – x – 5x + = x(x – 1) – 5(x – 1) = (x – 1)(x – 5) C¸ch : A = x2 – 6x + = (x2 - 2x + 1) – 4x + = (x – 1)2 – 4(x – 1) = (x – 1)(x – - 4) = (x – 1)(x – 5) C¸ch : A = x2 – 6x + = (x2 – 6x + 9) – = (x – 3)2 – = (x – – 2) (x – + 2) = (x – 1)(x – 5) C¸ch : A = x2 – 6x + = (x2 – 1) – 6x + = (x – 1)(x + 1) – 6(x – 1) = (x – 1)( x + – 6) = (x – 1)(x – 5) C¸ch : A = x2 – 6x + = (3x2 – 6x + 3) – 2x2 + = 3(x – 1)2 - 2(x2 – 1) = 3(x – 1)(3(x – 1) – ( x + 1)) = (x – 1)(x – 5) C¸ch : A = x2 – 6x + = (5x2 – 10x + 5) – 4x2 + = (x – 1)2 – 4x(x – 1) = (x – 1)( (5(x – 1) – 4x)) = (x – 1)(x – 5) C¸ch : A = x2 – 6x + = (6x2 – 6x) – 5x2 + = 6x(x – 1) - 5(x – 1) (x + 1) = (x – 1)(6x – 5(x + 1)) = (x – 1)(x – 5) C¸ch : A = x2 – 6x + §Æt f(x) = x2 – 6x + DÔ thÊy tæng c¸c hÖ sè cña f(x) b»ng hay f(x) = nªn f(x) chia hÕt cho (x- 1) Thực phép chia f(x) cho (x –1) đợc thơng là (x – 5) Vậy A = (x – 1)(x – 5) Chó ý: §Ó ph©n tÝch ®a thøc ax + bx + c (c 0) b»ng ph¬ng ph¸p t¸ch sè h¹ng ta lµm nh sau : Bíc : lÊy tÝch a.c = t Bíc : ph©n tÝch t thµnh hai nh©n tö ( xÐt tÊt c¶ c¸c trêng hîp) t = pi.qi B¬c : t×m c¸c cÆp nh©n tö pi, qi mét cÆp pa, qa cho : pa + qa = b Bíc : viÕt ax2 + bx + c = ax2 + pax + qax + c Bíc : tõ ®©y nhãm c¸c sè h¹ng vµ ®a nh©n tñ chung ngoµi dÊu ngoÆc Bµi 42: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö B = x4 + 2x2 - (10) Gi¶i: C¸ch 1: B = x4 + 2x2 - = x4 – x2+ 3x2 – = x2(x2 – 1) + 3(x2 – 1) = (x2 – 1) (x2 + 3) = (x – 1)(x + 1)(x2 + 3) C¸ch 2: B = x4 + 2x2 - = x4 + 3x2 – x2– = x2(x2 + 3) - (x2 + 3) = (x2 + 3)(x2 – 1) = (x2 + 3)(x – 1)(x + 1) C¸ch : B = x4 + 2x2 - = (x4 ) + 2x2 – – = (x4 – 1) + 2x2– = (x2 – 1)(x2 + 1) + 2(x2 – 1) = (x2 – 1)(x2 + 3) = (x – 1)(x + 1)(x2 + 3) C¸ch : B = x4 + 2x2 - = (x4 + 2x2 + 1) - = (x2 + 1)2 – = (x2 + 1)2 – 22 = (x2 + – 2)(x2 + + 2) = (x2 – 1) (x2 + 3) = (x – 1)(x + 1)(x2 + 3) C¸ch : B = x4 + 2x2 - = (x4 – 9) + 2x2 + = (x2 + 3)(x2 - 3) + 2(x2 + 3) = (x2 + 3)( x2 - + 2) = (x2 + 3)(x2 – 1) = (x2 + 3)(x – 1)(x + 1) C¸ch : B = x4 + 2x2 - = (3x4 – 3) – 2x4 + 2x2 = 3(x4 – 1) – 2x2(x2 – 1) = 3(x2 – 1)(x2 + 1) - 2x2(x2 – 1) = (x2 – 1)(3( x2 + 1) - 2x2) = (x2 – 1) (x2 + 3) = (x – 1)(x + 1)(x2 + 3) Bµi 43: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö A = x4 + x2 + Gi¶i: C¸ch : A = x4 + x2 + = (x4 + 2x2 + 1) - x2 = (x2 + 1)2 - x2 = (x2 + - x)(x2 + + x) C¸ch : A = x4 + x2 + = (x4 + x3 + x2) – (x3 + x2 + x) + (x2 + x + 1) = (x2 + - x)(x2 + + x) C¸ch : A = x4 + x2 + = (x4 - x3 + x2) + (x3 - x2 + x) + (x2 - x + 1) = x2(x2 - x + 1) + x(x2 - x + 1) + (x2 - x + 1) = (x2 - x + 1)(x2 + x + 1) Bµi 44: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö F = 5x2 + 6xy + y2 Gi¶i: C¸ch : F = 5x2 + 6xy + y2 = (5x2 + 5xy) + (xy + y2) = 5x(x + y) + y(x + y) = (x + y)(5x + y) C¸ch : F = 5x2 + 6xy + y2 = (6x2 + 6xy) – (x2 - y2) = 6x(x + y) – (x – y)(x + y) = (x + y)(6x – x + y) = (x + y)(5x + y) C¸ch : F = 5x2 + 6xy + y2 = (4x2 + 4xy) +(x2 + 2xy + y2 ) = 4x(x + y) + (x + y)2 (11) = (x + y)(4x + x + y) = (x + y)(5x + y) C¸ch : F = 5x2 + 6xy + y2 = (3x2 + 6xy + 3y2) + (2x2 – 2y2 ) = 3(x + y)2 + 2(x2 – y2 ) = (x + y)(3x + 3y + 2x – 2y) = (x + y)(5x + y) C¸ch : F = 5x2 + 6xy + y2 = (5x2 + 10xy + y2) – (4xy + 4y2) = 5(x + y)2 – 4y(x + y) = (x + y)(5(x + y) – 4y)) = (x + y)(5x + y) C¸ch : F = 5x2 + 6xy + y2 = (5x2 - 5y2) + (6xy + y2) = 5(x2 – y2) + 6y(x + y) = 5(x – y)(x +y) + 6y(x + y) = (x + y)(5x – 5y + 6y) = (x + y)(5x + y) C¸ch : F = 5x2 + 6xy + y2 = (9x2 + 6xy + y2) – 4x2 =(3x + y)2 – 4x2 = (3x + y – 2x)(3x + y + 2x) = (x + y)(5x + y) Bµi 44: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö P = x4 + x2y2 + y4 Gi¶i: Ta cã : P = x4 + x2y2 + y4 = (x4 + 2x2y2 + y4) – x2y2 = (x2 + y2)2 – (xy)2 = (x2 + y2 – xy)(x2 + y2 + xy) Bµi 45: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö A = x4 + x2 + + (x2 – x + 1)2 Gi¶i: Ta cã : A = x4 + x2 + + (x2 – x + 1)2 = x4 + (x2 – x + 1) + (x2 – x + 1)2 + x = (x2 – x + 1)(x2 – x + 2) + x(x + 1)(x2 – x + 1) = (x2 – x + 1)((x2 – x + 2) + x(x + 1)) = (x2 – x + 1)(2x2 + 2) Bµi 46: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö P = 4x4 + 81 Gi¶i: Ta cã : P = 4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 – 36x2 = (2x2 + 9)2 – (6x)2 =(2x2 + – 6x)(2x2 + + 6x) Bµi 47: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö Q = 3x3 – 7x2 + 17x - Gi¶i: Ta cã : Q = 3x3 – 7x2 + 17x - = 3x3 – x2 – 6x2 + 2x + 15x – = x2(3x – 1) – 2x(3x – 1) + 5(3x – 1) = (3x – 1)(x2 – 2x + 5) Bµi 48: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö A = x3 – x2 – x - Gi¶i: Ta cã : A = x3 – x2 – x - = x3 – – (x2 + x + 1) = (x – 1)(x2 + x + 1) - (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x – – 1) = (x2 + x + 1)(x – 2) Bµi 49: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö B = x3 + x2 – x + Gi¶i: Ta cã : B = x3 + x2 – x + = (x3 + 1) + (x2 - x + 1) = (x + 1)(x2 - x + 1) + (x2 - x + 1) = (x2 - x + 1)(x + 1+ 1) = (x2 - x + 1)(x + 2) Bµi 50: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö C = x3 – 6x2 – x + 30 (12) Gi¶i: Ta cã : C = x3 – 6x2 – x + 30 = x3 + 2x2 – 8x2 – 16x + 15x + 30 = x2(x + 2) – 8x(x + 2) + 15 ( x + 2) = (x + 2)(x2 – 8x + 16 – 1) = (x + 2)((x – 4)2 – 1)) = (x + 2)(x – – 1)(x – + 1) = (x + 2)(x – 5)(x – 3) 1.2.7 Phơng pháp hệ số bất định Phơng pháp này dựa vào định nghĩa hai đa thức nhau, ta có thể tính đợc các hệ số biểu diễn đòi hỏi cách giải hệ phơng trình sơ cấp Sau ®©y lµ mét sè vÝ dô : Bµi 51 : Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö M = x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + Gi¶i: BiÓu diÔn ®a thøc díi d¹ng : x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + = (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + = x4 + (a+c )x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd Đồng hai đa thức, ta đợc hệ điều kiện : ¿ a+c =−16 ac+ b+d=12 ad+ bc=− 14 bd=3 ¿{{{ ¿ XÐt bd = víi b, d Z , b víi b = 3; d = { 1; } HÖ ®iÒu kiÖn trë thµnh : ¿ a+ c=−6 ac=8 a+3 c=−14 ¿{{ ¿ Suy 2c = - 14 + = - 8, Do đó c = - , a = -2 VËy M = x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + = (x2 – 2x + 3)(x2 – 4x + 1) Bµi 52: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö A = 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10 Gi¶i: BiÓu diÔn ®a thøc díi d¹ng : A = ( ax + by + c )( dx + ey + g ) = adx2 + aexy + agx + bdxy + bey2 + bgy + cdx + cey + cg = adx2 + ( ae + bd )xy + ( ag + cd )x + bey2 + ( bg + ce )y + cg = 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10 Đồng hai đa thức, ta đợc hệ điều kiện : ¿ ¿ ad=3 a=3 ae+ bd=22 b=1 ag+ cd=11 c=5 ⇒ be=7 d =1 bg+ce=37 e=7 cg=10 g=2 ¿ { {{ { { ¿{{{{{ ¿ ¿ VËy A = 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10 = ( 3x + y + )( x + 7y + ) Bµi 53: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö B = x4 – 8x + 63 Gi¶i: Ta cã thÓ biÓu diÔn B díi d¹ng : B = x4 – 8x + 63 = (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a+ c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd (13) ¿ ¿ a+c =0 a=− ac+ b+d=0 b=7 Đồng hai đa thức ta đợc hệ điều kiện: ad+ bc=− ⇔ c=4 bd=63 d=9 ¿{{{ ¿{{{ ¿ ¿ VËy : B = x4 – 8x + 63 = (x2 - 4x + 7)(x2 + 4x + 9) 1.2.8 Ph¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ riªng §©y lµ mét ph¬ng ph¸p khã, nhng nÕu ¸p dông nã mét c¸ch “linh ho¹t” th× cã thÓ ph©n tích đa thức thành nhân tử nhanh Trong phơng pháp này ta xác định dạng các thừa số chứa biến đa thức, gán cho các biến các giá trị cụ thể để xác định thừa số còn lại Sau ®©y lµ mét sè vÝ dô : Bµi 54: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö P = x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) Gi¶i: Thö thay x bëi y th× P = y2(y – z) + y2(z – y) = Nh vËy P chøa thõa sè x – y Ta lại thấy thay x y, thay y z, thay z x thì P không đổi ( ta nói đa thức P có thể hoán vị vòng quanh x → y → z → x Do đó P chứa thừa số x – y thì chøa thõa sè y – z, z – x VËy P cã d¹ng : k(x – y)(y – z)(z – x) Ta thấy k phải là số, vì P có bậc tập hợp các biến x, y, z, còn các tích (x – y)(y – z)(z – x) có bậc ba tập hợp các biến x, y, z Vì đẳng thức x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) = k(x – y)(y – z)(z – x) đúng với mäi x, y, z nªn ta g¸n cho c¸c biÕn x, y, z c¸c gi¸ trÞ riªng, ch¼ng h¹n x = 2; y = 1; z = (*), ta đợc: 4.1 + 1.(-2) + = k.1.1.(-2) = -2k k = -1 VËy P = -1(x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)(x – z) Chú ý: (*) các giá trị x, y, z có thể chọn tuỳ ý cần chúng đôi khác để (x – y)(y – z)(z – x) Bµi 55: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö P = x2y2(y – x) + y2z2(z – y) + z2x2(y – z) Gi¶i: Thay x = y th× P = y2z2(z – y) + z2x2(y – z) = Nh vËy P chøa thõa sè x – y Ta thấy đa thức P có thể hoán vị vòng quanh x → y → z → x Do đó P chứa thõa sè x – y th× còng chøa thõa sè y – z, z – x VËy P cã d¹ng : k(x – y)(y – z)(z – x) Mặt khác P là đa thức bậc ba x, y, z, nên phép chia A cho (x – y)(y – z)(z – x) th¬ng lµ h»ng sè k, nghÜa lµ : P = k(x – y)(y – z)(z – x) , k lµ h»ng sè Cho : x = 1; y = -1; z = ta đợc : 12.(-1)2.(-2) + (-1)2.0.(0 + 1) + 02.12.(1 – 0) = k 2.(-1).(-1) -2 = 2k k = -1 VËy P = -1(x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)(x – z) Bµi 56: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö A = ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a) Gi¶i: Nhận xét: Nếu hoán vị vòng quanh a, b, c, thì A không thay đổi Thay a=b vào A ta có: A = + bc(b – c) + cb(c – b) = Do đó A ⋮ (a – b) Suy A ⋮ (b – c) và A ⋮ (c – a) Từ đó : A ⋮ (a – b)(b – c)(c – a) Mặt khác A là đa thức bậc ba a, b, c, nên phép chia A cho (a – b)(b – c)(c – a) th¬ng lµ h»ng sè k, nghÜa lµ : A = k(a – b)(b – c)(c – a) Cho a = 1; b = 0; c = ta đợc = -2k hay k = - A = -1(a – b)(b – c)(c – a) = (a – b)(b – c)(a – c) Bµi 57: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö (14) P = x(y3 – z3) + y(z3 – x3) + z(x3 – y3) Gi¶i: Nhận xét: Nếu hoán vị vòng quanh x, y, z thì P không thay đổi Thay z = y vào P ta có: P = + z(z3- x3) + z(x3 –z3) = Do đó : P ⋮ (y – z) Suy P ⋮ (z – x) và P ⋮ (x – y) Từ đó : P ⋮ (y – z)(z – x)(z – x) Mặt khác P là đa thức bậc ba x, y, z nên phép chia P cho (y – z)(z – x)(z – x)đợc thơng là số k, nghĩa là : P = k(y – z)(z – x)(z – x) Cho : x = 2; y = 1; z = 0, ta đợc : 2.13 + 1.(-2)3 + = k.1.(-2) - = - 2k k=3 VËy P = 3(y – z)(z – x)(z – x) Hay x(y3 – z3) + y(z3 – x3) + z(x3 – y3) = 3(y – z)(z – x)(z – x) Bµi 58: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö M = a(b +c – a)2 + b(c +a – b)2 + c(a +b – c)2 + (a + b – c)(b +c – a)(c +a – b) Giải: Nếu hoán vị vòng quanh a, b, c, thì M không thay đổi Thay a = vµo M ta cã : M = + b(c – b)2 + c(b – c)2 + (b – c)(b + c)(c – b) = Do đó M ⋮ a Suy M ⋮ b và M ⋮ c Từ đó : M ⋮ abc Mặt khác M là đa thức bậc ba a, b, c nên phép chia M cho abc th ơng là số k, nghÜa lµ : M = k.abc Cho a = b = c = 1, ta đợc : 1.12 + 1.12 + 1.12 + 1.1.1 = k.1.1.1 k=4 VËy M = 4.abc Hay: a(b +c – a)2 + b(c +a – b)2 + c(a +b – c)2+ (a +b – c)(b +c – a)(c +a – b) = 4abc KÕt qu¶ Tôi đã ứng dụng nội dung nêu trên vào việc bồi dỡng học sinh giỏi môn Giải toán trên m¸y tÝnh t¹i Trêng THCS NguyÔn Th¸i Häc vµ Trêng THCS D©n téc Néi tró KÕt qu¶ mµ t«i đã thu đợc nh sau: - CÊp HuyÖn: Cã 11 häc sinh tham dù KÕt qu¶: gi¶i nhÊt, gi¶i nh×, gi¶i ba, gi¶i khuyÕn khÝch - CÊp TØnh: Cã häc sinh tham dù KÕt qu¶: gi¶i nhÊt, gi¶i nh×, gi¶i ba, gi¶i khuyÕn khÝch - CÊp Quèc gia: Cã häc sinh tham dù KÕt qu¶: gi¶i khuyÕn khÝch Bµi häc kinh nghiÖm vµ gi¶i ph¸p thùc hiÖn Trong quá trình thực đề tài và thân tôi là ngời trực tiếp thực việc bồi dỡng học sinh giỏi Tôi đã rút số bài học kinh nghiệm và giải pháp thực nh sau: - §Ó thùc hiÖn tèt c«ng t¸c båi dìng häc sinh giái, tríc hÕt gi¸o viªn cÇn ph¶i cã mét tr×nh độ chuyên môn vững vàng, nắm vững các thuật toán, giải đợc các bài toán khó cách thành thạo Cần phải có phơng pháp giảng dạy phù hợp kích thích đợc tò mò, động, s¸ng t¹o, tÝch cùc cña häc sinh - Toán học là môn khó, các vấn đề toán là rộng Chính vì vậy, giáo viên cần phải biết chắt lọc, xây dựng thành giáo trình ôn tập bao gồm tất các chuyên đề Với chuyên đề cần phải chọn lọc bài toán điển hình, để học sinh từ đó phát huy khả mình, vận dụng cách sáng tạo vào giải các bài toán khác cïng thÓ lo¹i - Trong quá trình bồi dỡng học sinh giỏi cần thờng xuyên bám sát đối tợng học sinh, theo dõi và động viên kịp thời cố gắng, nỗ lực học sinh Đồng thời, kích thích các em phát huy tối đa khả mình quá trình ôn luyện, học tập Bên cạnh đó, cần theo dâi kiÓm tra, uèn n¾n kÞp thêi nh÷ng sai sãt mµ häc sinh cã thÓ m¾c ph¶i, gióp c¸c em cã niÒm tin, nghị lực và tâm vợt qua khó khăn bớc đầu học tập các chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi mà giáo viên đa - Trong qu¸ tr×nh båi dìng häc sinh giái còng cÇn hÕt søc tr¸nh cho häc sinh nh÷ng biÓu tự đắc, cho mình là giỏi Điều này làm cho các em khó tránh khỏi thất bại tham dù nh÷ng cuéc thi lín ChÝnh v× vËy, gi¸o viªn cÇn lu«n cã nh÷ng bµi to¸n khã, nh÷ng yêu cầu cao để các em thấy đợc quá trình học bồi dỡng học sinh giỏi là quá trình không thÓ diÔn ngµy mét, ngµy hai, mµ lµ c¶ mét qu¸ tr×nh l©u dµi, thêng xuyªn, liªn tôc (15) Tuy nhiên, cần tránh cho học sinh tự ti, vì liên tục không giải đợc các bài toán khó g©y cho c¸c em nh÷ng sù n¶n chÝ, mÊt niÒm tin vµo kh¶ n¨ng cña m×nh KÕt luËn Båi dìng häc sinh giái cho häc sinh bËc THCS lµ c¶ mét qu¸ tr×nh l©u dµi, bÒn bØ Bëi v× các em đã có quá trình năm học toán Để có đợc học sinh giỏi, chúng ta cần ph¶i tËp trung båi dìng cho c¸c em tõ n¨m häc líp Víi n¨m liªn tôc, cïng víi sù nç lực thầy lẫn trò, chắn chúng ta có đợc học sinh giỏi thực môn To¸n Do n¨ng lùc cßn h¹n chÕ, vµ n¨m häc nµy còng lµ n¨m häc thø hai b¶n th©n t«i tham gia việc bồi dỡng học sinh giỏi, nên đề tài tôi không thể tránh đợc thiếu sót, thân tôi mong có đóng góp, bổ xung các bạn đồng nghiệp, các nhà quản lý giáo dục để đề tài tôi có thể hoàn thiện Trên đây, đề tài tôi đề cập đến vấn đề nhỏ quá trình bồi dỡng häc sinh giái – Tuy nhiªn, theo t«i ®©y còng lµ mét nh÷ng m¹ch kiÕn thøc rÊt träng t©m cña ch¬ng tr×nh to¸n Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn tới BGH, các đồng nghiệp Trờng THCS Nguyễn Thái Học và Trờng THCS Dân tộc Nội trú đã có ý kiến đóng góp, đạo thực giúp tôi hoàn thành đề tài này Kiến nghị đề xuất - T¨ng thªm thêi gian båi dìng cho häc sinh giái m«n To¸n v× thêi gian mét tuÇn buæi không đủ thời gian để thực công tác bồi dỡng - NÕu cã thÓ chän läc tõ ®Çu vµo chóng ta nªn chän hai líp: Chuyªn vÒ c¸c m«n tù nhiªn vµ mét líp chuyªn vÒ c¸c m«n x· héi đánh giá, nhận xét tổ chuyên môn và nhà trờng (16)