tương quan chuỗi

Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Niên khóa 2003-2004 Phương pháp phân tích Bài đọc Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng Chương 9: Tương quan chuỗi Ramu Ramanathan 1 Thục Đoan/Hào Thi CHƯƠNG 9 Tương Quan Chuỗi P hương pháp bình phương tối thiểu đã chứng tỏ mang lại các ước lượng về thông số có một vài tính chất mong muốn, với điều kiện các số hạng sai số (u t ) thỏa mãn một số giả thiết. Đặc biệt, các ước lượng có tính không thiên lệch, nhất quán, và hiệu quả nhất. Khi một nhà nghiên cứu xử lý dữ liệu dạng chuỗi thời gian, một số vấn đề đặc biệt phát sinh thường dẫn đến kết quả là vi phạm vài giả thiết cần để phát ra những tính chất tốt đã liệt kê. Trong chương này, chúng ta sẽ khảo sát một dạng vi phạm các giả thiết cơ bản về các số hạng nhiễu. Thứ nhất ta xem xét những ẩn ý của việc bỏ qua sự vi phạm này và dùng thủ tục bình phương tối thiểu thường (OLS). Ta có thể kỳ vọng rằng, như trong trường hợp phương sai của sai số thay đổi, vài tính chất có thể không còn giữ được nữa. Thứ hai, ta kiểm đònh sự có mặt của sự vi phạm này, và cuối cùng thảo luận các phương pháp có thể lựa chọn cho các vấn đề. Giả thiết 3.6 trong Chương 3 phát biểu rằng các số hạng sai số u t và u s , cho các quan sát khác nhau t và s, là phân phối độc lập. Tính chất này gọi là độc lập chuỗi. Từ Chương 2, Phần 2.3, u t và u s ẩn ý độc lập rằng chúng không tương quan. Khi một nhà nghiên cứu đang phân tích dữ liệu chuỗi thời gian, giả thiết này thường sẽ bò vi phạm. Các số hạng sai số cho các thời đoạn không quá cách xa có thể có tương quan. Tính chất này được gọi là tương quan chuỗi hay tự tương quan (các thuật ngữ này sẽ được sử dụng thay thế nhau). Trong Chương 3 ta đã liệt kê một số nhân tố giải thích cho sự có mặt của số hạng sai số u t . Đó là (1) các biến bò loại bỏ, (2) bỏ qua sự phi tuyến, (3) các sai số đo lường, và (4) hoàn toàn ngẫu nhiên, các tác động không dự đoán được. Ba nhân tố đầu tiên trong các nhân tố này có thể dẫn đến các sai số tương quan chuỗi. Ví dụ, giả sử một biến phụ thuộc Y t tương quan với các biến độc lập X t1 và X t2 , nhưng nhà nghiên cứu không tính đến biến X t2 trong mô hình. Tác động của biến này sẽ được bao gộp qua số hạng sai số u t . Bởi vì nhiều biểu hiện chuỗi thời gian kinh tế có chiều hướng theo thời gian, X t2 có thể phụ thuộc vào X t-1,2 , X t-2,2 , . . Điều này sẽ biến thành sự tương quan rõ ràng giữa u t và u t-1 , u t-2 , . . ., do đó vi phạm giả thiết độc lập chuỗi. Vậy, các chiều hướng trong các biến bò loại bỏ có thể tạo sự tự tương quan trong các sai số. Tương quan chuỗi cũng có thể được gây nên bởi đặc trưng sai về dạng hàm số. Ví dụ, giả sử mối quan hệ giữa Y và X là bậc hai nhưng ta giả thiết là đường thẳng. Vậy số hạng sai số u t sẽ phụ thuộc vào X 2 . Nếu X tăng hoặc giảm theo thời gian, u t cũng sẽ biểu hiện chiều hướng như vậy, cho thấy sự tự tương quan. Sai số có hệ thống trong đo lường cũng gây nên sự tự tương quan. Ví dụ, giả sử một công ty đang cập nhật số liệu hàng hóa tồn kho trong một thời đoạn cho trước. Nếu có một sai sót có tính hệ thống xảy ra trong cách đo lường, dự trữ tồn kho tích lũy sẽ phản ánh các sai số đo lường tích lũy. Các sai số này sẽ cho thấy như là sự tương quan chuỗi. Một ví dụ của tương quan chuỗi, xét sự tiêu thụ điện theo các giờ khác nhau trong ngày. Bởi vì dạng thay đổi nhiệt độ là tương tự giữa các thời đoạn liên tiếp, ta có thể kỳ vọng dạng Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Niên khóa 2003-2004 Phương pháp phân tích Bài đọc Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng Chương 9: Tương quan chuỗi Ramu Ramanathan 2 Thục Đoan/Hào Thi tiêu thụ là tương quan giữa các thời đoạn lân cận. Nếu mô hình không được đặc trưng một cách thích hợp, tác động này có thể để lộ sự tương quan cao giữa các sai số từ các thời đoạn gần kề. Một ví dụ khác của tương quan chuỗi được tìm thấy trong dữ liệu thò trường chứng khoán. Giá của một chứng khoán đặc biệt nào đó hoặc một chỉ số thò trường chứng khoán tại thời điểm đóng cửa của những ngày liên tiếp hoặc trong những giờ liên tiếp có thể tương quan theo chuỗi. } VÍ DỤ 9.1 DATA6-6 có dữ liệu hàng năm về dân số nông trại theo phần trăm tổng dân số tại Mỹ. Hình 9.1 là đồ thò của dân số nông trại và giá trò phù hợp thu được từ xu hướng thời gian tuyến tính của dạng hàm FARMPOP = α + β TIME + u, trong đó TIME là t từ 1 đến 44. Phần Máy Tính Thực Hành 9.1 có các hướng dẫn để chạy lại ví dụ này. Từ biểu đồ ta lưu ý rằng trong những thời đoạn ban đầu thì các giá trò thực tế nằm phía trên đường bình phương tối thiểu, trong những thời đoạn giữa các điểm phân tán tụ họp ở phía dưới đường thẳng, và trong các thời đoạn sau cùng chúng lại nhất quán nằm phía trên đường thẳng. Do đó ta kỳ vọng sự tương quan cao giữa các sai số của các thời đoạn liên tiếp và gần kề nhau, như vậy vi phạm giả thiết độc lập chuỗi. Thực tế, hệ số tương quan giữa u t và u t-1 là 0,97. Một phương cách hữu dụng để nhận dạng sự có mặt của tương quan chuỗi là biểu đồ phần dư. Đây đơn giản là một đồ thò của các số dư ước lượng u t theo thời gian t, Hình 9.2 minh họa biểu đồ số dư này cho trường hợp dân số nông trại. Ta quan sát thấy một xu hướng rõ ràng các phần dư liên tiếp tụ tập về một phía của đường thẳng số không hoặc phía kia. Đây là một dấu hiệu theo dạng đồ thò cho thấy sự có mặt của tự tương quan. Nếu u t là độc lập, sự tụ họp này có thể sẽ không xảy ra. } Hình 9.1 Minh Họa của Tự Tương Quan 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 Time Farmpop Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Niên khóa 2003-2004 Phương pháp phân tích Bài đọc Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng Chương 9: Tương quan chuỗi Ramu Ramanathan 3 Thục Đoan/Hào Thi } Hình 9.2 Minh Họa của Biểu Đồ Phần Dư Từ sự thảo luận và các ví dụ này rõ ràng sự tự tương quan thực sự vi phạm Giả thiết 3.6. Bây giờ ta tiếp tục thảo luận các hệ quả khi bỏ qua sự tự tương quan, trình bày các kiểm đònh thích hợp để nhận dạng sự có mặt của tương quan chuỗi, và cuối cùng thảo luận các phương pháp ước lượng có thể chọn lựa. } 9.1 Tương Quan Chuỗi Bậc Nhất Đầu tiên, ta xét trường hợp đặc biệt nhất của tương quan chuỗi gọi là tương quan chuỗi bậc nhất. Mặc dù ta dùng mô hình hồi qui tuyến tính đơn để khảo sát các vấn đề, tất cả kết quả cũng khái quát hóa cho trường hợp hồi qui bội. Nếu tương quan chuỗi tồn tại, thì Cov(u t , u s ) ≠ 0 với t ≠ s, nghóa là, sai số cho thời đoạn t là tương quan với sai số cho thời đoạn s. Giả thiết của tự tương quan bậc nhất được phát biểu chính thức như sau: GIẢ THIẾT 9.1 Y t = α + βX t + u t (9.1) u t = ρu t-1 + ε t –1 < ρ < 1 (9.2) Vậy sai số u t quan hệ với sai số của thời đoạn trước (u t-1 ), một số hạng sai số mới (ε t ), và một thông số mới ρ, ρ phải có trò tuyệt đối nhỏ hơn 1, nếu không, tác động bùng nổ có thể xảy ra. Bởi vì ρ là hệ số của số hạng sai số trễ một thời đoạn, được gọi là hệ số tự tương quan bậc nhất. Quá trình được mô tả bởi Phương trình (9.2) được gọi là quá trình tự hồi qui bậc nhất, được biết đến phổ biến hơn là AR(1). Sau này trong chương này (Phần 9.5) ta xét các quá Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Niên khóa 2003-2004 Phương pháp phân tích Bài đọc Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng Chương 9: Tương quan chuỗi Ramu Ramanathan 4 Thục Đoan/Hào Thi trình tự hồi qui bậc cao hơn. Các sai số mới ε t được giả thiết để thỏa mãn các điều kiện sau đây: GIẢ THIẾT 9.2 Các sai số ε t tuân theo phân phối một cách độc lập và đồng nhất với trò trung bình là 0 và phương sai không đổi sao cho E(ε t ) = 0, E(ε 2 t ) = σ 2 ε < ∞, và E(ε t ε t-s ) = 0 với s ≠ 0. Vậy các số hạng sai số mới được giả thiết để có cùng tính chất với các tính chất mà thủ tục OLS giả thiết u t phải có. Trong tài liệu chuỗi thời gian, một chuỗi tuân theo Giả thiết 9.2 được gọi là chuỗi có tính nhiễu trắng với trò trung bình là 0. Bởi vì u t phụ thuộc vào u t-1 , ta có thể kỳ vọng là chúng tương quan. Lưu ý rằng u t không phụ thuộc trực tiếp vào u t-2 ; tuy nhiên, lại phụ thuộc gián tiếp qua u t-1 bởi vì u t-1 phụ thuộc trực tiếp vào u t-2 . Vậy, u t tương quan với tất cả sai số quá khứ. Nếu đồng phương sai là dương, thì có tự tương quan dương, và khi đồng phương sai âm, ta có tự tương quan âm. Trong Phụ lục Phần 9.A.2 cho thấy Cov(u t , u t-1 ) = σ 2 ρ s , với s ≥ 0. } 9.2 Các Hệ Quả khi Bỏ Qua Tương Quan Chuỗi Trong Chương 3 ta đã chứng minh rằng theo Giả thiết 3.3 và 3.4, (nghóa là u t có trò trung bình là 0 và không tương quan với X t ), các ước lượng OLS là không thiên lệch và nhất quán. Vì sự chứng minh các tính chất này không phụ thuộc vào Giả thiết 3.6, giả thiết bò vi phạm bởi sự có mặt của tự tương quan, các ước lượng OLS (và các dự báo dựa trên chúng) là không thiên lệch và nhất quán ngay cả khi các số hạng sai số tương quan theo chuỗi. Vấn đề là sự hiệu quả của các ước lượng. Trong chứng minh đònh lý Gauss-Markov đã thiết lập sự hiệu quả (Phần 3.A.4), một trong các bước liên quan việc cực tiểu phương sai của tổ hợp tuyến tính ∑a t u t : ( ) ∑∑∑∑ ≠ +σ= st stst 22 ttt )u,u(CovaaauaVar (9.3) trong đó tổng kép là theo mọi t và s có giá trò khác nhau. Nếu Cov(u t , u s ) ≠ 0, số hạng thứ hai bên tay phải sẽ không triệt tiêu. Do vậy, cực tiểu ∑a t 2 σ 2 (sẽ đưa ra các phương trình chuẩn OLS) không tương đương với việc cực tiểu Phương trình (9.3). Vì lý do này, ước lượng không thiên lệch tuyến tính tốt nhất (BLUE) cực tiểu phương trình (9.3) sẽ không giống như ước lượng OLS. Nói cách khác, ước lượng OLS không phải BLUE và do vậy không hiệu quả. Vậy, hệ quả khi bỏ qua sự tự tương quan giống như khi bỏ qua phương sai của sai số thay đổi; nghóa là các dự báo và ước lượng là không thiên lệch và nhất quán nhưng không hiệu quả. Tuy nhiên, có một điều nên biết trước. Nếu các biến X có bao gồm một biến phụ thuộc có hiệu ứng trễ như Y t-1 thì tương quan chuỗi sẽ cho ra các ước lượng OLS không nhất quán. Điều này được chứng minh trong chương kế tiếp. Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Niên khóa 2003-2004 Phương pháp phân tích Bài đọc Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng Chương 9: Tương quan chuỗi Ramu Ramanathan 5 Thục Đoan/Hào Thi Ta có thể cho thấy rằng nếu tương quan chuỗi trong u t là dương và biến độc lập X t tăng lên theo thời gian (trường hợp thường thấy), thì phương sai phần dư ước lượng ( 2 ˆ σ ) sẽ là một ước lượng quá thấp và giá trò của R 2 sẽ là một ước lượng quá cao. Nói cách khác, độ thích hợp sẽ bò phóng đại và các sai số chuẩn ước lượng sẽ nhỏ hơn các sai số chuẩn thực sự. Các điểm này được minh họa trong Hình 9.3, một biểu đồ phân tán tiêu biểu, với sự trợ giúp của mô hình hồi qui đơn. Đường đậm là đường hồi qui “thực” α + β X. Giả sử có tự tương quan dương; nghóa là, đồng phương sai giữa hai số hạng nhiễu ngẫu nhiên liên tiếp là dương. Giả sử thêm rằng điểm phân tán đầu tiên (X 1 , Y 1 ) nằm phía trên đường hồi qui thực. Điều này nghóa là u 1 sẽ dương. Bởi vì u 2 và u 1 là tương quan dương, u 2 có thể dương, làm cho (X 2 , Y 2 ) cũng nằm phía trên đường thẳng. Do đó, một vài điểm phân tán đầu tiên có thể nằm phía trên đường hồi qui thực. Giả sử một trong các điểm phân tán ngẫu nhiên nằm phía dưới đường hồi qui thực bởi do bản chất ngẫu nhiên của các số hạng u. Như vậy một vài điểm kế tiếp cũng có thể nằm phía dưới đường hồi qui thực. } Hình 9.3 Ước Lượng Quá Thấp của Phương Sai Phần Dư Bởi vì thủ tục bình phương tối thiểu làm cực tiểu tổng bình phương các độ lệch, đường “thích hợp” sẽ trông như đường đứt nét. Phương sai thực của các sai số được xác đònh bởi độ lệch của (X t , Y t ) so với đường hồi qui thực, rõ ràng sẽ lớn hơn phương sai phần dư ước lượng, được tính từ các độ lệch xung quanh đường thích hợp. Do đó, tổng bình phương sai số tính toán (ESS) sẽ nhỏ hơn giá trò thực, và R 2 sẽ lớn hơn giá trò thực. Trong trường hợp tổng quát, các phương sai của các hệ số hồi qui sẽ bò thiên lệch. Để biết thêm phân tích chi tiết bản chất của thiên lệch, bạn đọc có quan tâm nên tham khảo Phần 8.3 sách của Kmenta (1986). Đường “thực” (“true” line) Đường “thích hợp” (“fitted” line) Y X Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Niên khóa 2003-2004 Phương pháp phân tích Bài đọc Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng Chương 9: Tương quan chuỗi Ramu Ramanathan 6 Thục Đoan/Hào Thi Tác Động Lên các Kiểm Đònh các Giả Thuyết Chúng ta vừa biện luận rằng trong trường hợp thông thường khi mà tương quan chuỗi là dương và biến độc lập tăng lên theo thời gian, các sai số chuẩn ước lượng nhỏ hơn các sai số thực, và do đó sẽ là ước lượng quá thấp. Điều này có nghóa là các trò thống kê t sẽ là các ước lượng quá cao, và do vậy một hệ số hồi qui có vẻ có ý nghóa nhưng thực tế có thể là không. Các phương sai ước lượng của các thông số sẽ thiên lệch và không nhất quán. Vì vậy, các kiểm đònh t và F không còn hợp lệ. Tác Động Lên Dự Báo Mặc dù các dự báo sẽ không thiên lệch (bởi vì các ước lượng không thiên lệch), nhưng chúng không hiệu quả với các phương sai lớn hơn. Bằng cách lưu ý đến tương quan chuỗi trong các phần dư, có thể sẽ phát ra các dự báo tốt hơn các dự báo phát ra theo thủ tục OLS. Điều này được chứng minh cho cấu trúc sai số của quá trình tự hồi qui bậc nhất AR(1) được đònh rõ trong Phương trình (9.2). Giả sử ta bỏ qua Phương trình (9.2) và thu được các ước lượng OLS α ˆ và β ˆ . Ta đã thấy trong Phần 3.9 rằng dự đoán OLS sẽ là tt X ˆ ˆ Y ˆ β+α= . Bởi vì u t là ngẫu nhiên, nó không thể dự đoán; và do vậy ta đặt nó bằng với giá trò trung bình của nó, bằng không. Tuy nhiên, trong trường hợp của tương quan chuỗi bậc nhất, u t có thể dự đoán từ Phương trình (9.2), với điều kiện ρ có thể ước lượng được (gọi là ρ ˆ ). Ta có 1tt u ˆ ˆ u ˆ − ρ= . Tại thời điểm t, phần dư cho thời đoạn trước ( 1t u ˆ − ) là biết. Do đó, dự đoán AR(1) sẽ là )X ˆ ˆ Y( ˆ X ˆ ˆ u ˆ ˆ X ˆ ˆ Y ~ 1t1tt1ttt −−− β−α−ρ+β+α=ρ+β+α= (9.4) tận dụng sự việc 1t1t1t X ˆ ˆ Yu ˆ −−− β−α−= . Phương trình (9.4) sử dụng sự có mặt của tương quan chuỗi để phát ra dự đoán; vậy Y t sẽ hiệu quả hơn Y t thu được theo thủ tục OLS. Thủ tục ước lượng ρ được mô tả trong Phần 9.3. Các kết quả thu được trong phần này được tóm tắt trong Tính chất 9.1. Tính chất 9.1 Nếu tương quan chuỗi giữa các số hạng nhiễu ngẫu nhiên trong mô hình hồi qui bò bỏ qua và thủ tục OLS được dùng để ước lượng các thông số, thì sẽ có các tính chất sau: a. Các ước lượng và các dự báo dựa trên chúng sẽ vẫn không thiên lệch và nhất quán. Tuy nhiên tính chất nhất quán sẽ không còn nếu các biến phụ thuộc có hiệu ứng trễ được gộp vào xem như các biến giải thích. Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Niên khóa 2003-2004 Phương pháp phân tích Bài đọc Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng Chương 9: Tương quan chuỗi Ramu Ramanathan 7 Thục Đoan/Hào Thi b. Các ước lượng OLS không còn BLUE nữa và sẽ không hiệu quả. Các dự báo cũng sẽ không hiệu quả. c. Các phương sai ước lượng của các hệ số hồi qui sẽ thiên lệch và không nhất quán, và do đó các kiểm đònh các giả thuyết sẽ không còn hợp lệ. Nếu tương quan chuỗi là dương và biến độc lập X t tăng lên theo thời gian, thì các sai số chuẩn sẽ là các ước lượng quá thấp của các giá trò thực. Điều này có nghóa rằng R 2 tính toán sẽ là một ước lượng quá cao, cho thấy một sự thích hợp tốt hơn so với tồn tại trên thực tế. Cũng vậy, các trò thống kê t trong trường hợp như vậy sẽ có khuynh hướng có ý nghóa hơn giá trò thực sự của chúng. } 9.3 Kiểm Đònh Tương Quan Chuỗi Bậc Nhất Trong phần này, ta giới hạn trong kiểm đònh tự tương quan bậc nhất. Thủ tục được tổng quát hóa trong Phần 9.5 cho trường hợp của các bậc cao hơn. Kiểm đònh Durbin-Watson Mặc dù biểu đồ phần dư là một phương pháp đồ thò hữu ích để nhận dạng sự có mặt của tương quan chuỗi, các kiểm đònh chính thức cho tự tương quan vẫn là cần thiết. Trong phần này, ta trình bày kiểm đònh phổ biến nhất cho tương quan chuỗi bậc nhất, gọi là kiểm đònh Durbin- Watson (DW) (Durbin and Watson, 1950, 1951). Một kiểm đònh dựa trên phương pháp nhân tử Lagrange được thảo luận trong Chương 6 và 8 được trình bày trong phần tiếp theo. Các bước thực hiện kiểm đònh Durbin-Watson cho AR(1) được mô tả cho mô hình hồi qui bội sau đây: Y t = β 1 + β 2 X t2 + β 3 X t3 + . . . + β k X tk + u t (9.5) u t = ρ u t-1 + ε t -1 < ρ < 1 Bước 1 Ước lượng mô hình bởi bình phương tối thiểu thông thường và tính toán các phần dư t u ˆ là tkktttt XXXXY βββββ . ˆ −−−−−− 3333221 Bước 2 Tính toán thông kê Durbin-Watson: ∑ ∑ = = = = − − = nt 1t 2 t 2 nt 2t 1tt u ˆ )u ˆ u ˆ ( d (9.6) sau này sẽ cho thấy có giá trò trong khoảng từ 0 đến 4. Phân phối chính xác của d phụ thuộc vào các quan sát trên các biến X. Durbin và Watson đã cho thấy Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Niên khóa 2003-2004 Phương pháp phân tích Bài đọc Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng Chương 9: Tương quan chuỗi Ramu Ramanathan 8 Thục Đoan/Hào Thi rằng phân phối của d bò giới hạn bởi 2 phân phối. Các phân phối này được dùng để xây dựng các vùng giới hạn cho kiểm đònh Durbin-Watson. Bước 3a Để kiểm đònh H 0 : ρ = 0 đối lại ρ > 0 (kiểm đònh một phía), tìm trong Bảng A.5, Phụ lục A, các giá trò tới hạn cho thống kê Durbin-Watson, và viết các số d L và d U . Lưu ý rằng bảng này cho giá trò k ’ , là số các hệ số hồi qui được ước lượng, ngoại trừ số hạng hằng số. Bác bỏ H 0 nếu d ≤ d L . Nếu d ≥ d U , ta không thể bác bỏ H 0 . Nếu d L < d < d U , kiểm đònh chưa thể kết luận. Bước 3b Để kiểm đònh tương quan chuỗi âm (nghóa là, cho H 1 : ρ < 0), dùng 4 – d. Điều này được thực hiện khi d lớn hơn 2. Nếu 4 – d ≤ d L , ta kết luận rằng có tự tương quan âm ý nghóa. Nếu 4 – d ≥ d U , ta kết luận rằng không có tự tương quan âm. Kiểm đònh chưa thể kết luận nếu d L < 4 – d < d U . Sự chưa thể kết luận của kiểm đònh DW phát sinh từ thực tế rằng phân phối mẫu nhỏ cho trò thống kê DW d phụ thuộc vào các biến x và d khó tính toán. Để khắc phục điều này, Durbin và Watson xếp thành bảng các giá trò tới hạn cho các phân phối của các giới hạn đối với d, với các giá trò khác nhau của kích thước mẫu n và số các hệ số k’, không bao gộp số hạng sai số. Savin và White (1977) mở rộng kết quả này cho trường hợp của nhiều biến giải thích. Khi kiểm đònh là chưa thể kết luận, ta có thể thử dùng kiểm đònh nhân tử Lagrande được mô tả tiếp sau. Các dạng hàm hoặc các thủ tục ước lượng khác có thể được chọn lựa để thử. Vài chương trình như SHAZAM có tính đến giá trò p có lưu ý đến điều thực tế là phân phối của d phụ thuộc vào các giá trò của các biến giải thích. Từ các phần dư ước lượng ta có thể thu được một ước lượng của các hệ số tương quan chuỗi bậc nhất là ∑ ∑ = = = = − =ρ nt 1t 2 t nt 2t 1tt u ˆ u ˆ u ˆ ˆ (9.7) Ước lượng này xấp xỉ bằng với ước lượng thu được khi hồi qui t u ˆ theo 1t u ˆ − mà không có một số hạng không đổi. Trong Phụ lục 9.A cho thấy rằng trò thống kê DW d xấp xỉ bằng 2(1 - ρ ˆ ). Vậy d ≈ 2(1 - ρ ˆ ) (9.6a) Bởi vì ρ có thể sắp từ – 1 đến + 1, khoảng giá trò cho d là 0 đến 4. Khi ρ bằng 0, d bằng 2. Vậy thì, một trò thống kê DW có giá trò gần bằng 2 nghóa là không có tương quan chuỗi bậc nhất. Tự tương quan dương mạnh nghóa là ρ gần với +1. Điều này biểu hiện các giá trò thấp của d. Tương tự, các giá trò của d gần 4 cho biết một sự tương quan chuỗi âm mạnh; nghóa là ρ gần Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Niên khóa 2003-2004 Phương pháp phân tích Bài đọc Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng Chương 9: Tương quan chuỗi Ramu Ramanathan 9 Thục Đoan/Hào Thi với –1. Các trạng thái khác nhau có thể có được mô tả trong biểu đồ sau. Giả thuyết không là H 0 : ρ = 0. Kiểm đònh DW là không hợp lệ nếu vài biến X là hiệu ứng trễ của biến phụ thuộc – nghóa là, nếu chúng có dạng Y t-1 , Y t-2 , . . . . Các bài toán phát sinh bởi các biến có hiệu ứng trễ được khảo sát trong Chương 10. } VÍ DỤ 9.2 B Trong ví dụ dân số nông trại, biểu đồ phần dư được trình bày trong Hình 9.2, trò thống kê DW là d = 0,056. (Xem Phần Máy Tính Thực Hành 9.1.) Số quan sát là 44 và k’ = 1. Đối với kiểm đònh một phía, các giá trò giới hạn thu được (theo phép nội suy) từ Bảng 5.A là d L = 1,47 và d U = 1,56. Vì d < d L , kiểm đònh này bò bác bỏ tại mức 5 phần trăm. Vì vậy ta kết luận rằng tương quan chuỗi trong các phần dư có ý nghóa tại mức 5 phần trăm. } VÍ DỤ 9.3 B Ví dụ thứ hai, xét Mô hình C trong Bài tập 4.17, liên kết tỷ lệ tử vong do bệnh tim mạch vành với tiêu thụ thuốc lá tính trên đầu người, tiêu thụ thức ăn béo và dầu tính trên đầu người, tiêu thụ rượu cất tính trên đầu người, và tiêu thụ bia tính trên đầu người (xem DATA4-7). Trong ví dụ này, ta có n = 34, k’ = 4, d = 1,485, d L = 1,21, và d U = 1,728. (xem Phần Máy Tính Thực Hành 9.2.) Bởi vì d nằm trong khoảng d L và d U , ta có một kiểm đònh chưa thể kết luận. Vài chương trình máy tính (ví dụ, SHAZAM) tính toán chính xác giá trò p dựa trên các quan sát của người sử dụng. Giá trò p là 0,017, là giá trò thấp, và vì vậy ta bác bỏ H 0 : ρ = 0 và kết luận rằng có tự tương quan ý nghóa. K l Bác bỏ ρ = 0 Chấp nhận ρ = 0 Bác bỏ ρ = 0 Chưa thể kết luận Chưa thể kết luận Tự tương quan dương Tự tương quan âm H 1 : ρ > 0 H 1 : ρ < 0 0 d L d U 2 4 – d U 4 – d L 4 Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Niên khóa 2003-2004 Phương pháp phân tích Bài đọc Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng Chương 9: Tương quan chuỗi Ramu Ramanathan 10 Thục Đoan/Hào Thi } BÀI TOÁN THỰC HÀNH 9.1 Trong Ví dụ 5.1 của Chương 5 ta đã liên kết lượng nhà mới với các biến như GNP và lãi suất và đã dùng dữ liệu chuỗi thời gian để ước lượng vài mô hình khác nhau. Dùng kiểm đònh Durbin-Watson cho các mô hình này để kiểm đònh tương quan chuỗi bậc nhất. Cẩn thận khi phát biểu các giả thuyết không và giả thuyết ngược lại cũng như các tiêu chuẩn chấp nhận hoặc bác bỏ giả thuyết không. Dựa trên các kết quả của bạn, bạn có kết luận gì về các tính chất của các ước lượng OLS thu được trong Chương 5? Kiểm đònh Durbin-Watson có vài hạn chế làm cho kiểm đònh không hữu dụng trong nhiều trường hợp. Ví dụ, ta hẳn đã thấy rằng kiểm đònh có thể cho các kết quả không thể kết luận. Cũng vậy, kiểm đònh là không hợp lệ nếu các biến X bao gồm các biến phụ thuộc có hiệu ứng trễ (thông tin thêm về điều này trong Chương 10). Thứ ba, kiểm đònh là không thể áp dụng nếu các sai số tự hồi qui có bậc cao hơn (ví dụ, là 4 trong trường hợp dữ liệu theo quý). Cuối cùng, nếu số biến giải thích là lớn, giới hạn d L và d U có thể không sẵn có. Nếu bất cứ trường hợp nào trong các trường hợp này xảy ra, một lựa chọn khác là kiểm đònh LM được bàn luận tiếp theo đây, không bò các hạn chế này (tuy nhiên, chắc chắn phải có ít nhất 30 bậc tự do, bởi vì kiểm đònh LM là kiểm đònh mẫu lớn). Kiểm Đònh Nhân Tử Lagrange Kiểm đònh LM mô tả trong Chương 6 hữu dụng trong việc nhận dạng tương quan chuỗi không chỉ với bậc nhất mà cũng cho cả các bậc cao hơn, nhưng ở đây ta tự hạn chế cho trường hợp bậc nhất. Trường hợp tổng quát được xét đến trong Phần 9.5. Để bắt đầu kiểm đònh này, lưu ý rằng Phương trình (9.5) có thể được viết lại là Y t = β 1 + β 2 X t2 + . . . + β k X tk + ρ u t-1 + ε t Do đó kiểm đònh đối với ρ = 0 có thể được xử lý như kiểm đònh nhân tử Lagrange (LM) đối với việc thêm biến u t-1 (là chưa biết, và do đó ta có thể dùng 1t u ˆ − để thay vào). Các bước thực hiện kiểm đònh LM như sau: Bước 1 Bước này đúng như Bước 1 của kiểm đònh DW; nghóa là ước lượng Phương trình (9.5) theo OLS và tính toán các phần dư của nó. Bước 2 Hồi qui t u ˆ theo một hằng số, X t2 , . . . , X tk và 1t u ˆ − , dùng n – 1 quan sát từ 2 đến n. Điều này tương tự như hồi qui phụ trong Bước 4 của Phần 6.14. Kế đến tính toán LM = (n – 1)R 2 từ hồi qui phụ này. n – 1 được dùng bởi vì số quan sát hiệu quả là n – 1.