Bộ đề ôn thi vào 10 môn Toán theo cấu trúc đề tại Hải Phòng, phần 1 (Năm học: 2020-2021) Có đáp án và biểu điểm chi tiết
LUYỆN ĐỀ THI VÀO LỚP 10 MƠN TỐN PHỊNG Cấu trúc đề HẢI ĐỀ SỐ Bài 1: (1,5 điểm) Cho biểu thức : 1 1 A= + + − ; B = 1 + ÷ ÷ (với x ≠ 1; x > ) +1 + 2 x x +1 x −1 x −1 a) Rút gọn biểu thức A B b) Tìm giá trị x để A = 2B Bài 2: (1,5 điểm) 1) Xác định phương trình đường thẳng (d) cắt trục tung điểm có tung độ cắt trục hồnh điểm có hồnh độ ( −3) 2) Để phòng chống đại dịch COVID-19, công ty giao chỉ tiêu cho phân xưởng A sản xuất 1410 liều vaccine Biết ngày phân xưởng A sản xuất được 30 liều vaccine Gọi x số ngày làm, y số liều vaccine còn lại chưa sản xuất được sau x ngày a) Hãy lập cơng thức tính y theo x b) Phân xưởng A cần ngày để sản xuất đủ số liều vaccine được giao ? Bài 3: (2,5 điểm) 1) Cho phương trình bậc hai với ẩn số x: x − ( m + 1) x + m − = (m tham sớ) a) Giải phương trình m = b) Chứng minh phương trình có nghiệm với m c) Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm x1; x Tìm hệ thức x1; x khơng phụ thuộc vào m 2) Một nhóm bạn ḿn mua quà sinh nhật tặng bạn lớp Nếu người góp 10 000 đồng còn thiếu 000 đồng, bạn góp 12 000 đồng thừa 000 đồng Hỏi nhóm có bạn giá tiền q mà họ ḿn mua bao nhiêu? Bài 4: (0,75 điểm) Thùng rác inox hình trụ tròn nắp lật xoay được sử dụng phổ biến nắp được thiết kế có trục quay, mang đến khả tự cân trở về trạng thái ban đầu sau bỏ rác Biết thùng có đường kính đáy 40cm chiều cao 60cm Hãy tính diện tích Inox để làm thùng rác (coi mép gấp làm thùng không đáng kể) Bài 5: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn (O) Hai đường cao BE CF tam giác ABC cắt điểm H a) Chứng minh bốn điểm B, C, E, F thuộc đường tròn b) Chứng minh đường thẳng OA vng góc với đường thẳng EF c) Gọi K trung điểm đoạn thẳng BC Đường thẳng AO cắt đường thẳng BC điểm I, đường thẳng EF cắt đường thẳng AH điểm P Chứng minh tam giác APE đồng dạng với tam giác AIB đường thẳng KH song song với đường thẳng IP Bài 6: (0,75 điểm) Chứng minh : a+b a ( a + 3b ) + b ( b + 3a ) ≥ với a, b số dương HẾT LUYỆN ĐỀ THI VÀO LỚP 10 MƠN TỐN PHỊNG Cấu trúc đề HẢI Bài (1,5 điểm) Cho biểu thức A = + +1 + 2 1 B = (1 + ).( + x x +1 x −1 − ) (với x ≠ ; x > 0) x −1 a) Rút gọn biểu thức A B b) Tìm giá trị x để A = 2B DAPAN Bài Đáp án 2.( − 1) 1.(3 − 2) + a) A = = + +1 + 2 −1 9−8 = 2 − + 3− 2 =1 1 B = (1 + ).( + − ) x x +1 x −1 x −1 x +1 x −1 x +1 Bài = ( + − ) (1,5 điểm) x −1 x −1 x −1 x = Điểm 0.25 0.25 0.25 0.25 x + 2( x − 1) = x −1 x x b) Với x>0; x≠1 để A=2.B = 2 0.25 x ⇒ x =4 ⇒ x = 16 (tmđkxđ) Vậy x = 16 A = 2.B 0.25 Bài (1,5 điểm) 2.1 Xác định phương trình đường thẳng (d) cắt trục tung điểm có tung độ cắt trục hồnh điểm có hồnh độ – 2.2 Để phòng chống đại dịch COVID-19 , công ty giao chỉ tiêu cho phân xưởng A sản xuất 1410 liều vaccine Biết ngày phân xưởng A sản xuất được 30 liều vaccine Gọi x số ngày làm , y số liều vaccine còn lại chưa sản xuất được sau x ngày a/ Hãy lập cơng thức tính y theo x b/Phân xưởng A cần ngày để sản xuất đủ số liều vaccine được giao ? ĐÁP ÁN Bài Đáp án Biểu điểm 2.1 Gọi phương trình đường thẳng (d) có dạng y = ax + b 0,25 Vì đường thẳng (d) cắt trục tung điểm có tung độ nên ta có tung độ gớc b = ⇒ Phương trình đường thẳng (d): y = ax + 0,25 LUYỆN ĐỀ THI VÀO LỚP 10 MƠN TỐN PHỊNG Cấu trúc đề HẢI Vì đường thẳng (d) cắt trục hồnh điểm có hồnh độ – 3, tức qua điểm (–3 ; 0) nên ta có: = –3a + ⇔ a = Vậy phương trình đường thẳng (d) cần xác định y = 2x + 2.2.a (1,5 + Số liều vaccine sản xuất được sau x ngày : 30x (liều ) điểm) (ĐK :x>0) + Vì phân xưởng A được giao 1410 liều vaccine nên ta có : 30x+y =1410 hay : y = -30x +1410 Vậy công thức tính y theo x : y = -30x +1410 b.+ Để phân xưởng sản xuất đủ số liều vaccine được giao y = hay -30x +1410 = + Giải được x = 47 ( thỏa mãn : ĐK :x>0) Vậy sau 47 ngày phân xưởng sản xuất đủ số liều vaccine được giao 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài ( 2,5 điểm) Cho phương trình bậc hai với ẩn sớ x: x2 – (m + 1)x + m – = ( m tham sớ) a) Giải phương trình m = 4? b) Chứng minh phương trình có nghiệm với m? c) Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm x1,x2 Tìm hệ thức x1,x2 khơng phụ thuộc vào m? Một nhóm bạn ḿn mua quà sinh nhật tặng bạn lớp Nếu người góp 10 000 đồng còn thiếu 000 đồng, bạn góp 12 000 đồng thừa 000 đồng Hỏi nhóm có bạn giá tiền q mà họ ḿn mua bao nhiêu? ĐÁP ÁN Bài Đáp án Biểu điểm 1) x2 – (m + 1)x + m – = (1) a) Thay m = vào phương trình (1) được: x2 – 2(4 +1)x + – = ⇔ x2 - 10x = ⇔ x(x - 10) = x = ⇔ x = 10 Bài 3.1 Vậy với m = phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt là: (1,5 điểm) x1 = 0; x2 = 10 0,25 0,25 LUYỆN ĐỀ THI VÀO LỚP 10 MƠN TỐN PHỊNG Cấu trúc đề HẢI b)Ta có: ∆' = m2 + m + = m + ÷ + 19 2 2 Nhận xét: m+ ÷ ≥ ⇒ m+ ÷ + 19 > 2 2 ⇒ ∆ ' > với m Vậy phương trình ln có nghiêm với m c)Vì phương trình cho ln có nghiệm với m nên theo Vi-ét ta có: x1 + x2 = 2(m + 1) ; x1.x2 = m – Tìm được x1+x2 – 2x1x2 = 2m + – 2m + = 10 Vậy hệ thức cần tìm là: x1 + x2 – 2x1x2 = 10 Bài 3.2 (1 điểm) 0,25 2.Gọi số bạn nhóm x(bạn) (x ∈ N*) Giá tiền quà y(đồng) (y > 0) Theo đề có hệ phương trình 10000 x = y − 4000 10000 x − y = −4000 2000 x = 10000 ⇔ ⇔ 12000 x = y + 6000 12000 x − y = 6000 12000 x − y = 6000 x = x = 5(TM ) ⇔ ⇔ 12000.5 − y = 6000 y = 54000(TM ) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Vậy nhóm có bạn giá tiền quà 54 000 đồng Bài (0,75 điểm) Thùng rác inox hình trụ tròn nắp lật xoay được sử dụng phổ biến nắp được thiết kế có trục quay, mang đến khả tự cân trở về trạng thái ban đầu sau bó rác Biết thùng có đường kính đáy 40cm chiều cao 60cm Hãy tính diện tích Inox để làm thùng rác ( coi mép gấp làm thùng khơng đáng kể) (hình minh họa) ĐÁP ÁN Bài Đáp án Điểm a.Thấy diện tích Inox để làm thùng rác diện tích tồn phần 0.25 hình trụ: 2 0.25 (0.75 Stp=2πr +2πrh=2π40 +2π40.60= 8000π(cm²) điểm) Vậy diện tích Inox cần làm thùng rác 8000πcm² 0.25 LUYỆN ĐỀ THI VÀO LỚP 10 MƠN TỐN PHỊNG Cấu trúc đề HẢI Bài 5.(3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị lớn nhất biểu thức P = 2x + yz + 2y + xz + 2z + xy HẾT Bài 1(1,5 điểm): Cho biểu thức : A = ( 20 − 45 + 5) B = x +1− x x + x + x −1 x +1 ( Điều kiện: x ≥ 0, x ≠ 1) a) Rút gọn biểu thức A biểu thức B ? b) Tìm giá trị x để giá trị biểu thức A hai lần giá trị biểu thức B LUYỆN ĐỀ THI VÀO LỚP 10 MƠN TỐN PHÒNG Cấu trúc đề HẢI ĐÁP ÁN Bài Đáp án Điểm a) (1,0đ) Rút gọn biểu thức : A = ( 20 − 45 + 5) = (2 − + 5) = 10 B= 0,25 0,25 x +1− x x + x + x −1 x +1 ĐK: x ≥ 0, x ≠ ( x − 1)2 x ( x + 1) + B= x −1 x +1 = x -1+ x =2 x -1 0,25 0,25 b) (0,5đ) A = 2B ⇔ x - = 10 0,25 0,25 ⇔ x = ⇔ x = ( thỏa mãn ĐKXĐ) Bài 2(1,5 điểm) a) Tại bề mặt đại dương, áp suất nước áp suất khí 1atm ( atmosphere) Bên dưới mặt nước, áp suất nước tăng thêm atm cho 10 mét sâu xuống Biết mối liên hệ áp suất y (atm) độ sâu x (m) dưới mặt nước hàm sớ bậc nhất có dạng y = ax + b 1) Xác định hệ số a b 2) Một người thợ lặn ở độ sâu người ấy chịu áp suất 2,85 atm? 2x − y = b) Giải hệ phương trình 3x + 2y = Câu 2a ĐÁP ÁN Nội dung 1) Khi x = 0(m) bề mặt đại dương, y = ( atm) Thay x = 0; y = vào hàm sớ ta có: = a.0 + b Suy b = Khi x = 10(m) y = 1+ = 2(atm) Thay x = 10; y = vào hàm sớ ta có: = 10.a + Suy a = Vậy a = 10 Điểm 0,25 đ 0,25 đ ;b=1 10 LUYỆN ĐỀ THI VÀO LỚP 10 MƠN TỐN PHỊNG Cấu trúc đề HẢI 1 ; b = ta có hàm sớ: y = x + 10 10 Khi y = 2,85(atm) ta có : 2,85 = x + hay 28,5 = x + 10 10 2) Với 2b a= Suy x = 18,5(m) Vậy người ấy chịu áp suất 2,85(atm) ở dộ sâu 18,5(m) 0,25 đ 3 x + y = x + y = 7 x = ⇔ ⇔ 2 x − y = 4 x − y = 2 x − y = 0,25đ x = x = ⇔ ⇔ 2.1 − y = y = −1 0,25đ Vậy hệ phươg tnrình cho có nghiệm nhất (x;y) = (1;-1) 0,25đ Bài (2,5 điểm) 1) Cho phương trình: x + x + m = (*) (m tham số) a) Giải phương trình (*) m = −3 b) Tìm m để phương trình (*)có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 + x2 = 18 2) Quãng đường từ A đến B dài 90 km Một người xe máy từ A đến B Khi đến B, người nghỉ 30 phút quay trở về A với vận tốc lớn vận tốc lúc km/h Thời gian kể từ lúc bắt đầu từ A đến lúc trở về đến A Tính vận tớc xe máy lúc từ A đến B ĐÁP ÁN Bài Nội dung Điểm a) Với m = -3 ta có phương trình: x + x − = 0,25 Ta có: ∆ = 37 > (1,5 điểm) −5 + 37 x = Phương trình có nghiệm phân biệt: −5 − 37 x = b Ta có ∆ = 25 − 4m Phương trình (*) có nghiệm ⇔ ∆ ≥ ⇔ 25 − 4m ≥ ⇔ m ≤ 0,25 25 0,25 x1 + x2 = −5 Theo hệ thức Viet, ta có : x1.x2 = m 0,25 x1 + x2 = −5 x =4 ⇔ Ta có hệ phương trình: 9 x1 + x2 = 18 x2 = −9 nên m = x1.x2 = 4( −9) = −36 (thỏa điều kiện) Vậy m = -36 0,25 Gọi vận tốc xe máy từ A đến B x (km/h), 0,25 0,25 vận tốc xe máy từ B đến A x + (km/h) (x >0) 0,25 LUYỆN ĐỀ THI VÀO LỚP 10 MƠN TỐN PHỊNG (1 điểm) Cấu trúc đề HẢI Thời gian xe máy từ A đến B 90 (h) x Thời gian xe máy từ A đến B 90 (h) x+9 Theo đề ta có phương trình: 90 90 10 10 + = − + = x( x + 9) = 20(2 x + 9) x x+9 x x+9 2 x − 31x − 180 = 0,25 0,25 x = 36( tmdk) Vậy vận tốc xe máy 30 km/h Bài (0,75 điểm) Một trục lăn sơn nước có dạng hình trụ Đường kính đường tròn đáy cm, chiều dài lăn 23 cm Sau lăn trọn 15 vòng trục lăn tạo nên sân phẳng diện tích bao nhiêu? ĐÁP ÁN BÀI Nội dung Điểm Chu vi đáy lăn trụ là: C = π R = π (cm) 0,25 Khi lăn trọn 15 vòng tạo nên sân phẳng có chiều dài là: (0,75điểm) 15.C = 15 π = 75 π (cm) 0,25 Diện tích sân phẳng là: S = 75 π 23 = 1725 π (cm2) 0,25 Bài (3,0 điểm) Từ điểm M nằm đường tròn (O) vẽ tiếp tuyến MP MQ với đường tròn (P Q tiếp điểm) cát tuyến MAB (A nằm M B), gọi I trung điểm AB a) Chứng minh điểm M, P, O, I, Q thuộc đường tròn Xác định tâm đường tròn qua năm điểm M, P, O, I, Q b) PQ cắt AB E Chứng minh MP2 = ME MI c) Qua A kẻ đường thẳng song song với MP cắt PQ, PB lần lượt H K Chứng minh KB = HI ĐÁP ÁN Vẽ hình để làm câu a 0,25 10 LUYỆN ĐỀ THI VÀO LỚP 10 MƠN TỐN PHỊNG Cấu trúc đề HẢI BÀI NỘI DUNG ĐIỂM R = : = 4(mm)= 0,4( cm) Chiều cao hình trụ là: h = 2cm (0,75 điểm) Thể tích mũi khoan là: 0,25 V1 = π R h = π (0,4) 2 ≈ 1,0048(cm3 ) Thể tích phần còn lại tấm kim loại là: 0,25 V = 5.5 − 4.1,0048 ≈ 45,98(cm3 ) Bài ( 2,75 điểm) Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB Bán kính CO vng góc với AB, M điểm bất kỳ cung nhỏ AC (M khác A, C); BM cắt AC H Gọi K hình chiếu H AB a) Chứng minh CBKH tứ giác nội tiếp b) Trên đọan thẳng BM lấy điểm E cho BE = AM Chứng minh tam giác ECM tam giác vuông cân C c) Gọi d tiếp tuyến (O) điểm A; cho P điểm nằm d cho hai điểm P, C nằm nửa mặt phẳng bờ AB AP.MB = R Chứng minh đường thẳng PB qua trung điểm đoạn MA thẳng HK ĐÁP ÁN C Q Bài (2,75đ) M 0,25 H E P N A a) K O B Ta có: ·HCB = ·ACB = 900 (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) ·HKB = 900 (gt) ⇒ ·HCB + ·HKB = 1800 , mà hai góc ở vị trí đới diện nên tứ giác CBKH nội tiếp 0.25 0.25 0.25 (Đpcm) b) CO ⊥ AB O nên C điểm cung AB, suy CA=CB · · Mà MAC (hệ quả), AM=BE(gt) ⇒ ∆MAC = ∆EBC (c.g.c) = MBC ⇒ CM = CE hay ∆CME cân C (1) » = sdAB » = 900 Lại có C điểm cung AB nên sdCB » · ⇒ BMC = sdCB = 900 = 450 (2) 2 Vì 0.25 0.25 0.25 0.25 44 LUYỆN ĐỀ THI VÀO LỚP 10 MƠN TỐN PHỊNG Cấu trúc đề HẢI ∆CME vng cân C AP.MB AP R BO = R⇒ = = Từ giả thiết MA AM MB BM AP BO · 0.25 · Ta có : (hệ quả) ⇒ ∆APM : ∆BOM (c.g.c) = , PAM = OBM AM BM AP OB ⇒ = = 1⇒ PA = PM PM OM -Kéo dài BM cắt đường thẳng (d) Q Vì ·AMB = 900 ⇒ ·AMQ = 900 hay tam giác AMQ 0.25 · · · · vuông M Mà PM=PA nên PAM = PMA ⇒ PMQ = PQM ⇒ PQ = PM ⇒ Từ (1) (2) suy ra: c) PA=PQ hay P trung điểm AQ -Gọi N giao điểm BP với HK Vì HK//AQ (cùng vng góc AB) nên theo hệ quả định lí Ta-lét, ta có: NK BN HN = = mà PA=PQ ⇒ NH = NK hay BP qua trung điểm N PA BP PQ 0.25 HK (Đpcm) Bài (0,75 điểm) Cho số dương x, y, z thoả mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức: M = x+ 1 + y+ + z+ x y z ĐÁP ÁN Nội dung Bài Điểm a2 + x2 + b2 + y2 ≥ (a + b)2 + (x + y)2 Ta có ⇔ a2 + x2 + b2 + y2 + a2 + x2 b2 + y2 ≥ (a + b)2 + (x + y)2 ⇔ a2 + x2 b2 + y2 ≥ 2(ab + xy) ⇔ ( a2 + x2 b2 + y2 ( )( ) ) ≥ (ab + xy)2 0,25 ⇔ a2 + x2 b2 + y2 ≥ (ab)2 + (xy)2 + 2abxy Bài 0,75 đ ( ⇔ (ay)2 + (bx)2 − 2abxy ≥ ⇔ ay − bx ) ≥ (luôn đúng) Bất đẳng thức xảy dấu “=” chỉ ay = bx Áp dụng bất đẳng thức ở phần liên tiếp hai lần ta có 0,25 1 1 1 ÷ x + + y + + z + ≥ ( x + y + z )2 + + + x ÷ x y z y z 1 - Chứng minh với a > 0;b > 0;c > + + ≥ a b c a + b+ c Áp dụng bất đẳng thức ta có : x + y + z ≥ x+ y+ z 45 LUYỆN ĐỀ THI VÀO LỚP 10 MƠN TỐN PHÒNG Cấu trúc đề HẢI Do M ≥ ( x + y + z )2 + ÷ =3 x+ y+ z÷ Dấu “=” xảy x = y = z = Vậy giá trị nhỏ nhất M 21 x = y = z = 0,25 ĐỀ SỐ Bài 1: (1,5 điểm) Cho hai biểu thức (với x > 0, x ≠ ) + − x A= + 1÷ − 1÷; B = + ÷: ÷ + − x - x - x x +1 x - 1 a) Rút gọn A, B b) Tìm x cho A.B < Bài 2: (1,5 điểm) (x + 1) + 2(y − 2) = 1) Giải hệ phương trình 3(x + 1) − (y − 2) = 2) Quãng đường xe chạy từ địa điểm A đến địa điểm B dài 235 km được xác định bởi hàm số S = 50t + 10 , S quãng đường AB t (giờ) thời gian xe chạy a) Hỏi sau xuất phát từ A xe cách điểm B km? b) Thời gian xe chạy hết quãng đường AB giờ? Bài 3: (2,5 điểm) 1) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = 2x2 đường thẳng (d): y = 4x − m + (với m tham số) a) Tìm tọa độ giao điểm (P) (d) m = b) Tìm giá trị tham sớ m để (d) cắt (P) điểm có hồnh độ lần lượt x1; x thỏa mãn x1x = x12 + x 2 − 2) Một vườn trường hình chữ nhật trước có chu vi 124m Nhà trường mở rộng chiều dài thêm 5m chiều rộng thêm 3m, diện tích vườn trường tăng thêm 240m Tính chiều dài chiều rộng vườn lúc đầu Bài 4: (0,75 điểm) Có lọ thuỷ tinh hình trụ, lọ thứ nhất bên có đường kính đáy 30cm, chiều cao 20cm chứa đầy nước, lọ thứ hai bên có đường kính đáy 40cm, chiều cao 12cm Nếu đổ hết nước từ lọ thứ nhất sang lọ thứ hai nước có bị tràn khơng? Tại sao? Bài 5: (3,0 điểm) Cho đường tròn ( O;R ) , hai đường kính AB CD vng góc với E điểm thuộc cung nhỏ BC (E không trùng với B C), tiếp tuyến đường tròn ( O;R ) E cắt đường thẳng AB I Gọi F giao điểm DE AB, K điểm thuộc đường thẳng IE cho KF vng góc với AB a) Chứng minh tứ giác OKEF nội tiếp · · b) Chứng minh OKF DE.DF = 2R = ODF · · c) Gọi M giao điểm OK với CF, tính tan MDC EIB = 45o Bài 6: (0,75 điểm) Cho a, b,c > ab bc ca a +b+c + + ≤ Chứng minh a + 3b + 2c b + 3c + 2a c + 3a + 2b HẾT -46 LUYỆN ĐỀ THI VÀO LỚP 10 MƠN TỐN PHỊNG Cấu trúc đề HẢI Bài 1(1,5đ): Cho hai biểu thức + − + 1÷ − 1÷ + − A= x : + ÷ ÷ với x > 0, x ≠ ÷ x - x - x x +1 x - B = a) Rút gọn A,B b) Tìm x cho A.B < Câu a) A = ( )( ĐÁP ÁN Nội dung cần đạt ) +1 Điểm −1 0,25 A=3–1=2 B= : x ( x - 1) x x -1 x-1 x ( 0,25 : ) ( x -1 x -1 ( )( x -1 x +1 )( x -1 ) x +1 = x-1 x + ) ( x +1 ( ) x -1 x −1 = x b) A.B < ⇔ 2( x − 1) nên x > 0) ⇔ 2( x − 1) 0, x ≠ ta được < x < Câu 2: ( x + 1) + 2( y − 2) = 3( x + 1) − ( y − 2) = 1) Giải hệ phương trình 2) Quãng đường xe chạy từ địa điểm A đến địa điểm B dài 235 km được xác định bởi hàm số S = 50t + 10, S quãng đường AB t (giờ) thời gian xe chạy a) Hỏi sau xuất phát từ A xe cách điểm B km? b)Thời gian xe chạy hết quãng đường AB giờ? 47 LUYỆN ĐỀ THI VÀO LỚP 10 MƠN TỐN PHỊNG Cấu trúc đề HẢI ĐÁP ÁN Đáp án Bài Điểm 1) Giải hệ phương trình ( x + 1) + 2( y − 2) = 3( x + 1) − ( y − 2) = Bài ( 1,5 điểm) 0,25 x + y = ⇔ 3 x − y = −4 0,25 x + y = ⇔ 6 x − y = −8 7 x = ⇔ x + y = x = ⇔ y = 0,25 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x;y) = ( 0; 4) 2.a) Quãng đường xe được sau 3h là: 0,25 50.3 +10 = 160 Km Vậy sau xuất phát từ A xe cách điểm B là: 0,25 235 – 160 = 75 Km 2.b) Vì xe chạy hết quãng đường AB nên: 50t + 10 = 235 ⇔ t = 4,5 0,25 Vậy thời gian xe chạy hết quãng đường AB 4,5 Bài ( 2,5 điểm) 3.1) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = 2x2 đường thẳng (d): y = 4x – m + (với m tham số) a) Tìm tọa độ giao điểm (P) (d) m = 5; b) Tìm giá trị tham số m để (d) cắt (P) điểm có hồnh độ lần lượt x 1, x2 thỏa mãn: x1x2 = x12 + x22 – 3.2) Giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình: Một vườn trường hình chữ nhật trước có chu vi 124m Nhà trường mở rộng chiều dài thêm 5m chiều rộng thêm 3m, diện tích vườn trường tăng thêm 240m2 Tính chiều dài chiều rộng vườn lúc đầu ĐÁP ÁN 3.1 ( 1,5 điểm) a) Khi m = 5, phương trình đường thẳng (d) y = 4x - Xét phương trình hồnh độ giao điểm parabol (P) đường 0.25 thẳng (d): 2x2 = 4x-2 ⇔ x2-2x+1=0 ⇔ (x-1)2 = ⇔ x =1 Tại x = y = 4x -2 = Bài (2,5 điểm) Vậy m = 5, đường thẳng (d) parabol (P) có giao 0.25 điểm nhất có tọa độ (1; 2) b) Xét phương trình hồnh độ giao điểm parabol (P) đường thẳng (d): 0.25 2x2 = 4x – m+3 ⇔ 2x2 – 4x + m -3=0 (1) 48 LUYỆN ĐỀ THI VÀO LỚP 10 MƠN TỐN PHỊNG Cấu trúc đề HẢI Đường thẳng (d) cắt (P) điểm phương trình (1) có nghiệm phân biệt ⇔ ∆ ' = 10 − 2m > ⇔ m < (*) 0,25 Khi hồnh độ giao điểm x1, x2 nghiệm phương trình (1) x1 + x = 0,25 Theo định lý Vi ét: m−3 x1 ×x = Lại có x1x2 = x12 + x22 –3 (GT) ⇔ (x1+x2) –3x1x2 – = m−3 − = ⇔ 4.2 − 3m + − = Nên 22 − 11 ⇔ 3m = 11 ⇔ m = (thỏa mãn (*)) 11 Vậy m = 3.2) (1 điểm) Gọi chiều dài mảnh vườn hình chữ nhật lúc đầu x(m) chiều rộng mảnh vườn hình chữ nhật lúc đầu y(m) (ĐK: x > y > 0) Chu vi mảnh vườn 124m ⇒ ( x + y ) = 124 ⇔ x + y = 62 (1) Nhà trường mở rộng chiều dài thêm 5m chiều rộng thêm 3m, diện tích vườn trườn tăng thêm 240m2 Suy ra: ( x + ) ( y + 3) = xy + 240 ⇔ 3x + 5y = 225 (2) { x + y = 62 Từ (1) (2) ta có hệ phương trình: 3x + 5y = 225 Giải hệ phương trình , tìm được x = 42,5; y = 19,5 (TMĐK) Vậy chiều dài mảnh vườn hình chữ nhật lúc đầu 42,5m chiều rộng mảnh vườn hình chữ nhật lúc đầu 19,5m 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài 4(0,75đ): Bài tốn hình học khơng gian có nội dung thực tế Có lọ thuỷ tinh hình trụ, lọ thứ nhất bên có đường kính đáy 30cm, chiều cao 20cm chứa đầy nước, lọ thứ hai bên có đường kính đáy 40cm, chiều cao 12 cm Nếu đổ hết nước từ lọ thứ nhất sang lọ thứ hai nước có bị tràn khơng? Tại sao? ĐÁP ÁN Câu Đáp án Điểm Bán kính hình trụ thứ nhất là: r = 30: = 15cm 0,25 Thể tích hình trụ thứ nhất là: V1 = π r h = π 152.20 = 4500π ( cm ) 0,25 Bán kính hình trụ thứ hai là: r = 40: = 20cm Thể tích hình trụ thứ hai là: V2 = π r h = π 202.12 = 4800π ( cm3 ) 49 LUYỆN ĐỀ THI VÀO LỚP 10 MƠN TỐN PHỊNG Cấu trúc đề HẢI V1 Chứng minh: 0,25 ( ) : 3R = −1 2 −1 0,25 ab bc ca a+b+c + + ≤ a + 3b + 2c b + 3c + 2a c + 3a + 2b 51 LUYỆN ĐỀ THI VÀO LỚP 10 MƠN TỐN PHỊNG Cấu trúc đề HẢI ĐÁP ÁN Đáp án Bài C/m : Điểm 11 1 ≤ + + ÷ a +b+c 9 a b c 0,25 Áp dụng bất đẳng thức ta có: ab ab ab 1 = ≤ + + ÷ a + 3b + 2c ( a + c ) + (b + c ) + 2b a + c b + c 2b Chứng minh tương tự ta được: bc bc 1 ≤ + + ÷ b + 3c + 2a a + b a + c 2c ac ac 1 ≤ + + ÷ c + 3a + 2b b + c b + a 2a ab + bc ab + ac ac + bc a + b + c a + b + c + + + ⇒P ≤ ÷= 9 a+c b+c a+b Dấu “=” xảy a = b = c 0,25 0,25 ĐỀ SỐ 10 Bài 1: (1,5 điểm) Rút gọn biểu thức sau: A= 3−2 − 3+2 B= x x −1 − x −1 x− x (với x > x ≠ 1) Tìm giá trị x để giá trị biểu thức A B thỏa mãn B = A Bài 2: (1,5 điểm) 1) Xác định hệ số a b hàm số y = ax + b biết đồ thị hàm số đường thẳng song song với đường thẳng y = x + 2021 qua điểm A(−1;3) 2) Thị trường xe máy đầu năm 2018 có xu hướng phát triển mạnh Với xu hướng sáng ngày 31-5, Hải Phòng, Honda Việt Nam thức mắt mẫu xe tồn cầu mới SH Mode trang bị động eSP 125 phân khối, với mức giá cạnh tranh với vốn ban đầu 60 tỉ đồng Chi phí để sản xuất xe 35 triệu đồng Giá bán 50 triệu đồng a) Viết hàm số biểu diễn tổng số tiền đầu tư đến sản xuất được x xe SH Mode (gồm vốn ban đầu chi phí sản x́t) hàm sớ biểu diễn số tiền thu được bán x xe.( viết theo đơn vị đồng ) b) Honda Việt Nam phải bán xe mới thu hồi được vốn? Bài 3: (2,5 điểm) 1) Cho phương trình x − (m + 5)x + 3m + = (x lµ Èn sè) a Chứng minh phương trình ln có nghiệm với sớ thực m 52 LUYỆN ĐỀ THI VÀO LỚP 10 MÔN TỐN PHỊNG Cấu trúc đề HẢI b Tìm m để phương trình có nghiệm x1 , x độ dài cạnh góc vng tam giác có độ dài cạnh hùn 2) Một xí nghiệp đóng giầy dự định hồn thành kế hoạch 26 ngày Nhưng nhờ cải tiến kĩ thuật nên ngày làm vượt mức 6000 đơi giầy Do khơng xí nghiệp hồn thành kế hoạch 24 ngày mà còn vượt mức 104 000 đơi giầy Tính sớ đơi giày xí nghiệp phải làm theo kế hoạch Bài 4: (0,75 điểm) Người ta chế tạo chi tiết máy hình trụ có diện tích xung quanh 12,4 cm2 có diện tích tồn phần 17,5 cm2 Tính bán kính đáy chiều cao chi tiết máy hình trụ Bài 5: (3,0 điểm) 4.1 Cho (O;R) điểm A nằm đường tròn với OA > 2R Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC đường tròn (O) (B, C tiếp điểm) Vẽ dây BE đường tròn (O) song song với AC; AE cắt (O) D khác E; BD cắt AC S Gọi M trung điểm đoạn DE a) Chứng minh năm điểm A, B, C, O, M thuộc đường tròn b) Chứng minh SC2 = SB.SD c) Hai đường thẳng DE BC cắt V; đường thẳng SV cắt BE H Chứng minh ba điểm H, O, C thẳng hàng Bài 6: (0,75 điểm) Chứng minh: a+b+c a ( a + 3b ) + b ( b + 3c ) + c(c + 3a) ≥ với a, b, c số dương HẾT Bài (1,5 điểm) Rút gọn biểu thức sau: 1 − A= 3−2 3+2 B= x x −1 − x −1 x− x (với x > x ≠ 1) Tìm giá trị x để giá trị biểu thức A B thỏa mãn B = Bài Bài (1,5đ) A ĐÁP ÁN Đáp án 1.1 Rút gọn biểu thức 1 (2 + 2) − (2 − 2) − A= = = = 2 3−2 3+2 (2 − 2)(2 + 2) Với x > x ≠ ta có: x x −1 x − x +1 ( x − 1) x x −1 − − B= = = = x −1 x ( x − 1) x ( x − 1) x ( x − 1) x −1 x − x = Điểm 0,5 0,5 x −1 x 1.2 Tìm giá trị x để giá trị biểu thức A B thỏa mãn B = A 53 LUYỆN ĐỀ THI VÀO LỚP 10 MƠN TỐN PHỊNG Với x > x ≠ ta có: B = Cấu trúc đề HẢI A⇒ x −1 = x Quy đồng khử mẫu ta được: x − = x ⇔ 0,5 x = ⇔ x = (t/m) Vây: x = giá trị biểu thức A B thỏa mãn B = A Bài (1,5 điểm) 1) Xác định hệ số a b hàm số y = ax + b biết đồ thị hàm số đường thẳng song song với đường thẳng y = x + 2021 qua điểm A(−1;3) 2) Thị trường xe máy đầu năm 2018 có xu hướng phát triển mạnh Với xu hướng sáng ngày 31-5, Hải Phòng, Honda Việt Nam thức mắt mẫu xe tồn cầu mới SH Mode trang bị động eSP 125 phân khối, với mức giá cạnh tranh với vốn ban đầu 60 tỉ đồng Chi phí để sản xuất xe 35 triệu đồng Giá bán 50 triệu đồng a) Viết hàm số biểu diễn tổng số tiền đầu tư đến sản xuất được x xe SH Mode (gồm vớn ban đầu chi phí sản x́t) hàm số biểu diễn số tiền thu được bán x xe.( viết theo đơn vị đồng ) b) Honda Việt Nam phải bán xe mới thu hồi được vớn? Bài 2.1 2.2 ĐÁP ÁN Nội dung Đồ thị hàm số y = ax + b đường thẳng song song với đường thẳng y = x + 2021 nên ta có a = b ≠ 2021 Khi hàm sớ có dạng y = 2x + b Đồ thị hàm số qua điểm A(-1;3) nên thay x = -1 ; y = vào công thức hàm sớ ta có : = 2.(−1) + b ⇔ b = ( thỏa mãn b ≠ 2021 ) Vậy a =2 b=5 a) - Hàm số y biểu diễn tổng số tiền đầu tư đến sản xuất được x xe SH Mode (gồm vớn ban đầu chi phí sản x́t) : y = 35000000.x +60000000000 - Hàm số y biểu diễn số tiền thu được bán x xe : y =50000000.x b) Để Honda Việt Nam phải bán sớ xe mới thu hồi được vớn ta có : 50000000.x=35000000+60000000000 15000000.x=600000000000 x = 4000 Vậy cần bán 4000 thu hồi vớn Điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 HƯỚNG DẪN a Phương trình cho có : ∆ = (m + 5) − 4.1.(3m + 6) = m + 10m + 25 − 12m − 24 = m − 2m + = ( m − 1) ≥ ví i ∀m + Vậy phương trình cho ln có nghiệm với m (đpcm) b Theo phần (a) phương trình cho ln có nghiệm x1 , x với m 54 LUYỆN ĐỀ THI VÀO LỚP 10 MƠN TỐN PHỊNG Cấu trúc đề HẢI x1 + x = m + x1x = 3m + Theo hệ thức Viét ta có: + Để phương trình cho có nghiệm x1 , x độ dài cạnh góc vng tam x + x = m + > x , x > giác vng có cạnh huyền thì: 2 ⇔ x1.x = 3m + > x1 + x = ( x1 + x ) − 2x1x = 25 m > −5 (1) m > −2 ⇔ m > −2 ⇔ m + 10m + 25 − 6m − 12 = 25 (2) m + − 3m + = 25 ( ) ( ) + Từ (2) ⇔ m + 4m + 13 = 25 ⇔ m + 4m − 12 = (*) ' + Phương trình (*) có: ∆ m = − 1.(−12) = + 12 = 16 > −2 + 16 = (tháa m· n) −2 − 16 m2 = = −6 (loại) Vậy phương trình (*) có nghiệm phân biệt: m1 = Vậy với m = giá trị cần tìm thỏa mãn u cầu tốn Gọi sớ đơi giầy xí nghiệp phải làm theo kế hoạch x (đôi) Đk: x nguyên dương x Theo kế hoạch, ngày xí nghiệp phải làm (đơi) 26 Sớ đơi giầy xí nghiệp làm được thực tế x + 104 000 (đơi) x + 104000 Thực tế, ngày xí nghiệp làm được (đơi) 24 Vì ngày xí nghiệp làm vượt mức 000 đôi giầy nên ta có PT: x + 104000 x = 000 Bài 3.2 24 26 (1,0đ) x + 104000 x Giải PT: = 000 24 26 ⇔ 13(x + 104 000) – 12x = 872 000 ⇔ 13x + 352 000 – 12x = 872 000 ⇔ x = 340 000 (thỏa mãn) Vậy theo kế hoạch xí nghiệp phải làm 340 000 đơi giầy 0,5đ 0,5đ Bài (0,75 điểm) Người ta chế tạo chi tiết máy hình trụ có diện tích xung quanh 12,4 cm2 có diện tích tồn phần 17,5 cm2 Tính bán kính đáy chiều cao chi tiết máy hình trụ ĐÁP ÁN Bài Đáp án Điểm Bài 17,5 − 12, = 2,55 (cm2) (0,75 đ) Diện tích hình tròn đáy chi tiết máy là: 0,25đ 0,25đ S Áp dụng công thức S = π R ⇒ R = ta có bán kính đáy chi tiết máy là: π 55 LUYỆN ĐỀ THI VÀO LỚP 10 MƠN TỐN PHỊNG R≈ Cấu trúc đề HẢI 2,55 ≈ 0,9 (cm) 3,14 Vì diện tích xung quanh hình trụ Sxq = 2Rh ⇒ h = Vậy chiều cao chi tiết máy là: h ≈ S xq 2π R 12, ≈ 2, (cm) 2.3,14.0,9 0,25đ Bài ( 2,75 đ) 4.1 Cho (O;R) điểm A nằm đường tròn với OA > 2R Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC đường tròn (O) (B, C tiếp điểm) Vẽ dây BE đường tròn (O) song song với AC; AE cắt (O) D khác E; BD cắt AC S Gọi M trung điểm đoạn DE a) Chứng minh năm điểm A, B, C, O, M thuộc đường tròn b) Chứng minh SC2 = SB.SD c) Hai đường thẳng DE BC cắt V; đường thẳng SV cắt BE H Chứng minh ba điểm H, O, C thẳng hàng ĐÁP ÁN Câu Nội dung Điểm 0,25 4.1a Chứng minh A, B, C, O, M thuộc đường tròn Xét (O) có DE dây cung; M trung điểm DE suy OM ⊥ DE · Ta có OBA = 900 (AB tiếp tuyến (O) B) · OCA = 900 (AB tiếp tuyến (O) C) · OMA = 900 (OM ⊥ DE) 0,25 0,25 0,25 Do A, B, M, O, C thuộc đường tròn đường kính OA 4.1b Chứng minh SC2 = SB.SD Xét ∆SCD ∆SBC có 56 LUYỆN ĐỀ THI VÀO LỚP 10 MƠN TỐN PHỊNG Cấu trúc đề HẢI · chung; BSC · · (góc nội tiếp góc tạo bởi dây cung chắn cung DCS = CBS DC) Do ∆SCD ∽ ∆SBC (g.g) 0,25 0,25 0,25 SC SD ⇒ = ⇔ SC = SD.SB SB SC (1) 4.1c) Chứng minh ba điểm H, O, C thẳng hàng · · Có SAE (hai góc so le BE // AC) = AEB · · Xét (O) có ABS (góc nội tiếp góc tạo bởi tia tiếp tuyến = AEB dây cung chắn cung BD) · · Suy SAE = ABS Xét ∆ASD ∆BSA có 0,25 · · · chung; SAE (cm trên) BSA = ABS Do ∆ASD ∽∆BSA (g.g) ⇒ SA SD = ⇔ SA = SD.SB SB SA (2) Từ (1) (2) suy SA = SB (3) EH EV Xét ∆EHV có EH // SA nên = (hệ quả định lý Talets) SA VA HB BV EV BV = = Tương tự: lại có (BE //AC) SC VC VA VC HB HE = Do (4) SC SA Từ (3) (4) suy HB = HE suy OH ⊥ BE (qua hệ đường kính dây cung) Lại có OC ⊥ AC (AC tiếp tuyến đường tròn) Và BE // AC Vậy H, O, C thẳng hàng Bài ( 1,0 điểm) Chứng minh: a+b+c a ( a + 3b ) + b ( b + 3c ) + c(c + 3a) ≥ 0,25 0,25 0,25 với a, b, c số dương DAPAN Bài Đáp án Điểm Ta có: a + b +c a ( a + 3b ) + b ( b + 3c ) + c(c + 3a) Áp dụng bất đẳng thức xy ≤ = 2(a + b + c) 4a ( a + 3b ) + 4b ( b + 3c ) + 4c( c + 3a) x+ y cho số dương 4a, a + 3b, 4b, b + 3c, 4c, c+3a ta được: (1) 0,25 0,25 57 LUYỆN ĐỀ THI VÀO LỚP 10 MƠN TỐN PHỊNG Cấu trúc đề HẢI 4a + (a + 3b) 5a + 3b = ( 2) 2 4b + (b + 3c) 5b + 3c 4b ( b + 3c ) ≤ = ( 3) 2 4c + (c + 3a) 5c + 3a 4c ( c + 3a ) ≤ = ( 4) 2 4a ( a + 3b ) ≤ Từ (2), (3) (4) suy ra: 4a ( a + 3b ) + 4b ( b +3c ) + 4c( c + 3a) ≤ 4a + 4b + 4c (5) Từ (1) (5) với điều kiện số a, b, c đều dương ta suy ra: 0.25 a+b+c 2(a + b +c) ≥ = a ( a + 3b ) + b ( b + 3c ) + c(c + 3a) 4a + 4b + 4c 4a = a + 3b Dấu “=” xảy chỉ khi: 4b = b + 3c ⇔ a = b = c 4c = c + 3a 0,25 58 ... (21 -10) 9200 = 206200 (đồng) b, Với x ≤ 10 ta có hàm sớ 0,25 0,25 14 LUYỆN ĐỀ THI VÀO LỚP 10 MƠN TỐN PHÒNG Cấu trúc đề HẢI y = 105 00x Với x > 10 ta có hàm sớ 0,25 y = 10 10500 + (x - 10) ... 0; y = vào hàm sớ ta có: = a.0 + b Suy b = Khi x = 10( m) y = 1+ = 2(atm) Thay x = 10; y = vào hàm sớ ta có: = 10. a + Suy a = Vậy a = 10 Điểm 0,25 đ 0,25 đ ;b=1 10 LUYỆN ĐỀ THI VÀO LỚP 10 MƠN... ; z = 1− z Không tồn số x; y; z thỏa mãn Vậy x2 y2 z2 + + >2 − x2 1− y2 1−z2 0,25 ĐỀ SỐ Bài 1: (1,5 điểm) 28 LUYỆN ĐỀ THI VÀO LỚP 10 MƠN TỐN PHỊNG Cấu trúc đề HẢI 1) Tính A = ( 10 − 2) + x