BỘ ĐỀ ÔN THI VÀO 10 MÔN TOÁN

LờI NóI ĐầU Thõn ỏi cho cỏc bn v cỏc em học sinh! Để em vượt qua kì thi quan trọng này, điều quan trọng giúp em có phương pháp học tốt mơn Tốn 9, tơi soạn TÀI LIỆU THAM KHẢO ƠN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN Hy vọng tài liệu giúp em nhìn nhận lại cách tồn diện nội dung chương trình Tốn 9, có phương pháp giải Toán tốt hơn, nắm vững số chuyên đề Toán NỘI DUNG GỒM: Phần I: Hệ thống lại số vấn đề Tốn 9: Phần trình bày dạng tập Đại số Hình học thường gặp cấu trúc đề thi Tuyển sinh vào lớp 10 Mỗi dạng Tốn có ví dụ minh họa có lời giải, tiếp tập tương tự dành cho em tự luyện PhầnII: Tuyển tập số đề thi theo cấu trúc thường gặp: Phần trình bày 10 đề thi mơn Tốn tuyển sinh vào THPT theo cấu trúc đề thường gặp với đáp án, lời giải chi tiết Với giải có phân bổ biểu điểm cụ thể để em tiện đánh giá lực thân, nắm vững bước giải quan trọng toán Phần III: Một số đề tự luyện: Phần gồm 05 đề thi tự luận theo cấu trúc đề thường gặp, giúp em thử sức với đề thi PHẦN I: HỆ THỐNG CÁC VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA TOÁN -*** VẤN ĐỀ I: RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI A Kiến thức cn nh: A.1 Kiến thức A.1.1 Căn bậc hai a.Căn bậc hai số học - Với số dơng a, số a đợc gọi bậc hai số học a - Số đợc gọi bậc hai số học x - Mét c¸ch tỉng qu¸t: x = a ⇔  x = a b.So sánh bậc hai số học - Với hai số a b không ©m ta cã: a < b ⇔ a < b A.1.2 Căn thức bậc hai đẳng thức A2 = A a.Căn thức bậc hai - Với A biểu thức đại số , ngời ta gọi A thức bậc hai A, A đợc gọi biểu thức lấy hay biểu thức dới dấu - A xác định (hay có nghĩa) A b.Hằng đẳng thức A2 = A - Víi mäi A ta cã A2 = A - Nh vËy: + A2 = A nÕu A ≥ + A2 = − A nÕu A < A.1.3 Liªn hệ phép nhân phép khai phơng a.Định lí: + Víi A ≥ vµ B ≥ ta có: A.B = A B + Đặc biệt với A ≥ ta cã ( A )2 = A2 = A b.Quy tắc khai phơng tích: Muốn khai phơng tích thừa số không âm, ta khai phơng thừa số nhân kết với c Quy tắc nhân bậc hai: Muốn nhân bậc hai số không âm, ta nhân số dới dấu với khai phơng kết A.1.4 Liên hệ phép chia phép khai phơng a.Định lÝ: Víi mäi A ≥ vµ B > ta cã: A = B A B b.Quy t¾c khai ph¬ng mét th¬ng: Muèn khai ph¬ng mét th¬ng a/b, a không âm b dơng ta lần lợt khai phơng hai số a b lÊy kÕt qu¶ thø nhÊt chÝ cho kÕt qu¶ thø hai c Quy tắc chia bậc hai: Muốn chia bậc hai số a không âm cho sè b d¬ng ta cã thĨ chia sè a cho số b khai phơng kết A.1.5 Biến đổi đơn giản biểu thức chứa thức bậc hai a.Đa thừa số dấu - Với hai biĨu thøc A, B mµ B ≥ 0, ta cã A2 B = A B , tøc lµ + NÕu A B A2 B = A B + NÕu A < vµ B A2 B = A B b.Đa thừa số vào dấu + Nếu A B A B = A2 B + NÕu A < vµ B ≥ th× A B = − A2 B c Khư mÉu biểu thức lấy - Với biểu thức A, B mµ A.B ≥ vµ B ≠ 0, ta có A = B AB B d.Trục thức ë mÉu - Víi c¸c biĨu thøc A, B mµ B > 0, ta cã A A B = B B - Víi c¸c biĨu thøc A, B, C mµ A ≥ vµ A ≠ B , ta cã C C ( A ± B) = A − B2 A±B - Víi c¸c biĨu thøc A, B, C mµ A ≥ 0, B ≥ vµ A ≠ B , ta cã C ( A ± B) C = A B A B A.1.6 Căn bậc ba a.Khái niệm bậc ba: - Căn bậc ba mét sè a lµ sè x cho x = a - Víi mäi a th× ( a )3 = a3 = a b.TÝnh chÊt - Víi a < b th× a < b - Víi mäi a, b th× ab = a b - Víi mäi a vµ b ≠ th× a 3a = b 3b A.2 KiÕn thức bổ xung (*) Dành cho học sinh giỏi, học sinh ôn thi chuyên A.2.1 Căn bậc n a Căn bậc n ( n N ) cđa sè a lµ mét sè mµ lòy thõa n a b Căn bậc lẻ (n = 2k + 1) Mọi số có bậc lẻ Căn bậc lẻ số dơng số dơng Căn bậc lẻ số âm số âm Căn bậc lẻ số số c Căn bậc chẵn (n = 2k ) Số âm bậc chẵn Căn bậc chẵn số số Số dơng có hai bậc chẵn hai số đối kí hiệu 2k a 2k a d Các phép biến đổi thức A xác định với A A xác định với A ≥ k +1 A2 k +1 = A víi ∀ A k +1 2k • 2k • A.B = k A k B víi ∀ A, B mµ A.B ≥ A2 k +1.B = A.2 k +1 B víi ∀ A, B k +1 2k • A.B = k +1 A.2 k +1 B víi ∀ A, B k +1 2k • A2 k = A víi ∀ A A2 k B = A k B víi ∀ A, B mµ B ≥ A = B k +1 2k A = B • m n • m k +1 A víi ∀ A, B mµ B ≠ k +1 B 2k A 2k B víi ∀ A, B mµ B ≠ 0, A.B ≥ A = mn A víi ∀ A, mµ A ≥ m An = A n víi ∀ A, mµ A ≥ B MỘT SỐ BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI Bài 1: Tính: 3- a A = 2- +2 b B = + c C = + + + +3 2+ - 2 HƯỚNG DẪN GIẢI: a A = 3- 2= + +2 2( - 3) 4- +4 + +3 2+ - 2 2( + 3) +2 - 4 2( - 3) 2( + 3) + - 1+ +1- 2( - 3) + 2( + 3) = 3- 24 = =- - b B = + = = = =3 = c C = + + = + + = + + =3  Bài 2: Cho biểu thức A =  x− x +   : x −1 ( x +1 ) x −1 a) Nêu điều kiện xác định rút biểu thức A b) Tim giá trị x để A = c) Tìm giá trị lớn cua biểu thức P = A - x HƯỚNG DẪN GIẢI: a) Điều kiện < x ≠ Với điều kiện đó, ta có: b) Để A = Vậy x = A= x ( x +1 : ) ( x −1 x +1 ) x −1 = x −1 x x −1 = ⇔ x = ⇔ x = (thỏa mãn điều kiện) x A = c) Ta có P = A - x =   − x = −9 x + ÷+ x x  x −1 Áp dụng bất đẳng thức Cô –si cho hai số dương ta có: x + Suy ra: P ≤ −6 + 1= −5 Đẳng thức xảy x = Vậy giá trị lớn biểu thức P = −5 x = Bài 3: 1) Cho biểu thức A = x ⇔ x= x ≥ x x =6 9 x +4 Tính giá trị A x = 36 x +2  x  x + 16 + 2) Rút gọn biểu thức B =  (với x ≥ 0; x ≠ 16 ) ÷: x −4÷  x +4  x +2 3) Với biểu thức A B nói trên, tìm giá trị x nguyên để giá trị biểu thức B(A – 1) số nguyên HƯỚNG DẪN GIẢI: 36 + 10 = = 36 + 1) Với x = 36 (Thỏa mãn x >= 0), Ta có : A = 2) Với x ≥ 0, x ≠ 16 ta có :  x( x − 4) 4( x + 4)  x + (x + 16)( x + 2) x+2 + = ÷ = ÷ x − 16  x + 16 (x − 16)(x + 16) x − 16  x − 16 B =  3) Ta có: B(A − 1) = x+2  x+4  x+2 2  − 1÷ = = ÷ x − 16  x +  x − 16 x + x − 16 Để B(A− 1) nguyên, x nguyên x− 16 ước 2, mà Ư(2) = { ±1; ±2 } Ta có bảng giá trị tương ứng: x− 16 −1 −2 x 17 15 18 14 Kết hợp ĐK x ≥ 0, x ≠ 16 , để B(A− 1) nguyên x ∈ { 14; 15; 17; 18 } Bài 4: Cho biÓu thøc: P= x ( x + y )(1 − y ) − y x + ( xy − ) ( y) x +1 )( x + 1 y ) a) Tìm điều kiện x y để P xác định Rút gọn P b) Tìm x,y nguyên thỏa mãn phơng trình P = HNG DN GII: a) Điều kiện để P xác định lµ :; x ≥ ; y ≥ ; y ≠ ; x + y ≠ P= = = = ( x(1 + ( x + x ) − y (1 − ( ) (1 + x + y )( x − y y ) − xy x + ) (1 − y ) y +x− y ) xy + y − xy = ) ( y 1+ ) ( x − y ) + x x + y y − xy ( x + )( y 1+ )( y) x ( x + 1) − y ( x + 1) + y ( + x ) ( − x ) (1 + x ) (1 − y ) x (1 − y ) (1 + y ) − y (1 − y ) x − y + y − y x = (1 − y ) (1 − y ) x + )( x ( )( ( x 1− x + y ) y ) x 1− = x + xy − y x + VËy P = xy − y b) ĐKXĐ: x ≥ ; y ≥ ; y ≠ ; x + y ≠ P = ⇔ x + xy − y = ⇔ ( x1+ ( ⇔ ) ( y − )( x −1 + ) ) y +1 =1 y =1 Ta cã: + y ≥ ⇒ x − ≤ ⇔ ≤ x ≤ ⇒ x = 0; 1; 2; ; Thay x = 0; 1; 2; 3; vào ta cócác cặp giá trị x=4, y=0 x=2, y=2 (thoả mãn) Bi 5:Cho biÓu thøc M = x −9 x−5 x +6 + x +1 x −3 + x+3 2− x a Tìm điều kiện x để M có nghĩa rút gọn M b Tìm x để M = c Tìm x Z để M Z HƯỚNG DẪN GIẢI: M= x −9 x−5 x +6 + x +1 x −3 + x +3 2− x a.§K x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ Rót gän M = x −9 − 0,5® ( )( ( )( BiÕn ®ỉi ta cã kÕt qu¶: M = M= x −1 b M =5 ⇔ ( x −3 ) ( )( x + x − + x +1 x − x −3 ( ( ( ) x −2 x − x −2 x −2 )( x −3)( x +1 )( x −3 ) ) ) ⇔M x −2) x −2 = x +1 x −3 =5 ) ⇒ x +1 =5 x −3 ⇔ x +1 =5 x −15 ⇔16 =4 x 16 ⇒ x = =4 ⇒x =16 §èi chiÕu §K: x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ VËy x = 16 th× M = c M = x +1 x −3 = x −3 + x −3 =1 + x −3 x − lµ íc cđa ⇒ Do M z nên x nhận giá trị: -4; -2; -1; 1; 2; Lập bảng giá trị ta đợc: x {1;4;16;25;49} x ⇒ x ∈ {1;16;25;49} Bài 6: Cho biểu thức P = ( - )2 ( - ) Với a > a ≠ a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm a để P < HƯỚNG DẪN GIẢI: a) P = ( - )2 ( - ) Với a > a ≠ P=( a a−1 a+1 − ) ( − ) 2 a a+1 a−1 a a − ( a − 1)2 − ( a + 1)2 P=( ) a ( a + 1)( a − 1) P=( P= a − a − a + 1− a − a − ) a− a −(a − 1)4 a 1− a = 4a a Vậy P = 1− a Víi a > a ≠ a b) Tìm a để P < Với a > a ≠ nên >  P = <  - a <  a > ( TMĐK) Bài 7: Cho biểu thức: Q = - ( + ) : a) Rút gọn Q b) Xác định giá trị Q a = 3b HƯỚNG DẪN GIẢI: a) Rút gọn: Q= -(1+): = - = - = = = b) Khi có a = 3b ta có: Q= = = Bài 8: Cho biểu thức  1  A =  + + + y  x + y x  x 3 1 x + y x + x y + y : y  x y + xy a ) Rút gọn A; b) Biết xy = 16 Tìm giá trị x, y để A có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị HƯỚNG DẪN GIẢI: Đkxđ : x > , y >  1   A = + + +  a) y  x + y x  x 1 : y   x+ y x + y  = + :   xy xy x + y   (  x + y  = + :  xy  xy   ( = x+ y xy b) Ta có   ) A= xy ) x+ y x+ = xy y y xy ≥ Vậy A = ) ( x+ y ) ( x+ y ) y  ≥ ⇔ x + y −  x− x+ )( x + y x − xy + y + xy xy ( x + y ) ⇔ Do x y + xy y ( x + y) x+ xy ( x3 + y x + x y + y3 xy xy = x+ 16 16 xy ≥ y ≥2 =1 xy ( xy = 16 )   x= y ⇔ x = y =  xy = 16   Bài 9: Cho biểu thức:  x −  x+ 2  P =  −   −  x − x − x − − 2 − x x − x    a) Tìm điều kiện để P có nghĩa c) Tính giá trị P với x = − 2 b) Rút gọn biểu thức P HƯỚNG DẪN GIẢI:    a Biểu thức P có nghĩa chỉ :     x > x ≥1 x ≥1   ⇔ ⇔x ≠ x ≠ x ≠   x ≠ x >0 x −1 ≥ − x ≠0 x −1 − ≠ b) Đkxđ : x ≥ 1; x ≠ 2; x ≠  P =    =  ( x − x −1 (   −   x −1 −  − x x −3 − x + x −1 x − x −1 )( ) x + x −1 ( ( x − 3) ( − ) ( x+ 2  2x − x   x −1 − ) )  −  x −1 +  − x x −1 + )( ) x  x + x − ( x − 3) x − +  x − x − = −  x − ( x − ) ( x − ) − x 2− x   ( ) ( ( )  x + x − ( x − 3) x − +  − − x  =  −  x 2− x x − x + x −   = ( ) − x1 = ( x + x −1 − x −1 − c) Thay x = − 2 = P= 2− ( ( ( ) −1 ) −1 ) ( ) x − ( − 1) x = ) = 2− −1 −1 = ) ) − vào biểu thức P = (   2− x  x+ 2− x x 2− x , ta có: x − +1 −1 = −1 = +1 Bài 10: Cho biểu thức: x 8x x −1 + ):( − ) P =( 2+ x 4−x x −2 x x a) Rút gọn P b) Tìm giá trị x để P = -1 c) Tìm m để với giá trị x > ta có: m( x − 3) P > x + 10 a) Tứ giác BCHK tứ giác nội tiếp Ta có : ·AKB = 900 (góc nội tiếp chắn đường tròn) · · = 900 ; HCB = 900 ( gt ) hay HKB · · + HCB = 900 + 900 = 1800 Tứ giác BCHK có HKB ⇒ tứ giác BCHK tứ giác nội tiếp b) AK AH = R Dễ thấy ΔACH ∽ ΔAKB ( g.g ) ⇒ AC AH R = ⇒ AK AH = AC AB = ×2 R = R AK AB c) NI = KB ∆OAM có OA = OM = R ( gt ) ⇒ ∆OAM cân O ( 1) ∆OAM có MC đường cao đồng thời đường trung tuyến (gt) ⇒ ∆OAM cân M ( 2) ( 1) & ( ) ⇒ ∆OAM tam giác · · · ⇒ MOA = 600 ⇒ MON = 1200 ⇒ MKI = 600 · ∆KMI tam giác cân (KI = KM) có MKI = 600 nên tam giác ⇒ MI = MK ( 3) 1· · = MON = ×1200 = 600 nên tam giác Dễ thấy ∆BMK cân B có MBN 2 ⇒ MN = MB ( ) Gọi E giao điểm AK MI · · NKB = NMB = 600  · · Dễ thấy ·  ⇒ NKB = MIK ⇒ KB // MI (vì có cặp góc vị trí so le MIK = 60  · · nhau) mặt khác AK ⊥ KB ( cmt ) nên AK ⊥ MI E ⇒ HME = 900 − MHE ·  HAC = 900 − ·AHC  · · · · · · HME = 90 − MHE cmt = HME ( )  ⇒ HAC Ta có : mặt khác HAC (cùng chắn = KMB  ·AHC = MHE · ( dd )  » ) KB · · · · = KMB ( 5) hay NMI ⇒ HME = KMB ( 3) , ( ) & ( 5) ⇒ ∆IMN = ∆KMB ( c.g.c ) ⇒ NI = KB (đpcm) 128 KỲ THI TUYỂN SINH THPT MƠN THI: TỐN (Thời gian làm 120 phút – không kể thời gian giao đề cho thí sinh) ĐỀ SỐ -*** Câu (2 điểm) 1.Tính 2- 2 Xác định giá trị a,biết đồ thị hàm số y = ax - qua điểm M(1;5) Câu 2: (3 điểm) 1.Rút gọn biểu thức: A = ( a - a +2 ).( +1) với a>0,a ¹ a - a- a a- ïì x - y = 2.Giải hệ pt: ïíï ïỵ 3x + y = Chứng minh pt: x + mx + m - = ln có nghiệm với giá trị m Giả sử x1,x2 nghiệm pt cho,tìm giá trị nhỏ biểu thức B = x 21 + x 2 - 4.( x1 + x2 ) Câu 3: (1,5 điểm) Một ôtô tải từ A đến B với vận tốc 40km/h Sau 30 phút ơtơ taxi xuất phát từ A đến B với vận tốc 60 km/h đến B lúc với xe ơtơ tải.Tính độ dài quãng đường AB Câu 4: (3 điểm) Cho đường tròn (O) điểm A cho OA=3R Qua A kẻ tiếp tuyến AP AQ đường tròn (O),với P Q tiếp điểm.Lấy M thuộc đường tròn (O) cho PM song song với AQ.Gọi N giao điểm thứ đường thẳng AM đường tròn (O).Tia PN cắt đường thẳng AQ K 1.Chứng minh APOQ tứ giác nội tiếp 2.Chứng minh KA2=KN.KP 129 3.Kẻ đường kính QS đường tròn (O).Chứng minh tia NS tia phân giác · góc PNM Gọi G giao điểm đường thẳng AO PK Tính độ dài đoạn thẳng AG theo bán kính R Câu 5: (0,5điểm) Cho a,b,c số thực khác không thoả mãn: ìï a (b + c ) + b (c + a ) + c ( a + b) + 2abc = ïí ïï a 2013 + b 2013 + c 2013 = ỵ 1 Hãy tính giá trị biểu thức Q = 2013 + 2013 + 2013 a b c Câu Ý 1 ĐÁP ÁN – GỢI Ý GIẢI ĐỀ SỐ Nội dung 2- 2= +1 ( - 1).( +1) 2= +1 ( 2) - 1) = +1- =1 Điểm KL: 2 Do đồ thị hàm số y = ax-1 qua M(1;5) nên ta có a.1-1=5 Û a=6 KL: a a ( a - 2) A=( =( ( a - 1).( a - 2) ).( +1) = a ( a - 2) a- a- ).( a - +1) = a =1 a ( a - 2) a 0,5 0,5 KL: ìïï x - y = Û í ïỵï 3x + y = KL: ìïï x - y = Û í ïỵï 15 x + y = 25 ìïï x - y = Û í ïỵï 17 x = 34 0,25 Xét Pt: x + mx + m - = 2 ìïï y =- í ïỵï x = 2 Δ = m - 4(m - 1) = m - 4m + = ( m - 2) ³ Vậy pt ln có nghiệm với m ïì x1 + x2 =- m ïỵ x1 x2 = m - Theo hệ thức Viet ta có ïíï 0,25 Theo đề 130 B = x 21 + x 2 - 4.( x1 + x2 ) = ( x1 + x2 ) - x1 x2 - 4.( x1 + x2 ) 0,5 = m - 2( m - 1) - 4(- m) = m - 2m + + 4m = m + 2m +1 +1 = (m +1) +1 ³ Vậy minB=1 m = -1 KL: Gọi độ dài quãmg đường AB x (km) x>0 0,25 x Thời gian xe tải từ A đến B h 40 x Thời gian xe Taxi từ A đến B : h 60 Do xe tải xuất phát trước 2h30phút = nên ta có pt x x = 40 60 Û 3x - x = 300 Û x = 300 0,25 0,25 0,25 0,25 Giá trị x = 300 có thoả mãn ĐK 0,25 Vậy độ dài quãng đường AB 300 km Xét tứ giác APOQ có ·APO = 900 (Do AP tiếp tuyến (O) P) ·AQO = 900 (Do AQ tiếp tuyến (O) Q) Þ ·APO + ·AQO = 1800 ,mà hai góc góc đối nên tứ giác APOQ tứ giác nội tiếp P 0,75 S M N A I G O K Q Xét Δ AKN Δ PAK có ·AKP góc chung ·APN = ·AMP ( Góc nt……cùng chắn cung NP) · Mà NAK = ·AMP (so le PM //AQ Δ AKN ~ Δ PKA (gg) Þ 0,75 AK NK = Þ AK = NK KP (đpcm) PK AK Kẻ đường kính QS đường tròn (O) 131 Ta có AQ ^ QS (AQ tt (O) Q) Mà PM//AQ (gt) nên PM ^ QS Đường kính QS ^ PM nên QS qua điểm cung PM nhỏ » = sd SM ¼ Þ PNS · · (hai góc nt chắn cung nhau) sd PS = SNM 0,75 Hay NS tia phân giác góc PNM Chứng minh Δ AQO vng Q, có QG ^ AO(theo Tính chất tiếp tuyến cắt nhau) 0,75 Theo hệ thức lượng tam giác vng ta có OQ R = = R OA 3R Þ AI = OA - OI = 3R - R = R 3 Do Δ KNQ ~ Δ KQP (gg) Þ KQ = KN KP mà AK = NK KP nên OQ = OI OA Þ OI = AK=KQ Vậy Δ APQ có trung tuyến AI PK cắt G nên G trọng tâm Þ AG = 2 16 AI = R = R 3 Ta có: a (b + c ) + b (c + a ) + c (a + b ) + 2abc = Û a 2b + a c + b c + b a + c a + c 2b + 2abc = Û ( a 2b + b a ) + (c a + c 2b) + (2abc + b 2c + a c ) = Û ab(a + b) + c (a + b) + c(a + b) = Û ( a + b)(ab + c + ac + bc ) = Û ( a + b).(a + c ).(b + c ) = 0,25 *TH1: a+ b=0 ïì a =- b Ta có ïíï 2013 ïíìï a =- b Û 2013 2013 ïỵ a + b + c = ïïỵ c = 1 1 Q = 2013 + 2013 + 2013 = a b c ta có 0,25 Các trường hợp lại xét tương tự Vậy Q = a 2013 + b 2013 + c 2013 =1 132 KỲ THI TUYỂN SINH THPT MƠN THI: TỐN (Thời gian làm 120 phút – không kể thời gian giao đề cho thí sinh) ĐỀ SỐ 10 -*** - Bµi 1: Cho biĨu thøc: P = ( )   x x −1 x x +1  x − x +1     x− x − x+ x : x −1     a,Rút gọn P b,Tìm x nguyên để P có giá trị nguyên Bài 2: Cho phơng trình: x2-( 2m + 1)x + m2 + m - 6= (*) a.Tìm m để phơng trình (*) có nghiệm âm b.Tìm m để phơng trình mãn x1 x2 (*) cã nghiƯm x1; x2 tho¶ =50 Câu 3: Quảng đờng AB dài 156 km Một ngời xe máy tử A, ngời xe đạp từ B Hai xe xuất phát lúc sau giê gỈp BiÕt r»ng vËn tèc cđa ngêi xe máy nhanh vận tốc ngời xe đạp 28 km/h Tính vận tốc xe? Bài 4: Cho tam giác có góc nhọn ABC nội tiếp đờng tròn tâm O H trực tâm tam giác D điểm cung BC không chứa điểm A 133 a, Xác định vị trí điẻm D để tứ giác BHCD hình bình hành b, Gọi P Q lần lợt điểm đối xứng điểm D qua đờng thẳng AB AC Chứng minh điểm P; H; Q thẳng hàng c, Tìm vị trí điểm D để PQ có độ dài lớn ĐÁP ÁN – GỢI Ý GIẢI ĐỀ SỐ 10 Bµi 1: (2 điểm) ĐK: x 0; x ( x − 1z a, Rót gän: P = x( x − 1) : x( x − 1) x −1 ) P= x −1 = ⇒ b P = x +1 = 1+ x −1 Để P nguyên x x ( x − 1) = x +1 x −1 x =2⇒ x=4 x − = −1 ⇒ x = ⇒ x = x −1 = ⇒ x = ⇒ x = x − = −2 ⇒ x = −1( Loai ) VËy víi x= { 0;4;9} P có giá trị nguyên Bài 2: Để phơng trình có hai nghiệm âm thì: ( ) ∆ = ( 2m + 1) − m + m − ≥   x1 x = m + m − >  x + x = 2m + <   ∆ = 25 >  ⇔ (m − 2)(m + 3) > ⇔ m < −3  m < − 3 b Giải phơng trình: ( m 2) − (m + 3) = 50 ⇔ 5(3m + 3m + 7) = 50 ⇔ m + m − =  −1+ m1 =  ⇔ m = − −  2 Bµi Gọi vân tốc xe đạp x (km/h), điều kiện x > 134 Thì vận tốc xe máy x + 28 (km/h) Trong giờ: + Xe đạp quãng đường 3x (km), + Xe máy quãng đường 3(x + 28) (km), theo ta có phương trình: 3x + 3(x + 28) = 156 Giải tìm x = 12 (TMĐK) Trả lời: Vận tốc xe đạp 12 km/h vận tốc xe máy 12 + 28 = 40 (km/h) Bài a Giả sử tìm đợc điểm D cung BC cho tứ giác BHCD hình bình hành Khi đó: BD//HC; CD//HB H trực tâm tam A giác ABC nên Q CH AB BH AC => BD ⊥ AB vµ CD ⊥ AC Do đó: ABD = 900 ACD = 900 H O Vậy AD đờng kính đờng tròn tâm O P Ngợc lại D đầu đờng kính AD C B đờng tròn tâm O D tứ giác BHCD hình bình hành b) Vì P đối xứng với D qua AB nên ∠ APB = ∠ ADB nhng ∠ ADB = ∠ ACB nhng ∠ ADB = ∠ ACB Do ®ã: ∠ APB = ACB Mặt khác: AHB + ACB = 1800 => ∠ APB + ∠ AHB = 1800 Tứ giác APBH nội tiếp đợc đờng tròn nên ∠ PAB = ∠ PHB Mµ ∠ PAB = ∠ DAB ®ã: ∠ PHB = ∠ DAB Chøng minh t¬ng tù ta cã: ∠ CHQ = ∠ DAC VËy ∠ PHQ = ∠ PHB + ∠ BHC + ∠ CHQ = ∠ BAC + ∠ BHC = 1800 Ba điểm P; H; Q thẳng hàng c) Ta thấy APQ tam giác cân đỉnh A Có AP = AQ = AD PAQ = 2BAC không đổi nên cạnh đáy PQ 135 đạt giá trị lớn nhÊt  AP vµ AQ lµ lín nhÊt hay  AD lớn D đầu đờng kính kẻ từ A đờng tròn tâm O PHN III: MỘT SỐ ĐỀ TỰ LUYỆN (THEO CẤU TRÚC ĐỀ THI THƯỜNG GẶP) KỲ THI TUYỂN SINH THPT MƠN THI: TỐN (Thời gian làm 120 phút – không kể thời gian giao đề cho thí sinh) ĐỀ SỐ -*** Bµi 1Cho biĨu thøc A = ( x − 3) + 12 x + x2 ( x + 2) − x a Rót gọn biểu thức A b Tìm giá trị nguyên cđa x cho biĨu thøc A còng cã gi¸ trị nguyên Bài 2: (2 điểm) Cho đờng thẳng: y = x-2 (d1) y = 2x – (d2) y = mx + (m+2) (d3) a Tìm điểm cố định mà đờng thẳng (d3 ) qua với giá trị m b Tìm m để ba đờng thẳng (d1); (d2); (d3) đồng quy Bài 3: Cho phơng trình x2 - 2(m-1)x + m - = (1) a Chứng minh phơng trình có nghiệm phân biệt b Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phơng trình (1) mà không phụ thuộc vào m 136 c Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa P = x 21 + x22 (víi x1, x2 nghiệm phơng trình (1)) Bài 4: Cho đờng tròn (o) với dây BC cố định điểm A thay đổi vị trí cung lớn BC cho AC>AB vµ AC > BC Gäi D điểm cung nhỏ BC Các tiếp tuyến (O) D C cắt E Gọi P, Q lần lợt giao điểm cặp đờng thẳng AB với CD; AD CE a Chøng minh r»ng DE// BC b Chøng minh tø giác PACQ nội tiếp c Gọi giao điểm dây AD BC F Chứng minh hệ thức: Bµi 5: CE 1 = CQ + CE Cho số dơng a, b, c Chứng minh rằng: a b c 1< + +  m < − ; m > +     S >  m > −1 ⇔ ⇔ m = 6  P > m >    x + x =  m = 6; m = Bài 16: Số đo hai cạnh góc vuông tam giác vuông... hai nghiệm âm d) Tìm m cho nghiệm số x 1, x2 phơng trình thoả mãn x12+x22 10 e) Tìm hệ thức liên hệ x x2 không phụ thuộc vào m f) H·y biĨu thÞ x1 qua x2 HƯỚNG DẪN GIẢI: a) 15 Ta cã: ∆ = (m-1) –... biÓu thøc H = x1 (1 − x ) + x (1 x1 ) không phụ thuộc vào m  19  HƯỚNG DẪN: * ∆' =  m +  + > 2  * H = ( x1 + x ) − x1 x = 2( m + 1) − 2( m = 10) Bài 22: Cho phơng trình x − 2(m + 1) x