BỘ ĐỀ ÔN THI VÀO 10 MÔN TOÁN THEO CẤU TRÚC CHUẨN

Đề cương ơn thi vào lớp 10, mơn tốn CHUN ĐỀ : CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1) 2) 3) A2  A AB  A B ( víi A  vµ B  ) A A  ( víi A  vµ B > ) B B 4) A B  A B (víi B  ) 5) A B  A B ( víi A  vµ B  ) A B  A B ( víi A < vµ B  ) 6) 7) 8) 9) A AB  ( víi AB  vµ B  ) B B A B  A B ( víi B > ) B C A B C  A B C ( A B ) ( Víi A  vµ A  B2 ) A  B2  C( A  B ) ( víi A  0, B  vµ A  B A B B BÀI TẬP I.THỰC HIỆN PHÉP TÍNH – RÚT GỌN – BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC CHỨA CĂN Bài Thực phép tính 1) 4) 7) 10)     1   1 1  0,09 1 2  3) 28 : 5) 2,5 40 6) 50 8)  4 9) 0,0001 11) 2 2)    4  12) 11  25 Bài Thực phép tính: 1) 20  2) 12  27 3) 4) 5) 27   48  75 6) Bài Trục thức mẫu, rút gọn ( víi x 0, x 1 ) 4  x2  x 17  2 3 2 2 12  2  50  32  18  32   14  28 1 21 20  27  125 50 x 1 x2  x x1 x1 Đề cương ôn thi vào lớp 10, mơn tốn 1  2 20 60 15   13  : 15 10  5 6 14 1 48  75  27  10 3 1    5 3  5  11   1    : 16 15   20  5   Bài * Chứng minh đẳng thức sau: 1) 2  2  2) 1 3) 1  4)  3  a  a 2 5)  3  a b a b a a      1 4 9 100  99 a  1 :  a   a  a b a 2 b  2b b  b a a b II RÚT GỌN VÀ TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC Bài Cho biÓu thøc: A = x x 1 x x x a)Tìm ĐKXĐ rút gọn A b) Tính giá trị biểu thức A x = c) T×m tÊt giá trị x để A < � 1 �� 1 �  :  Bài Cho A = � với x > , x �1 �� �  x  x �� 1 x 1 x � x � a Rút gọn A b Tính A với x =  2x x   11x   với x  3 x  3  x x2  a/ Rút gọn biểu thức A b/ Tìm x để A < c/ Tìm x nguyên để A nguyên Bài Cho biểu thức A  1 a a  1 a a   a .  a  Bài Cho biÓu thøc: P =   a  a    a) Rót gän P b) Tìm a để P < a 1 �  Bài Cho biểu thức M  � với a > a �1 �: a  �a  a  �a  a a/ Rút gọn biểu thức M b/ So sánh giá trị M với � 1 12 � � �  1 Bài Cho biểu thức : A = � � � � a  3� � a3 � a�   20  45  2   - 2   2 Đề cương ơn thi vào lớp 10, mơn tốn a) Rút gọn biểu thức sau A b) Xác định a để biểu thức A > � � x 4 �� x  x � �  :�  �với x > , x �4 Bài Cho A = � x  �� x x 2� x x 2 � � � �   a Rút gọn A b Tính A với x =  a3 Bài Cho biểu thức: P = a  a 1 a   (a �0; a � 4) 4 a a a) Rút gọn P b) Tính giá trị P với a = � a a � � a a �  1 � � � � Bài Cho biểu thức: N = � � � � a  a  � � � � 1) Rút gọn biểu thức N 2) Tìm giá trị a để N = - 2016  x 3x    x  x   1 x3  :   Bài 10 Cho biểu thức P  x  x     x 3 a Rút gọn P b Tìm x để P   c Tìm giá trị nhỏ P � a 1 Bài 11 Cho A = � � � a 1  �� a 1 � 4 a� � a  �với x > ,x �1 � a 1 a� �� a Rút gọn A  b Tính A với a =   15   10    15  a a 2   :  Bài 12 Cho biểu thức: E   (1  a ) a  a  a    a) Rút gọn E Bài 13 b) Tìm Max E  x     :     Cho biÓu thøc: P =    x  x  x   x 1 x  1 a) T×m ĐKXĐ rút gọn P b) Tìm giá trị x để P > c) Tìm x để P = Bài 14 Cho A = 15 x  11 x  2 x    với x �0 , x �1 x  x  1 x x 3 a Rút gọn A b Tìm x để A = b.Tìm GTLN A 2 c.CMR : A � Đề cương ơn thi vào lớp 10, mơn tốn �x  x �� 25  x x 3 x 5�  1�� :   � ��x  x  15 x 5 x 3� �x  25 �� � Bài 15 Cho A = � � a Rút gọn A Bài 16 Cho A = b Tìm x �Z để A �Z a 9 a  a 1   với a �0 , a �9 , a �4 a5 a 6 a  3 a a Rút gọn A b Tìm a để A < c Tìm a �Z để A �Z �x  x  �� x  x 2 x �  :   �� � �� x  �với x > , x �4 x  x  x  x  � �� � Bài 17 Cho A = � � a Rút gọn A � 1 b So sánh A với �� 1 A �  :  Bài 18 Cho A = � với x > , x �1 �� �  x  x �� 1 x 1 x � x � a Rút gọn A b Tính A với x =  �2 x x x  ��2 x  �   :  1� �� �với x �0 , x �9 x  x  �� � x 3 �� x  � Bài 19 Cho A = � � a Rút gọn A � x 1 Bài 20 Cho A = � � � x 1 b Tìm x để A <  x  x �� x  x  �  :  �� �với x �0 , x �1 x  x  �� x 1 � �� x  � a Rút gọn A b Tính A với x =  c CMR : A �1 CHUYÊN ĐỀ 2: HÀM SỐ BẬC NHẤT- BẬC HAI- HỆ PHƯƠNG TRÌNH I.HÀM SỐ BẬC NHẤT Lý thuyết 1/Hµm sè y = ax + b lµ bËc nhÊt  a 0 2/ a) Tính chất : Hµm số xác định với giá trị x R đồng biến a > nghịch biến a < 0) b) Đồ thị h/s y = ax + b (a �0) đường thẳng ln cắt trục tung điểm có tung độ b, song song với đường thẳng y = ax a �0 trùng với đt y = ax với b = 3/ Cách tìm giao điểm (d) với hai trục toạ độ Cho x = => y = b => (d) cắt trục tung A(0;b) Cho y =0 => x = -b/a => (d) c¾t trục hoành B( -b/a;0) a gọi hệ số góc, b tung độ gốc (d) 4/ Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b Cho x = => y = b => A (0;b) Cho y =0 => x = -b/a => B( -b/a;0) Vẽ đờng thẳng AB ta đợc đồ thị hàm sè y = ax + b 5/ (d) ®i qua A(xo; yo)  yo= axo + b Đề cương ôn thi vào lớp 10, môn toán  6/ Gäi góc tạo đờng thẳng tia Ox Khi ®ã:  lµ gãc nhän a > 0,  góc tù a < 7/ (d) cắt (d’)  a  a’ (d) vu«ng gãc (d’)  a a’ = -1 (d) trïng (d’) a  a' �  � b  b' � (d)//(d’) a  a' � �� b �b' � 8/ (d) c¾t trơc hoành điểm có hoành độ l a (d) qua A(a; 0) 9/ (d) cắt trục tung ®iÓm cã tung ®é b  (d) ®i qua B(0; b) 10/ Cỏch tim toạ độ giao điểm (d) (d): Gii phơng trình HG: ax + b = a’x + b’ Tìm x Thay giá trị x vào (d) (d’) ta tìm y => A(x; y) TĐGĐ (d) vµ (d’) Bài tập Bµi : Cho hµm sè y = (m + 5)x+ 2m 10 a) Với giá trị m y hàm số bậc b) Với giá trị m hàm số đồng biến c) Tìm m để đồ thị hàm số qua điểm A(2; 3) d) Tìm m để đồ thị cắt trục tung điểm có tung độ e) Tìm m để đồ thị qua điểm 10 trục hoành f) Tìm m để đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y = 2x -1 g) Chứng minh đồ thị hàm số qua điểm cố định với m h) Tìm m để khoảng cách từ O tới đồ thị hàm số lớn Bài 2: Cho đờng thẳng y=2mx +3-m-x (d) Xác định m để: a) Đờng thẳng d qua gốc toạ độ b) Đờng thẳng d song song với đờng thẳng 2y- x =5 c) Đờng thẳng d tạo với Ox góc nhọn d) Đờng thẳng d tạo với Ox góc tù e) Đờng thẳng d cắt Ox điểm có hoành độ f) Đờng thẳng d cắt đồ thị Hs y= 2x điểm có hoành độ g) Đờng thẳng d cắt đồ thị Hs y= -x +7 điểm có tung độ y =4 h) Đờng thẳng d qua giao điểm hai đờng thảng 2x -3y=-8 y= -x+1 Bài 3: Cho hµm sè y = (m – 2)x + m + 1) Tìm điều kiện m để hàm số nghịch biến 2) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm có hoành độ b»ng Đề cương ôn thi vào lớp 10, mụn toỏn 3) Tìm m để đồ thị hàm số đồ thị hàm số y = -x + ; y = 2x – đồng quy Bài Cho hàm số y = (m 1)x + m + 1) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 2) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số qua điểm (1 ; -4) 3) Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số qua với m 4) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số tạo với trục tung trục hoành tam giác có diện tích (đvdt) Bài Cho hai điểm A(1 ; 1), B(2 ; -1) 1) Viết phơng trình đờng thẳng AB 2) Tìm giá trị m để ®êng th¼ng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + song song với đờng thẳng AB đồng thời qua điểm C(0 ; 2) Bài Trên mặt phẳng tọa độ cho hai điểm B ;  vµ C  1 ;  a) Viết phơng trình đờng thẳng (d) qua điểm C song song với đờng thẳng y x Xác định tọa độ giao điểm A đờng thẳng (d) với trục hoành Ox b) Xác định hệ số a b biết đồ thị hàm số y = ax + b qua điểm B C Tính góc tạo đờng thẳng BC trục hoành Ox (làm tròn đến phút) c) Tính chu vi tam giác ABC (đơn vị đo trục tọa độ xentimét) (kết làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất) Bài 1) Hàm số y= -2x +3 đồng biến hay nghịch biến ? 2) Tìm toạ độ giao điểm đờng thẳng y=-2x+3 với trục Ox ,Oy II VẼ ĐỒ THỊ & TÌM TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM CỦA (P): y = ax VÀ (d): y = ax + b (a � 0) KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1.Hàm số y = ax2(a �0): Hàm số y = ax2(a �0) có tính chất sau:  Nếu a > thì hàm số đồng biến x > nghịch biến x <  Nếu a < thì hàm số đồng biến x < nghịch biến x > Đồ thị hàm số y = ax2(a �0):  Là Parabol (P) với đỉnh gốc tọa độ nhận trục Oy làm trục đối xứng  Nếu a > thì đồ thị nằm phía trục hoành điểm thấp đồ thị  Nếu a < thì đồ thị nằm phía trục hoành điểm cao đồ thị Vẽ đồ thị hàm số y = ax2 (a �0):  Lập bảng giá trị tương ứng (P)  Dựa bảng giá trị � vẽ (P) Tìm giao điểm hai đồ thị :(P): y = ax2(a �0) (D): y = ax + b:  Lập phương trình hoành độ giao điểm (P) (D): cho vế phải hàm số � đưa về pt bậc hai dạng ax2 + bx + c =  Giải pt hoành độ giao điểm: + Nếu  > � pt có nghiệm phân biệt � (D) cắt (P) điểm phân biệt + Nếu  = � pt có nghiệm kép � (D) (P) tiếp xúc + Nếu  < � pt vô nghiệm � (D) (P) không giao Xác định số giao điểm hai đồ thị :(P): y = ax2(a �0) (Dm) theo tham số m: Đề cương ơn thi vào lớp 10, mơn tốn  Lập phương trình hoành độ giao điểm (P) (D m): cho vế phải hàm số � đưa về pt bậc hai dạng ax2 + bx + c =  Lập  (hoặc  ' ) pt hoành độ giao điểm  Biện luận: + (Dm) cắt (P) điểm phân biệt  > � giải bất pt � tìm m + (Dm) tiếp xúc (P) điểm  = � giải pt � tìm m + (Dm) (P) không giao  < � giải bất pt � tìm m BÀI TẬP VẬN DỤNG x2 Bài tập 1: Cho hai hàm số y = có đồ thị (P) y = -x + m có đồ thị (Dm) Với m = 4, vẽ (P) (D4) hệ trục tọa độ vng góc Oxy Xác định tọa độ giao điểm chúng Xác định giá trị m để: a) (Dm) cắt (P) điểm có hoành độ b) (Dm) cắt (P) điểm phân biệt c) (Dm) tiếp xúc (P) Xác định tọa độ tiếp điểm Bài tập 2: Cho hai hàm số y = – 2x2 có đồ thị (P) y = – 3x + m có đồ thị (Dm) Khi m = 1, vẽ (P) (D1) hệ trục tọa độ vng góc Oxy Xác định tọa độ giao điểm chúng Xác định giá trị m để: a) (Dm) qua điểm (P) điểm có hồnh độ  b) (Dm) cắt (P) điểm phân biệt c) (Dm) tiếp xúc (P) Xác định tọa độ tiếp điểm Bài tập 3: Cho hàm số y = – 2x2 có đồ thị (P) Vẽ (P) hệ trục tọa độ vng góc Gọi A(  ; 7 ) B(2; 1) a) Viết phương trình đường thẳng AB b) Xác định tọa độ giao điểm đường thẳng AB (P) Tìm điểm (P) có tổng hồnh độ tung độ – Bài tập 4: Cho hàm số y =  x2 có đồ thị (P) y = – 2x + có đồ thị (D) Vẽ (P) (D) hệ trục tọa độ vuông góc Xác định tọa độ giao điểm (P) (D) Tìm tọa độ điểm (P) thỏa tính chất tổng hồnh độ tung độ điểm – Bài tập 5: Cho hàm số y = 2 x có đồ thị (P) y = x + có đồ thị (D) 3 Vẽ (P) (D) hệ trục tọa độ vng góc Xác định tọa độ giao điểm (P) (D) �x A  xB Xác định tọa độ A B 11 y A  yB � 3.Gọi A điểm �(P) B điểm �(D) cho � Bài tập 6: Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, cho hai điểm A(1; –2) B(–2; 3) Viết phương trình đường thẳng (d) qua A, B Gọi (P) đồ thị hàm số y = –2x2 a) Vẽ (P) mặt phẳng tọa độ cho b) Xác định tọa độ giao điểm (P) (d) Bài tập 7: Vẽ đồ thị (P) hàm số y = –2x2 mặt phẳng tọa độ vng góc Oxy Gọi (D) đường thẳng qua điểm A(–2; –1) có hệ số góc k a) Viết phương trình đường thẳng (D) Đề cương ơn thi vào lớp 10, mơn tốn b) Tìm k để (D) qua B nằm (P) biết hoành độ B Bài tập 8: Cho hai hàm số y = x2 có đồ thị (P) y = x + có đồ thị (D) Vẽ (P) và(D) hệ trục tọa độ vng góc Oxy Xác định tọa độ giao điểm chúng Gọi A điểm thuộc (D) có hồnh độ B điểm thuộc (P) có hồnh độ – Xác định tọa độ A, B Tìm tọa độ điểm I nằm trục tung cho: IA + IB nhỏ Bài tập 9: Cho hàm số y = – x2 có đồ thị (P) y = x – có đồ thị (D) a) Vẽ (P) và(D) hệ trục tọa độ vuông góc Xác định tọa độ giao điểm (P) (D) phương pháp đại số b) Gọi A điểm thuộc (D) có tung độ B điểm thuộc (P) có hồnh độ – Xác định tọa độ A B c) Tìm tọa độ điểm M thuộc trục hoành cho MA + MB nhỏ Bài tập 10: Cho (P): y = x2 (D): y = – x + Vẽ (P) (D) hệ trục tọa độ vng góc Oxy Gọi A B giao điểm (P) (D), xác định tọa độ A, B Tính diện tích tam giác AOB (đơn vị đo trục số cm) CMR: Tam giác AOB tam giác vng III HỆ PHƯƠNG TRÌNH lý thuyết Xét đường thẳng: ax+by=c ( d) a'x +b'y=c' (d') Hay a c a ' c' y   x  (d) y    (d ') b b b' b' ax  by  c , a �0 (d) � Hay hệ Cho hệ phương trình: � a ' x  b ' y  c ', a ' �0 (d') � a b � Hệ phương trình có nghiệm �  (d) cắt (d’) � a' b' a b c � Hệ phương trình vô nghiệm  �  (d) // (d’) � a' b' c' a b c � Hệ phương trình có vơ số nghiệm    (d) �(d’) � a' b' c' Bài tập Dạng 1: Giải hệ phương trình có đưa dạng Bài 1: Giải hệ phương trình  x  y 3  x  y 5 1)   x  y 5  x  y 10 2)   x  (1  ) y 1 5)   (1  ) x  y 1  x  y  0  x  y 14 3)   0,2 x  0,1 y 0,3 6)   x  y 5  x  y 3  x  y 14 4)  x   7)  y  x  y  10 0  Bài 2: Giải hệ phương trình sau:  (3x  2)(2 y  3) 6 xy  (4 x  5)( y  5) 4 xy 1)   2( x  y )  3( x  y ) 4  ( x  y )  2( x  y ) 5 2)  Đề cương ôn thi vào lớp 10, môn toán 3)  y  27  y  5x 5   2x  4)   x   y  y  5x  1  ( x  2)( y  3)  xy 50 5)   xy  ( x  2)( y  2) 32  2 6)   (2 x  3)( y  4) 4 x( y  3)  54  ( x  1)(3 y  3) 3 y ( x  1)  12  ( x  20)( y  1)  xy  ( x  10)( y  1)  xy Dạng Giải hệ phương trình sau cách đặt ẩn số phụ hệ phương trình chứa tham số : Bài tập 1: 1 1  x  y 12  1)    15 1  x y   x  y  y  x 3  2)    1  x  y y  x  3x  x   y  4  3)   x  9  x  y   x  y 16  x  y 13 4)   x  y  5)   x  y  11  mx  y 10  m (m tham số)  x  my 4 Bài tập 2: Cho hệ phương trình  a) Giải hệ phương trình m = b) Giải biện luận hệ phương trình theo m c) Xác định giá trị nguyên m để hệ có nghiệm (x;y) cho x> 0, y > d) Với giá trị m thì hệ có nghiệm (x;y) với x, y số nguyên dương CHUYÊN ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI - HỆ THỨC VI-ÉT A LÝ THUYẾT I-Cách giải phương trình bậc hai: * Khái niệm : Phương trình bậc hai ẩn có dạng ax2 + bx + c = a, b, c số thực a �0 1/ TQ Giải pt bậc hai khuyết c: ax + bx = � x ( ax + b ) = � x = hoặc x =  b a 2/TQ Giải pt bậc hai khuyết b: ax2 + c = � x2 =  Nếu  c a c c �0 � pt có hai nghiệm x1,2 = �  a a Đề cương ôn thi vào lớp 10, mơn tốn c < � pt vô nghiệm a 3/Giải pt bậc hai đầy đủ : ax2 + bx + c = ( a � 0) Nếu   = b2 - 4ac -b -  -b +  * Nếu  > phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = ; x2 = 2a 2a -b * Nếu  = phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = 2a * Nếu  < thì phương trình vô nghiệm *Chú ý : Trong trường hợp hệ số b số chẵn thì giải phương trình công thức nghiêm thu gọn  ' = b'2 - ac * Nếu  ' > phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = -b' -  ' -b' +  ' ; x2 = a a * Nếu  ' = phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = -b' a * Nếu  ' < thì phương trình vơ nghiệm 4/ Phương trình quy phương trình bậc hai a/ Phương trình trùng phương a) Dạng tổng quát: Phương trình có dạng: ax4+bx2+ c = x ẩn số; a, b, c hệ số, a �0 b) Cách giải:  Loại phương trình giải ta thường dùng phép đổi biến x2 = t ( t �0) từ ta đưa đến phương trình bậc hai trung gian : at2+ bt + c =0  Giải phương trình bậc hai trung gian này, sau trả biến: x2 = t ( Nếu giá trị tìm t thoả mãn t ta tìm nghiệm số phương trình ban đầu) b/ phương trình tích Dạng tổng quát: A.B = A0 � �� B0 � Cách giải: Để giải phương trình bậc lớn thường dùng phương pháp biến đổi về phương trình tích vế trái tích nhân tử về phải c/ Phương trình chứa ẩn mẫu - Tìm điều kiện xác định phương trình đặt điều kiện để phương trình có nghĩa ( giá trị mẫu thức phải khác không) - Khử mẫu ( nhân hai vế phương trình với mẫu thức chung vế) - Mở dấu ngoặc hai vế phương trình chuyển vế: chuyển hạng tử chứa ẩn về vế , hạng tử không chứa ẩn về vế kia) - Thu gọn phương trình về dạng tổng quát học - Nhận định kết trả lời ( loại bỏ gía trị ẩn vừa tìm không thuộc vào tập xác định phương trình) 10 Đề cương ơn thi vào lớp 10, mơn tốn 3) Tìm m để đồ thị hàm số đồ thị hàm số y = -x + ; y = 2x – ®ång quy Bµi Cho hµm sè y = (m – 1)x + m + 1) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 2) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số ®i qua ®iĨm (1 ; -4) 3) T×m ®iĨm cè định mà đồ thị hàm số qua với m 4) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số tạo với trục tung trục hoành tam giác có diện tích (đvdt) Bài Cho hai điểm A(1 ; 1), B(2 ; -1) 1) Viết phơng trình đờng thẳng AB 2) Tìm giá trị m để đờng thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + song song với đờng thẳng AB đồng thời qua điểm C(0 ; 2) Bài Trên mặt phẳng tọa ®é cho hai ®iÓm B  ;  vµ C  1 ;  d) ViÕt phơng trình đờng thẳng (d) qua điểm C song song với đờng thẳng y x Xác định tọa độ giao điểm A đờng thẳng (d) với trục hoành Ox e) Xác định hệ số a b biết đồ thị hàm sè y = ax + b ®i qua ®iĨm B C Tính góc tạo đờng thẳng BC trục hoành Ox (làm tròn đến phút) f) Tính chu vi tam giác ABC (đơn vị đo trục tọa độ xentimét) (kết làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất) Bài 1) Hàm số y= -2x +3 đồng biến hay nghịch biến ? 2) Tìm toạ độ giao điểm đờng thẳng y=-2x+3 với trục Ox ,Oy II V THỊ & TÌM TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM CỦA (P): y = ax VÀ (d): y = ax + b (a � 0) KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1.Hàm số y = ax2(a �0): Hàm số y = ax2(a �0) có tính chất sau:  Nếu a > thì hàm số đồng biến x > nghịch biến x <  Nếu a < thì hàm số đồng biến x < nghịch biến x > Đồ thị hàm số y = ax2(a �0):  Là Parabol (P) với đỉnh gốc tọa độ nhận trục Oy làm trục đối xứng  Nếu a > thì đồ thị nằm phía trục hồnh điểm thấp đồ thị  Nếu a < thì đồ thị nằm phía trục hồnh điểm cao đồ thị Vẽ đồ thị hàm số y = ax2 (a �0):  Lập bảng giá trị tương ứng (P)  Dựa bảng giá trị � vẽ (P) Tìm giao điểm hai đồ thị :(P): y = ax2(a �0) (D): y = ax + b:  Lập phương trình hoành độ giao điểm (P) (D): cho vế phải hàm số � đưa về pt bậc hai dạng ax2 + bx + c =  Giải pt hoành độ giao điểm: + Nếu  > � pt có nghiệm phân biệt � (D) cắt (P) điểm phân biệt + Nếu  = � pt có nghiệm kép � (D) (P) tiếp xúc + Nếu  < � pt vô nghiệm � (D) (P) không giao Xác định số giao điểm hai đồ thị :(P): y = ax2(a �0) (Dm) theo tham số m: 26 Đề cương ôn thi vào lớp 10, mơn tốn  Lập phương trình hoành độ giao điểm (P) (D m): cho vế phải hàm số � đưa về pt bậc hai dạng ax2 + bx + c =  Lập  (hoặc  ' ) pt hoành độ giao điểm  Biện luận: + (Dm) cắt (P) điểm phân biệt  > � giải bất pt � tìm m + (Dm) tiếp xúc (P) điểm  = � giải pt � tìm m + (Dm) (P) không giao  < � giải bất pt � tìm m BÀI TẬP VẬN DỤNG x2 Bài tập 1: Cho hai hàm số y = có đồ thị (P) y = -x + m có đồ thị (Dm) Với m = 4, vẽ (P) (D4) hệ trục tọa độ vng góc Oxy Xác định tọa độ giao điểm chúng Xác định giá trị m để: a) (Dm) cắt (P) điểm có hồnh độ b) (Dm) cắt (P) điểm phân biệt c) (Dm) tiếp xúc (P) Xác định tọa độ tiếp điểm Bài tập 2: Cho hai hàm số y = – 2x2 có đồ thị (P) y = – 3x + m có đồ thị (Dm) Khi m = 1, vẽ (P) (D1) hệ trục tọa độ vng góc Oxy Xác định tọa độ giao điểm chúng Xác định giá trị m để: a) (Dm) qua điểm (P) điểm có hồnh độ  b) (Dm) cắt (P) điểm phân biệt c) (Dm) tiếp xúc (P) Xác định tọa độ tiếp điểm Bài tập 3: Cho hàm số y = – 2x2 có đồ thị (P) Vẽ (P) hệ trục tọa độ vng góc Gọi A(  ; 7 ) B(2; 1) a) Viết phương trình đường thẳng AB b) Xác định tọa độ giao điểm đường thẳng AB (P) Tìm điểm (P) có tổng hồnh độ tung độ – Bài tập 4: Cho hàm số y =  x2 có đồ thị (P) y = – 2x + có đồ thị (D) Vẽ (P) (D) hệ trục tọa độ vng góc Xác định tọa độ giao điểm (P) (D) Tìm tọa độ điểm (P) thỏa tính chất tổng hồnh độ tung độ điểm – Bài tập 5: Cho hàm số y = 2 x có đồ thị (P) y = x + có đồ thị (D) 3 Vẽ (P) (D) hệ trục tọa độ vng góc Xác định tọa độ giao điểm (P) (D) �x A  xB Xác định tọa độ A B 11 y A  yB � 3.Gọi A điểm �(P) B điểm �(D) cho � Bài tập 6: Trong mặt phẳng tọa độ vng góc Oxy, cho hai điểm A(1; –2) B(–2; 3) Viết phương trình đường thẳng (d) qua A, B Gọi (P) đồ thị hàm số y = –2x2 a) Vẽ (P) mặt phẳng tọa độ cho b) Xác định tọa độ giao điểm (P) (d) Bài tập 7: Vẽ đồ thị (P) hàm số y = –2x2 mặt phẳng tọa độ vng góc Oxy Gọi (D) đường thẳng qua điểm A(–2; –1) có hệ số góc k a) Viết phương trình đường thẳng (D) 27 Đề cương ôn thi vào lớp 10, môn toán b) Tìm k để (D) qua B nằm (P) biết hoành độ B Bài tập 8: Cho hai hàm số y = x2 có đồ thị (P) y = x + có đồ thị (D) Vẽ (P) và(D) hệ trục tọa độ vng góc Oxy Xác định tọa độ giao điểm chúng Gọi A điểm thuộc (D) có hoành độ B điểm thuộc (P) có hồnh độ – Xác định tọa độ A, B Tìm tọa độ điểm I nằm trục tung cho: IA + IB nhỏ Bài tập 9: Cho hàm số y = – x2 có đồ thị (P) y = x – có đồ thị (D) d) Vẽ (P) và(D) hệ trục tọa độ vng góc Xác định tọa độ giao điểm (P) (D) phương pháp đại số e) Gọi A điểm thuộc (D) có tung độ B điểm thuộc (P) có hồnh độ – Xác định tọa độ A B f) Tìm tọa độ điểm M thuộc trục hoành cho MA + MB nhỏ Bài tập 10: Cho (P): y = x2 (D): y = – x + Vẽ (P) (D) hệ trục tọa độ vng góc Oxy Gọi A B giao điểm (P) (D), xác định tọa độ A, B Tính diện tích tam giác AOB (đơn vị đo trục số cm) CMR: Tam giác AOB tam giác vuông III HỆ PHƯƠNG TRÌNH 13 lý thuyết Xét đường thẳng: ax+by=c ( d) a'x +b'y=c' (d') Hay a c a ' c' y   x  (d) y    (d ') b b b' b' ax  by  c , a �0 (d) � Hay hệ Cho hệ phương trình: � a ' x  b ' y  c ', a ' �0 (d') � a b � Hệ phương trình có nghiệm �  (d) cắt (d’) � a' b' a b c � Hệ phương trình vô nghiệm  �  (d) // (d’) � a' b' c' a b c � Hệ phương trình có vơ số nghiệm    (d) �(d’) � a' b' c' 14.Bài tập Dạng 1: Giải hệ phương trình có đưa dạng Bài 1: Giải hệ phương trình  x  y 3  x  y 5 1)   x  y 5  x  y 10 2)   x  (1  ) y 1 5)   (1  ) x  y 1  x  y  0  x  y 14 3)   0,2 x  0,1 y 0,3 6)   x  y 5  x  y 3  x  y 14 4)  x   7)  y  x  y  10 0  Bài 2: Giải hệ phương trình sau:  (3x  2)(2 y  3) 6 xy  (4 x  5)( y  5) 4 xy 1)   2( x  y )  3( x  y ) 4  ( x  y )  2( x  y ) 5 2)  28 Đề cương ôn thi vào lớp 10, môn toán 3)  y  27  y  5x 5   2x  4)   x   y  y  5x  1  ( x  2)( y  3)  xy 50 5)   xy  ( x  2)( y  2) 32  2 6)   (2 x  3)( y  4) 4 x( y  3)  54  ( x  1)(3 y  3) 3 y ( x  1)  12  ( x  20)( y  1)  xy  ( x  10)( y  1)  xy Dạng Giải hệ phương trình sau cách đặt ẩn số phụ hệ phương trình chứa tham số : Bài tập 1: 1 1  x  y 12  1)    15 1  x y   x  y  y  x 3  2)    1  x  y y  x  3x  x   y  4  3)   x  9  x  y   x  y 16  x  y 13 4)   x  y  5)   x  y  11  mx  y 10  m (m tham số)  x  my 4 Bài tập 2: Cho hệ phương trình  e) Giải hệ phương trình m = f) Giải biện luận hệ phương trình theo m g) Xác định giá trị nguyên m để hệ có nghiệm (x;y) cho x> 0, y > h) Với giá trị m thì hệ có nghiệm (x;y) với x, y số nguyên dương CHUYÊN ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI - HỆ THỨC VI-ÉT A LÝ THUYẾT I-Cách giải phương trình bậc hai: * Khái niệm : Phương trình bậc hai ẩn có dạng ax2 + bx + c = a, b, c số thực a �0 1/ TQ Giải pt bậc hai khuyết c: ax + bx = � x ( ax + b ) = � x = hoặc x =  b a 2/TQ Giải pt bậc hai khuyết b: ax2 + c = � x2 =  Nếu  c a c c �0 � pt có hai nghiệm x1,2 = �  a a 29 Đề cương ôn thi vào lớp 10, môn tốn c < � pt vơ nghiệm a 3/Giải pt bậc hai đầy đủ : ax2 + bx + c = ( a � 0) Nếu   = b2 - 4ac -b -  -b +  * Nếu  > phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = ; x2 = 2a 2a -b * Nếu  = phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = 2a * Nếu  < thì phương trình vô nghiệm *Chú ý : Trong trường hợp hệ số b số chẵn thì giải phương trình công thức nghiêm thu gọn  ' = b'2 - ac * Nếu  ' > phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = -b' -  ' -b' +  ' ; x2 = a a * Nếu  ' = phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = -b' a * Nếu  ' < thì phương trình vô nghiệm 4/ Phương trình quy phương trình bậc hai a/ Phương trình trùng phương a) Dạng tổng quát: Phương trình có dạng: ax4+bx2+ c = x ẩn số; a, b, c hệ số, a �0 b) Cách giải:  Loại phương trình giải ta thường dùng phép đổi biến x2 = t ( t �0) từ ta đưa đến phương trình bậc hai trung gian : at2+ bt + c =0  Giải phương trình bậc hai trung gian này, sau trả biến: x2 = t ( Nếu giá trị tìm t thoả mãn t ta tìm nghiệm số phương trình ban đầu) b/ phương trình tích Dạng tổng qt: A.B = A0 � �� B0 � Cách giải: Để giải phương trình bậc lớn thường dùng phương pháp biến đổi về phương trình tích vế trái tích nhân tử về phải c/ Phương trình chứa ẩn mẫu - Tìm điều kiện xác định phương trình đặt điều kiện để phương trình có nghĩa ( giá trị mẫu thức phải khác không) - Khử mẫu ( nhân hai vế phương trình với mẫu thức chung vế) - Mở dấu ngoặc hai vế phương trình chuyển vế: chuyển hạng tử chứa ẩn về vế , hạng tử không chứa ẩn về vế kia) - Thu gọn phương trình về dạng tổng quát học - Nhận định kết trả lời ( loại bỏ gía trị ẩn vừa tìm không thuộc vào tập xác định phương trình) 30 Đề cương ôn thi vào lớp 10, mơn tốn II- Hệ thức Vi - ét ứng dụng : b � x1  x   � � a Nếu x1; x2 hai nghiệm phương trình ax  bx  c  0(a �0) thì : � �x x  c �1 a Muốn tìm hai số u v, biết u + v = S, uv = P, ta giải phương trình : x  Sx  P  (Điều kiện để có u v S2  4P �0 ) Nếu a + b + c = thì phương trình ax  bx  c  0(a �0) có hai nghiệm : x1  1; x  c a Nếu a - b + c = thì phương trình ax  bx  c  0(a �0) có hai nghiệm : x1  1; x   c a III: Các điều kiện để phương trình có nghiệm thỏa mãn đặc điểm cho trước: Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax2+bx+c = (a  0) có: Có nghiệm (có hai nghiệm)    Vô nghiệm   < Nghiệm (nghiệm kép, hai nghiệm nhau)   = Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau)   > Hai nghiệm dấu   P > Hai nghiệm trái dấu   > P <  a.c < Hai nghiệm dương(lớn 0)   0; S > P > Hai nghiệm âm(nhỏ 0)   0; S < P > Hai nghiệm đối   S = 10.Hai nghiệm nghịch đảo   P = 11 Hai nghiệm trái dấu nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn  a.c < S < 12 Hai nghiệm trái dấu nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn  a.c < S > IV Tính giá trị các biểu thức nghiệm Đối toán dạng điều quan trọng phải biết biến đổi biểu thức nghiệm cho về biểu thức có chứa tổng nghiệm S tích nghiệm P để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị biểu thức  x12  x22  ( x12  x1 x2  x22 )  x1 x2  ( x1  x2 )  x1 x2 3 2  x1  x2   3x1 x2 �  x1  x2   x1  x2   x1  x1 x2  x2    x1  x2  � � � 2 ( x1  x2 )2  x1 x2 �  x14  x24  ( x12 )2  ( x22 )2   x12  x22   x12 x22  � � � x1 x2  1 x1  x2   x1 x2 x1 x2  x1  x2  �  x1  x2   x1 x2  x12  x22 (   x1  x2   x1  x2  =…….) 2  x1  x2   x1 x2 �  x13  x23 ( =  x1  x2   x1  x1 x2  x2    x1  x2  � � �=…… )  x14  x24  x16  x26 2 2 ( =  x1  x2   x1  x2  =…… ) 3 2 2 ( = ( x1 )  ( x2 )   x1  x2   x1  x1 x2  x2  = …… ) V: Tìm giá trị tham số để hai phương trình có nghiệm chung Tổng qt: 31 Đề cương ơn thi vào lớp 10, mơn tốn Giả sử x0 nghiệm chung hai phương trình Thay x = x0 vào phương trình ta hệ với ẩn tham số Giải hệ tìm tham số m Thử lại với tham số vừa tìm, hai phương trình có nghiệm chung hay khơng? B-BÀI TẬP: I-CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN Bài Giải phương trình sau : B/ A/ a / 2x   b / 3x  5x  c/ x  3x   d/ x  3x  2x   x2 e/ 3 x 5 2x a / x  5x   b / x  29x  100  c / x  3x  x    d /11x  8x   18x   e / 4x    8x  x x Bài 2: Không giải phương trình, tính giá trị biểu thức nghiệm a) Cho phương trình : x  x  15  Khơng giải phương trình, tính x12  x22 1 x x  x x x  x  x1  x2  b) Cho phương trình : x  72 x  64  Khơng giải phương trình, tính: 1 x  x 2 x12  x22 , c) Cho phương trình : x  14 x  29  Khơng giải phương trình, tính: 1 x  x 2 x12  x22 d) Cho phương trình : x  3x   Không giải phương trình, tính: 1 x 1 x  x 1 x 2 x  x x12  x22 x1 x2 x   x  e) Cho phương trình x  3x   có nghiệm x1 ; x2 , khơng giải phương trình, tính Q x12  10 x1 x2  x22 x1 x23  x13 x2 Bài 3:Cho phương trình x  2mx  m   (x ẩn số) c) Chứng minh phương trình ln ln có nghiệm phân biệt với m d) Gọi x1, x2 nghiệm phương trình 24 Tìm m để biểu thức M = x  x  x x đạt giá trị nhỏ 2 Bài 4: Cho phương trình x2 – 2x – 3m2 = 0, với m tham số 3) Giải phương trình m = 4) Tìm tất giá trị m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 khác thỏa x x điều kiện x  x  Bài Cho phương trình: x2 – 2(m+2)x + m2 + 4m +3 = 32 Đề cương ôn thi vào lớp 10, mơn tốn 3) Chứng minh : Phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với giá trị m 4) Tìm giá trị m để biểu thức A = x12  x22 đạt giá trị nhỏ Bài Cho phương trình: x2 – (4m – 1)x + 3m2 – 2m = (ẩn x) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn điều kiện : x12  x 22  Bài 7: điểm:Cho phơng trình: x2 2(m-1)x + m2 =0 ( m tham số) c) Giải phơng trình m = d) Tìm m để phơng tr×nh cã hai nghiƯm x1, x2 tháa m·n x12  x22  16 Bài 8: Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình x  x  0 Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức sau: a, x1 + x2 b, x  x c, x12  x22 Bài Cho phương trình x2 – 2(m – 3)x – = c) Giải phương trình m = d) Tìm m để phương trình có nghiệm x1 ; x2 mà biểu thức A = x12 – x1x2 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ Bài 10: Giải phương trình x – 7x – = Cho phương trình x2 – 2x + m – = với m tham số Tìm giá trị m để phương 3 trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện x1 x  x1x  6 Bài 11 Cho phương trình x2  2(m 1)x  m  0, với x ẩn số, m�R a Giải phương trình cho m  – b Giả sử phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x1 x2 Tìm hệ thức liên hệ x1 x2 mà không phụ thuộc vào m Bài 12 Cho phương trình (ẩn x): x2– ax – = (*) Giải phương trình (*) với a = Chứng minh phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt với giá trị a Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình (*) Tìm giá trị a để biểu thức: N= x12  ( x1  2)( x2  2)  x22 có giá trị nhỏ Bài 13 Cho phương trình x2 – 3x + m – = (m tham số) (1) d) Giải phương trính (1) m = e) Tìm giá trị tham số m để phương trình (1) có nghiệm kép f) Tìm giá trị tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm x1; x2 độ dài cạnh hình chữ nhật có diện tích (đơn vị diện tích) Bài 14 Cho phương trình: x  2( m  1) x  2m  (1) (với ẩn x ) 1) Giải phương trình (1) m =1 33 Đề cương ôn thi vào lớp 10, mơn tốn 2) Chứng minh phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với m 3) Gọi hai nghiệm phương trình (1) x1 ; x2 Tìm giá trị m để x1 ; x2 độ dài hai cạnh tam giác vng có cạnh hùn 12 Bài 15 Cho phương trình x - 2m - (m2 + 4) = (1), m tham số a) Chứng minh với m phương trình (1) có nghiệm phân biệt: b) Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình (1) Tìm m để x12 + x 22  20 Cho hàm số: y = mx + (1), m tham số a) Tìm m để đồ thị hàm số (1) qua điểm A (1;4) Với giá trị m vừa tìm được, hàm số (1) đồng biến hay nghịch biến R? b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) song song với đường thẳng (d) có phương trình: x + y + 3=0 Bài 16 Cho hai phương trình: x  x  m  x  mx   Xác định m để hai phương trình có nghiệm chung ( Đáp số: m = - 2, nghiệm chung x = 1) Câu 17 Xác định m để phương trình sau có nghiệm chung x  mx   x  x  m  ( Đáp số: m = - nghiệm chung x = 1) Bài 18: Cho phương trình: x2 - mx + 2m - = a) Giải phương trình với m = - b) Tìm m để phương trình có nghiệm kép c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu d)Tìm hệ thức hai nghiệm phương trình không phụ thuộc vào m e) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt Bài 19: Cho phương trình bậc hai(m - 2)x2 - 2(m + 2)x + 2(m - 1) = a) Giải phương trình với m = b) Tìm m để phương trình có nghiệm x = - c) Tìm m để phương trình có nghiệm kép d) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m e) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt f) Khi phương trình có nghiệm x = -1 tìm giá trị m tìm nghiệm lại Bài 20:Cho phương trình: x2 - 2(m- 1)x + m2 - 3m = a) Giải phương trình với m = - b) Tìm m để phương trình có nghiệm x = - Tìm nghiệm lại c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 x2 thảo mãn: x12 + x22 = e) Tìm giá trị nhỏ A = x12 + x22 Bài 21: Cho phương trình: mx2 - (m + 3)x + 2m + = a) Tìm m để phương trình có nghiệm kép b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt c) Tìm m để phương trình có hiệu hai nghiệm d) Tìm hệ thức liên hệ x1và x2 không phụ thuộc m Bài tập 22: Cho phương trình: x2 - (2a- 1)x - 4a - = a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm với giá trị a b) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào a c) Tìm giá trị nhỏ nhật biểu thức A = x12 + x22 Bài 23: Cho phương trình: x2 - (2m- 6)x + m -13 = a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x1 x2 - x12 - x22 Bài 24: Cho phương trình: x2 - 2(m+4)x + m2 - = 34 Đề cương ơn thi vào lớp 10, mơn tốn a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt b) Tìm m để A = x12 + x22 - x1 - x2 đạt giá trị nhỏ c) Tìm m để B = x1 + x2 - 3x1x2 đạt giá trị lớn d) Tìm m để C = x12 + x22 - x1x2 Bài 25: Cho phương trình: ( m - 1) x2 + 2mx + m + = a) Giải phương trình với m = b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 x2 thoả mãn: A = x12 x2 + x22x1 d) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m Bài 26: Tìm giá trị m để nghiệm x1, x2 phương trìnhm x2 - 2(m - 2)x + (m - 3) = thoả mãn điều kiện x12  x22 1 Bài 27:Cho phương trình x2 - 2(m - 2)x + (m + 2m - 3) = Tìm m để phương trình có 1 x  x2 nghiệm x1, x2 phân biệt thoả mãn x  x  Bài 28:Cho phương trình: mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = (m tham số) a) Xác định m để nghiệm x1; x2 phương trình thoả mãn x1 + 4x2 = b) Tìm hệ thức x1; x2 mà không phụ thuộc vào m Bài 29: Cho phương trình x2 - (m + 3)x + 2(m + 1) = (1) Tìm giá trị tham số m để phương trình có (1) có nghiệm x1 = 2x2 Bài 30: Gọi x1, x2 nghiệm phương trình: x2 - (2m - 1)x + m – = Tìm m để x12  x22 có giá trị nhỏ Bài 31: Gọi x1; x2 nghiệm phương trình: 2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + = Tìm giá trị lớn biểu thức: A =x1x2 - 2x1 - 2x2 CHUYÊN ĐỀ 4: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH HOẶC HỆ PHƯƠNG TRÌNH A.Tóm tắt lí thuyết Bíc 1: Lập phơng trình hệ phơng trình: a) Chọn ẩn đặt điều kiện cho ẩn b) Biểu diễn đại lợng cha biết thông qua ẩn địa lợng biết c) Lập phơng trình biểu thị mối quan hệ đại lợng Bớc 2: Giải phơng trình Bớc 3: Đối chiếu nghiệm pt, hệ phơng trình (nếu có) với điều kiện ẩn số ®Ĩ tr¶ lêi 35 Đề cương ơn thi vào lớp 10, mơn tốn Chó ý: T tõng bµi tËp thể mà ta lập phơng trình bậc ẩn, hệ phơng trình hay phơng trình bậc hai Khi đặt diều kiện cho ẩn ta phải dựa vào nội dung toán kiến thức thực tế B Cỏc Dng toỏn Dạng 1: Toán quan hệ số *Những kiến thức cần nhớ: + Biểu diễn sè cã hai ch÷ sè : ab  10a b ( v�i0