- Hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì điểm đó cách đến hai tiếp điểm ; tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến ; tia kẻ từ tâ[r]
(1)Bồi dưỡng HSG Toán – Nông Văn Thiệp - Trường THCS Cốc Mỳ Chủ đề: Đường tròn A- Môc tiªu: -Häc sinh cÇn n¾m v÷ng c¸c kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ ®êng trßn -Vận dụng cách thành thục các đn,tính chất để giải các dạng bài tập đó - RÌn kü n¨ng vµ t h×nh häc S¸ng t¹o vµ linh ho¹t gi¶i to¸n h×nh häc B - NỘI DUNG : I/ Những kiến thức : 1) Sự xác định và các tính chất đường tròn : - Tập hợp các điểm cách điểm O cho trước khoảng không đổi R gọi là đường tròn tâm O bán kính R , kí hiệu là (O, R) - Một đường tròn hoàn toàn xác định điều kiện nó Nếu AB là đoạn cho trước thì đường tròn đường kính AB là tập hợp điểm M cho AB · = 900 Khi đó tâm O là trung điểm AB ; R AMB - Qua điểm A, B, C không thẳng hàng luôn vẽ đường tròn và mà thôi Đường tròn đó gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC - Trong đường tròn , đường kính vuông góc với dây thì qua trung điểm dây đó Ngược lại đường kính qua trung điểm dây không qua tâm thì vuông góc với dây đó - Trong đường tròn hai dây cung và chúng cách tâm - Trong đường tròn , hai dây cung không , dây lớn và dây đó gần tâm 2) Tiếp tuyến đường tròn : - Định nghĩa : Đường thẳng gọi là tiếp tuyến đường tròn nó có điểm chung với đường tròn Điểm đó gọi là tiếp điểm - Tính chất : Tiếp tuyến đường tròn vuông góc với bán kính tiếp điểm Ngược lại , đường thẳng vuông góc với bán kính giao điểm bán kính với đường tròn gọi là tiếp tuyến - Hai tiếp tuyến đường tròn cắt điểm thì điểm đó cách đến hai tiếp điểm ; tia kẻ từ điểm đó qua tâm là tia phân giác góc tạo hai tiếp tuyến ; tia kẻ từ tâm qua điểm đó là tia phân giác góc tạo hai bán kính qua các tiếp điểm - Đường tròn tiếp xúc với cạnh tam giác gọi là đường tròn nội tiếp tam giác đó Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao đường phân giác tam giác - Đường tròn bàng tiếp tam giác là đường tròn tiếp xúc với cạnh và phần kéo dài hai cạnh 3) Vị trí tương đối hai đường tròn : - Giả sử hai đường tròn ( O; R) và (O’; r) có R ≥ r và d = OO’ là khoảng cách hai tâm Khi đó vị trí tương đối hai đường tròn ứng với hệ thức R , r và d theo bảng sau : Lop8.net (2) Vị trí tương đối Hai đường tròn cắt Hai đường tròn tiếp xúc Hai đường tròn không giao Số điểm chung Hệ thức R–r<d<R+r d=R+r (d=R–r) d>R+r (d<R–r) - Hai đường tròn tiếp xúc và tiếp điểm nằm trên đường nối tâm Nếu hai đường tròn cắt thì đường nối tâm vuông góc với dây cung chung và chia dây cung đó hai phần 4) Các loại góc : a Góc tâm : - Định nghĩa : Là góc có đỉnh tâm đường tròn - Tính chất : Số đo góc tâm số đo cung bị chắn b Góc nội tiếp : - Định nghĩa : Là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh góc chứa hai dây đường tròn đó - Tính chất : Số đo góc nội tiếp nửa số đo cung bị chắn c Góc tạo tia tiếp tuyến và dây qua tiếp điểm : - Tính chất : Số đo góc tạo tia tiếp tuyến và dây nửa số đo cung bị chắn d Góc có đỉnh nằm bên đường tròn : - Tính chất : Số đo góc có đỉnh nằm bên đường tròn nửa tổng số đo hai cung bị chắn hai cạnh góc và các tia đối hai cạnh e Góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn : - Tính chất : Số đo góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn nửa hiệu số đo hai cung bị chắn hai cạnh góc 5) Quỹ tích cung chứa góc : - - Quỹ tích điểm M nhìn đoạn thẳng AB cố định góc không đổi là hai cung tròn đối xứng qua AB gọi là cung chứa góc dựng trên đoạn thẳng AB Đặc biệt là cung chứa góc 900 là đường tròn đường kính AB Dựng tâm O cung chứa góc trên đoạn AB : o Dựng đường trung trực d AB o Dựng tia Ax tạo với AB góc , sau đó dựng Ax’ vuông góc với Ax o O là giao Ax’ và d 6) Tứ giác nội tiếp đường tròn : - Đinh nghĩa : Tứ giác có đỉnh nằm trên đường tròn - Tính chất : Trong tứ giác nội tiếp , tổng số đo hai góc đối diện góc vuông Ngược lại , tứ giác có tổng góc đối diện góc vuông thì tứ giác đó nội tiếp đường tròn 7) Chu vi đường tròn , cung tròn , diện tích hình tròn , quạt tròn : - Chu vi hình tròn : C = 2R - Diện tích hình tròn : S = R2 - Độ dài cung tròn : l= Rn 180 Lop8.net (3) Bồi dưỡng HSG Toán – Nông Văn Thiệp - Trường THCS Cốc Mỳ - Diện tích hình quạt tròn : S = R n 180 8) Tính bán kính đường tròn nội tiếp , ngoại tíêp , bàng tiếp đa giác a Bán kính đường tròn nội tiếp đa giác n cạnh : b R = a 180 2Sin n r= a 180 tg n c Bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác n cạnh r = a 180 tg n d Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác (R) : R= a b c 2SinA 2SinB 2SinC R= Với tam giác vuông A : R = a Với tam giác cạnh a : R = e Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác (r) : r = a S với ( 2p = a+b+c ) p cba Với tam giác vuông A : r = Với tam giác cạnh a : r = abc 4SΔ a f Bán kính đường tròn bàng tiếp g óc A tam giác (ra) : S pa ( là bán kính đường tròn bàng tiếp góc A ) Với tam giác vuông A : = Với tam giác cạnh a : = abc a II/ Bài tập vận dụng 1) Bài tập dụng tính chất đường tròn : a Ứng dụng tính chất đường tròn : Sử dụng tính chất đường tròn quan hệ đường kính và dây cung ; dây cung và khoảng cách đến tâm để chứng minh hai đường thẳng vuông góc , so sánh hai đoạn thẳng Sử dụng đường kính là dây cung lớn đường tròn để để xác định vị trí đường thẳng , điểm để có hình đặc biệt là áp dụng để giải các bài toán cực trị b Các ví dụ : Bài : Trong đường tròn (O) kẻ hai bán kính OA và OB tùy ý và dây MN vuông góc với phân giác Ox góc AOB cắt OA F và OB G Chứng tỏ MF = NG và FA = GB Lop8.net (4) M A F O 2H x Hướng dẫn chứng minh : Sử dụng tính chất đường kính dây cung chứng minh : HM = HN Chứng minh tam giác OFG cân để : HF = HG ; OF = OG Từ hai điều trên suy điều phải chứng minh G N B Bài : Cho hai đường tròn đồng tâm hình vẽ So sánh các độ dài : a) OH và OK b) ME và MF H B A E M c) CM và MK C O Nếu biết K AB > CD AB = CD D AB < CD F Bài : Cho (O) và điểm I nằm bên đường tròn Chứng minh dây AB vuông góc với OI I ngắn dây khác qua I Hướng dẫn chứng minh : Kẻ dây CD bất kì qua I không trùng với AB Nhờ mối liên hệ dây và khoảng cách từ tâm đến dây , ta kẻ OK vuông góc với CD OI > OK nên AB < CD O D * Từ bài tập trên chúng ta thấy bán kính đường tròn R và OI = d chúng ta có thể hỏi : K A B - Tính độ dài dây ngắn qua I ? I C - Tính độ dây dài qua I ? Bài : Cho (O;R) và điểm M nằm ngoài đường tròn Hãy dựng cát tuyến MPQ với đường tròn cho MP = MQ Hướng dẫn : Phân tích : Giả sử dựng hình thỏa mãn đề Q bài Kẻ OI vuông góc với PQ I P M Ta có : IP = PQ IP = MI MP = N O Kẻ PN vuông góc MQ ta thấy MN = MI MO và P là giao đường tròn đường kính MN và (O) Cách dựng : Dựng điểm N dựng điểm P… 2) Bài tập tiếp tuyến đường tròn : a Ứng dụng tiếp tuyến : Lop8.net (5) Bồi dưỡng HSG Toán – Nông Văn Thiệp - Trường THCS Cốc Mỳ - - - Từ các tính chất tiếp tuyến , hai tiếp tuyến cắt ta các đường thẳng vuông góc , các cặp đoạn thẳng và các cặp góc ; từ đó ta xây dựng các hệ thức cạnh , góc Từ tính chất tiếp tuyến chúng ta có thể vận dụng vào tam giác tìm công thức tính diện tích đường tròn nội tiếp , đường tròn ngoại tiếp và đường tròn bàng tiếp tam giác , bán kính Lưu ý : Chứng minh Ax là tiếp tuyến (O;R) chúng ta làm E theo các cách sau : A (O;R) và góc OAx = 900 Khoảng cách từ O đến Ax R F Nếu X nằm trên phần kéo dài EF và XA2 = XE.XF X ( xem hình ) A Góc EAX = góc AEF b Các ví dụ : Bài : Cho tam giác ABC vuông A Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ; d là tiếp tuyến đường tròn A Các tiếp tuyến đường tròn B và C cắt d theo thứ tự D và E a) Tính góc DOE b) Chứng minh : DE = BD + CE c) Chứng minh : BD.CE = R2 ( R là bán kính đường tròn tâm O ) d) Chứng minh BC là tiếp tuyến đường tròn có đường kính DE Hướng dẫn chứng minh : E a) Sử dụng tính chất tiếp tuyến ta chứng minh : A D DÔE = DÔA + EÔA = (BÔA + CÔA) = 90 b) Sử dụng tính chất tiếp tuyến ta chứng minh : B C DE = DA + EA = BD + EC O c) Sử dụng tính chất tiếp tuyến ta có : BD.CE = DA.EA Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông cho tam giác DOE DA.EA = OA2 = R2 d) Trung điểm I DE là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông DOE Ta thấy OI là đường trung bình hình thang vuông BDEC nên OI // BD // CE hay OI BC hay BC là tiếp tuyến đường tròn đường kính DE Bài : Cho hai đường tròn ( O) và (O’) tiếp xúc ngoài A Kẻ các đường kính AOB ; AOC’ Gọi DE là tiếp tuyến chung đường tròn ; D(O) ; E(O’) Gọi M là giao điểm BD và CE a) Tính số đo góc DAE b) Tứ giác ADME là hình gì ? c) Chứng minh MA là tiếp tuyến chung hai đường tròn Hướng dẫn chứng minh : Lop8.net (6) O B O’ A F D E M C a) Kẻ tiếp tuyến chung hai đường tròn qua A cắt tiếp tuyến chung DE F Dựa vào tính chất tiếp tuyến ta có FA = FD = FE Vậy tam giác DAE là tam giác vuông A hay góc DAE = 900 b) Tứ giác ADME có D̂ =  = Ê = 90 nên nó là hình chữ nhật c) Từ câu b) AM qua trung điểm DE hay AM trùng với AF nên AM là tiếp tuyến chung hai đường tròn Chú ý: - Với bài tập cho trước hai đường tròn tiếp xúc nhau, ta nên lưu ý đến tiếp tuyến chung chúng Nó thường có vai trò quan trọng các lời giải - Với bài tập trên chúng ta có thể hỏi : CMR : góc OFO’ là góc vuông DE là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác OFO’ Các tia AD và AE cắt (O) và (O’) H ; K Chứng minh : SAHK = SADE Bài : Gọi a , b, c là số đo cạnh tam giác ABC , r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác Tính diện tích tam giác theo p và r , đó p là nửa chu vi tam giác Hướng dẫn : A Gọi D , E , F là các tiếp điểm F E Theo tính chất tiếp tuyến : ID = IF = IE = r I B Nên: SABC = SABI + SBCI + SACI = ( a + b + c).r = pr C D S = pr Từ bài tập trên hãy tính : - Bán kính r đường tròn nội tiếp tam giác vuông , tam giác theo các cạnh tam giác - Các đoạn tiếp tuyến AE , BF , CD theo các cạnh a , b, c tam giác 3) Bài tập các loại góc đường tròn Bài : Cho A là điểm cố định trên đường tròn (O) và M là điểm di động trên đường tròn đó N là giao AM với đường kính cố định BC Chứng minh giao điểm đường tròn (O) với đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN là cố định Hướng dẫn chứng minh : D A Kẻ DA // BC Kẻ đường kính DP B C Ta dễ thấy : N̂ = P̂ ( cùng góc A ) Nên đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN qua P (O) cố định Nhận xét : P M Trong bài này P còn là góc nội tiếp hai đường tròn nên nó đóng vai trò đại lượng trung gian để chứng minh góc Kĩ này còn gặp lại khá thường xuyên O N Lop8.net (7) Bồi dưỡng HSG Toán – Nông Văn Thiệp - Trường THCS Cốc Mỳ Bài : Cho tham giác ABC có góc nhọn Đường tròn (O) có đường kính BC cắt AB , AC theo thứ tự D , E Gọi I là giao điểm BE và CD a) Chứng minh : AI BC D B b) Chứng minh : ID̂E = IÂE c) Cho góc BAC = 600 Chứng minh tam giác DOE là tam giác Hướng dẫn chứng minh : A a) Dựa vào tính chất góc chắn nửa đường tròn , ta chứng minh I là trực tâm tam giác ABC nên AI BC E b) Góc IAE = EBC góc có cạnh tương ứng vuông góc I Góc EBC = EDC cùng chắn cung EC C Từ hai điều trên suy điều chứng minh O c) Góc BAC = 600 Góc DBE = 300 chắn cung DE Số đo cung DE = 600 Góc DOE = 600 mà tam giác DOE cân đỉnh O nên DOE là tam giác Bài : Cho đường tròn (O) đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn Điểm C thuộc nửa đường tròn cùng nửa mặt phẳng với Ax với bờ là AB Phân giác góc ACx cắt đường tròn E , cắt BC D Chứng minh : a) Tam giác ABD cân b) H là giao điểm BC và DE Chứng minh DH AB c) BE cắt Ax K Chứng minh tứ giác AKDH là D hình thoi Hướng dẫn giải : K E C a) AD là phân giác hai cung AE và CE H Dựa vào góc nội tiếp ta dễ dàng chứng minh BE vừa là B phân giác vừa là đường cao tam giác ABD , nên ABD A O cân đỉnh B b) Dựa vào góc chắn nửa đường tròn Ta thấy H là trực tâm ABD nên DH AB c) Ta thấy KE = HE (vì AKH cân đỉnh A) và AE = DE ( ABD cân đỉnh B) và ADKH , nên tứ giác AKDH là hình thoi * Từ bài tập trên có thể các câu hỏi khác : - Chứng minh OE AC - Tìm vị trí C trên cung AB để ABD Bài : Cho tam giác ABC nội tiếp (O; R) Chứng minh : a) R = a b c 2SinA 2SinB 2SinC b) R = abc 4SΔ A b a O B C H A’ Lop8.net (8) Hướng dẫn giải a) Kẻ đường kính AA’lúc đó ACA’ vuông C Dựa vào hệ thức lượng tam giác vuông và góc nội tiếp chắn cùng cung ta có : b = AA'.SinAÂ' C = 2R.SinB Hay R = b 2SinB Chứng minh tương tự b) Ta thấy hai tam giác vuông AHB và ACA’ đồng dạng nên hay AH AC = AB AA' 2S 2S b abc b mà h a = suy hay S = = = a ac 2R 4R c 2R Từ bài tập trên hãy tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông , tam giác 4) Bài tập tứ giác nội tiếp đường tròn Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn theo các cách sau đây : - Chứng minh tổng hai góc đối diện tứ giác 1800 - Chứng minh hai điểm nhìn hai điểm còn lại cùng góc - Tứ giác ABCD có AC cắt BD M mà MA.MC = MB.MD thì tứ giác ABCD nội tiếp - Tứ giác có hai cạnh bên AB và CD giao M mà MA.MB = MC.MD thì tứ giác ABCD nội tiếp Các ví dụ : Bài : Cho tam giác ABC có góc nhọn với các đường cao BD , CE a) Chứng minh BEDC là tứ giác nội tiếp b) Chứng minh : AD.AC = AE.AB A c) Kẻ tiếp tuyến Ax đường tròn ngoại tiếp tam giác x ABC Chứng minh : Ax // ED D Hướng dẫn chứng minh : E a) D, E cùng nhìn BC góc 900 nên tứ giác BEDC nội C B tiếp b) Hai tam giác vuông ABD và ACE đồng dạng Suy AD.AC = AE.AB c) xÂB = AĈB vì cùng chắn cung AB AÊD = AĈB vì cùng phụ với góc BED - Nên xÂB = AÊD Suy Ax // ED Nhận xét : Với giả thiết bài toán trên chúng ta có thể khai thác bài toán theo nhiều hướng và nhiều câu hỏi : Kéo dài các đường cao BD , CE , AF cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC D’ , E’ , F’ Chứng minh : H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác D’E’F’ H đối xứng với D’,E’,F’ qua AC , AB , BC Lop8.net (9) Bồi dưỡng HSG Toán – Nông Văn Thiệp - Trường THCS Cốc Mỳ ED // E’D’ OA E’D’ Các đường tròn tam giác : HAB , HBC, HCA có bán kính SABC = - abc 4R Vẽ hình bình hành BHCK , I là trung điểm BC Chứng minh : Tứ giác ABKC nội tiếp với K nằm trên đường tròn (O) BÂH = OÂC H , I , K thẳng hàng AH // OI ; AH = 2.OI Nếu B , C cố định A di động thì bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE không đổi Đường thẳng qua K song song với BC cắt AH M thì A,B,C,K,M cùng nằm trên đường tròn Bài : Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) ; E là điểm chính cung AB , hai dây EC , ED cắt AB P và Q Các dây AD và EC kéo dài cắt I , các dây BC và ED kéo dài cắt K Chứng minh : a) Tứ giác CDIK nội tiếp b) Tứ giác CDQP nột tiếp c) IK // AB d) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AQD tiếp xúc D với EA A Hướng dẫn : I Q a) D và C cùng nhìn IK hai góc ( góc E nội tiếp chắn hai cung ) Suy tứ giác DIKC P K nội tiếp b) sđ (QDC + QPC) = ½sđ (BE + CB) + ½ sđ (ADC + B BE) C = ½ sđ( BE + CB + ADC + BE ) = 1800 Nên tứ giác CDQP nội tiếp c) sđ API = ½ sđ( CB + AE ) = ½ sđ ( CB + BE ) = sđ CDK = sđ CIK = ½ sđ CK Từ đó suy IK // AB d) EAQ = ADQ ( góc nội tiếp chắn cung ) Suy AE là tiếp tuyến Bài : Cho tứ giác nội tiếp đường tròn (O) Chứng minh tích hai đường chéo A tổng tích các cặp cạnh đối diện B Hướng dẫn : Giả sử ACD > ACB Lấy E trên BD cho ACB = DCE E Hai tam giác ABC và DEC đồng dạng : AB.DC = AC.DE D Lop8.net C (10) Hai tam giác ADC và BEC đồng dạng : AD.BC = AC.BE Cộng vế hai đẳng thức trên suy điều chứng minh II Bài tập tổng hợp : Trong phần I , chúng ta đã làm quen dần với các dạng toán tương ứng với kiến thức đường tròn Trong phần II này , chúng ta nâng cao kĩ giả toán trên bài tập tổng hợp dạng toán trên 1) Các câu hỏi thường gặp các bài toán hình : Chứng minh : Nhiều điểm cùng nằm trên đường tròn (đặc biệt là điểm cùng nằm trên đường tròn hay chứng minh tứ giác nội tiếp ) Chứng minh hai đường thẳng song song , vuông góc với Chứng minh đẳng thức hình học Nhận biết hình là hình gì ? ( có thể là tam giác cân , hình bình hành , hình thoi , hình chữ nhật , hình thang cân …) Lưu ý : Khi chứng minh tứ giác là hình thang cân không chứng minh là hình thang có hai cạnh bên Chứng minh đường thẳng đồng quy ; hay nhiều điểm thẳng hàng Chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến đường tròn , tiếp tuyến chung hai đường tròn Xác định vị trí đặc biệt để có hình đặc biệt Toán cực trị hình học Toán các đại lượng hình học : Đoạn thẳng , cung ,góc , chu vi , diện tích … Trong các câu hỏi trên tùy theo bài mà các câu hỏi cho có logic các câu thứ , thứ hai và các câu sau Thông thường kết các câu trên là giả thiết để chứng minh câu dưới, đôi cần vẽ thêm hình thì bài toán trở lên đơn giản 2) Bài tập vận dụng Bài : Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB Từ A và B kẻ tiếp tuyến Ax và By Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ cắt các tiếp tuyến Ax và By E và F Chứng minh AEMO là tứ giác nội tiếp AM cắt OE P , BM cắt OF Q Tứ giác MPOQ là hình gì ? Tại ? E A Kẻ MH AB ( H AB) Gọi K là giao MH và EB So sánh MK và KH F Hướng dẫn : 1) EAO = EMO = 900 Nên AEMO là tứ giác nội tiếp M 2) Dựa vào tính chất hai tiếp tuyến cắt có Q K MPO = MQO = 900 và PMQ = 900 nên PMQO là P hình chữ nhật H O B 3) EMK EFB (g.g) 10 Lop8.net EM EF = mà MF = FB MK FB (11) Bồi dưỡng HSG Toán – Nông Văn Thiệp - Trường THCS Cốc Mỳ EAB EM EF = MK MF KHB (g.g) EK AB EF AB EM EA mà ( Ta let) = = = KH HB MK KH MF HB Vì EM = EA MK = KH Bài : Cho (O) cắt (O’) A và B Kẻ cát tuyến chung CBD AB ( C trên (O) và D trên (O’).) B D C Chứng minh A , O , C và A ,O’, D O’ O thẳng hàng Kéo dài CA và DA cắt (O’) và (O) theo thứ tự I và K Chứng minh tứ giác A CKID nội tiếp I K Chứng minh BA , CK và DI đồng quy G Hướng dẫn : CBA = DBA = 900 nên AC và DA là đường kính hay A,O, C thẳng hàng D ,O’,A thẳng hàng Từ câu 1) và dựa vào góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ta thây K , I cùng nhìn CD góc vuông nên tứ giác CDIK nội tiếp A là trực tâm tam giác ADG có AB là đường cao hay BA qua G Bài : Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt hai điểm A,B Các đường AO và AO’cắt đường tròn (O) C và D , cắt đường tròn (O’) E , F a) Chứng minh B , F , C thẳng hàng D b) Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp E A c) Chứng minh A là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BDE d) Tìm điều kiện để DE là tiếp tuyến chung O’ O (O) và (O’) C F B Hướng dẫn : a) CBA + FBA = 1800 nên A , B , F thẳng hàng b) D, E cùng nhìn CF góc vuông nên CDEF nội tiếp c) Tứ giác CDEF nội tiếp nên EDF = ECF ; ACB = ADB từ đó suy EDF = ADB Hay DE là phân giác góc D BDE Tương tự EC là phân giác góc E BDE Hai phân giác cắt A nên A là tâm đường tròn nội tiếp BDE d) Giả sử DE là tiếp tuyến chung hai đường tròn ta có OO’ // CE cùng vuông góc với AB : AOO’ = ACB mà ACB = FDE ( DCFE nội tiếp ) suy : AOO’ = ODE hay tứ giác ODEO’ nội tiếp (1) DE là tiếp tuyến thì DE vuông góc với OD và O’E (2) Vậy ODEO’ là hình chữ nhật : Hay OD = O’E ( Hai đường tròn có bán kính ) 11 Lop8.net (12) d Bài : Cho (O,R) đường kính AB , đường kính CD di động Q Gọi đường thẳng d là tiếp tuyến đường tròn B D A Đường thẳng d cắt các đường thẳng AC , AD theo thứ tự P và Q 1) Chứng minh tứ giác CPQD nội tiếp đường tròn B 2) Chứng minh AD AQ = AC.AP 3) Tứ giác ADBC là hình gì ? Tại ? 4) Xác định vị trí CD để SCPQD = 3.SACD Hướng dẫn : CPB = CDA ( cùng CBA) nên CPB + CDQ = 1800 O C ADC APQ (g.g) suy AD.AQ = AC.AP Tứ giác ADBC là hình chữ nhật vì có góc vuông Để SCPQD = 3.SACD SADC = ¼ SAPQ tức là tỉ số đồng dạng hai tam giác này là ½ Suy AD = ½ AP hay BC = ½ AP mà tam giác ABC vuông B nên C là trung điểm CP P CB = CA hay ACB cân CD AB Bài : Từ điểm S nằm ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến SA , SB và cát tuyến SCD đường tròn đó 1) Gọi E là trung điểm dây CD Chứng minh điểm S ,A , E , O , B cùng nằm trên đường tròn A 2) Nếu SA = OA thì SAOB là hình gì ? Tại ? D K C 3) Chứng minh AC BD = BC.DA = ½ E AB.CD S O Hướng dẫn chứng minh 1) Sử dụng tính chất tiếp tuyến , ta có A , B cùng nhìn SO góc vuông , nên tứ giác SADO B nội tiếp đường tròn đường kính SO Dựa vào tính chất đường kính vuông góc với dây cung , ta có SEO = 900 Nên E thuộc đường tròn đường kính SO 2) Nếu SA = OA thì SA = AB = OA = OB và góc A vuông nên tứ giác SAOB là hình vuông 3) Ta thấy SAC SDA AC SC = DA SA SCB SBD BC SC = BD SB Mà SA = SB AC BC = AC.BD = AD.BC (1) AD BD Trên SD lấy K cho CAK = BAD lúc đó CAK BAD (g.g) AC.DB = AB.CK BAC DAK (g.g) BC.AD = DK.AB 12 Lop8.net (13) Bồi dưỡng HSG Toán – Nông Văn Thiệp - Trường THCS Cốc Mỳ Cộng vế ta AC.BD + BC.AD = AB( CK+DK )= AB.CD (2) Từ (1) và (2) suy : AC.BD + AC.BD = AB.CD hay AC.BD = ½ AB.CD Vậy AC.BD = AD.BC = ½ AB.CD Bài : Cho tam giác ABC vuông A Đường tròn đường kính AB cắt BC D Trên cung AD lấy điểm E Nối BE và kéo dài cắt AC F 1) Chứng minh CDEF nội tiếp 2) Kéo dài DE cắt AC K Tia phân giác góc CKD cắt EF và CD M và N Tia phân giác góc CBF cắt DE và CF P và Q Tứ giác MNPQ là hình gì ? Tại ? 3) Gọi r1 , r2 , r3 theo thứ tự là đường tròn nội tiếp các tam giác ABC , ADB , ADC Chứng minh : r = r12 + r22 Hướng dẫn : A K 1) Dựa vào số đo cung ta thấy F E C = DEB C + DEF = 1800 Nên tứ giác CDEF nội tiếp Q M P B C N D 2) BED BCQ ( g.g) BPE = BQC KPQ = KQP hay KPQ cân CNK MK EMK = CNK BMN = BNM hay BMN cân MN PQ và MN cắt PQ là trung điểm đường Nên MNPQ là hình thoi 3) ABC DAB DAC r1 r2 r r r2 r = = = = BC AB AC BC AB AC r12 + r2 r12 + r2 r2 = = BC AB2 + AC BC r2 = r12 + r22 Bài : Cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp (O;R) Hạ các đường cao AD , BE tam giác Các tia AD , BE cắt (O) các điểm thứ hai M , N Chứng minh : A a) Bốn điểm A , E , D , B nằm trên đường tròn TÌm tâm I đường tròn đó b) MN // DE N c) Cho (O) và dây AB cố định , điểm C di chuyển trên cung lớn AB Chứng minh I O E độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác CED không đổi H Hướng dẫn giải : K a) E,D cùng nhìn AB góc vuông nên tứ giác AEDB B C D nội tiếp đường tròn đường kính AB có I ( trung điểm AB ) là tâm M b) Ta thấy : ABE = ADE ( chắn cung AE ) mà ABE = AMN ( chắn cung AN ) 13 Lop8.net (14) nên ADE = AMN hay DE // MN c) Kẻ thêm hình hình vẽ Dựa vào góc nội tiếp tứ giác AEBD suy CN = CM nên OC MM OC DE Tứ giác HDCE nội tiếp đường tròn tâm K ( trung điểm HC) đây là đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE KD = KE và ID = IE nên IK DE hay IK // OC và OI // CK nên OIKC là hình bình hành KC = OI không đổi Bài : Cho tam giác nội tiếp đường tròn (O,R) 1) Tính theo chiều R độ dài cạnh và chiều cao ABC 2) Gọi M là điểm di động trên cung nhỏ BC ( M B,C ) Trên tia đối MB lấy MD = MC Chứng tỏ MCD 3) CMR : M di động trên cung nhỏ BC thì D di chuyển trên đường tròn cố định , xác định tâm và các vị trí giới hạn 4) Xác định vị trí điểm M cho tổng S = MA + MB + MC là lớn Tính giá trị lớn S theo R Hướng dẫn : B E M O D A C AB và AB = AC = BC = R 2) Có MC = MD ( gt) sđ BMC = ½ sđ BAC = ½ ( 3600 : 3).2 = 1200 I H 1) AH = CMD = 600 Vậy CMD 3) IMC = IMD ( c.g.c) IC = ID Khi M di động trên cung nhỏ BC thì D chạy trên đường tròn ( I ; IC ) Khi M C D C ; M I D E 4) ACM = BCD ( g.c.g ) AM = BD S = MA + MB + MC = 2.AM 2.AI S 4R S Max= 4R AM là đường kính Bài : Cho ABC ngoại tiếp (O) Trên BC lấy M , trên BA lấy N , trên CA lấy P cho BM=BN và CM = CP Chứng minh : a) O là tâm đường tròn ngoại tiếp MNP b) Tứ giác ANOP nội tiếp đường tròn c) Tìm vị trí M , N , P cho độ dài NP nhỏ Hướng dẫn : A a) Từ tính chất tiếp tuyến cắt và giả thiết suy : DN = EM = FP ODA = OEM = OFP ( c.g.c ) P ON = OM = OP hay O là tâm đường tròn ngoại tiếp MNP b) Từ câu a) suy OND = OPF nên tứ giác ANOP nội tiếp D F N B O M E C c) Kẻ OH NP 14 Lop8.net (15) Bồi dưỡng HSG Toán – Nông Văn Thiệp - Trường THCS Cốc Mỳ Có NP = NH = NO cosHNO = 2.NO.Cos(A/2) = 2.OE Cos (A/2) Vậy NPMin = 2r.cos(A/2) Khi đó M , N , P trùng với các tiếp điểm Bài 10 : Cho hình vuông ABCD có cạnh 3a Lấy AE = a trên cạnh AD và DF = a trên cạnh DC Nối AF và BE cắt H Chứng minh : AF BE Tính cạnh tứ giác ABFE và đường chéo nó theo a Tính theo a đoạn HE , HB Chứng minh : EDFH nội tiếp đường tròn Đường tròn cắt BF K Tính theo a đoạn BK Nhận xét gì điểm E , K ,C F D C Hướng dẫn : a) b) c) d) a) ADF = BAE DAF = EBA BE AF b) Pitago : BE = AF = a 10 ; EF = a ; BF = a 13 K c) Dùng hệ thức lượng : EH = E A a 10 9a 10 ; HB = 10 10 d) Dựa vào tổng góc đối 1800 nên EDFH nội tiếp H B BEK BFH BK = BE.BH 9a 13 = BF 13 e) Dựa vào vuông góc : E , K , C thẳng hàng 15 Lop8.net (16)