Đang tải... (xem toàn văn)
Tính xác suất để xếp được một hàng ngang mà hai học sinh nữ Trang và Thủy luôn đứng cạnh nhau, đồng thời các học sinh nữ còn lại không đứng cạnh nhau và cũng không đứng cạnh Trang và T[r]
(1)SỞ GD&ĐT QUẢNG TRỊ KỲ THI CHỌN HSG VĂN HÓA LỚP 11 TRƯỜNG THPT THỊ XÃ QUẢNG TRỊ Khóa thi ngày 12 tháng năm 2020
Mơn thi: TỐN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
Câu I.(5,5 điểm) 1.Cho hàm số
3
1
0
2
x x
khi x
f x x
m khi x
Tìm m để hàm số f x liên tục
x
2 Một tổ gồm 10 học sinh gồm học sinh nam học sinh nữ có hai học sinh nữ tên Trang Thủy Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh thành hàng ngang Tính xác suất để xếp hàng ngang mà hai học sinh nữ Trang Thủy đứng cạnh nhau, đồng thời học sinh nữ cịn lại khơng đứng cạnh khơng đứng cạnh Trang Thủy
Câu II (7,0 điểm)
Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng A, 30
ABC BC2a Gọi Hlà hình chiếu vng góc A lên BC Biết hai mặt phẳng SHA SBC vng góc với mặt phẳng ABC, đồng thời SA tạo với mặt phẳng ABC góc
60 a) Tính góc tạo SA mặt phẳng SBC
b) Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng SAC theo a
Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC vuông A Gọi H hình chiếu vng góc A BC, điểm M N, trung điểm HB HC; điểm K trực tâm tam giác AMN
a) Gọi I trung điểm AH Chứng minh rằngK trung điểm IH b) Tìm tọa độ điểm A; biết M2; , 1;
2
K
điểmA nằm đường thẳng x2y 4 đồng
thời điểm A có tung độ âm
Câu III (4,0 điểm) Giải hệ phương trình sau tập số thực 3
2
4
3
x y x y xy x y
y x x y xy x
2 Tìm tất giá trị thực tham số mđể phương trình
sinx1 2sin x 2m3 sinx m 20 có nghiệm phân biệt thuộc đoạn ;3
Câu IV (3,5 điểm) Cho dãy số un xác định
2
1 2
4
3
,
1 . 1
n n
u
n u n n
u n
n n n
Xác định công
thức tổng quát un theo n tính
lim
4
n n n u
Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x2y2z2 2x a) Chứng minh
1
z x
y xy
b) Tìm giá trị lớn biểu thức
2
2 3
2 1
x y z z y x
P
x y y x y
-HẾT -
Thí sinh không sử dụng tài liệu MTCT (đối với mơn Tốn) Cán coi thi khơng giải thích thêm
Họ tên thí sinh:……….Số báo danh:……… ĐỀ THI CHÍNH THỨC
(2)HƯỚNG DẪN CHẤM HSG 11 NĂM HỌC 2019-2020
CÂU NỘI DUNG ĐIỂM
Câu I (5,5 điểm)
1 (2,5 điểm) TXĐ D 1; , x 0 D f 0 m
Ta có 3
0 0 0
1 1 1 1 1
lim lim lim lim lim
x x x x x
x x x x x x
f x
x x x x
0
1 1
lim lim
2 1
x x
x
x x
3
2
0 3 3
1 1
lim lim
3
1 1
x x
x
x x x
Suy
1
lim
2
x f x
Hàm số f x liên tục
5 17
0 lim
6
x
x f x f m m
2 (3,0 điểm) Không gian mẫu 10!
-Gọi A biến cố xếp theo yêu cầu toán
-Xếp học sinh nam có 6! cách xếp Mỗi cách xếp học sinh nam ta xem học sinh nam vách ngăn tạo vị trí trống bao gồm vị trí trống vị trí trống hai đầu hàng
-Số cách xếp hai bạn nữ Trang Thủy cạnh 2!
-Hai hs nữ Trang Thủy cạnh nên xem bạn bạn bạn nữ cịn lại ta có bạn nữ
-Số cách xếp cho hai bạn nữ cịn lại khơng cạnh không cạnh Trang Thủy
A
Khi đó, 6!.2!
A A
Vậy
3 6!.2!
10! 12
A
p A
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
1,0
Câu II (7,0 điểm)
1 (5,0 điểm)
a) (2,5 điểm) (Ta có
SHA SBC SH
SHA ABC SH ABC
SBC ABC
AH ABC nên SH AH 1
Mặt khác AHBC (2)
(3)Từ (1) (2) suy AH SBC, suy hình chiếu vng góc SA lên mặt phẳng SBC SH Do đó, SA SBC, SA SH, ASH (vì tam giác SHA vng tạiH)
Theo gt 0
, , 60 30
SA ABC SA AH SAH ASH Vậy
, 30
SA SBC
b) (2,5 điểm).Ta có 0 3
.cos 30 sin 30 tan 60
2
a a
ABBC a AH AB SH AH
và ACa
Gọi I hình chiếu vng góc Hlên AC, suy ACSHI SAC SHI SHI SACSI
Trong tam giác SHI kẻ HK SIHK SAC hay d H SAC ; HK Mặt khác
2
2
2
;
4 ; ;
;
d B SAC BC BC BC a
d B SAC d H SAC HK
HC HC BC AC a
d H SAC
Ta có
4
AB a
HI Trong tam giác vng SHI ta có 2
2
2
2 2
9
4 16
13
3
2
a a
SH HI a
HK
SH HI a a
Vậy ; 4
2 13 13
a a
d B SAC HK
2 (2,0 điểm)
a)(1,0 điểm) I trung điểm AH, ta có MI/ /ABMIACI trực tâm tam giác AMCCIAM
Mặt khác NK AMNK/ /CIK trung điểm HI. b) (1,0 điểm).Giả sử A2a4;a, từ 2 2;
3
a a
AK KHH
Lại từ
2
1
10 13 23 23 2;
lo¹i 10
a
AK MH a a A
a
0,5 0,5 1,0
0,5
0,5
0,5
1,0
0,5 0,5 0,5
0,5
1.(2,5 điểm)
3
2
4 (1)
3 (2)
x y x y xy x y
y x x y xy x
(4)Câu III (4,0 điểm)
1) Điều kiện x y
3 3
2 2
(1) 2
2 2
x y x y y y
x y y x y y x y y x y
Thay x yvào phương trình 2 ta được:
3
3
5
3 (*)
3 3
x x x x x
x x x x
x x x x x
Với 2 x 3, ta có
5
3
3
2
3 x x
x x
2
2
1 2
(*) 2
5
9 3 2
3
x x x x
x x x
x x
x x
2
2
1
2
5
3
3
2
1
9 0, 2;3
5
3
3
x x x
x x
x x
x x
x vn VT x
x x
x x
2 1
2
2
x y
x x
x y
Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm x y ; 1; 1 2;
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
2) (1,5 điểm)
sin 1
sin 2sin sin sin
2
sin
x
x x m x m x
x m
+) pt sinx1 có nghiệm ;3
2
x
+) pt sin
x có nghiệm ;3
;
6
x x
Ycbt 1
2
m m
0,5
0,5
(5)Câu IV (3,5 điểm)
1) (1,5 điểm) Ta có:
2
1 2 2 2
3 6 3
1
1 . 1 . 1 1
n
n n n n n
n u n n n n
u n u n u n u n u
n n n n n n n
1 2
1
1 ,
1
n n
n u n u n
n n
Đặt vn n u n 12 , n n
Khi ta có dãy vn xác định 1
3
3 ,
n n
v
v v n
Suy dãy vn cấp số nhân công bội q3, suy
1
1
1
n 3n 3n
n n
v v q n u
n
3
3
,
n n
u n
n n
lim lim
4 4
n n
n n
n u
n
0,5
0,5
0,5
2) (2,0 điểm).
a) (0,5 điểm) Ta có x2 y2z2 2x2x2xyxy2z22xy z (1)
1
1
z x
x y x y z
y x y
b)(1,5 điểm).Ta có
2
2
2 3
2 1 1
x y z z y x x z z x
P
x y y x y x y y x y
Theo a)
1
x y z
z x
y
y x y x
Khi x 2y x y y 1 x y x y z x 2y x yx z
x x
Ta
2 2
2
x z x z x x
x y x y x z x y
Do
2
2
2 3
2 1
x z z x x x x
P
x y y x y x y x y x y
2
3
3 3
4
x x x
P
x y x y x y
(2)
Vậy
4
max
P (1) (2) đồng thời xảy
2 2 2
1
1
2
2
2
3
x y z
x y z x y
x
z x
x y
z
x y z x
x y z x
0,25
0,25
0,5
0,5