Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 11 năm học 2019 – 2020 THPT thị xã Quảng Trị | Toán học, Lớp 11 - Ôn Luyện

Tính xác suất để xếp được một hàng ngang mà hai học sinh nữ Trang và Thủy luôn đứng cạnh nhau, đồng thời các học sinh nữ còn lại không đứng cạnh nhau và cũng không đứng cạnh Trang và T[r]

SỞ GD&ĐT QUẢNG TRỊ KỲ THI CHỌN HSG VĂN HÓA LỚP 11 TRƯỜNG THPT THỊ XÃ QUẢNG TRỊ Khóa thi ngày 12 tháng năm 2020

Mơn thi: TỐN

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề

Câu I.(5,5 điểm) 1.Cho hàm số  

3

1

0

2

x x

khi x

f x x

m khi x

   

 

 

  



Tìm m để hàm số f x  liên tục

x

2 Một tổ gồm 10 học sinh gồm học sinh nam học sinh nữ có hai học sinh nữ tên Trang Thủy Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh thành hàng ngang Tính xác suất để xếp hàng ngang mà hai học sinh nữ Trang Thủy đứng cạnh nhau, đồng thời học sinh nữ cịn lại khơng đứng cạnh khơng đứng cạnh Trang Thủy

Câu II (7,0 điểm)

Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng A, 30

ABC BC2a Gọi Hlà hình chiếu vng góc A lên BC Biết hai mặt phẳng SHA SBC vng góc với mặt phẳng ABC, đồng thời SA tạo với mặt phẳng ABC góc

60 a) Tính góc tạo SA mặt phẳng SBC

b) Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng SAC theo a

Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC vuông A Gọi H hình chiếu vng góc A BC, điểm M N, trung điểm HB HC; điểm K trực tâm tam giác AMN

a) Gọi I trung điểm AH Chứng minh rằngK trung điểm IH b) Tìm tọa độ điểm A; biết M2; ,  1;

2

K 

  điểmA nằm đường thẳng x2y 4 đồng

thời điểm A có tung độ âm

Câu III (4,0 điểm) Giải hệ phương trình sau tập số thực   3

2

4

3

x y x y xy x y

y x x y xy x

     

 

      



2 Tìm tất giá trị thực tham số mđể phương trình

   

sinx1 2sin x 2m3 sinx m 20 có nghiệm phân biệt thuộc đoạn ;3

 

 

 

 

Câu IV (3,5 điểm) Cho dãy số  un xác định

 

2

1 2

4

3

,

1 . 1

n n

u

n u n n

u n

n n n



 

  

    

  



Xác định công

thức tổng quát un theo n tính

lim

4

n n n u

 

 

 

Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x2y2z2 2x a) Chứng minh

1

z x

y  xy

b) Tìm giá trị lớn biểu thức    

    

2

2 3

2 1

x y z z y x

P

x y y x y

   

 

   

-HẾT -

Thí sinh không sử dụng tài liệu MTCT (đối với mơn Tốn) Cán coi thi khơng giải thích thêm

Họ tên thí sinh:……….Số báo danh:……… ĐỀ THI CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN CHẤM HSG 11 NĂM HỌC 2019-2020

CÂU NỘI DUNG ĐIỂM

Câu I (5,5 điểm)

1 (2,5 điểm) TXĐ D    1; , x 0 D f  0  m

Ta có   3

0 0 0

1 1 1 1 1

lim lim lim lim lim

x x x x x

x x x x x x

f x

x x x x

    

           

   

0

1 1

lim lim

2 1

x x

x

x x

 

 

 

   

3

2

0 3 3

1 1

lim lim

3

1 1

x x

x

x x x

 

 

 

   

Suy  

1

lim

2

x f x   

Hàm số f x  liên tục    

5 17

0 lim

6

x

x f x f m m



       

2 (3,0 điểm) Không gian mẫu  10!

-Gọi A biến cố xếp theo yêu cầu toán

-Xếp học sinh nam có 6! cách xếp Mỗi cách xếp học sinh nam ta xem học sinh nam vách ngăn tạo vị trí trống bao gồm vị trí trống vị trí trống hai đầu hàng

-Số cách xếp hai bạn nữ Trang Thủy cạnh 2!

-Hai hs nữ Trang Thủy cạnh nên xem bạn bạn bạn nữ cịn lại ta có bạn nữ

-Số cách xếp cho hai bạn nữ cịn lại khơng cạnh không cạnh Trang Thủy

A

Khi đó, 6!.2!

A A

  Vậy  

3 6!.2!

10! 12

A

p A  

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

1,0

Câu II (7,0 điểm)

1 (5,0 điểm)

a) (2,5 điểm) (Ta có

   

   

   

 

SHA SBC SH

SHA ABC SH ABC

SBC ABC

  



  



 

AH ABC nên SH  AH  1

Mặt khác AHBC (2)

Từ (1) (2) suy AH SBC, suy hình chiếu vng góc SA lên mặt phẳng SBC SH Do đó, SA SBC, SA SH,  ASH (vì tam giác SHA vng tạiH)

Theo gt      0

, , 60 30

SA ABC  SA AH SAH  ASH  Vậy   

, 30

SA SBC 

b) (2,5 điểm).Ta có 0 3

.cos 30 sin 30 tan 60

2

a a

ABBC a AH AB  SH  AH 

và ACa

Gọi I hình chiếu vng góc Hlên AC, suy ACSHI  SAC  SHI SHI  SACSI

Trong tam giác SHI kẻ HK SIHK SAC hay d H SAC ; HK Mặt khác

 

 

 

       

2

2

2

;

4 ; ;

;

d B SAC BC BC BC a

d B SAC d H SAC HK

HC HC BC AC a

d H SAC

 

        

 

Ta có

4

AB a

HI   Trong tam giác vng SHI ta có 2

2

2

2 2

9

4 16

13

3

2

a a

SH HI a

HK

SH HI a a

  

   

    

   

Vậy  ;  4

2 13 13

a a

d B SAC  HK  

2 (2,0 điểm)

a)(1,0 điểm) I trung điểm AH, ta có MI/ /ABMIACI trực tâm tam giác AMCCIAM

Mặt khác NK AMNK/ /CIK trung điểm HI. b) (1,0 điểm).Giả sử A2a4;a, từ 2 2;

3

a a

AK  KHH   

 

Lại từ

   

2

1

10 13 23 23 2;

lo¹i 10

a

AK MH a a A

a

  



        

  

0,5 0,5 1,0

0,5

0,5

0,5

1,0

0,5 0,5 0,5

0,5

1.(2,5 điểm)  

3

2

4 (1)

3 (2)

x y x y xy x y

y x x y xy x

     

 

      

Câu III (4,0 điểm)

1) Điều kiện x y

    



   

      

3 3

2 2

(1) 2

2 2

x y x y y y

x y y x y y x y y x y

     

         

Thay x yvào phương trình  2 ta được:

3

3

5

3 (*)

3 3

x x x x x

x x x x

x x x x x

      

     

   

            

   

Với 2  x 3, ta có

5

3

3

2

3 x x

x x

 

   



 

   



  

2

2

1 2

(*) 2

5

9 3 2

3

x x x x

x x x

x x

x x

 

       

        

  

     

 

   

   

2

2

1

2

5

3

3

2

1

9 0, 2;3

5

3

3

x x x

x x

x x

x x

x vn VT x

x x

x x

 

 

           

     

 

    



        

  

    



2 1

2

2

x y

x x

x y

     

          

Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm  x y ;  1; 1  2;

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

2) (1,5 điểm)

   

sin 1

sin 2sin sin sin

2

sin

x

x x m x m x

x m

   

 

        



  



+) pt sinx1 có nghiệm ;3

2

x    

 

+) pt sin

x có nghiệm ;3

 

 

   ;

6

x x 

Ycbt 1

2

m m

       

0,5

0,5

Câu IV (3,5 điểm)

1) (1,5 điểm) Ta có:

         

2

1 2 2 2

3 6 3

1

1 . 1 . 1 1

n

n n n n n

n u n n n n

u n u n u n u n u

n n n n n n n

  

 

   

           

 

     

 

 

1 2

1

1 ,

1

n n

n u n u n

n n

  

        

 



Đặt vn n u n 12 , n n

    Khi ta có dãy  vn xác định 1

3

3 ,

n n

v

v v n

 

   



Suy dãy  vn cấp số nhân công bội q3, suy

1

1

1

n 3n 3n

n n

v v q n u

n



    

3

3

,

n n

u n

n n

    

lim lim

4 4

n n

n n

n u

n

 

     

  

   

   

0,5

0,5

0,5

2) (2,0 điểm).

a) (0,5 điểm) Ta có x2 y2z2 2x2x2xyxy2z22xy z (1)

 1  

1

z x

x y x y z

y x y

     

 

b)(1,5 điểm).Ta có    

        

2

2

2 3

2 1 1

x y z z y x x z z x

P

x y y x y x y y x y

    

    

       

Theo a)  

1

x y z

z x

y

y x y x



   

 

Khi x 2y x y y 1 x y x y z x 2y x yx z

x x

  

            

Ta    

  

2 2

2

x z x z x x

x y x y x z x y

 

 

    

Do  

   

2

2

2 3

2 1

x z z x x x x

P

x y y x y x y x y x y



     

      

2

3

3 3

4

x x x

P

x y x y x y

   

          

       (2)

Vậy

4

max

P  (1) (2) đồng thời xảy

2 2 2

1

1

2

2

2

3

x y z

x y z x y

x

z x

x y

z

x y z x

x y z x

      

   

  

    



      

 

    



0,25

0,25

0,5

0,5