Phán đoán sự “hạ bậc cho kết quả cùng bậc với bậc ở vế phải” cần thêm các đại lượng tương ứng vào vế trái.. Suy ra kết quả cần CM.[r]
(1)DẠO CHƠI BẤT ĐẲNG THỨC * Cho x,y là số dương thỏa x+y =1 Tìm GTNN A=x2+y2 HD: x2+m2≥2mx và y2+m2≥2ym (m>0) Suy x2+y2+2m2≥2m(x+y)=2m Suy A=x2+y2≥2m2m2 Dấu “=” xảy x=y=m tức là x=y=m=1/2 Vậy GTNN củaA là ½ x=y=1/2 Cho x,y,z là số dương thỏa x+y+z =1 Tìm GTNN A=x2+y2+z2 HD: x2+m2≥2mx , y2+m2≥2ym , z2+m2≥2mz (m>0) Suy x2+y2+z2+3m2≥2m(x+y+z)=2m Suy A=x2+y2+z2≥2m3m2 Dấu “=” xảy x=y=m tức là x=y=z=m=1/3 Vậy GTNN củaA là 1/3 x=y=1/3 Cho x,y là số dương thỏa x+y =1 Tìm GTNN A=4x2+y2 HD: 4x2+m2≥4mx và y2+n2≥2yn (m>0,n>0) Suy 4x2+y2+m2+n2 ≥4mx+2ny Ta chọn m,n cho 4m=2n (n=2m) Suy A=4x2+y2≥4m(x+y)m2n2=4m5m2 Dấu “=” xảy 2x=m và y=n=2m tức là m 5m x y 2m m ,n 2 5 Vậy GTNN A là : 4 4m 5m 25 x , y 5 Cho x,y,z là số dương thỏa x+y+z =1 Tìm GTNN A=4x2+y2+z2 HD: 4x2+m2≥4mx, y2+n2≥2yn, z2+p2≥2pz (m>0,n>0,p>0) Suy 4x2+y2+z2+m2+n2+p2 ≥4mx+2ny+2pz Ta chọn m,n,p cho 4m=2n=2p (n=p=2m) Suy A=4x2+y2+z2≥4m(x+y+z)m2n2p2 =4m9m2 Dấu “=” xảy 2x=m và y=z=2m tức là m 9m x y z 4m m ,n p 2 9 Vậy GTNN A là : 4m 9m 4 81 x , y z 9 Cho x,y,z là số dương thỏa x+y+z =1 Cho số dương a,b,c Tìm GTNN A=a2x2+b2y2+c2z2 HD: a x m 2amx , b y n 2bny , c z p 2cpz m 0, n 0, p Suy a x b2 y2 c2 z m2 n p2 2amx 2bny 2cpz Ta chọn m,n,p cho am bn cp Suy A a x b2 y2 c2 z 2am x y z m n p 1 1 2am a m a b c 1 Đặt M A 2am Ma m a b c Dấu “=” xảy m n p x ,y ,z a b c m n p 1 x y z a b c m am am amM a b c Vậy : 1 m , x aM a M 1 n , y bM bM 1 p , z cM c M Vậy GTNN A là : 1 A M M M M Cho x,y,z là số dương thỏa x+y+z =1 Tìm GTNN A=x3+y3+z3 HD: m>0 Lop10.com (2) x m3 m3 3 m3 m3 x 3m x y m3 m3 3 m3 m3 y 3m y z m3 m3 3 m3 m3 z 3m z Suy x y3 z 6m3 3m (x y z ) 3m Suy A 3m 6m3 Dấu “=” xảy x yzm Vậy GTNN A là : 1 A 3 3 Cho x,y,z là số dương thỏa x+y+z =1 Cho số dương a,b,c Tìm GTNN A=a3x3+b3y3+c3z3 HD: m>0, n>0, p>0 a x m3 m3 3 m3 m3 a x 3m ax b3 y n3 n3 3 n3 n3b3 y 3n 2by c z p p 3 p p 3c z p cz Suy a x b3 y3 c z 2m3 2n3 p 3m ax 3n 2by p cz Chọn m,n,p cho m2a=n2b=p2c Suy A 3m a ( x y z ) 2(m3 n3 p ) A 3m a 2(m3 n3 p ) Dấu “=” xảy m n p x ,y ,z a b c m n p 1 x y z a b c m m a m a 1 a b b c c 1 1 m a a a b b c c 1 Đặt M ta được: a a b b c c 1 ,x m aM m M a Ma a M b Mb b 1 p ,z M c Mc c Vậy GTNN A là : 1 A M a a M b b M c c 1 A M a a b b c c M n ,y Cho tam giác ABC có độ dài cạnh là BC=a, CA=b, AB=c Điểm M miền trên cạnh tam giác ABC Gọi x=d(M,BC), y=d(M,CA), z=d(M,AB) Chứng minh ax+by+cz không thay đổi Tìm GTNN, GTLN f=x+y+z HD: Diện tích ABC tổng diện tích các tam giác MBC, MCA, MAB suy ax by cz S p ( p a )( p b)( p c) 1 1 1 1 Đặt t , , , T max , , a b c a b c Ta có : 1 f x y z ax by cz a b c f tax tby tcz t (ax by cz ) St Xét dấu “=” xảy : Nếu t=1/a thì chọn y=z=0 và x=2S/a (M trùng với điểm A) Nếu t=1/b thì chọn x=z=0 và y=2S/b (M trùng với điểm B) Nếu t=1/c thì chọn x=y=0 và z=2S/c (M trùng với điểm C) Giá trị nhỏ f là 2St Tương tự, giá trị lớn f là 2ST Cho x≥0,y≥0,z≥0 và x+y+z=1 Tìm GTLN A=xn+yn+zn (n>1) HD: Do 0≤x≤1 và n>1 nên xn≤x Tương tự với x,y,z A≤x+y+z=1 Dấu “=” xảy x=1 y=1 z=1 A lớn là Lop10.com (3) 10 Cho x≥0,y≥0,z≥0 và x+y+z=1 Cho a>0, b>0, c>0 Tìm GTLN A=axn+byn+czn (n>1) HD: Gọi T là max(a,b,c) Do 0≤x≤1 và n>1 nên axn≤ax≤Tx Tương tự với x,y,z A≤T(x+y+z)=T Dấu “=” xảy (T=a,x=1,y=z=0), (T=b,y=1,x=z=0), (T=c,z=1,x=y=0) a Xét GTNN và GTLN của: f ax q byq cz q (q nguyên dương và n>1) đó x,y,z là các số dương thay đổi thỏa x y z a,b,c là các số dương Với GTNN ta chặn f≥g(a,b,c) cách xét phần và áp dụng BĐT Côsi: q x q byq (q 1)n q q by q n q1 qy bn q1 q 1 cz (q 1)p q cz p qz cp Ta chọn m,n,p dương cho: am q1 bn q1 cp n1 t Suy các giá trị m,n,p là q q q q 1 q q 1 t t t m ,n , p a b c Cộng vế các BĐT trên để có: f qt (q 1)(m n p ) Dấu đẳng thức xảy khi: t t q1 ax q m x a t by q n b t cz q p c 1 x y z t q 1 y t a q ( q 1) z t q 1 q ( q 1) q 1 q ( q 1) c q1 1 q11 q 1 q 1 b c a b q 1 c q 1 t M 1 ,y ,z 1 q 1 q 1 Ma Mb Mc 1 f q q1 M M q1 b q1 c q1 a Trường hợp riêng n 1, f ax by cz thì f Max(a, b, c) và f Min(a, b, c) Với GTLN ta có: f ax by cz Max(a, b, c) Bây chúng ta mở rộng bước 0<q<1 11 Cho x≥0,y≥0,z≥0 và x+y+z=1 Cho a>0, b>0, c>0 Tìm GTNN, GTLN f a x b y c z HD: q 1 q ( q 1) b q 1 q 1 q 1 q ax q (q 1)m q ax q m q1 qx am q1 q 1 q ( q 1) Tóm tắt kết 10 bài BĐT 1-10 M f a x b y c z ax by cz Min(a, b, c) Suy GTNN f là Min(a,b,c) (xem lại các bài trước) Dùng BĐT Bunhiacopski: f a b2 c2 x y z a b2 c2 Dấu đẳng thức xảy GTLN f là y x z a b c a b2 c2 Nếu không dùng BĐT Bunhiacopski thì giải nào? 12 Cho x≥0,y≥0,z≥0 và x+y+z=1 Cho a>0, b>0, c>0 Tìm GTNN, GTLN f a x b y c z (chúng ta thử giải phương pháp chọn tham số) HD: f a x b y c z ax by cz Min(a, b, c) Suy GTNN f là Min(a,b,c) (xem lại các bài trước) Lop10.com (4) a a xm x m m m b b b y yn y n n n c c c z zp z p p p a x a12 a2 an b12 b2 bn HD: Chứng minh cho n=3, mở rộng cho n≥2 Đặt a (a1; a2 ; a3 ), a (b1; b2 ; b3 ) a.b a b cos a, b a b a b2 c2 4t m n p Khi đó : a1b1 a2b2 a3b3 a m b n c p f t Dấu đẳng thức xảy x m, y n, z p m n p Mà a b2 c2 a b2 c2 4t a b2 c2 m n p mn p a12 a2 a32 b12 b2 b32 Dấu đẳng thức xảy cos a, b 1 tức là a1 : a2 : a3 b1 : b2 : b3 15 Cho x≥0,y≥0,z≥0 và x+y+z=1 Cho a>0, b>0, c>0 Tìm GTNN, GTLN f a x2 b y c z 2t a b c Tính m,n,p: a2 a2 xm 2 4t a b c b b2 yn 2 4t a b c c c2 z p 2 4t a b c GTLN f là: (a a b b c c )2 14 Cho dãy số (an) và (bn) Chứng minh a1b1 a2b2 anbn Ở bài 11 chúng ta có nói đến BĐT Bunhiacopski, nhân đây, sử dụng kiến thức THPT ta nêu cách chứng minh “ngắn gọn” nó: ax by cz a m b n c p f 2 2 m n p Ta chọn: a b c a b c t 2t m n p m n p Kết : GTLN f là HD: a a (2 x m) xm m 33 m b b(2 y n) b y 3 y 2n n 33 n c c(2 z p ) z p c z2 p 33 p Suy : a (2 x m) b(2 y n) c(2 z p ) f 33 m 33 n 33 p Ta chọn: 2a 2b 2c t m n 33 p 3t a b c m n p f a x b y c z a b2 c2 13 Cho x≥0,y≥0,z≥0 và x+y+z=1 Cho a>0, b>0, c>0 Tìm GTNN, GTLN 3 f a x b y c z HD: GTNN f là Min(a,b,c) Với GTLN, chúng ta giải bài trước với chú ý ban đầu là: a a ( x 2m) a3 x x.m.m m 3 m2 a x2 27t a b3 c a b3 c m n p mn p Khi đó: am bn cp f t ( x y z) m n 33 p Lop10.com (5) 17 (A-2007) Cho x,y,z là các số thực dương thay đổi và thoả mãn điều kiện xyz = 1.Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x2 ( y z) y ( z x) z ( x y) P y y 2z z z z 2x x x x y y a m2 b n2 c p f t Dấu đẳng thức xảy khi: x m, y n, z p m n p 27t a b3 c a b3 c mn p 3t a b3 c Suy ra: HD: a 2a xm 3 3t a b c b3 yn 3 a b c c3 z p 3 a b c Chúng ta thử nhìn lại số BĐT đã thi TSĐH 16 (B-2009) Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x + y = Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ biểu thức S 4x 3y 4y 3x 25xy x x xyz y y xyz z z xyz y y 2z z z z 2x x x x y y P 2y y 2x x 2z z y y 2z z z z 2x x x x y y Đặt: f a b3 c P HD: Nhận xét: vai trò giống (đối xứng) x và y S có dạng f(xy) S 12( x y ) 16 x y 34 xy S 12( x y )( x y xy ) 16 x y 34 xy S 12( x y )(( x y ) xy ) 16 x y 34 xy x x (2a 4b c) a y y z z b z z x x y y (a 2b 4c) c x x y y z z (4a b 2c) Suy ra: 2a 4b c a 2b 4c 4a b 2c P 9 a b c 2 b a c c a b P 6 9 a c b a b c P 6 4.3 3 Dầu đẳng thức xảy a=b=c=1 Đây là bài toán hay chưa hẳn là khó! 18 (B-2009) Cho các số thực x, y thay đổi và thoả mãn ( x y )3 xy Tìm giá trị nhỏ biểu thức A x y4 x y2 – x y2 191 S xy 16 Với x≥0, y≥0 và x+y=1 suy x y xy 1 Suy xy 4 HD: ( x y )3 xy mà ( x y ) xy suy ( x y )3 ( x y ) x y 1 191 25 xy 16 25 GTLN S là (khi x y ) và GTNN 2 S là (khi x=0, y=1) – x A x y4 x y2 – x y2 x y x y 2x y y2 2 A x y4 x y2 – x y2 2 2 4 Mà: x y x y x y x y ( x y ) Lop10.com A (6) x4 y x y2 A A x y2 x y2 20 (D-2007) Cho a≥b> Chứng minh : b 32 x 2 y2 – x , t ( x 2y) Đặt t x y 2 – x 2 a b 2 a 2 b y2 HD: y2 2 b a b 2ab ( a b) 2 (a b) 4ab a b2 ln(4a 1) ln(4b 1) a b x ln(4 1) Đặt f ( x) , x x x ln ln(4 x 1) x f ( x) x x x (ln ln(4 x 1)) ln(4 x 1) f ( x) 0 x (4 x 1) Bài luyện tập thêm: Chứng minh ( x 0) 1) sin x x 2) e x x 3) ln( x 1) x Dấu đẳng thức xảy x=y=z=1 GTNN P là ( x 0) ( x 0) sin x x e x ln( x 1) x e x x z y 1 P x y z zx yz xy x2 y z x y z P 2 yz zx xy x2 y z x2 y z P xyz 1 P x2 y z xyz 1 P x y z 1 xyz xyz 1 P x2 y z 2 2 x y z ln(4a 1) a ln ln(4b 1) b ln a b Vậy f nghịch biến trên R+ 0<b≤a f(a)≤f(b) Bài toán chứng minh 19 (B-2007) Cho x,y,z là số thực dương hay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức HD: a Bài toán trên sử dụng “tinh vi” các kỹ thuật biến đổi: z y 1 y z zx xy b a a b ln 2a ln 2b 2 a 2 b 2a 2b 9 A f(t)= t – 2t f (t)= t – 2 1 Min( A) f 16 x P x yz : a x x 21 (A-2006) Cho hai số thực x≠0, y≠0 thay đổi và thoả mãn điều kiện 2 x y xy x y xy Tìm giá trị lớn biểu thức A 1 x3 y HD: Xét x y xy x y xy 1 ,v x y 1 1 Ta u v u v uv x y y x xy Đặt u 3(u v) u v 4(u v) u v u v (u v) 3uv Lop10.com (7) A x3 y ( x y )( x y xy ) x3 y x3 y 23 (A-2005) Cho x,y,z là các số dương thoả 1 mãn Chứng minh x y z ( x y )( x y ) xy x y xy A x3 y x2 y 1 A (u v) 16 xy x y Dấu đẳng thức xảy u=v=2 tức là x y 1 2x y z x 2y z x y 2z HD: Với a>0 và b>0 ab 1 ab ab a b 1 1 1 x y z x 4( y z ) x 16 y 16 z 1 1 x y z 16 x y 16 z 1 1 x y z 16 x 16 y z Cộng vế các BĐT suy ra: (a b)(a b) 4ab 22 (B-2006) Cho x , y là các số thực thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A ( x 1) y ( x 1) y y HD: u ( x 1; y ), v ( x 1; y ), u v (2; y ) A u v y2 uv y2 1 2x y z x 2y z x y 2z 1 1 4x 4y 4z A y2 1 y (dấu đẳng thức xảy véc tơ cùng hướng, x=0) 2 y y ( y 2) Đặt h( y ) ( y 2) 2 y y Khảo sát f ( y ) y y Khảo sát g ( y ) y y g ( y ) x x Khi nào đẳng thức xảy ra? HD: ( y 2) y2 1 y 0, y g ( y ) y2 y y g ( y ) y 3 Suy g ( y ) g Min(h( y )) Min(2 5; 3) x x x x x x x x x 12 15 12 15 x 2.3 5 4 4 y y2 1 Min( A) x=0, y x 12 15 20 x x x có: 3 4 5 5 4 ( y 2) f đồng biến nên f ( y ) f (2) 24 (B-2005) Chứng minh với x A , ta 15 20 15 20 x 2.5 4 20 12 20 12 x 2.4 5 5 Cộng vế chia vế cho 2: x x x 12 15 20 x x x 3 4 5 5 4 Dấu đẳng thức xảy x=0 3 25 (D-2005) Cho các số dương x,y,z thoả mãn xyz=1 Chứng minh : x3 y3 y z3 z3 x 3 xy yz zx Khi nào đẳng thức xảy ra? Lop10.com (8) HD: x3 y 3 xy xyz 3z xy xy xyz p 4( x y ) 4( y z ) 1 y z 3x yz 3 HD: 1 z x 3y zx 3 x3 y3 y3 z3 z3 x3 xy yz zx 3 27xyz 3 Dấu đẳng thức xảy x=y=z=1 26 (A-2003) Cho x,y,z là ba số dương và x+y+z Chứng minh 1 1 x y z 82 x y z HD: 1 1 1 u x; , v y; , t z; x z y u v t u vt B x y z 1 1 x y z 4( y z ) yz 4( z x ) zx PHẦN NÀY CHÚNG TA NGHIÊN CỨU MỘT VÀI PHÁN ĐOÁN KHI GIẢI TOÁN BĐT * (tài liệu biên soạn có tham khảo sách Những viên kim cương BĐT Toán học, thầy Trần Phương) 28 Cho x>0 Tìm GTNN f x 2 4( x y ) x y xy A Sự đối xứng các biến tham gia BĐT giúp ta dự đoán cực trị thường đạt các biến 1 y2 z2 2 x y z 1 1 ( x y z) x y z x y z p xy yz zx z x y p xyz 12 xyz Dấu đẳng thức xảy x=y=z=1 3x 3y 3z A x2 x y z 4( z x ) z x y x (xem x và 1/x là biến f) f x 1 HD: f x 2, x Vậy GTNN f là 2 1 1 81( x y z ) 80( x y z ) x y z 1 1 B 18( x y z ) 80( x y z ) x y z 29 Cho x>0 Tìm GTNN f x x x x x 33 2 x 2 x x f x 32 x Vậy GTNN f là HD: f B 18.9 xyz 80( x y z ) xyz B 162 80( x y z ) 162 80 82 A 82 27 Cho x,y.z là các biến số dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức Lop10.com x2 (9) 1 1 x k n 1 n n 3 n 1 x k x k k x k x 1 1 ( x k ) 1 n 1 n n 3 n 1 xk x x k x k k 30 Cho n nguyên và n≥2 Cho biến x>0 Tìm GTNN f x n x x x x x HD: f n (n lần ) n n n x n n n 1 x f (n 1) n 1 n n 1 n n x n x Dấu đẳng thức xảy n x n 1 n n x n 1 GTNN f là n 1 n n B Khi cho các biến ban đầu mà không thỏa điều kiện bài toán hay xảy mâu thuẫn thì chúng ta phải dự đoán phương án khác, giá trị đặc biệt có thể là “biên”trong tập hợp điều kiện biến 31 Cho x≥2 Tìm GTNN f x x HD: Dự đoán GTNN đạt x=2 Với x≥2 : 1 f ( x) f (2) x x x x ( x 2)(2 x 1) (đúng với x≥2) Vậy GTNN f là x=2 32 Cho x>3 Tìm GTNN f x x HD: Dự đoán GTNN đạt x=3 Với x≥3: 1 f ( x) f (3) x x x 28 x ( x 3)(9 x x 3) (đúng với x≥3) 28 Vậy GTNN f là x=3 33 Cho sốnguyên n≥2 Cho x k n 1 n Tìm GTNN f x n x HD: Dự đoán GTNN đạt x=k Với x≥k: 1 f ( x) f (k ) x n k n x k (x k) 1 xk n 1 n n 3 n 1 xk x k x k k x Ta có: x n 1 x n2 k x n n 1 k n 3 k n n 1 n n 1 k n 1 n 1 n xk Suy f(x)≥f(k) đúng với x k n 1 n GTNN f là k n x=k k C Có thể chứng minh kết trên BĐT Côsi? Với dự đoán “chọn tham số” hay “chọn điểm rơi” Dự đoán x=k và dùng Côsi cho n+1 số đó n số x (với m>0) và số n sau: m x x x nx x f n x (n số ) m m x m m n n x f (n 1) n 1 n x 1 m x m Ta chọn m cho: x k n 1 n 1 mx k x m x n n x 1 n 1 k k Vì x k n 1 n nên n k n 1 suy ra: (n 1) n f k 1 n 1 k n f (k ) n k k k f (n 1) n 1 n ( n 1) 34 Cho a>0, b>0 và a+b≤1 Tìm GTNN f ab ab ab HD: ab và Đặt x ab, x 4 f x x Ta chọn m>0 cho: Lop10.com (10) x m x2 16 x 1 m x 1 15 17 15 x 16 x 15 x x x 4 17 f đạt nhỏ là x= 4 f 16 x 35 Cho a>0, b>0, c>0 và a+b+c≤ f a b c Tìm GTNN 1 abc abc Xét a , chọn m>0 a cho: a m 16 a a ma Ta dùng BĐT Côsi cho 17 số, đó 16 số là và số a2: 16a 16 1 a a 16 1717 a 2 a 16a 16a 1 a b c 15 HD: Ta có thể phạm sai lầm: 1 f 3 abc 3 abc 6 abc abc Dấu đẳng thức xảy a=b=c=1 đó a+b+c=3> (vô lý với gt) Giải lại: abc x abc Ta có: 1 f 3 abc 3 3 x x abc 1 Dự đoán f đạt nhỏ x= (ứng với a=b=c= 2 ) Ta chọn m>0 cho: x m x2 x 1 m x 1 15 f x x 3.2 x x 12 x x 2 15 Vậy GTNN f là a=b=c= 2 17 a 17 a2 32 a 217 Dấu đẳng thức xảy a=1/2 15 17c 17 c2 32 c 217 15 15 17 15 17 15 15 15 f 32 a 17 b 17 c 17 32 a 17 b 17 c 17 217 217 5 17 17 15 17 f 32 abc 17 32 217 217 217 Dấu đẳng thức xảy a=b=c=1/2 17 GTNN f là Chúng ta có thể sử dụng BĐT véc tơ u v t u vt 1 1 1 Với u a; , v b; , t c; a b c Ta có : 1 a b c a b c f 36 Cho a>0, b>0, c>0 và a+b+c≤ Tìm GTNN 1 f a b c a b c HD: Chúng ta dự đoán GTNN xảy a=b=c 15 17b 17 b2 , 32 b 17 Suy ra: f 3 (abc) (abc) Chúng ta giải tiếp các bài trước với Lop10.com x abc 2 abc (11) f 3 x 1 15 x 15 3 x 3 x 16 x 16 x 16 x 16 x 15 15 17 3 16 x Dấu đẳng thức xảy a=b=c=1/2 17 GTNN f là f 3 Tìm GTNN 1 f a b c b c a HD: Chúng ta dự đoán GTNN xảy a=b=c 37 Cho a>0, b>0, c>0 và a+b+c≤ 17 38 Cho a>0, b>0, c>0 và a b c Tìm GTNN f a b c abc 1 HD: Dự đoán: a b c và a b c m.abc m 9 a bc Mặt khác a b c 3 (abc) abc 3 GTNN f là f abc abc abc 3 Xét a , chọn m>0 cho: b a b m 2 16 ab a mb Ta dùng BĐT Côsi cho 17 số, đó 16 số là và số a2: 16b f 16 17 16 17 a b 32 b 217 Dấu đẳng thức xảy a=1/2 a2 17b17 c 17 b2 32 c 17 c2 17 17c a 32 a 217 16 17 Suy ra: 16 16 17 171 1716 17 17 17 17 f 32 a b b c c a 217 5 17 17 15 17 f 32 abc 17 32 217 217 217 Dấu đẳng thức xảy a=b=c=1/2 39 Cho x>0, y>0 và x y Tìm GTNN x y f 1 x 1 y HD: f x y x y y x y x y x f 2 x 2 y 17 4 3 3.8 8abc 4 3 GTNN f là a b c 16 1 a a 16 1717 a 2 b 16b 16b 8 4 abc 9abc 9abc 9abc 9abc x y x y x y Mặt khác 1 y 1 x 1 f ( x y) y x x y (1) và (2) cho ta: 1 2 2f x y xy x y (1) (2) 2f 2 f Dấu đẳng thức xảy x y 40 Cho x>0, y>0, z>0 Tìm GTNN f HD: Lop10.com x y z yz zx x y yz zx x y x y z (12) x y z yz zx x y yz zx x y 4x 4y 4z f y 4x y 5 x4 y 1 4x 4x 4x 3 y z z x x y 4 x y z f x y z yz zx x y f 66 y z z x x y 4x y 4z 2x y 2z f 1 1 1 y 3z 3x HD: 1 41 Cho số dương x,y,z,t Tìm GTNN x y z t f y z t z t x t x y x y z y z t z t x t x y x y z x y z t z z 3x 5 z x3 3x 3x 3x f Dấu đẳng thức x=y=z, GTNN f là x x y 5 xy 4y 4y 4y 125 27 HD: f x x 3 x 3 x x 4x x Dấu đẳng thức xảy x x x 45 Cho x>0, y>0 Tìm GTNN x x y f 3 x x y HD: Dự đoán x=y Đặt t x y thì f 12 t x t 1 t Dự đoán t m m t t GTNN GTNN f là Dấu đẳng thức xảy x=y=z=t 40 GTNN f là HD: 27 xy 125 27 x 8 y z t z t x t x y x y z 9 x y z t 8 y z t z t x t f 9 x x x y y y z x y x y z z z t t t 8 32 40 f 12 3 x y f 1 1 y 4x 44 Cho x>0 Tìm GTNN f x x y z t y z t z t x t x y x y z y z t z t x t x y x y z 9x 9y 9z 9t Tìm 125 xyz HD: y>0 x x y 5 x2 y3 3y 3y 3y y y 3z 5 y z 1 3z 3z 3z Dấu đẳng thức xảy x=y=z 15 GTNN f là x>0, 25 16 25 16 43 Cho x>0, y>0, z>0 Tìm GTNN y z z x x y 15 f 6 x x y y z z 2 42 Cho 16 xy Dấu đẳng thức xảy x=y, GTNN f là 3 y z z x x y 4 x y z 3 y z z x x y f 3 4 x x y y z z f 25 xy f 1 t t t t2 t 2 Dấu đẳng thức xảy t= , tức là x=y GTNN f là Lop10.com (13) 46 Cho a>0, b>0, c>0 Tìm GTNN f a b c bc ca ab f 4 4 bc ca ab a b c a b c ,y4 ,z bc ca ab Dự đoán a b c x y z 1 f x yz x y z x x 1 x 1 x 2 kx k x HD: Đặt x b c 2 (c a )2 ab2bc2ca2 3 2 2 49 Cho a>0, b>0, c>0 và a+b+c=3 Tìm GTLN f a b b c c a HD: Dự đoán a=b=c=1 f (a b)2.2 3 1 1 33 1 x 4k k x x với k kx x (b c)2.2 (c a )2.2 ab4bc4ca4 3 4 50 Cho a>0, b>0, c>0 và a+b+c=3, n là số nguyên và n≥2 Tìm GTLN 1 3 1 1 2 x 8 8x 2 8x f n ab n bc n ca HD: Dự đoán a=b=c=1 f (a b)2 n n 1 (b c)2n 1 (c a )2n 1 1 1 y z 2 x 1 1 (a b)(b c)(c a ) 33 2 36 x y z x y z abc 1 ab bc ca 36 3 2 x y z abc GTLN f là n a=b=c=1 f 2a 2b 2.2a (b c) 2.2b(c a ) 2.2c(a b) 2a b c 2b c a 2c a b f 4 33 f 47 Cho a>0, b>0 và a+b=2 Tìm GTLN n 1 HD: a=b=c=1 D Phán đoán để biến đổi từ “Tích” sang “Tổng” (2 a ).3 (2 b).3 2a3 2b3 f 2 2 3 51 Cho a>0, b>0, c>0 và a+b+c=3 Tìm GTLN f a(b c) b(c a) c(a b) f 2a 2b n 1 a b 2(n 1) b c 2(n 1) c a 2(n 1) n 6(n 1) 3n n n 2n 1 GTNN f là a=b=c HD: Dự đoán a=b=1 n n Suy f 1 24 24 GTLN f là 3 a=b=c=1 Tương tự với y và z, suy f GTLN f là a=b=c=1 x x a b 2 GTLN f là 3 a=b=c=1 52 Cho a>0, b>0, c>0 và a b c Tìm GTLN GTLN f là a=b=1 f a b2 c2 ) b2 c2 a ) c a b2 ) 48 Cho a>0, b>0, c>0 và a+b+c=3 Tìm GTLN f a b b c c a HD: Dự đoán a=b=c=1 HD: Dự đoán a=b=c=1 Lop10.com (14) a b c a (b c ) 2a (b c ) 2 6a 2b 2c 3a b c 4 4 Tương tự với số hạng còn lại, suy 5a 5b 5c f 3 4 b3 b c 4 27 c 64 f 2 1 54 Chứng minh: 1 2 1 2 2 HD: n n n n n 1 2 n n n n n 1 n 1 1.1 n n n n n 1 n 1 1.1 n n 1 n n n 1 n n n n n n 1 n n n 1 n n n n 1 n n n 1 n n n n n n 1 2 n n 57 Chứng minh S 1 1 3 1 n 1 n n 1 n HD: k 1 k 1 k 1 k 1 k k k 1.1 1 k k k k Suy 1 2 n 1 S n 1.2 2.3 (n 1)n 1 1 1 S n n 1 n 1 2 n 1 n n S 1 n 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 n 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 x x 1 2 3 HD: 4 27 2 3 64 Khi a=4, b=9/2, c=16/3 n 4 27 3 64 x 2 x 1 56 Chứng minh 4 (c 4) 27 c 27 3 4 c 64 4c 64 3 x 1 2 3 x x x 3 1 1 1.1 1 3 GTLN f là 1 Dấu đẳng thức xảy x=0 3 3 (b 3) b3 4 2 3 2 b 9 3b 3 HD: 2(a 2) a2 1 2a2 a a 2 2a 2 3 x x 1 2 3 x x 1 1 1.1 3 53 Cho a≥2, b≥3, c≥4 Tìm GTLN a 2 b3 c 4 a b c HD: GTLN f là 3 a=b=c=1 f 1 58 Cho 0≤a≤b≤1 Chứng minh 1 (1 a )(1 b) ab HD: 1 1 a 1 b (1) (1 a )(1 b) (1 a )(1 b) ab 2(a b) 55 Giải: Lop10.com (15) Mà a b 2(1 a) a 2(a b) 2(a b) ab 62 Chứng minh với x,y,z>0 và xyz=1 thì x3 y z x y z Để CM (1) ta CM: 1 a (1 a )(1 b) (1 b)(a b) ab HD: x3 x x , 2 b a b (1 a ) Ta có: (1 b)(a b) 1 59 Cho 0≤a≤b≤c≤1 Chứng minh y3 y y , z3 z 2z Suy x3 y z x y z ( x y z ) ( x y z ) Do kết bài trước x y z x y z 1 (1 a )(1 b)(1 c) abc Suy điều cần CM HD: 1 (1 a )(1 b)(1 c) abc 1 (1 a )(1 b)(1 c) abc 1 a 1 b 1 c (1) (1 a )(1 b)(1 c) 3(a b c) Mà a b c 3(1 a) a 3(a b c) 3(a b c) a b c 63 Chứng minh với x,y,z>0 và xyz=1 thì x y z x3 y z HD: x x x3 , z z 2z3 Suy x y z x3 y z ( x3 y z ) ( x y z ) Do kết bài trước x3 y z x y z Để CM (1) ta CM: 1 a (1 a )(1 b)(1 c) (1 b)(1 c) abc abc (1 b)(1 c)(a b c) Suy điều cần CM F Phán đoán “cùng bậc vế” cần thêm các đại lượng cùng bậc tương ứng vào vế trái Ta có: 1 b 1 c a b c (1 b)(1 c)(a b c) y y y3 , 64 Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh a b c 3 b c a 2a 1 E Phán đoán “hạ bậc cho kết cùng bậc với bậc vế phải” cần thêm các đại lượng tương ứng vào vế trái HD: a b c 3 abc b c a 65 Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh a b2 c2 a b c b2 c2 a b c a 60 Chứng minh x y z xy yz zx HD: x y xy, y z yz , 2 z x zx Suy kết cần CM 61 Chứng minh với x,y,z>0 và xyz=1 thì x y z x yz HD: x x, 2 y y, z2 1 2z Suy x y z ( x y z ) ( x y z ) bca HD: a2 1 b2 c2 1 a2 Suy 2a , b 2c a b2 2b 1 , c c a b2 c2 a b c a b c 3 b c a b c a b c a a b c Do kết bài trước b c a Suy điều cần CM 66 Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh Và x y z 3 xyz Suy kết cần CM Lop10.com (16) Một bài toán đẹp a b3 c a b c b3 c a b c a HD: a a 2a , b3 b b c c 2c a3 a a Suy 69 Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh a b2 c2 abc b c a b b 2b , c3 c c a b3 c a b c a b c a b c b3 c a b c a b c a b c a 2 Do kết bài trước a2 b2 c a b c b c a b c a HD: a2 b 2a, b c2 a 2c a b2 c 2b, c 2 Suy a b c a b c b Suy điều cần CM c 70 Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh a b3 c a b c b2 c2 a b c a 67 *Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh 1 1 a b3 abc b3 c abc c a abc abc HD: a b3 (a b)(a b ab) (a b)ab 1 c 3 a b abc (a b)ab abc abc(a b c) a 3 b c abc abc(a b c) b 3 c a abc abc(a b c) 1 1 a b3 abc b3 c abc c a abc abc HD: a3 2a a , b2 b c3 2c c a2 a Suy Suy điều cần CM 71 Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh a b3 c abc ba ca ab 68 *Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh HD: Đưa dạng tương đương a b c b c a 2(a b c) abc b c a a b c a a b a2 3a 33 b b c bc abc b b c 3b c c a 3c và c c a a a b abc abc a b c abc b c a abc b c a abc *Tương tự a b c abc *Cộng vế, suy kết cần CM * b3 2b b , c2 c a b3 c a b c a b c (a b c) b2 c2 a b c a b c a 2 Do kết bài trước a b c a b c b c a Một bài toán đẹp 2(a b c) a b c 1 1 1 abc b c a a HD: a3 b3 b c 3a, c a 3b, bc ca c3 a b 3c ab Cộng vế suy kết cần CM 72 Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh a b3 c a b2 c2 b c a HD: Lop10.com (17) a3 ab 2a , b c3 ca 2c a Suy Do kết bài trước 13 13 13 12 12 12 b3 bc 2b , c a b c ab bc ca Suy kết cần CM 76 Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh a b2 c2 a b c 5 5 4 4 b c a b c a a b3 c a b c (a b c ) (ab bc ca ) b c a Mà a b c ab bc ca nên bài toán CM HD: a 2a , b5 b3 b c 2c a5 a3 a Suy 73 Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh a b c a b3 c b2 c2 a b c a HD: a4 2a a , b2 b c4 2c c a2 a Suy a b2 c2 a b c a b c 1 1 b c a b c a b c a a b c Do kết bài trước a4 b4 c4 13 13 13 b b c a b c b4 2b3 b , c2 c Nên bài toán CM a b c a b3 c a b3 c a b2 c2 b2 c2 a b c a b c a 3 Do kết quà bài trước: a b c a b c b c a Suy kết cần CM 77 Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh a b2 c2 1 b5 c a a b3 c HD: Sử dụng kết bài trước a b2 c2 a b c b5 c a b c a 74 Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh 1 1 1 3 3 a b c ab bc ca và a b c 1 4 4 3 3 b b c a b c HD: 1 1 3 3 , 3 3 , 3 a a b ab b b c bc 1 3 3 c c a ca Cộng các vế suy kết cần CM Suy điều cần CM 78 Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh a b c 1 2 2 b c a a b c HD: a b , , b a b c2 b c c a2 c a Cộng vế suy kết cần CM 75 Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh a b c 1 4 4 3 3 b b c a b c HD: a 3, b ab b c 2 a ca a Suy b 2b , c5 c3 c b 3, c bc c a b c 1 1 1 1 b b c a b c a b c ab bc ca Lop10.com (18) 82 *Cho a,b,c là cạnh tam giác Chứng minh 79 Cho a>0, b>0 Chứng minh a b a b b 1 1 a HD: a b M a b b 1 1 a a b A a b b 1 1 a b a B a b b 1 1 a f a(a b c) c a b b(b c a ) a b c c (c a b ) ab bc ca HD: Xét số hạng vế trái, tương tự cho số hạng còn lại cộng vế b c a a(a b c) a (a b c) 2(b c a ) 2(a b c ) 4bc 4ba 4ca b c a A+B=3 a 1 a b b 1 M A (Côsi cho số) a b 1 b 1 a b 1 a 1 b a M B 3 a b 1 b 1 a Vậy M+A≥A+B M≥B và M+B≥A+B M≥A A B Suy M 2 a(a b c) c a b b(b c a ) a b c c a b ab bc ca a b c A ab bc ca b c a B ab bc ca M c (c a b ) f 5(a b c ) 4(ab bc ac) f 5(ab bc ca ) 4(ab bc ac) ab bc ca 83 Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh a b3 c ab bc ca HD: a b3 b3 2ab b3 c c 2bc c a a 2ca Cộng vế suy kết cần CM 84 Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh a b3 c ba cb ac HD: Chứng minh tương tự bài trên 85 Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh a b c ab3 bc ca HD: b b b a 4ab3 c c c b 4bc a a a c 4ca 81 Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh 2(a b3 c ) 1 1 b2 c2 abc a b c Cộng vế suy kết cần CM HD: Triển khai và rút gọn, bài toán thành a a b b c c 2a 2b 2c b c a c a b bc ca ab BĐT đúng vì: 2a 2b c 4ab 3bc 5ac Cộng vế A+B=3 ac ab bc M A (Côsi cho số) ab cb ca bc ac ba M B 3 ab cb ca Vậy M+A≥A+B M≥B và M+B≥A+B M≥A A B Suy M 2 2a b 2c 3ab 5bc 4ac c a b ab bc ca HD: a 2b 2c 5ab 4bc 3ac 80 Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh a b c a 86 Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh a b c a 2b b c c a HD: Chứng minh tương tự bài trên a a 2a b b 2b c c 2c , , b2 c2 bc a c ca a b ab Lop10.com (19) 87 Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh a b c a b b c c a 5 3 abc abc c2 2c 3 Suy HD: a a a b5 b5 5a 3b b5 b5 b5 c c 5b3c c c c a a 5c a 2 abc abc a b2 c2 2(a b c) 3 2 2 a b c a b c a b c 3 Cộng vế suy kết cần CM 88 Cho a>0, b>0, c>0 Cho n,k là các số nguyên dương Chứng minh a n k b n k c n k a nb k b n c k c n a k na kb nk nk n k nk nk a n( nk ) k ( nk ) b 2 91 Cho a>0, b>0 nnguyên,n≥2 Chứng minh HD: nk a b c a b c 3 2 a n bn a b (n k )a b n k nb kc (n k )b c nc n k ka n k (n k )c n a k n k n HD: n n ( n 1) ab na n n ( n 1) ab nb ab n ab a n (n 1) nn a Suy (n k )(a n k b n k c n k ) (n k )(a nb k b n c k c n a k ) Suy ab n ab b (n 1) nn b a n k b n k c n k a nb k b n c k c n a k Suy n n ab ab a n b n 2(n 1) n( a b) 89 Cho a>0, b>0 Chứng minh a b4 a b n n a b a b n 1 n 1 n 1 n HD: ab ab a4 3 44 a ab ab b4 44 b Suy 4.3 4.3 ab 4a ab 4b ab ab a b4 4(a b) a b4 a b a n bn cn a b c 3 a b c abc 3 HD: abc abc a2 2a 3 n n 1 n n 1 n n 1 abc abc a (n 1) na 3 n abc abc b (n 1) nb 3 n n HD: 90 Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh 92 Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh abc abc c n (n 1) nc 3 Suy n abc abc a n b n c n 3(n 1) n(a b c) 3 n n n n a b c (n 1) a b c n a b c 3 a b c a b c 3 n n n abc abc b2 2b 3 Lop10.com n n n 1 (20)