Trong chương trình Đai số ở THCS đa thức và ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö lµ mét trong nh÷ng néi dung c¬ b¶n, nã là cơ sở để xây dựng nhiều nội dung kiến thức, nhiều dạng bài tập khác [r]
(1)PhÇn thø nhÊt më ®Çu I lí chọn đề tài: Như chúng ta đã biết môn toán là tảng các môn khoa học tự nhiªn nã chiÕm mét vai trß quan träng c¸c lÜnh vùc khoa häc ¦íc ao häc giái to¸n lµ niÒm m¬ íc cña bao thÕ hÖ häc sinh vµ c¸c bËc phô huynh, c¸c thÇy c« gi¸o cho em vµ häc sinh m×nh Toán học là môn khoa học có từ lâu đời nó nghiên cứu nhiều thể loại đa dạng và phong phú Trong chương trình Đai số THCS đa thức và ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö lµ mét nh÷ng néi dung c¬ b¶n, nã là sở để xây dựng nhiều nội dung kiến thức, nhiều dạng bài tập khác như: Quy đồng mẫu các phân thức,rút gọn phân thức, giải phương trình, bất phương trình, tìm cực trị Đặc biệt kỹ phân tích đa thức thµnh ph©n tö lµ mét kü n¨ng c¬ b¶n quan träng, nÕu n¾m v÷ng vµ thµnh th¹o kü n¨ng nµy th× häc sinh míi cã kh¶ n¨ng gi¶i quyÕt ®îc nhiÒu vÊn đề chương trình đại số lớp và lớp nhiều vấn đề toán häc kh¸c cã liªn quan Nhưng đôi việc phân tích đa thức thành nhân tử có khó khăn học sinh trường hợp đa thức có bậc cao, hệ số lớn, phức tạp Nếu áp dụng phương pháp thông thường đã học sách gi¸o khoa th× häc sinh kh«ng thÓ ph©n tÝch ®îc Cã nh÷ng ®a thøc kh«ng cã nghiÖm thùc th× häc sinh kh«ng thÓ ph©n tÝch ®îc thµnh nh©n tử Vì câu hỏi thường đặt trường hợp này là: Những đa thức nµo th× kh«ng thÓ ph©n tÝch ®îc thµnh nh©n tö ? NÕu tr¶ lêi ®îc c©u hái trªn, häc sinh sÏ cã kh¶ n¨ng gi¶i ®îc b»ng c¸ch nhanh gän mét sè bài tập cụ thể Bên cạnh đó ngoài phương pháp thông thường, còn có thể sử dụng số phương pháp khác để phân tích đa thức thành nhân tử trường hợp định , phương pháp này chương trình sách giáo khoa chưa có điều kiện đề cập đến nÕu ®îc gi¸o viªn cung cÊp thªm th× häc sinh cã thÓ hiÓu ®îc mét c¸ch toµn diÖn h¬n vÒ lý thuyÕt vµ cã kü n¨ng gi¶i c¸c bµi to¸n tæng hîp mét c¸ch nhanh chãng §Ó cung cÊp cho häc sinh mét c¸ch cã hÖ thèng vÒ ®a thøc, ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö Gi¸o viªn cÇn ph¶i hiÓu vµ n¾m v÷ng c¸c kiÕn thøc vÒ vµnh ®a thøc, ®a thøc bÊt kh¶ quy, nghiÖm cña ®a thøc mét c¸ch chính xác có hệ thống, hiểu gốc vấn đề Từ đó giáo viên Lop8.net (2) cho học sinh biết điều gì và đến chừng mực nào để có vËn dông hîp lÝ, ®a vµo bµi gi¶ng cña m×nh nh÷ng néi dung kiÕn thøc phù hợp với trình độ học sinh và đưa dạng bài tập thích hîp II mục đích nghiên cứu: Vận dụng kiến thức cấu trúc đại số, lý thuyết trường vào giảng dạy phần đa thức và phân tích đa thức thành nhân tử chương tr×nh §¹i sè ë c¸c líp THCS nh»m cung cÊp cho häc sinh nh÷ng kiÕn thức phân tích đa thức thành nhân tử mức độ phù hợp III NhiÖm vô nghiªn cøu: VÒ lý thuyÕt: Nghiên cứu lý thuyết để nắm vững các nội dung kiến thức - Cấu trúc đại số : Nhóm, vành, trường, vành đa thức - C¸c kh¸i niÖm vÒ ®a thøc, nghiÖm cña ®a thøc, ®a thøc bÊt kh¶ quy - Một số định lý nghiệm đa thức - Một số định lý phân tích đa thức thành nhân tử các đa thức bất kh¶ quy VÒ thùc tiÔn gi¶ng d¹y: - Nghiên cứu nội dung, chương trình sách giáo khoa để nắm mức độ, giới hạn nội dung kiến thức có thể cung cấp cho học sinh - Vận dụng các nội dung lý thuyết mức độ phù hợp vào giảng dạy phân đa thức và phân tích đa thức thành nhân tử chương trình Đại số cÊp THCS - Thùc tÕ vËn dông vµo mét bµi gi¶ng cô thÓ phÇn ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö IV Phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp nghiên cứu lý thuyết - Phương pháp thử nghiệm sư phạm - Phương pháp điều tra thực tiễn V Giíi h¹n, ph¹m vi nghiªn cøu: - §Ò tµi chØ tËp trung nghiªn cøu viÖc vËn dông mét sè kiÕn thøc vÒ ®a thøc mét Èn, nghiÖm cña ®a thøc mét Èn vµo gi¶ng d¹y phÇn ph©n tÝch đa thức (một ẩn) thành nhân tử chương trình đại số lớp Lop8.net (3) PhÇn hai I C¸c néi dung lý thuyÕt c¬ së: Nh¾c l¹i c¸c cÊu tróc §¹i sè: §Þnh nghÜa phÐp to¸n hai ng«i: Gi¶ sö A lµ mét tËp kh«ng rçng Mét ¸nh x¹: f : AA A ®îc gäi lµ mét phÐp to¸n hai ng«i trªn A Víi mçi cÆp (x,y) AA, ¶nh f (x,y) ®îc gäi lµ hîp thµnh cña cÆp (x,y) vµ cßn ®îc viÕt gän lµ f(x,y) NÕu ký hiÖu ¸nh x¹ f bëi dÊu “+” th× ®îc ký hiÖu bëi x+y vµ phÐp to¸n đã cho gọi là phép cộng, x+y gọi là tổng x và y NÕu ký hiÖu ¸nh x¹ f bëi dÊu "." th× f(x,y) ®îc ký hiÖu bëi x.y vµ phÐp to¸n ®îc gäi lµ phÐp nh©n, x.y ®îc gäi lµ tÝch cña x vµ y §Þnh nghÜa nöa nhãm, nöa nhãm giao ho¸n, vÞ nhãm: PhÐp to¸n hai ng«i f trªn tËp hîp A cã tÝnh chÊt kÕt hîp nÕu f [f(x,y),z] = f [x,f(y,z)] víi mäi x,yA NÕu phÐp to¸n lµ phÐp céng th× tÝnh chÊt kÕt hîp cã nghÜa lµ: (x+y)+z = x+(y+z) víi x,y,zA NÕu phÐp to¸n lµ phÐp nh©n th× tÝnh chÊt kÕt hîp cã nghÜa lµ: (x.y).z = x.(y.z) víi x,y,zA + PhÐp to¸n hai ng«i f ®îc gäi lµ giao ho¸n nÕu f(x,y) = f(y,x) víi x,yA + Mét tËp hîp A cïng víi mét phÐp to¸n hai ng«i kÕt hîp ®îc gäi lµ mét nöa nhãm + Mét nöa nhãm ®îc gäi lµ nöa nhãm giao ho¸n nÕu phÐp to¸n cã tÝnh chÊt giao ho¸n + Mét nöa nhãm nh©n ®îc gäi lµ mét vÞ nhãm nÕu nã cã mét phÇn tö eA cho xe = ex = x với xA., e gọi là phần tử đơn vị Nửa nhóm cộng A gọi là vị nhóm phần tử aA tån t¹i mét phÇn tö a’A cho a+a’ = = a’+a a’ gọi là phần tử đối a và ký hiệu là -a Lop8.net (4) Nếu phép toán nhóm có tính chất giao hoán thì ta nói đó là nhãm giao ho¸n hay nhãm Aben - Mét tËp B cña nhãm A ®îc gäi lµ mét nhãm cña nhãm A B là nhóm phép toán A §Þnh nghÜa vµnh, vµnh giao ho¸n, vµnh con: - TËp hîp A ®îc gäi lµ mét vµnh nÕu trªn A cã phÐp céng vµ phÐp nh©n cho: i A víi phÐp céng lµ mét nhãm giao ho¸n ii A víi phÐp nh©n lµ mét vÞ nhãm iii Phép nhân phân phối phép cộng, nghĩa là với ba phần tử tuỳ ý lµ x,y,zA Ta cã: x(y+z) = xy+xz (y+z)x = yx+zx - Vµnh A ®îc gäi lµ vµnh giao ho¸n nÕu phÐp nh©n giao ho¸n - Mét tËp B cña vµnh A ®îc gäi lµ mét vµnh cña nhãm A nÕu b là vành phép toán A Định nghĩa trường, trường con: - Một trường là vành giao hoán có đơn vị khác không và phần tử khác có nghịch đảo - Tập B có ít hai phần tử trường A gọi là trường trường A B là trường các phép toán A Nh¾c l¹i vÒ ®a thøc: Vµnh ®a thøc mét Èn: Giả sử A là vành vành E giao hoán có đơn vị, uE Phần tử a0+a1u+a2u2+ +anun+ đó aiA với i = 0,1, ,n, và có mét sè h÷u h¹n ai0 (1) ®îc gäi lµ mét vµnh ®a thøc cña phÇn tö u trªn vµnh A TËp hîp c¸c ®a thøc cña u trªn A ®îc ký hiÖu bëi A[u] Nếu tồn đa thức dạng (1) với các không đồng thời mà: a0+a1u+a2u2+ +anun = KÐo theo mäi = * §Þnh lý vÒ phÐp chia ®a thøc (phÐp chia hÕt vµ chia cã d), hÖ qu¶: -Giả sử K[x] là vành đa thức trên trường K Lop8.net (5) - Khi đó với hai đa thức f(x), g(x) và g(x) 0 tồn hai ®a thøc q(x) vµ r(x)sao cho: f(x) = g(x).q(x) + r(x), r(x) = 0, hoÆc bËc r(x) < bËc g(x) q(x) gọi là thương, r(x) gọi là dư NÕu r(x) = th× ta nãi f(x) chia hÕt cho g(x) vµ ký hiÖu f(x):g(x) NÕu r(x) 0 th× ta nãi f(x) chia cho g(x) cã d -Hệ quả: Giả sử K là trường f(x) K[x]và aK, đó f(a) là dư phÐp chia f(x) cho x-a *§Þnh nghÜa nghiÖm cña mét ®a thøc mét Èn: Gi¶ sö A lµ mét vµnh PhÇn tö A ®îc gäi lµ nghiÖm cña ®a thøc f(x)A[x] nÕu f() = §Þnh lý B¬du vÒ nghiÖm cña mét ®a thøc: Giả sử K là trường Phần tử K là nghiệm đa thức f(xa0+a1u+a2u2+ +anun)=0[x] vµ chØ f(x) chia hÕt chi nhÞ thøc xa Nh¾c l¹i vÒ ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö §Þnh nghÜa ®a thøc bÊt kh¶ quy: §a thøc f(x) vµ kh¸c íc cña ®îc gäi lµ ®a thøc bÊt kh¶ quy nÕu từ đẳng thức f(x) = g(x).h(x) suy g(x) h(x) là ước đơn vị Tiªu chuÈn Aidenxtain¬: Gi¶ sö f(x) = a0+a1x+a2x2+ +anxn = víi c¸c aiZ NÕu cã mét sè nguyªn P tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau: i P kh«ng ph¶i lµ íc cña an ii P lµ íc cña ai, víi i = 0,1, ,n-1 iii P2 kh«ng ph¶i lµ íc cña a0 th× lµ ®a thøc bÊt kh¶ quy Q[x] Một số mệnh đề đa thức bất khả quy: - Mệnh đề 1: Giả sử K là trường Nếu P(x) là đa thức bất khả quy thuéc K[x] cßn f(x) lµ mét ®a thøc tuú ý thuéc K[x] th× f(x) chia hÕt cho P(x) hoÆc nguyªn tè víi P(x) - Mệnh đề 2: Giả sử K là trường Trong vành K[x] đa thức bất kh¶ quy Q(x) lµ íc cña tÝch f(x).g(x), th× P(x) lµ íc cña f(x) hoÆc g(x) Lop8.net (6) - Mệnh đề 3: Giả sử K là trường Trong vành K[x] tích f(x).g(x) chia hÕt cho h(x) vµ [g(x), h(x)] = th× f(x) chia hÕt cho h(x) - Mệnh đề 4: Giả sử K là trường Trong vành K[x] f(x) chia hết cho hai ®a thøc nguyªn tè cïng th× f(x) chia hÕt cho tÝch cña chóng §Þnh lý vÒ sù ph©n tÝch mét ®a thøc (cã bËc n1) thµnh tÝch c¸c ®a thøc bÊt kh¶ quy Giả sử K là trường Mỗi đa thức f(x))K[x] có bậc n1 phân tÝch ®îc thµnh nh÷ng ®a thøc bÊt kh¶ quy II VËn dông c¸c néi dung lý thuyÕt trªn vµo thùc tiÔn gi¶ng d¹y Tìm hiểu giới hạn nội dung, chương trình sách giáo khoa: - Trong chương trình Đại số chương IV học sinh đã học khái niÖm ®a thøc, bËc cña ®a thøc, c¸ch t×m gi¸ trÞ cña ®a thøc t¹i mét gi¸ trị ẩn, định nghĩa nghiệm cuả đa thức, bước đầu học sinh đã biết cách tìm nghiệm đa thức, số đa thức đơn giản (bậc nhÊt vµ bËc hai) - Trong chương I sách giáo khoa Đại số học sinh đã học các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, phép chia đa thøc (phÐp chia hÕt vµ phÐp chia cã d) Nhng häc sinh míi chØ biÕt cách phân tích đa thức thành nhân tử các đa thức tương đối đơn giản, có bậc thấp số cách thông thường, chưa có liên hệ kÕt nèi gi÷a c¸c kiÕn thøc vÒ nghiÖm cña ®a thøc víi viÖc ph©n tÝch c¸c ®a thøc thµnh nh©n tö, vÒ gi¸ trÞ cña ®a thøc, d phÐp chia cña ®a thøc víi viÖc t×m nghiÖm cña ®a thøc nªn häc sinh cha cã ®îc sù hiÓu biÕt mét c¸ch toµn diÖn vµ cã hÖ thèng vÒ ®a thøc Nh÷ng néi dung kiÕn thøc cÇn cung cÊp vµ lµm râ cho häc sinh qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y vÒ ®a thøc, ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n: - Một đa thức các biến x,y, ,z là biểu thức nguyên đó c¸c ch÷ x,y, ,x lµ c¸c biÕn - NÕu t¹i x=a ®a thøc f(x) cã gi¸ trÞ b»ng th× ta nãi a lµ mét nghiÖm cña ®a thøc f(x) Lop8.net (7) - Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) nghĩa là biến đổi nó thành tích đơn thức và đa thức Các phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử: - Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp đặt nhân tử chung - Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp dùng đẳng thøc - Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp nhóm nhiều hạng tö - Phân tích đa thức thành nhân tử cách phối hợp nhiều phương ph¸p - Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b»ng c¸ch t¸ch mét h¹ng tö thµnh nhiÒu h¹ng tö - Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b»ng c¸ch thªm bít cïng mét h¹ng tö Với cặp đa thức A(x) và B(x) đó B(x) 0: tån t¹i cÆp ®a thøc Q(x) vµ R(x) cho: A(x) =B(x).Q(x)+R(x) đó R(x) =0 bậc R(x) thấp bËc cña B(x) - NÕu R(x) =0 ta ®îc phÐp chia hÕt - Nếu R(x) ta phép chia có dư, đó Q(x) là thương và R(x) lµ d cña phÐp chia A(x) cho B(x) + Ví dụ1: A(x) =10x2-7x+a (aQ) xác định a cho A(x) chia hết cho 2x-3 §Æt phÐp chia ®a thøc: 10x2-7x+a 2x-3 10x2-15x 5x+4 8x+a -8x-12 a+12 §Ó A(x) chia hÕt cho 2x-3 ta ph¶i cã: a+12=0 a=-12 VËy a=-12 th× A(x) chia hÕt cho 2x-3 +VÝ dô 2: Cho ®a thøc: A(x) = a2x3+3ax2-6x-2a (a Q) Xác định a cho A(x) chia hết cho (x+1) +§Æt phÐp chia ®a thøc: Lop8.net (8) a2x3+3ax2-6x-2a x+1 2 -a x +a x ax2+(3a-a2)x+(a2-3a-6) (3a-a2)x2-6x-2a -(3a-a2)x2+(3aa2)x -a2+a+6 §Ó A(x) chia hÕt cho x+1 ta ph¶i cã: -a2+a+6=0 (a+2)(3-a)=0 a+2=0 a=-2 3-a=0 a=3 VËy a=-2 hoÆc a=3 th× A(x) chia hÕt cho x+1 *§Þnh lý B¬du vÒ nghiÖm cña mét ®a thøc: Giả sử K là trường Phần tử K[x] và f(x) chia hết cho nhÞ thøc x-a VÝ dô: Ph©n tÝch ®a thøc 5x3-2x-3 thµnh nh©n tö, dÔ thÊy x=1 lµ mét nghiệm , theo định lý Bơdu thì đa thức 5x3-2x-3 chia hết cho x-1 Thùc hiÖn phÐp chia ta ®îc: 5x3-2x-3 =(x-1)(5x2+5x+3) VÝ dô 2:Ph©n tÝch ®a thøc f(x)=3x5- 6x4-2x3+4x2-x+2 thµnh nh©n tö DÔ thÊy x=1 lµ mét nghiÖm Vì đa thức đã cho chia hết cho x-1 Thøc hiÖn phÐp chia ta ®îc: f(x)=(x-1)(3x4- 3x3-5x2-x-2) DÔ thÊy 3x4- 3x3-5x2-x-2 cã nghiÖm lµ x=-1 Thùc hiÖn phÐp chia ta ®îc: 3x4- 3x3-5x2-x-2=(x+1)(3x3-6x2+x-2) DÔ thÊy r»ng 3x3-6x2+x-2 cã nghiÖm x=2 V× thÕ 3x3-6x2+x-2=(x-2)(3x2+1) VËy 3x5- 6x4-2x3+4x2-x+2 =(x-1)(x+1)(x-2)(3x2+1) *Kh¸i niÖm ®a thøc bÊt kh¶ quy: §a thøc f(x) vµ kh¸c íc cña ®îc gäi lµ ®a thøc bÊt kh¶ quy nÕu tõ đẳng thức f(x)=g(x).h(x) suy g(x) h(x) là ước đơn vị VÝ dô: Z lµ vµnh sè nguyªn - Sè nguyªn m z[x] lµ bÊt kh¶ quy vµ chØ m lµ sè nguyªn tè - §a thøc ax+b Z[x], a lµ bÊt kh¶ quy vµ chØ (a,b)=1 - Cô thÓ 3x+5 lµ bÊt kh¶ quy Lop8.net (9) Tiªu chuÈn Aidenxtain¬ vÒ ®a thøc bÊt kh¶ quy: Gi¶ sö f(x)=a0+a1x+a2x2+ +anxn víi c¸c Z NÕu cã mét sè nguyªn tè P tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau: - P kh«ng ph¶i lµ íc cña an - P lµ íc cña ai, víi i=0,1, ,n-1 - P2 kh«ng ph¶i lµ íc cña a0 - Th× f(x) lµ ®a thøc bÊt kh¶ quy Q[x] VÝ dô: f(x)=2x3-3x2+9x-3 lµ ®a thøc bÊt kh¶ quy Q[x] v× sè nguyªn tè P=3 tho¶ m·n tiªu chuÈn Aidenxtain¬ VÝ dô: H·y lËp mét ®a thøc bÊt kh¶ quy Q[x] cã bËc 7? Chän P=2, f(x)=x7-4x6 +8x3-6x+6 lµ ®a thøc bÊt kh¶ quy Q[x] 3.Mét sè bµi tËp vËn dông vµ c¸ch gi¶i: Các bài tập phân tích đa thức thành nhân tử phương ph¸p t¸ch sè h¹ng thµnh nhiÒu sè h¹ng kh¸c VÝ dô: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: 3x2-8x+4 NhËn xÐt: §a thøc trªn kh«ng chøa thõa sè chung Kh«ng cã d¹ng mét đẳng thức đáng nhớ, không thể nhóm các số hạng Ta biến đổi ®a thøc nµy thµnh ®a thøc cã nhiÒu sè h¹ng h¬n: C¸ch 1: (t¸ch sè h¹ng thø 2) 3x2-8x+4 =3x2-6x-2x+4 =(3x2-6x)-(2x-4) =3x(x-2)-2(x-2) =(x-2)(3x-2) C¸ch 2:(t¸ch sè h¹ng thø nhÊt) 3x2-8x+4 =4x2-8x+4-x2 =(2x-2)2 -x2 =(2x-2+x)(2x-2-x) =(3x-2)(x-2) Tæng qu¸t: §Ó ph©n tÝch tam thøc bËc hai ax2+x+c thµnh thõa sè ta t¸ch sè h¹ng bx=b1x+b2x cho b1/a=c/b2 tøc lµ b1b2=ac Trong thùc hµnh ta lµm nh sau: Bước 1: Tìm tích ac Bước 2: Phân tích a.c thành tích thừa số nguyên cách Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng b VÝ dô 2: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: 4x2-4x-3 (a=4,b=-4,c=-3) ac=4.(-3)=-12 -12=-6.2=-4.3=2.(-6)=4.(-3)=1.(-12)=-12.1 Lop8.net (10) V× -6+2=-4 =b nªn ta cã thÓ lµm nh sau: C¸ch 1: 4x2-4x-3 =4x2-6x+2x-3 =(4x2-6x)+(2x-3) =2x(2x-3)+(2x-3) =(2x-3)(2x+1) C¸ch 2: T¸ch sè h¹ng thø 3: 4x2-4x-3 =4x2-4x+1-4 =(4x2-4x+1)-4 =(2x-1)2-22 =(2x-1-2)(2x-1+2) =(2x-3)(2x+1) Qua hai vÝ dô trªn ta thÊy viÖc t¸ch mét sè h¹ng thµnh nhiÕu sè h¹ng khác thường nhằm mục đích: + Làm xuất các hệ số tỷ lệ nhờ đó mà xuất thừa số chung (cách 1) + Làm xuất hiệu hai bình phương (cách 2) Với các đa thức có bậc từ trở lên, để dễ dàng làm xuất các hệ số tỷ lệ người ta thường dùng cách làm xuất nghiệm đa thức Ta nh¾c l¹i kh¸i niÖm nghiÖm cña ®a thøc: Sè a ®îc gäi lµ nghiÖm cña ®a thøc f(x) nÕu f(a)=0 Nh vËy nÕu ®a thøc f(x) cã nghiÖm x-a th× nã chøa thõa sè x-a Gi¶ sö ®a thøc: a0xn+a1xn-1+ +an víi a0,a1, ,an-1,an Z Cã nghiÖm x=a (a Z) => a0xn+a1xn-1+ +an =(x-a)(b0xn+b1xn-1+ +bn –1) đó b0,b1, ,bn1,bn Z Sè h¹ng cã bËc thÊp nhÊt cña tÝch ë vÕ ph¶i b»ng-abn-1 Sè h¹ng cã bËc thÊp nhÊt ë vÕ ph¶i b»ng an -abn-1=an tøc lµ a lµ íc cña an VÝ dô 3: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö x3-x2-4 Lần lượt kiểm tra với x=1,x=2,x=4 ta thấy f(2)=23-22-4=0 đa thức có nghiệm x=2 đó chứa thừa số (x-2) C¸ch 1: x3-x2-4 =x3-2x2+x2-2x+2x-4 =(x3-2x2)+(x2-2x)+(2x-4) =x2(x-2)+x(x-2)+2(x-2) =(x-2)(x2+x+2) C¸ch 2: x3-x2-4 =x3-8-x2+4 =(x3-8)-(x2-4) =(x-2)(x2+2x+4)-(x-2)(x+2) 10 Lop8.net (11) =(x-2)(x2+2x+4-x-2) =(x-2)(x2+x+2) Chú ý: Khi xét nghiệm nguyên đa thức nên nhớ định lý sau: a NÕu ®a thøc f(x) cã tæng c¸c hÖ sè b»ng th× lµ nghiÖm cña ®a thức, đó đa thức chứa thừa số x-1 VÝ dô; x3-5x2+8x- x-1 -x3-x2 x2-4x+4 -4x2+8x4 - -4x +4x 4x-4 4x-4 o vËy x3-5x2+8x-4 =(x-1)(x2-4x+4) =(x-1)(x-2)2 b NÕu ®a thøc f(x) cã tæng c¸c hÖ sè cña c¸c sè h¹ng bËc ch½n b»ng tæng c¸c hÖ sè cña c¸c sè h¹ng bËc lÎ th× -1 lµ nghiÖm cña ®a thøc ®a thøc chøa thõa sè x+1 VÝ dô: x3-5x2+3x+9 Ta cã 9-5=1+3 -1 lµ nghiÖm cña ®a thøc, ®a thøc chøa thõa sè x+1 x35x2+3x+9 x+1 2 -x + x x -6x+9 6x2+3x+9 x2-6x 9x+9 -9x+9 VËy x3-5x2+3x+9 =(x+1)(x2-6x+9) =(x+1)(x-3)2 §Ó nhanh chãng lo¹i trõ c¸c íc cña hÖ sè tù kh«ng lµ nghiÖm cña ®a thøc, cã thÓ dïng nhËn xÐt sau: NÕu a lµ nghiÖm nguyªn cña ®a thøc f(x) vµ f(-1) th×: f(1):(a-1) vµ f(-1): (a+1) là số nguyên VÝ dô: f(x)=4x3-13x2+9x-18 ¦(18)=1,2,3,6,9,18 f(1)=4-13+9-18=-18 f(-1)=-4-13-9-18=-44 11 Lop8.net (12) 1 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña f(x) DÔ thÊy: 18 18 ; ; 1 1 18 18 ; ; 1 1 18 ; 1 18 18 ; Z 18 18 nen -3;6;9;18 kh«ng lµ nghiÖm cña f(x) 44 1 Z kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña f(x) DÔ thÊy x=3 lµ nghiÖm cña f(x) 4x3-13x2+9x-18 =4x3-12x2-x2+3x+6x-18 =(4x3-12x2)-(x2-3x)+(6x-18) =4x2(x-3)-x(x-3)+6(x-3) =(x-3)(4x2-x+6) Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp thêm và bớt cùng số hạng làm xuất hai bình phương xuất nh©n tö chung VÝ dô: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö 4x4+81 =4x4+36x2+81-36x2 =(4x4+36x2+81)-(6x)2 =(2x2+9)2-(6x)2 =(2x2+9-6x)(2x2+9+6x) VÝ dô2: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö x7+x2+1 =x7-x+x2+x+1 =(x7-x)+(x2+x+1) =x(x6-1)+(x2+x+1) =x(x3-1)(x3+1)+(x2+x+1) =x(x-1)(x3+1)(x2+x+1)+(x2+x+1) =(x2+x+1)[x(x-1)(x3+1)+1] =(x2+x+1)(x5-x4+x2-x+1) Chú ý: Các đa thức dạng: x3m+1+x3m+2+1 chứa thừa số (x2+x+1) Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp đổi biến: VÝ dô 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: x(x+4)(x+6)(x+10)+128 =(x2+10x)(x2+10x+24)+128 §Æt x2+10x+12=y 12 Lop8.net (13) §a thøc cã d¹ng (y-12)(y+12)+128=y2-16=(y+4)(y-4) x(x+4)(x+6)(x+10)+128=(x2+10x+16)(x2+10x+8) =(x+2)(x+8)(x2+10x+8) Nhận xét: Nhờ phương pháp đổi biến ta đã đưa đa thức bậc x thành đa thức bậc y VÝ dô 2: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö A=x4+6x3+7x2-6x+1 A=x4-6x3-2x2+9x2-6x+1 A=x4+(6x3-2x2)+(9x2-6x+1) A=x4+2x2(3x-1)+(3x-1)2 A=(x2+3x-1)2 Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp hệ số bất định: VÝ dô: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö x4-6x3+12x2-14x+3 Thö: x= 1; 3 kh«ng lµ nghiÖm cña ®a thøc, ®a thøc kh«ng cã nghiÖm nguyªn còng kh«ng cã nghiÖm h÷u tû §a thøc trªn ph©n tÝch ®îc thµnh thõa sè th× ph¶i cã d¹ng: (x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(ac+b+d)x2+(ad+bc)x+bd =x4 -6x3 +12x2 -14x+3 a+c=-6 ac+b+d=12 ad+bc=-14 bd=3 bd=3 mµ b,d Z => b 1; 3 Víi b=3 => d=1 a+c=-6 ac=8 a+3c=-14 a=-2 c=-4 VËy: a=-2 b=3 c=-4 d=1 => x -6x +12x2-14x+3 =(x2-2x+3)(x2-4x+1) 13 Lop8.net (14) Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp xét giá trị riªng: VÝ dô: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: P=x2(y-z)+y2(x-z)+x2(x-y) Thay x=y => P chøa thõa sè x=y thay x=y,y=z,z=x thì P không đổi (Ta nói đa thức P có thể hoán vị vßng quanh x y z x) Nên P đã chứa thừa số x-y thì chứa thõa sè y-z,z-x P cã d¹ng K(x-y)(y-z)(z-x) Nhận thấy phải là số (không chứa biến) vì P có bậc ba tập hợp các biến x,y,z còn (x-y)(y-z)(z-x) có bậc ba tập hợp c¸c biÕn x,y,z Ví đẳng thức x2(y-x)+y2(z-x)+z2(x-y)=K(x-y)(y-z)(z-x) nên ta gán cho c¸c biÕn x,y,z c¸c gi¸ trÞ riªng ch¼ng h¹n x=2,y=1,z=0 ta ®îc: 4.1+1.(-2)+0=K.1.1.(-2) -2K=2 K=-1 VËy P=-(x-y)(y-z)(z-x) hay P=(x-y)(y-z)(x-z) C¸c bµi tËp vÒ t×m nghiÖm cña ®a thøc: VÝ dô 1: T×m c¸c nghiÖm nguyªn cña ®a thøc: f(x)=2x4+7x3-2x213x+6 råi ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö H¹ng tö tù b»ng ¦(6)=+ 1; 2; 3; 6 f(-1)=2-7-2+13+6=12 -1 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña ®a thøc nµy f(-2)=32-56-8+26+6=0 => -2 lµ nghiÖm cña ®a thøc nµy f(-3)=162-189-18+39+6=0 nªn -3 lµ nghiÖm cña ®a thøc nµy f(1)=2+7-2-13+6=0 nªn lµ nghiÖm cña ®a thøc nµy f(2)=32+56-8-26+6=60 nªn kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña ®a thøc nµy f(3)=162+189-18-39+6=300 nªn kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña ®a thøc nµy §a thøc cã mét nghiÖm h÷u tû n÷a th× mÉu sè cña nã ph¶i lµ íc cña 2, Do đó có thể 1,2,-1,-2 là mẫu số nghiệm này.Nên ; ; 1 ; 3 14 Lop8.net (15) cã thÓ lµ nghiÖm cña ®a thøc nµy f ( x) 1 1 13 16 2 Suy 1/2 lµ nghiÖm cña ®a thøc nµy V× ®a thøc f(x) cã bËc nªn nã cã tèi ®a nghiÖm, suy c¸c nghiÖm nó là: 1;-2;-3;1/2 *Theo định lý Bơdu ta có: f(x) chia hÕt cho x-2;x+2;x+3;x-1/2 => f(x)=(x-1)(x+2)(x+3)(x-1/2) VÝ dô 2: T×m nghiÖm cña ®a thøc råi ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö f(x)=x3-6x2+11x-6 H¹ng tö tù do:6 ¦(6)= 1; 2 ;+-3 ; 6 f(1)=1-6+11-6=0 => lµ nghiÖm cña f(x) f(2)=8-24+22-6=0 => lµ nghiÖm cña f(x) f(3)=27-54+33-6=0 => lµ nghiÖm cña f(x) V× ®a thøc f(x) cã bËc lµ nªn nã cã tèi ®a nghiÖm, suy c¸c nghiÖm cña nã lµ 1,2,3 Theo định lý Bơdu ta có: f(x) chia hết cho x-1;x-2;x-3 f(x)=x3-6x2+11x-6=(x-1)(x-2)(x-3) C¸c bµi tËp vÒ phÐp chia hÕt vµ phÐp chia cã d cña ®a thøc: Ví dụ 1: Xác định số a cho x3-3x+a chia hết cho (x-1)2 C¸ch 1: §Æt phÐp chia: x3-3x+a x2-2x+1 - x3-2x2+x x+2 2x2-4x+a - 2x2-4x+2 a-2 V× phÐp chia lµ phÐp chia hÕt nªn a-2=0 a=2 Cách 2: Dùng phương pháp hệ số bất định: Nếu đa thức x3-3x+a chia hết cho đa thức x2-2x+1 thì thương là nhị thức bËc nhÊt cã h¹ng tö bËc cao nhÊt lµ x3:x2=x 15 Lop8.net (16) H¹ng tö bËc thÊp nhÊt lµ a:1=a Như x3-3x+a đồng với ( x2-2x+1)(x+a) tức là đồng với x3+(a-2)x2+(1-2a)x+a Do đó các hệ số tương ứng phải tức là: a-2=0 1-2a=-3 a=2 Cách 3: Phương pháp giá trị riêng: Gọi thương phép chia là Q(x) ta có: x3-3x+a=(x-1)2.Q(x) víi R Víi x=1 th× 1-3.1+a=0.Q(1) hay –2+a=0 tøc lµ a=2 Thö l¹i (x3-3x+2):(x2-2x+1)=x+2 Ví dụ 2: Tìm các giá trị nguyên n để giá trị biểu thức 2n2+3n+3 chia hÕt cho gi¸ trÞ cña biÓu thøc (2n-1) §Æt phÐp chia: 2n2+3n+3 2n+1 -2n2-n n+2 4n+3 - 4n-2 §a thøc 2n +3n+3 kh«ng chia hÕt cho ®a thøc(2n-1) nhng cã nh÷ng gi¸ trị nguyên n để giá trị 2n2+3n+3 chia hết cho giá trị 2n-1 VËy (2n-1) ph¶i lµ ¦(5)= 1; 5 2n-1=1 2n-1=-1 2n-1=5 2n-1=-5 n=1 n=0 n=3 n=-2 VËy víi n=-2.0.1.3 th× gi¸ trÞ cña biÓu thøc 2n2+3n+3 chia hÕt cho gi¸ trÞ cña biÓu thøc (2n-1) 16 Lop8.net (17) phÇn ba KÕt luËn Dạy học giải các bài toán thông qua các phương pháp là nghệ thuật để giúp các em nắm bài, hiểu bài và có hứng thú, kỹ làm bài, là các bài tập khó luyện tập ,chuyên đề Dạy học các phương pháp tìm lời giải các bài toán có ý nghĩa quan trọng đòi hỏi người giáo viên phải say mê tìm tòi, học hỏi, nghiên cứu các phương pháp và cách vận dụng để dạy cho học sinh mình Tuy nhiên không phải tất các đối tượng học sinh chúng ta phải truyền tải các nội dung trên Mà cần xác định đúng đối tượng để cung cấp kiến thức phù hợp với trình độ và quỹ thời gian học Cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức từ đến phức tạp để tạo tiền đế cho học sinh có tư sáng tạo việc giải c¸c bµi to¸n n©ng cao Bản thân tôi nghiên cứu đề tài này, áp dụng dạy cho học sinh khèi vµ thu ®îc kÕt qu¶ kh¶ quan Tôi mong muốn có nhiều ý kiến đóng góp và giúp đỡ các thầy cô giáo và bạn đọc Xin ch©n thµnh c¶m ¬n ! Ngµy 01 th¸ng 05 n¨m 2006 Người viết: Lương Thị Hương 17 Lop8.net (18) Gi¸o ¸n d¹y thùc nghiÖm TiÕt 15: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö vài phương pháp khác A Môc tiªu: - Häc sinh biÕt c¸ch ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b»ng c¸ch t¸ch hạng tử thành nhiều hạng tử và phương pháp thêm bớt cùng h¹ng tö - VËn dông linh ho¹t vµo gi¶i bµi tËp B ChuÈn bÞ cña gi¸o viªn vµ cña häc sinh - Học sinh đọc kỹ các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử §äc kü bµi míi ë nhµ - Giáo viên: Soạn bài, đọc tài liệu tham khảo, phấn màu C Hoạt động thày và trò I KiÓm tra bµi cò + Häc sinh 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö 1/2(x2+y2)-2x2y2=1/2[(x2+y2)-4x2y2] =1/2[(x2+y2)-(2xy)2] =1/2[(x2+y2-2xy) [(x2+y2+2xy)] =1/2[(x-y)2(x+y)2] GV: Em đã dùng phương pháp nào để phân tích đa thức thành nhân tử GV: Uèn n¾n c¸ch tr×nh bµy bµi cña häc sinh + Häc sinh 2: T×m x biÕt: (2x-3)2-(x+5)2=0 (2x-3+x+5)[2x-3-(x+5)]=0 (3x+2)(2x-3-x-5)=0 (3x+2)(x-8)=0 3x+2=0 x-8=0 x=-2/3 x=8 GV: Dùng phương pháp nào để phân tích vế trái thành nhân tử? A=0 A.B=0 B=0 GV: Ph©n tÝch x +5x+6 thµnh nh©n tö: Dùng các phương pháp đã học để phân tích đa thức trên thành nhân tử? HS: Không thể dùng các phương pháp đã học để phân tích 18 Lop8.net (19) GV: §ã chÝnh lµ néi dung bµi häc h«m nay! II Bµi míi GV: Giíi thiÖu néi dung bµi häc T¸ch mét h¹ng tö thµnh GV:HS: Ta kh«ng thÓ dïng c¸c nhiÒu h¹ng tö phương pháp đã học để phân tích đa a Phân tích x2+5x+6 thành nhân thøc trªn thµnh nh©n tö tö? ? Em nµo t×m ®îc c¸ch ph©n tÝch C1: x2+5x+6=x2+2x+3x+6 HS: Suy nghÜ c¸ch tr¶ lêi =(x2+2x)+(3x+6) GV:Nãi vµ ghi lªn b¶ng =x(x+2)+3(x+2) GV:Ta t¸ch 5x=2x+3x =(x+2)(x+3) áp dụng các phương pháp đã học để ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö GV:Häc sinh lªn b¶ng lµm bµi? C2: (x2+3x)+(2x+6) GV:Em đã dùng phương pháp nào để =x(x+3)+(2(x+3) ph©n tÝch? =(x+3)(x+2) GV:Cßn c¸ch nhãm kh¸c? GV:Em nào có cách khác để tách 5x? HS:Kh«ng GV:NhËn xÐt 6=2.3 5x=2x+3x GV:Tương tự ví dụ lớp suy b Phân tích x2-x-6 thành nhân tử nghÜ? x2-x-6=x2-3x+2x-6 HS: -6=-3.2 =(x2-3x)+(2x-6) x=2x+3x =x(x- 3)+2(x-3) GV:Gäi häc sinh lªn b¶ng lµm =(x-3)(x+2) bµi? GV:Cã c¸ch nhãm kh¸c GV:Mét ®a thøc kh«ng chøa thõa sè chung, kh«ng cã d¹ng mét h»ng đẳng thức đáng nhớ nào, không thể nhóm các số hạng, Ta biến đổi ®a thøc Êy thµnh ®a thøc Êy thµnh ®a thøc cã nhiÒu sè h¹ng h¬n GV:Muèn ph©n tÝch ®a thøc trªn c.Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö thµnh nh©n tö ta t¸ch h¹ng tö nµo? 3x2-8x-4 HS:Suy nghÜ tr¶ lêi? C1 3x2-8x-4=3x2-6x-2x+4 -8x=-6x-2x =(3x2-6x)-(2x+4) =3x(x-2)-2(x-2) 19 Lop8.net (20) GV:Cã thÓ t¸ch h¹ng tö kh¸c kh«ng? C2 3x2-8x-4=4x2-8x+4-x2 HS: 3x2=4x2-x2 =(4x2-8x+4)-x2 =(2x-2)2-x2 =(2x-2+x)(2x-2-x) =(3x-2)(x-2) GV:Cã mét sè bµi ph©n tÝch ®a thøc Thªm bít cïng mét h¹ng tö thµnh nh©n tö kh«ng thÓ dïng c¸c a Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n phương pháp đã học để phân tích tö x4+4 đó là phương pháp thứ hai GV:Nếu dùng phương pháp tách h¹ng tö thµnh nhiÒu h¹ng tö th× kh«ng thÓ lµm ®îc ë bµi to¸n trªn GV: Em nµo lµm ®îc? HS:Suy nghÜ tr¶ lêi? GV:H·y thªm bít cïng mét h¹ng tö x4+4=(x2)2+22 nào đó để phân tích Lưu ý có = (x2)2+4x2+22-4x2 tổng bình phương =(x+2)2-(2x)2 =(x2+2+2x)(x2+2-2x) GV:Có thể dùng phương pháp thêm bớt cùng hạng tử để phân tích đa thøc trªn thµnh nh©n tö kh«ng? HS:Suy nghÜ GV:Gäi häc sinh lªn b¶ng C¶ líp cïng lµm GV:Qua vÝ dô trªn häc sinh rót nhËn xÐt? GV: (chèt) Qua vÝ dô trªn ta nhËn thÊy thªnm, vµ bít cïng mét h¹ng tö làm xuất hiệu hai bình phương (VD a.) hoÆc lµm xuÊt hiÖn thõa sè chung nh ë ( VD b.) GV:Dùng phương pháp nào để phân tÝch ®a thøc nµy thµnh nh©n tö? Gäi häc sinh lªn b¶ng lµm bµi 21 Lop8.net b Ph©n tÝch thµnh nh©n tö: x7+x2+1= x7-x+x2+x+1 =(x7-x)+(x2+x+1) =x(x6-1)+( x2+x+1) =x(x3+1)(x3-1)+ (x2+x+1) =x(x3+1)(x-1)(x2+x+1)+( x2+x+1) =( x2+x+1)(x5-x4+x2-x+1) LuyÖn tËp t¹i líp Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö a x2-7xy+10y2 =x2-2xy-5xy+102 =(x2-2xy)-(5xy-10y2) (21)