Đối tượng : Được nhà trường phân công công tác chủ nhiệm và dạy toán lớp 7A2 , tôi thấy rằng trong nội dung truyền đạt cho các em học sinh khá giỏi học sinh lớp7 , không thể thiếu được m[r]
(1)HÖ thèng c¸c bµi tËp sö dông tÝnh chia hÕt cho häc sinh líp A Lý chọn đề tài : Trong năm gần đây , bên cạnh việc sử đổi nội dung chương trình , các phương pháp giảng dạy môn toán ngày cải tiến , đổi , nhằm nâng cao hiệu giáo dục và đào tạo Xuất phát từ yêu cầu đảm bảo thực tốt các mục đích dạy học với đối tượng học sinh, đồng thời khuyến khích, phát triển tối đa và tối ưu khả cá nhân , việc phát và bồi dưỡng học sinh khá giỏi là vấn đề khá quan trọng Trong quá trình bồi dưỡng học sinh khá giỏi , gi¸o viªn kh«ng nh÷ng gióp häc sinh n¾m v÷ng kiÕn thøc sgk, biÕt vËn dông kiÕn thøc vµo gi¶i bµi tËp n©ng cao, mµ cßn ph¶i gióp häc sinh đào sâu, mở rộng kiến thức ngoài sgk, tất nhiên dừng lại góc độ, yêu cầu định, không vượt quá tầm hiểu biết học sinh Có vây có tác dụng gây hứng thú học tập , phát triển tư độc lập, sáng tạo lô gíc, tổng hợp, rèn luyện cho học sinh khả tự học, tự đọc sách , thói quen nghiên cứu khoa học, nhìn nhận vấn đề nhiều khía cạnh kh¸c Với suy nghĩ trên, quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh khá giỏi, thân tôi đã cố gắng tìm tòi nội dung và phương pháp giảng dạy thích hợp, tôi đã cho học sinh tình “có vấn đề”, néi dung nµy cã chØ xuÊt ph¸t tõ mét bµi tËp cô thÓ , hay tõ mét néi dung kiÕn thøc sgk Mở rộng chuyên đề “Phương pháp chứng minh chia hết” là ví dụ cụ thể mà tôi đã áp dụng , thực giảng dạy và làm công tác tuyển chọn và bồi dưỡng học sinh giỏi năm vừa qua , đã mang lại kết định tôi xin mạnh dạn nêu để các bạn đồng nghiÖp tham kh¶o vµ gãp ý B Nội dung và phương pháp nghiên cứu : I C¬ së lý luËn : Chuyên đề “Phương pháp chứng minh chia hết” là kiến thức khá quan trọng và chương trình toán THCS , là công cụ giúp học sinh gi¶i ®îc nhiÒu bµi to¸n phøc t¹p , gióp häc sinh n¾m kiÕn thøc mét c¸ch có hệ thống và lô gíc, tạo tiền đề cho các em tiếp thu kiến thức cao h¬n , nh»m ph¸t triÓn tèt n¨ng lùc to¸n häc Đây là nội dung kiến thức nằm chương trình sgk , học sinh đã học , làm quen từ lớp ( chương II : Tính chất chia hết N ) , nhiªn c¶ lªn líp , víi néi dung “Béi vµ íc cña số nguyên” , đơn giản , học sinh có thể dàng nắm bắt định nghĩa và tính chất bội và ước số nguyên , các em chưa có kiến thức hệ thống “ các phương pháp chứng minh chia hết” Chính v× vËy mµ gi¸o viªn cÇn ph¶i cung cÊp cho häc sinh mét hÖ thèng “c¸c phương pháp chứng minh chia hết” , để học sinh nắm bắt và vận Lop7.net (2) dông vµo gi¶i bµi tËp mét c¸ch linh ho¹t vµ thµnh th¹o II Khảo sát chất lượng học sinh : Đối tượng : Được nhà trường phân công công tác chủ nhiệm và dạy toán lớp 7A2 , tôi thấy nội dung truyền đạt cho các em học sinh khá giỏi học sinh lớp7 , không thể thiếu chuyên đề hệ thống “các phương pháp chứng minh chia hêt”.Vì , trước sử dụng chuyên dề này , tôi đã tổ chức lần khảo sát chất lượng học sinh , xem trước học chuyên đề này , thì các em đã tiếp thu phương pháp chia hết đến đâu Đối tượng học sinh khảo sát là 12 em học sinh khá giỏi chọn từ líp 7A2 Néi dung kh¶o s¸t : Chøng minh r»ng: ( 210+211+212) 17 (5®) Chøng minh r»ng : TÝch cña sè nguyªn liªn tiÕp chia hÕt cho ( ®) KÕt qu¶ kh¶o s¸t : a §èi víi bµi : Ban ®Çu , c¸c em cã vÎ lóng tóng vµ bë ngì cha biÕt làm theo cách nào , số em tỏ lo ngại trước số mũ quá lớn , phần đa các em nhớ đến dấu hiệu chia hết , không áp dụng , số em l¹i tÝnh kÕt qu¶ cña tæng , nhng qu¸ khã kh¨n v× kÕt qu¶ lín mµ mµ kh«ng giải bài toán Trong số 12 em , thì có em ( đạt tỉ lệ 25%) biết cách áp dụng đặt nhân tử chung là 210 , áp dụng tính chất : Nếu a b th× (am) b ( a;b; m Z ) b §èi víi bµi to¸n : Mét sè em cha biÕt biÓu thÞ ba sè nguyªn liªn tiÕp, số em không biết phương pháp chứng minh và số em lại nghĩ đến dấu hiệu chia hết , có em biết để chứng minh chia hết cho 6; ph¶i chøng minh chia hÕt cho c¶ vµ ( v× (2;3) =1) , nhng l¹i kh«ng biÕt khai triển Kết có em biết làm ( đạt tỉ lệ 8,3 % ) , nhiên trình bµy dµi dßng vµ kh¸ lén xén KÕt qu¶ chung c¶ bµi cã : - §iÓm 9;10 : em ( 0%) - §iÓm 5;6 : em ( 16,7%) -§iÓm 7; 8: em ( 8,3%) -Điểm : em ( 75%) III néi dung: Trong quá trình chuyền đạt chuyên đề “ các phương pháp chứng minh chia hết” để học sinh có thể lĩnh hội cách có hệ thống, lôgic và nhuần nhuyễn, giáo viên cần cung cấp cho các em phương pháp chứng minh mét c¸ch tØ mØ, hÖ thèng, gi¶i nhiÒu vÝ dô vµ bµi tËp øng dông Phương pháp 1: ( Xét trường hợp số dư ) Để chứng minh A(n) k , ta xét trường hợp số dư chia n cho k VÝ dô : Chøng minh r»ng : TÝch n( n2+1)(n2+4) ( n Z ) Khi chưa đưa phương pháp 1, học sinh không định hình hướng giải, sau đưa phương pháp này, để học sinh tiếp cận và làm Lop7.net (3) quen , bước giáo viên dẫn dắt : Cần cho học sinh nhận biết A(n) là là biÓu thøc nµo ? ( A(n) = n ( n2+1)( n2+4) vµ häc sinh nhËn biÕt k=? (k=5) Yªu cÇu häc sinh cho biÕt chia cho 5, ta ®îc nh÷ng sè d nµo ? ( 0;1; 2 hay 0;1;2;3;4;) Gi¶i : Khi chia n cho , chØ cã sè d r lµ 1; 2 - NÕu r =0 n= 5k n A(n) -NÕu r = 1 n = 5k 1 n2= 25 k2 10k +1 n2+4 =25k210k +5 (n2 +4) A(n) -NÕu r = 2 n = 5k 2 (n2+1)= k2 20k +5 (n2 +1) A(n) Như trường hợp ta có A(n) Hay : n(n+1)(n2+4) ( n Z ) Ví dụ 2: Sau học sinh đã nắm phương pháp giáo viên đưa số ví dụ để học sinh tự áp dụng để làm : Chøng minh r»ng : ( n7- n) ( n Z ) Đã có trên 50 % học sinh biết biến đổi n7- n = n( n6-1) = n( n3+1)(n3-1) áp dụng phương pháp để làm , còn số em biết áp dụng phương pháp này sau đã gợi ý cách phân tích ( n7-n) Phương pháp :( Phân tích thành nhân tử ) §Ó chøng minh A( n) k ta ph©n tÝch k = p q NÕu ( p , q ) =1 ta chøng minh A( n) p A( n) q A( n) (p,q) A( n) k NÕu ( p , q ) Ta l¹i ph©n tÝch A( n) =B(n) C(n) Vµ chøng minh : B( n) p C(n) q B( n) C(n) (pq) A( n) k VÝ dô : Chøng minh A(n) = n ( n+1 ) ( n+2) Khi chưa đưa phương pháp 2, số em làm bài này cách áp dụng phương pháp 1, tức là xét trường hợp số dư chia cho 6, c¸ch nµy gÆp khã kh¨n Khi đã nắm phương pháp , thì gần 50 % học sinh đã phân tích : =2.3 vµ biÕt ( 2;3 ) = , nªn biÕt ¸p dông ®a bµi to¸n vÒ chøng minh - n( n+1)(n+2) - n( n+1)(n+2) §Õn ®©y c¸c em dÔ dang chøng minh ®îc Phương pháp 3:( Phân tích thành tổng ) Để chứng minh A( n) k , ta biến đổi A(n) thành tổng nhiều hạng tử và chøng minh mìi h¹ng tö chia hÕt cho k VÝ dô : Chøng minh (n3 -13n ) Lop7.net (4) Khi ®a vÝ dô nµy , ban ®Çu c¸c em kh«ng t×m c¸ch gi¶i , v× nÕu ¸p dụng đơn phương pháp và thì gặp khó khăn, đưa phương ph¸p 3, th× c¸c em n¾m b¾t ®îc c¸ch gi¶i ( cã kho¶ng 65 % häc sinh thùc hiÖn ®îc ) Gi¶i : A(n) = n3-13n =(n3-n ) -12n = n(n-1) (n+1) -12n (n-1) n(n+1) 12n A( n) Phương pháp 4: ( làm xuất thừa số k ) Để chứng minh : A( n) k , ta phân tích A(n) thành nhân tử, đó có mét thõa sè b»ng k VÝ dô : Chøng minh : ( n+2- 2n+2 +3n- 2n) 10 Sau đưa phương pháp 4, đã có 45 % học sinh biết cách phân tích : A(n) = ( n+2- 2n+2 +3n- 2n)= ( 3n.32 + 3n) - (2n 22+2n) = 3n(32+ 1) - 2n( 22+1)= 3n(9+1) - 2n-1.2.(4+1)=3n 10 - 2n-1.10= 10 ( 3n- 2n-1) 10 Cã kho¶ng 5,5% häc sinh ¸p dông ®îc sau gîi ý ph©n tÝch Phương pháp 5: ( dùng nguyên lý Đirichlê) “nhèt thá vµo ( n-1) c¸i lång, th× tån t¹i Ýt nhÊt mét c¸i lång nhèt thá trë lªn” Via dô : Chøng minh r»ng : Trong sè tù nhiªn, mçi sè cã ch÷ sè, chọn hai số mà viết hai số đó liền , ta số cã ch÷ sè vµ chia hÕt cho Đây là bài toán tương đối khó và mẻ học sinh , đó giáo viên phải kết hợp đưa câu hỏi gợi mở và hướng dẫn học sinh làm PhÇn ®a c¸c em nhËn xÐt ®îc: Khi chia mét sè cho 7, ta cã sè d lµ mét c¸c sè 1;2;3;4;5;6 Cã sè d , mµ ta l¹i lÊy sè tù nhiªn chia cho , th× sè tù nhiªn ph¶i cã Ýt nhÊt sè cïng sè d chia cho §Õn ®©y chØ cã gÇn 40 % häc sinh biÕt biÓu diÔn sè tù nhiªn cã ch÷ sè cïng sè d chia cho lµ : abc = 7k + r vµ mnp = h + r Thµnh sè cã ch÷ sè abcmnp = abc 1000 + mnp = ( 7k + r) 1000 + (7 h +r)= 7( 1000k+h ) + 1001.r = ( ( 1000k +h ) + 7.143 r ) Phương pháp qui nạp :( Qui nạp toán học ) Đây là phương pháp mẻ các em , trước hết giáo viên đưa phương pháp giải qui nạp toán học , cho học sinh vận dụng vào gi¶i bµi tËp §Ó chøng minh A( n) k ( n a) Bước1 : Thử thấy A( n) k đúng với giá trị n=a Bước 2: Giả sử A( n) k đúng với n= h ( giả thiết qui nạp ) ( h Z ; h a ) Bước : Dùng giả thiết qui nạp để chứng minh : A( n) k đứng với n= h+ Lop7.net (5) Bước : Kết luận A( n) k (n Z ; n a; a Z ) VÝ dô : Chøng minh ( 7n +1) ( n N*) Khi đã nắm đựoc phương pháp chứng minh tổng quát , đa số các em vận dụng làm bước và bước Thử ; mệnh đề đúng với n= vì 70 +1 = Giả sử : ( 2.7h + ) ( mệnh đề đứng với n= h ) ( h N*) Ta ph¶i chøng minh : ( 2.7h +1 + ) Đến đây có khoảng 65 % học sinh vận dụng giả thiết qui nạp để chøng minh ®îc r»ng : 2.7h +1 + = ( 7h ) + ( 7-6 ) = 7( 7h +1) + ( -6) Ta có : ( 7h + 1) ( vì ( 7h + 1) theo gt qui nạp ) và (6) Từ đó suy : ( 7h + 1) mệnh đề đứng với n= h + ) Rồi đến kết luận Bµi tËp rÌn luyÖn : Sau đưa hệ thống phương pháp chứng minh chia hết , giáo viên cho học sinh luyện tập số bài tập áp dụng , để khắc sâu kiến thức và rèn luyÖn kü n¨ng vËn dông kiÕn thøc vµo gi¶i bµi tËp , rÌn luyÖn t logic , sáng tạo cho học sinh, yêu cầu học sinh độc lập cao độ các khâu phát , giải vấn đề và trình bày bài làm mình Bµi : Chøng minh :( 3n+2+3n+1+2n+3+2n+2) b Chøng minh hai sè n vµ n5 cã ch÷ sè tËn cïng b»ng ®a bµi tập này , thì có đến 75% học sinh đã vận dụng làm bài a c¸ch ph©n tÝch : A(n) = 3n.( 32+3)+ 2n( 23+22) = 3n 12 +2n.12= 12.(3n +2n) Cßn bµi b , ®a sè c¸c em lóng tóng , gi¸o viªn chØ gîi ý r»ng : NhËn xÐt hiệu chữ số tận cùng giống , hiệu đó chia hết cho ? Khi đó đã có đến gần 60 % học sinh nhận phải chứng minh : ( n5 - n ) 10 đến đây có khoảng 40% học sinh biết cách phân tích ( n5 - n) thành dạng tÝch vµ chøng minh ( n5- n chia hÕt cho c¶ vµ ( 2; ) =1 ( n5 - n) 10 nh sau ; n5 - n = n ( n4-1) =n( n+1) ( n-1) (n2+1) =( n+1)n ( n-1)( n2- 4+5) = ( n-2) ( n-1) n( n+1)n ( n+2)+ 5( n-1)n ( n+1) = A1 + A2 A1 (v× ( n-2) ( n-1) 2) A1 (v× tÝch n¨m sè tù nhiªn liªn tiÕp 5) A1 10 A1 (v× ( n-2) ( n-1) 2) A1 (v× cã thõa sè ) A1 10 vËy ta cã : ( n5 - n) 10 Bµi : Chøng minh r»ng : Lop7.net (6) a n(2n+1 ) ( 7n+1 ) ( n Z) b A=75( 41993 +41992+ + +1 ) +25 100 c Trong c¸c sè tù nhiªn , thÕ nµo còng cã sè k, cho ( 1983 k- 1) 105 Do học hệ thống phương pháp chứng minh trên , nên các em đã nhận dạng các bài tập và vận dụng phương pháp giải hợp lý Đối với bài 2a , đã có tới 55% , học sinh giải phương pháp phương pháp ( nhân vào và đưa dạng tổng có hạng tử ) nh sau : A(n) = n( 2n+1) ( 7n+1) = 1n3 + n2 +n = ( 12n3 +6n2)+ ( 2n3 - 2n ) +( 2n+3n2+n) = 6( 2n3 +n2 )+ 2( n-1) ( n+1)n + 3n ( n+1) Từ đó suy : A( n) - §èi víi bµi 1b , cã phÇn khã h¬n , nªn cã kho¶ng 40% häc sinh biÕt sö dụng phương pháp để đưa A dạng tích đó có thừa số 100 nh sau : A= 3.25 ( 41993 +41992+ + +1 ) +25 =(4-1) 25 ( 41993 +41992+ + +1 ) +25 = ( ( 41993 +41992+ + +1 )- ( 41993 +41992+ + +1 ) 25 +25 = ( 41994 -1) 25 +25 = 25 41994 = 100 41993 100 Đối với bài 2c , có khoảng 3,5 % học sinh biết dùng phương pháp Đirichlê nh sau : XÐt d·y sè : 19983 ; 19832 ; 198310 gåm 105 sè , chia cho 105 sè sÏ có tối đa là 105 -1 số dư ( vì các số đó không có số nào chia hết cho 105, nên không thể có số dư là ) Do đó tồn hai số có cùng số dư , giả sö lµ : 1983 i - j vµ 1983 ( i ; j N ) ; ( i j 10 ) Ta cã 1983i -1983j = 1983 i ( 1983 i - j -1) 105 Mµ : ( 1983 ; 10 ) = ( 1983 i ; 10 ) = ( 1983 i - j -1) 105 VËy tån t¹i sè k N cho : ( 1983 k - 1) 105 Bµi tËp vÒ nhµ : Để khắc sâu và củng cố kiến thức , rèn luyện kỹ vận dụng, độc lập sáng tạo học sinh, giáo viên thêm số bài tập nhà để học sinh rÌn luyÖn thªm Bµi : Chøng minh : n( n+2 ) ( 25 n2 - ) 24 ( n N) Bài 2: Tìm n để các biểu thức sau nguyên : n 3 n 1 2n 4n b n 1 a Bµi : Chøng minh r»ng : a a+4b 13 10a +b 13 Lop7.net (7) b 3a + 2b 17 10 a + b 17( a; b N) Với bài tập này , đã có 80 % học sinh làm đầy đủ, còn lại làm đến hai bài IV Kiểm nghiệm chất lượng học sinh Sau triển khai hoàn chỉnh chuyên đề “các phương pháp chứng minh chia hết” cho đối tượng học sinh khá giỏi lớp 7, tôi đã khảo sát lại chất lượng học sinh, với nội dung sau : Chøng minh : ( k4 + k3 - 16 k2 - 2k + 15 ) 16 ( k nguyªn , lÎ ) ( ®) Chøng minh : B + ( n2 + 4n+ ) ( ®) Chøng minh : C = ( 42n+2 - 1) 15 ( n N) ( ®) Kết thật đáng phấn khởi, có khoảng 75 % học sinh ( tức là 9/12 em đã áp dụng giải đầy đủ đúng bài, số đó có em ( tức là 50%) trình bày tốt , còn lại các em làm đến hai bài Một điều là các em đã không còn lúng túng hay e ngại trước bài toán chứng minh chia hết , ngược lại đã có nhiều em tìm tòi thêm tài liệu tham khảo , để tìm thêm các bài tập dạng này để thử sức, qua đó c¸c em thªm phÇn yªu thÝch m«n to¸n h¬n * KÕt qu¶ c¶ bµi cã : - §iÓm 9;10 : em ( 50 %) - §iÓm 7;8 : em ( 25 % ) - §iÓm 5;6 ; em ( 16,7%) - Điểm : em ( 8,3 % ) C Bµi häc kinh nghiÖm: Vì chuyên đề “Các phương pháp chứng minh chia hết” là kiến thức sử dụng đới với học sinh khá giỏi, nên cần phải có hình thức tổ chức hợp lý và phù hợp với đối tượng học sinh Chuyên đề này, các bài tập áp dụng phong phú và đa dạng, cần phải áp dụng tổng hợp và linh hoạt các kiến thức vì đòi hỏi người học phải có trình độ nhận thức và tư tương đối cao Trong quá trình giải toán áp dụng chuyên đề này, phải hiểu và sử dụng chÝnh x¸c c¸c thuËt ng÷ vµ kÝ hiÖu to¸n häc ( nh kÝ hiÖu chia hÕt , kh«ng chia hÕt , béi , íc , tËp hîp , thuéc ) Trong quá trình ôn luyện và bồi dưỡng học sinh khá giỏi phải chú trọng đến kiến thức sgk, bước nâng cao yêu cầu, để đạt tới hoạt động vận dụng tổng hợp , phức tạp, để phát huy các lực tư to¸n häc cña häc sinh , tøc lµ ph¶i phï hîp víi quan ®iÓm ho¹t déng học tập Tất nhiên phải dựa trên nguyen tắc đảm bảo tính hợp logic, tính khoa học, tính sư phạm, và đặc biệt là đảm bảo tính hiệu công tác giảng dạy nói chung và công tác bồi dưỡng học sinh khá giỏi nói riªng D kÕt luËn chung : Lop7.net (8) Trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh khá giỏi, muốn khắc s©u, cñng cè kiÕn thøc, rÌn luyÖn t l«gic vµ s¸ng t¹o, g©y høng thó häc tËp cho häc sinh, ngoµi viÖc gióp häc sinh n¾m v÷ng vµ vËn dông thµnh th¹o kiÕn thøc sgk , th× gi¸o viªn cÇn ph¶i cã sù ®Çu t, tæng hîp, nâng cao, mở rộng, đào sâu kiến thức ngoài sgk Trªn c¬ së nh÷ng kinh nghiÖm nh÷ng kinh nghiÖm cu¶ b¶n th©n vµ vËn dụng quan điểm hoạt động vào việc giải các bài toán chứng minh chia hết , tôi đã trình bày phương pháp nhỏ nhiều phương pháp phát triển lực toán học học sinh khá giỏi thông qua chuyên đề “các phương pháp chứng minh chia hết” Để thực đề tài này , tôi đã kết hợp kinh nghiệm thân với tham khảo tài liệu và ý kiến bạn bè đồng nghiệp Tuy nhiên không tránh khỏi khuyến khuyết và hạn chế định Tôi mong góp ý chân thành bạn bè đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện, có sức thuyết phục và đạt hiệu cao quá trình thực nghiệm t«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n Lop7.net (9)