Tính các tổng được viết theo quy luật

Trong chương trình toán học ở bậc trung học cơ sở các bài toán tính các tổng được viết theo quy luật là một dạng toán khá hay, thường xuất hiện nhiều trong các đề thi học sinh giỏi lớp 6[r]

Phần I: Một số vấn đề chung I Lý chọn đề tài : To¸n häc lµ mét m«n häc cã tÝnh chÊt rÊt quan träng viÖc ph¸t triÓn vµ rÌn luyÖn kü n¨ng, t­ s¸ng t¹o, kü n¨ng ph©n tÝch tæng hîp, tÝnh cÈn thËn, kiªn tr×, tÝnh chÝnh x¸c, n¨ng lùc s¸ng t¹o vµ kh¶ n¨ng t­ l«gÝc cho häc sinh Trong chương trình toán học bậc trung học sở các bài toán tính các tổng viết theo quy luật là dạng toán khá hay, thường xuất nhiều các đề thi học sinh giỏi lớp 6, lớp Nhà toán học Gau-xơ lúc bảy tuổi đã lµm thÇy gi¸o cña m×nh ph¶i ng¹c nhiªn tÝnh ®­îc tæng      100 cách nhanh chóng và độc đáo Để phân dạng và tìm phương pháp giải cho dạng bài toán giải phương trình Nhằm trang bị cho các em học sinh số phương pháp và kỹ tính các tổng viết theo quy luật Tôi đã sâu nghiên cứu chuyên đề nµy II Mục đích nghiên cứu: 1) §èi víi gi¸o viªn Xây dựng sở lý thuyết, các phương pháp giải các bài toán “Tính các tæng ®­îc viÕt theo quy luËt” Phân dạng, xây dựng hệ thống các bài tập theo chuyên đề riêng phù hợp với đối tượng học sinh, có phương pháp giải dạng 2) §èi víi häc sinh Nắm các phương pháp giải các bài toán “Tính các tổng viết theo quy luËt” Vận dụng tốt các phương pháp giải toán để làm bài tập Lop6.net Phát huy khả độc lập suy nghĩ và tư sáng tạo việc giải toán III Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: Đối tượng: Học sinh lớp 6,7 Ph¹m vi : C¸c bµi to¸n: “TÝnh c¸c tæng ®­îc viÕt theo quy luËt” IV Phương pháp nghiên cứu: Nghiªn cøu lý luËn: - Đọc tài liệu sách tham khảo có liên quan đến đề tài - T×m hiÓu c¸c d¹ng to¸n “TÝnh c¸c tæng ®­îc viÕt theo quy luËt” Nghiªn cøu thùc tÕ: - Kh¶o s¸t kü n¨ng gi¶i bµi to¸n “TÝnh c¸c tæng ®­îc viÕt theo quy luËt” ë c¸c líp giảng dạy, và các lớp bồi dưỡng học sinh giỏi - Dự trao đổi ý kiến với giáo viên, đặc biệt là các giáo viên tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi PhÇn II : Néi dung Lop6.net A C¬ së lÝ thuyÕt TÝnh chÊt cña phÐp céng - TÝnh chÊt giao ho¸n: a  b  b  a - TÝnh chÊt kÕt hîp: (a  b)  c  a  (b  c) - TÝnh chÊt céng víi 0: a   a - Tính chất phân phối phép nhân phép cộng: a(b  c)  ab  ac Phương pháp chung: - Để tính các tổng viết theo quy luật trước hết chúng ta cần tìm quy luật viết các số hạng tổng Sau đó biến đổi để xuất các số hạng đối từ đó giản ước, rút gọn để tính kết - Để tính tổng A số trường hợp chúng ta tính k A (k là số khác 0) từ đó suy A B Các Bài toán và phương pháp giải: VÝ dô 1: TÝnh A       100 Gi¶i: C¸ch 1: A       100  (1  100)  (2  99)  (3  98)   (50  51) (cã 50 ngoÆc)  101  101  101   101 (cã 50 sè h¹ng)  50.101  5050 C¸ch 2: A       100 A  100  99  98   Do đó: A  101  101  101   101 (có 100 số hạng) A  100.101 A 100.101 A  5050 Lop6.net Nhận xét: - Trong cách 1, việc xác định hai số hạng ngoặc cuối có vẻ khó kh¨n - Cách tính thứ hai tổng quát hơn, việc xác định số số hạng đơn giản *Hãy giải bài toán trường hợp tổng quát ? TÝnh B       n KQ : B       n  n(n  1) ¸p dông: TÝnh: C       100 D       101 H·y nªu vµ gi¶i bµi to¸n tæng qu¸t ? VÝ dô 2: TÝnh E  1.2  2.3  3.4   99.100 Gi¶i: 3 NhËn xÐt: n(n  1)  n(n  1)(n  2)  (n  1) n(n  1)(n  2)  (n  1)n(n  1) Do đó: Lần lượt cho n=1, 2, 3, ,99 ta được: 1.2.3  0.1.2 2.3  2.3.4  1.23 3.4  3.4.5  2.3.4  99.100  99.100.101  98.99.100  1.2  Do vËy E  1.2  2.3  3.4   99.100  99.100.101  333300 *Còng tõ nhËn xÐt trªn ta cã: 3n(n  1)  n(n  1)(n  2)  (n  1)n(n  1) Lop6.net nªn ta cã thÓ tr×nh bµy bµi gi¶i theo c¸ch kh¸c nh­ sau: Ta tính 3E sau đó thay 3-0 ; 4-1 ; 5-2; 3E  1.2.3  2.3.3  3.4.3   99.100.3  1.2.(3  0)  2.3.(4  1)  3.4.(5  2)   99.100(101  98)  1.2.3  1.2.3  2.3.4  2.3.4  3.4.5   98.99.100  98.99.100  99.100.101  99.100.101 Do đó : E  99.100.101  333300 Bµi tËp vËn dông TÝnh: F  1.2  2.3  3.4   n(n  1) TQ: F  1.2  2.3  3.4   n(n  1)  n(n  1)(n  2) G  1.2.3  2.3.4  3.4.5   48.49.50 HD: TÝnh 4G H  1.2.3  2.3.4  3.4.5   n(n  1)(n  2) I  1.3  2.4  3.5   97.99  98.100 K  1.3  3.5   2001.2003 R  12  22  32   97  982 ( h·y nªu vµ gi¶i bµi to¸n tæng qu¸t?) U  1.99  2.98  3.97   98.2  99.1 V  20  60  120  99000 M  1.4  4.7   16.19 N  1.5  5.9   25.29 P  1.6  6.11  11.16   21.26 VÝ dô 3: TÝnh M  1 1     1.2 2.3 3.4 49.50 Gi¶i: Lop6.net NhËn xÐt: 1 1    1.2 1.2 32 1    2.3 2.3 50  49 1    49.50 49.50 49 50 Nªn ta tr×nh bµy nh­ sau: M  1 1     1.2 2.3 3.4 49.50 1   50  49     1.2 2.3 3.4 49.50  1 1 1 1          2 3 49 50 1   50  49 50 * Hãy giải bài toán trường hợp tổng quát ? TQ: 1 1 n      1.2 2.3 3.4 n(n  1) n  Chó ý: k (a  k )  a 1    a(a  k ) a(a  k ) a ak 53 1    3.5 3.5 VD: (n  N *) 174    4.7  4.7  VÝ dô 4: TÝnh N (a=3 , k=2) 11 1    3 7 1 1     1.2.3 2.3.4 3.4.5 44.45.46 Gi¶i: Tương tự ví dụ trên ta có: Lop6.net 1 1     1.2.3 2.3.4 3.4.5 44.45.46 N   1   46  44         1.2.3 2.3.4 3.4.5 44.45.46   1 1 1 1 1             1.2 2.3 2.3 3.4 3.4 4.5 44.45 45.46   1 1      1.2 45.46  = H·y nªu vµ gi¶i bµi to¸n tæng qu¸t ? VÝ dô 5: TÝnh M  1 1     1.3 3.5 5.7 49.51 NhËn xÐt:      51  49  Nªn ta tÝnh M nh­ sau: M  1 1     1.3 3.5 5.7 49.51  1 2 2         1.3 3.5 5.7 49.51    1   51  49         1.3 3.5 5.7 49.51    1   51  49         1.3 3.5 5.7 49.51   1 1 1 1 1           1 3 5 49 51   1 1 1    51   25 51 C¸c em còng cã thÓ tr×nh bµy nh­ sau: Lop6.net Ta c ã: 2M   2 2     1.3 3.5 5.7 49.51 1   51  49     1.3 3.5 5.7 49.51 1 1 1 1          3 5 49 51  1  M  51 50 51 50 25 :2  51 51 Khai th¸c bµi to¸n: *TÝnh:1) M  5 5     1.3 3.5 5.7 49.51 2) M  22 22 22 22     1.3 3.5 5.7 49.51 * Cho M  1    1.3 3.5 5.7 1) H·y viÕt sè h¹ng tæng qu¸t cña M 2) TÝnh M biÕt M cã 100 sè h¹ng VÝ dô 6: Cho d·y sè: 1 1 , , , , 28 70 130 a) H·y viÕt sè h¹ng tæng qu¸t thø n cña d·y b) T×m sè h¹ng thø 50 cña d·y c) TÝnh tæng 50 sè h¹ng ®Çu tiªn cña d·y Gi¶i: Dãy số đã cho có thể viết lại sau: 1 1 , , , , 1.4 4.7 7.10 10.13 Lop6.net a) Xét các mẫu dãy: Ta thấy thừa số thứ mẫu chia cho d­ (hay chia cho thiÕu 2) nªn cã d¹ng: 3n  2 ; thõa sè thø hai mçi mẫu chia cho dư nên có dạng: 3n  1 Do đó số hạng tổng quát thứ n dãy là: b) Sè h¹ng thø 50 cña d·y lµ: 3n  23n  1 1  3.50  23.50  1 148.151 c) Gäi tæng 50 sè h¹ng ®Çu tiªn cña d·ylµ A: Ta cã: A  1 1     1.4 4.7 7.10 148.151 (C¸c b¹n tù tÝnh tiÕp) Bµi tËp vËn dông : Bµi 1: TÝnh A 1 1     1.2.3 2.3.4 3.4.5 n(n  1)(n  2) B 1 1     1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 27.28.29.30 C 1 1     1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 n(n  1)(n  2)(n  3) D 3    2.5 5.8 17.20 E 3    5.7 7.9 59.61 F 52 52 52    1.6 6.11 26.31 G  1 H I 1 1 1      10 15 28 21 1    200 600 11000 1 1     24 120 1320 Lop6.net n  N * Bµi 2: TÝnh A 2    3.6.9 6.9.12 102.105.108 B 1    1.4.7 4.7.10 6001.6004.6007 C 1 1     12 20 132 D 1 1 1      91 247 475 775 1147 E 1 1 1       10 20 30 42 56 72 90 F 1 1 1 1 1 1 1              12 15 20 30 35 42 56 63 72 90 99 Bµi 3: T×m sè tù nhiªn n biÕt: 1 2005      10 n(n  1) 2006 Bµi 4: T×m x biÕt: 1 1 101      5.8 8.11 11.14 x( x  3) 1540 Bµi 5: TÝnh 15 24 2499 A  16 25 2500 1 1 B  (1  )(1  )(1  )(1  ) (1  ) 10 15 780 C  (1  11 11 11 11 )(1  )(1  ) (1  ) 13 28 45 220 D  (1  1 1 )(1  )(1  ) (1  ) 2 n       E  1  1   1   2.3  3.4   n(n  1)        F  1  1  1   1    1.3  2.4  3.5   98.100  10 Lop6.net Bµi 6: Chøng minh r»ng: a) 100  (1     b)      1 99 )      100 100 1 1      199 200 101 102 200 Bµi 7: Chøng minh r»ng (1  1 1 1 1 1    )  (     )     99 100 51 52 53 100 Bµi 8: Cho d·y sè 1 1 , , , , , 45 117 221 357 a) H·y viÕt sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y b) T×m sè h¹ng thø 100 cña d·y c) Chøng tá r»ng tæng 100 sè h¹ng ®Çu cña d·y nhá h¬n Bµi 9: TÝnh tæng: S   11  111   111 111     n sè Bµi 10: TÝnh tæng: S   x  x  x   nx n 1 ( x  1) Bµi 11:TÝnh tæng: S  1.1!2.2!3.3!  n.n! víi n! 1.2.3 n Bµi 12: So s¸nh a) A      1000 vµ B  1.2.3 11 b) A      1000000 vµ B  1.2.3 20 Bµi 13: TÝnh nhanh A  12345.678910(234234.233  233233.234) B 16.17  16.16  11 C 45.16  17 28  45.15 11 Lop6.net D 1987.35  1915 1985 E 1.3.6  2.6.12  4.12.24  7.21.42 1.2.3  2.4.6  4.8.12  7.14.21 1 1 F  1     2007 20062006.2007  2006.20072007 :      13 14 15  G  3.3 14  6.17.12  19.4.18 H I 2002.2003  45 1958  2003.2001 453.138  110 206  137.454  252525 252525 252525  K  70.     565656 727272 909090  5   17 89 113 M  11 11 11 11    17 89 113 5   N  22 13   13 11 Bµi 14 : TÝnh A  (1  2)  (1   3)   (1     98) 1.98  2.97  3.96   98.1 B 1.98  2.97  3.96   98.1 1.2  2.3  3.4   98.99 Bµi 15: TÝnh 1   1 1   1 A  1      :       97 99   1.99 3.97 5.95 97.3 99.1     99 98 97 1 1 1 B           :  100   91  2 12 Lop6.net Bµi 16: CMR : 49 48 47 1  1 1       50      48 49 50  2  1999  1999  1999   1999  1  1  1   1       1000   TÝnh A   1000  1000  1000   1000  1  1  1   1       1999   Bµi 17: Bµi 18: TÝnh a)  1 1 b)  2 2 VÝ dô 7: BiÕt r»ng 12  2  32   10  385 TÝnh nhanh: S  2     20 Gi¶i: S  2     20  (2.1)  (2.2)   (2.10)  2.12  2.2   2.10  2 (12  2   10 )  4.385  1540 Như vậy, đặt P = 12  2    10 thì S = 4P Do đó cho S ta tính P Ta cã bµi to¸n: Cho S  2     20  1540 TÝnh P = 12  2    10 Bµi 1: BiÕt r»ng 12  2    10  385 TÝnh 0.5  12  1.5   Bµi 2: BiÕt r»ng 12  2    10  385 TÝnh 0.25  0.5  0.75   2.5 Nhận xét: Chúng ta có thể tăng số mũ các luỹ thừa để có các bài toán khác: Bµi 3: BiÕt r»ng 13   33   10  3025 TÝnh nhanh: S      20 Bµi 4: BiÕt r»ng 14     10  25333 TÝnh nhanh: S   4    20 13 Lop6.net VÝ dô 8: Cho A     11  14  17   98  101 a) ViÕt sè h¹ng tæng qu¸t thø n cña A b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A Hướng dẫn: a) A gåm c¸c sè chia cho d­ 2, tøc lµ chia cho thiÕu 1, c¸c sè nµy mang dÊu “+” nÕu n lÎ vµ mang dÊu “-“ nÕu n ch½n - D¹ng tæng qu¸t sè h¹ng thø n cña A lµ (1) k 1 (3k  1) víi k  1, 2, , n hoÆc (1) k 1 (3k  2) víi k  0, 1, 2, , n b) gép thµnh tõng nhãm hai sè ®­îc: (-3).17 = -51 VÝ dô 9: TÝnh B       11   397  399 Hướng dẫn: B       11   397  399 C1: Céng tõng nhãm sè ta ®­îc ( -8).50 = -400 C2: Céng tõng nhãm hai sè (1+(-3) ; 3+(-7) ta ®­îc: (-4) 100 = -400 VÝ dô 10: Cho A         99  100 a) A cã chia hÕt cho 2, cho 3, cho kh«ng ? b) A cã bao nhiªu ­íc tù nhiªn, ­íc nguyªn Gi¶i: a) Gộp thành nhóm số, ta 25 nhóm, nhóm -4 Do đó 100 V× thÕ A chia hÕt cho 2, chia hÕt cho 5, kh«ng chia hÕt cho c) XÐt 100  2.5 nªn A cã ­íc tù nhiªn, cã 18 ­íc nguyªn  1,  2,  4,  5,  10,  20,  25,  50,  100 Bµi tËp: Bµi 1: Cho A     13  17  21  25  a) ViÕt sè h¹ng thø n cña A b) TÝnh A A cã 100 sè h¹ng 14 Lop6.net A=- Bµi 2: TÝnh A           1999  2000  2001  2002  2003 VÝ dô 11: TÝnh A    2    99 Gi¶i: A    2    99 nªn A   2     99  2100 Do đó: A  A  2100  A  2100  Bµi tËp vËn dông: Bµi 1: TÝnh B      50 C   a  a   a n a  1 D  1 1 1     100 2 2 E  1 1 1     n a a a a F    2    2000 G       1024 H 1 1     27 729 I       2006 Bµi 2: So s¸nh A vµ B biÕt A    2    2006 vµ B  2007 Bµi 3: Cho S    2    99 a) Chøng minh r»ng: S chia hÕt cho b) Chøng minh r»ng: S chia hÕt cho 31 => Hãy nêu bài toán tương tự bài toán trên 15 Lop6.net Bài 4: Chứng minh tổng A  71      k ( đó k là số tự nhiªn) chia hÕt cho 400 Bµi 5: Chøng minh biÓu thøc : A  75(4 2005  2004    5)  25 Chia hÕt cho 2006 Bµi 6: Cho A       2007 T×m ch÷ sè tËn cïng cña A Bµi 7: Cho M   3    2007 Chøng minh r»ng M chia hÕt cho 13 vµ 41 Bµi 8: Chøng minh: 53 ! - 51 ! chia hÕt cho 29 Bµi 9: TÝnh A  25 28  25 24   25  25 30  25 28   25  Bµi 10: H·y chøng tá r»ng tæng: S 1 1     kh«ng ph¶i lµ sè tù nhiªn 16 H·y ph¸t biÓu vµ chøng minh bµi to¸n tæng qu¸t? Bµi 11: Cho A      96 a) Chøng minh r»ng A chia hÕt cho 126 b) T×m ch÷ sè tËn cïng cña A C bài học kinh nghiệm và ý kiến đề xuất Việc phân chia kiến thức theo chuyên đề và chuyên đề phân chia theo dạng bài, loại bài là cần thiết Điều đó giúp các em có thể sâu , phân tích đánh giá đầy đủ đến nội dung kiến thức Vì chúng ta phải coi đây là việc làm thường xuyên, cần thiết nhằm làm cho kÕt qu¶ häc tËp cña c¸c em cao h¬n Trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y kh«ng nh÷ng gi¸o viªn ph¶i tù nghiªn cøu, ph©n tÝch tæng hîp kiÕn thøc mµ cÇn ph¶i chó träng viÖc d¹y cho häc sinh biÕt c¸ch 16 Lop6.net ph©n d¹ng c¸c bµi tËp, tæng hîp kiÕn thøc §©y lµ nhiÖm vô chÝnh cña gi¸o viªn qu¸ tr×nh d¹y häc vµ gi¸o dôc Qua nhiều năm giảng dạy trường THCS Dĩnh Trì tôi nhận thấy lực học tập các em trường tốt Tôi đã triển khai đề tài trường và có kÕt qu¶ tèt Từ đó tôi xin đề xuất: - Khi vận dụng đề tài, với khối lớp giáo viên có thể lựa chọn phạm vi kiến thức và lượng bài tập cho phù hợp với lực đối tượng học sinh - Vì đề tài áp dụng chủ yếu cho học sinh khá giỏi nên áp dụng giáo viên hãy áp dụng phương pháp gợi mở (nếu cần) và có thể yêu cầu học sinh khai thác bài toán nhiều khía cạnh khác nhau: Tương tự hoá, tổng quát hoá bài toán, vận dông bµi to¸n sang bµi to¸n kh¸c, t×m tÝnh chung vµ tÝnh riªng cho tõng bµi, tõng dạng bài Nhưng bên cạnh đó có thể chọn bài toán và cần thiết để dạy cho các đối tượng học sinh trung bình PhÇn III : KÕt luËn Trªn ®©y lµ mét vµi kinh nghiÖm nhá cña t«i sau d¹y häc sinh gi¶i c¸c bài toán bồi dưỡng học sinh giỏi “Tính các tổng viết theo quy luật” nh÷ng n¨m võa qua Trong thùc tÕ gi¶ng d¹y t«i nhËn thÊy sau ¸p dông chuyên đề trên thì: - Các em học sinh đã biết phân dạng và nhận biết các dạng bài toán “Tính các tổng viết theo quy luật” cách đúng đắn và chính xác 17 Lop6.net - Thông qua đánh giá ôn tập và kết các kì thi thì đa số các em đã biết phương pháp giải và giải tốt dạng toán này - Tuy nhiªn víi sù hiÓu biÕt vµ kinh nghiÖm gi¶ng d¹y còng nh­ thêi gian cßn nhiÒu h¹n chÕ, nªn kh«ng tr¸nh khái nh÷ng thiÕu sãt nghiªn cøu vµ gi¶ng d¹y chuyên đề này Vậy thân tôi kính mong các thầy cô giáo đã có nhiều kinh nghiệm giảng dạy, các đồng nghiệp đóng góp ý kiến, phê bình để chuyên đề đầy đủ h¬n Xin ch©n thµnh c¸m ¬n! Ngµy 10 th¸ng n¨m 2007 Người viết NguyÔn ThÞ H»ng Tµi liÖu tham kh¶o : 1/ S¸ch gi¸o khoa , SBT To¸n 6, (NXBGD) 2/ Một số vấn đề phát triển đại số 6,7 (Vũ Hữu Bình) 3/ T¹p chÝ To¸n tuæi th¬, To¸n häc vµ tuæi trÎ ( NXB GD) 4/ Các đề thi học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh (Bắc Giang) 18 Lop6.net 19 Lop6.net 20 Lop6.net