1 Chứng minh với Bài 2: (2 điểm) Giải toán cách lập phương trinh: Một tàu thủy chảy xi dịng khúc sơng dài 144km, sau chạy ngược dịng khúc sơng 100km hết tất 11 Tính vận tốc riêng tàu biết vận tốc dòng nước km/h Bài 3: (2 điểm) Giải hệ phương trình: 3 ( x + 3) + y − = ( x + 3) − = y−2 y = ( m − 2) x + m≠2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét đường thẳng (d): với a Gọi A giao điểm đường thẳng (d) với trục Oy Tìm tọa độ điểm A b Tìm tất giá trị m để (d) cắt trục Ox điểm B cho tam giác OAB cân Bài 4: (3,5 điểm) Cho đường trịn (O;R), đường kính AB Kẻ tia tiếp tuyến Ax với đường tròn (O) Trên Ax lấy điểm P cho AP>R Kẻ tiếp tuyến PM với đường tròn (O) (M tiếp điểm) Chứng minh điểm A, P, M, O thuộc đường trịn Đường thẳng vng góc với AB O cắt BM N Chứng minh tứ giác APNO hình chữ nhật Gọi K giao điểm AN với OP, E giao điểm ON với PM, D giao điểm EK ED = EO.EN PN với OM Chứng minh Xác định vị trí điểm P Ax cho K thuộc đường tròn (O) Bài 5: (0,5 điểm) Cho a, b, c số dương thỏa mãn a +b + c =1 P= Tìm giá trị nhỏ biểu thức a2 b2 c2 + + a+b b+c c+a ĐỀ THI THỬ LẦN MƠN TỐN NĂM HỌC 2021 – 2022 Thời gian làm bài: 90 phút THCS ĐÔNG NGẠC Bài 1) Thay x = 36 (tmđk) vào 36 6 A= = = = 36 + + A= 2) Vậy P = A.B , ta có: x = 36 x x x −4 : − + ÷ x + x −1 x + x + x − ÷ P= x P= : x +2 x : x +2 P= P= x x +2 P= x x −1 P= 3) x x +2 A= Có ( x ( x +2 )( ) − ( x −1 ( x − x +1 x −1 x + x +2 ) ( ( )( x −1 ) x −1 x +2 + ) ( )( )( )( x −1 ( x +2 ) x −1 ) ) x x −1 + 1 = = 1+ x −1 x −1 x −1 x > ⇒ x > ⇒ x −1 > ⇒ 1 > ⇒ 1+ >1 x −1 x −1 Vì ⇒ P > ⇒ P > ⇒ P −1 > ⇒ P ( P − 1) > ⇒ P− P >0⇒ P > P Vậy x −4 x −1 x + P> P với x >1 ) Bài 2: Gọi vận tốc riêng tàu x(km / h) Vận tốc xi dịng tàu là: (đk: x>2 ) x + 2(km / h) Vận tốc ngược dòng tàu là: x − 2(km / h) Thời gian xi dịng tàu chạy 144 km là: 144 ( h) x+2 Thời gian ngược dòng tàu chạy 100 km là: 100 (h) x−2 Theo đề tổng thời gian xi dịng 144 km thời gian ngược dịng 100 km tàu 11h Ta có phương trình: 144 100 + = 11 x+2 x−2 144 ( x − ) 100 ( x + ) 11( x + ) ( x − ) + = ( x + 2) ( x − ) ( x + 2) ( x − 2) ( x + 2) ( x − 2) ⇔ 144 x − 288 + 100 x + 200 11( x − 4) = ( x + 2) ( x − 2) ( x + 2) ( x − 2) ⇒ 244 x − 88 = 11x − 44 ⇔ 11x − 244 x + 44 = ⇔ 11x − 242 x − x + 44 = ⇔ 11x ( x − 22 ) − ( x − 22 ) = ⇔ ( 11x − ) ( x − 22 ) = 11x − = ⇔ x − 22 = x = (ktm) ⇔ 11 x = 22(tm) Vậy vận tốc riêng tàu 22 km/h Bài 3: 1) Đk: y≠2 Đặt ( x + 3) = a y−2 =b ta hệ phương trình: 3a + 5b = 3a + 5b = 23a = 23 a = ⇔ ⇔ ⇔ b = 4a − b = 4a − b = 20a − 5b = 15 Thay a = ( x + 3) b= ; y−2 ta có: ( x + ) = x = −2(tm) y − =1 ⇔ y = 3(tm) Vậy hệ có nghiệm x = −2 y = 2) a) Thay Vì A giao điểm đường thẳng (d) với trục Oy x=0 vào hàm số y = ( m − 2) x + ⇒ xA = ta y = ( m − ) + − ⇒ y =3 A ⇒ Điểm A có tọa độ b) +, Thay Vì điểm B giao đường thẳng (d) với trục Ox y=0 −3 ⇔x = B m−2 OA = y Có Vì A(0;3) A vào đồ thị hàm số y = ( m − 2) x + = ≠ ⇒ (m 2) Điểm B có tọa độ OB = x = =3 A ∈ Oy; B ∈ Ox , mà B = ⇒ y =0 B ta được: −3 m − ;0 ÷ −3 = m−2 m−2 Ox ⊥ Oy ⇒ OA ⊥ OB ⇒ ∆AOB vuông O ⇒ ∆AOB ⇒ vng cân O OA = OB m − = m = 3 ⇔ = ⇔ m − = ⇔ m − =1⇔ m−2 m − = −1 m = Vậy với m =1 m=3 ∆AOB vng cân O Bài 4: a) Vì AP, MP tiếp tuyến (O) tiếp điểm A M ⇒ AP ⊥ AO; PM ⊥ MO ⇒ ∆PAO Xét vuông A ∆PAO vuông M vng A có AK đường trung tuyến ứng với cạnh huyền PO ⇒ KA = KP = KO = Xét ∆PMO ∆PMO OP (1) vuông M có MK đường trung tuyến ứng với cạnh huyền OP ⇒ KM = KP = KO = OP (2) ’ ⇒ KA = KM = KP = KO = Từ (1) (2) ta có: ⇒ OP Bốn điểm P; A; O; M thuộc đường trịn Nối A với M Xét (O) có AP, PM tiếp tuyến cắt P (A, M tiếp điểm) b) ⇒ OP đường phân giác ∆AMO ⇒ cân O ( AO = OM = R ·AOM ) có OP đường phân giác OP đồng thời đường cao (tính chất tam giác cân) ⇒ OP ⊥ AM Xét (O) có ·AMB góc nội tiếp chắn nửa đường trịn ⇒ ·AMB = 90o ⇒ AM ⊥ MB Ta có: OP ⊥ AM (cmt ) ⇒ OP / / MB MB ⊥ AM (cmt ) · · ⇒ POA = NBO Xét ∆PAO (2 góc đồng vị) ∆NOB (quan hệ từ vng góc đến song song) có: · · POA = NBO OA = OB(= R) ⇒ ∆PAO = ∆NOB( g.c.g ) · · PAO = NOB (= 90o ) ⇒ PA = NO Ta có: ⇒ (2 cạnh tương ứng) PA / / NO(cùng ⊥ AB) ⇒ PA = NO tứ giác PNOA hình bình hành (dhnb) mà Tứ giác PNOA hình chữ nhật (dhnb) c) Ta có: Tứ giác PNOA hình chữ nhật (cm câu b) PA = ON ⇒ PK = KO Mà Xét (tính chất hình chữ nhật) PA = PM · · · ∆PDM : DPM + PMD + PDM = 180o (định lí tổng góc tam giác) · NOA = 90o · · ⇒ DPM + 90o + PDM = 180o · · ⇒ DPM + PDM = 90o (3) Xét · · · ∆ODN : NOD + DNO + NDO = 180o (định lí tổng góc tam giác) · · ⇒ NOD + 90o + NDO = 180o · · ⇒ NOD + NDO = 90o (4) Từ (3) (4), ta có: · · · · DPM + PDM = NOD + NDO · · ⇒ DPM = NOD Xét ∆PDM ∆ODN có: · · DPM = NOD PM = ON · · PMD = OND (= 90o ) ⇒ ∆PDM = ∆ODN ( g.c.g ) ⇒ DP = DO ⇒ ∆POD (2 cạnh tương ứng) cân D Chứng minh E trực tâm ∆POD ⇒ ⇒ DE thuộc phần đường cao cân D có DE thuộc đường cao DE thuộc đường trung tuyến E, D, K thẳng hàng ∆POD ⇒ ⇒ cân D có DK trung tuyến DK đồng thời đường cao (tính chất tam giác cân) ⇒ DK ⊥ PO · ⇒ EKO = 90o Xét ∆DEN ∆OEK có: · · DEN = OEK (2 _ doi _ dinh) · · DNE = OKE (= 90o ) ⇒ ∆DEN : ∆OEK ( g.g ) ⇒ EN = ED EK EO ⇒ EK ED = EO.EN =>đpcm d) Vì K giao điểm đường chéo hình chữ nhật APNO ⇒ KA = KO ⇒ ∆AKO Vì điểm K ∈ (O) ⇒ OK = R = OA ⇒ KA = KO = OA = R ⇒ ∆KAO · ⇒ KOA = 60o Xét cân K (dhnb) ∆PAO · tan POA = Vậy điểm hay · POA = 60o vuông A có: PA AP ⇒ tan 60o = ⇔ AP = tan 60o.R = R OA R P ∈ Ax cách A khoảng R điểm K ∈ (O) Bài 5: Vì a, b, c số thực dương ⇒ ⇒ a2 a +b a+b số dương Áp dụng bất đẳng thức Cosy cho hai số không âm, ta được: a2 a+b a2 a + b + ≥2 =a a +b a +b Tương tự: b2 b + c a2 b + c + ≥2 =b b+c b+c c2 c+a a2 c + a + ≥2 =c c+a c+a a2 b2 c2 a + b b + c c + a + + + + + ≥ a+b+c a +b b+c c+a 4 a2 b2 c2 ( a + b + c ) ⇔ + + + ≥ a +b+c a+b b+c c+a a2 b2 c2 ( a + b + c ) ⇔ + + + ≥ a+b+c a+b b+c c+a a2 b2 c2 1 ⇔ + + ≥ − = ( a + b + c = 1) a+b b+c c+a 2 ⇒P≥ ⇒ 4a = ( a + b ) ;4b2 = ( b + c ) ;4c = ( c + a ) ⇔ a = b = c = Dấu “=” xảy P= Vậy giá trị nhỏ 2 a=b=c= 3 ... ? ?1 ( x +2 ) x ? ?1 ) ) x x ? ?1 + 1 = = 1+ x ? ?1 x ? ?1 x ? ?1 x > ⇒ x > ⇒ x ? ?1 > ⇒ 1 > ⇒ 1+ >1 x ? ?1 x ? ?1 Vì ⇒ P > ⇒ P > ⇒ P ? ?1 > ⇒ P ( P − 1) > ⇒ P− P >0⇒ P > P Vậy x −4 x ? ?1 x + P> P với x >1. .. chạy 14 4 km là: 14 4 ( h) x+2 Thời gian ngược dòng tàu chạy 10 0 km là: 10 0 (h) x−2 Theo đề tổng thời gian xi dịng 14 4 km thời gian ngược dòng 10 0 km tàu 11 h Ta có phương trình: 14 4 10 0 + = 11 x+2... − 2) ⇒ 244 x − 88 = 11 x − 44 ⇔ 11 x − 244 x + 44 = ⇔ 11 x − 242 x − x + 44 = ⇔ 11 x ( x − 22 ) − ( x − 22 ) = ⇔ ( 11 x − ) ( x − 22 ) = ? ?11 x − = ⇔ x − 22 = x = (ktm) ⇔ 11 x = 22(tm) Vậy