THÔNG TIN TÀI LIỆU
Bộ mơn Tốn Ứng dụng Hàm phức biến đổi Laplace Chương 2: Biến đổi Laplace ngược Nội dung 0.1 – Biến đổi Laplace ngược 0.2 – Tính chất biến đổi Laplace ngược 0.1 Định nghĩa biến đổi Laplace ngược - Xét phương trình vi phân cấp hai y '' y t ; y (0) 0; y ' (0) Áp dụng biến đổi Laplace phương trình ta L {y '' - y} L {-t} sử dụng tính chất phép biến đổi Laplace xuôi � L {y ''}- L {y} L {-t} � s Y (s) 1Y (s) s 1 � Y (s) � L {y (t )} L {} t s s Vậy nghiệm phương trình vi phân y (t ) t 0.1 Định nghĩa biến đổi Laplace ngược - Định nghĩa biến đổi Laplace ngược Biến đổi Laplace ngược hàm F (s) hàm f (t ) liên tục [0,+�) thỏa L{f (t )} F ( s ) Ký hiệu phép biến đổi Laplace ngược f (t ) L1{F } � L{f (t )} �f (t )e st dt F ( s ) L1{F ( s )} f (t ) 0.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace ngược Ví dụ Tìm biến đổi Laplace ngược hàm F ( s) s Giải Dựa vào biến đổi Laplace xuôi ta thấy 2! f (t ) t � L {f (t )} s Vậy biến đổi Laplace ngược hàm cho L 1{F (s)} t 0.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace ngược Ví dụ Tìm biến đổi Laplace ngược hàm F (s) ( s 5)3 Giải 2! f (t ) t � L {f (t )} s Sử dụng tính chất dời theo s, ta có 2! 5t L {e f (t )} (s 5)3 Vậy biến đổi Laplace ngược hàm cho L 1{F (s)} e5tt 0.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace ngược Ví dụ Tìm biến đổi Laplace ngược hàm F (s) s 9 Giải Dựa vào biến đổi Laplace xuôi ta thấy f (t ) sin3t � L {f (t )} s 9 Vậy biến đổi Laplace ngược hàm cho L 1{F (s)} sin3t 0.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace ngược Ví dụ Tìm biến đổi Laplace ngược hàm s 1 F ( s) s 2s Giải s 1 s 1 s 2s (s 1)2 Vậy biến đổi Laplace ngược hàm cho L 1{F (s)} etcos2t 0.2 Tính chất biến đổi Laplace ngược - Tính tuyến tính Giả sử biến đổi Laplace ngược L 1{F1(s)}; L 1{F2(s)} tồn liên tục c số Khi [0,+ �) L 1{F1(s) F2(s)}=L 1{F1(s)}+L 1{F2(s)} L -1{cF1(s)} cL -1{F1(s)} 0.2 Tính chất biến đổi Laplace ngược Ví dụ Tìm biến đổi Laplace ngược hàm 6s F ( s) s s s 8s 10 Giải s 1 1 L {F ( s )} L { } 6L { } L { } s6 s 9 s 4s -2t 1 6t L {F (s)} 5e 6cos3t e sint 1 1 10 0.2 Tính chất biến đổi Laplace ngược - Chú ý: Tích thường L {ff( ) � g (t )} � L {ff( )} L {ff( )} F (s) G (s) L 1{F (s) �� G (s)} L 1{F (s)} L 1{G (s)}=f (t ) g(t ) Tích chập Giả sử L 1{F (s)} f (t ); L 1{G (s)} g(t ) 1 t f (x )g(t x )dx f (t ) g(t ) Khi L {F (s)G (s)} � f (t ) g(t ) gọi tích chập hai hàm f(t) g(t) 33 0.2 Tính chất biến đổi Laplace ngược Ví dụ Tìm biến đổi Laplace ngược hàm F (s) 2 s ( s 1) Giải 1 -1 -1 � L{ 2 } L { } L { } s s 1 s 1 s t t t 0 � sin x.(t x)dx � t sin xdx � x sin xdx t sint giải cách tính bình thường 34 0.2 Tính chất biến đổi Laplace ngược - 10 Khai triển Heaviside P (x ) Dùng để tìm khai triển Laplace ngược phân số hữu tỷ Q (x ) a) Trường hợp Q(x) có nghiệm thực đơn P (ak ) tak L � e � � ' Q (s) k 1Q (ak ) � P (s)� 1 � n ak, k = 1, 2, …, n nghiệm thực đơn Chứng minh 35 0.2 Tính chất biến đổi Laplace ngược Ví dụ Tìm biến đổi Laplace ngược hàm s 11 F (s) ( s 2)( s 3) Giải P (s) 2s 11; Q (s) (s 2)(s 3) s2 s a1 2, a2 3; Q '(s) 2s P (a2) 5 P (a1) 15 1 A1 ' 3; A2 ' Q (a2) Q (a1) 5 � L 1{F (s)}=A1eat1 +A 2ea2t 3e2t e3t 36 0.2 Tính chất biến đổi Laplace ngược Ví dụ Tìm biến đổi Laplace ngược hàm 19s 37 F (s) ( s 2)( s 1)( s 3) Giải P (s) 19s 37; Q (s) (s 2)(s 1)(s 3) a1 2, a2 1,a3 3; Q '(s) 3s2 4s P (a2) 18 P (a1) 75 3; A3 2 A1 ' 5; A2 ' Q (a2) 6 Q (a1) 15 � L 1{F (s)}=A1eat1 +A 2ea2t A 3ea3t 5e2t 3et 2e3t 37 0.2 Tính chất biến đổi Laplace ngược - b) Trường hợp Q(x) có nghiệm thực bội Giả sử Q(s) có nghiệm thực a bội m Khi số hạng L 1 tương ứng với thừa số (s a)m m1 m2 � � A t A t A t at m1 e � Am � (m 1)! (m 2)! (m (m 1))! � � d k 1 m � � Ak lim ( s a ) F ( s ) � s�a (k 1)!dsk 1 � Chứng minh 38 0.2 Tính chất biến đổi Laplace ngược Ví dụ Tìm biến đổi Laplace ngược hàm 11s3 47 s 56 s F (s) ( s 2)3 ( s 2) P (s) 11s3 47s2 56s 4; Q (s) (s 2)3(s 2) a1,2,3 2, a4 2; Q '(s) 3(s 2)2(s 2) (s 2)3 P (a4) 384 B ' 6; Q (a4) 64 39 0.2 Tính chất biến đổi Laplace ngược d11 P (2) � � A1 lim (s a) F (s)� lim 4 � s�2 (1 1)!ds s�2 s ' d 21 P (2)� � � A2 lim (s a) F (s)� lim� � � � s�2 (2 1)!ds s�2 � s 2� '' d 31 P (2)� � � � A3 lim (s a) F (s)� lim� � � s�2 (3 1)!ds 2!s�2 � s 2� � � 2t A2t t 1 2t � L {F (s)}=e � A3� 6e �2! 1! � 40 0.2 Tính chất biến đổi Laplace ngược - c) Trường hợp Q(x) có cặp nghiệm phức liên hợp Giả sử Q(s) có cặp nghiệm phức liên hợp a �bi , tức Q(s) có chứa thừa số (s + a)2 + b2 Khi số hạng L-1 tương ứng với thừa số (s + a)2 + b2 eat (i cosbt +r sinbt ) b r ,i phần thực phần ảo số phức (a bi ) với (s) ((s a)2 b2)F (s) Chứng minh 41 0.2 Tính chất biến đổi Laplace ngược Ví dụ Tìm biến đổi Laplace ngược hàm 2s F (s) ( s 2)( s s 5) 2s (s) (s 2s 5)F (s) ; s2 a bi (s 1)2 22 � a 1,b 2 11 10 11 10 (a bi ) (1 2i ) i � r ,i 13 13 13 13 Khi số hạng L-1 tương ứng với thừa số (s + 1)2 + 22 et �10 11 � � cos2t sin2t � �13 13 � 42 Bài tập - Bài tập Tìm biến đổi Laplace ngược hàm 1 s 3 3s -12 s2 3s 14 s 4s 8s 20 s 12s 32 e 2 s s2 sinh 3t f (t ) f (t ) 3cos 2t 6sin 2t f (t ) e2t (3cos 2t 4sin 2t ) f (t ) e6t (8cosh 2t 34sinh 2t ) f (t ) (t 2)u (t 2) 43 Bài tập - Bài tập Tìm biến đổi Laplace ngược hàm 8e 3s s 4 s ( s 4)2 s ( s 1)2 s2 f (t ) 4sin 2(t 3) � u (t 3) t f (t ) sinh 2t f (t ) s ( s 3) f (t ) 2s 10 s s 10 f (t ) 44 Bài tập - Bài tập Tìm biến đổi Laplace ngược hàm s 1 6s s s 2s ( s 1) ( s 1) s3 16s 24 s 20 s 64 e s e 2 s s ( s 1) 45 Bài tập - Bài tập Tìm biến đổi Laplace ngược hàm s2 (s2 4)2 (t� ch cha� p) s2 s ( s 1) s2 ln s 1 arctan s 46 Bài tập - Bài tập Tìm biến đổi Laplace ngược hàm s 1 (s2 2s 2)(s 3) ( s 1)3 e s ( s 1)(1 e s ) s3 ( s 1) 47 ... biến đổi Laplace ngược hàm F ( s) s Giải Dựa vào biến đổi Laplace xuôi ta thấy 2! f (t ) t � L {f (t )} s Vậy biến đổi Laplace ngược hàm cho L 1{F (s)} t 0.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace. .. Vậy biến đổi Laplace ngược hàm cho L 1{F (s)} e5tt 0.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace ngược Ví dụ Tìm biến đổi Laplace ngược hàm F (s) s 9 Giải Dựa vào biến. .. 0.1 – Biến đổi Laplace ngược 0.2 – Tính chất biến đổi Laplace ngược 0.1 Định nghĩa biến đổi Laplace ngược
Ngày đăng: 29/03/2021, 18:43
Xem thêm: