Biến đổi laplace ngược (TOÁN kỹ THUẬT SLIDE)

Bộ mơn Tốn Ứng dụng Hàm phức biến đổi Laplace Chương 2: Biến đổi Laplace ngược Nội dung 0.1 – Biến đổi Laplace ngược 0.2 – Tính chất biến đổi Laplace ngược 0.1 Định nghĩa biến đổi Laplace ngược - Xét phương trình vi phân cấp hai y ''  y  t ; y (0)  0; y ' (0)  Áp dụng biến đổi Laplace phương trình ta L {y '' - y} L {-t} sử dụng tính chất phép biến đổi Laplace xuôi � L {y ''}- L {y} L {-t} � s Y (s)  1Y (s)   s 1 � Y (s)  � L {y (t )}  L {} t s s Vậy nghiệm phương trình vi phân y (t )  t 0.1 Định nghĩa biến đổi Laplace ngược - Định nghĩa biến đổi Laplace ngược Biến đổi Laplace ngược hàm F (s) hàm f (t ) liên tục [0,+�) thỏa L{f (t )}  F ( s ) Ký hiệu phép biến đổi Laplace ngược f (t )  L1{F } � L{f (t )}  �f (t )e  st dt F ( s ) L1{F ( s )}  f (t ) 0.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace ngược Ví dụ Tìm biến đổi Laplace ngược hàm F ( s)  s Giải Dựa vào biến đổi Laplace xuôi ta thấy 2! f (t )  t � L {f (t )} s Vậy biến đổi Laplace ngược hàm cho L 1{F (s)} t 0.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace ngược Ví dụ Tìm biến đổi Laplace ngược hàm F (s)  ( s  5)3 Giải 2! f (t )  t � L {f (t )} s Sử dụng tính chất dời theo s, ta có 2! 5t L {e f (t )} (s  5)3 Vậy biến đổi Laplace ngược hàm cho L 1{F (s)} e5tt 0.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace ngược Ví dụ Tìm biến đổi Laplace ngược hàm F (s)  s 9 Giải Dựa vào biến đổi Laplace xuôi ta thấy f (t )  sin3t � L {f (t )} s 9 Vậy biến đổi Laplace ngược hàm cho L 1{F (s)} sin3t 0.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace ngược Ví dụ Tìm biến đổi Laplace ngược hàm s 1 F ( s)  s  2s  Giải s 1 s 1  s  2s  (s  1)2  Vậy biến đổi Laplace ngược hàm cho L 1{F (s)} etcos2t 0.2 Tính chất biến đổi Laplace ngược - Tính tuyến tính Giả sử biến đổi Laplace ngược L 1{F1(s)}; L 1{F2(s)} tồn liên tục c số Khi [0,+ �) L 1{F1(s)  F2(s)}=L 1{F1(s)}+L 1{F2(s)} L -1{cF1(s)} cL -1{F1(s)} 0.2 Tính chất biến đổi Laplace ngược Ví dụ Tìm biến đổi Laplace ngược hàm 6s F ( s)    s  s  s  8s  10 Giải s 1 1 L {F ( s )}  L { }  6L { } L { } s6 s 9 s  4s  -2t 1 6t L {F (s)} 5e  6cos3t  e sint 1 1 10 0.2 Tính chất biến đổi Laplace ngược - Chú ý: Tích thường L {ff( ) � g (t )} � L {ff( )} L {ff( )} F (s) G (s) L 1{F (s) �� G (s)}  L 1{F (s)} L 1{G (s)}=f (t ) g(t ) Tích chập Giả sử L 1{F (s)} f (t ); L 1{G (s)} g(t ) 1 t f (x )g(t  x )dx  f (t )  g(t ) Khi L {F (s)G (s)} � f (t )  g(t ) gọi tích chập hai hàm f(t) g(t) 33 0.2 Tính chất biến đổi Laplace ngược Ví dụ Tìm biến đổi Laplace ngược hàm F (s)  2 s ( s  1) Giải 1 -1 -1 � L{ 2 }  L { }  L { } s s 1 s 1 s t t t 0 � sin x.(t  x)dx  � t sin xdx  � x sin xdx  t  sint giải cách tính bình thường 34 0.2 Tính chất biến đổi Laplace ngược - 10 Khai triển Heaviside P (x ) Dùng để tìm khai triển Laplace ngược phân số hữu tỷ Q (x ) a) Trường hợp Q(x) có nghiệm thực đơn P (ak ) tak L � e � � ' Q (s) k 1Q (ak ) � P (s)� 1 � n ak, k = 1, 2, …, n nghiệm thực đơn Chứng minh 35 0.2 Tính chất biến đổi Laplace ngược Ví dụ Tìm biến đổi Laplace ngược hàm s  11 F (s)  ( s  2)( s  3) Giải P (s)  2s  11; Q (s)  (s  2)(s  3)  s2  s  a1  2, a2  3; Q '(s)  2s  P (a2) 5 P (a1) 15   1 A1  '   3; A2  ' Q (a2) Q (a1) 5 � L 1{F (s)}=A1eat1 +A 2ea2t  3e2t  e3t 36 0.2 Tính chất biến đổi Laplace ngược Ví dụ Tìm biến đổi Laplace ngược hàm 19s  37 F (s)  ( s  2)( s  1)( s  3) Giải P (s)  19s  37; Q (s)  (s  2)(s  1)(s  3) a1  2, a2  1,a3  3; Q '(s)  3s2  4s  P (a2) 18 P (a1) 75   3; A3  2 A1  '   5; A2  ' Q (a2) 6 Q (a1) 15 � L 1{F (s)}=A1eat1 +A 2ea2t  A 3ea3t  5e2t  3et  2e3t 37 0.2 Tính chất biến đổi Laplace ngược - b) Trường hợp Q(x) có nghiệm thực bội Giả sử Q(s) có nghiệm thực a bội m Khi số hạng L 1 tương ứng với thừa số (s  a)m m1 m2 � � A t A t A t at m1 e �     Am � (m  1)! (m  2)! (m  (m  1))! � � d k 1 m � � Ak  lim ( s  a ) F ( s ) � s�a (k  1)!dsk 1 � Chứng minh 38 0.2 Tính chất biến đổi Laplace ngược Ví dụ Tìm biến đổi Laplace ngược hàm 11s3  47 s  56 s  F (s)  ( s  2)3 ( s  2) P (s)  11s3  47s2  56s  4; Q (s)  (s  2)3(s  2) a1,2,3  2, a4  2; Q '(s)  3(s  2)2(s  2)  (s  2)3 P (a4) 384 B '   6; Q (a4) 64 39 0.2 Tính chất biến đổi Laplace ngược d11 P (2) � � A1  lim (s  a) F (s)� lim 4  � s�2 (1 1)!ds s�2 s  ' d 21 P (2)� � � A2  lim (s  a) F (s)�  lim� �  � � s�2 (2  1)!ds s�2 � s  2� '' d 31 P (2)� � � � A3  lim (s  a) F (s)� lim� �  � s�2 (3 1)!ds 2!s�2 � s  2� � � 2t A2t t 1 2t � L {F (s)}=e �   A3� 6e �2! 1! � 40 0.2 Tính chất biến đổi Laplace ngược - c) Trường hợp Q(x) có cặp nghiệm phức liên hợp Giả sử Q(s) có cặp nghiệm phức liên hợp a �bi , tức Q(s) có chứa thừa số (s + a)2 + b2 Khi số hạng L-1 tương ứng với thừa số (s + a)2 + b2 eat (i cosbt +r sinbt ) b r ,i phần thực phần ảo số phức  (a  bi ) với  (s)  ((s  a)2  b2)F (s) Chứng minh 41 0.2 Tính chất biến đổi Laplace ngược Ví dụ Tìm biến đổi Laplace ngược hàm 2s  F (s)  ( s  2)( s  s  5) 2s   (s)  (s  2s  5)F (s)  ; s2 a  bi  (s  1)2  22 � a  1,b  2 11 10 11 10  (a  bi )   (1 2i )   i � r  ,i   13 13 13 13 Khi số hạng L-1 tương ứng với thừa số (s + 1)2 + 22 et �10 11 � � cos2t  sin2t � �13 13 � 42 Bài tập - Bài tập Tìm biến đổi Laplace ngược hàm 1 s 3 3s -12 s2  3s  14 s  4s  8s  20 s  12s  32 e 2 s s2 sinh 3t f (t )  f (t )  3cos 2t  6sin 2t f (t )  e2t (3cos 2t  4sin 2t ) f (t )  e6t (8cosh 2t  34sinh 2t ) f (t )  (t  2)u (t  2) 43 Bài tập - Bài tập Tìm biến đổi Laplace ngược hàm 8e 3s s 4 s ( s  4)2 s ( s  1)2 s2 f (t )  4sin 2(t  3) � u (t  3) t f (t )  sinh 2t f (t )  s ( s  3) f (t )  2s  10 s s 10 f (t )  44 Bài tập - Bài tập Tìm biến đổi Laplace ngược hàm s 1 6s  s  s  2s  ( s  1) ( s  1) s3  16s  24 s  20 s  64 e  s  e 2 s s ( s  1) 45 Bài tập - Bài tập Tìm biến đổi Laplace ngược hàm s2 (s2  4)2 (t� ch cha� p) s2  s ( s  1) s2  ln s 1 arctan s 46 Bài tập - Bài tập Tìm biến đổi Laplace ngược hàm s 1 (s2  2s  2)(s  3) ( s  1)3  e  s ( s  1)(1  e  s ) s3 ( s  1) 47 ... biến đổi Laplace ngược hàm F ( s)  s Giải Dựa vào biến đổi Laplace xuôi ta thấy 2! f (t )  t � L {f (t )} s Vậy biến đổi Laplace ngược hàm cho L 1{F (s)} t 0.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace. .. Vậy biến đổi Laplace ngược hàm cho L 1{F (s)} e5tt 0.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace ngược Ví dụ Tìm biến đổi Laplace ngược hàm F (s)  s 9 Giải Dựa vào biến. .. 0.1 – Biến đổi Laplace ngược 0.2 – Tính chất biến đổi Laplace ngược 0.1 Định nghĩa biến đổi Laplace ngược