TÍCH PHÂN FOURIER và BIẾN đổi FOURIER (TOÁN kỹ THUẬT SLIDE)

DẪN NHẬP Xét việc phân tích hàm f(x) sau: � x �1 � f  x  � 1  x  � x �1 � Câu hỏi: Liệu có phương pháp phân tích hàm f(x) khơng tuần hòan thành tổng thành phần sin cos giống phương pháp phân tích chuỗi Fourier dùng cho hàm tuần hòan? DẪN NHẬP Ở chương 1, biết có cách mở rộng f(x) trở thành hàm tuần hòan với chu kỳ 2L  0,  L  x    f ( x )  1,  1 x 1  0, 1 x  L  f ( x  L)  f ( x ) DẪN NHẬP Có nhiều cách để chọn L Có khác cách này? DẪN NHẬP Trước phân tích khác việc chọn L, ta tính hệ số Fourier cho trường hợp tổng quát mở rộng f(x) thành tuần hòan chu kỳ 2L f(x) mở rộng hàm chẵn nên: bn  L 1 1 a0  � f  x  dx  � f  x  dx  L L L 1 L L 1 n x n x sin  n L  an  � f  x  cos dx  � f  x  cos dx   L L L L 1 L L  n L  sin n  L n Với ký hiệu: n n  n  , L 2    2L L DẪN NHẬP Trường hợp L = a0  � if n  4k or 4k  � sin n � � an  � if n  4k  n � n �  if n  4k  � � n DẪN NHẬP >> x = 0:0.001:15*pi/2; for n = 0:1:15 line([n*pi/2 n*pi/2],[0 sin(n*pi/2)/(n*pi/2)]); hold on; end line([0 25],[0 0],'Color','k'); plot(x,sin(x)./x,'r:'); DẪN NHẬP Trường hợp L = a0  � sin n � an   �1 m n sin � �2 if n  8k or 8k  if n  8k  m, m  1, 2,3,5,6,7 DẪN NHẬP >> x = 0:0.001:15*pi/2; for n = 0:1:30 line([n*pi/4 n*pi/4],[0 (1/2)*sin(n*pi/4)/(n*pi/4)]); hold on; end line([0 25],[0 0],'Color','k'); plot(x,(1/2)*sin(x)./x,'r:'); DẪN NHẬP Trường hợp L = a0  � if n  16k or 16k  sin n � an   �1 m n sin if n  16k  m, m �0,8 � �4 BẢNG CÁC CẶP BIẾN ĐỔI FOURIER Hàm số, f(t) Biến đổi Fourier, F  Ghi f  t e F    0  Tính chất dịch miền tần số i0t dn f  t dt n tn f  t  t �f    d � F  t  j  F    n j n F  n    Tính chất đạo hàm miền thời gian Tính chất đạo hàm miền tần số F     F  0     j Tính chất tích phân 2 f    Tính chất đối ngẫu BẢNG CÁC CẶP BIẾN ĐỔI FOURIER Hàm số, f(t)   t Biến đổi Fourier, F  Ghi Tính chất hàm delta   t  t0  e  jt0 Bài tập 10 câu (b) 2    Bài tập 10 câu (a) e j0t u t sgn  t  2    0       j j Bài tập 10 câu (c) BẢNG CÁC CẶP BIẾN ĐỔI FOURIER Hàm số, f(t) Biến đổi Fourier, F   j t cos 0t Ghi sgn                 0   Bài tập 10 câu (d) sin 0t  j     0       0   u  t  cos 0t  j     0       0     0   u (t )sin  0t        0       0    2 2 BẢNG CÁC CẶP BIẾN ĐỔI FOURIER Hàm số, f(t) e  t  0 , Biến đổi Fourier, F   2   2 Ghi Bài tập  0   j Bài tập ,  0    j  Bài tập � f  t  � � t a e u t ,  t u (t )te  t t a 2sin  a  ,  F    2a Bài tập TÍCH CHẬP Định nghĩa:   f (t )  g (t )  f ( ) g (t   )d  g ( ) f (t   )d   Điều có nghĩa tích phân tính tóan miền  Các bước dùng để tính tóan: • Tạo biến tạm (giả sử  ) chuyển hàm xét sang biến f (t )  f ( ) g (t )  g ( ) Đảo ngược biến hai hàm (không quan trọng hàm nào) • g ( )  g (   ) TÍCH CHẬP • Dịch chuyển hàm vừa đảo theo t Điều giống di chuyển hàm nàydọc theo trục - g (  )  g ( (  t ))  g (t   ) • Tìm tích phần giao f ( ) g (t   ) Với thời gian t cụ thể, tích phân tích phần giao khỏang a    b • b f ( ) g (t   ) d a Tổng hợp tất tích phân sau hàm di chuyển di chuyển hết từ � t  � • TÍCH CHẬP Bài tập 12: Tìm tích chập hai hàm Viết hai hàm f(t) g(t) hàm  g(λ) g( λ) = λ f(λ) λ λ TÍCH CHẬP Chọn hàm để làm hàm dịch chuyển Giả sử tóan ta chọn f Lật hàm theo trục hòanh để từ hàm f    ta hàm f    g( λ) = λ f(−λ) λ λ Viết f    thể f  t    Vì t thay đổi từ �đến �, điều có nghĩa ta mang f đến �rồi từ từ dịch chuyển theo hướng tiến � g(λ) f(t−λ) t−1 t λ TÍCH CHẬP 4&5 Trong suốt chuyến “du hành” f  t    , đánh giá phần giao f g Sau đó, lấy tích phân dọc theo phần giao này: (i) −∞ < t < 0: Khơng có phần giao f *g = (ii) < t < f(t−λ) g(λ) λ t−1 t t t   t2 f  g (1)( )d     0 TÍCH CHẬP f(t−λ) (iii) < t < g(λ) t−1 1 λ t   t f  g  (1)( )d    (2  t )  t t (iv) < t < ∞: Khơng có phần giao f *g =   t2   f  g (t )   t (2  t )  , t 0 ,  t 1 , 1 t  , t 2 f *g (t) ½ 2 t t (2  t ) t TÍCH CHẬP Bài tập 13: Tính x  t   h  t  Biết rằng:  ,  1 t   x(t )  ,  t   , otherwise   , | t | h(t )   , | t | Vẽ hai hàm x h h(t) x(t) 1 −1 −1 t −1 t TÍCH CHẬP Giả sử ta chọn h hàm dịch chuyển Sau biểu diễn h x hai hàm  , ta lật hàm h đưa � x(λ) h(t − λ) t−1 t t+1 −1 −1 (i) −∞ < t < −2: No overlap x *h = λ TÍCH CHẬP (ii) −2 < t < −1 h(t − λ) t−1 t −1 t + 1 λ −1 t 1 x  h  ( 1)(1)d  (t  1)   t  1 TÍCH CHẬP h(t − λ) x(λ) (iii) −1 < t < t−1 −1 t 1 t λ t+1 −1 x  h  ( 1)(1)d  (1)(1)d (0  1)  (t   0) t 1 (iv) < t < 1 x  h  ( 1)(1)d  (1)(1)d (0  t  1)  (1  0) t t −1 x(λ) h(t − λ) t−1 −1 t t+1 λ TÍCH CHẬP (v) < t < h(t − λ) x  h  (1)(1)d 1  (t  1)  t  t −1 t−11 t+1 λ (vi) < t < ∞: No overlap x *h = −1     x  h(t )    t t t t 2 ,  2t 1 ,   t 1 , 1 t  , otherwise −2 −1 −1 t ... biến đổi Fourier hay gọi tắt tốn tử Fourier • F-1 gọi tóan tử biến đổi Fourier ngược hay gọi tắt tóan tử Fourier ngược f (t ) F F 1 F ( ) SO SÁNH GiỮA CHUỖI FOURIER VÀ BiẾN ĐỔI FOURIER Chuỗi Fourier. .. rời rạc Biến đổi Fourier • Dùng cho hàm khơng tuần hồn • Phổ tần số liên tục BIẾN ĐỔI FOURIER Bài tập 1: (a) Tìm biến đổi Fourier � f  x  � � x a x a (b) Vẽ đồ thị f(x) biến đổi Fourier. .. MATLAB VỚI BiẾN ĐỔI FOURIER Cách 2: Sử dụng lệnh fourier Cú pháp: F = fourier( f) F = fourier( f,v) F = fourier( f,u,v) Giải thích: F = fourier( f): thực biến đổi Fourier hàm symbolic f với biến độc