Ứng dụng biến đổi laplace (TOÁN kỹ THUẬT SLIDE)

Bộ mơn Tốn Ứng dụng Hàm phức biến đổi Laplace Chương 3: Ứng dụng biến đổi Laplace Nội dung 0.1 – Giải phương trình hệ phương trình vi phân 0.2 – Ứng dụng vào giải tích mạch điện 0.1 Giải phương trình hệ phương trình vi phân - Để giải phương trình hệ phương trình vi phân với hàm cần tìm y(t) với điều kiện ban đầu: Lấy biến đổi Laplace hai vế phương trình cho thu phương trình theo Y(s) Giải phương trình tìm Y(s) Lấy biến đổi Laplace ngược tìm y(t) L {y (t )}= Y (s) L {y '(t )}= sY (s) − y (0) L {y ''(t )}= s2Y (s) − sy (0) − y '(0) 0.1 Giải phương trình hệ phương trình vi phân - Ví dụ Giải phương trình vi phân y '(t ) + 2y (t ) = với điều kiện ban đầu y (0) = L {y '(t ) + 2y (t )}= L {1} sY (s) − y (0) + 2Y (s) = s 4s + Y (s) = s(s + 2) −2t y (t ) = + e 2 Y (s) = + 2s 2(s + 2) 0.1 Giải phương trình hệ phương trình vi phân - Ví dụ Giải phương trình vi phân y ''(t ) + 4y (t ) = 9t với điều kiện ban đầu y (0) = 0; y '(0) = L {y ''(t ) + 4y (t )}= 9L {} t s Y (s) − sy (0) − y (0) + 4Y (s) = s s Y (s) − + 4Y (s) = s 7s2 + 9/ 19/ Y (s) = 2 Y (s) = + s (s + 4) s s +4 19 y (t ) = t + sin2t ' 0.1 Giải phương trình hệ phương trình vi phân - Ví dụ Giải phương trình vi phân y ''(t ) − 3y '(t ) + 2y (t ) = 4t + 12e−t ' với điều kiện ban đầu y (0) = 6; y (0) = −1 12 s Y (s) − sy (0) − y (0) − 3sY (s) + 3y (0) + 2Y (s) = + s s +1 ' 2 Y (s) = + + + − s s s +1 s −1 s − y (t ) = 3+ 2t + 2e−t + 3et − 2e2t 0.1 Giải phương trình hệ phương trình vi phân - Ví dụ Giải hệ phương trình vi phân x '(t ) − 2x (t ) + 3y (t ) =   y '(t ) + 2x (t ) − y (t ) = với điều kiện ban đầu x (0) = 8; y (0) = 0.1 Giải phương trình hệ phương trình vi phân - L {x '(t ) − 2x (t ) + 3y (t )}=  ' L { y (t ) + 2x (t ) − y (t )}=  sX (s) − x (0) − 2X (s) + 3Y (s) =   sY (s) − y (0) + 2X (s) −Y (s) = 8s − 17   X (s) = s2 − 3s −  Y (s) = 3s − 22  s2 − 3s −  x (t ) = 5e−t + 3e4t   y (t ) = 5e−t − 2e4t   X (s) = s + 1+ s −  Y (s) = −  s +1 s − 0.1 Giải phương trình hệ phương trình vi phân - Ví dụ Giải hệ phương trình vi phân  x '(t ) − 2y (t ) =   y '(t ) + 2x (t ) = t với điều kiện ban đầu x (0) = 0; y (0) = 0.1 Giải phương trình hệ phương trình vi phân -  L {x '(t ) − 2y (t )}= L {1}  ' L { y (t ) + 2x (t )}= L {1}  1/ 1/   X (s) = s2 + s2 +  Y (s) = −1/ + 1/ 4s  s s2 +   sX (s) − 2Y (s) = s  sY (s) + 2X (s) =  s2 t sin2t   x (t ) = +   y (t ) = −1+ cos2t  4 10 0.2 Ứng dụng vào giải tích mạch điện - Ví dụ: Tìm tổng trở tương đương Z(s) 1Ω 2H 1F F 4H 1F 1H 1Ω 21 0.2 Ứng dụng vào giải tích mạch điện - Giải: Chuyển từ miền t sang miền s: 1 s 2s s 4s s s 2 × s + 5s s s s = + 2s + + Z (s ) = + s + +s+ 2 s 4s + 4s + + s s 22 0.2 Ứng dụng vào giải tích mạch điện - Ví dụ Tìm tổng dẫn tương đương Y(s) 4H 2H F 10 F 1Ω 23 0.2 Ứng dụng vào giải tích mạch điện - Giải Chuyển sang miền s 4s 2s 10 s s 1 1 s s Y (s ) = = + + + Z (s ) s s + 10 24 0.2 Ứng dụng vào giải tích mạch điện - Ví dụ Tìm i(t), biết i(0) = 2A, Vc(0) = 4V i(t ) 6u (t ) 1H Vc (t ) 4Ω F 13 25 0.2 Ứng dụng vào giải tích mạch điện - i(s ) Giải Chuyển sang miền s s s Vc (s ) 13 s s + 2s V (s ) = + − = s s s V (s ) + 2s i(s ) = = Z (s ) s + s + 13 13 s + s + 13 Z (s ) = s + + = s s ⇒ i(t ) = L {i(s )}= 2e (cos3t - sin3t ) −1 -2t 26 0.2 Ứng dụng vào giải tích mạch điện - Ví dụ Tìm V0(s) 3Ω 2u (t ) 1F 1H o+ 2Ω V0 (t ) 6u (t ) o− 27 0.2 Ứng dụng vào giải tích mạch điện - Giải Chuyển sang miền s s i1 s i2 s s  = i1 + i2  s   + i s = i (1 + 2)  s s o+ V0 (s ) o− V0 (s ) = 2i2 (s ) 4(s + 3) ⇒ V0 (s ) = (s + 1)2 28 0.2 Ứng dụng vào giải tích mạch điện - V0 (s ) Ví dụ Tìm tỉ số với u (t ) = 1, t > 0; c = F Vi (s ) 1H 1Ω Vi (t ) = u (t ) 1Ω o+ V0 (t ) o− 29 0.2 Ứng dụng vào giải tích mạch điện - Giải Chuyển sang miền s 1Ω i1 i2 i3 Vi (s )   i1 = i2 + i3   Vi (s ) = i1 + i3  i2 s + i2 = i3  8s 1s o+ 8s V0 (s ) o− V0 (s ) = i2 8s V0 (s ) ⇒ = Vi (s ) 2(8s + s + 1) 30 0.2 Ứng dụng vào giải tích mạch điện - Ví dụ Tìm dịng I(s), biết i(0) = 10Ω 20e −100t u (t ) 0,2 H 31 0.2 Ứng dụng vào giải tích mạch điện - Giải Chuyển sang miền s 10 20 s + 100 V (s ) I (s ) = Z (s ) s 20 V (s ) = s + 100 s Z (s ) = 10 + 100 I (s ) = (s + 50)(s + 100) I (t ) = L−1{I (s )}= 2(e −50t − e −100t ) 32 Miền t Miền s (Laplace) 33 V3 I3 V1 I1 I2 V2 V4 34 35 ... hàm cần tìm y(t) với điều kiện ban đầu: Lấy biến đổi Laplace hai vế phương trình cho thu phương trình theo Y(s) Giải phương trình tìm Y(s) Lấy biến đổi Laplace ngược tìm y(t) L {y (t )}= Y (s) L... luật Kirchoff) 18 0.2 Ứng dụng vào giải tích mạch điện - Ví dụ: Tìm tổng trở tương đương Z(s) 2H 1H F F 19 0.2 Ứng dụng vào giải tích mạch... + ) s s 20 0.2 Ứng dụng vào giải tích mạch điện - Ví dụ: Tìm tổng trở tương đương Z(s) 1Ω 2H 1F F 4H 1F 1H 1Ω 21 0.2 Ứng dụng vào giải