Chương ba ứng dụng biến đổi Fourier phân tích tín hiệu số và hệ xử lý số Giáo trình lý thuyết mạch đã nghiên cứu biến đổi Fourier của tín hiệu liên tục. Chương ba trình bầy biến đổi Fourier của dãy số và ứng dụng của nó để phân tích phổ của tín hiệu số và đặc tính tần số của hệ xử lý số. 3.1 biến đổi Fourier của dãy số 3.1.1 Biến đổi Fourier thuận 3.1.1a Định nghĩa : Nếu dãy x(n) thoả mãn điều kiện : ∞< ∑ ∞ −∞= n nx )( [3.1-1] thì sẽ tồn tại phép biến đổi Fourier như sau : nj n j enxe X . )()( ωω − ∞ −∞= ∑ = [3.1-2] Biến đổi Fourier đã chuyển dãy số x(n) thành hàm phức X(e j ω ), [3.1-2] là biểu thức biến đổi Fourier thuận và được ký hiệu như sau : )()]([ ∞ = j enxFT X [3.1-3] hay : )()( ∞ → j FT enx X [3.1-4] (FT là chữ viết tắt của thuật ngữ tiếng Anh Fourier Transform). Ký hiệu X(e j ω ) để phân biệt phép biến đổi Fourier của dãy số x(n) )()]([ ∞ = j enxFT X với phép biến đổi Fourier của hàm liên tục x(t) : ∫ ∞ ∞− − • == dtetxtxFT tj X ω ω ).()()]([ . Biểu thức biến đổi Fourier của dãy số x(n) [3.1-2] là suất phát từ biểu thức biến đổi Fourier của hàm liên tục x(t), vì khi hàm dưới dấu tích phân là dãy rời rạc thì phải thay dấu tích phân bằng dấu tổng . Do tính chất tuần hoàn của hàm mũ e j ω , nên X(e j ω ) là hàm tuần hoàn của biến ω với chu kỳ 2π : )()()()( .).2.()2.( ωωωω ππ jnj n nkj n kj eenxenxe XX === − ∞ −∞= +− ∞ −∞= + ∑∑ Điều đó có nghĩa là chỉ cần nghiên cứu hàm tần số X(e j ω ) của các dãy rời rạc x(n) với ω ∈ (- π , π ) hoặc ω ∈ ( 0 , 2 π ). Sử dụng biến đổi Fourier cho phép nghiên cứu phổ của tín hiệu số và đặc tính tần số của hệ xử lý số. Nếu x(n) là tín hiệu số thì )()]([ ∞ = j enxFT X là phổ của tín hiệu x(n), còn với h(n) là đặc tính xung của hệ xử lý số thì )()]([ ∞ = j enhFT H là đặc tính tần số của hệ xử lý số. 3.1.1b Sự tồn tại của biến đổi Fourier Theo định nghĩa, biến đổi Fourier thuận [3.1-2] chỉ tồn tại nếu dãy x(n) thoả mãn điều kiện khả tổng tuyệt đối [3.1-1]. Điều đó có nghĩa là, nếu dãy x(n) thoả mãn điều kiện [3.1-1] thì chuỗi [3.1-2] sẽ hội tụ về hàm X(e j ω ), nên x(n) tồn tại biến đổi Fourier. Ngược lại, nếu dãy x(n) không thoả mãn điều kiện [3.1-1] thì chuỗi [3.1-2] sẽ phân kỳ, vì thế hàm X(e j ω ) không tồn tại và x(n) không có biến đổi Fourier. Các tín hiệu số x(n) có năng lượng hữu hạn : ∞<= ∑ ∞ −∞= n x nxE 2 )( [3.1-5] luôn thỏa mãn điều kiện [3.1-1] , do đó luôn tồn tại biến đổi Fourier. Ví dụ 3.1 : Hãy xét sự tồn tại và tìm biến đổi Fourier của các dãy sau : a. )(nu b. )(2 nu n c. )(2 nu n− d. )(n δ e. )( kn − δ f. )(nrect N 119 Giải : a. ∞== ∑∑ ∞ = ∞ −∞= 0 1 )( nn nu Hàm u(n) không thoả mãn [3.1-1] nên không tồn tại biến đổi Fourier. b. ∞== ∑∑ ∞ = ∞ −∞= 0 22 )( n n n n nu Hàm 2 n u(n) không thoả mãn [3.1-1] nên không tồn tại biến đổi Fourier. c. 2 21 1 22 1 0 )( = − == − ∞ −= − ∞ −∞= − ∑∑ n n n n nu Hàm 2 -n u(n) thoả mãn [3.1-1] nên tồn tại biến đổi Fourier : ( ) ∑∑∑ ∞ = −− ∞ = −− ∞ −∞= −−− === 0 1 0 .).()]( 2222[ n n j n njn n njnn eeenunu FT ωωω Vậy : ωω jj n ee nuFT −−− − − = − = 5,01 1 21 1 2[ . )]( 1 [3.1-6] d. 1 )( = ∑ ∞ −∞= n n δ Hàm δ (n) thoả mãn [3.1-1] nên tồn tại biến đổi Fourier : 1.1 0. ).()]([ === − ∞ −∞= − ∑ ωω δδ j n nj eennFT [3.1-7] e) Chuỗi [3.1-1] đối với δ (n - k) hội tụ nên nó có biến đổi Fourier : ωω δδ jk n nj eennFT kk − ∞ −∞= − =−=− ∑ ).()]([ [3.1-8] f. ∞<== ∑∑ − = ∞ −∞= N N N nn nrect 1 0 1 )( Hàm rect N (n) thoả mãn [3.1-1] nên tồn tại biến đổi Fourier, : ( ) ω ω ωω j j n n j n nj e e eenrectnrectFT N N NN − − − = − ∞ −∞= − − − === ∑∑ 1 1 1 0 ).()]([ [3.1-9] Có thể thấy rằng, các dãy có độ dài hữu hạn luôn tồn tại biến đổi Fourier, còn các dãy có độ dài vô hạn sẽ tồn tại biến đổi Fourier nếu chuỗi [3.1-1] của nó hội tụ. 3.1.1c Các dạng biểu diễn của hàm X(e j ω ) Vì X(e j ω ) là hàm phức, nên có thể biểu diễn nó dưới các dạng, phần thực và phần ảo, mô đun và argumen, độ lớn và pha. 1. Dạng phần thực và phần ảo )()()( ωω ω IR j XXX je += [3.1-10] Theo công thức Euler có : [ ] ).sin().cos()()()( . njnnxenxe n nj n j X ωω ωω −== ∑∑ ∞ −∞= − ∞ −∞= [3.1-11] Hàm phần thực : ∑ ∞ −∞= == n j R nnxe XX ).cos().()](Re[)( ωω ω [3.1-12] Hàm phần ảo : ∑ ∞ −∞= −== n j I nnxe XX ).sin().()](Im[)( ωω ω [3.1-13] 2. Dạng mô đun và argumen )( .)()( ωϕωω jjj eee XX = [3.1-14] Mô đun : )()()( 22 ωω ω IR j XXX e += [3.1-15] Argumen : [ ] == )( )( )()( ω ω ωϕ ω R I j X X X arctgeArg [3.1-16] X(e j ω ) được gọi là hàm biên độ tần số, nó là hàm chẵn và đối xứng qua trục tung : X(e j ω )=X(e - j ω ) 120 ϕ ( ω ) được gọi là hàm pha tần số, nó là hàm lẻ và phản đối xứng qua gốc toạ độ : ϕ ( ω ) = - ϕ(- ω ). 3. Dạng độ lớn và pha )()( .)().()( ωϕωωθωω jjjjj eeeee AAX == [3.1-17] Hàm độ lớn A(e j ω ) có thể nhận các giá trị dương hoặc âm, và : )()( ωω jj ee XA = [3.1-18] Còn : )()()]([ ωϕωθ ω =+ j eArg A [3.1-19] Hàm pha : )]([)()( ω ωϕωθ j eArg A −= [3.1-20] Với )]([ ω j eArg A phụ thuộc vào dấu của hàm )( ω j e A như sau : < ≥ = 0 00 )( )( )]([ ω ω ω π j j j eKhi eKhi eArg A A A Một cách tổng quát, có thể viết : = = −− )( )( )( 1 2 1 2 )]([ ω ω ω ππ ω j eASign j eA j eA j eArg A Theo [3.1-20] , có thể biểu diễn hàm pha θ ( ω ) dưới dạng như sau : −−= )( )( )()( 1 2 ω ω ωϕωθ π j eA j eA [3.1-21] Ví dụ 3.2 : Hãy xác định các hàm phần thực và phần ảo, mô đun và argumen, độ lớn và pha của hàm tần số ωω ω jj ee X − = ).cos()( 2 Giải : Theo [3.1-11] có : )sin().cos()cos().cos()( 22 ωωωω ω je j X −= Hàm phần thực : )cos().cos()( 2 ωωω = R X Hàm phần ảo : )sin().cos()( 2 ωωω −= I X Mô đun : )cos()(cos).(cos)(cos).(cos)( 222 2222 ωωωωω ω =+= j e X Argumen : ω ωω ωω ωϕ −= −= )cos().cos( )sin().cos( )( 2 2 arctg Hàm độ lớn : )cos()( 2 ω ω = j e A Hàm pha : . )cos( )cos( )( 2 2 1 2 −−−= ω ω ωωθ π 3.1.1d Quan hệ giữa biến đổi Fourier và biến đổi Z Theo biểu thức định nghĩa [2.1-1] của biến đổi Z có : ∑ ∞ −∞= − == n n znxznxZT X )()()]([( , với +− << xx RRX zzRC ||:)]([ Biểu diễn số phức z theo tọa độ cực : z = r.e j ω với |z|= r và arg [z] = ω Vậy : ∑∑ ∞ −∞= −− ∞ −∞= − === n njn n njj ernxernxerz XX . .).().).(().()( ωωω Khi |z|= r = 1 thì z = e j ω , nên nhận được : ∑ ∞ −∞= − == = n njj j enxe ez z XX . ).()()( ωω ω [3.1-22] Theo [3.1-22] thì biến đổi Fourier chính là biến đổi Z khi z nằm trên vòng tròn đơn vị | z | = 1 , nghĩa là biến đổi Fourier là một trường hợp riêng của biến đổi Z. 121 a. 1 || =< − z x R , tồn tại FT b. 1 || =≥ − z x R , không tồn tại FT Hình 3.1 : Quan hệ giữa biến đổi Fourier và biến đổi Z Từ hình 3.1a thấy rằng, nếu hàm X(z) hội tụ trên vòng tròn đơn vị | z | = 1 thì chắc chắn dãy x(n) tồn tại biến đổi Fourier, và ngược lại. Từ hình 3.1b, nếu hàm X(z) không hội tụ trên vòng tròn đơn vị |z| = 1, thì dãy x(n) sẽ không tồn tại biến đổi Fourier, và ngược lại. Hàm bậc thang đơn vị u(n) là một ví dụ : Hàm )()]([( znuZT U = có 1 ||:)]([ >zzRC U , do U(z) không hội tụ trên vòng tròn đơn vị | z | = 1 nên u(n) không có biến đổi Fourier, câu a ví dụ 3.1 đã chứng minh điều đó. 3.1.2 Biến đổi Fourier ngược Biến đổi Fourier ngược cho phép tìm dãy x(n) từ hàm ảnh X(e j ω ). Để tìm biểu thức của phép biến đổi Fourier ngược, xuất phát từ biểu thức Fourier thuận [3.1-2] : nj n j enxe X . )()( ωω − ∞ −∞= ∑ = [3.1-23] Nhân cả hai vế của [3.1-23] với e j ω .m rồi lấy tích phân trong khoảng (- π , π ) , nhận được : ∫ ∫ ∫ ∑∑ − − − − ∞ −∞= ∞ −∞= − == π π π π π π ωωωωω ωωω denxdeenxdee nmj nn mjnjmjj X ).( .)(.).().( Vì : ≠ = = ∫ − − nmkhi nmkhi de nmj 0 2 )( π ω π π ω Nên : )(.).( 2 nxdee njj X π π π ωω ω = ∫ − Từ đó suy ra biểu thức của phép biến đổi Fourier ngược : ∫ − = π π ωω ω π deenx njj X . ).()( 2 1 [3.1-24] Phép biến đổi Fourier ngược được ký hiệu như sau : )()]( [ nxe j XIFT = ω [3.1-25] Hay : )()( nxe IFT j X → ω [3.1-26] (IFT là chữ viết tắt của thuật ngữ tiếng Anh Inverse Fourier Transform). Biểu thức biến đổi Fourier thuận [3.1-23] và biểu thức biến đổi Fourier ngược [3.1-24] hợp thành cặp biến đổi Fourier của dãy số x(n). Ví dụ 3.3 : Hãy tìm tín hiệu số x(n) có hàm phổ là ωω ω 2 ).cos()( jj ee X − = . Giải : Theo [3.1-24] có : ∫ − − = π π ωω ωω π deenx njj .2 .).cos()( 2 1 [ ] ∫ ∫ − − −−− − += + = π π π π ωωωω ωω ω π ω π deedee ee nx njnjnjj jj )3()1(.2 4 1 22 1 )( )( − + − = − − − − π π ω π π ω π | )( 1 | )( 1 )( )3()1( 314 1 njnj e nj e nj nx − − + − − = −−−−−− )()( )( 314 1 )3()3()1()1( nj ee nj ee nx njnjnjnj ππππ π 122 232 1 212 1 ][ . )( ][ . )( )( )3()3()1()1( j ee nj ee n nx njnjnjnj ππππ ππ −−−−−− − − + − − = π π π π )( ])sin[( )( ])sin[( )( 3 3 2 1 1 1 2 1 − − + − − = n n n n nx Vì : )( )( ])sin[( )( ])sin[( 0 1 k k k k k k k n n n nkhi nkhi n n −= − − ⇒ ≠ = = − − δ π π π π Nên : )()()( 3 2 1 1 2 1 −+−= nnnx δδ Vì ω ω j j ez ze XX = = )()( , nên để lập bảng biến đổi Fourier chỉ cần sử dụng bảng biến đổi z khi thay z = e j ω , và để tìm biến đổi Fourier ngược, ngoài cách tính trực tiếp tích phân [3.1-24], cũng có thể sử dụng các phương pháp giống như tìm biến đổi Z ngược. 3.1.3 Các tính chất của biến đổi Fourier Do biến đổi Fourier là một trường hợp riêng của biến đổi Z nên, biến đổi Fourier cũng có các tính chất giống như biến đổi Z. Dưới đây trình bầy các tính chất thường được sử dụng khi phân tích phổ tín hiệu số và đặc tính tần số của hệ xử lý số. 3.1.3a Tính chất tuyến tính : Hàm tần số của tổ hợp tuyến tính các dãy bằng tổ hợp tuyến tính các hàm tần số thành phần. Nếu : )()]([ ω j ii enxFT X= Thì : )(.)(.)()( ωω j i i i i ii j eAnxAnyFTe XY ∑∑ = == [3.1-27] Trong đó các hệ số A i là các hằng số. Chứng minh : Theo biểu thức biến đổi Fourier thuận [3.1-2] có : ∑∑∑ ∑∑ ∞ −∞= − ∞ −∞= − == = n nj i i i n i nj ii i ii j enxAenxAnxAFTeY ).().(.)(.)( ωωω Vì )()]([).( . ωω j ii n nj i enxFTenx X== ∑ ∞ −∞= − , nên nhận được [3.1-27]. Ví dụ 3.4 : Hãy tìm hàm phổ của tín hiệu số )()()( 3 2 1 1 2 1 −+−= nnnx δδ Giải : Theo tính chất tuyến tính của biến đổi Fourier có : ωωωωω δδ 3 2 1 2 1 3 2 1 1 2 1 ).().()( jj n nj n njj eeeneneX −− ∞ −∞= − ∞ −∞= − +=−+−= ∑∑ ωω ωω ω ω 22 ).cos(. )( )( 2 jj jj j ee ee eX −− − = + = Các ví dụ 3.3 và 3.4 là hai bài toán ngược nhau, với kết quả là đồng nhất. 3.1.3b Tính chất trễ : Khi dịch trễ dãy x(n) đi k mẫu thì hàm biên độ tần sốX(e j ω ) không thay đổi, chỉ có hàm pha tần số ϕ( ω ) bị dịch đi lượng k ω . Nếu : )( .)()()]([ ωϕωω jjj eeenxFT XX == Thì : [ ] ])([ .)()()( ωωϕωωω kjjjjk eeeenxFT XXk −− ==− [3.1-28] Nếu k > 0 là x(n) bị giữ trễ k mẫu, nếu k < 0 là x(n) được đẩy sớm k mẫu. Chứng minh : Theo biểu thức biến đổi Fourier thuận [3.1-2] có : [ ] )().().()( .).( ωωωωω jkj n knjkj n nj eeeknxeeknxknxFT X − ∞ −∞= −−− ∞ −∞= − =−=−=− ∑∑ Ví dụ 3.5 : Hãy tìm : )]([)( 2 nrectFTe N nj X − = ω Giải : Có )()()( 222 Nnununrect nnn N −−= −−− Nên : )](.[)]([)( )( 222 NX nuFTnuFTe NN nnj −−= −−−− ω Theo biểu thức [3.1-6] và tính chất dịch của biến đổi Fourier nhận được : 123 NN j jj j e ee eX . 2 5,01 1 5,01 1 .)( ω ωω ω −− −− − − − = Vậy : ω ω ω j j nj e e nrectFTe N N X − − − − − == 5,01 .5,01 2 )( )]([)( [3.1-29] 3.1.3c Tính chất trễ của hàm tần số : Khi nhân dãy x(n) với nj e 0 ω , trong đó ω 0 là hằng số, thì hàm tần số X(e j ω ) không bị biến dạng mà chỉ tịnh tiến trên trục tần số một khoảng bằng ω 0 , theo chiều ngược với dấu của ω 0 . Nếu : )()]([ ω j enxFT X= Thì : [ ] )( )( 00 )( ωωω − = jnj enxeFT X [3.1-30] Chứng minh : Theo biểu thức biến đổi Fourier thuận [3.1-2] có : [ ] )( )().( . 0000 ).(.).()( ωωωω ω ωω − ∞ −∞= −− ∞ −∞= − ∑∑ === j n nj n nj njnj eenxeenxnxeFT X Ví dụ 3.6 : Tín hiệu số x(n) có phổ tần số là )]([)( nxFTe j X = ω , hãy tìm phổ tần số của tín hiệu điều biên )cos().()( 0 nnxny ω = Giải : Có : 2 00 )cos( 0 njnj ee n ωω ω − + = Do đó : + = − njnj enxFTenxFTnnxFT 00 ).().()]cos().([ 2 1 2 1 0 ωω ω Theo tính chất dịch của hàm tần số nhận được : )()( )()( 0 00 2 1 2 1 )]cos().([ ωωωω ω +− += jj eennxFT XX [3.1-31] Biểu thức [3.1-31] chính là nội dung của định lý điều biên. 3.1.3d Tính chất biến đảo : Biến đổi Fourier của các dãy thực có biến đảo x(n) và x(-n) là hai hàm liên hợp phức. Nếu : )( .)()()]([ ωϕωω jjj eeenxFT XX == Thì : [ ] )(* .)()()()( ωϕωωω jjjj eeeenxFT XXX −− ===− [3.1-32] Chứng minh : Theo biểu thức biến đổi Fourier thuận [3.1-2] có : [ ] )( )).((. ).().()( ωωω j n nj n nj eenxenxnxFT X − ∞ −∞= −−− ∞ −∞= − ∑∑ =−=−=− Vì x(-n) là dãy thực nên )()( * ωω jj ee XX = − , do đó nhận được [3.1-32]. Như vậy, các dãy thực nhân quả và phản nhân quả tương ứng có hàm biên độ tần số giống nhau, còn hàm pha tần số ngược dấu. Ví dụ 3.7 : Hãy tìm )]()( 2[ nue nj FTX − = ω Giải : Theo biểu thức [3.1-6] và tính chất biến đảo có : ω j n e nuFT . )]( 5,01 1 2[ − =− 3.1.3e Hàm tần số của tích chập hai dãy : Hàm tần số của tích chập hai dãy bằng tích của hai hàm tần số thành phần. Nếu : )()]([ 11 ω j enxFT X= và )()]([ 22 ω j enxFT X= Thì : [ ] )().()(*)()( 2121 ωωω jjj eenxnxFTe XXY == [3.1-33] Chứng minh : Theo biểu thức biến đổi Fourier thuận [3.1-2] có : [ ] nj n k j eknxkxnxnxFTe Y . 2121 .)().()(*)()( ωω − ∞ −∞= ∞ −∞= ∑ ∑ −== ∑ ∑ ∞ −∞= − ∞ −∞= − −= n kjkj k njj eeeknxkxe Y 21 )().()( ωωωω Hay : )().()().()( 21 ).( 2 . 1 ωωωωω jj k n knjkjj eeeknxekxe XXY =−= ∑ ∑ ∞ −∞= ∞ −∞= −−− 124 Ví dụ 3.8 : Hãy tìm )](*)()( 12[ − − = nnue nj FTX δ ω Giải : Sử dụng các biểu thức [3.1-6] , [3.1-8] với k = 1 , và [3.1-33] , tìm được : ω j n e nuFT − − − = 5,01 1 2[ )]( và ω δ j enFT − =− )]( 1[ Vậy : ω ω ω ω ω j j j j j e e e e eX − − − − − = − = 5,015,01 1 .)( 3.1.3f Hàm tần số của tích hai dãy : Hàm tần số của tích hai dãy bằng tích chập của hai hàm tần số thành phần chia cho 2 π . Nếu : )()]([ 11 ω j enxFT X= và )()]([ 22 ω j enxFT X= Thì : [ ] ∫ − ′ − ′ ′ = π π ω ωωω π deenxnxFT jj XX )().()().( )( 2121 2 1 [3.1-34] Hay : [ ] )(*)()().( 2121 2 1 ωω π jj eenxnxFT XX= [3.1-35] Chứng minh : Theo biểu thức biến đổi Fourier thuận [3.1-2] có : [ ] [ ] ∑ ∞ −∞= − = n nj enxnxnxnxFT . 2121 .)().()().( ω Khi thay x 1 (n) bằng biểu thức biến đổi Fourier ngược của nó : ∫ − ′′ ′ = π π ωω ω π deenx njj X . 11 ).()( 2 1 Thì : [ ] ∑ ∫ ∞ −∞= − − = n njnjj enxdeenxnxFT X . 2 '.' 121 ).(.').()().( 2 1 ω π π ωω ω π [3.1-36] [ ] [ ] ∫ ∑ − ∞ −∞= −− = π π ωωω ω π '.).().()().( ).'( 2 ' 121 2 1 denxenxnxFT n njj X [ ] )(*)().().()().( 21 )( 2121 2 1 2 1 ωωωωω ππ π π ω jjjj eedeenxnxFT XXXX == ′ = ∫ − ′ − ′ 3.1.3g Công thức Parseval tính năng lượng của tín hiệu theo hàm phổ. ∫ ∑ − ∞ −∞= == π π ω ω π denxE j n x X 2 2 )()( 2 1 [3.1-37] Chứng minh : Viết lại biểu thức [3.1-36] dưới dạng : ∑ ∫ ∑ ∞ −∞= − − ∞ −∞= − = n njnjj n nj edeenxenxnx X .'.' 21 . 21 .').().().().( 2 1 ω π π ωωω ω π Chia cả hai vế của biểu thức trên cho nj e . ω − , nhận được : [ ] ∫ ∑∑ − ∞ −∞= ∞ −∞= = π π ωω ω π ').(.).()().( ' 2 '. 121 2 1 deenxnxnx j n nj n X Hay : ∫ ∑ − − ∞ −∞= = π π ωω ω π ').().()().( ' 2 ' 121 2 1 deenxnx jj n XX Khi cho x 1 (n) = x 2 (n) = x(n) thì theo [1.3-5], vế trái của biểu thức trên chính là năng lượng x E của tín hiệu số x(n) : ∫∫ ∑ −− − ∞ −∞= === π π ω π π ωω ωω ππ dedeenxE jjj n x XXX 2 2 )().().()( 2 1 2 1 Hay : ∫ ∑ − ∞ −∞= == π π ωω π dnxE x n x S ).()( 2 1 2 [3.1-38] Trong đó : 2 )()( ω ω j x e XS = [3.1-39] 125 )( ω x S được gọi là hàm mật độ phổ năng lượng của tín hiệu số x(n), nó là hàm chẵn và đối xứng qua trục tung. Về bản chất vật lý, hàm mật độ phổ năng lượng )( ω x S chính là hàm phân bố năng lượng của tín hiệu trên trục tần số. Ví dụ 3.9 : Hãy xác định năng lượng của tín hiệu số )()( 2 nunx n − = theo cả hàm thời gian và hàm phổ, so sánh hai kết quả nhận được. Giải : Theo hàm thời gian có : ∑∑∑ ∞ = − − ∞ = − ∞ −∞= − = − ==== 0 1 2 0 2 3 4 41 1 42(2 )( ))( n n n n n n x nuE Để xác định năng lượng theo hàm phổ, trước hết tìm : ωω ω ωω sin.cos ).()( 5,05,01 1 5,01 1 2 j e enue j n njnj X +− = − == − ∞ −∞= −− ∑ Vậy : ω ωω ω cos )sin()cos( )( 25,1 1 5,05,01 1 22 − − = + = j e X Tính năng lượng của x(n) bằng công thức Parseval [3.1-38] : π π ππ ω π π ω ω − + = − = −− ∫ − | 125,1 125,1 125,1 2 2 1 25,1 1 2 1 2 2 2 )().( cos tg arctgdE x 3 4 75,0 0 75,0 1 22 .3 75,0 1 )( === − −= π π π ππ π arctgtgtgarctgE x Kết quả tính năng lượng theo hai cách là giống nhau. [ ở đây, nếu lấy 00 )( = artg thì 0 = x E , nên phải lấy π = )( 0 artg ]. 3.1.3h Đạo hàm của hàm tần số Nếu : )()]([ ω j enxFT X= Thì : [ ] ω ω d ed jnxnFT j X )( )(. = [3.1-40] Chứng minh : Theo biểu thức biến đổi Fourier thuận [3.1-2] có : [ ] ∑∑ ∞ −∞= − ∞ −∞= − −=⇒== n nj j n njj enxnj d ed enxnxFTe X X ).( )( ).()()( ω ω ωω ω Nhân cả hai vế của biểu thức trên với j , nhận được biểu thức [3.1-40]. Ví dụ 3.10 : Hãy tìm biến đổi Fourier của dãy )(.)( 2 nunnx n − = Giải : a. Có : ω j n e nuFT − − − = 5,01 1 2[ )]( Theo [3.1-40] có : 2 5,01 5,0 5,01 1 2 . )](.[ − = − = − − − − ω ω ω ω ω j j j n e e e d d j nunFT 3.1.3i Phổ tần số của hàm tương quan r xy (m) Nếu : )()]([ ω j enxFT X= và )()]([ ω j enyFT Y= Thì : [ ] )().()()( ωωω jj xy j xy eemrFTe YXR − == [3.1-41] Chứng minh : Hàm tương quan )(mr xy được xác định theo [1.8-1] ở chương một : ∑ ∞ −∞= −= n xy mnynxmr )().()( Theo biểu thức biến đổi Fourier thuận [3.1-2] có : [ ] ∑ ∑∑ ∞ −∞= − ∞ −∞= ∞ −∞= − −== m mj nm mj xyxy emnynxemrmrFT .)().().()( ωω [ ] ∑ ∑ ∞ −∞= −− ∞ −∞= −= m njnjmj n xy eeemnynxmrFT )().()( ωωω 126 [ ] )().().().()( )).((. ωωωω jj m mnj n nj xy eeemnyenxmrFT YX − ∞ −∞= −−− ∞ −∞= − =−= ∑∑ Ví dụ 3.11 : Cho các tín hiệu số )()( 2 nunx n − = và )()( 1 − = nny δ , hãy tìm hàm phổ [ ] )()( mrFTe xy j xy R = ω . Giải : Sử dụng [3.1-6] , [3.1-8] với k = 1 , và [3.1-41], tìm được : ω ω ω ω ωωω j j j j jjj xy e e e e eee YXR −− − − = − = = 5,015,01 1 .)().()( 127 . Chương ba ứng dụng biến đổi Fourier phân tích tín hiệu số và hệ xử lý số Giáo trình lý thuyết mạch đã nghiên cứu biến đổi Fourier của tín hiệu liên tục. Chương ba trình bầy biến đổi Fourier. biến đổi Fourier của dãy số và ứng dụng của nó để phân tích phổ của tín hiệu số và đặc tính tần số của hệ xử lý số. 3.1 biến đổi Fourier của dãy số 3.1.1 Biến đổi Fourier thuận 3.1.1a Định. , 2 π ). Sử dụng biến đổi Fourier cho phép nghiên cứu phổ của tín hiệu số và đặc tính tần số của hệ xử lý số. Nếu x(n) là tín hiệu số thì )()]([ ∞ = j enxFT X là phổ của tín hiệu x(n), còn