Chương baứng dụng biến đổi Fourier phân tích tín hiệu số và hệ xử lý số Giáo trình lý thuyết mạch đã nghiên cứu biến đổi Fourier của tín hiệu liên tục.. Chương ba trình bầy biến đổi Four
Trang 1Chương ba
ứng dụng biến đổi Fourier phân tích tín hiệu số và hệ xử lý số
Giáo trình lý thuyết mạch đã nghiên cứu biến đổi Fourier của tín hiệu liên tục Chương ba trình bầy biến đổi Fourier của dãy số và ứng dụng của nó để phân tích phổ của tín hiệu số và đặc tính tần số của hệ xử lý
số
3.1 biến đổi Fourier của dãy số 3.1.1 Biến đổi Fourier thuận
3.1.1a Định nghĩa : Nếu dãy x(n) thoả mãn điều kiện :
n
n
thì sẽ tồn tại phép biến đổi Fourier như sau :
n j n
e
Biến đổi Fourier đã chuyển dãy số x(n) thành hàm phức X(e j ), [3.1-2] là biểu thức biến đổi Fourier
thuận và được ký hiệu như sau :
) ( )]
(
e j n
x
FT e j n
(FT là chữ viết tắt của thuật ngữ tiếng Anh Fourier Transform)
Ký hiệu X(e j ) để phân biệt phép biến đổi Fourier của dãy số x(n) FT[x(n)] X(e j ) với phép biến
đổi Fourier của hàm liên tục x(t) :
t x
( )]
(
Biểu thức biến đổi Fourier của dãy số x(n) [3.1-2] là suất phát từ biểu thức biến đổi Fourier của hàm liên tục x(t), vì khi hàm dưới dấu tích phân là dãy rời rạc thì phải thay dấu tích phân bằng dấu tổng
Do tính chất tuần hoàn của hàm mũ e j , nên X(e j ) là hàm tuần hoàn của biến với chu kỳ 2 :
) ( )
( )
( )
n
n k j n
k
Điều đó có nghĩa là chỉ cần nghiên cứu hàm tần số X(e j ) của các dãy rời rạc x(n) với (- , ) hoặc
( 0 , 2 ).
Sử dụng biến đổi Fourier cho phép nghiên cứu phổ của tín hiệu số và đặc tính tần số của hệ xử lý số Nếu x(n) là tín hiệu số thì [ ( )] ( )
e j n
x
FT X là phổ của tín hiệu x(n), còn với h(n) là đặc tính xung của hệ
xử lý số thì [ ( )] ( )
e j n
h
FT H là đặc tính tần số của hệ xử lý số
3.1.1b Sự tồn tại của biến đổi Fourier
Theo định nghĩa, biến đổi Fourier thuận [3.1-2] chỉ tồn tại nếu dãy x(n) thoả mãn điều kiện khả tổng tuyệt đối [3.1-1] Điều đó có nghĩa là, nếu dãy x(n) thoả mãn điều kiện [3.1-1] thì chuỗi [3.1-2] sẽ hội tụ về hàm
X(e j ), nên x(n) tồn tại biến đổi Fourier Ngược lại, nếu dãy x(n) không thoả mãn điều kiện [3.1-1] thì chuỗi
[3.1-2] sẽ phân kỳ, vì thế hàm X(e j ) không tồn tại và x(n) không có biến đổi Fourier.
Các tín hiệu số x(n) có năng lượng hữu hạn :
n
luôn thỏa mãn điều kiện [3.1-1] , do đó luôn tồn tại biến đổi Fourier.
Ví dụ 3.1 : Hãy xét sự tồn tại và tìm biến đổi Fourier của các dãy sau :
a u (n) b 2n u(n) c 2 n u(n)
d (n) e (n k) f rect N (n)
1 )
(
n n
n u
Trang 2Hàm u(n) không thoả mãn [3.1-1] nên không tồn tại biến đổi Fourier.
2
2 ( )
n n n
n u n
Hàm 2n u(n) không thoả mãn [3.1-1] nên không tồn tại biến đổi Fourier.
2 1
1 2
0
)
n
n n
n u n
Hàm 2-n u(n) thoả mãn [3.1-1] nên tồn tại biến đổi Fourier :
0 1 0
.
).
( )]
2
[
n
n j n
n j n n
n j n
n
e e
n u
5 , 0 1
1 2
1
1 2
[
)]
n
n
Hàm (n) thoả mãn [3.1-1] nên tồn tại biến đổi Fourier :
1
.
).
( )]
(
n
n
e n n
e) Chuỗi [3.1-1] đối với (n - k) hội tụ nên nó có biến đổi Fourier :
n
n
e n n
(
N
N N
n n
n
0 1
) (
Hàm rect N (n) thoả mãn [3.1-1] nên tồn tại biến đổi Fourier, :
j j
n
n j n
n j
e
e e
e n rect n
rect
FT
N N
N
1 0
).
( )]
(
Có thể thấy rằng, các dãy có độ dài hữu hạn luôn tồn tại biến đổi Fourier, còn các dãy có độ dài vô hạn
sẽ tồn tại biến đổi Fourier nếu chuỗi [3.1-1] của nó hội tụ.
3.1.1c Các dạng biểu diễn của hàm X(e j )
Vì X(e j ) là hàm phức, nên có thể biểu diễn nó dưới các dạng, phần thực và phần ảo, mô đun và
argumen, độ lớn và pha
1 Dạng phần thực và phần ảo
) ( )
( )
Theo công thức Euler có :
cos( ) sin( )
) ( )
( )
n
n j n
j
[3.1-11]
n
j
X ( ) Re[ ( )] ( ) cos( ) [3.1-12]
n
j
X ( ) Im[ ( )] ( ) sin( ) [3.1-13]
2 Dạng mô đun và argumen
) (
) ( ) (e j X e j e j
I R
j
X X
) (
) ( )
( )
(
R
I j
X
X
X(e j ) được gọi là hàm biên độ tần số, nó là hàm chẵn và đối xứng qua trục tung : X(e j )=X(e - j )
() được gọi là hàm pha tần số, nó là hàm lẻ và phản đối xứng qua gốc toạ độ : () = - (-).
3 Dạng độ lớn và pha
) ( )
).
( ) (e j A e j e j A e j e j
Hàm độ lớn A(e j ) có thể nhận các giá trị dương hoặc âm, và :
) ( )
(e j X e j
Còn : Arg[A(e j )] ( ) ( ) [3.1-19]
Trang 3Hàm pha : ( ) ( ) Arg[A(e )] [3.1-20]
Với Arg[A(e j )]phụ thuộc vào dấu của hàm A(e j )như sau :
0 0 0
) ( ) ( )]
( [
j j
e Khi e Khi e
Arg
A A A
Một cách tổng quát, có thể viết :
) ( ) (
1 2 1
2
)]
(
j e A
j e A
j
e Arg A
Theo [3.1-20] , có thể biểu diễn hàm pha () dưới dạng như sau :
) ( ) ( )
( )
j e A
j e A
[3.1-21]
Ví dụ 3.2 : Hãy xác định các hàm phần thực và phần ảo, mô đun và argumen, độ lớn và pha của hàm tần số
j
e
cos( ).
)
Giải : Theo [3.1-11] có : X(e j) cos( 2 ) cos( ) jcos( 2 ) sin( )
Hàm phần thực : X R() cos(2).cos()
Hàm phần ảo : X I() cos(2).sin()
Mô đun : X(e j ) cos 2 ( 2 ) cos 2 ( ) cos 2 ( 2 ) cos 2 ( ) cos( 2 )
) cos(
).
cos(
) sin(
).
cos(
) (
2
2
arctg
Hàm độ lớn : A(e j ) cos( 2 )
) cos(
) cos(
) (
2
2 1
3.1.1d Quan hệ giữa biến đổi Fourier và biến đổi Z
Theo biểu thức định nghĩa [2.1-1] của biến đổi Z có :
n
n z n x z
n x
ZT[( ( )] X( ) ( ) , với RC[X(z)]: R x |z| R x
Biểu diễn số phức z theo tọa độ cực : z = r.e j với |z|= r và arg [z] =
n
n j n n
n j
e r
Khi |z|= r = 1 thì z = e j , nên nhận được :
n
n j j
e z
Theo [3.1-22] thì biến đổi Fourier chính là biến đổi Z khi z nằm trên vòng tròn đơn vị z = 1 , nghĩa là biến đổi Fourier là một trường hợp riêng của biến đổi Z.
a R x |z| 1 , tồn tại FT b R x |z| 1 , không tồn tại FT
Hình 3.1 : Quan hệ giữa biến đổi Fourier và biến đổi Z
Từ hình 3.1a thấy rằng, nếu hàm X(z) hội tụ trên vòng tròn đơn vị z = 1 thì chắc chắn dãy x(n) tồn tại biến đổi Fourier, và ngược lại Từ hình 3.1b, nếu hàm X(z) không hội tụ trên vòng tròn đơn vị z = 1, thì dãy
x(n) sẽ không tồn tại biến đổi Fourier, và ngược lại
Trang 4Hàm bậc thang đơn vị u(n) là một ví dụ : Hàm ZT[(u(n)] U(z) có RC[U(z)] : |z| 1, do U(z) không hội tụ trên vòng tròn đơn vị z = 1 nên u(n) không có biến đổi Fourier, câu a ví dụ 3.1 đã chứng minh
điều đó
3.1.2 Biến đổi Fourier ngược
Biến đổi Fourier ngược cho phép tìm dãy x(n) từ hàm ảnh X(e j ) Để tìm biểu thức của phép biến đổi Fourier ngược, xuất phát từ biểu thức Fourier thuận [3.1-2] :
n j n
e
Nhân cả hai vế của [3.1-23] với e j.m rồi lấy tích phân trong khoảng (- , ) , nhận được :
d e
n n
m j n j m
j j
Vì :
n m khi
n m khi d
e j m n
0
2 )
Nên : X(e j ).e j n d 2.x(n)
Từ đó suy ra biểu thức của phép biến đổi Fourier ngược :
n
x( ) X( j ). j .n
2
1
[3.1-24]
Phép biến đổi Fourier ngược được ký hiệu như sau :
) ( )]
( [X e j x n
(IFT là chữ viết tắt của thuật ngữ tiếng Anh Inverse Fourier Transform).
Biểu thức biến đổi Fourier thuận [3.1-23] và biểu thức biến đổi Fourier ngược [3.1-24] hợp thành cặp biến đổi Fourier của dãy số x(n).
Ví dụ 3.3 : Hãy tìm tín hiệu số x(n) có hàm phổ là X(e j ) cos( ).e j2
Giải : Theo [3.1-24] có :
n
x( ) cos( ). j2 j .n
2 1
n
4
1 2
2
1
) (
) (
) (
1
| )
(
1 )
3 1
4
e n j
e n j n
x
) ( )
( )
(
3 1
4
n j
e e
n j
e e
n
x
n j n
j n
j n
2 3
2
1 2
1 2
) (
] [
) ( )
(
) 3 ( )
3 ( )
1 ( )
1 (
j
e e
n j
e e
n n
x
n j n
j n
j n
) (
] ) sin[(
) (
] ) sin[(
)
(
3
3 2
1 1
1 2
1
n
n n
n n
x
) (
] sin[(
)
(
]
sin[(
0
1
k k
k k
k k
k
n n
n n
khi
n khi n
n
2
1 1 2
1
n
Vì X(e j)X(z) ze j , nên để lập bảng biến đổi Fourier chỉ cần sử dụng bảng biến đổi z khi thay z =
e j , và để tìm biến đổi Fourier ngược, ngoài cách tính trực tiếp tích phân [3.1-24], cũng có thể sử dụng các phương pháp giống như tìm biến đổi Z ngược.
3.1.3 Các tính chất của biến đổi Fourier
Trang 5Do biến đổi Fourier là một trường hợp riêng của biến đổi Z nên, biến đổi Fourier cũng có các tính chất giống như biến đổi Z Dưới đây trình bầy các tính chất thường được sử dụng khi phân tích phổ tín hiệu số và
đặc tính tần số của hệ xử lý số
3.1.3a Tính chất tuyến tính : Hàm tần số của tổ hợp tuyến tính các dãy bằng tổ hợp tuyến tính các hàm tần số
thành phần.
Nếu : [ ( )] ( j )
i
x
FT X
i i
i i
i i
Trong đó các hệ số Ai là các hằng số
Chứng minh : Theo biểu thức biến đổi Fourier thuận [3.1-2] có :
n
n j i
i i
n j i
i i
i i
e
i i
n
n j
, nên nhận được [3.1-27]
Ví dụ 3.4 : Hãy tìm hàm phổ của tín hiệu số ( ) ( ) ( 3 )
2
1 1 2
1
n
Giải : Theo tính chất tuyến tính của biến đổi Fourier có :
2
1 2
1 3
2
1 1
2
1
).
( ).
( )
n
n j n
n j
e
) (
) (
2
j j
j j
e
Các ví dụ 3.3 và 3.4 là hai bài toán ngược nhau, với kết quả là đồng nhất
3.1.3b Tính chất trễ : Khi dịch trễ dãy x(n) đi k mẫu thì hàm biên độ tần sốX(e j ) không thay đổi, chỉ có hàm pha tần số () bị dịch đi lượng k.
Nếu : FT[x(n)] X(e j ) X(e j ) e j ( )
Thì : FTx(n k) e jkX(e j ) X(e j ) e j[ ( ) k ]
Nếu k > 0 là x(n) bị giữ trễ k mẫu, nếu k < 0 là x(n) được đẩy sớm k mẫu.
Chứng minh : Theo biểu thức biến đổi Fourier thuận [3.1-2] có :
( ) ( ) ( ) ( ) j k ( j )
n
k n j k
j n
n
e k n x k
n x
Ví dụ 3.5 : Hãy tìm : X(e j) FT[ 2 n rect N(n)]
Giải : Có 2 n rect(n) 2 n u(n) 2 n u(n N)
Nên : X(e j ) FT[ 2 n u(n)] FT[ 2 N 2 (n N)u(n N)]
Theo biểu thức [3.1-6] và tính chất dịch của biến đổi Fourier nhận được :
N
N j j
j
e e
e
5 , 0 1
1 5
, 0 1
1
)
j
j n
j
e
e n
rect FT
e
N N
5 , 0 1
5 , 0 1
)]
( [
)
3.1.3c Tính chất trễ của hàm tần số : Khi nhân dãy x(n) với e j 0n , trong đó 0 là hằng số, thì hàm tần số X(e j ) không bị biến dạng mà chỉ tịnh tiến trên trục tần số một khoảng bằng 0 , theo chiều ngược với dấu của
0
Nếu : FT[x(n)] X(e j )
Thì : 0 ( ) ( ( 0))
n
e
Chứng minh : Theo biểu thức biến đổi Fourier thuận [3.1-2] có :
0 ( ) ( ) 0 ( ) ( 0) ( ( 0) )
n
n j
n
n j n j n
e
Ví dụ 3.6 : Tín hiệu số x(n) có phổ tần số là X(e j) FT[x(n)], hãy tìm phổ tần số của tín hiệu điều biên
) cos(
).
(
)
Giải : Có :
2
0 0
) cos( 0
n j n
e n
Do đó : FT[x(n) cos( n)] FT x(n).e j 0n FT x(n).ej 0n
2
1 2
1
Trang 6Theo tính chất dịch của hàm tần số nhận được :
) (
)
2
1 2
1
)]
cos(
).
(
n n
x
Biểu thức [3.1-31] chính là nội dung của định lý điều biên
3.1.3d Tính chất biến đảo : Biến đổi Fourier của các dãy thực có biến đảo x(n) và x(-n) là hai hàm liên hợp
phức.
Nếu : FT[x(n)] X(e j ) X(e j ) e j ( )
Thì : FTx( n) X(e j ) X* (e j ) X(e j ) e j ( )
Chứng minh : Theo biểu thức biến đổi Fourier thuận [3.1-2] có :
( ) ( ) ( ) ( ).( ) ( j )
n
n j
n
n
e n x n
x
Vì x(-n) là dãy thực nên X(ej ) X* (e j ), do đó nhận được [3.1-32]
Như vậy, các dãy thực nhân quả và phản nhân quả tương ứng có hàm biên độ tần số giống nhau, còn hàm pha tần số ngược dấu
Ví dụ 3.7 : Hãy tìm X(e j) FT[ 2n u( n)]
Giải : Theo biểu thức [3.1-6] và tính chất biến đảo có :
j n
e n
u FT
)]
(
5 , 0 1
1 2
[
3.1.3e Hàm tần số của tích chập hai dãy : Hàm tần số của tích chập hai dãy bằng tích của hai hàm tần số
thành phần.
Nếu : FT[x1(n)] X1(e j ) và FT[x2(n)] X2(e j )
Thì : Y(e j ) FTx1(n) *x2(n) X1(e j ).X2(e j ) [3.1-33]
Chứng minh : Theo biểu thức biến đổi Fourier thuận [3.1-2] có :
e
n
k j k j k
n j
e
2
k n j k
j
Ví dụ 3.8 : Hãy tìm X(e j) FT[ 2n u(n) * (n 1 )]
Giải : Sử dụng các biểu thức [3.1-6] , [3.1-8] với k = 1 , và [3.1-33] , tìm được :
j n
e n
u
5 , 0 1
1 2
)]
[
j
j j
j j
e
e e
e e
5 , 0 1 5
, 0 1
1
)
(
3.1.3f Hàm tần số của tích hai dãy : Hàm tần số của tích hai dãy bằng tích chập của hai hàm tần số thành
phần chia cho 2
Nếu : FT[x1(n)] X1(e j ) và FT[x2(n)] X2(e j )
n x n x
X
) ( ).
2 1
2 1
2
1
[3.1-34]
Hay : 1( ). 2( ) 1( ) * 2( )
2
j
e n
x n x
Chứng minh : Theo biểu thức biến đổi Fourier thuận [3.1-2] có :
n
n j e n x n x n
x n x
2 1 2
Khi thay x1(n) bằng biểu thức biến đổi Fourier ngược của nó :
n
x1( ) X1( j ). j .n
2 1
n
n j n
j
e n
x n x
FT 1( ). 2( ) X1( '). '. ' 2( ). .
2
Trang 7
) ( ).
2
' 1 2
1
2
1
d e
n x e
n x n x
FT
n
n j
j X
2 1
2 1
2
1 2
j
e n
x n x
3.1.3g Công thức Parseval tính năng lượng của tín hiệu theo hàm phổ.
n x
n
2
1
[3.1-37]
Chứng minh : Viết lại biểu thức [3.1-36] dưới dạng :
n
n j n
j j n
n
e n x n
x1( ). 2( ). . 1( ). X2( '). '. ' .
2
Chia cả hai vế của biểu thức trên cho e j n, nhận được :
) ( ).
2
'.
1 2
1
2
1
d e
e n x n
x n
n
n j n
X
) ( ).
2
' 1 2
1
2
1
d e e
n x n
n
X X
Khi cho x1(n) = x2(n) = x(n) thì theo [1.3-5], vế trái của biểu thức trên chính là năng lượng E xcủa tín hiệu số
x(n) :
n x
n
2
1 2
1
n x
n
2
1 2
[3.1-38]
)
(
x
S được gọi là hàm mật độ phổ năng lượng của tín hiệu số x(n), nó là hàm chẵn và đối xứng qua
trục tung Về bản chất vật lý, hàm mật độ phổ năng lượng S x()chính là hàm phân bố năng lượng của tín hiệu trên trục tần số
Ví dụ 3.9 : Hãy xác định năng lượng của tín hiệu số x(n) 2 n u(n)
theo cả hàm thời gian và hàm phổ, so sánh hai kết quả nhận được
Giải : Theo hàm thời gian có :
2 0
2
3
4 4
1
1 4
2 ( 2
) (
) )
(
n n n
n n
n
E
Để xác định năng lượng theo hàm phổ, trước hết tìm :
sin cos ).
( )
(
5 , 0 5
, 0 1
1 5
, 0 1
1 2
j e
e n u
n
n j n
j
X
cos )
sin ( ) cos (
) (
25 , 1
1 5
, 0 5
, 0 1
1
2
j
e
X
Tính năng lượng của x(n) bằng công thức Parseval [3.1-38] :
|
1 25 , 1
1 25 , 1 1
25 , 1
2 2
1 25
, 1
1 2
1
2 2 2
) ( ).
(
cos
tg arctg
d
E x
3
4 75
, 0
0 75
, 0
1 2
2 3 75
,
0
E x
Kết quả tính năng lượng theo hai cách là giống nhau [ ở đây, nếu lấy artg( 0 ) 0 thì E x 0, nên phải lấy artg( 0 ) ]
3.1.3h Đạo hàm của hàm tần số
Nếu : FT[x(n)] X(e j )
d
e d j n x n FT
j
X( ) )
(
Chứng minh : Theo biểu thức biến đổi Fourier thuận [3.1-2] có :
Trang 8
n
n j j
n
n j
d
e d e
n x n
x FT
Nhân cả hai vế của biểu thức trên với j , nhận được biểu thức [3.1-40].
Ví dụ 3.10 : Hãy tìm biến đổi Fourier của dãy x(n) 2 n n.u(n)
n
e n
u
5 , 0 1
1 2
5 , 0 5
, 0 1
1
[
j j
n
e
e e
d d j
n u n FT
3.1.3i Phổ tần số của hàm tương quan rxy(m)
Nếu : FT[x(n)] X(e j ) và FT[y(n)] Y(e j )
Thì : ( ) ( ) ( j ) ( j )
xy j
Chứng minh : Hàm tương quan r xy (m)được xác định theo [1.8-1] ở chương một :
n
Theo biểu thức biến đổi Fourier thuận [3.1-2] có :
m
m j n
m
m j xy
r
m
n j n j m j n
r
FT ( ) ( ) ( )
m
m n j n
n j
r
Ví dụ 3.11 : Cho các tín hiệu số x(n) 2 n u(n)
và y(n) (n 1 ), hãy tìm hàm phổ
)
(e j FT r xy m
xy
Giải : Sử dụng [3.1-6] , [3.1-8] với k = 1 , và [3.1-41], tìm được :
j
j j
j j
j j
xy
e
e e
e e
e
R
5 , 0 1 5
, 0 1
1
)
( ).
( ) (
