Chương 3: Ứng dụng biến đổi Laplace

Ứng dụng biến đổi Laplace

Trường Đại học Bách khoa Hồ Chí Minh Bộ mơn Tốn Ứng dụng - Hàm phức biến đổi Laplace Chương 3: Ứng dụng biến đổi Laplace • Giảng viên Ts Đặng Văn Vinh (9/2007) Nội dung - 0.1 – Giải phương trình hệ phương trình vi phân 0.2 – Ứng dụng vào giải tích mạch điện 0.1 Giải phương trình hệ phương trình vi phân - Để giải phương trình hệ phương trình vi phân với hàm cần tìm y(t) với điều kiện ban đầu: Lấy biến đổi Laplace hai vế phương trình cho thu phương trình theo Y(s) Giải phương trình tìm Y(s) Lấy biến đổi Laplace ngược tìm y(t) L {y (t )} = Y (s ) L {y ' (t )} = sY (s ) − y (0) L {y '' (t )} = s 2Y (s ) − sy (0) − y ' (0) 0.1 Giải phương trình hệ phương trình vi phân - Ví dụ Giải phương trình vi phân y ' (t ) + y (t ) = với điều kiện ban đầu y (0) = L {y ' (t ) + y (t )} = L {1} sY (s ) − y (0) + 2Y (s ) = s 4s + Y (s ) = s (s + 2) −2t y (t ) = + e 2 Y (s ) = + 2s 2(s + 2) 0.1 Giải phương trình hệ phương trình vi phân - Ví dụ Giải phương trình vi phân y '' (t ) + y (t ) = 9t với điều kiện ban đầu y (0) = 0; y ' (0) = L {y '' (t ) + y (t )} = 9L {t } s Y (s ) − sy (0) − y (0) + 4Y (s ) = s s Y (s ) − + 4Y (s ) = s 7s + 9 / 19/ Y (s ) = 2 Y (s ) = + s (s + 4) s s +4 19 y (t ) = t + sin 2t ' 0.1 Giải phương trình hệ phương trình vi phân - Ví dụ Giải phương trình vi phân y '' (t ) − y ' (t ) + y (t ) = 4t + 12e −t ' với điều kiện ban đầu y (0) = 6; y (0) = −1 12 s Y (s ) − sy (0) − y (0) − 3sY (s ) + y (0) + 2Y (s ) = + s +1 s ' 2 Y (s ) = + + + − s s s + s −1 s − y (t ) = + 2t + 2e −t + 3e t − 2e 2t 0.1 Giải phương trình hệ phương trình vi phân - Ví dụ Giải hệ phương trình vi phân x '(t ) − 2x (t ) + y (t ) =   y '(t ) + 2x (t ) − y (t ) = với điều kiện ban đầu x (0) = 8; y (0) = 0.1 Giải phương trình hệ phương trình vi phân - L {x ' (t ) − 2x (t ) + y (t )} =    L {y ' (t ) + 2x (t ) − y (t )} =  sX (s ) − x (0) − X (s ) + 3Y (s ) =   sY (s ) − y (0) + X (s ) −Y (s ) = 8s − 17   X (s ) = s − 3s −   Y (s ) = 3s − 22   s − 3s −  x (t ) = 5e −t + 3e 4t    y (t ) = 5e −t − 2e 4t    X (s ) = s + + s −  Y (s ) = −  s +1 s − 0.1 Giải phương trình hệ phương trình vi phân - Ví dụ Giải hệ phương trình vi phân  x '(t ) − y (t ) =   y '(t ) + 2x (t ) = t với điều kiện ban đầu x (0) = 0; y (0) = 0.1 Giải phương trình hệ phương trình vi phân -  L {x ' (t ) − y (t )} = L {1}   L {y ' (t ) + 2x (t )} = L {1}   1/ 1/   X (s ) = s + s +   Y (s ) = −1/ + 1/ 4s  s  s2 +   sX (s ) − 2Y (s ) = s   sY (s ) + X (s ) =   s2 t sin 2t   x (t ) = +   y (t ) = −1 + cos2t  4 10 0.2 Ứng dụng vào giải tích mạch điện - Ví dụ: Tìm tổng trở tương đương Z(s) 1Ω 2H 1F F 4H 1F 1H 1Ω 21 0.2 Ứng dụng vào giải tích mạch điện - Giải: Chuyển từ miền t sang miền s: 1 s 2s 4s s s s 2 ⋅ s + 5s 4s = + 2s + + Z (s) = + 2s + s s + s + 2 s 4s + 4s + + s s 22 0.2 Ứng dụng vào giải tích mạch điện - Ví dụ Tìm tổng dẫn tương đương Y(s) 4H 2H F 10 F 1Ω 23 0.2 Ứng dụng vào giải tích mạch điện - Giải Chuyển sang miền s 4s 2s 10 s s 1 1 s s Y (s) = = + + + Z ( s ) s s + 10 24 0.2 Ứng dụng vào giải tích mạch điện - Ví dụ Tìm i(t), biết i(0) = 2A, Vc(0) = 4V i(t ) 6u (t ) 1H Vc (t ) 4Ω F 13 25 0.2 Ứng dụng vào giải tích mạch điện - i( s ) Giải Chuyển sang miền s s s Vc ( s ) 13 s s + 2s V (s) = + − = s s s V (s) + 2s i( s ) = = Z ( s ) s + s + 13 13 s + s + 13 Z (s) = s + + = s s ⇒ i(t ) = L {i( s )} = 2e (cos 3t - sin 3t ) −1 -2t 26 0.2 Ứng dụng vào giải tích mạch điện - Ví dụ Tìm V0(s) 3Ω 2u (t ) 1F 1H o+ 2Ω V0 (t ) 6u (t ) o− 27 0.2 Ứng dụng vào giải tích mạch điện - Giải Chuyển sang miền s s i1 s i2 s s  = i1 + i2   s   + i s = i (1 + 2) s  s o+ V0 ( s ) o− V0 ( s) = 2i2 (s ) 4( s + 3) ⇒ V0 ( s ) = ( s + 1)2 28 0.2 Ứng dụng vào giải tích mạch điện - V0 ( s ) Ví dụ Tìm tỉ số với u (t ) = 1, t > 0; c = F Vi ( s ) 1H 1Ω Vi (t ) = u (t ) 1Ω o+ V0 (t ) o− 29 0.2 Ứng dụng vào giải tích mạch điện - Giải Chuyển sang miền s 1Ω i1 i2 i3 Vi ( s )   i1 = i2 + i3   Vi ( s) = i1 + i3  i2 s + i2 = i3  8s 1s o+ 8s V0 ( s ) o− V0 ( s ) = i2 8s V0 ( s ) ⇒ = Vi ( s ) 2(8s + s + 1) 30 0.2 Ứng dụng vào giải tích mạch điện - Ví dụ Tìm dịng I(s), biết i(0) = 10Ω 20e −100t u (t ) 0, H 31 0.2 Ứng dụng vào giải tích mạch điện - Giải Chuyển sang miền s 10 20 s + 100 V (s) I (s) = Z (s) s 20 V (s) = s + 100 s Z ( s ) = 10 + 100 I (s) = ( s + 50)( s + 100) I (t ) = L−1{I ( s )} = 2(e −50t − e −100t ) 32 Miền t Miền s (Laplace) 33 V3 I3 V1 I1 I2 V2 V4 34 35 ... hàm cần tìm y(t) với điều kiện ban đầu: Lấy biến đổi Laplace hai vế phương trình cho thu phương trình theo Y(s) Giải phương trình tìm Y(s) Lấy biến đổi Laplace ngược tìm y(t) L {y (t )} = Y (s )... luật Kirchoff) 18 0.2 Ứng dụng vào giải tích mạch điện - Ví dụ: Tìm tổng trở tương đương Z(s) 2H 1H F F 19 0.2 Ứng dụng vào giải tích mạch... + ) s s 20 0.2 Ứng dụng vào giải tích mạch điện - Ví dụ: Tìm tổng trở tương đương Z(s) 1Ω 2H 1F F 4H 1F 1H 1Ω 21 0.2 Ứng dụng vào giải