1.. Chứng tỏ rằng trong năm số tự nhiên liên tiếp luốn có một số chia hết cho 5. Người ta viết các số tự nhiên tùy ý sao cho số các số lẻ gấp đôi số các số chẵn. Tìm hai số tự nhiên liên[r]
(1)Chuyên đề 1:
Số phần tử tập hợp.Tập hợp
1.Một tập hợp có ,có nhiều phần tử, có vơ số phần tử,cũng có thể khơng có phần tử nào.
2.Tập hợp khơng có phần tử gọi tập rỗng.tập rỗng kí hiệu : Ø.
3.Nếu phần tử tập hợp A thuộc tập hợp B tập hợp A gọi tập hợp tập hợp B, kí hiệu A B hay B A.
Nếu A B B A ta nói hai tập hợp nhau,kí hiệu A=B. Ví dụ 4. Cho hai tập hợp
A = { 3,4,5}; B = { 5,6,7,8,9,10}; a) Mỗi tập hợp có phần tử?
b) Viết tập hợp khác tập hợp rỗng vừa tập hợp tập hợp A vừa tập hợp tập hợp B
c) Dùng kí hiệu để thực hiên mối quan hệ tập hợp A,B tập hợp nói câu b) Dung hình vẽ minh họa tập hợp
Giải a) Tập hợp A có phần tử , tập hợp B có phần tử
b) Vì số phần tử vừa thuộc tập hợp A vừa thuộc tập hợp B.vì có tập hợp C vừa tập hợp tập hợp A ,vừa tập hợp tập hợp B: C = {5}
c) C A C B biểu diễn hình vẽ: Bài tập:
1 Cho hai tập hợp
M = {0,2,4,… ,96,98,100};
Q = { x N* | x số chẵn ,x<100}; a) Mỗi tập hợp có phần tử?
b)Dùng kí hiệu để thực hiên mối quan hệ M Q 2.Cho hai tập hợp
R={m N | 69 ≤ m ≤ 85}; S={n N | 69 ≤ n ≤ 91}; a) Viết tập hợp trên;
b) Mỗi tập hợp có phần tử;
c) Dùng kí hiệu để thực hiên mối quan hệ hai tập hợp 3.Viết tập hợp sau cho biết tập hợp có phần tử: a) Tập hợp A số tự nhiên x mà 17 – x = ;
b) Tập hợp B số tự nhiên x mà 15 – y = 16; c) Tập hợp C số tự nhiên x mà 13 : z = 1;
d) Tập hợp D số tự nhiên t , t N* mà 0:t = 0;
(2)dung kí hiệu để thực hiên mối quan hệ tập hợp học sinh đạt số điểm 10 lớp 6A , tính tổng số điểm 10 lớp
5 Bạn Nam đánh số trang sách số tự nhiên từ đến 265 hỏi bạn nam phải viết tất chữ số?
6 Để tính số trang sách bạn Viết phải viết 282 chữ số hỏi sách có trang
Chunđề2
C¸c phÐp to¸n N 1 Tính chất giao hoán phép cộng phép nhân.
D a + b = b + a ; a.b = b.a
Khi đổi chỗ số hạng tổng tổng khơng đổi Khi đổi chõ thừa số tích tích khơng đổi. 2 Tính chất kết hợp phép cộng phép nhân:
(a + b ) + c = a + ( b + c); (a.b).c = a(b.c);
Muốn cộng tổng hai số với số thứ ba , ta cộng số thứ nhất với tổng hai số thứ hai thứ ba.
Muốn nhân tích hai số với số thứ ba ,ta nhân số thứ với tích số thứ hai số thứ ba.
3 Tính chất phân phối phép nhân phép cộng.: a(b+ c) = ab + ac
Muốn nhân số với tổng , ta nhân số với số hạng của tổng cộng kết lại.
1 Điều kiện để thực phép trừ số bị trừ lớn số trừ. 2 Điều kiện để a chia hết cho b ( a,b N ; b ≠ 0) có số tự nhiên p cho a= b.p.
3 Trong phép chia có dưa;
số bị chia = số chia x thương + số dư ( a = b.p + r) số dư khác nhỏ số chia.
Ví dụ a) Tính tổng sống tự nhiên từ đến 999;
b) Viết liên tiếp số tự nhiên từ đến 999 thành hang ngang ,ta số 123….999 tính tổng chữ số số
Giải a) Ta có + + + ……+ 997 + 998 + 999 = (1+ 999) + ( + 998 ) +(3 + 997 ) … + (409 + 501 ) = 1000.250 = 250000
(3)Ví dụ Tìm số có hai chữ số,biế viêt chữ số xen hai chữ số số có ba chữ số gấp lần số có hai chữ số ban đầu
Giải : gọi số có hai chữ số phải tìm ab a ,b số tự nhiên từ đến 9.theo đề ,ta có:
a0b = ab hay 100a + b = 9( 10a + b ) hay 100a + b = 90a + 9b
Do 5a = 4b phép thử trực tiếp ta thấy số tự nhiên từ đến có a= ,b = thỏa mãn 4a = 5b
Số có hai chữ số phải tìm 54 Bài tập :
1 Tính
a) + + +15 + 23 + ….+ 160; b) + + + + 14 +….+ 60 + 97; c) 78.31 + 78.24 + 78.17 +22.72
2.a)Hãy viết liên tiếp 20 chữ số thành hàng ngang,rồi đặt dấu + xen chữ số để tổng 1000
b) Hãy viết liên tiếp tám chữ số thành hàng ngang,rồi đặt dấu + xen chữ số để tổng 1000
3.Chia số tự nhiên từ đến 100 thành hai lớp : lớp số chẵn lớp số lẻ.hỏi lớp có tổng chữ số lớn lớn bao nhiêu?
4 Điền chữ số thích hợp vào chữ để phép tính : a) ab + 36 = ab ;
b) abc + acc + dbc = bcc
5 Cho ba chữ số a,b,c với < a < b < c ;
a) Viết tập hợp A số có ba chữ số ,mỗi số gồm ba chữ số a, b ,c:
b) Biết tổng hai số nhỏ tập hợp A 488.tìm tổng chữ a + b + c
5 Cho bảng vuông gồm ô vuông hình vẽ
hãy điền vào bảng số tự nhiên từ đến 10
(mỗi số viết lần) cho tổng số hang ,mỗi cột ,mỗi đường chéo
6 Kí hiệu n! tích số tự nhiên từ đến n : n! = 1.2.3…n Tính : S = 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + 5.5!
7 Trong tờ giấy kẻ vng kích thước 50.50 ô vuông ô người ta viết số tự nhiên biết bốn ô tạo thành hình vẽ tổng số bốn chứng tỏ số
4
10
(4)8.Một số có bảy chữ số ,cộng với số viets bảy chữ số theo thứ tự ngược lại tổng số có bảy chữ số.hãy chứng tổ tổng tìm có chữ số chẵn 9.Cho bảng gồm 16 vng hình vẽ điền vào
ô bảng bảng số tự nhiên lẻ từ đến 31 (mỗi số viết lần.) cho tổng số hàng, cột , đường chéo
10.Cho dãy số 1,2,3,5,8,13,21,34,….( dãy số phi bơ na xi) số (bắt đầu từ số thứ ba) tổng hai số đứng liền trước nó.chọn dãy số số liên tiếp tùy ý.chứng minh tổng số số dãy cho
11 Một số chắn có bốn chữ số, số hàng trăm số hang chục lập thành số gấp ba lần chữ số hàng nghìn gấp hai lần chữ số hang đơn vị.tìm số
12.Tìm số a,b,c,d phếp tính sau: abcd + abc + ab + a = 4321
13.Hai người chơi trò chơi bốc viên bi từ hai hộp ngoài.mỗi người đến lượt bốc số viên bi tùy ý người bốc viên bi cuối cacr hai hộp người thắng cuộc.biết hộp thứ có 190 viên bi ,hộp thứ hai có 201 viên bi.hãy tìm thuật chơi để đảm bảo người bốc bi người thắng
Bài tập cñng cè
1 Tính giá trị biểu thức cách hợp lí: A = 100 + 98 + 96 + ….+ - 97 – 95 - …- ;
B = + – – + + – – + + 10 – 11 – 12 + …- 299 – 330 + 301 + 302; Tính nhanh
a) 53.39 +47.39 – 53.21 – 47.21 b)2.53.12 + 4.6.87 – 3.8.40; c) 5.7.77 – 7.60 + 49.25 – 15.42 3.Tìm x biết:
a) x : [( 1800+600) : 30] = 560 : (315 - 35); b) [ (250 – 25) : 15] : x = (450 - 60): 130
Tổng hai số 78293.số lớn hai số co chữ số hàng dơn vị ,chữ hàng chục 1,chữ số trăm 2.nếu ta gạch bỏ chữ số ta số số nhỏ tìm hai số
5.Một phếp chia có thương dư tổng số bị chia ,số chia số dư 195.tìm số bị chia số chia
6.Tổng hai số có a chữ số 836.chữ số hàng trăm số thứ ,của số thứ hai gạch bỏ chữ số hai số có hai chữ số mà số gấp lần số kia.tìm hai số
15 29
23
3 17
(5)7.Một học sinh giải toán phải chia số cho cộng thương tìm với nhâm lẫn em nhân số với sau lấy tích tìm trừ kết hỏi số cần phải chia cho số nào?
Tìm số có ba chữ số biết chữ số hàng trăm hiệu chữ số hàng chục với chữ số hàng đơn vị.chia chữ số hàng chục cho chữ số hàng đơn vị thương dư 2.tích số phải tìm với số có chữ số tận
Tìm số tự nhiên a ≤ 200 biết chia a cho số tự nhiên b thương dư 35
10 Viết số A có chữ số ,viết tiếp chữ số lần ta số B có chữ số.chia số B cho 13 ta số C chia C cho 11 ta số D.lại chia số D cho 7.tìm thưởng phép chia
11 Khi chia số M gồm chữ số giống cho số N gồm chữ số giống thương 233 số dư số r sau bỏ chữ số số M chữ số số N thương khơng đổi số dư giảm 1000.tìm số M N?
chuyên đề 3
L y th a phép toán
1 Lũy thừa bậc n a tích n thừa số nhau,mỗi thừa số a: an = a.a…a ; (n thừa số a, n ≠0).
2.Khi nhân hai lũy thừa số , ta giữ nguyên số cộng số mũ
am an = a(m+n)
Ví dụ
Hãy chứng tỏ rằng: a) (22)3 = 22 3 ; (33)2 = 33 2 ; (54)3 = 5 3;
b) (am)n = a m n ; (m,n N).
Giải:
a) (22)3 = 22.22.22 = 22+ 2+2 = 26 = 22.3
tương tự làm tao có: (33)2 = 33 2 ; (54)3 = 5 3;
b) Một cách tổng quát ta có (am)n = a m n ; (m,n N).
Ví dụ a) Hãy so sánh : 23.53 với (2.5)3 ; 32 52 với (2.5)2;
b) Hãy chứng minh : (a.b)n = an bn ; (n ≠ 0);
Giải a) 23.53 = 8.125 = 1000;
(2.5)3 = 103 = 1000;
Vậy 23.53 = (2.5)3
Tương tự ta dễ dàng chưng minh : (a.b)n = an bn ; (n ≠ 0);
32 52 = (2.5)2;
Bài tập:
1 Viết số sau dạng lũy thừa: a) 10 ; 100 ; 1000; 10000; 100 0; (n số ); b) ; 25; 625; 3125;
2.So sánh số sau:
a) 3200 với 23000 ; b) 1255 với 257 ; c)920 với 2713 d)354 với 281;
(6)a) 5.125.625 ; b) 10.100.1000 ; c) 84.165.32; d) 274.8110 ;
4.So sánh:
a) 1030 với 2100 ; b) 540 với 62010 ;
5.Một hình lập phương có cạnh m a) tính thể tích hình lập phương;
b) cạnh hình lập phương tăng lên lần , lần thể tích hình lập phương tăng lên lần
6 Trong cách viết hệ thập phân số 2100 có chữ số?
C®4.Tính chất chia hết tổng,mét hiƯu, mét tÝch 1 Tính chất 1.nếu tất số hạng tổng chia hết cho
cùng số tổng chia hết cho số :
a ⋮ m ; b ⋮ m ; c ⋮ m ⇒ a + b + c ⋮ m
2 Tính chất ,nếu có số hạng tổng không chia hết cho số ,các số hạng lại chia hết cho số tổng khơng chia hết cho số đó:
a m ; b ⋮ m ; c ⋮ m ⇒ a + b + c m
Ví dụ: Cho ba số tự nhiên a, b, c, a b số chia hết cho dư c số chia cho dư
a) Chứng tổ tổng (hiệu)sau: a + c ; b + c ; a - b ; chia hết cho b) Mỗi tổng(hiệu) sau: a+ b + c ; a + b – c ; a+ c – b ;có chai hết cho không? Giải : đặt a = 5n + ; b = 5m + ; c = 5p + ;(n,m,p N)
a) từ ta có :
a + c = (5n + 5p + 5) ⋮ số hạng chia hết cho Tương tự: b + c = 5m + 5p + ⋮ ; a – b = 5n – 5m ⋮ b) a + b + c = 5n+ 5m + 5p + khơng chia hết cho 5;
tương tự: a + b – c ; a + c – b Bài tập:
1.Tìm số tự nhiên x để: a) 113 + x ⋮ b) 113 + x ⋮ 13 Chứng tỏ rằng:
ab + ba ⋮ 11 ; abc - cba ⋮ 99; 3.Chứng tỏ rằng:
a) Trong ba số tự nhiên liên tiếp , có số chia hết cho 3; b) Trong hai số tự nhiên liên tiếp , cố số chia hết cho 4; Chứng tỏ :
810 – 9 - 8 ⋮ 55 ; 6 + 5 - 4 ⋮ 11; 81 7 – 27 9 - 13 ⋮ 45; 109 – 10 8 - 10 7 ⋮
555;
5.Chứng tỏ : số abcd ⋮ 99 ab + cd ⋮ 99 ngược lại 6.Chứng tỏ : số abcd ⋮ 101 ab - cd ⋮ 101 ngược lại 7.Chứng tỏ rằng:
(7)b) Hiệu số có dạng ab1 số viết số theo thứ tự ngược lại chia hết cho 90
8 Một số có ba chữ số chia hết cho 12 chữ số hang trăm chữ số hang chục Chứng tỏ tổng ba chữ số số chia hết cho 12
C®6 Dấu hiệu chia hết
1 Dấu hiệu chia hết cho 9: số có tổng chữ số chia hết cho 9 chia hết cho số chia hết cho 9. 1 Dấu hiệu chia hết cho 3: số có tổng chữ số chia hết cho
3 chia hết cho số chia hết cho 3.Dấu hiệu chia hết cho : số có chữ số tận chữ số chẵn thì chia hết cho số chia hết cho 2. 2 Dấu hiệu chia hết cho 5: số có chữ số tận chữ số
hoặc chia hết cho số chia hết cho 5.
2.
Ví dụ1 Dùng ba chữ số 9, ,5 để ghép thành số co ba chữ số thỏa mãn điều kiên sau:
a) Số chia hết cho 5;
b) Số chia hết cho cho
Giải a) Một số chia hết cho số tận có ba số có chữ số chia hết cho là: 950 ; 590 ; 905
b)Một số chia hết cho cho số tận có hai số có chữ số chia hết cho cho là: 950 ; 590 ;
Ví dụ2 Cho số 123x43y thay x,y chữ số để số cho chia hết cho Giải Số 123x43y ⋮ nên y = y =
Với y = , ta có số 123x430 số phải chia hết cho , nên + + + x + 4+ +3
⋮
hay 12 + (x+ 1) ⋮ , 1≤ x + ≤ 10 ,nên x + = ; ; - Nếu x + = x = ,ta 1232430
- Nếu x + = x = ,ta 1235430 - Nếu x + = x = ,ta 1238430
Với y = , ta có số 123x435 số phải chia hết cho , nên + + + x + 4+ +3 + ⋮ hay 18 + x ⋮ ,nên x = ; ; ; ta có số sau : 1230435; 1233435;
1236435 1239435 Bài tập :
(8)b) Chia hết cho : 3∗46 ; 199¿∗ ¿
; 20∗1 ; c) Chia hết cho : 16∗5 ; 174¿∗
¿
; 53∗6 ;
2 Dùng ba số 5,6,9 để ghép thành số tự nhiên có ba chữ số: a) Lớn chia hết cho 5;
b) Nhỏ chia hết cho 2;
Tìm tập hợp số tự nhiên n vừa chia hết cho vừa chia hết cho 1995 ≤ n ≤2001
Chứng tỏ năm số tự nhiên liên tiếp luốn có số chia hết cho Chứng tỏ rằng:
a) Trong ba số tự nhiên chọn hai số có hiệu chia hết cho 2; b) Trong sáu số tự nhiên chọn hai số có hiệu chia hết cho 5; Chứng tỏ rằng:
a) (5n + )(4n + 6) ⋮ với số tự nhiên n; b) (8n + )(6n + 5) với số tự nhiên n;
7 Người ta viết số tự nhiên tùy ý cho số số lẻ gấp đôi số số chẵn tổng số viết có chia hết cho hay khơng? Vì sao?
8 Có tờ giấy người ta xé tờ giấy thành mảnh lại lấy số mảnh giấy đó, xé mảnh thành mảnh.cứ sau số lần , người ta đếm 2001 mảnh giấy.hỏi người ta đếm hay sai?
9 Cho sáu chữ số : , ,5 ,6 ,7 ,9
a) cố số có ba chữ số ,các chữ số số khhacs nhau, lập thành từ chữ số trên?
b) Trong số lập thành có số nhỏ 400? Bao nhiêu số số lẻ ? số chia hết cho 5?
Bài tậpcñng cè:
1.Điền chữ số vào dấu * để: a) 2001 + 2∗3 chia hết cho 3; b) 5∗793∗4 chia hết cho 9;
2 Điền chữ số vào dấu * để số chia hết cho mà không chia hết cho : 51¿∗
¿
745¿∗ ¿
3.Dùng ba chữ số 3,6,9,0 ghép thành số tự nhiên có ba chữ số cho số đó: a) Chia hết cho 9;
b) Chia hết cho mà không chia hết cho
4 Phải thay chữ số x, y chữ số để số 123x44 y ⋮ Tổng (hiệu) sau có chia hết cho , cho không?
102001 + ; 102001 –
6 Tìm chữ số x,y biết số 56x3y chia hết cho Tìm chữ số x,y biết số 71x1y chia hết cho 445
(9)a) Là só có ba chữ số; b) Là số chia hết cho 5;
c) Tổng chữ số hàng trăm chữ số hàng đơn vị số chia hết cho 9; d) Tổng chữ số hàng trăm chữ số hàng chục số chia hết cho 4;
C§7 Phân tích số thừa số nguyên tố. Phân tích số tự nhiên thừa số nguyên tố viết số dạng một tích thừa số nguyên tố số tự nhiên lớn phân tích được thừa số nguyên tố.
Dù phân tích số thừa số nguyên tố cách cuối cũng kết quả
Ví dụ Cho sơ tự nhiên A = axbycz a, b, c, số nguyên tố đôi khác nhau,
còn x, y ,z số tự nhiên khác chứng tỏ số ước số A tính cơng thức : (x + 1)(y + 1)(z + 1)
Giải Số ước số A chứa thừa số nguyên tố a x, chứa thừa số nguyên tố b y, chứa thừa số nguyên tố c z, chứa thừa số nguyên tố ab xy, chứa thừa số nguyên tố ac xz, chứa thừa số nguyên tố bc yz, chứa thừa số nguyên tố abc xyz.vì A ước số ước A bằng:
x + y + z + xy + yz + xz + xyz + = x(z + 1) + y(z + 1) + xy(z + 1) + (z + 1) = (z + 1)(x + y + xy + 1) = (z + 1)[(x + 1) + y(x + 1)] = (x + 1)(y + 1)(z + 1)
Ví dụ : số B = 233554 số ước số B (3 + 1)(5 + 1)(4 + 1) = 4.6.5 = 120.
Bài tập
1 Tìm số tự nhiên nhỏ nhất: a) Có ước; b) Có 15 ước
2 Cho số tự nhiên B = axby a,b số nguyên tố khác , x, y số tự
nhiên khác biết B2 có 15 ước hỏi B3 có ước?
3 Tìm số tự nhiên a , biết 105 ⋮ a 16 ≤ a ≤ 50
4 Một trường có 805 học sinh Cần phải xếp hang học sinh để học sinh hàng , biết không xếp 35 hàng khơng 15 hàng
5 Số tự nhiên n có tổng ước n (khơng kể n) gọi số hoàn chỉnh (số hoàn thiện , số hoàn toàn)
a) Chứng tỏ số 28,496 số hồn chỉnh
b) Tìm số hồn chỉnh n , biết n = p.q p,q số nguyên tố
6 Tìm số tự nhiên n, biết số n có 30 ước phân tích thành thừa số ngun tố có dạng n = 2x3y x + y = 8.
(10)1Ước chung hai hay nhiều số ước tất số đó. Bội chung hai hay nhiều số bội tất số đó
.ƯCLN hai hay nhiều số số lớn tập hợp ước chung của số đó.
2 Muốn tìm ƯCLN hai hay nhiều số , ta thực ba bước sau: Bước 1: Phân tích số thừa số nguyên tố.
Bước : Chọn thừa số nguyên tố chung.
Bước : Lập tích thừa số , thừa số lấy với số mũ nhỏ nó.tích ƯCLN phải tìm.
Chú ý: Hai hay nhiều số có ƯCLN gọi số nguyên tố nhau. Trong số cho , số nhỏ ước số cịn lại ƯCLN của số cho số nhỏ đó.
3.Muốn tìm ước chung số cho ,ta tìm ước ƯCLN số đó
Ví dụ1 Tìm số tự nhiên a biết chia 39 cho a dư 4, cịn chia 48 cho a dư Giải Chia 39 cho a dư , nên a ước 39 – = 35 a > chia 48 cho a dư nên a ước 48 – = 42 a > a ước chung 35 42 dơng thồng a >
Ư(35) = { 1, 5, 7, 35} ; Ư(42) = {1,2,3,6,7,14,21,42} ƯC(35,42) = { 1,7} Vậy a =
Ví dụ.2 Tìm hai số tự nhiên cố tổng 432 ƯCLN cua chúng 36
Giải Gọi hai số tự nhiên phải tìm a b ƯCLN(a,b) = 36 , nên a = 36c b = 36d , (c,d) = theo đề tổng hai số 432 nên: a + b = 432 hay 36(c + d) = 432,do c + d = 12 ta phải tìm cặp số c,d có tổng 12 (c,d) = cặp số 11 ; 7.các số tự nhiên cần tìm a = 36 , b = 396 a = 180 , b = 252 ngược lại
Bài tập:
1. Viết tập hợp :
a) ƯC(8,12,24); ƯC(5,15,35); b) BC(8,12,24); BC(5,15,35); 2. Tìm giao hai tập hợp :
A = { n N : n ước 18} B = { m N : m ước 36}
Tìm số tự nhiên a, biết chia 264 cho a dư 24 , cịn chia363 cho a dư 43 Có 100 90 bút bi Cô giáo chủ nhiểm muốn chia số bút thành số phần thưởng gôm bút để phát phần thuopwngr cho học sinh Như cịn lại 18 bút bi khơng thể chia cho học sinh.tính sơ học sinh thưởng? Gọi G tập hợp số bội ; H tập hợp số bội 18 tìm G H Có số sách giáo khoa Nếu xếp thành chồng 10 vừa hết ,thàng chồng 12 thừa cuốn, thành chồng 18 thừa biết số sách khoảng từ 715 đến 1000 cuốn.tìm số sách
(11)1 Tìm ƯCLN ác số có chữ số viết chữ số , 2, ,4, ,6 ,7 ,8 ,9 số chữ số khác
2 Tìm hai số tự nhiên biết tổng chúng 66 , ƯCLN chúng 12 Tìm số tự nhiên ,biết tích chúng 864 ƯCLN chúng
4 Một lớp học có 28 nam 24 nữ.có cách chia số học sinh lớp thành tổ cho số nam nữ chia cho tổ
5 Người ta muốn chia 240 bút bi , 210 bút chì 180 tập giấy thành số phần thưởng Hỏi chia nhiều phần thưởng,mỗi phần thưởng Có bút bi , bút chì, tập giấy?
6 Biết 3n + 5n + ( n N) số không nguyên tố tìm ƯCLN số
Tiết 18 Bội chung nhỏ nhất
1.BCNN hai hay nhiều số số nhỏ khác o tập hợp bội chung các số đó.
2 Muốn tìm BCNN hai hay nhiều số , ta thực bước sau: Bước 1: Phân tích số thừa số nguyên tố.
Bước 2: Chọn thừa số nguyên tố chung riêng.
Bước 3: Lập tích thừa số , thừa số lấy với số mũ lớn nó.tích BCNN phải tìm.
Chú ý: Nếu số cho đôi nguyên tố BCNN chúng tích số đó.
Trong số cho số lơn bội số cịn lại BCNN số cho là số lơn đó.
3.Muốn tìm bơi chung hai hay nhiều số , ta tìm bội BCNN số đó.
Ví dụ: Một số tự nhiên chia cho 2, cho , cho , cho , cho dư , chia cho khơng cịn dư a) Tìm số nhỏ có tính chất
b) Tìm dạng chung số có tính chất Giải.
a) Gọi x số phải tìm x – ⋮ ( ,3 ,4, , 6) nên x – bội chung 2, 3, 4, 5, BCNN ( 2,3,4,5,6) = 60
Vậy x – nhận giá trị: 60 ,120,180,240,300,… x nhân giá trị: 61 ,121 ,181,241,301,… Trong số trên, số nhỏ chia hết cho số 301
b) Vì x – bội 60 nên x- = 60n hay x = 60n + (n N*) x ⋮ ta có : x = 60n + = 7.8n – + (n + 2) Vì 7.8n ⋮ ,do để x ⋮ phải có 4(n + 2) ⋮ hay n + ⋮ dặt n + = 7k n = 7k – (k N*).
x = 60n + = 60 (7k - 2) + = 420k – 119 để tìm x ta việc cho k giá trị : k = 1, 2, 3, … Bài tập
1 Tìm BCNN ba số sau : số nhỏ có hai chữ số ,số lớn có ba chữ số số nhỏ có bốn chữ số
2 Có thể dung chữ số để lập số có dạng : 2, 22, 22,222, cho số đó: a) bội không?
b) Là bội không?
2 Tìm BCNN(30 , 45) ƯCLN(30 ,45) thử lại tích BCNN (30 , 45) ƯCLN(30 , 45) tích hai số 30 45
(12)4 Bạn Nam nghĩ số có ba chữ số bớt số số chia hết cho bớt số chia hết cho ,nếu bớt 10 số chia hết cho hỏi bạn Nam nghĩ số nào?
Cộng hai số nguyên dấu
Muốn cộng hai số nguyên dấu ta cộng hai giá trị tuyêt đối chúng đặt trước kết dấu chúng
Ví dụ. tính tổng số nguyên x biết: a) - 10 ≤ x ≤ - ; b) < x < 15
Giải a) - 10 ≤ x ≤ - nên x = { - 10 , - , - , - , - , - , - , - , - , - 1} Vậy tổng phải tìm : A = (- 10) + (- 9) + (- 8) + (- 7) + (- 6) + (- 5) + (- 4) + (- 3) + (- 2) + ( - 1)
= - ( 10 + + + + + + + + + 1) = - 55 b) < x < 15 nên x = { ,7,8,9,10,11,12,13,14} tổng phải tìm B = + + + + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 = 90
Bài tập:
1 So sánh :
a) │3 + 5│ │3│ + │5│;
b) │(- 3) +(- 5)│ │- 3│ + │- 5│;
Từ rút nhận xét │a + b│ │a│ + │b│ với a , b Z Điền dấu < , > vào trống cách thích hợp:
a) + │- 23│ 15 + │- 33│ b)│- 11│ + │- 8│ + │- 2│ c) │- 21│+│- 6│ -
3 Tìm x Z biết :
a) (+ 22) + (+ 23) + x = 21 + │- 24│ b) │- 3│ + │- 7│ = x +
c) +│x│ = │- 8│+ 11; d) │x│ + 15 = -
Tìm cặp số nguyên x, y biết │x│ + │y│=
Cho số ngun tổng số số nguyên dương Chứng tỏ tổng 31 số số nguyên dương?
Cộng hai số nguyên khác dấu. 1 Hai số nguyên đối có tổng
2 Muốn cộng hai số ngun khác dấu khơng đối ta tìm hiệu hai giá trị tuyệt đối chúng (số lớn trừ số nhỏ) đặt trước kết tìm dấu số có giá trị tuyệt đối lớn
Với số nguyên a ta có a + = + a = a.
Ví dụ. Cho phép cộng (* 15) + ( * 7) dấu * dấu “ + “ dấu “ –“ xác định dấu số hạng để tổng bằng:
(13)Giải Trong câu a b , giá trị tổng tổng giá trị tuyệt đối hai số hạng nên phép cộng hai số nguyên dấu dấu tổng dấu chung hai số hạng đó, ta có :
a) (+ 15) + (+7) = 22; b) (- 15) + (- 7) = - 22
Trong câu c d , giá trị tuyệt đối tổng hiệu hai giá trị tuyệt đối hai số hạng nên phép cộng hai số nguyên khác dấu dấu tổng dấu số có giá trị tuyệt đối lớn hơn, ta có:
c) (+ 15) + (- 7) = 8; d) (- 15) + (+ 7) = - Bài tập
1 Tính tổng │a│ + b , biết: a) a = - 117 , b = 23; b) a = -375 , b = - 725; c) a = - 425 , b = - 425 Tìm x Z , biết :
a) x + 15 = 105 + ( - 5); b) x – 73 = (- 35) + │- 55│; c) │x│ + 45 = │- 17│ + │- 28│ thay dấu * chữ số thích hợp :
a) ( - *15) + ( - 35) = - 150; b) 375 + ( - 5*3) = - 288; c) 155 + ( - 1**) = Tính tổng hai số nguyên:
a) Liền tiếp liền sau số + 15; b) Liền trước liền sau số - 37; c) Liền trước liền sau số 0; d) Liền trước liền sau số a
5.a) Viết số - thành tổng hai số nguyên có giá trị tuyêt đối không lớn 10 b) Viết số - 15 thành tổng hai số nguyên có giá trị tut đối khơng lớn 20
Tính chất phép cộng số nguyên
1 Tính chất giao hoán : với a , b Z : a + b = b + a.
2 Tính chất kết hợp: với a , b Z : a + ( b + c) = (a + b) + c. 3 Cộng với số : với a Z : a + = + a = a.
4 Cộng với số đối : tổng hai số nguyên đối luôn 0: : với a Z : a + ( - a) =
Nếu tổng hai số nguyên o chúng hai số đối : : với a , b Z : a + b = a = - b bà b = - a.
ví dụ: Tính tổng số nguyên x , biết: a) - 10 < x < 10 ;
b) - 10 < x ≤ 10
Giải a) Các số nguyên x thỏa mãn - 10 < x < 10 x = - , - , -7 ,… , , ,9 Tổng số nguyên là:
S = (- 9) + (- 8) + (- 7) + …+ + + = [ (- 9) + 9] + [ (- 8) + 8] + [(- 7) + 7] …= b) Tương tự a) , tổng 10
(14)a) A = + (-3) + + ( - 7) +….+ 17 + ( -19); b) B = (- 2) + + (-6) + + …+ ( - 18) + 20;
c) C = + (-2) + + (-4) + ….+ 1999 + ( - 2000) + 2001; Tính tổng số nguyên x , biết:
a) – 50 < x ≤ 50; b) - 100 ≤ x < 100
Hãy điền số : , - , 2, - , ,- , 6, , 10 vào ô bảng 3.3 = ô vuông ( số ô) cho tổng ba số hàng ngang , hàng dọc , đường chéo
Cho số : - , -4 , - , - , 7, , 11 xếp số cho có số đặt tâm vòng tròn , số cịn lại nằm đường trịn ba số bất kí số nằm đường thẳng mà tổng chúng
Viết tất số ngun có giá trị tuyệt đối khơng vượt 50 theo thứ tự tùy ý Sau dod số cộng với số thứ tự để tổng tính tổng tất tổng tìm
Quy tắc dấu ngoặc.
1 Quy tắc dấu ngoặc : bỏ dấu ngoặc có dấu “ – “ đằng trước , ta phải đổi dấu tất các số hạng dấu ngoặc : dấu “ + “ thành dấu “ – “ dấu “ - “ thành dấu “ + “ Khi bỏ dấu ngoặc có dấu “ + “ đằng trước dấu số hạng ngoặc giữ nguyên. 2 Tổng đại số: tổng đại số ta :
- Thay đổi tùy ý số hạng kèm theo dấu chúng;
- Đặt dấu ngoặc để nhóm số hạng cách tùy ý với ý đằng trước dấu ngoặc dấu “ – “ phải đổi dấu tất số hạng ngoặc
Ví dụ Tính nhanh: A = - 3752 – ( 29 – 3632) – 51
Giải áp dụng quy tắc dấu ngoặc tính chất tổng đại số ta có:
A = - 3752 – ( 29 – 3632) – 51 = - 3752 – 29 + 3632 – 51 = - (3752 – 3632) – ( 29 + 51) A = - 120 – 80 = - 200
Bài tập
1 Tính nhanh:
a) 4524 – ( 864 – 999) – ( 36 + 3999); b) 1000 – ( 137 + 572) + ( 263 – 291 ); c) - 329 + ( 15 – 101) – ( 25 – 440) Tìm số nguyến x , biết :
a) – ( 17 – x) = 289 – ( 36 + 289) b) 25 – ( x + 5) = - 415 – ( 15 – 415); c) 34 + (21 – x) = ( 3747 – 30) – 3746 Tính giá trị biểu thức a – b – c , biết:
a) a = 45 , b = 175 , c = - 130; b) a = - 350, b = - 285, c = 85; c) a = - 720 , b = - 370 , c = - 250
4 Cho n số nguyên : a1, a2 ,…,an chứng tỏ S = │a1 – a2│ + │a2 – a3│+….+│an-1 + an│+│an – a1│ số chẵn
5 Cho 15 số tự nhiên khác khác , số khơng lớn 28 Chứng tỏ 15 số dã cho tìm nhóm gồm số mà số tổng hai số lại nhóm gồm số mà số gấp đơi số cịn lại
Quy tắc chuyển vế.
1 Tính chất đẳng thức : biến đổi đẳng thức ta thường áp dụng tính chất sau:
(15)2 Quy tắc chuyển vế : chuyển số hạng từ vế sang vế đẳng thức ta phải đổi dấu số hạng đó: dấu “ + “ thành dấu “ – “ dấu “ – “ thành dấu “ + “.
Ví dụ: Tìm x Z , biết :
a) – x = (- 21) – ( - 9) , hay – x = -21 + hay – x = - 12 , x = + 12 = 15 b) x – 15 = 17 – 48 hay x = - 16
Bài tập:
1 Tìm y Z , biết : a) y + 25 = - 63 – ( - 17); b) y + 20 = 95 _ 75; c) 2y – 15 = -11 – ( - 16); d) - _ 2y = - 37 – ( - 26)
2 Cho ba số - 25; 15; x (x Z) tìm x , biết : a) Tổng ba số 50; b) Tổng ba số - 35; c) Tổng ba số – 10 Cho x , y Z Hãy chứng minh rằng:
a) x – y > x > y ; b) x > y x – y > Cho a Z tìm số nguyên x biết:
a) a + x = 11 ; b) a – x = 27
Trong trường hợp cho biết với giá trị a x số nguyên dương, số nguyên am , số 0? Cho a Z tìm x Z biết
a) │x│= a ; b) │x + a│ = a
bội ước số nguyên. 1 Bội ước số nguyên : cho a , b Z b≠ có số nguyên q
cho a = bq ta nói a chia hết cho b ta cịn nói a bội b va b ước a. Chú ý :
Nếu a = bq ta cịn nói a chia cho b q viết a : b = q. Số bội số nguyên khác 0.
Số ước số nguyên nào. Các số – ước số nguyên.
2 Tính chất:
Nếu a chia hết cho b b chia hết cho c a chia hết cho c : a ⋮ b b ⋮ c ⇒ a ⋮ c.
Nếu a chia hết cho b bội a chia hết cho b : ∀ m Z ta có a ⋮ b ⇒ a = am ⋮ b.
Nếu hai số a ,b chai hết cho c tổng hiệu chúng chia hết cho c
(16)Giải (n - 6) ⋮ ( n – ) hay [ ( n – ) – 5] ⋮ ( n – ) suy ( - 5) ⋮ ( n – ) hay (n – 1) ước ( - 5) Do đó:
Nếu n – = -1 n = 0; Nếu n – = n = 2; Nếu n – = - n = -4; Nếu n -1 = n = Thử lại:
Với n = n – = - , n- = -1 (– 6) ⋮ ( - 1); Với n = n – = - , n- = (– 4) ⋮ 1;
Với n = -4 n – = - 10 , n- = -5 (– 10) ⋮ ( - 5); Với n = n – = , n- = ⋮ 5;
vậy n = - , , ,6 Bài tập
1 Chứng tỏ :
a) Tổng ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 3; b) Tổng năm số nguyên liên tiếp chia hết cho
2 Có hay khơng hình vng mà số đo độ dài cạnh số nguyên số đo diện tihcs 111…11 ; ( 2001 chữ số 1)?
3 Tìm số nguyên n cho: a) (3n + 2) ⋮ ( n – ) b) (3n + 24) ⋮ ( n – ) c) (n2 + 5) ⋮ ( n + ).
4 Cho x, y số nguyên chứng tỏ 6x + 11y chia hết cho 31 x + 7y chia hết cho 31 điều ngược lại có đứng khơng?
5 Chứng tỏ với số nguyên n : ( n - 1)( n + 2) + 12 không chia hết cho 9; ( n + 2)( n + 9) + 21 không chia hết cho 49;
(17)Hai phân số a
b c
d gọi : a b = c d.
Ví dụ Lập cặp phân số từ bốn năm số sau: 3; 6; 12; 24; 48 Giải Từ năm số cho , có ba đẳng thức sau: 24 = 6.12 ; 3.48 = 6.24; 6.48 = 12.24 Với đẳng thức 3.24 = 6.12 , trước hết ta lập cặp phân số
6 = 12
24 (1) Để lập cặp phân số
nhau khác ta làm sau:
Tráo đổi vị trí số 24 (1), ta cặp phân số 24
6 =
12
3
Tráo đổi vị trí số 12 (1), ta cặp phân số 123 = 246 Tráo đổi vị trí số 24 , 12 (1), ta cặp phân số 24
12 =
Tóm lại từ đẳng thức 3.24 = 6.12, ta lập cặp phân số
Cách làm tương tự với hai đẳng thức lại , ta cặp phân số Vậy có tất 12 cặp phân số nhau:
3 =
12
24 ;
24
6 =
12 ;
3 12 =
6
24 ;
24 12 =
6
3 ;
3 =
48
24 ;
48
6 =
24 ;
3 24 =
6
48 ;
48 24 =
6
3 ;
6 12 =
24
48 ;
48 12 =
24 ;
6 24 =
12
48 ;
48 24 =
12
6 ;
Ví dụ Tìm cặp số ngun x, y biết :
x = y −3
Giải Từ
x = y
−3 , suy xy = -
Để tìm cặp số nguyên x , y ta phải xét tất cách phân tích số -6 dước dangjtichs hai số nguyên: ( - 6) = ( - 1).6 = ( -1) = ( -2) = ( - 3)
Vì vai trị x , y nên có cặp số nguyên thỏa mãn đề :
(18)y -1 -6 -3 -2 Bài tập
1.Viết phân số sau dạng phân số co mẫu dương:
−22
−37 ;
−19 ;
−11
−39 ;
−51
−57 ;
2.Tìm số nguyên x,y biết: a) x
3 =
y ; b) x y =
−3 11 ; c)
x y −1 =
5
−19
3 Tìm số nguyên x , y ,z ,t biết :
12
−6 =
x
5 =
− y
3 =
z −17 =
−t −9
4.Tìm số nguyên x, y , z biết : −24
−6 =
x
3 =
y2 = z3 −2
5 Lập cặp phân số từ bốn sáu số sau : - ; - ; - ; ; 10 ; 15
6 Tìm số tự nhiên a , b , biết a ,b số nguyên tố a+7b
a+5b =
29 28
Rút gọn phân số
1 Muốn rút gọn phân số ta chia tử mẫu phân số cho số ước chung ( khác – 1) chúng để phân số đơn gian hơn. 2 Phân số tối giản phân số rút gọn phân số a
b
tối giản │a│và│b│ hai số nguyên tố nhau.
Ví dụ. Chứng tỏ phân số 5n+3
3n+2 phân số tối giản với ∀ n N
Vì n N , nên 5n + N* 3n + N* để chứng minh phân số 5n+3
3n+2 phân số tối giản với
(19)Gọi ƯCLN 5n + 3n + d ( d N d≥ 1) , ta có 5n + ⋮ d 3n + ⋮ d , 3(5n + 3) ⋮ d 5(3n + 2) ⋮ d suy 5(3n + 2) - 3(5n + 3) ⋮ hay 15n + 10 – 15n – ⋮ d , hay ⋮ d , d = phân số 5n+3
3n+2 phân số tối giản với ∀ n N
Vì dụ tìm phân số phân số −188887
211109 , biết tổng tử mẫu phân số
Giải ta có: −188887
211109 =
−17
19 Các phân số pahir tìm có dạng
−17k
19k (k Z , k ≠ 0)
Vì tổng tử mẫu phân số nên – 17k + 19k = suy k = Vậy phân số phải tìm : −17
19 =
−51 57
Bài tập
1 Rút gọn phân số sau: a)
3 3
22.32 b)
−2¿3.33 55 ¿
¿ ¿
2 Rút gọn phân số sau: a)
2
611.162+62 126.152
2 612.104−812.9603 ; b)
2528+2524+ +254+1
2530+2528+ +252+1
3 Chứng tỏ với số nguyên n , phân số sau phân số tối giản: a) 15n+1
30n+1 b)
n3
+2n
n4+3n2+1
4 Tìm tất số nguyên để phân số 18n+3
21n+7 phân số tối giản
5 a) Cho phân số 13
9 Phải them vào tử mẫu phân số , số tự nhiên để phân số phân
số
7 ?
b) Cho phân số 19
44 Phải thêm vào tử mẫu phân số , số tự nhiên để phân số phân số 22
47 ?
6 Dung chín chữ số từ đến để ghép thành phân số mà phân số : ,3, 4, 5,6 ,7 , 8,
7 Tìm phân số tối giản a
b , biết:
(20)b) cộng mẫu vào tử , cộng mẫu vào mẫu phân sô gấp lần phân số cho Tìm phân số , biết :
a) Phân số phân số
20 BCNN tử mẫu 360;
b) Phân số phân số 20
39 ƯCLN tử mẫu 36
9 Tìm phân số a
ab , biết phân số phân số 6a
10 Chứng tỏ phân số 5n
2
+1
6 số tự nhiên với n N cá phân số
n
2
n
3 phân
số tối giản
Quy đồng mẫu nhiều phân số
Muốn quy đồng mẫu nhiều phân số với mẫu dương ta làm sau:
Bước : Tìm bội chung mẫu ( thường BCNN) để làm mẫu chung. Bươc 2: Tìm thừa số phụ mẫu ( cách chia mẫu chung cho mẫu). Bước 3: Nhân tử mẫu phân số với thừa số phụ tương ứng.
Ví dụ Rút gọn quy đồng mẫu số phân số sau:
4 5+4 11
8 7−4 ;
−15 8+10
5 6+20
24 52.7 23 72.11
Giải rút gọn phân số:
4 5+4 11
8 7+4 =
4(5+11)
4(2 7−3) =
4 16 11 =
16
11 ;
−15 8+10
5 6+20 =
−5(3 8−2 7)
5(6+4 3) =
−5 10 18 =
−10
18 =
−5
9 ;
24 52.7 23 72.11 =
2 23.5 23 7 11 =
2 11 =
10
(21)Quy đồng mẫu ba phân số : 16
11 ;
−5
9 ;
10 77
Mẫu chung : 7.9.11 = 693
Các thừa số phụ tương ứng : 9.7 = 63 ; 7.11 = 77 Vậy : 16
11 =
16 63
11.63 =
1008
693 ;
−5
9 =
−5 77 77 =
−385
693 ;
10
77 =
10 77 =
90
693
Bài tập:
1 Tìm mẫu chung phân số sau : a) 13
22.3 52 11
24 32.5 ; b)
−19
32 11
−23 72.13
2 Tìm tất cá phân số mà tử mẫu số tự nhiên khác có chữ số , tủ mẫu đơn vị có a) BC tử 210;
b) BC mẫu 210; c) BC tử mẫu 210; Tìm chữ số a , b ,c để:
a) Phân số 36
ab = a + b;
b) Phân số 1000
a+b+c = abc
Cho ba phân số: −5
2 −5 32 53
+52 32 ;
46 95+69 120
84.312−611 ;
2929−101 1919+404
Rút gọn quy đồng mẫu phân số
6 Tìm phân số có mẫu 11 , biết cộng tử với – 18, nhân mẫu với phân số phân số ban đầu
7 a) Tìm phân số phân số
18 , có tích tử mẫu 324;
b)Tìm phân số biết tích tử mẫu 550 mẫu phân số chứa số nguyên tố
So sánh phân số
(22)a) Nếu a < c b > a
b < c b
b) Nếu a > c b > a
b > c b .
2 Muốn so sánh hai phân số không mẫu , ta viết chúng dạng hai phân số có mẫu dương so sánh tử với Phân số có tử lớn hơn phân số lơn hơn.
Ví dụ: Hãy tìm phân số , thỏa mãn điều kiện sau: a) Có mẫu 30 , lớn
17 nhỏ 17
b) Có mẫu , lớn
−3 nhỏ
−6
Trong trường hợp xếp phân số theo thứ tự từ nhỏ đến lơn Giải. a) Gọi phân số cần tìm a
30 , a Z., ta có:
17 <
a
30 <
17 , quy đồng mẫu chung ba phân số ta : 150 510 <
17a
510 < 180
510 ; suy
150 < 17a < 180 , < a < 11 , mà a Z nên a = ,10 có hai phân số thỏa mãn đề :
30 =
3 10 ;
10 30 =
1
Sắp xếp phân số theo thứ tự từ nhỏ đến lớn :
17 < 10 <
1 <
6 17
b) Cách làm tươn tự : ta tim ba phân số thỏa mãn đề : −3
5 ;
−2
5 ;
−1
5
Sắp xếp phân số theo thứ tự từ nhỏ đến lớn :
−3 <
−3 < −2 < −1 <
−6
Bài tập :
Điền số thích hợp vào chỗ co dấu … a) −10
(23)b) −1
5 < 30 <
15 <
−1
10
Hãy tìm phân số , cho : a) Có mẫu 20 , lớn
13 nhỏ
13 ;
b) Lớn
7 nhỏ
6
a) Cho phân số
5 cộng thêm vào tử mẫu phân số phân số tìm lớn hay nhỏ
hơn
5 ?
b) Cho phân số
4 cộng thêm vào tử mẫu phân số phân số tìm lớn hay nhỏ
hơn
4 ?
Cho hai phân số
6
3 tìm :
a) Năm phân số có tử mẫu số dương , cho phân sơ lớn
6 nhỏ
3 ;
b) hai mươi phân số có tử mẫu số dương , cho phân sơ lớn
6 nhỏ
3 ;
c) Có nhận xét số phân số có tử mẫu số dương , cho phân số lớn
6
và nhỏ
3 ;
5 Hãy viết ba phân số có mẫu khác , xen hai phân số : −1
2
−1
Tính chất phép cộng phân số
(24)Với phân số a
b c
d ta có : a b +
c d =
c d + a
b .
2 Tính chất kết hợp : muốn cộng tổng hai phân số với phân số thứ ba , ta cố thể cộng phân số thứ với tổng hai phân số lại. Với phân số a
b , c d ,
p
q ta có : ( a b +
c d ) +
p q = a
b + ( c d +
p q ).
3 Tổng phân số với phân số : Với phân số
a
b , ta có a
b + = a
b + = a b .
Ví dụ : Tính nhanh tổng sau: a) A =
7 + −3 + + + −5
8 +
1
3
b) B =
2 + −2 + + −4 + + −6 + + + −5 + + −3 + + −1
Giải.a) Áp dụng tính chất giao hốn kết hợp phép cộng phân số , gộp phân số có mẫu vào nhóm, ta có :
A = (
7 +
4
7 +
1 ) + (
−3
8 +
−5
8 ) +
1 =
1
3
b)Áp dụng tính chất giao hốn kết hợp phép cộng phân số , gộp phân số có tổng vào nhóm, ta có :
B = (
2 + −1 )+( −2 + )+( + −3 )+( −4 + )+( + −5 )+( −6 +
7 ) +
7
B =
8
Bài tập:
1.Thực phép tính cách hợp lí , tính tổng sau: A = −2
9 + −3 + + 15 + 57 +
1 +
−1 36
B =
2 + −1 + −5 + + −3
35 +
1 +
(25)C = = −1
2 +
3
5 +
−1
9 +
1
127 +
−7
18 +
4 35 +
2
2 Tìm số nguyên x biết : a)
3 +
−2
5 +
1
6 +
−1
5 ≤ x <
−3
4 +
2
7 +
3
5 +
5
7 +
−1
4
b)
17 +
−4
9 +
−20
31 +
12
17 +
−11
31 < x ≤
−3
7 +
7
15 +
4
−7 +
15 +
2
3 Cho S =
51 +
1
52 +
1
53 +….+
1
99 +
1
100 Hãy so sánh S với
4 Ba vòi nước chảy vào bể không chứa nước Nếu mở riêng vịi vịi thứ chảy đầy bể , vòi thứ hai chảy vòi thứ ba giờ.Hỏi:
a) Trong giờ, nõi vòi chảy phần bể?