Rèn luyện kỹ năng giải toán chủ đề xác định dãy số dạng sai phân bậc hai cho học sinh trung học phổ thông

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC MAI THỊ HẢO RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CHỦ ĐỀ XÁC ĐỊNH DÃY SỐ DẠNG SAI PHÂN BẬC HAI CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HÀ NỘI - 2021 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC MAI THỊ HẢO RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CHỦ ĐỀ XÁC ĐỊNH DÃY SỐ DẠNG SAI PHÂN BẬC HAI CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TỐN CHUN NGÀNH: LÍ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC (BỘ MƠN TỐN) Mã số: 814020901 Người hướng dẫn khoa học GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU HÀ NỘI - 2021 LỜI CẢM ƠN Thực tế cho thấy, thành công gắn liền với hỗ trợ, giúp đỡ người xung quanh giúp đỡ hay nhiều, trực tiếp hay gián tiếp Trong suốt thời gian từ bắt đầu làm luận văn đến nay, tác giả nhận quan tâm, bảo, giúp đỡ thầy cơ, gia đình bạn bè xung quanh Với lịng biết ơn vơ sâu sắc, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành từ đáy lịng đến q Thầy, Cơ trường Đại học Giáo dục dùng tri thức tâm huyết để truyền đạt cho tác giả vốn kiến thức quý báu suốt thời gian học tập trường Đặc biệt, tác giả xin chân thành cảm ơn GS TSKH Nguyễn Văn Mậu tận tâm bảo hướng dẫn tác giả qua buổi học, buổi nói chuyện, thảo luận đề tài nghiên cứu Nhờ có lời hướng dẫn, dạy bảo đó, luận văn tác giả hồn thành cách suất sắc Một lần nữa, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Thầy! Hà Nội, ngày 25 tháng 11 năm 2020 Tác giả Mai Thị Hảo i DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT GV HS HSG SGK THPT Giáo viên Học sinh Học sinh giỏi Sách giáo khoa Trung học phổ thông ii DANH MỤC CÁC BẢNG VÀ BIỂU ĐỒ Bảng 1.1 Bảng 1.2 Bảng 1.3 Bảng 3.1 Biểu đồ 3.1 Bảng 3.2 Biểu đồ 3.2 Bảng 3.3 Kết mức độ mắc sai lầm học sinh thi kiểm tra Kết đánh giá khó khăn mà thầy gặp phải dạy học rèn luyện kỹ Kết xin ý kiến thầy cô số biện pháp dạy học rèn luyện kỹ Kết điểm kiểm tra lớp thực nghiệm lớp đối chứng Điểm số học sinh sau làm kiểm tra Kết so sánh tham số đặc trưng lớp thực nghiệm lớp đối chứng Tần suất số học sinh đạt điểm xi kiểm tra Bảng tần suất số học sinh đạt điểm xi qua kiểm tra iii 17 18 19 61 62 62 63 63 Mục lục Lời cảm ơn i Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt ii Danh mục hình biểu đồ iii Mở đầu Mở đầu Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Câu hỏi nghiên cứu Khách thể đối tượng nghiên cứu Giả thuyết nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Ý nghĩa lý luận thực tiễn luận 10 Cấu trúc luận văn 1 2 3 4 6 7 9 12 văn Chương Cơ sở lí luận thực tiễn 1.1 Các vấn đề chung kỹ 1.1.1 Khái niệm kỹ 1.1.2 Sự hình thành kỹ 1.1.3 Các yếu tố ảnh hưởng đến hình thành kỹ 1.1.4 Phân biệt kỹ năng, khả kiến thức 1.2 Kỹ giải toán 1.2.1 Khái niệm kỹ giải toán 1.2.2 Vai trị kỹ giải tốn iv 1.3 1.4 1.2.3 Phân loại kỹ mơn Tốn 1.2.4 Các mức độ kỹ giải toán Thực trạng vận dụng dạy học rèn luyện kỹ môn tốn trường trung học phổ thơng Những khó khăn học sinh trung học phổ thơng giải tốn xác định dãy số dạng sai phân bậc hai Chương Rèn luyện kỹ giải toán chủ đề xác định dãy số dạng sai phân bậc hai 2.1 Dãy số sai phân bậc nhị thức bậc 2.2 Dãy số sai phân bậc hai 2.3 Rèn luyện kỹ giải toán chủ đề xác định dãy số dạng sai phân bậc hai 2.3.1 Trường hợp tam thức bậc hai tương ứng có hai nghiệm phân biệt 2.3.2 Trường hợp tam thức bậc hai tương ứng có nghiệm kép 2.3.3 Trường hợp tam thức bậc hai tương ứng khơng có nghiệm thực 2.4 Một số dạng toán liên quan Chương Thực nghiệm sư phạm 3.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm 3.1.1 Mục đích 3.1.2 Nhiệm vụ 3.2 Phương pháp thực nghiệm sư phạm 3.2.1 Thời gian thực nghiệm 3.2.2 Địa điểm thực nghiệm 3.2.3 Đối tượng thực nghiệm 3.2.4 Công cụ thực nghiệm 3.3 Đánh giá kết thực nghiệm 3.3.1 Phân tích định tính 3.3.2 Phân tích định lượng 3.3.3 Kết luận chung thực nghiệm sư phạm 3.3.3 Kết luận chung thực nghiệm sư phạm Kết luận chương v 12 15 15 20 22 22 36 38 38 45 50 52 58 58 58 58 58 58 59 59 59 60 60 60 64 64 65 Kết luận khuyến nghị Kết luận Khuyến nghị 66 66 66 Tài liệu tham khảo 68 Phụ lục MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Luật giáo dục (1998) rõ: " Phương pháp giáo dục phổ thơng phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo học sinh; phù hợp với đặc điểm lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả làm việc theo nhóm; rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh" Một khâu then chốt đổi giáo dục đổi nội dung phương pháp dạy học Với mục tiêu việc đổi diễn sâu rộng tất bậc học, môn học có mơn Tốn Tốn học cung cấp cho kiến thức nhất, giúp có ứng dụng sống hàng ngày Mơn Tốn trường phổ thơng góp phần hình thành phát triển phẩm chất chủ yếu, lực chung lực toán học cho học sinh; phát triển kiến thức, kỹ then chốt tạo hội cho học sinh trải nghiệm, vận dụng toán học vào thực tiễn Trong việc đổi phương pháp dạy học mơn Tốn trường phổ thơng, việc rèn luyện kỹ giải toán cho học học sinh quan trọng việc giải tốn hình thức chủ yếu hoạt động toán học giúp học sinh phát triển tư kỹ cần thiết Dạy tốn dạy kiến thức, tư tính cách kỹ làm tốn có vị trí đặc biệt khơng có kỹ làm tốn khơng phát triển tư Do việc rèn luyện kỹ giải toán cần thiết, đem lại niềm vui, hứng thú u thích mơn tốn học sinh Việc phát triển lực giải toán cho học sinh trường THPT quan tâm, cụ thể: Sở giáo dục có tổ chức nhiều buổi tập huấn, đổi cách thức sinh hoạt chuyên môn theo hướng nghiên cứu học, đổi phương pháp dạy học, dự giờ, thăm lớp Tuy nhiên chương trình tốn học trải dài với nhiều mảng kiến thức nội dung khác nhau, thời gian tiết học ngắn nên việc dạy học nhằm phát triển lực cho học sinh chưa đáp ứng yêu cầu học tập Dãy số nội dung hay khó chương trình tốn phổ thơng Trong kì thi học sinh giỏi tỉnh, quốc gia quốc tế, có xuất nhiều tốn dãy số nói chung dãy số sai phân bậc hai nói riêng ln đánh giá khó với học sinh, yêu cầu cao học sinh tư duy, kỹ Song khai thác tốt nội dung này, phát triển học sinh nhiều kỹ năng, kỹ xảo góp phần nâng cao chất lượng dạy học Xuất phát từ lí trên, tơi chọn đề tài "Rèn luyện kỹ giải toán chủ đề xác định dãy số dạng sai phân bậc hai cho học sinh trung học phổ thơng" Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu luận văn nghiên cứu phát triển lực, kỹ giải toán xác định dãy số dạng sai phân bậc hai; góp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn tốn trường THPT, đặc biệt công tác bồi dưỡng HS giỏi, giúp HS rèn luyện giải toán có nội dung hay khó kì thi học sinh giỏi Nhiệm vụ nghiên cứu - Làm sáng tỏ vấn đề dạy học rèn luyện kỹ cho học sinh bao gồm khái niệm, vai trị, quy trình đánh giá - Đề xuất số biện pháp sư phạm nhằm góp phần phát triển kỹ giải tốn cho học sinh thơng qua dạy học chủ đề xác định dãy số dạng sai phân bậc hai cho học sinh THPT - Xây dựng hệ thống tập xác định dãy số dạng sai phân bậc hai hoạt động học tập trường THPT - Tiến hành thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi, hiệu vận dụng dạy học mơn tốn theo chun đề bồi dưỡng trường THPT Câu hỏi nghiên cứu - Dãy số sai phân bậc hai gì? Dạy học rèn luyện kỹ cho học sinh chủ đề xác định dãy số dạng sai phân bâc hai nào? Giáo viên Giáo án, sách giáo khoa, số đồ dùng dạy học Học sinh - Đồ dùng học tập - Ôn lại kiến thức dãy số, cấp số nhân, cấp số cộng III Phương pháp Giải vấn đề kết hợp phương pháp thuyết trình, đàm thoại, hoạt động nhóm IV Tiến trình A Ổn định lớp B Bài Hoạt động Nhắc lại kiến thức Hoạt động Hoạt động GV Ghi bảng HS I Lí thuyết Định nghĩa nhị thức bậc GV yêu cầu học HS trả lời sinh nhắc lại Nhị thức bậc (đối với x) biểu thức dạng f (x) = ax + b, a b hai số định nghĩa nhị thức bậc nhất, thực cho trước với a = dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân Dãy số Dãy số hàm số từ N vào tập hợp số (R, C, Q, N) hay tập tập hợp Các số hạng dãy số thường kí hiệu un , , xn , yn thay u (n) , v (n) , x (n) , v (n) Bản thân dãy số kí hiệu {xn } Cấp số cộng Dãy số {xn } gọi cấp số cộng tồn d cho ∀n ∈ N, xn+1 = xn + d Học sinh d gọi công sai cấp số cộng, x0 nhớ lại số hạng đầu, xn số hạng thứ n ghi vào Cấp số nhân Dãy số {xn } gọi cấp số nhân tồn q cho ∀n ∈ N, xn+1 = qxn q gọi công bội cấp số nhân, x0 số hạng đầu, xn số hạng thứ n GV giới thiệu HS tiếp thu Dãy số sai phân bậc dãy số sai phân kiến thức Dãy số sai phân bậc dãy số có dạng bậc xn+1 = axn + b, a, b số Hoạt động Tìm hiểu cách xác định dãy số sai phân bậc Hoạt động Hoạt động GV HS Ghi bảng II Phương pháp xác định dãy số sai Từ định nghĩa suy dãy số sai phân HS bậc nhất, GV nghĩ trả lời yêu cầu HS xét trường hợp xảy hệ số a, b phân bậc Xét dãy số sai phân bậc xn+1 = axn + b, (1) a, b số Khi b = dãy số sai phân bậc trở thành cấp số nhân Khi a = dãy số sai phân bậc trở thành cấp số cộng Khi b = 0, a = HS tiếp thu Khi b = 0, a = ta biến đổi dãy số (1) dãy số sai sau: Xét dãy xn = c c số Khi dãy số (1) trở thành: phân bậc trở thành dãy số nào? Khi b = 0, a = c = a.c + b ⇔ c = GV hướng dẫn HS biến đổi dãy số biết Đặt xn = + b 1−a b thay vào (1), ta thu 1−a b b = a + 1−a 1−a b b = a.vn + ⇔vn+1 + 1−a 1−a ⇔vn+1 = a.vn vn+1 + +b Khi dãy số {vn } trở thành cấp số nhân với công bội q = a Hay dãy số {vn } có dạng = C.an (với C số) Suy dãy số {xn } có dạng xn = C.an + b 1−a Hoạt động Luyện tập Hoạt động Hoạt động GV HS -GV đưa -1HS toán gợi mở bảng cách làm -GV yêu cầu HS lên bảng thực toán Ghi bảng lên III Luyện tập thực Bài tốn Tìm dãy số {un } thỏa mãn điều kiện un+1 + 5un = 8, u0 = (3.10) GV nêu toán HS lắng Lời giải Đặt un = + thay vào dãy số nghe, ghi cho, ta thu suy 4 vn+1 + + + nghĩ 3 =8 ⇔vn+1 = −5vn Khi dãy số {vn } trở thành cấp số nhân với GV hướng dẫn học sinh tìm dãy số {un } có dạng un = αn + công bội q = −5 Hay {vn } có dạng = c.(−5)n ⇒ un = c.(−5)n + Chọn n = ta u0 = c + ⇔ c = −1 1− = 3 −1 Vậy un = (−5)n + 3 HS tìm cách Bài tốn Tìm dãy số {un } thỏa mãn điều khử n kiện un+1 = 5un + 3n HS trao đổi u1 = với β trình bày Lời giải Xét dãy số {un } có dạng un = Hướng dẫn HS lời giải a.n.7n thay vào dãy số cho ta biến đổi dãy số a (n + 1) 7n+1 = 7.a.n.7n + 7n+1 cho ⇔ 7an + 7a = 7an + Gọi HS lên bảng ⇔ a = thực Nhận xét Suy un = n.7n xác hóa Đặt un = n.7n + yn thay vào dãy số cho ta lời giải HS (n + 1) 7n+1 + yn+1 = (n.7n + yn ) + 7n+1 ⇔ yn+1 = 7yn Khi dãy số {yn } trở thành cấp số nhân với cơng bội q = Hay {yn } có dạng yn = C.7n Khi dãy {un } có dạng un = C.7n + n.7n Chọn n = ta C + = ⇔ C = Vậy un = 7n + n.7n = (1 + n) 7n Hoạt động Củng cố kiến thức học giao tập cho học sinh Hoạt động Hoạt động GV HS GV yêu cầu HS trả lời Ghi bảng Bài toán Cho dãy số {un } xác định HS nhắc lại nội HS ghi sau: dung lý thuyết tập nhà học GV giao BTVN un+1 u1 = = 5un − 3n − 1, ∀n ∈ N∗ Xác định công thức số hạng tổng quát dãy số Bài toán Cho dãy số {un } xác định un+1 = 2un + 3n ∀n ∈ N u1 = Tìm cơng thức số hạng tổng quát un theo n V Rút kinh nghiệm Tiết 2.Dãy số sai phân bậc hai tốn liên quan I Mục đích u cầu Kiến thức - Hiểu khái niệm dãy số sai phân bậc hai - Liệt kê trường hợp nghiệm dãy số sai phân bậc hai - Biết số ững dụng dãy số sai phân bậc hai Kỹ - Phát biểu định nghĩa dãy số sai phân bậc hai - Phân tích đề áp dụng tính chất lý thuyết đưa để giải toán - Biến đổi dãy số cho dãy số từ tìm lời giải phù hợp - Tính tốn thành thạo có liên hệ với trước - Phát triển thêm toán tương tự Tư duy, thái độ - Rèn luyện tính cẩn thận, phát triển tư phân tích, tổng hợp cho học sinh - Tạo say mê hứng thú u thích mơn Tốn - Hứng thú với toán dãy số sai phân bậc hai Năng lực a) Năng lực chung - Năng lực tự học - Năng lực giải vấn đề - Năng lực giao tiếp hợp tác b) Năng lực chuyên biệt - Năng lực giải vấn đề Toán học - Năng lực tư lập luận Toán học II Phương tiện Giáo viên Giáo án, sách giáo khoa, số đồ dùng dạy học Học sinh - Đồ dùng học tập - Ôn tập lại kiến thức tam thức bậc hai, dãy số sai phân bậc III Phương pháp Giải vấn đề kết hợp phương pháp thuyết trình, đàm thoại, hoạt động nhóm IV Tiến trình A Ổn định lớp B Bài Hoạt động 1.Tìm hiểu dãy số sai phân bậc hai Hoạt động Hoạt động GV HS Ghi bảng - GV yêu cầu - HS trả lời Định nghĩa dãy số sai phân bậc hai HS nhắc lại tam thức bậc hai Dãy số sai phân bậc hai dãy số có dạng xn+2 = axn+1 + bxn + c (3.11) - GV đưa khái - HS tiếp niệm dãy số sai thu khái a, b, c số phân bậc hai Khi c = dãy số sai phân bậc hai trở niệm - GV giới thiệu thành dãy số sai phân bậc hai mục tiêu tiết học, tiết học - HS lắng hôm chúng nghe ta học mở rộng dãy số sai phân bậc dạng toán liên quan đến dãy số sai phân bậc hai Hoạt động Tìm hiểu cách xác định dãy số sai phân bậc hai Hoạt động Hoạt động GV HS Ghi bảng - GV hướng dẫn - HS lắng Phương pháp xác định dãy số sai học sinh tìm nghe ghi phân bậc hai hiểu cách xác định dãy số sai Xét mối quan hệ tam thức bậc hai dãy số sai phân bậc hai phân bậc hai Xét dãy số {xn } thỏa mãn xn+2 = axn+1 + bxn (3.12) Viết dãy số dạng (xn+2 − αxn+1 ) − β (xn+1 − αxn ) = ⇔ xn+2 − (α + β) xn+1 + αβxn = Đồng hệ số ta α+β =a αβ = b Khi α, β nghiệm phương trình bậc hai t2 − at + b = Trường hợp 1: ứng với phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt Đặt yn = xn+1 − αxn Khi (3.12) trở thành yn+1 − βyn = Đây dãy số sai phân bậc suy dãy {yn } có dạng yn = y0 β n Thay yn = y0 β n vào, ta thu xn+1 − αxn = y0 β n Khi dãy số {xn } có dạng xn = A.αn + B.β n Sử dụng giả thiết x0 , x1 cho trước để tìm A, B - GV: Như vậy, HS lắng Tính chất 1: Khi phương trình bậc hai có phương trình nghe ghi hai nghiệm phân biệt α, β dãy số có bậc hai có hai tính chất dạng nghiệm phân biệt HS cần lưu ý tính chất xn = A.αn + B.β n đóA, B số sau Hướng dẫn HS HS lắng Trường hợp 2: ứng với phương trình bậc tìm hiểu trường nghe ghi hai có nghiệm kép hợp phương trình bậc hai có nghiệm kép Đặt yn = xn+1 − αxn Khi (3.12) trở thành yn+1 − βyn = Đây dãy số sai phân bậc suy dãy {yn } có dạng yn = y0 β n Thay yn = y0 β n vào, ta thu xn+1 − αxn = y0 β n Vì phương trình bậc hai có nghiệm kép nên α = β Khi dãy số {xn } có dạng xn = A.n.αn + B.αn = (An + B) αn Sử dụng giả thiết x0 , x1 cho trước để tìm A, B Tính chất 2: Khi phương trình bậc hai có nghiệm kép α = β dãy số có dạng xn = (An + B) αn A, B số - GV: Hướng HS lắng Trường hợp 3: ứng với phương trình bậc dẫn HS tìm hiểu nghe ghi hai vơ nghiệm trường hợp trường hợp Lưu ý: Đưa dãy số cho dãy số phản tuần hoàn Hoạt động Luyện tập Hoạt động Hoạt động GV Ghi bảng HS - GV đưa - HS ghi Ví dụ 1: Tìm dãy số {xn } thỏa mãn điều ví dụ yêu cầu suy nghĩ kiện học sinh áp dụng lý thuyết để làm xn+2 − 5xn+1 + 6xn = x0 = 1, x1 = Lời giải Xét dãy số {xn } thỏa mãn điều kiện xn+2 −5xn+1 +6xn = Do phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt nên theo tính chất 2.1, dãy số {xn } có dạng xn = A.3n + B.2n Chọn n = thay vào ta x0 = A.3o + B.2o ⇔ A + B = (2) Chọn n = thay vào ta x1 = A.31 + B.21 ⇔ 3A + 2B = (3) Từ (2) (3), ta thu A = 0, B = Khi dãy số {xn } có dạng xn = 2n Ví dụ 2: Tìm dãy số {un } thỏa mãn điều kiện un+2 = 6un+1 − 9un + 4n − u0 = 1, u1 = Lời giải Tìm dãy số {un } có dạng un = αn + β thay vào dãy số cho ta đượcun = n + GV gọi HS đứng HS áp dụng Đặt un = n + chỗ nhận tính ta dạng dãy chất để trả số sai phân bậc lời câu hỏi hai Ở vi dụ GV yêu cầu HS tìm dãy số {un } có dạng un = αn + β đưa dãy số cho dãy số sai phân bậc hai + yn thay vào dãy số cho yn+2 − 6yn+1 + 9yn = Do tam thức bậc hai có nghiệm kép nên theo tính chất 2.2, dãy số {yn } có dạng yn = (An + B) 3n HS biến đổi Khi dãy số {un } có dạng un = n + + đồng (An + B) 3n hệ số Chọn n = thay vào ta B + = ⇔ −1 B= Chọn n = thay vào ta = 1 (A + B) + ⇔ A + B = ⇔A= 12 3 Khi dãy số {un } có dạng un = n + + 1 n n− Ví dụ 3: Cho dãy số {un } thỏa mãn điều kiện un+1 = 2un + + 3u2n u1 = GV hướng dẫn HS ghi Chứng minh dãy số gồm tồn số HS làm ví dụ tập 3, u cầu HS nguyên nhà trình bày vào Hoạt động Củng cố kiến thức học giao tập cho học sinh GV chốt lại: Như qua tiết dạy, GV giới thiệu dãy số sai phân bậc nhất, sai phân bậc hai ứng dụng dãy số sai phân bậc hai - Trong thời gian phút cuối, Gv tổ chức hoạt động nhóm: + Chia lớp thành nhóm + Mỗi nhóm có nhiệm vụ tự sáng tạo tốn tìm dãy số sai phân bậc hai (hoặc không nhất) ba trường hợp nghiệm tam thức bậc hai toán ứng dụng dãy số sai phân bậc hai + Sau phút, nhóm đưa chéo cho nhóm khác + Sau nhóm nhà hồn thành tập nhóm nhóm khác giao cho + Buổi sau, nhóm tự chấm chéo chỉnh sửa cho V Rút kinh nghiệm PHỤ LỤC ĐỀ KIỂM TRA SAU KHI TIẾN HÀNH THỰC NGHIỆM Thời gian: 30 phút Bài (3 điểm) Cho dãy số {un } thỏa mãn điều kiện  un +  u n+1 =  u1 = n−1 Bài (3 điểm) Cho dãy số {un } thỏa mãn điều kiện Chứng minh dãy số un = − un+2 = 3un+1 − 2un u0 = 1, u1 = Số 16385 có nằm dãy số khơng? Nếu có số số hạng thứ dãy số đó? Bài (4 điểm) Cho dãy số {un } thỏa mãn điều kiện un+1 = 2un − un−1 + u0 = 1, u1 = Chứng minh un số phương PHỤ LỤC ĐÁP ÁN HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KIỂM TRA SAU KHI TIẾN HÀNH THỰC NGHIỆM Thời gian: 30 phút Bài (3 điểm) Cho dãy số {un } thỏa mãn điều kiện  un +  u n+1 =  u = Hướng dẫn Đặt un = + thay vào giả thiết ta thu 4vn+1 + = (vn + 1) + ⇔ vn+1 = Khi dãy số {vn } trở thành cấp số nhân với công bội q = n n Hay {vn } có dạng = c ⇒ un = c + 4 Chọn n = ta u1 = c + ⇔ c = −4 n n−1 +1=1− Vậy un = −4 4 Bài (3 điểm) Cho dãy số {un } thỏa mãn điều kiện un+2 = 3un+1 − 2un u0 = 1, u1 = Hướng dẫn Dãy số cho tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt nên theo tính chất 2.1, dãy số {un } có dạng un = A + B.(2)n Chọn n = thay vào ta A + B = Chọn n = thay vào ta A + 2B = Từ (2) (3), ta thu A = 1; B = Khi dãy số {un } có dạng un = + 2n Thay un = 16385 ta 16385 = + 2n ⇒ n = 14 Vậy số số hạng thứ 14 dãy số (2) (3) Bài (4 điểm) Cho dãy số {un } thỏa mãn điều kiện un+1 = 2un − un−1 + u0 = 1, u1 = Hướng dẫn Vì tam thức bậc hai có nghiệm kép nên cần tìm dãy số {un } có dạng un = an2 thay vào dãy số cho ta a(n + 1)2 − 2an2 + a(n − 1)2 = ⇔ a = Suy un = n2 Đặt un = n2 + yn Thay vào dãy số cho ta yn+1 − 2yn + yn−1 = Do tam thức bậc hai có nghiệm kép nên dãy số {yn } có dạng yn = An + B Khi dãy số {un } có dạng un = n2 + (An + B) Chọn n = thay vào ta B = Chọn n = thay vào ta A + B + = Suy B = 0; A = Khi dãy số {un } có dạng un = n2 + 2n + = (n + 1)2 Do dãy số {un }là số phương ... trung học phổ thơng giải tốn xác định dãy số dạng sai phân bậc hai Chương Rèn luyện kỹ giải toán chủ đề xác định dãy số dạng sai phân bậc hai 2.1 Dãy số sai phân bậc nhị thức bậc ... riêng Đề xuất quy trình tổ chức dạy học rèn luyện kỹ giải toán chủ đề xác định dãy số dạng sai phân bậc hai cho học sinh trung học phổ thông 9.2 Về mặt thực tiễn Luận văn đưa phương pháp rèn luyện. .. sai phân bậc hai cho học sinh THPT trình bày cụ thể chương 21 CHƯƠNG RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CHỦ ĐỀ XÁC ĐỊNH DÃY SỐ DẠNG SAI PHÂN BẬC HAI Một dạng tốn hay khó chương trình phổ thơng tốn dãy