Một phương pháp xấp xỉ ngoài tìm nghiệm của hệ bất phương trình tuyến tính và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ THỊ HỒNG MỘT PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ NGỒI TÌM NGHIỆM CỦA HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Vũ Thị Hồng MỘT PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ NGỒI TÌM NGHIỆM CỦA HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN ANH TUẤN Thái Nguyên - 2014 i Mục lục Bảng ký hiệu vi Mở đầu 1 Một số khái niệm số toán thực tế đưa tốn tìm nghiệm chấp nhận hệ bất phương trình tuyến tính 1.1 Một số khái niệm tập lồi 1.2 Một số khái niệm liên quan đến hàm số tuyến tính 1.3 Khái niệm miền ràng buộc tuyến tính khơng bị chặn, phương vơ hạn chấp nhận hướng tăng, giảm 1.4 hàm gần lồi - gần lõm 10 Một số mơ hình thực tế 13 1.4.1 Bài toán túi 13 1.4.2 Bài toán lập kế hoạch sản xuất (Cực đại tổng lãi 1.4.3 1.5 suất ) 14 Bài toán mua (thuê) máy bay tối ưu 14 Dạng chuẩn dạng tắc tốn quy hoạch tuyến tính 15 1.5.1 Dạng chuẩn dạng tắc 15 1.5.2 Đưa tốn quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn dạng tắc 16 ii 1.6 Giới thiệu số phương pháp giải tốn quy hoạch tuyến tính 17 1.6.1 Giới thiệu phương pháp đơn hình 17 1.6.2 Giới thiệu phương pháp Kamarkar (Điểm trong) 21 Quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn phương pháp nón xoay [1] 23 2.1 Bài tốn quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn tổng quát 23 2.2 Khái niệm nón tuyến tính, cạnh nón Nón - 24 2.2.1 Khái niệm nón đơn hình tuyến tính 24 2.2.2 Khái niệm cạnh nón đơn hình 24 2.2.3 Khái niệm nón xoay M(r,s) sinh từ nón M 27 2.2.4 Định nghĩa Nón – (Nón cực tiểu) 29 Phương pháp nón xoay tuyến tính 33 2.3.1 Thuật tốn nón xoay tuyến tính 35 2.3.2 Bảng lặp giải toán qui hoạch tuyến tính 2.3 thuật tốn nón xoay tuyến tính ví dụ minh hoạ 37 Thuật tốn nón xoay cho hệ bất phương trình tuyến tính ứng dụng 3.1 46 Thuật tốn nón xoay tìm nghiệm chấp nhận hệ bất phương trình tuyến tính với sở xuất phát từ gốc toạ độ đỉnh nón Rn+ 3.2 47 Bảng lặp nón xoay tìm nghiệm chấp nhận hệ bất phương trình tuyến tính với sở xuất phát từ gốc toạ 3.3 độ đỉnh nón Rn+ 49 Các ví dụ minh hoạ cho thuật tốn BPT 50 iii 3.4 Giải tốn qui hoạch tuyến tính dạng chuẩn từ việc tìm nghiệm chấp nhận hệ bất phương trình tuyến tính đối ngẫu thuật tốn nón xoay bất phương trình (BPT) với sở xuất phát từ gốc toạ độ ví dụ minh hoạ 56 3.4.1 Đưa tốn qui hoạch tuyến tính tốn tìm nghiệm chấp nhận hệ bất phương 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 [-1] Bước x0 0 0 0 12 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Bước x1 0 0 1 13 12 0 0 1 0 0 0 0 0 -100 -10 1 100 1002 0 0 0 0 0 0 0 Bước x2 0 1002 0 -100 -10 [-1] 100 1002 0 0 -1 -1 -100 −1002 -100 -10 (1002 ) 0 −1002 0 -1 -1 -100 -100 -10 0 68 Giải toán theo bảng lặp nón xoay thu gọn ta kết sau bước lặp Vậy với n = sau hai bước lặp phương pháp nón xoay cho ta lời giải toán xopt = (0, 0, 1002 ) Trong trường hợp với n bất kỳ, giải tương tự bảng nón xoay sau: Cơ số bj n n + n + 2n Ai (x0 ) Ai (x1 ) Ai (x2 ) -1 0 0 0 0 -1 0 0 0 2n 0 0 -1 -1 -1 2n + -1 0 -1 -1 -1 2n + -100 2.10 0 -100 -100 -100 2n + n −100n−1 2.10n−1 2.10n−1 0 −100n−1 −100n−1 n−1 n−1 n−1 n−1 3n + 10 0 -1 -2.10 −2.10 10 10 −10n−1 n−2 n−1 n−2 n−2 3n + 10 0 0 -1 −2.10 10 10 −10n−2 3n + n 0 0 (1) 0 n−1 n−2 n−1 n−1 4n + −10 10 -1 100 100 (100 ) 1 0 0 0 0 0 2n − 0 0 0 (2n) 0 0 [-1] Bước x0 0 0 1 0 −10n−1 0 0 −10n−1 (n) 0 0 [-1] n+1 0 3n + n 0 0 100n−1 Bước x1 0 0 1 −10n−1 0 0 −10n−2 0 n−1 0 0 4n + 0 0 n+1 0 1 2n − 0 100n−2 0 3n + n 0 100n−1 0 n−1 Bước x 0 100 0 69 Vậy sau bước lặp thuật toán BPT giải toán KLEE-MINTY kết thúc cho lời giải xopt (0, , 0, 100n−1 ) Qua nhiều ví dụ minh hoạ trên, thấy giải tốn tìm nghiệm chấp nhận hệ bất phương trình tuyến tính thuật tốn BPT số bước lặp đến lời giải tốn tương đương số bước lặp giải thuật tốn đơn hình đơn hình đối ngẫu tương ứng Và rõ ràng bảng lặp rút gọn ma trận ràng buộc A vectơ cột B cần khai báo lần sở liệu đầu vào bước lặp đầu tiên, cịn bước lặp sau giữ ngun giá trị Cịn giải tốn phương pháp đơn hình đối ngẫu tất phần tử ma trận ràng buộc A véc tơ cột B phải tính lại sau bước lặp (vì cột vectơ sở bị thay đổi vị trí bảng sau bước lặp biết) Chính mà số phép tính tốn phương pháp đơn hình đơn hình đối ngẫu nhiều số phép tính thuật tốn nón xoay bước lặp 3.6 Vài nét độ phức tạp tính tốn thuật tốn BPT kết luận Thuật tốn nón xoay BPT trình bày luận văn thuật tốn hữu hạn tìm nghiệm chấp nhận hệ bất phương trình tuyến tính, qua số ví dụ minh họa số giải thuật toán này, thấy số bước lặp trung bình giải tốn có kích thước cỡ mxn O(K.n)(1 ≤ K ≤ 2), n số chiều tốn, số phép tính tốn bước lặp O(nxn) Nếu đánh giá theo thời gian qua kiểm nghiệm chấp nhận thuật tốn nón xoay BPT mặt học thuật coi phương pháp xấp xỉ ngồi để tìm nghiệm chấp nhận hệ bất phương trình tuyến tính với sở 70 xuất phát ban đầu tử gốc tọa độ Mỗi thuật tốn có điểm mạnh riêng điểm yếu riêng sử dụng giải cho lớp toán khác Để so sánh tính hiệu thuật tốn với thuật tốn khác giải lớp tốn khác nhau, mang tính tương đối khơng thể khẳng định thực chúng Vấn đề quan tâm lớp tốn ta sử dụng phương pháp thuật tốn tương ứng để giải cho “hiệu nhất” Chẳng hạn, với ví dụ KLEE-MINTY có số chiều tốn n, giải phương pháp đơn hình cho ta lời giải sau 2n − bước lặp Còn giải ví dụ thuật tốn nón xoay BPT (xem mục 3.4) lời giải nhận sau bước lặp (dù số chiều n bao nhiêu) số phép tính tốn bước O(nxn) Rõ ràng thuật tốn BPT tìm nghiệm chấp nhận hệ bất phương trình tuyến tính, coi thuật tốn thuộc lược đồ xấp xỉ ngồi giải tốn quy hoạch tuyến tính với sở xuất phát ban đầu từ gốc tọa độ Việc đánh giá độ phức tạp tính tốn thuật tốn cịn nhiều thời gian, cịn có nhiều cải tiến nó, từ xây dựng thuật toán tốt giải cho lớp tốn có dạng đặc biệt 71 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Anh Tuấn - Nguyễn Văn Q Quy hoạch tuyến tính với phương pháp nón xoay, NXB giáo dục Việt Nam, 2012, 164 trang [2] Nguyễn Anh Tuấn Quy hoạch gần lồi-gần lõm ứng dụng vào quy hoạch tuyến tính, NXB Khoa học kỹ thuật, 2011,128 trang [3] Nguyen Anh Tuan and Pham Canh Duong Minimization of An Almost-convex and Almost-concave Function, Vietnam Journal of Mathematics, Volume 24, Number 1,1996 (57-74) [4] Nguyen Anh Tuan, Tran Van Yen and Nguyen Van TuanAn Application of Mathematico-Economic Modeling to the Analysis of Air Transportation Planning of the Vietnam Airlines Corporation, Vietnam Journal of Applied Mathematics, III(2):55-66,2005 [5] A.C Belenski Minimization monotone function in a polyhedron set Automatic and Tele-Mechanics 9, 112-121(1982) [6] Bùi Thế Tâm, Trần Vũ Thiệu Các phương pháp tối ưu hố NXB Giao thơng vận tải, 1998, 408 trang [7] H Tuy Convex Analysis and Global Optimization, Kluwer, 1998 [8] Hoàng Tuỵ Lý thuyết quy hoạch, tập 1, NXB Khoa học kỹ thuật, 1967, 108 trang 72 [9] Nguyễn Đức Nghĩa Tối ưu hố (quy hoạch tuyến tính rời rạc), NXB Giáo dục, Hà Nội 1997,192 trang [10] Bùi Minh Trí Bài tập Tối ưu hoá, NXB khoa học kỹ thuật, 2008, 326 trang [11] Phan Quốc Khánh – Trần Huệ Nương Quy hoạch tuyến tính, NXB Giáo dục, 2002, 457 trang [12] Phạm Đình Phùng - Nguyễn Văn Q Tốn Kinh tế, NXB Thống kê Hà Nội, 1993, 265 trang [13] Lê Thanh Huệ Một số kết tốn quy hoạch tuyến tính, luận án Tiến sĩ Toán học (Thư viện Viện Toán học, Viện khoa học Công nghệ Việt Nam), 2009, 76 trang [14] Lê Dũng Mưu Nhập môn phương pháp tối ưu, NXB Khoa học kỹ thuật, 1998 [15] Trần Túc Bài tập Quy hoạch tuyến tính, NXB Khoa học kỹ thuật, 2000, 299 trang [16] Phí Mạnh Ban Bài tập quy hoạch tuyến tính, NXB Đại học Sư phạm, 2011, 379 trang [17] Nguyễn Văn Quý Bài tập toán kinh tế, NXB Tài chính, 2010, 168 trang ... NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Vũ Thị Hồng MỘT PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ NGỒI TÌM NGHIỆM CỦA HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ... tế, NXB Tài chính, 2010, 168 trang Luận văn với đề tài: "MỘT PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ NGỒI TÌM NGHIỆM CỦA HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG" học viên Vũ Thị Hồng chỉnh sửa theo ý kiến đóng góp... ví dụ minh hoạ 37 Thuật tốn nón xoay cho hệ bất phương trình tuyến tính ứng dụng 3.1 46 Thuật tốn nón xoay tìm nghiệm chấp nhận hệ bất phương trình tuyến tính với sở xuất phát từ gốc toạ độ đỉnh