Độ nhảy của nghiệm bài toán cân bằng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Nguyễn Huy Giảng ĐỘ NHẠY CỦA NGHIỆM BÀI TOÁN CÂN BẰNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2014 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Nguyễn Huy Giảng ĐỘ NHẠY CỦA NGHIỆM BÀI TỐN CÂN BẰNG Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn Thái Nguyên - 2014 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ LỜI CẢM ƠN Luận văn hồn thành hướng dẫn tận tình nghiêm khắc thầy giáo GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy hướng dẫn hiệu kinh nghiệm trình học tập nghiên cứu Em xin bày tỏ lòng biết ơn thầy giáo, giáo Viện Tốn học Phòng quản lý đào tạo sau đại học tồn thể thầy giáo, giáo trường ĐHKH Thái Nguyên Tôi xin chân thành cảm ơn bạn học viên chia sẻ tơi khó khăn năm tháng học tập xa nhà Bản luận văn chắn không tránh khỏi khiếm khuyết mong đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn học sinh để luận văn hồn chỉnh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Ý nghĩa khoa học đề tài Chương 1: Các kiến thức 1.1 Các không gian thường dùng 1.1.1Không gian Metric 1.1.2 Khơng gian tuyến tính định chuẩn 1.1.3 Không gian Hilbert 1.1.4 Khơng gian tơpơ tuyến tính lồi địa phương Hausdoff 1.1.5 Nón ánh xạ đa trị 10 1.1.6 Điểm bất động ánh xạ đa trị 12 Chương 2: Bài toán tựa cân tổng quát loại I 14 2.1 Bài toán tựa cân tổng quát loại I toán liên quan 14 2.1.1 Bài toán tựa cân tổng quát loại I 14 1.1.2 Các toán liên quan 15 2.2 Định lý tồn nghiệm 17 2.3 Một số ứng dụng 21 Chương 3: Độ nhạy nghiệm toán tựa cân tổng quát 27 3.1 Tính nửa liên tục ánh xạ nghiệm tốn tựa cân tổng qt.28 3.2 Tính nửa liên tục ánh xạ nghiệm toán tựa cân tổng quát 29 3.3 Áp dụng cho toán điểm cân yếu 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết tối ưu hình thành từ ý tưởng cân kinh tế, lý thuyết giá trị Edgeworth Pareto từ cuối kỷ 19 đầu kỷ 20 Từ lý thuyết tối ưu nghiên cứu sâu rộng ứng dụng vào nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật thực tế Tối ưu véctơ phận quan trọng lý thuyết tối ưu Một số toán lý thuyết tối ưu véctơ gồm có: Bài toán tối ưu, toán cân Nash, toán bù, toán bất đẳng thức biến phân, toán điểm yên ngựa… Bài toán điểm cân nhà tốn học sử dụng để xây dựng mơ hình kinh tế từ nửa sau kỷ 20 tảng cơng trình Arrow-Debreu, Nash Sau toán nhà toán học tiếp tục phát biểu chứng minh tồn nghiệm toán cân dựa định lý điểm bất động Bài tốn phát biểu ngắn gọn là: tìm € K cho với x , K tập cho trước không gian đó, f: K × K → R hàm số thực thỏa mãn f( x) ≥ Đây dạng suy rộng trực tiếp toán cổ điển lý thuyết tối ưu véctơ (xem [1]) Hiện nay, toán cân nhà toán học nghiên cứu rộng không ánh xạ đơn trị mà hàm véctơ ánh xạ đa trị Ngồi với tốn cân tìm nghiệm việc xác định tính ổn định nghiệm toán cân vấn đề mà nhà toán học quan tâm Với lý chọn nghiên cứu đề tài: “ Độ nhạy nghiệm tốn cân bằng” Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 2 Mục đích nghiên cứu Đưa mơ hình tốn tựa cân loại I nghiên cứu tồn ổn định nghiệm tốn Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu toán tựa cân tổng quát loại I ổn định nghiệm ứng dụng Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu ổn định nghiệm toán tựa cân loại I Phƣơng pháp nghiên cứu Để chứng minh tồn ổn định nghiệm toán cân loại I ta sử dụng định lý điểm bất động Ky Fan, Fan-Browder bổ đề Fan-KKM Ý nghĩa khoa học đề tài Trình bày cách có hệ thống kiến thức tốn cân tổng qt loại I, ví dụ tốn trình bày độ trơn nghiệm tốn cân Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Chƣơng Các kiến thức Kiến thức toán học bao gồm nhiều định nghĩa, định lý nhà toán học nghiên cứu từ trước đến nhiều lĩnh vực Nó trở thành cơng cụ đắc lực, tiền đề để nghiên cứu toán liên quan Ở đây, xét tới số không gian để sử dụng làm tiền đề cho toán phần sau 1.1 Các không gian thƣờng dùng 1.1.1 Không gian Metric Định nghĩa 1.1 Cho E tập hợp khác rỗng Một ánh xạ d từ khơng gian tích Descarters vào tập hợp số thực ký hiệu thỏa mãn tiên đề sau: d(x, y) ≥ 0, với x,y E (tính phân biệt dương);d(x, y) = x = y; d(x, y) = d(y, x), với x,y E (tính đối xứng); d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), với x,y,z E (bất đẳng thức tam giác) Khi d gọi khoảng cách metric E, số d(x,y) gọi khoảng cách hai phần tử x y Ví dụ: Một tập E tập số thực R với khoảng cách d(x,y) = (độ dài đoạn nối x với y), không gian metric Cho {(R, )} k = 1….n không gian metric, định nghĩa metric tích hay metric E ánh xạ d gọi Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên sau: http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Kiểm tra d(x,y) metric Ngồi tập hợp ta xây dựng nhiều metric khác để có không gian metric khác Trong không gian metric, ta đưa khái niệm dãy hội tụ sau: Định nghĩa 1.2 Ta nói dãy điểm { } không gian E hội tụ tới điểm khơng gian với hiệu: hay , , d( , ) < , ký Ví dụ: Sự hội tụ đường thẳng thực hội tụ dãy số theo nghĩa thông thường Trong không gian , hội tụ dãy ) có nghĩa x=( ( Điều tương đương với không gian tới ) (i= 1,2,…,k) Vậy hội tụ hội tụ theo tọa độ Định nghĩa 1.3 Cho không gian metric (E,d), a Tập S(a,r) = { x Tập S’(a,r) = { x , số r > Ta gọi: } hình cầu mở tâm a, bán kính r } hình cầu đóng tâm a, bán kính r Định nghĩa 1.4 Cho khơng gian metric (E,d) Ta gọi lân cận điểm x hình cầu mở tâm x, bán kính r Ta phân loại điểm khơng gian metric sau: Cho không gian metric (E,d) tập A Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên : http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Điểm x gọi điểm tập A tồn lân cận điểm x bao hàm tập A Điểm x gọi điểm tập A tồn lân cận điểm x không chứa điểm tập A Điểm x gọi điểm biên tập A lân cận điểm x chứa điểm thuộc tập A điểm không thuộc tập A Tập tất điểm biên tập A ký hiệu Điểm x gọi điểm giới hạn (hay điểm tụ) tập A lân cận điểm x chứa điểm tập A khác x Tập tất điểm giới hạn tập A gọi tập bao đóng ký hiệu A’ Điểm x gọi điểm cô lập tập A x không điểm giới hạn tập A Định nghĩa 1.5 Cho không gian metric (E,d) tập A : Tập A gọi tập mở không gian (E,d), điểm thuộc A điểm A Tập A gọi tập đóng khơng gian (E,d), điểm không thuộc A điểm ngồi A Các khái niệm: Tập mở, tập đóng, lân cận hội tụ tạo không gian cấu trúc gọi cấu trúc tôpô 1.1.2 Khơng gian tuyến tính định chuẩn Ở thấy không gian metric ta nghiên cứu khoảng cách hội tụ tính liên tục Ngồi cịn giải tích cịn có liên quan tới phép cộng hai phần tử nhân phần tử với số Để làm rõ ta xét khái niệm không gian vectơ Định nghĩa 1.6 Một tập X gọi không gian vectơ nếu: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ - Ứng với cặp phần tử x,y X ta có theo quy tắc đó, phần tử X gọi tổng x với y ký hiệu x+y, ứng với phần tử x thuộc X số thực ta có theo quy tắc phần tử ký hiệu X gọi tích x với Các quy tắc nói thỏa mãn điều kiện sau: i) x+y = y+x; ii) (x+y)+z=x+(y+z); iii) Tồn phần tử cho x+0= x, iv) Ứng với phần tử x v) 1.x = x, x vi) ; ta có phần tử -x cho x+(-x)=0; ; )x (trong =( x vii) x= ; viii) = ; số bất kỳ); Định nghĩa 1.7 Cho E khơng gian tuyến tính trường số K, chuẩn X hàm số: Ta nói :X chuẩn E thỏa tính chất sau: , ; ; Nếu chuẩn E, ta nói (E, ) khơng gian vecto định chuẩn Nếu không gian định chuẩn không gian metric đầy đủ với Metric gọi khơng gian Banach Ví dụ: Khơng gian với metric: ; Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 19 Theo định lý điểm bất động Himmelberg tồn điểm nghĩa cho với Vậy định lý chứng minh Nhận xét : Theo L.J.Lin ta xét tốn : Tìm cho Điều kiện tính liên tục đặt lên ánh xạ S, T, F, với điều kiện khác tính lồi nặng ánh xạ F lõm theo biến y tựa giống lồi theo biến z Bằng cách đặt hàm mục tiêu F thích hợp, đồng thời khai thác tính lồi tập A điều kiện (iv) tính đóng ánh xạ F ta xét toán khác lý thuyết tối ưu Dưới số hệ thu sau : Hệ 2.2.1 Cho D, K tập lồi, compact, khác rỗng X, Z Cho ánh xạ đa trị T : D K 2K, G : K D D 2X Giả thiết điều kiện sau thỏa mãn : i) T ánh xạ nửa liên tục với giá trị lồi, đóng khác rỗng; ii) Với điểm (x, y) D K cố định, ánh xạ G(y,x,.) :D 2D KKM; iii) G ánh xạ đóng với giá trị khác rỗng, với điểm (x, y) cố định tập A = {t D t G(y, x, z), với z Khi đó, tồn điểm D} lồi thỏa mãn: với Chứng minh : Định nghĩa ánh xạ F : K F(y, x, t, z) = t - G (y, x, z), (y, x, t, z) D D K D D Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 2X D D D http://www.lrc-tnu.edu.vn/ K 20 Từ G (y, x.) ánh xạ KKM, G đóng nên G có giá trị đóng, áp dụng bổ đề Fan-KKMta có D Do Vì vậy, tồn t G(y,x,z), với z F(y,x,t,z), với z D Từ điều kiện (iii) ta có tập {t D F(y,xt,z), với z {t D t G(y,x,z), với z D} = D} = A tập lồi Do G ánh xạ đóng kéo theo F ánh xạ đống Theo Định lý 2.2.1, tồn điểm cho nghĩa với z , D Ta có điều cần chứng minh Hệ 2.2.2.Cho D, K, T xác định Hệ 2.2.1 ánh xạ G:K D D 2X Giả thiết điều kiện sau thỏa mãn : i) T ánh xạ nửa liên tục với giá trị lồi, đóng khác rỗng; ii) Với điểm (y, x) 2D H(t) = x - G(y, x, t), t K D cố định, ta định nghĩa ánh xạ H : D D KKM; iii) G ánh xạ đóng với giá trị khác rỗng, với điểm (x, y) cố định, tập A = {t điểm Dt DxK D} lồi Khi đó, tồn x - G (y, x, z) với z cho: với Chứng minh: Định nghĩa ánh xạ F ; K F(y,x,t,z) = t-x+G(y,x,z), (y,x,t,z) K D D D D D 2X sau D Do ánh xạ x - G(y,x,.) KKM Vì vậy, tồn điểm t Điều dẫn đến cho D thỏa mãn t t - x + G(y,x,z), với z F(y,x,t,z), với z {t D F(y,x,t,z) với z (x-G(y,x,z)), với z D Do đó, tồn t D D D Theo giả thiết (iii) ta có tập D} = A lồi Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 21 Hơn nữa, F ánh xạ đóng G ánh xạ đóng Theo định lý 2.2.1, tồn điểm thỏa mãn nghĩa , với z với z D, D 2.3 Một số ứng dụng Tiếp theo ta xét hệ Định lý 2.2.1 cho số toán tựa cân vô hướng, tựa quan hệ biến phân vào bao hàm thức tựa biến phân giới thiệu mục 2.1.2 Hệ 2.3.1 Cho D, K, T xác định định lý 2.2.1 S ánh xạ liên tục với giá trị lồi, đóng khác rỗng Giả sử Y = R hàm số D R liên tục Với điểm (y, x) tựa giống lồi K x D cố định, hàm D D D R cho Chứng minh : Ta định nghĩa ánh xạ đa trị M : K D (y,x,.) : D (y,x,x) = Khi đó, tồn F:K :K D 2X , 2X M(y,x) = {t S(x,y) (y,x,z) (y,x,t), với z S(x,y)}; F(y,x,t,z)=t-M(y,x),(y,x,t,z) K x Dx D x D Với điểm y,x) K (y,x,) liên tục Do đó, tồn t D cố định, tập S(x,y) compact hàm S(x,y) cho (y,x,t) (y,x,z), với z S(x,y) Điều dẫn đến M(y,x) tập khác rỗng Lấy t1, t2 M(y,x), t1, t2 S(x,y) (y,x,z) (y,x,z) (y,x,t1) ; (y,x,t2) Do S(x,y) lồi tập lồi nên t1 + (1- )t2 (2.2) (2.3) S(x, y) Từ (y, x,.) tự giống lồi ta suy Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 22 (y, x, t1 +(1- )t2) (y, x, t1); (y, x, t1 +(1- )t2) (y, x, t2) (2.4) (2.5) Kết hợp (2.4) với (2.2) (2.5) với (2.3) ta có (y, x,z) (y, x, t1 +(1- )t2) Từ suy t1 + (1- )t2 M(y, x) Vậy M(y,x) tập lồi Suy tập A = {t sử x z D F(y,x,t,z), với z x, y y, t M(y , x ) S(x,y)} = M(y,x) lồi Tiếp theo, giả t, y , x , z) (y , x , t ), với S(x , y ) Do S nửa liên tục t S(x,y) Từ tính nửa liên tục S x x, y y ta suy với z y ) cho z z Do (y , x , z ) khác, từ tính liên tục t S(z,y) tồn z (y , x , t ), với z S(x , S(x , y ) Mặt kéo theo (y, x, z) (y, x, t) với z S(x, y) Vì M (y, x), nghĩa M ánh xạ đóng F ánh xạ đóng Theo định lý 2.2.1, tồn điểm Hay với Cho R quan hệ bốn y K, x, t, z D Quan hệ R gọi đóng với dãy suy rộng (y , x , t ,z ), (y , x , t ,z ) (y, x, t, z) có quan hệ R(y , x , t ,z ), quan hệ R (y, x, t, z) Sau ta chứng minh tồn nghiệm toán tựa quan hệ biết phân loại I giới thiệu mục 2.1.2 Hệ 2.3.2.Cho D X, K Z tập lồi, conpact, khác rỗng Bài toán tựa quan hệ biến phân loại I có nghiệm thỏa mãn điều kiện sau: i) S ánh xạ liên tục với giá trị lồi, đóng, khác rỗng; ii) T ánh xạ nửa liên tục với giá trị lồi, đóng, khác rỗng; Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 23 iii) Với (x, y) hệ R (y, x, , z) với z iv) Với (y, x) K cố định, tồn t D S (x, y) cho có quan S(x, y); K D tập S(x,y) quan hệ R(y, x, t, z) xảy với z A = {t S(x, y)} lồi; v) R quan hệ đóng Chứng minh: Định nghĩa ánh xạ đa trị M : K F:K D D D 2X , 2X M(y, x) = {t S(x,y) quan hệ R(y, x, t, z) xảy với z F(y, x, t, z) = t - M(y, x), (y, x, t, z) Theo điều kiện (iii), tồn t theo K D D S(x, y)}; D M(y,x), với z S(x,y) Điều kéo F(y,x,t,z), với z S(x,y) Hơn tập A={t S(x,y) F(y,x,t,z), với z S(x,y)} = {t S(x,y) quan hệ R(y,x, t, z) xảy với z S(x,y)} tập lồi Để chứng minh F ánh xạ đóng ta chứng minh M ánh xạ đóng Thật vậy, giả sử x t x, y y, t M(y , x ) t, ta t M(x,y) Từ S(x ,y ) tính nửa liên tục S với giá trị đóng kéo theo t Vì t S(x,y) M(y , x ) quan hệ R(y ,x ,t ,z) xảy với z S(x , y ) Vì S nửa liên tục x x, y y, ta suy với z S(x, y) tồn z Vì vậy, quan hệ R(y ,x ,t ,z ) sảy với z S(x ,y ) cho z z S(x , y ) Do (y , x , t , z ) (y, x, t, z) quan hệ R đóng, ta suy quan hệ R(y, x, t, z) xảy với z S(x,y), nghĩa t M(y,x) Vậy M ánh xạ đóng Theo định lý 2.2.1 theo cách xác định ánh xạ M, F tồn điểm cho ; quan hệ với Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 24 Ta có điều cần chứng minh Mệnh đề 2.3.3 Cho A D, tập khác rỗng, lồi, compact, C nón lồi, 2Y C - tựa giống lồi (-C)- liên đóng Y Ánh xạ G : B tục với giá trị compact khác rỗng Khi đó, tồn điểm , với cho Áp dụng Định lý 2.2.1 Mệnh đề 2.3.1, 2.3.2 ta thu hệ sau tồn nghiệm toán bao hàm thức biến phân lý tưởng Hệ 2.3.2 Cho D, K tập lồi, compact, khác rỗng không gian X, Z tương ứng Cho ánh xạ đa trị: S:D K H, G : K D 2D, T : D Y, C : K D 2K K D 2Y Giả thiết điều kiện sau thỏa mãn : i) S ánh xạ liên tục với giá trị lồi, đóng, khác rỗng; ii) T ánh xạ nửa liên tục với giá trị lồi, đóng, khác rỗng; iii) C ánh xạ nửa liên tục với giá trị nón lồi đóng (nghĩa C(y, x) nón); iv) H (-C)- liên tục với giá trị lồi, đóng khác rỗng ; G C-liên tục với giá trị lồi, compact khác rỗng; v) Với điểm (x,y) D K cố định, ánh xạ G(y,x,) C(y,x)- tựa D D, H(y,x,z) giống lồi trên; vi) Với (y,x,z) Khi tồn K G(y,x,z) cho với Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 25 Chứng minh : Định nghĩa ánh xạ đa trị M : K F:K D D D D 2X , 2X sau: M(y,x) = {(t S(x,y) H(y,x,z) G(y,x,t)+C(y,x), với z S(x,y)}; F(y,x,t,z) = t - M(y,x),(y,x,t,z) K x D x D x D Với điểm (x,y) D x K cố định, áp dụng Mệnh đề 2.3.1 với B = S(x,y), C = C(y,x) G(z) = G(y,x,z) ta suy tồn điểm t G(y,x,z) G(y,x,t) + C(y,x), với z H(y,x,z) G(y,x,t) +C(y,x), với z cho S(x,y) cho S(x,y) Theo (vi), ta kết luận S(x,y), nghĩa tồn t S(x,y) F(y,x,t,z), với z S(x,y) Đặt A = {t D F(y,x,t,z) với z S(x,y)} Lấy t1, t2 A, (H(y, x, z) G(y, x, t1) + C(y,x); (2.6) (H(y, x, z) G(y, x, t2) + C(y,x) (2.7) Từ G C(y,x)- giống tựa lồi kéo theo với [0,1] ta có : G(y,x,t1) G(y,x, t1 +(1- )t2) +C(y,x); (2.8) G(y,x,t2) G(y,x, t1 +(1- )t2) +C(y,x) (2.9) Kết hợp (2.6), (2.7), (2.8) (2.9) ta suy H(y,x,z) G(y,x, t1+(1- )t2)+C(y,x), nghĩa t1+(1- )t2 A Vậy A tập lồi Tiếp theo, giả thuyết x x, y y, t M(y ,x ), t t Do t y ) tính nửa liên tục S với giá trị đóng dẫn đến t S(x , S(x,y) Vì t M (y ,x ) nên H(y , x , z ) G(y , x , t ) + C(y , x ) (2.10) Mặt khác, H (-C)-liên tục (y,x,z), (y , x , z ) nên lân cận V điểm gốc Y, tồn H(y,x,z) H(y , x , z ) + V+C(y,x) với Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (y,z,x) cho cho : (2.11) http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 26 (y,x,t) G C-liên tục (y,x,t), nên tồn Vì (y , x , z ) cho G(y ,x ,t ) Lấy G(y, x, t) + V+C(y,x) với = max{ 1, 2} (2.12) Kết hợp với (2.10), (2.11) (2.12) ta có G(y, x, t) +2V+C(y ,x ) + C(y,z) với H(y,x,z) Mặt khác, C nửa liên tục với giá trị nón lồi đóng, kéo theo với ỳ lân cận V gốc Y,C(y ,x ) H(y,x,z) C(y,x) + V Vậy: G(y, x, t) +3V+C(y,x); Từ tính đóng C(y,x) tính compact G(y,x,t) ta có H(y,x,z) G(y, x, t) +3V+C(y,x) Vì vậy, t M(y,x) M ánh xạ đóng, suy F ánh xạ đóng Theo Định lý 2.2.1, tồn điểm thỏa mãn: ; ; Nghĩa là: Bằng cách chứng minh tương tự Hệ 2.3.3 ta có Hệ sau tồn nghiệm toán bao hàm thức tựa biến phân lý tưởng loại I Hệ 2.3.3.Cho D, K tập lồi, compact, khác rỗng X, Z tương ứng Cho ánh xạ đa trị S:D K 2D, T : D H, G : K D D K Y, C : K 2K D 2Y Giả thiết điều kiện sau thỏa mãn : i) S ánh xạ liên tục với giá trị lồi, đóng, khác rỗng; ii) T ánh xạ nửa liên tục với giá trị lồi, đóng, khác rỗng; iii) C ánh xạ nửa liên tục với giá trị nón lồi, đóng khác rỗng; iv) H ánh xạ (-C) - liên tục với giá trị compact khác rỗng ; G C-liên tục với giá trị đóng khác rỗng; Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 27 v) Với điểm (x, y) K cố định, ánh xạ G(y,x,.) C(y,x)- tựa D giống lồi dưới; vi) với (y,x,z) K D Khi đó, tồn D, G (y,z,x) (y,x,z) cho với Chƣơng Độ nhạy nghiệm toán tựa cân tổng quát Cho X, Z, D, K, Y, C mục trước Cho , tô pô Haudoff Các ánh xạ đa trị S: D F: K D không gian 2D, T: D K K 2K 2Y, với giá trị khác rỗng D thỏa mãn Ta xét toán tựa cân tổng quát : Tìm x( ) y( ) với z Bài toán gọi toán tựa cân tổng quát phụ thuộc tham sô Trong mục 2.3 ta đưa điều kiện đủ để ánh xạ nghiệm M: M( x 2DxK )={ ( , ) với z S( D K/ S( ) x ), T( ), )} có ảnh khác rỗng với ( Ta định nghĩa ánh xạ đa trị E: E( ) = {( , ) D K/ 2DxK sau: S( ), T( )} Nếu S,T ánh xạ đa trị nửa liên tục (dưới) với ảnh đóng ta dễ dàng E ánh xạ liên tục (dưới) Vậy, S,T ánh xạ đa trị liên tục E ánh xạ đa trị liên tục Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 28 3.1 Tính nửa liên tục ánh xạ nghiệm toán tựa cân tổng quát Để thực phần ta chứng minh định lý sau: Định lý 3.1.1 :Cho (x0, 0, 0, 0) Ta giả thiết : D 1) S ánh xạ liên tục với ảnh đóng khác rỗng, T ánh xạ nửa liên tục với ảnh đóng khác rỗng ; 2) F: K D 2Ylà ánh xạ nửa liên tục D Khi ánh xạ M với ảnh đóng nửa liên tục đóng ( 0, 0) Chứng minh : Trước hết, ta chứng minh M đóng ( khơng đóng, tức tồn dãy ( , ( , ) M( , ), ( xạ đóng nên ta suy ( 0, 0)∉ ) M( 0, 0) ( 0, 0) 0), ( , Ta có ( , E( 0) Do (x , ) ) 0, 0) Ta giả sử M ( 0, 0), ) E( ) Vì E ánh M( , ) nên khơng tính tổng qt ta giả thiết : S( , , ) Vì S ánh xạ đa trị nửa liên tục ( , , ) ( 0, S( , , ), z S( 0, Ta có: F( , 0, 0) , , z, ) với z , ta khẳng định tồn F( , , , z, ) ( , , , z, ) ( 0, 0, 0, 0) nên lấy z 0, z, 0) Vì F ánh xạ đa trị đóng ta suy : Vì z S( 0, 0, 0) F( 0, 0, 0, z, 0) nên ta khẳng định: 0, Điều chứng tỏ ( 0, ( 0, F( 0, 0, z, 0) 0) với z S( 0, M( 0, 0) 0, 0) Vậy M ánh xạ đa trị đóng 0) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 29 Bây giờ, ta chứng minh ánh xạ M : ( 0, ( 0, 0) 0) 2D×K nửa liên tục x Thật vậy, giả sử ngược lại, M khơng nửa liên tục Khi đó, tồn tập mở U chứa tập M( 0, hội tụ đến ( 0, 0) tồn ( , ) M( , 0) cho dãy ( , ) ) ∉ U Do tính nửa ), ( , liên tục S nửa liên tục T ta giả thiết ( , ) 0) ( 0, z0 S (x0, 0), ( 0, F( 0, Ta có ( , ) Ta có ( , z S( , ), z 0, 0, M( , F( 0, ) 0, ( 0, , ,z , E( 0) Nếu x0 M( 0, 0) tồn 0) (3.1) ), ( 0, 0, 0), z0 , 0) 0) E( 0) với z0 S( , ) Do S nửa liên tục nên tồn z ( , z, 0) ) ( 0, F( , 0, 0, Vì F đóng nên ta suy ra: , z, ,z , ) 0) F( 0, với (3.1) Vậy M nửa liên tục ( 0, 0, 0, z, 0) Điều mâu thuẫn 0) 3.2 Tính nửa liên tục dƣới ánh xạ nghiệm toán tựa cân tổng quát Ta xét toán tựa cân tổng quát phụ thuộc tham số phần Trong phần này, ta tìm điều kiện đủ để ánh xạ nghiệm M nửa liên tục Ta có định lý sau: Định lý 3.2 : 1) Cho S: D 2) Cho T: D 2D ánh xạ liên tục với ảnh khác rỗng; 2K ánh xạ đa trị nửa liên tục với ảnh khác rỗng đóng; 3) Tập A = {(x,y,z, , ) D K x S(x,y, ),y T(y, x, ), Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 30 0∉F(y, x, x, z, với z S(x,y, )} tập đóng Khi đó, M ánh xạ đa trị nửa liên tục Chứng minh : Lấy ( 0, ( 0, 0) Ta chứng minh M nửa liên tục × Thật vậy, giả sử M không nửa liên tục ( 0, dãy ( , M( , 0) ) 0), ( 0, tồn (x0,y0) M( 0, 0), 0) Tức là, tồn để với (x ,y ) ), (x ,y ) khơng hội tụ (x0,y0) Vì E ánh xạ liên tục, (x0,y0) E( 0) nên tồn dãy (x' ,y' ) (x ',y ') M( , E( ), (x' ,y' ) (x0,y0), ) ) (vì ta thấy khơng có dãy thuộc M( , hội tụ với (x0,y0)) Từ đó, ta suy tồn z' F(y' , x' , x' ,z' , ) S(x' ,y' , ) ' ) Không tính tổng qt ta giả thiết (y , x , x ,z , , ) (y0, x0, x0,z0, Ta có (y , x , x ,z , (y0, x0, x0,z0, 0, 0) , ) 0, 0) A tập đóng, A tức là: F(y0, x0, x0,z0, Điều mâu thuẫn với (x0,y0) 0, 0) M( 0, 0) kéo theo F (y0, x0, x0,z0) Vậy định lý chứng minh 3.3 Áp dụng cho toán điểm cân yếu Cho X, Z, D, K, , trên, ta xét tốn tìm ( ) D × K cho: ∉ Trong đó: , với , nón lồi đóng nhọn Ta định nghĩa ánh xạ đa trị N: N( 2D sau: )={ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 31 (3.2) Ta xét tập: A={ z × }= Nếu ánh xạ × / , với / định nghĩa (3.2) mà nửa liên tục tập nghiệm tốn nửa liên tục Trong trường hợp Bài toán tựa cân toán tựa cân vơ hướng Khi tập: A== ( )={ × / ; Khi ánh xạ ánh xạ nửa liên tục Trong trường hợp ta thấy ánh xạ nghiệm toán cân nửa liên tục Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 32 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] E Blum, and W Oettli, From Optimization and Variational Inqualities to Equilibrium Problems, The Mathematics Student 64 (1993), 1-23 [2] T.T.T Duong and N X Tan, On the Generalized Quasi-Equilibrium Prolem of Type I and Related Problems, Ad In Nonlinem Variational Inequalities Vol 13(2010), No.1, 25-47 [3] N.X Hai, and P.Q Khanh, Systems of set-valued quasivariational inconlusion problems, J Optim Theory Appl 135 (2007), 55-67 [4] N.X Hai, and P.Q Khanh, The existence of e-solutionsl to general quasiequilibrium problems, Vietnam J Math 35 (2007), 563-572 [5] L.J Lin, Z.T Yu, and G Kassay, Existence of Equilibria for Monotone multivalued Mappings and Its Applications to Vectorial Equilibria, Journal of Optimisation Theory and Applications 114 (2002), 189-208 [6] L.J Lin, and N.X Tan, On Inclusion Problems of Type I and Related Problems, J Global Optim 39 (3) (2007), 393-407 [7] D.T Luc, An Abstract Problem in Variational Analysis, J Optim Theory Appl Vol 138 (2008), no.1, 65-76 [8] N.B Minh, and N.X Tan, Some Sufficient Conditions for the Existence of Equilibrium Points Concerning multivalued Mappings, Vietnam Journal of Mathematics 28 (2000), 295-310 [9] S Park, Fixed Points and Quasi-Equilibrium Problems Nonlinear Operator Theory, Mathematical and Computer Modeling.32 (2000), 1297-1304 [10] J Parida, and A Sen, A Variational-Like Inequality for Multifunctions with Applications, Journal of Mathematical Analysis and Applications 124 (1987), 7381 [11] N.X Tan, On the Existence of Solutions of Quasi-Variational Inclusion Problems, Journal of Optimization Theory and Applications 123(2004), 619-638 [12] L.A Tuan, and P.H Sach, Existence of Solutions of Generalized Quasivariational Inequalities with Set-valued Maps, Acta Math Vietnam 29 (2004), 309-316 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ... 1.1.6 Điểm bất động ánh xạ đa trị 12 Chương 2: Bài toán tựa cân tổng quát loại I 14 2.1 Bài toán tựa cân tổng quát loại I toán liên quan 14 2.1.1 Bài toán tựa cân tổng quát... thuyết tối ưu Một số toán lý thuyết tối ưu véctơ gồm có: Bài tốn tối ưu, toán cân Nash, toán bù, toán bất đẳng thức biến phân, toán điểm yên ngựa… Bài toán điểm cân nhà toán học sử dụng để xây... Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 14 Chƣơng Bài toán tựa cân tổng quát loại I 2.1 Bài toán tựa cân tổng quát loại I toán liên quan 2.1.1 Bài toán tựa cân tổng quát loại I Trong thực tế nhà máy