Phương pháp mann tìm nghiệm bài toán cân bằng và điểm bất động của ánh xạ không giãn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THỊ BÍCH THẢO PHƯƠNG PHÁP MANN TÌM NGHIỆM BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHƠNG GIÃN CHUN NGÀNH: TỐN ỨNG DỤNG MÃ SỐ: 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TS NGUYỄN BƯỜNG THÁI NGUYÊN - 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mở đầu Một số ký hiệu chữ viết tắt Chương Một số khái niệm vấn đề 1.1 Một số khái niệm 1.1.1 Định nghĩa không gian Hilbert 1.1.2 Một số khái niệm liên quan 1.1.3 Định nghĩa ánh xạ không giãn 11 1.1.4 Định nghĩa nửa nhóm khơng giãn 11 1.2 Một số tính chất tốn tử 11 1.3 Bài tốn tìm điểm bất động 13 1.4 Bài toán cân 13 1.5 Phương pháp Mann 14 1.5.1 Đặt vấn đề 14 1.5.2 Nội dung phương pháp Mann 14 Chương Nghiệm chung toán cân điểm bất động họ ánh xạ không giãn không gian Hilbert 19 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2.1 Phương pháp tìm điểm bất động nửa nhóm ánh xạ khơng giãn nghiệm tốn cân khơng gian Hilbert 19 2.1.1 Các kết công bố 19 2.1.2 Các bổ đề cần sử dụng 23 2.1.3 Các kết 24 2.1.4 Hệ 33 2.2 Phương pháp lặp cho bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động họ ánh xạ không giãn không gian Hilbert 35 2.2.1 Bất đẳng thức biến phân kết liên quan 35 2.2.2 Các bổ đề cần sử dụng 37 2.2.3 Những kết 38 2.2.4 Áp dụng 43 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn GS.TS Nguyễn Bường Trong suốt trình làm luận văn, thầy dành cho hướng dẫn, bảo tận tình, truyền cho tơi nhiều kiến thức kinh nghiệm quý báu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Trong trình học tập làm luận văn, thông qua giảng, buổi hội thảo tác giả thường xuyên nhận quan tâm giúp đỡ đóng góp ý kiến quí báu PGS TS Lê Thị Thanh Nhàn, TS Nguyễn Thị Thu Thủy quan tâm giảng dạy nhiệt tình thầy cơng tác trường Đại học Khoa Học - Đại học Thái Ngun, Viện Cơng Nghệ Thơng Tin Viện tốn học thuộc Viện khoa học Công nghệ Việt Nam Từ đáy lịng tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy, cô Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy Ban giám hiệu, Tổ Tốn - Trường THPT Trại Cau - Đồng Hỷ - Thái Nguyên tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trình học tập, nghiên cứu hoàn thiện luận văn cao học Cuối cùng, xin chân thành cảm ơn gia đình, anh chị em học viên cao học tốn K3 bạn bè đồng nghiệp động viên khích lệ tác giả trình học tập, nghiên cứu làm luận văn Tác giả Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Bài tốn tìm điểm bất động cho ánh xạ nói chung nhiều nhà tốn học nghiên cứu Định lý Brouwer phát biểu năm 1912 nhà toán học Hà Lan Luizen Egbereis Jan Brouwer cịn có tên Ngun lý điểm bất động Brouwer Đây định lý toán học quan trọng kỷ 20 sau nhiều nhà toán học tiếp tục nghiên cứu Nguyên lý điểm bất động Brouwer: Một ánh xạ liên tục f từ hình cầu đóng Rn vào phải có điểm bất động, tức tồn x cho f (x) = x Ví dụ 0.0.1 Trong mặt phẳng phức ánh xạ liên tục hình trịn đơn vị vào có điểm bất động Sau đó, Schauder (1930), Tikhonov (1935) mở rộng nguyên lý dạng tổng quát gọi nguyên lý Brouwer- Schauder- Tikhonov phát biểu sau: Một ánh xạ liên tục f từ tập lồi compac không gian topo lồi địa phương Hausdorff vào phải có điểm bất động, tức tồn x cho f (x) = x Cho đến nhà tốn học ngồi nước tiếp tục mở rộng định lý cho vấn đề ánh xạ đa trị, ánh xạ khơng giãn hay nửa nhóm khơng giãn Trong khuôn khổ luận văn xin trình bày đề tài: "Phương pháp Mann tìm nghiệm toán cân điểm bất động cho ánh xạ không giãn" Đây vấn đề gặp nhiều nhiều lĩnh vực khoa học ứng dụng Đã có nhiều nhà tốn học nghiên cứu vấn đề Martinet đưa để giải toán Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn bất đẳng thức biến phân, sau Rockafellar mở rộng để giải tốn biến phân toán tử đơn điệu Phương pháp Mann sử dụng để giải toán bất đẳng thức biến phân toán cân bằng, kết đẹp vấn đề Giáo sư - Tiến sĩ Nguyễn Bường với hai cộng Nguyễn Đình Dương Nguyễn Thị Quỳnh Anh đưa hai báo "Phương pháp lặp tìm nghiệm toán cân điểm bất động nửa nhóm ánh xạ khơng giãn khơng gian Hilbert" "Phương pháp lặp cho bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động họ hữu hạn ánh xạ không giãn không gian Hilbert." Luận văn chúng tơi xin trình bày chi tiết kết Bố cục luận văn gồm chương: Chương I Một số khái niệm vấn đề Chương II Nghiệm chung toán cân điểm bất động họ ánh xạ khơng giãn khơng gian Hilbert Do thời gian có hạn nên luận văn dừng lại việc tìm hiểu, tập hợp tài liệu trình bày kết nghiên cứu có theo chủ đề đặt Trong trình viết luận văn q trình xử lý văn chắn khơng tránh khỏi sai sót, mong nhận ý kiến đóng góp q thầy, bạn đọc Thái Nguyên, ngày tháng năm 2011 Tác giả Phạm Thị Bích Thảo Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Một số ký hiệu chữ viết tắt Rn |β| x := y ∀x ∃x : : : : : Không gian Euclide n-chiều Trị tuyệt đối số thực β x định nghĩa y Với x Tồn x I A⊂B A⊆B A∪B A∩B A×B convD xk → x xk x ∗ A D(A) R(A) R C : : : : : : : : : : : : : : Ánh xạ đồng Tập A tập thực tập B Tập A tập tập B A hợp với B A giao với B Tích Đề-các hai tập A B Bao lồi tập D dãy {xk } hội tụ mạnh tới x dãy {xk } hội tụ yếu tới x Toán tử liên hợp toán tử A Miền xác định toán tử A Miền giá trị toán tử A Tập số thực Tập số phức Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Một số khái niệm vấn đề Trong chương này, đề cập đến vấn đề sau Trong mục 1.1, giới thiệu số khái niệm kiến thức liên quan đến không gian Hilbert Trong mục 1.2, chúng tơi trình bày số tính chất tốn tử Trong mục 1.3 chúng tơi trình bày tốn tìm điểm bất động họ ánh xạ không giãn không gian Hilbert Mục 1.4 nội dung toán cân Mục 1.5 nội dung phương pháp MANN 1.1 1.1.1 Một số khái niệm Định nghĩa không gian Hilbert Định nghĩa 1.1.1 Cho X không gian tuyến tính R Một tích vơ hướng X ánh xạ , : X × X → R thoả mãn điều kiện sau: i) x, x > 0, ∀x = 0; x, x = ⇔ x = 0; ii) x, y = y, x , ∀x, y ∈ X; iii) αx, y = α x, y , ∀x, y ∈ X, ∀α ∈ R; iv) x + y, z = x, z + y, z , ∀x, y, z ∈ X Khơng gian tuyến tính X với tích vơ hướng , gọi không gian tiền Hilbert Không gian tiền Hilbert đầy đủ gọi không gian Hilbert Chuẩn phần tử x kí hiệu x xác định x = x, x Các không gian Rn , L2 [a, b] không gian Hilbert với tích vơ hướng Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn xác định tương ứng là: n ξi ηi ; x = (ξ1 , ξ2 , , ξn ) ∈ Rn ; x, y = i=1 y = (η1 , η2 , , ηn ) ∈ Rn ; b ϕ(x)ψ(x)dx, ϕ, ψ ∈ L2 [a, b] ϕ, ψ = a 1.1.2 Một số khái niệm liên quan • Cho X không gian Hilbert, dãy {xn } gồm phần tử xn ∈ X gọi hội tụ mạnh tới phần tử x ∈ X xn − x → n → ∞ Nếu {xn } hội tụ mạnh tới x ∈ X thì: (i) Mỗi dãy {xnk } ⊂ {xn } hội tụ tới x; (ii) Mỗi dãy { xn − ξ } bị chặn, ξ ∈ X • Dãy {xn } ⊂ X gọi đủ hay Cauchy, với ε > 0, tồn n0 (ε) cho: xm − xn < ε với m ≥ n0 (ε), n ≥ n0 (ε) • Cho X, Y hai khơng Hilbert Khi viết A : X → Y có nghĩa A toán tử đơn trị từ X vào Y Khi viết A : X → 2Y có nghĩa A toán tử đa trị từ X vào Y • Tốn tử A : X → R gọi tuyến tính nếu: (i) A(x1 + x2 ) = Ax1 + Ax2 ∀x1 , x2 ∈ X; (ii)A(αx) = αAx ∀α ∈ R, x ∈ X • Tốn tử tuyến tính A gọi bị chặn, tồn số M > cho Ax ≤ M x Giá trị số M nhỏ thỏa mãn bất đẳng thức gọi chuẩn A ký hiệu A Mệnh đề 1.1.1 Cho X không gian Hilbert x0 ∈ X phần tử tùy ý Khi tồn hàm tuyến tính ϕ : X → R cho ϕ = ϕ(x0 ) = x0 • Tập hợp tất phiếm hàm tuyến tính liên tục X gọi không gian liên hợp (hay không gian đối ngẫu X) ký hiệu X ∗ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn • Dãy {xn } gồm phần tử xn ∈ X gọi hội tụ yếu tới phần tử x ∈ X (viết tắt xn x) φ, xn → φ, x với φ ∈ X ∗ • Cho X khơng gian Hilbert, C tập X Một ánh xạ T : C → X gọi demicompact, thỏa mãn tính chất với dãy {xn } bị chặn X {T xn − xn } hội tụ mạnh tồn dãy {xnk } {xn } hội tụ mạnh đến p T (x) = p Nếu dãy {xn } hội tụ yếu tới x ∈ X dãy { xn } bị chặn Định nghĩa 1.1.2 Cho X không gian Hilbert, M tập khác rỗng X (i) M gọi lồi với x, y ∈ M, ≤ λ ≤ ta có: λx + (1 − λ)y ∈ M ; (ii) M gọi compact dãy {xn } ⊂ M chứa dãy hội tụ tới điểm thuộc M • Mỗi tập đóng bị chặn M khơng gian Hilbert compact yếu, tức với dãy bị chặn M trích dãy hội tụ yếu tới phần tử không gian tập đóng yếu, {xn } • Tập M ⊂ X gọi x, x ∈ M Định lý 1.1.1 Định lý Mazur Mỗi tập lồi đóng khơng gian Hilbert đóng yếu Định nghĩa 1.1.3 Một phiếm hàm ϕ xác định X gọi lồi, ϕ(tx + (1 − t)y) ≤ tϕ(x) + (1 − t)ϕ(y) với x, y ∈ X, t ∈ [0, 1] Nếu dấu "=" xảy x = y, ϕ gọi lồi chặt • Nếu tồn hàm liên tục tăng γ : [0; +∞) → R, γ(0) = cho: ϕ(tx + (1 − t)y) ≤ tϕ(x) + (1 − t)ϕ(y) − t(1 − t)γ( x − y ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2.2 2.2.1 Phương pháp lặp cho bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động họ ánh xạ không giãn không gian Hilbert Bất đẳng thức biến phân kết liên quan Cho C tập lồi đóng khác rỗng khơng gian Hilbert H với tích vơ hướng ·, · chuẩn · cho F : H → H ánh xạ phi tuyến Vấn đề bất đẳng thức biến phân xây dựng việc tìm điểm p∗ ∈ C cho F (p∗ ), p − p∗ ≥ 0, ∀p ∈ C (2.25) Bất đẳng thức biến phân nghiên cứu ban đầu Stampacchia [4] kể từ áp dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực như: phương trình vi phân phần, điều khiển tối ưu, tối ưu hóa, lập trình tính tốn, khí tài (xem [4]-[25]-[27]-[12]) Nó biết đến F L-Lipschitz liên tục η-đơn điệu mạnh, F thỏa mãn điều kiện sau đây: F (x) − F (y) ≤ L x − y ; F (x) − F (y), x − y ≥ η x − y , L η số khơng đổi, (2.25) có nghiệm Khi tốn (2.25) tương đương với việc tìm điểm bất động p = PC (p − µF (p)), (2.26) với PC phép chiếu phần tử x ∈ H vào C µ số không đổi Cho {Ti }N i=1 họ hữu hạn ánh xạ không giãn C Việc tìm phần tử p ∈ ∩N i=1 F ix(Ti ), Xu Ori giới thiệu [11] trình lặp với x0 ∈ C {βk }∞ k=1 ⊂ (0, 1), dãy {xk } thành lập sau: x1 = β1 x0 + (1 − β1 )T1 x1 , x2 = β2 x1 + (1 − β2 )T2 x2 , ························ 35 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn xN = βN xN −1 + (1 − βN )TN xN , xN +1 = βN +1 xN + (1 − βN +1 )T1 xN +1 , ································ Biểu thức thu gọn là: xk = βk xk−1 + (1 − βk )T[k] xk , T[n] = Tn modN , k ≥ 1, (2.27) với số nguyên n ≥ 1, với hàm mod lấy giá trị tập {1, 2, · · ·, N.} Họ chứng minh kết sau Định lý 2.2.1 Cho H không gian Hilbert thực C tập lồi đóng khác rỗng H Cho {Ti }N i=1 N ánh xạ khơng giãn từ C vào cho ∩N i=1 F ix(Ti ) = ∅, F ix(Ti ) = {x ∈ C : Ti x = x} x0 ∈ C {βk }∞ k=1 dãy số (0, 1) cho limk→∞ βk = Khi đó, dãy {xk } xác định (2.27) hội tụ yếu đến điểm bất động chung họ ánh xạ {Ti }N i=1 Gần đây, Zeng Yao nghiên cứu [17] tìm phương pháp lặp Cho phần tử x0 ∈ H, dãy {xk }∞ k=1 dãy xác định : x1 = β1 x0 + (1 − β1 )[T1 x1 − λ1 µF (T1 x1 )], x2 = β2 x1 + (1 − β2 )[T2 x2 − λ2 µF (T2 x2 )], ···································· xN = βN xN −1 + (1 − βN )[TN xN − λN µF (TN xN )], xN +1 = βN +1 xN + (1 − βN +1 )[T1 xN +1 − λN +1 µF (T1 xN +1 )], ·················································· Có thể viết biểu thức thu gọn sau: xk = βk xk−1 + (1 − βk )[T[k] xk − λk µF (T[k] xk )], k ≥ (2.28) Họ đưa kết sau: 36 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định lý 2.2.2 Cho H không gian Hilbert thực F : H → H ánh xạ phi tuyến xác định tham số L, η > 0, F L-Lipschitz liên tục η-đơn điệu mạnh Cho {Ti }N i=1 N ánh xạ không giãn từ H vào ∞ cho C = ∩N i=1 F ix(Ti ) = ∅ Cho µ ∈ (0, 2η/L ), cho x0 ∈ H, {λk }k=1 ⊂ [0, 1) {βk }∞ k=1 ⊂ (0, 1) thỏa mãn điều kiện: ∞ k=1 λk < ∞ α ≤ βk ≤ β, k ≥ 1, với α, β ∈ (0, 1) Khi đó, dãy {xk } xác định (2.28) hội tụ yếu đến điểm bất động chung họ ánh xạ không giãn {Ti }N i=1 Sự hội tụ hội tụ mạnh lim inf k→∞ d(xk , C) = Rất gần đây, Ceng, Wong Yao [18] mở rộng kết cho họ hữu hạn ánh xạ không giãn C Rõ ràng, từ điều kiện ∞ k=1 λk < ∞ ta có λk → k → ∞ Để có hội tụ mạnh mà khơng có điều kiện ∞ k=1 λk < ∞, [20] giới thiệu thuật toán lặp sau: xt = T t xt , T t := T0t TNt T1t , t ∈ (0, 1), (2.29) Tit xác định Tit x = (1−βti )x+βti Ti x, i = 1, ···, N, T0t y = (I−λt µF )y, x, y ∈ H, (2.30) I ánh xạ đơn vị H, dãy {λt }, {βti } ⊂ (0, 1) với t ∈ (0, 1) thỏa mãn điều kiện: λt → t → < lim inf t→0 βti ≤ lim supt→0 βti < 1, i = 1, · · ·, N 2.2.2 Các bổ đề cần sử dụng Bổ đề 2.2.1 (xem [8]) (i) x+y đổi t ∈ [0, 1] (ii) (1−t)x+ty 2 ≤ x + y, x+y cho số không = (1−t) x +t y −(1−t)t x−y , ∀x, y ∈ H Đặt T λ x = T x − λµF (T x), x ∈ H, λ ∈ [0, 1], với ánh xạ khơng giãn T H, ta có: 37 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Bổ đề 2.2.2 (xem [30]) T λ x − T λ y ≤ (1 − λτ ) x − y , số cố định µ ∈ (0, 2η/L2 ), với τ = − ∀x, y ∈ H với − µ(2η − µL2 ) ∈ (0, 1) Bổ đề 2.2.3 ( xem [15]) Giả sử T ánh xạ không giãn tập lồi, đóng K khơng Hibert thực H Nếu T có điểm bất động, I − T demi- đóng ; có nghĩa là, {xk } dãy K hội tụ yếu đến phần tử x ∈ K dãy {(I − T )xk } hội tụ mạnh đến phần tử y, ta có (I − T )x = y 2.2.3 Những kết Định lý 2.2.3 Cho H không gian Hilbert thực F : H → H ánh xạ xác định số L, η > 0, F L-Lipschitz liên tục η-đơn điệu mạnh Cho {Ti }N i=1 N ánh xạ khơng giãn từH vào cho C = i ∩N i=1 F ix(Ti ) = ∅ Cho µ ∈ (0, 2η/L ) cho t ∈ (0, 1), {λt }, {βt } ⊂ (0, 1), thỏa mãn λt → 0, t → < lim inf βti ≤ lim sup βti < 1, t→0 i = 1, · · ·, N t→0 Khi đó,dãy {xt } xác định (2.28) − (2.29) hội tụ mạnh đến phần tử p∗ (2.25) Chứng minh Bằng cách sử dụng Bổ đề 2.2.1 với T λ = T0t , ta có T t x − T t y ≤ (1 − λt τ ) TNt T1t x − TNt T1t y ································ ≤ (1 − λt τ ) Tit T1t x − Tit T1t y ································ ≤ (1 − λt τ ) T1t x − T1t y ≤ (1 − λt τ ) x − y ∀x, y ∈ H Vì vậy, T t ánh xạ co vào H Áp dụng nguyên lý ánh xạ co Banach, tồn 38 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn phần tử xt ∈ H cho xt = T t xt với t ∈ (0, 1) Tiếp theo, ta thấy {xt } bị chặn Thật vậy, với điểm bất động p ∈ C, ta có Tit p = p với i = 1, · · ·, N , xt − p = T t xt − p = T t xt − TNt T1t p = (I − λt µF )TNt T1t xt − (I − λt µF )TNt T1t p − λt µF (p) ≤ (1 − λt τ ) TNt T1t xt − TNt T1t p + λt µ F (p) ≤ (1 − λt τ ) TNt −1 T1t xt − TNt −1 T1t p + λt µ F (p) ········································ ≤ (1 − λt τ ) Tit T1t xt − Tit T1t p + λt µ F (p) ································ ≤ (1 − λt τ ) T1t xt − T1t p + λt µ F (p) ≤ (1 − λt τ ) xt − p + λt µ F (p) µ F (p) τ Từ tính bị chặn dãy {xt } ta suy dãy {F (ytN )}, {yti }, i = 1, · · ·, N xt − p ≤ bị chặn Đặt yt1 = (1 − βt1 )xt + βt1 T1 xt , yt2 = (1 − βt2 )yt1 + βt2 T2 yt1 , ······················ (2.31) yti = (1 − βti )yti−1 + βti Ti yti−1 , ······················ ytN = (1 − βtN )ytN −1 + βtN TN ytN −1 Khi đó, xt = (I − λt µF )ytN (2.32) 39 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Hơn , xt − p = (I − λt µF )ytN − p = ytN − p ≤ ytN −1 − p − 2λt µ F (ytN ), ytN − p + λ2t µ2 F (ytN ) 2 − 2λt µ F (ytN ), ytN − p + λ2t µ2 F (ytN ) ············································ ≤ yt1 − p − 2λt µ F (ytN ), ytN − p + λ2t µ2 F (ytN ) ≤ xt − p − 2λt µ F (ytN ), ytN − p + λ2t µ2 F (ytN ) vậy, ta có η ytN − p + F (p), ytN − p ≤ λt µ F (ytN ) (2.33) Hơn nữa, để đơn giản hơn, đặt yt0 = xt chứng minh yti−1 − Ti yti−1 → 0, t → với i = 1, · · ·, N Cho {tk } ⊂ (0, 1) dãy hội tụ tùy ý đến k → ∞ xk := xtk Ta phải chứng minh yki−1 − Ti yki−1 → 0, yki xác định (2.31) với t = tk yki = ytik Cho {xl } dãy {xk } cho lim sup yki−1 − Ti yki−1 = lim yli−1 − Ti yli−1 l→∞ k→∞ Cho {xkj } dãy dãy {xl } thỏa mãn lim sup xk − p = lim xkj − p j→∞ k→∞ 40 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Từ (2.32) bổ đề 2.2.1, ta có xkj − p = (I − λkj µF )ykNj − p ≤ ykNj − p 2 − 2λkj µ F (ykNj ), xkj − p = (1 − βkNj )(ykNj −1 − p) + βkNj (TN ykNj −1 − TN p) − 2λkj µ F (ykNj ), xkj − p ≤ (1 − βkNj ) ykNj −1 − p + βkNj TN ykNj −1 − TN p − 2λkj µ F (ykNj ), xkj − p ≤ ykNj −1 − p − 2λkj µ F (ykNj ), xkj − p ≤ · · · ≤ yk1j − p ≤ xkj − p 2 − 2λkj µ F (ykNj ), xkj − p − 2λkj µ F (ykNj ), xkj − p Do đó, lim xkj − p = lim yki j − p , j→∞ j→∞ i = 1, · · ·, N (2.34) Sử dụng bổ đề 2.2.1, yki j − p = (1 − βki j ) yki−1 −p j + βki j Ti yki−1 −p j − βki j (1 − βki j ) yki−1 − Ti yki−1 j j ≤ (1 − βki j ) yki−1 −p j = yki−1 −p j 2 2 − βki j (1 − βki j ) yki−1 − Ti yki−1 j j ≤ · · · = yk0j − p = xkj − p + βki j yki−1 −p j − βki j (1 − βki j ) yki−1 − Ti yki−1 j j 2 − βki j (1 − βki j ) yki−1 − Ti yki−1 j j − βki j (1 − βki j ) yki−1 − Ti yki−1 , j j i = 1, · · ·, N Khơng tính tổng qt, giả sử α ≤ βti ≤ β số α, β ∈ (0, 1) Sau đó, ta có α(1 − β) yki−1 − Ti yki−1 j j ≤ xkj − p − yki j − p Điều với (2.21) có nghĩa lim yki−1 − Ti yki−1 j j j→∞ = 0, i = 1, · · ·, N 41 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Nó có nghĩa yti−1 − Ti yti−1 → t → với i = 1, · · ·, N Tiếp theo, ta thấy xt − Ti xt → t → Trong trường hợp i = ta có yt0 = xt Vì vậy, xt − T1 xt → t → Hơn nữa, từ yt1 − T1 xt = (1 − βt1 ) xt − T1 xt xt − T1 xt → 0, ta có yt1 − T1 xt → Do đó, từ xt − yt1 ≤ xt − T1 xt + T1 xt − yt1 ta suy xt − yt1 → t → Mặt khác, yt2 − T2 yt1 = (1 − βt2 ) yt1 − T2 yt1 → yt2 − xt ≤ (1 − βt2 ) yt1 − xt + βt2 T2 yt1 − xt ≤ (1 − βt2 ) yt1 − xt + βt2 T2 yt1 − yt1 + yt1 − xt ta có yt2 − xt → t → Bây , từ xt − T2 xt ≤ xt − yt2 + yt2 − T2 yt1 + T2 yt1 − T2 xt ≤ xt − yt2 + yt2 − T2 yt1 + yt1 − xt xt − yt2 , yt2 − T2 yt1 , yt1 − xt → 0, suy xt − T2 xt → Tương tự vậy, có xt − Ti xt → 0, i = 1, · · ·, N ytN − xt → t → Cho {xk } dãy {xt } hội tụ yếu đến p˜ k → ∞ Khi đó, xk − Ti xk → 0, i = 1, · · ·, N {ykN } hội tụ yếu đến p˜ Từ bổ đề 2.2.3, ta có p˜ ∈ C = ∩N i=1 F ix(Ti ) từ (2.29), ta có F (p), p − p˜ ≥ ∀p ∈ C Khi p, p˜ ∈ C, cách thay p + (1 − t)˜ p bất đẳng thức cuối cùng, chia t cho t → bất đẳng thức vừa thu được, ta có F (˜ p), p − p˜ ≥ ∀p ∈ C Sự độc đáo p∗ (2.25) ta suy p˜ = p∗ Một lần nữa, thay p (2.29) p∗ ,ta hội tụ mạnh cho {xt } Điều hoàn tất việc chứng minh 42 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2.2.4 Áp dụng Định nghĩa 2.2.1 Một ánh xạ S : H → H gọi γ- giả co rút, tồn số γ ∈ [0, 1) cho Sx − Sy ≤ x−y + γ (I − S)x − (I − S)y , ∀x, y ∈ H Nó tiếng [13] ánh xạ T : H → H T x = αx + (1 − α)Sx với số cố định α ∈ [γ, 1) với x ∈ H ánh xạ không giãn F ix(T ) = F ix(S) Sử dụng điều này, mở rộng kết trường hợp C = ∩N i=1 F ix(Si ), Si γi -giả co rút sau: ˜ ˜ Cho αi ∈ [γi , 1) số khơng đổi Khi đó, C = ∩N i=1 F ix(Ti ) với Ti y = αi y + (1 − αi )Si y, ánh xạ không giãn , với i = · ··, N , T˜it y = (1 − βti )y + βti T˜i y = (1 − βti (1 − αi ))y + βti (1 − αi )Si y, i = · ··, N (2.35) Ta có kết sau Định lý 2.2.4 Cho H không gian Hilbert thực F : H → H ánh xạ xác định số L, η > 0, F L-Lipschitz liên tục η- đơn điệu mạnh Cho {Si }N i=1 N γi -giả co rút từ H vào choC = i ∩N i=1 F ix(Si ) = ∅ Cho αi ∈ [γi , 1), µ ∈ (0, 2η/L ) t ∈ (0, 1), {λt }, {βt } ⊂ (0, 1), thỏa mãn: λt → 0, t → < lim inf βti ≤ lim sup βti < 1, t→0 i = 1, · · ·, N t→0 Khi đó, dãy {xt } xác định xt = T˜t xt , T˜t := T0t T˜Nt T˜1t , t ∈ (0, 1), T˜it , i = 1, · · ·, N , xác định (2.35) T0t x = (I − λt µF )x, hội tụ mạnh đến phần tử p∗ (2.25) 43 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn N i=1 ξi Si ˜ = C S˜ = Được biết đến [10] F ix(S) N i=1 ξi với ξi > ˜ = N γi - giả co chặt {Si }N i=1 Hơn nữa, S la γ- giả co chặt, với γ = max{γi : ≤ i ≤ N } Vì vậy, [20] có kết sau Định lý 2.2.5 Cho H không gian Hilbert thực F : H → H ánh xạ xác định số cố định L, η > 0, F L-Lipschitz liên tục ηđơn điệu mạnh Cho {Si }N i=1 N γi - giả co chặt từ H vào cho C = ∩N i=1 F ix(Si ) = ∅ Cho α ∈ [γ, 1), γ = max{γi : ≤ i ≤ N }, µ ∈ (0, 2η/L2 ) cho a t ∈ (0, 1), {λt }, {βt } ⊂ (0, 1), cho λt → 0, t → < lim inf βt ≤ lim sup βt < t→0 t→0 Khi đó, dãy {xt }, xác định N ˜t xt = T xt , ˜t T := T0t ((1 − βt (1 − α))I + βt (1 − α) ξi Si ), t ∈ (0, 1), i=1 với T0t = (I − λt µF ), ξi > N i=1 ξi = 1, hội tụ mạnh đến phần tử p∗ (2.25) 44 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Kết luận ĐỀ TÀI NÀY ĐÃ ĐỀ CẬP ĐẾN CÁC VẤN ĐỀ SAU: • Một số khái niệm vấn đề không gian Hilbert • Bài tốn tìm điểm bất động họ ánh xạ khơng giãn khơng gian Hilbert • Bài tốn cân • Nội dung phương pháp Mann • Phương pháp tìm điểm bất động nửa nhóm ánh xạ khơng giãn tốn cân khơng gian Hilbert • Phương pháp lặp cho bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động họ ánh xạ không giãn khơng gian Hilbert 45 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tài liệu tham khảo [1] A Moudafi, Viscosity approximation methods for fixed-point problems, Journal of Mathematical Analysis and Applications, v 241, pp 46-55, 2000 [2] A.S Antipin, Equilibrium programming: Proximal methods, Computational Mathematics and Mathematical Physics, v 37(11), pp 1285-1296, 1997 [3] C Martinez-Yanes and H.K Xu, Strong convergence of the CQ method for fixed iteration processes, Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications, v 64, pp 2400-2411, 2006 [4] D Kinderlehrer and G Stampacchia, An introduction to variational inequalities and their applications, Academic Press, New York, NY, 1980 [5] E Blum and W Oettli, From optimization and variational inequalities to equilibrium problems, Mathematics Student, v 63, pp.123-145, 1994 [6] E.F Browder, Fixed-point theorems for noncompact mappings in Hilbert spaces, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, v 53, pp 1272-1276, 1965 [7] E Zeidler, Nonlinear functional analysis and its applications, Springer, New York, NY 1985 [8] G Marino and H.K Xu, Weak and strong convergence theorems for strict pseudo-contractions in Hibert spaces, J Math Anal Appl 329 (2007) 336-346 46 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [9] G Mastroeni, Gap functions for equilibrium problems,Journal of Global Optimization, v 27, 411-426, 2003 [10] G.L Aced and H.K Xu, Iterative method for strict pseudocontractions in Hibert spaces, Nonlinear Anal 67 (2007) 2258-2271 [11] H.K Xu, An iterative approach to quadratic optimization, Journal of Optimization Theory and Applications, v 116, pp 659-678, 2003 [12] H.K Xu and R.G Ori, An implicit iteration process for nonexpansive mappings, Numer Func Anal Optim 22 (2001)767-773 [13] H Zhou, Convergence theorems of fixed points for k-strict pseudocontractions in Hibert spaces, Nonl Anal 69 (2008) 456-462 [14] I.V Konnov and O.V Pinyagina, D-gap functions and descent methods for a class of monotone equilibrium problems, Lobachevskii Journal of Mathematics, v 13, pp 57-65, 2003 [15] K Goebel and W.A Kirk, Topics in Metric Fixed Point Theory, Cambridge Studies in Advanced Math., V 28, Cambridge Univ Press, Cambridge 1990 [16] L.C Ceng and N.C Wong, Viscosity approximation methods for equilibrium problems and fixed point problems of nonlinear semigroups, [17] L.C Zeng and J.Ch Yao, Implicit iteration scheme with perturbed mapping for common fixed points of a finite family of nonexpansive mappings, Nonl Anal 64 (2006) 2507-2515 [18] L.C Ceng, Ng.C Wong and J.Ch Yao, Fixed point solutions of variational inequalities for a finite family of asymptotically nonexpansive mappings without common fixed point assumption, Computers and Math with Appl., 56 (2008) 2312-2322 47 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [19] Nguyen Buong and Nguyen Dinh Duong, A method for a Solution of Equilibrium Problem and Fixed Point Problem of a Nonexpansive Semigroup in Hilbert’s Spaces, Hindawi Publishing Corporation, V 2011 [20] Nguyen Buong and Nguyen Thi Quynh Anh, An Implicit Iterative Method for Variational Inequalities over the Set of Common Fixed Points for a Finite of Nonexpansive Mappings in Hilbert Spaces, Hindawi Publishing Corporation, V 2011 [21] O Chadli, I.V Konnov, and J.C Yao, Descent methods for equilibrium problems in Banach spaces, Computer Mathematics with Applications, v 48, pp 609-616, 2004 [22] P.L Combettes and S.A Hirstoaga, Equilibrium programming in Hilbert spaces, Journal of Nonlinear and Convex Analysis, [23] R DeMarr, Common fixed points for commuting contraction mappings, Pacific Journal of Mathematics, v 13, pp 1131-1139, 1963 [24] R Chen and Y Song, Convergence to common fixed point of nonexpansive semigroups, Journal of Computational and Applied Mathematics, v 200, pp 566-575, 2007 [25] R Glowinski, Numerical methods for nonlinear variational problems, Springer, New York, NY 1984 [26] S Plubtieng and R Punpaeng, Fixed point solutions of variational inequalities for nonexpansive semigroups in Hilbert spaces, Mathematical and Computer modelling, v 48, pp 279-286, 2008 [27] S Takahashi and W Takahashi, Viscosity approximation methods for equilibrium problems and fixed point problems in Hilbert spaces, [28] T Shimizu and W Takahashi, Strong convergence to common fixed points of families of nonexpansive mappings, 48 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [29] T Suzuki, Strong convergence of Krasnoselskii and Mann’s type sequences for one-parameter nonexpansive semigroups without Bochner inyegrals, Journal of Mathematical Analysis and Applications, v 305, 279-291, 2005 [30] Y Yamada, The hybrid steepest-descent method for variational inequalities problems over the intesectionof the fixed point sets of nonexpansive mappings, Inhently parallel algorithms in feasibility and optimization and their applications, Edited by D Butnariu, Y Censor, and S Reich, North-Holland, Amsterdam, Holland, pp 473-504, 2001 [31] Y Yao and M.A Noor, On viscosity iterative methods for variational inequalities, Journal of Mathematical Analysis and Applications, v 325, pp 776-787, 2007 49 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... đề không gian Hilbert • Bài tốn tìm điểm bất động họ ánh xạ không giãn không gian Hilbert • Bài toán cân • Nội dung phương pháp Mann • Phương pháp tìm điểm bất động nửa nhóm ánh xạ khơng giãn. .. quan đến phương pháp MANN tìm nghiệm toán cân điểm bất động họ ánh xạ không giãn không gian Hilbert chương sau 1.4 Bài toán cân Định nghĩa 1.4.1 Bài toán cân hàm hai biến G(u, v) C × C tìm phần... vấn đề ánh xạ đa trị, ánh xạ khơng giãn hay nửa nhóm khơng giãn Trong khuôn khổ luận văn xin trình bày đề tài: "Phương pháp Mann tìm nghiệm toán cân điểm bất động cho ánh xạ không giãn" Đây vấn