Độ nhạy của nghiệm hữu hiệu và điều kiện tối ưu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ HỒNG ĐỘ NHẠY CỦA NGHIỆM HỮU HIỆU VÀ ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ HỒNG ĐỘ NHẠY CỦA NGHIỆM HỮU HIỆU VÀ ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS ĐỖ VĂN LƯU Thái Nguyên - Năm 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mục lục i Mở đầu Nội dung ĐỘ NHẠY CỦA NGHIỆM HỮU HIỆU CỦA BÀI TOÁN ĐA MỤC TIÊU TUYẾN TÍNH 1.1 Bài tốn nhiễu 1.2 Độ nhạy đỉnh 1.3 Độ nhạy diện 14 ĐỘ NHẠY VÀ ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN ĐA MỤC TIÊU PHI TUYẾN 19 2.1 Các khái niệm kết bổ trợ 19 2.2 Điều kiện cần cấp cấp cho nghiệm hữu hiệu 22 2.3 Điều kiện đủ cấp hai cho nghiệm hữu hiệu 29 2.4 Phân tích độ nhạy nghiệm hữu hiệu 31 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 44 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Việc nghiên cứu phụ thuộc nghiệm tối ưu toán tối ưu đơn đa mục tiêu theo tham số nhiễu đóng vai trị quan trọng lý thuyết tối ưu hóa Ta gọi nghiên cứu độ nhạy (sensitivity) nghiệm tối ưu Các kết nghiên cứu theo hướng bảo tồn tính chất nghiệm tối ưu sau nhiễu nhỏ Lí thuyết độ nhạy nghiệm hữu hiệu có nhiều ứng dụng kinh tế, vật lý, học số ngành khoa học khác S Bolitinéanu B.D Craven [5] nghiên cứu độ nhạy nghiệm hữu hiệu tốn tối ưu đa mục tiêu tuyến tính trường hợp đa diện chấp nhận không suy biến M El Maghri [8] nghiên cứu độ nhạy nghiệm hữu hiệu tốn đa mục tiêu tuyến tính mà đa diện chấp nhận suy biến Tác giả thiết lập điều kiện cần đủ cấp cho đỉnh hữu hiệu diện hữu hiệu toán nhiễu S Bolitinéanu M El Maghri [6] nghiên cứu điều kiện đủ để nghiệm hữu hiệu toán nhiễu thuộc lớp C theo tham số nhiễu Ở tác giả nghiên cứu toán tối ưu đa mục tiêu phi tuyến khả vi Fréchet, có ràng buộc đẳng thức bất đẳng thức không gian Banach vô hạn chiều Trong trường hợp hữu hạn chiều, tác giả thiết lập điều kiện đủ để nghiệm hữu hiệu toán nhiễu Lipschitz địa phương theo tham số nhiễu Luận văn trình bày kết nghiên cứu độ nhạy đỉnh hữu hiệu diện hữu hiệu toán đa mục tiêu tuyến tính nhiễu, độ nhạy Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Fréchet độ nhạy Lipschitz nghiệm hữu hiệu toán đa mục tiêu phi tuyến với hàm hàm khả vi Fréchet Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương trình bày kết nghiên cứu E El Maghri [8] độ nhạy nghiệm hữu hiệu tốn đa mục tiêu tuyến tính nhiễu Chú ý đỉnh tập chấp nhận suy biến khơng suy biến Các điều kiện cần đủ cấp cho đỉnh hữu hiệu diện hữu hiệu toán nhiễu trình bày chương Chương trình bày điều kiện cần đủ cấp cấp S Bolitinéanu E El Maghri [6] cho nghiệm hữu hiệu toán tối ưu đa mục tiêu phi tuyến với hàm mục tiêu ràng buộc khả vi Fréchet không gian Banach với điều kiện đủ để nghiệm hữu hiệu toán nhiễu thuộc lớp C theo tham số nhiễu Trong trường hợp hữu hạn chiều, điều kiện đủ để nghiệm hữu hiệu toán nhiễu Lipschitz địa phương theo tham số nhiễu trình bày chương Nhân dịp tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Đỗ Văn Lưu hướng dẫn bảo tận tình suốt trình làm luận văn Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc suốt q trình làm luận văn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, phịng Đào tạo, khoa Tốn - Tin Trường Đại học Khoa Học, Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi suốt trình học tập trường Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp thành viên lớp cao học tốn K3b ln quan tâm, động viên, giúp đỡ suốt thời gian học tập q trình làm luận văn Tuy thân có nhiều cố gắng, song thời gian lực Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn thân có hạn nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Rất mong đóng góp ý kiến thầy tồn thể bạn đọc Thái Nguyên, tháng 09 năm 2011 Tác giả Nguyễn Thị Hồng Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương ĐỘ NHẠY CỦA NGHIỆM HỮU HIỆU CỦA BÀI TOÁN ĐA MỤC TIÊU TUYẾN TÍNH Chương trình bày kết nghiên cứu M El Maghri [8] độ nhạy nghiệm hữu hiệu toán đa mục tiêu tuyến tính nhiễu Chú ý đỉnh tập chấp nhận suy biến khơng suy biến Các điều kiện cần đủ cấp hai cho đỉnh hữu hiệu nhiễu nhỏ trình bày với điều kiện cần đủ cho diện hữu hiệu nhiễu qua đỉnh 1.1 Bài toán nhiễu Ta xét độ nhạy tốn đa mục tiêu tuyến tính nhiễu sau đây: (P p ) C(p)x, A(p)x = b(p), x ≥ 0, [C(.), A(.), b(.)] : N (0) → Rr×n × Rm×n × Rm hàm tham số nhiễu p ∈ N (0), N (0) lân cận điểm gốc ∈ Rq Ở ta giả thiết tốn khơng nhiễu tương ứng với p = Đa diện Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn chấp nhận (P p ) Γ(p) = {x ∈ Rn : A(p)x = b(p), x ≥ 0} Với p, tập nghiệm hữu hiệu (nghiệm Pareto) tập nghiệm hữu hiệu yếu (P p ) tương ứng Ee (p) = {x ∈ Γ(p) : x ∈ Γ(p), C(p)x ≤ C(p)x, C(p)x = C(p)x}, Ew (p) = {x ∈ Γ(p) : x ∈ Γ(p), C(p)x < C(p)x} Để đơn giản cho việc trình bày, ta kí hiệu Eσ (p) tập điểm σ -hữu hiệu phụ thuộc vào việc lựa chọn σ ∈ {w, e} Với p = 0, ta kí hiệu (P ) := (P), Γ(0) := Γ, C(0) := C, A(0) := A, b(0) := b Với p, xét ánh xạ đa trị E(., p) : Rr → 2Γ(p) xác định với λ ∈ Rr E(λ, p) = arg λT C(p)x, (1.1) x∈Γ(p) λT chuyển vị vectơ λ Ta có kết vơ hướng hóa sau (xem [14]): Eσ (p) = E(Λσ , p), (1.2) Λσ = Rr+ \{0}, σ = w, intRr+ , σ = e Tất kết trình bày chương trường hợp tổng quát nón thứ tự Rr+ thay tương ứng tập đóng Q nón lồi nhọn có phần khơng rỗng Quan hệ thứ tự phận xác định tương ứng y ≤ y ⇔ y − y ∈ Q, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn y < y ⇔ y − y ∈ intQ Trong trường hợp Rr+ thay Λσ nón cực Q σ = w nón cực chặt Q σ = e Giả thiết tổng quát (i) C(.) liên tục p = b(.) lớp C p = (ii) A có hạng đầy (tức rank A=m) m < n 1.2 Độ nhạy đỉnh Giả sử v đỉnh đa diện Γ Như rank A = m Khi tồn B ⊂ {1, , n} cho (sắp xếp lại hàng cần): A−1 B b v= (1.3) −1 A−1 B b ≥ 0, AB ma trận nghịch đảo AB (rank AB = m)với phân hoạch A = [AB AN ] (sắp xếp lại cột A cần) N = {1, , n}\B Cũng xếp lại biến, ta viết: Γ = {x = xB ∈ Rn : xB + A−1 AN xN = A−1 B B b, x ≥ 0} xN (1.4) Cùng cách phân hoạch ma trận A(p) = [AB (p)AN (p)] Thế với p gần 0, tính liên tục ánh xạ A(.), ma trận AB (p) khả nghịch, Γ(p) = {x = xB −1 ∈ Rn : xB + A−1 B (p)AN (p)xN = AB (p)b(p), x ≥ 0} xN (1.5) Vì ta xác định nhiễu v v(p) = A−1 B (p)b(p) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (1.6) http://www.lrc-tnu.edu.vn Nhắc lại A−1 B b > đỉnh v sở B gọi không suy biến, trường hợp này, B sở xác định v theo (1.3) Ngược lại, v đỉnh suy biến xác định số sở suy biến Như vậy, giả sử B(v) = {B ⊂ {1, , n} : B xác định v} (1.7) Nhận xét 1.1 Khi v không suy biến với p gần 0, tính liên tục, A−1 B (p)b(p) > Khi theo (1.5), (1.6), v(p) đỉnh Γ(p) với p gần Do đỉnh nhiễu v Ta thấy ví dụ sau v suy biến, v(p) cho (1.6) không điểm chấp nhận với B ∈ B(v) p = Ví dụ 1.1 Với tham số nhiễu p ∈ R, ta xét toán x1 , x1 − x2 = p, x1 ≥ 0, x2 ≥ Ta có v = (0, 0) đỉnh suy biến đa diện không nhiễu Γ(p = 0) Nhưng với p < 0, v(p) = (p, 0) cho (1.6) với B = {1} không chấp nhận được, với p > 0, v(p) = (0, −p) với B = {2} khơng chấp nhận Do đó, ta tìm số điều kiện đảm bảo với p gần 0, v(p) đỉnh chấp nhận đa diện Γ(p) Ta xét tập số: D = {i ∈ B : (A−1 B b)i = 0}, (1.8) Dc = {i ∈ B : (A−1 B b)i > 0} (1.9) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 31 Chứng minh giống chứng minh định lý 2.2 Dễ thấy x∗ thỏa mãn điều kiện đủ cấp mạnh tốn vơ hướng (Pλ∗ ) Nhận xét 2.8 Theo (2.1 ), lấy σ = p ta thấy định lý 2.2 2.3 điểm hữu hiệu thường địa phương Nhận xét 2.9 Ta xét trường hợp Z có số chiều vơ hạn Bằng cách thay toán tử ∇x (G, HI+ )(x∗ ) toán tử ∇x ( λ∗ , F (x) , G, HI )(x∗ ) định nghĩa 2.4 Nhận xét 2.10 Điều kiện (i) (SC)σ (SC )σ điều kiện cần cho nghiệm σ - hữu hiệu địa phương x∗ , giả thiết điều kiện quy (chẳng hạn (CQ)1σ ) Tuy nhiên, điều kiện (ii) định nghĩa (2.3) (2.4) mạnh điều kiện (ii) định lý (2.1) 2.4 Phân tích độ nhạy nghiệm hữu hiệu Với giá trị tham số nhiễu π ∈ Π ta xét toán tối ưu vectơ nhiễu sau đây: (V OP π ) F (x, π), G(x, π) = 0, H(x, π) ∈ Rm −, (F, G, H) : X × Π → Y × Z × Rm , với X, Y, Z, Π không gian Banach thực, X phản xạ Tập chấp nhận toán (V OP π ) S(π) = {x ∈ X : G(x, π) = 0, H(x, π) ∈ Rm − } Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 32 Hàm Lagrange toán (V OP π ) m L(x, π, λ, u, v) = λ, F (x, π) + u, G(x, π) + vi hi (x, π) i=1 Định nghĩa 2.5 Cho π ∗ ∈ Π Ta nói x∗ ∈ S(π ∗ ) thỏa mãn điều kiện độ nhạy đủ ∗ (SSC)σ (V OP π ) x∗ thỏa mãn (SC)σ định nghĩa 2.3 ∗ (V OP π ), tức tồn λ∗ ∈ Λσ , u∗ ∈ Z ∗ , v ∗ ∈ Rm + α > cho quan hệ sau đúng: (i) Điều kiện dừng điều kiện bù: ∇x L(x∗ , π ∗ , λ∗ , u∗ , v ∗ ) = 0, vi∗ hi (x∗ , π ∗ ) = 0, ∀i ∈ {1, , m}; (ii) ∇2x L(x∗ , π ∗ , λ∗ , u∗ , v ∗ )ξ, ξ ≥ α ξ , ∀ξ ∈ Ker∇x (G, HI )(x∗ ); (iii) Điều kiện bù chặt: vi∗ > 0, ∀i ∈ I = I(x∗ , π ∗ ) = {i ∈ {1, , m} : hi (x∗ , π ∗ ) = 0} Hơn nữa, ta giả sử điều kiện sau đúng: (iv) Tính quy: F, G, H, ∂ 2F , ∂x2 ∂ 2G , ∂x2 ∂ 2H , ∂x2 ∂ 2F , ∂x∂π ∂ 2G , ∂x∂π ∂ 2H ∂x∂π liên tục lân cận (x∗ , π ∗ ) (v) Điều kiện quy: B = ∇x (G, HI )(x∗ ) ∈ L(X, Z × R|I| ) tồn ánh ∗ Ta giả sử tốn khơng nhiễu (V OP π ), ứng với π = π ∗ Kết với điều kiện (SSC)σ , điểm chấp nhận tốn khơng nhiễu điểm σ - hữu hiệu địa phương Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn 33 bảo tồn tính chất sau nhiễu nhỏ Định lý 2.4 ∗ Giả sử x∗ ∈ S(π ∗ ) thỏa mãn (SSC)σ (V OP π ) với nhân tử Lagrange (λ∗ , u∗ , v ∗ ) Khi đó: (i) x∗ nghiệm σ -hữu hiệu địa phương toán không nhiễu ∗ (V OP π ) (ii) Tồn lân cận Ω ⊂ Π × Y ∗ (π ∗ , λ∗ ) C ánh xạ Ω ∩ (Π × Λσ ) → X × Z ∗ × Rm , (π, λ) → (x(π, λ), u(π, λ), v(π, λ)), (π ∗ , λ∗ ) → (x∗ , u∗ , v ∗ ) cho x(π, λ) ∈ S(π) thỏa mãn (SSC)σ (V OP π ) với nhân tử Lagrange (λ, u(π, λ), v(π, λ)) Như với (π, λ) gần (π ∗ , λ∗ ), x(π, λ) nghiệm σ - hữu hiệu địa phương toán nhiễu (V OP π ) Chứng minh Để chứng minh định lý này, trước tiên ta trình bày kết độ nhạy cho tốn nhiễu vơ hướng Đây tổng qt hóa vơ hạn chiều định lý Fiacco [9] Giả sử P, X, Z không gian Banach thực, X phản xạ ánh xạ: X ×P ˜ p), H(x, ˜ (x, p) → (f (x, p), G(x, p)) ∈ R × Z × Rm Với giá trị tham số nhiễu p ∈ P , xét tốn tối ưu nhiễu vơ hướng: (P˜p ) f (x, p), ˜ p) = G(x, ˜ H(x, p) ∈ Rm − ˜ Tập chấp nhận (P˜p ) kí hiệu S(p) hàm Lagrange cho Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 34 m ˜ i (x, p) vi h ˜ p, u, v) = f (x, p) + u, G(x, ˜ p) + L(x, i=1 Ta giả sử tốn khơng nhiễu (P˜p∗ ) ứng với p = p∗ Trong trường hợp vô hướng này, điều kiện (SSC)σ mô tả định nghĩa Định nghĩa 2.6 ˜ ∗ ) thỏa mãn điều kiện (SC) tốn vơ hướng Ta nói x∗ ∈ S(p (P˜p∗ ) x∗ thỏa mãn (SSC)σ trường hợp riêng Y = R, Π = P F = f với λ∗ = Kết tổng qt hóa vơ hạn chiều định lý Fiacco [9] Bổ đề 2.3 ˜ ∗ ) thỏa mãn (SC) (P˜p∗ ) với nhân tử Lagrange Cho x∗ ∈ S(p (u∗ , v ∗ ) Khi đó, (a) x∗ cực tiểu địa phương chặt toán vô hướng không nhiễu (P˜p∗ ) nhân tử Lagrange (u∗ , v ∗ ) ˜ ⊂ P p∗ hàm khả vi liên tục (b) Tồn lân cận Ω ˜ → X × Z ∗ × Rm , Ω p → (x(p), u(p), v(p)), p∗ → (x∗ , u∗ , v ∗ ), ˜ cho x(p) ∈ S(p) thỏa mãn điều kiện (SC) (P˜p ) có nhân tử ˜ x(p) cực tiểu Lagrange (u(p), v(p)) Như với p ∈ Ω, địa phương chặt tốn vơ hướng nhiễu (P˜p ) Chứng minh (a) Ta biết xem [3] x∗ cực tiểu địa phương chặt Với phần tử : η = (u, v) ∈ Z ∗ × Rm , Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 35 ta kí hiệu η = (u, vI ) ∈ Z ∗ × R|I| , I tập số ràng buộc tích cực tốn khơng nhiễu (P˜p∗ ) x∗ ˜ i (x, p) vi h ˜ I (x, p, η ) = f (x, p) + u, G(x, ˜ p) + L i∈I Mỗi nhân tử Lagrange thỏa mãn ∂f /∂x(x∗ , p∗ ) + B ∗ η = 0, vi = 0, ∀i ∈ / I, B ∗ ∈ L(W ∗ , X ∗ ) liên hợp toán tử B W ∗ = Z ∗ × R|I| đối ngẫu W = Z × R|I| Do B toàn ánh [điều kiện (v)] điều kéo theo tính đơn ánh B ∗ , ta suy tính η ∗ = (u∗ , v ∗ ) (b) Tiếp theo, sử dụng định lý hàm ẩn ta chứng minh tồn hàm khả vi liên tục: p → (x, η ) = (x(p), η (p)), thỏa mãn quan hệ với p gần p∗ : ˜ I (x, p, η ) = 0, ∇x L (2.9) ˜ p) = 0, G(x, (2.10) ˜ i (x, p) = 0, ∀i ∈ I h (2.11) (x(p∗ ), η (p∗ )) = (x∗ , η ∗ ) (2.12) Ta cần chứng minh tính song ánh toán tử Jacobian theo (x, η ), điểm x∗ , p∗ , η ∗ hàm xác định hệ Đặt ˜ ∗ , p∗ , η ∗ ) = ∇2x L ˜ I (x∗ , p∗ , η ∗ ) A = ∇2x L(x Ta toán tử Jacobian sau song ánh: A B∗ J = ∈ L(X × W ∗ , X ∗ × W ) B Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (2.13) http://www.lrc-tnu.edu.vn 36 Giả sử (x, z) ∈ KerJ Khi đó: Ax + B ∗ z = 0, Bx = Vì vậy, x ∈ KerB, Ax, x + B ∗ z, x = Do đó, Ax, x = 0, điều kiện (ii) kéo theo x = Khi đó, tính đơn ánh B ∗ , ta nhận z = Như J đơn ánh Bây ta xét (y, w) ∈ X ∗ × W Ta hệ: Ax + B ∗ z = y, (2.14) Bx = w, (2.15) có nghiệm (x, z) ∈ X × W ∗ Bởi B tồn ánh, ta tìm x ∈ X cho (2.15) thỏa mãn Đặt x = x + x , với x ∈ KerB, cố định x Bởi Bx = w, ta cần tìm x ∈ KerB, z ∈ W ∗ cho Ax” + B ∗ z = y − Ax Như vậy, ta phải ra: Γ = X ∗, (2.16) Γ = AKerB + B ∗ (W ∗ ) = AKerB + (KerB)⊥ , B toàn ánh kéo theo : B ∗ (W ∗ ) = (KerB)⊥ , Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 37 (KerB)⊥ = {χ ∈ X ∗ : χ, ξ = 0, ∀ξ ∈ KerB} xem [3] Trước hết ta chứng minh Γ tập đóng X ∗ Xét dãy γ (i) = Aξ (i) + χ(i) ∈ Γ, với ξ (i) ∈ KerB, χ(i) ∈ (KerB)⊥ , γ (i) hội tụ tới phần tử γ ∈ X ∗ Ta có γ (i) − γ (j) , ξ (i) − ξ (j) = A(ξ (i) − ξ (j) ), ξ (i) − ξ (j) ≥ α||ξ (i) − ξ (j) ||2 Từ α||ξ (i) − ξ (j) || ≤ ||γ (i) − γ (j) || Do đó, dãy (ξ (i) )i hội tụ tới phần tử ξ Từ suy dãy (χ(i) )i hội tụ tới phần tử χ Nhưng KerB (KerB)⊥ đóng, nên γ = Aξ + χ ∈ Γ Vậy Γ đóng Bây ta giả sử Γ = X ∗ , tồn γˆ ∈ Γ⊥ \ {0} Nhưng tính phản xạ X nên γˆ ∈ X \ {0} Như ∀ξ ∈ KerB z ∈ W ∗, Ta được: Aξ, γˆ = 0, B ∗ z, γˆ = (2.17) Do z, Bˆ γ = 0, ∀z ∈ W ∗ Sử dụng hệ định lý Hahn- Banach, ta nhận Bˆ γ = 0, tức γˆ ∈ KerB Hơn nữa, lấy ξ = γˆ (2.17), từ điều kiện (ii) ta nhận mâu thuẫn: γˆ = Do đó, Γ = X ∗ J toàn ánh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 38 Theo định lý hàm ẩn, tồn hàm khả vi liên tục, xác định gần p∗ vào X × W ∗ , p → (x, η ) = (x(p), η (p)) = (x(p), u(p), vI (p)), thỏa mãn (2.9)- (2.12) Hơn nữa, tính liên tục điều kiện độ bù chặt (iii), với p gần p∗ ta có vi (p) > 0, ∀i ∈ I vi (p) = 0, ∀i ∈ / I Với p gần p∗ , ta đặt Tính liên tục kéo theo: ∀p gần p∗ , điều kiện (iv) thỏa mãn ˜ i (x(p), p) < 0, h ∀i ∈ / I ˜ Khi đó, x(p) ∈ S(p) thỏa mãn (i), (iii), (iv) (P˜p ) có nhân tử Lagrange (u(p), v(p)) tập số ràng buộc tích cực khơng phụ thuộc p, tức I(x(p), p) = I = I(x∗ , p∗ ) Mặt khác, ta biết xem [3]: tập tốn tử tồn ánh tập mở khơng gian L(X, W ) Do đó, điều kiện (v) với ∀(x(p), p), với p gần p∗ Bây giờ, để kết thúc chứng minh, ta x(p) thỏa mãn (ii), tức với p gần p∗ , tồn số α(p) > cho Ap ξ, ξ ≥ α(p)||ξ||2 , ∀ξ ∈ KerBp , (2.18) ˜ Ap = ∇2x L(x(p), p, u(p), v(p)), ˜ I )(x(p), p) ˜ h Bp = ∇x (G, Theo bổ đề Hoffmann xem [2], tồn số k1 > cho dist(ξ, KerB) ≤ k1 ||Bξ||, ∀ξ ∈ X Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 39 Điều tương đương với việc nói tồn số k2 > (k2 > k1 ) cho ξ ∈ X viết ξ =ξ +ξ , với ξ ∈ KerB ||ξ || ≤ k2 ||Bξ|| Ta lấy ξ ∈ KerBp Do Bp ξ = 0, ta nhận được: ||ξ || ≤ k2 ||B − Bp ||||ξ|| (2.19) Mặt khác, Ap ξ, ξ = Aξ, ξ + (Ap − A)ξ, ξ ≥ Aξ, ξ − ||Ap − A||||ξ||2 , (2.20) Aξ, ξ = Aξ , ξ + Aξ , ξ + Aξ , ξ Do Aξ, ξ ≥ α||ξ ||2 − ||ξ ||(2||A||||ξ || + ||A||||ξ ||); Nhưng từ (2.19) ||ξ || ≤ ||ξ|| + ||ξ ||, ta có (2||A||||ξ || + ||A||||ξ ||) ≤ k3 ||ξ|| với k3 số không phụ thuộc ξ Ta xét p lân cận p∗ cho k2 ||B − Bp || ≤ 1/2 Khi (2.19) ||ξ || ≥ ||ξ|| − ||ξ ||, ta nhận ||ξ || ≥ (1/2)||ξ|| Do đó, Aξ, ξ ≥ (1/4)α|ξ||2 − k2 ||B − Bp ||||ξ||2 k3 (2.21) Từ (2.20)- (2.21) ta suy (2.18) với α(p) = (1/4)α − k2 k3 ||B − Bp || − ||Ap − A||, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 40 α(p) > 0, với p gần p∗ Do điều kiện (ii) thỏa mãn x(p) Như x(p) thỏa mãn (SC) Bổ đề 2.3 chứng minh Bây ta quay lại chứng minh định lý 2.4 Ta xét tốn vơ hướng hóa (V OP π ) sau (Pλπ ) λ, F (x, π) x ∈ S(π) Áp dụng bổ đề 2.3 cho ˜ p) = G(x, π), H(x, ˜ f (x, p) = λ, F (x, π) , G(x, p) = H(x, π), với P = Π × Y ∗ , p = (π, λ) Trong trường hợp này, (Pλπ ) (P˜p ) Hơn nữa, x ∈ S(π) thỏa mãn (SC) tốn vơ hướng (Pλπ ) với λ ∈ Λσ , tham số nhiễu (π, λ) nhân tử Lagrange (u, v), x thỏa mãn (SSC)σ (V OP )π với nhân tử Lagrange (λ, u, v) tham số nhiễu π ˜ rõ ràng ánh xạ cho định lý hạn chế Nếu ta đặt Ω = Ω, Ω ∩ (Π × Λσ ) ánh xạ xét bổ đề Sử dụng (2.3) nhận xét 2.1, suy kết luận cần chứng minh định lý Bây ta trình bày độ nhạy Lipschitz Xét tốn vectơ nhiễu (V OP π ) trường hợp X = Rn , Z = Rs , G = (g1 , , gs ) Không gian nhiễu Π = Rq Điều kiện Jittorntrum phát biểu trường hợp vectơ sau: Định nghĩa 2.7 ∗ Ta nói điểm x∗ ∈ S(π ∗ ) thỏa mãn (SSC )σ (V OP π ) x∗ thỏa mãn (SC )σ [điều kiện (i)-(ii) từ định nghĩa 2.4 ] điều kiện sau: (iii) Các hàm F, gj , hi lớp C với (x, π) lân cận (x∗ , π ∗ ) với ∀i, j ; Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 41 (iv) Các vectơ {∇x gj (x∗ , π ∗ ), ∇x hi (x∗ , π ∗ ), j = 1, , s, ∀i ∈ I} độc lập tuyến tính Nhận xét 2.11 Trong trường hợp hữu hạn chiều, điều kiện (v) (SSC)σ tương đương với điều kiện (iv) (SSC )σ Định lý 2.5 ∗ Cho điểm x∗ ∈ S(π ∗ ) thỏa mãn (SSC )σ (V OP π ) với nhân tử Lagrange (λ∗ , u∗ , v ∗ ) cho (i) (SC )σ Khi đó, (i) x∗ nghiệm σ - hữu hiệu địa phương toán không nhiễu ∗ (V OP π ) (ii) Tồn lân cận Ω ⊂ Rq × Y ∗ (π ∗ , λ∗ ) ánh xạ Lipschitz nhất: Ω ∩ (Rq × Λσ ) → Rn × Rs × Rm , (π, λ) → (x(π, λ), u(π, λ), v(π, λ)), (π ∗ , λ∗ ) → (x∗ , u∗ , v ∗ ) có đạo hàm theo phương (một phía) cấp (π ∗ , λ∗ ) theo phương cho x(π, λ) ∈ S(π) thỏa mãn điều kiện (SSC )σ (V OP π ) với nhân tử Lagrange (λ, u(π, λ), v(π, λ)) Như với (π, λ) gần (π ∗ , λ∗ ), x(π, λ) nghiệm σ - hữu hiệu địa phương toán nhiễu (V OP π ) Chứng minh Chứng minh dựa kết độ nhạy tốn vơ hướng Jittorntrum Ta xét tốn vơ hướng tham số (P˜p ) Trong trường hợp hữu hạn chiều tốn viết lại sau: (P˜p ) f (x, p), g˜j (x, p) = 0, ∀j = 1, , s, ˜ i (x, p) ≤ 0, h ∀i = 1, , m, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 42 với X = Rn P = Rl Điều kiện Jittorntrum (SCJ) tương tự điều kiện (SSC )σ với λ∗ = Định lý 2.6 ([11]) ˜ ∗ ) thỏa mãn (SCJ) toán (P˜p∗ ) với nhân tử Cho x∗ ∈ S(p Lagrange (u∗ , v ∗ ) cho (i) từ định nghĩa 2.4 Khi đó, (a) x∗ điểm cực tiểu địa phương chặt toán không nhiễu (P˜p∗ ) nhân tử (u∗ , v ∗ ) (b) ∀p gần p∗ , tồn ánh xạ liên tục p → (x(p), u(p), v(p)) cho (x(p∗ ), u(p∗ ), v(p∗ )) = (x∗ , u∗ , v ∗ ) có đạo hàm theo phương cấp p∗ theo phương thỏa mãn (SCJ) (P˜p ) Như vậy, x(p) cực tiểu địa phương chặt toán nhiễu (P˜p ) với nhân tử Lagrange (u(p), v(p)) (c) ∃L > δ > cho ∀p thỏa mãn ||p − p∗ || < δ, ||(x(p), u(p), v(p)) − (x∗ , u∗ , v ∗ )|| ≤ L||p − p∗ || Chứng minh định lý 2.5 tương tự chứng minh định lý 2.4 Điểm x thỏa mãn (SSC )σ (V OP π ) x thỏa mãn (SCF ) cho (P˜p ) ≡ (P π ) với tham số nhiễu p = (π, λ) Như vậy, kiểm tra λ giả thiết định lý Jittorntrum với tốn vơ hướng (Pλπ ) sử dụng (2.3) với nhận xét 2.1 ta suy kết luận định lý 2.5 Nhận xét 2.12 Ta thấy từ (2.1) định lý 2.4 2.5 cho nghiệm hữu hiệu xét với σ = p Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 43 Kết luận Luận văn trình bày kết nghiên cứu độ nhạy đỉnh hữu hiệu diện hữu hiệu tốn đa mục tiêu tuyến tính với kết độ nhạy Fréchet độ nhạy Lipschitz nghiệm hữu hiệu toán đa mục tiêu phi tuyến với hàm khả vi Fréchet Đối với tốn đa mục tiêu tuyến tính, luận văn trình bày điều kiện đảm bảo sau nhiễu nhỏ, đỉnh hữu hiệu diện hữu hiệu tương ứng đỉnh hữu hiệu diện hữu hiệu toán nhiễu Đối với toán đa mục tiêu phi tuyến với liệu khả vi Fréchet, luận án trình bày điều kiện đảm bảo nghiệm hữu hiệu toán thuộc lớp C Lipschitz địa phương theo tham số nhiễu Nghiên cứu độ nhạy nghiệm hữu hiệu toán tối ưu đa mục tiêu đề tài thời sự, cần tiếp tục nghiên cứu phát triển Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 44 Tài liệu tham khảo Tài liệu tiếng Việt [1] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải, (2000),Giải tích lồi , NXB Khoa học kỹ thuật Hà nội [2] Đỗ Văn Lưu, (1999), Lý thuyết điều kiện tối ưu, NXB Khoa học kỹ thuật Hà nội Tài liệu tiếng Anh [3] Alexée, V., Tikhomirov, V., M and Fomin, S (1982), Commande optimale , MIR, Moscow, Russia [4] Benson, H., P (1983), Efficient and Proper effciency in vector Maximization with respect to cones, Journal of Mathematical Analysis and Applications, Vol 93, pp 273- 289 [5] Bolitinéanu, S and Craven, B D (1992), Linear multicriteria sensitivity and shadow costs, Optimization 26, 115- 127 [6] Bolitinéanu, S and El Maghri, M (1998) , Second order effciency conditions and sensitivity of efficient points,Journal of Optimization Theory and Applications , 98(3), 569-592 [7] Dantzig, G B., Orden, A and Wolfe, P (1955), The generalized simplex algorithm for minimizing a linear form under linear inequality restraints, Pacific Journal of Mathematics 5, 183- 195 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 45 [8] El Maghri, M (2002), Degenerate linear multicriteria sensitivity, Optimization 51(1), 93-108 [9] Fiacco,A (1983), Introduction to sensitivity and stability analysis in nonlinear programming, Academic Press, New York, New York [10] Ioffe, A., D and Tikhomirov, V., M (1979), Theory of extremal problems, North Holland Publishing Company, Amsterdam, Netherlands [11] Jittorntrum, K (1984), Solution point differentiability without strict complementarity in nonlinear programming, Mathematical Programming Studies, Vol 21, pp 127 - 138 [12] Luc, D., T (1989), Theory of vector optimization , Lectures Notes in Economics and Mathematical Systems, Springer Verlag, Berlin, Germany [13] Murty, K G (1983), Linear programming ,Wiley & Sons, New York [14] Yu, P L(1985), Multiple- Criteria decision making, Plenum, New York Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... http://www.lrc-tnu.edu.vn 19 Chương ĐỘ NHẠY VÀ ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN ĐA MỤC TIÊU PHI TUYẾN Chương trình bày điều kiện cần đủ cấp 1, cấp cho nghiệm hữu hiệu toán tối ưu đa mục tiêu phi tuyến... ĐỘ NHẠY VÀ ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN ĐA MỤC TIÊU PHI TUYẾN 19 2.1 Các khái niệm kết bổ trợ 19 2.2 Điều kiện cần cấp cấp cho nghiệm hữu hiệu 22 2.3 Điều kiện. .. buộc, điều kiện đủ cho độ nhạy Fréchet nghiệm hữu hiệu toán nhiễu Trong trường hợp hữu hạn chiều, chúng tơi trình bày điều kiện đủ cho độ nhạy Lipschitz tồn đạo hàm theo phương nghiệm hữu hiệu