BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN

BÀI TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN VỚI ĐỒ THỊ HOÀNG HỮU HẺO HỒNG VÂN – TT - HUẾ I / Dạng thứ nhất : Cho hàm số y = f ( x ) ,Gọi (C ) là đồ thị của nó , hãy viết phương trình tiếp tuyến của đường cong ( C ) tại điểm M 0 (x 0 ;f(x 0 )) Cách giải : Phương trình có dạng : y – y 0 = f ’(x 0 ) ( x – x 0 ) Ví dụ : Cho hàm số y = x 3 – 2x 2 + 1. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( C ) của nó tại điểm M ( -1 ; -2 ) . Giải : Ta thấy M là một điểm thuộc đồ thị ( C ) . Đạo hàm f ’(x) = 3x 2 – 4x => f ’(-1 ) = 7 Vậy phương trình tiếp tuyến tại M có dạng: y – (-2) = 7 ( x – (-1))  y+2 = 7x + 7 Hay y = 7x + 5 6 5 4 3 2 1 -1 -2 -6 -4 -2 2 4 6 8 h 1 x( ) = 7⋅x+5 g 1 x( ) = x 3 -2⋅x 2 ( ) +1 Dạng thứ hai:Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M 1 (x 1 ;y 1 ) và tiếp xúc với (C) Cách giải : đường thẳng d đi qua M 1 (x 1 ;y 1 ) có hệ số góc k có phương trình là : y – y 1 = k(x-x 1 ) y = k(x-x 1 ) + y 1 Để cho đường thẳng d tiếp xúc với ( C ), hệ phương trình sau phải có nghiệm : Giải hệ phương trình nầy ta có được hoành độ x và hệ số góc k =f ’(x 0 ) của tiếp tuyến . Ứng với một hệ số k ta có một tiếp tuyến 1 1 ( ) ( ) '( ) f x k x x y f x k = − +   =  Ví dụ : Cho hàm số y = (2 - x 2 ) 2 có đồ thị ( C) , viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) tại điểm A ( 0 ; 4 ). Giải :Đường thẳng d với hệ số góc k đi qua điểm A ( 0;4 )có dạng : y = kx + 4 , d tiếp xúc với ( C ) , hoành độ của tiếp điểm là nghiệm của hệ : Giải hệ nầy ta được các cặp nghiệm sau : Vậy có ba tiếp tuyến đi qua A là : y = 4 4 2 3 4 4 4 4 8 x x kx x x k  − + = +   − =   1 1 2 2 3 3 0 0 2 3 16 3 3 9 2 3 16 3 3 9 x k x k x k = ⇒ = − = ⇒ = − = ⇒ = 16 3 4 9 16 3 4 9 y x y x = − + = + 6 5 4 3 2 1 -6 -4 -2 2 4 6 f 1 x() = 16 9 ( ) ⋅ 3⋅x+4 wx( ) = -16 9 ( ) ⋅ 3⋅x+4 vx() = 4 ux( ) = 2-x 2 ( ) 2 Dạng thứ 3: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị khi biết hệ số góc k  Cách giải : Giải phương trình f ’( x) = 0 , ta tìm được các hoành độ x i của các tiếp điểm rồi thay vào để tìm các tung độ y i tương ứng . Khi đó các phương trình tiếp tuyến sẽ là : y = k.(x – x i ) + y i  Ví dụ : Cho hàm số y = -x 3 + 3x 2 – 4x + 2 viết phương trình tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị của hàm số đó và song song với đường thẳng d : y = -4x + 3 Giải : Ta có f ’ ( x ) = -3x 2 + 6x - 4 Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng d nên có hệ số góc k = - 4 Để tìm hoành độ giao điểm ta giải phương trình : -3x 2 +6x -4 = - 4  x ( x – 2 ) = 0  x = 0 ; x = 2 Với x 1 = 0 ta có y 1 = f ( o) = 2 Phương trình tiếp tuyến là : y = - 4x + 2 Với x 2 = 2 ta có y 2 = f ( 2 ) = - 2 Phương trình tiếp tuyến là : y = - 4x + 6 6 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 t x( ) = -4⋅x+6 s x ( ) = -4 ⋅ x+2 r x( ) = -x 3 +3⋅x 2 ( ) -4⋅x ( ) +2  Chú ý: Học sinh thường gặp phải sai lầm khi viết phương trình tiếp tuyến qua điểm M ( x M ;y M ) thông thường cứ áp dụng dạng thứ nhất mà không biết M có thuộc đồ thị hay không . Để tránh sai sót nầy ta phải đem toạ độ của M thay vào f ( x ) xem có thoả mãn hay không đã . Nếu thoả thì dùng dạng thứ nhất còn không phải dùng dạng thứ hai. CÁM ƠN CÁC THẦY CÔ VÀ CÁC EM HỌC SINH . Khi đó các phương trình tiếp tuyến sẽ là : y = k.(x – x i ) + y i  Ví dụ : Cho hàm số y = -x 3 + 3x 2 – 4x + 2 viết phương trình tiếp tuyến tiếp xúc với. = 0 ta có y 1 = f ( o) = 2 Phương trình tiếp tuyến là : y = - 4x + 2 Với x 2 = 2 ta có y 2 = f ( 2 ) = - 2 Phương trình tiếp tuyến là : y = - 4x + 6 6 5