Trắc nghiệm toán phương trình tiếp tuyến

Nhận xét: Sử dụng máy tính để lập phương trình tiếp tuyến tại điểm thực chất là rút gọn các bước của cách 1..  Viết phương trình tiếp tuyến của  C tại giao điểm của  C với trục tun

Trích đoạn cuốn « Chinh phục đề thi Đại học Quốc Gia Hà Nội - Tư duy định lượng 2017”

Cách 1 Tính tay thông thường

Bước 1 Tính đạo hàm y f x  hệ số góc tiếp tuyến ky x 0

Bước 2 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M x ; y 0 0 có dạng:

Chú ý:

 Nếu đề bài yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành

độ x0 thì khi đó ta tìm y0bằng cách thế vào hàm số ban đầu, tức y0 f x 0 Nếu đề cho y0 ta thay vào hàm số để giải ra x0

 Nếu đề bài yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại các giao điểm

của đồ thị  C : y f x  và đường thẳng d : y ax b.  Khi đó các hoành độ tiếp

điểm là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm giữa d và  C

Đặc biệt: trục hoành Ox : y0, trục tung Oy : x0.

bằng cách nhấn SHIFT  sau đó nhấn  ta được k

 Nhấn phím để đưa về màn hình chính sau đó nhân với X tiếp tục nhấn phím  f x  CALC Xx o nhấn phím  ta được b

Nhận xét: Sử dụng máy tính để lập phương trình tiếp tuyến tại điểm thực

chất là rút gọn các bước của cách 1 Sử dụng máy tính giúp ta nhanh chóng tìm ra kết quả và hạn chế được sai sót trong tính toán Nếu học sinh nào tính nhẩm tốt có thể bỏ qua cách này

Ta có: y'3x2 4x k y 1 7 Phương trình tiếp tuyến tại M ; 1 3 là:

 Viết phương trình tiếp tuyến của  C tại

điểm M thuộc  C và có hoành độ bằng 1

y' x





14

tại điểm M có hoành độ x0 0, biết y'' x o  1.

534

4

1934

   Do x0 0 nên x0 1 đến đây bạn đọc có thể giải tiếp bằng tay hoặc

sử dụng máy tính Nếu sử dụng máy tính ta thực hiện như sau:

2

4X  X

CALC X1 nhấn dấu  ta được 5

4

Vậy phương trình tiếp tuyến là 3 5

4

Dạng 2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số  C : y f x 

khi biết trước hệ số góc tiếp tuyến là k

* Phương pháp giải:

Bước 1 Gọi M x ; y 0 0là tiếp điểm và tính y' f ' x 

Bước 2 Hệ số góc tiếp tuyến là k f ' x 0 Giải phương trình này tìm được 0

x , thay vào hàm số được y 0

Bước 3 Với mỗi tiếp điểm ta tìm được các tiếp tuyến tương ứng

 Tiếp tuyến tạo với trục hoành một góc  thì k tan 

Sử dụng máy tính thì ta nhập: k   X  f x CALC Xx0 nhấn dấu  ta

được b Phương trình tiếp là d : y kx b. 

Ví dụ 1: Cho hàm số   3

+ Với x0 2 y04 ta có tiếp điểm M1 2 4;

Phương trình tiếp tuyến tại M là: 1 d : y1 9x24d : y1 9x14

+ Với x0  2 y00 ta có tiếp điểm M22 0; 

Phương trình tiếp tuyến tại M là: 2 d : y2 9x20 d : y2 9x18Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là d : y1 9x14,d : y2 9x18

 Viết phương trình tiếp tuyến của  C biết

tiếp tuyến song song với đường thẳng có phương trình : x y3   2 0

3

32

k x

x x

Với x0 3 CALC X 3 nhấn dấu  ta được 14 d : y2 3x14

Vậy phương trình tiếp tuyến là d : y3x14. Chọn đáp án C

Dạng 3 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số  C : y f x  biết tiếp tuyến đi qua A x ; y A A

Bước 3: Giải hệ này tìm được ,x suy ra k và thế vào phương trình ( ),

thu được tiếp tuyến cần tìm

Lưu ý Có thế làm theo cách sau:

Bước 1 Gọi M x ; f x 0  0 là tiếp điểm và tính hệ số góc tiếp tuyến

 0  0

ky x  f x theo x 0

Bước 2 Phương trình tiếp tuyến có dạng: d : y f x x x  0  0  y x0 ( )

Do điểm A x ; y A Ad nên y A f x x  0 Ax0  y x0 giải phương trình này sẽ tìm được x 0

Bước 3 Thế x vào 0 ( ) ta được tiếp tuyến cần tìm

Ví dụ 1: Cho hàm số:  C : y 4x33x1.Viết phương trình tiếp tuyến của

Ta có: y' 12x23 Đường thẳng d đi qua A1 2;  với hệ số góc k có

phương trình d : yk x  1 2 Đường thẳng d là tiếp tuyến của  C khi và

x x

Chú ý: Đối với dạng viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm việc tính toán

tương đối mất thời gian Ta có thể sử dụng máy tính thay các đáp án:

trình Thông thường máy tính cho số nghiệm thực nhỏ hơn số bậc của phương trình là

1 thì ta chọn đáp án đó

Cụ thể trong bài này:

máy tính cho 3 nghiệm Như vậy loại đáp án A và B

+ Với đáp án C: 4x33x   1 9x 11 4x312x10 0 máy tính hiển thị 1 nghiệm thực và 2 nghiệm phức (loại) Vậy chọn đáp án D

+ Ta có thể kiểm nghiệm đáp án D ta cho: 3

4x 3x 1 9x 7

3

4x 12x 8 0

     máy tính hiển thị 2 nghiệm x 1,x2(nhận)

Nếu cho 4x33x 1 2  4x33x 1 0máy tính hiển thị 2 nghiệm 1

 Viết phương trình tiếp tuyến của  C biết

tiếp tuyến đi qua điểm A1 4; .

C y x D Không tồn tại tiếp tuyến

Lời giải

Điều kiện: x 1 Ta có:

 2

31

y' x



 Đường thẳng d đi qua A1 4;  với

hệ số góc k có phương trình d : yk x  1 4 Đường thẳng d là tiếp

tuyến của  C khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

1 4 11

3

21

x

k x x

k x

  

 kết hợp điều kiện được x 4

13

BÀI TẬP PHẦN TIẾP TUYẾN Câu 1 Cho hàm số:   2 1

A y x 1 5

2

152

tại điểm có tung độ bằng 4

 C tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình: y'' x 0.

 Viết phương trình tiếp tuyến của  C tại

giao điểm của  C với trục tung

 Viết phương trình tiếp tuyến của  C tại

các giao điểm của  C và đường : y x 3

31

tại giao điểm  C với đường thẳng : x y  2 0 là:

 Viết phương trình tiếp tuyến của  C tại

điểm M C Biết rằng khoảng cách từ điểm M đến đường tiệm cận đứng của

 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị

biết tiếp tuyến song song với đường thẳng có phương trình : x y9  24.

 Phương trình tiếp tuyến của  C tại M có

dạng d : y kx b.  Biết tiếp tuyến tại M song song với đường thẳng

biết tiếp tuyến vuông góc với đường d x: 9y0

biết tiếp tuyến vuông góc với 1 1

hoành độ bằng x M 1 Tìm m để tiếp tuyến của  C tại M song song với đường thẳng  2 

thị hàm số có hoành độ x A1 Xác định các giá trị của tham số m để tiếp tuyến với đồ thị tại A vuông góc với đường thẳng :x4y 1 0

 Viết phương trình tiếp tuyến của  C tại

điểm M có hoành độ âm sao cho tiếp tuyến tại M cắt Ox,Oy tại A và B đồng

thời đường trung trực của AB đi qua gốc tọa độ

52

A y  x 3

2

B y  x

52

 Gọi d : y kx b  là tiếp tuyến của  C biết

rằng d cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt và tam giác

 Viết phương trình tiếp tuyến của  C biết

rằng tiếp tuyến đi qua A1 3; .

 C biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng: x y  1 0 một góc  sao cho

 Gọi d : y kx b  là tiếp tuyến của  C biết

tiếp tuyến đi qua giao điểm của đường tiệm cận và trục hoành Ox Tỉ số

 Tìm trên d : x y2   1 0điểm M có hoành

độ âm mà từ điểm M kẻ được duy nhất một tiếp tuyến tới  C

 1 1

A M  ; B M 2 3; 

 3 5

C M  ; D M 4 7; 

BÀI TẬP PHẦN TIẾP TUYẾN Câu 1 Cho hàm số:   2 1

A y x 1 5

2

152

C y  x 1 5

2

Câu 5 Cho hàm số  C : y2x3 3x21. Viết phương trình tiếp tuyến của  C

tại điểm có tung độ bằng 4

12 8

A y  x B y 12x8

12 8

C y x D y12x8

Câu 6 Cho hàm số   3 2

 Viết phương trình tiếp tuyến của  C tại

giao điểm của  C với trục tung

 Viết phương trình tiếp tuyến của  C tại

các giao điểm của  C và đường : y x 3

31

tại giao điểm  C với đường thẳng : x y  2 0 là:

 Viết phương trình tiếp tuyến của  C tại

điểm M C Biết rằng khoảng cách từ điểm M đến đường tiệm cận đứng của

đồ thị  C bằng 2

 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị

Câu 15 Cho hàm số  C : yx33x23.Viết phương trình tiếp tuyến của  C

biết tiếp tuyến song song với đường thẳng có phương trình : x y9  24.

 Phương trình tiếp tuyến của  C tại M có

dạng d : y kx b.  Biết tiếp tuyến tại M song song với đường thẳng

biết tiếp tuyến vuông góc với đường d x: 9y0

biết tiếp tuyến vuông góc với 1 1

hoành độ bằng x M 1 Tìm m để tiếp tuyến của  C tại M song song với đường thẳng  2 

thị hàm số có hoành độ x A1 Xác định các giá trị của tham số m để tiếp tuyến với đồ thị tại A vuông góc với đường thẳng :x4y 1 0

 C tại điểm có hệ số góc tiếp tuyến nhỏ nhất Tỉ số T2b : acó giá trị là:

 Viết phương trình tiếp tuyến của  C tại

điểm M có hoành độ âm sao cho tiếp tuyến tại M cắt Ox,Oy tại A và B đồng

thời đường trung trực của AB đi qua gốc tọa độ

52

A y  x 3

2

B y  x

52

 Gọi d : ykx b là tiếp tuyến của  C biết

rằng d cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt và tam giác

 Viết phương trình tiếp tuyến của  C biết

rằng tiếp tuyến đi qua A1 3; .

Câu 28 Cho hàm số   3 2

 Gọi d : y kx b  là tiếp tuyến của  C biết

tiếp tuyến đi qua giao điểm của đường tiệm cận và trục hoành Ox Tỉ số

 Tìm trên d : x y2   1 0điểm M có hoành

độ âm mà từ điểm M kẻ được duy nhất một tiếp tuyến tới  C

 1 1

A M  ; B M 2 3; 

 3 5

C M  ; D M 4 7; 

Câu 31 Cho hàm số   3 2

thị tại điểm M Biết điểm M cùng với hai điểm cực trị của đồ thị hàm số  C

tạo thành tam giác có diện tích bằng 6

 Tính số phương trình tiếp tuyến của  C

biết tiếp tuyến cách đều hai điểmA2 4;  và B4 2; 

 Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận Viết

phương trình tiếp tuyến d của  C tại điểm M thỏa mãn: IMd

15

m A.

m B.

m C.

m D.

để tiếp tuyến của  Cm tại điểm M có hoành độ x 1 cắt đường tròn

1

A m  B m0

1

C m D m2

 Viết phương trình tiếp tuyến của  C biết

rằng khoảng cách từ tâm đối xứng của  C đến tiếp tuyến là lớn nhất ?

tuyến của  C m tại điểm cực đại ,A đường thẳng d cắt trục Oy tại điểm B Tìm

m để diện tích tam giác OAB bằng 6, với O là gốc tọa độ

13

m A.

m B.

m C.

m D.

 Viết phương trình tiếp tuyến của  C biết

tiếp tuyến đó cắt đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang lần lượt tại A

26

 Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận và M

là điểm bất kỳ trên  C , tiếp tuyến của  C tại M cắt các tiệm cận tại A và B

Tính diện tích tam giác IAB ?

Nguyễn Chiến