Trong chương trình THCS thì Toán học là một bộ môn khoa học đòi hỏi có sự tư duy cao trong quá trình lĩnh hội. Đặc biệt là hình học, đây là môn học đòi hỏi các em phải có khả năng lập luận và tư duy tốt. Tuy nhiên đa phần học sinh lớp 7 rất sợ môn hình học vì các em không biết lí luận mà chỉ quen với việc quan sát, thử nghiệm, đo đạc, vẽ hình để đi đến kết quả, một lí do khác không kém phần quan trọng làm cho học sinh lớp 7 sợ học hình là đa số các tiết lí thuyết các em vẫn tiếp thu kiến thức mới theo kiểu lớp 6, ít được rèn chứng minh nhưng sau bài định lí thì lượng bài tập đòi hỏi học sinh phải chứng minh tăng rõ rệt. Vì vậy những tiết giải bài tập hình học thường giáo viên là người cung cấp mọi kiến thức, giáo viên hầu như thực hành hết các bước từ phân tích tìm lời giải cho đến bước cuối cùng là trình bày lời giải đó, còn học sinh thì vẫn thụ động chép những kiến thức mà giáo viên đã tìm sẵn, và khi không có sự hướng dẫn của giáo viên thì các em khó tìm ra phương pháp chứng minh mà chỉ chứng minh theo quán tính. Chính vì vậy việc “Rèn luyện kỹ năng chứng minh hình học cho học sinh lớp 7” là yêu cầu rất quan trọng đối với giáo viên khi dạy học phân môn hình học. Để các em có thể chủ động tìm ra hướng giải bài tập một cách nhanh chóng và khoa học nhất. Đó chính là lý do tôi chọn sáng kiến kinh nghiệm này.
BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Lời giới thiệu: Trong chương trình THCS Tốn học mơn khoa học địi hỏi có tư cao trình lĩnh hội Đặc biệt hình học, mơn học địi hỏi em phải có khả lập luận tư tốt Tuy nhiên đa phần học sinh lớp sợ mơn hình học em khơng biết lí luận mà quen với việc quan sát, thử nghiệm, đo đạc, vẽ hình để đến kết quả, lí khác khơng phần quan trọng làm cho học sinh lớp sợ học hình đa số tiết lí thuyết em tiếp thu kiến thức theo kiểu lớp 6, rèn chứng minh sau định lí lượng tập đòi hỏi học sinh phải chứng minh tăng rõ rệt Vì tiết giải tập hình học thường giáo viên người cung cấp kiến thức, giáo viên thực hành hết bước từ phân tích tìm lời giải bước cuối trình bày lời giải đó, cịn học sinh thụ động chép kiến thức mà giáo viên tìm sẵn, khơng có hướng dẫn giáo viên em khó tìm phương pháp chứng minh mà chứng minh theo quán tính Chính việc “Rèn luyện kỹ chứng minh hình học cho học sinh lớp 7” yêu cầu quan trọng giáo viên dạy học phân mơn hình học Để em chủ động tìm hướng giải tập cách nhanh chóng khoa học Đó lý chọn sáng kiến kinh nghiệm Tên sáng kiến: RÈN LUYỆN KỸ NĂNG CHỨNG MINH HÌNH HỌC CHO HỌC SINH LỚP Tác giả sáng kiến: -Họ tên: Lê Việt Tùng -Địa tác giả sáng kiến: Trường THCS Tân Tiến – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc -Số điện thoại: 0989776286 -E_mail: viettung79@gmail.com Chủ đầu tư tạo sáng kiến: - Họ tên: Lê Việt Tùng Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Trong trình dạy học trình nghiên cứu, tơi tích luỹ số kinh nghiệm giúp ích cho thân, tơi xin mạnh dạn đưa số kinh nghiệm vấn đề “Rèn luyện kĩ giải tốn chứng minh hình học cho học sinh lớp 7” để giúp cho học sinh có hướng suy nghĩ tìm tịi lời giải cho tốn chứng minh hình học, nhằm dần hình thành kĩ phân tích, tổng hợp kiến thức, giúp phát triển tư rèn khả tự học cho học sinh, đáp ứng yêu cầu đổi giáo dục - Sáng kiến áp dụng học sinh lớp trường THCS Tân Tiến - Góp phần giúp học sinh có kĩ thói quen tư tích cực, linh hoạt tốn chứng minh hình học - Bổ sung thêm vào tư liệu tham khảo cho thân giáo viên em học sinh Giúp học sinh ngày yêu thích học tốt với mơn tốn Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu: tháng năm 2019 Mô tả chất sáng kiến: 7.1 Cơ sở lý luận Trong trường THCS mơn tốn coi mơn khoa học trọng mơn có nhiều khái niệm trừu tượng Đặc biệt phải khẳng định phân mơn hình học có nhiều khái niệm trừu tượng nhất, kiến thức tập lại phong phú, nhiều so với nội dung lý thuyết học Bên cạnh yêu cầu tập lại cao, nhiều tốn dạng chứng minh địi hỏi phải suy diễn chặt chẽ lơgíc có trình tự SGK hình học 7, kiến thức trình bày theo đường kết hợp trực quan suy diễn, lập luận Bằng đo đạc, vẽ hình, gấp hình, quan sát …học sinh dự đốn kết luận hình học tiếp cận định lý Nhờ giúp HS có hứng thú học tập, chịu khó tìm tịi khám phá kiến thức Sách giáo khoa hình học tiếp tục bổ sung kiến thức mở đầu hình học phẳng lớp làm quen với khái niệm mới: Hai đường thẳng vng góc, hai đường thẳng song song, quan hệ hai tam giác, tam giác cân, tam giác đều, định lí Pitago, quan hệ yếu tố tam giác, đường đồng quy tam giác Chương trình hình học bước chuyển tiếp quan trọng tư để giúp HS học tốt chương trình hình học Hệ thống tập đa dạng phong phú thể nhiều hình thức, phần lớn tập chứng minh, từ địi hỏi HS phải có kỹ phân tích để tìm lời giải cho tốn Vì việc rèn luyện kỹ giải tốn chứng minh hình học quan trọng để khơi dậy hứng thú học tập, giúp học sinh học toán nhẹ nhàng hào hứng, đạt kết tốt 7.2 Cơ sở thực tiễn Trong trình giảng dạy giáo viên có tinh thần tự bồi dưỡng thường xuyên, liên tục để nâng cao trình độ chun mơn nghệp vụ Có trách nhiệm học sinh, trường lớp Phương pháp giảng dạy có đổi theo hướng tích cực hóa hoạt động người học, bước áp dụng công nghệ thông tin vào giảng dạy Tuy nhiên phận khơng nhỏ giáo viên cịn lúng túng việc rèn luyện kỹ giải cho tốn, khiến HS khơng hiểu ngun nhân đưa đến lời giải tốn khơng vận dụng vào giải tốn khác, HS khơng biết cách học tốn, cụ thể cách suy nghĩ để tìm lời giải cho toán Đặc biệt toán chứng minh mơn hình học, khiến HS tiếp thu cách thụ động, thiếu tự nhiên, thiếu tính sáng tạo, dẫn đến kết học tập thấp Đối với học sinh: Một phận học sinh, khoảng 25% tích cực học tập, rèn luyện, có động học tập đắn nên có kết học tập tốt Một phận lớn học sinh, khoảng 35% có kết học tập trung bình, số có khoảng 15% có phương pháp học phù hợp đạt mức Số lại (40%) học yếu, lớp khơng tiếp thu học Trong phần lớn em khơng có phương pháp học tốn phù hợp, khơng có kĩ phân tích, tìm lời giải cho tốn Qua tìm hiểu tơi thấy ngun nhân q trình dạy học thầy giáo chưa hướng dẫn học sinh phương pháp học tập đắn, hình thức tổ chức hoạt động dạy học học chưa phong phú nên chưa kích thích học sinh hứng thú học tập Vì giáo viên cần “Rèn luyện kỹ chứng hình học cho học sinh” để em chủ động tìm hướng giải tập cách nhanh chóng khoa học Đó lý chọn sáng kiến kinh nghiệm 7.3 Thực trạng nghiên cứu 7.3.1 Thuận lợi - Được quan tâm giúp đỡ ban giám hiệu nhà trường, giúp đỡ nhiệt tình đồng nghiệp - Đa số em có ý thức học tập tốt, có nhiều em đạt học sinh giỏi lớp - Giáo viên trang bị đầy đủ sgk, sách tham khảo, đồ dùng dạy học 7.3.2 Khó khăn Kinh nghiệm thực tế cho thấy khơng có phương pháp chung cho việc giải tốn hình học, mà tuỳ thuộc vào tốn cụ thể có cách giải hợp lý để đến kết hay độc đáo, hay nói cách khác sáng tạo giải toán Hơn nữa, em học sinh lớp bước đầu quen với việc chứng minh hình học nên em yếu kỹ giải tốn Như kỹ vẽ hình, vận dụng định lý vào chứng minh, suy luận để tìm hướng giải trình bày tốn chứng minh Đặc biệt kỹ suy luận chứng minh Khi giải tốn chứng minh hình học với học sinh thường có tư tưởng hoang mang, lúng túng phải đâu Gặp tập muốn chứng minh gặp chứng minh gặp nâng cao đành chịu Bài khơng làm có nhiều ngun nhân, nguyên nhân chủ yếu bỏ qua phần chuẩn bị cần thiết có khâu vẽ hình Hơn hình vẽ phải xác giúp ta quan sát lúc suy diễn gợi ý cho ta cách giải, vẽ tuỳ tiện chẳng có ích gì, mà đơi cịn giải sai, khâu chuẩn bị trước giải tốn Cịn bắt tay vào chứng minh đa số em không làm nào, đặc biệt khâu trình bày cho đầy đủ khoa học Đối với em học sinh lớp bước đầu giải tốn hình học, em mắc phải số sai lầm mà khơng kịp thời sửa chữa sau thời gian dài em khó uốn nắn thu kết học tập khơng ý muốn, chí cịn hồn tồn bó tay trước mơn học Đối với giáo viên vấn đề rèn luyện kỹ giải toán chứng minh hình học cho học sinh khơng phải làm tốt Vậy muốn làm tốt điều yêu cầu người thầy phải có đúc rút kinh nghiệm cho riêng mình, từ truyền cho học sinh cách quan sát, phát hiện, dự đốn để có sáng tạo hợp lý Bên cạnh người thầy phải tự học tự bồi dưỡng để trang bị cho vốn kiến thức cần thiết Đây thực trạng mà người dạy toán người quan tâm đến việc dạy học mơn tốn trường THCS cần phải nhận thức rõ làm tốt 7.4 Những kinh nghiệm rèn luyện kỹ giải tốn hình học cho học sinh lớp Trong trình giảng dạy phần hình học tơi thấy cần lưu ý rèn luyện số kỹ giải toán chứng minh: - Kỹ vẽ hình - Kỹ vận dụng định lý, suy luận chứng minh - Kỹ đặc biệt hoá - Kỹ tổng quát hoá 7.4.1 Rèn luyện kĩ vẽ hình Khi vẽ hình giáo viên cần ý học sinh số điểm sau: Hình vẽ phải mang tính tổng qt, khơng nên vẽ hình trường hợp đặc biệt dễ gây ngộ nhận chẳng hạn đoạn thẳng không nên vẽ nhau, đường thẳng khơng nên vẽ vng góc hay song song với nhau, cịn tam giác khơng nên vẽ tam giác cân hay vng …nếu khơng u cầu Hình vẽ đóng vai trị quan trọng q trình giải tốn, hình vẽ xác, rõ ràng giúp học sinh nhanh chóng tìm hướng giải tốn Một số học sinh vẽ hình khơng xác cho tốn, ý phải hướng dẫn giúp học sinh rèn luyện kĩ vẽ hình Ví dụ 1: (Bài 14 sách tập tốn tập trang 75) Vẽ hình theo cách diễn đạt lời sau: Vẽ góc xOy có số đo 60 Lấy điểm A vẽ tia Ox, vẽ đường thẳng d1 vng góc với tia Ox A lấy điểm B tia Oy vẽ đường thẳng d2 vng góc với tia Oy B, gọi giao điểm d1 d2 C Phân tích: Bài tập yêu cầu học sinh vẽ góc 600 phải xác thơng thường học sinh thường mắc lỗi sau: - Vẽ góc 600 khơng xác - Vẽ đường thẳng vng góc khơng xác - Khơng xét hết trường hợp vẽ Học sinh cần phân biệt tốn dựng hình tốn vẽ hình để chứng minh, cần có độ xác khác nhau, ngồi cần ý cho học sinh có nhiều hình vẽ khác tuỳ theo vị trí điểm A, B chọn x C A d2 60° O B x A d2 A C O d2 x d1 60° O 60° B d1 y y C y d1 B Ví dụ 2: Vẽ tam giác ABC cân A - Khi vẽ tam giác cân số học sinh yếu thường d vẽ khơng xác tơi thường hướng dẫn cho A học sinh vẽ cạnh đáy trước, sau vẽ đường trung trực cạnh đáy, trung trực lấy điểm (điểm khác trung điểm cạnh đáy) nối điểm với B M hai đầu đoạn thẳng chứa cạnh đáy ta tam giác cân C A - Hoặc ta vẽ cạnh đáy trước, sau nửa mặt phẳng bờ chứa cạnh đáy ta vẽ hai góc hợp 50° 50° với cạnh đáy hai góc (thường khác 600) ta B ∆ cân Chẳng hạn hình vẽ bên ta vẽ góc 500 C A - Hoặc sử dụng compa vẽ: Để vẽ tam giác ABC cân A ta vẽ cạnh BC Trên nửa mặt phẳng có bờ chứa cạnh BC vẽ cung trịn tâm B tâm C có bán kính cho chúng cắt A Nối điểm A với B C ta tam B giác ABC cân C Trong q trình giảng dạy tơi thấy số học sinh làm tập thường vẽ hình vào trường hợp đặc biệt, hình vẽ khơng A xác vẽ khơng hết trường hợp Ví dụ 3: (Bàì tập 77 trang 32 SBT Tốn tập II) Cho ∆ ABC có AH đường cao, AM trung tuyến Trên tia đối HA lấy điểm E cho HE= HA B H M E I Trên tia đối MA lấy điểm I cho MI = MA.Nối B với E, C với I Chứng minh BE = CI Phân tích: Nếu học sinh vẽ vào trường hợp đặc biệt: Tam giác ABC cân A lúc đường cao AH C trung tuyến AM trùng Dẫn đến việc giải toán M rơi vào trường hợp đặc biệt Do vậy, để giúp học sinh tránh sai lầm dạy học lưu ý nhắc nhở học sinh tốn khơng cho hình đặc biệt ta khơng nên vẽ vào trường N H M hợp đặc biệt vẽ hình phải vẽ thật xác dễ quan sát, giúp ích nhiều cho việc chứng minh 7.4.2 Rèn luyện kỹ suy luận chứng minh I E Việc rèn luyện kĩ suy luận chứng minh có tầm quan trọng đặc biệt Học sinh cần có kỹ khơng giải toán chứng minh mà tốn quỹ tích, dựng hình số tốn tính tốn a) Rèn luyện kỹ vận dụng định lý Chúng ta cần rèn luyện cho học sinh kỹ vận dụng định lý xét vấn đề phải xét tất trường hợp xảy Ví dụ 4: Trong khẳng định sau, khẳng định đúng, khẳng định sai? A Hai góc có chung đỉnh đối đỉnh B Hai góc đối đỉnh C Hai góc đối đỉnh Đây dạng tập trắc nghiệm, chủ yếu yêu cầu học sinh lựa chọn phương án, khơng cần giải thích Vậy nên học sinh thường hay lựa chọn sai lý sau: - Không nắm định lý “Hai góc đối đỉnh”, khơng phân biệt rõ phần giả thiết kết luận, dẫn đến cách suy luận không chọn khẳng định B Còn chọn khẳng định A đúng, tức em chưa xét hết trường hợp xảy ra, chưa nắm rõ khẳng định coi coi sai P Vì để rèn luyện tốt kỹ giải toán, trước hết phải yêu cầu học sinh nắm kiến thức, nhớ định lý, tính chất hình học vận dụng đúng, phù hợp b) Rèn luyện kỹ nhận dạng vận dụng định lý * Các định lý, tính chất mà học sinh cần nắm vững chương trình hình học lớp 7: - Ba định lý quan hệ tính song song tính vng góc - Một số tính chất tam giác: Các định lý tổng góc tam giác, góc ngồi tam giác - Tính chất cách nhận biết số dạng tam giác đặc biệt: Tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông, tam giác vuông cân - Định lý Py-ta-go áp dụng cho tam giác vuông - Ba trường hợp hai tam giác - Các trường hợp hai tam giác vuông - Quan hệ góc cạnh đối diện tam giác - Quan hệ ba cạnh tam giác - Bất đẳng thức tam giác - Quan hệ đường xiên hình chiếu - Tính chất tia phân giác góc, đường trung trực đoạn thẳng - Tính chất đường đồng quy tam giác: Ba đường trung tuyến, ba đường phân giác, ba đường trung trực, ba đường cao * Rèn luyện kỹ vận dụng định lý cho học sinh Việc rèn luyện kĩ suy luận chứng minh cho học sinh nên bắt đầu việc cho học sinh tiến hành hoạt động nhận dạng định lý vận dụng định lí Nhận dạng định lý phát xem tình cho trước có khớp với định lý hay khơng, cịn vận dụng định lý xem xét xem toán giải có tình ăn khớp với định lí học A B M C Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có AB = AC Gọi M trung điếm cạnh BC Chứng minh rằng: a) AM tia phân giác góc A b) AM ⊥ BC Sau hướng dẫn học sinh vẽ hình, viết giả thiết, kết luận giáo viên hướng dẫn học sinh phân tích tốn: a) Để chứng minh AM tia phân giác góc A ta phải chứng minh · · BAM = CAM - Muốn ta phải chứng minh hai tam giác chứa hai góc trên: ∆ABM = ∆ACM - Để giải vấn đề phải vận dụng định lý, tính chất ? GV lập sơ đồ phân tích sau: AM tia phân giác µA · · BAM = CAM ∆ABM = ∆ACM AB=AC BM = CM AM cạnh chung Sau cho học sinh trình bày ngược từ lên Cụ thể: Xét ∆ABM ∆ACM có: AB = AC (gt) BM = CM (gt) AM cạnh chung Suy ra: ∆ABM = ∆ACM (c − c − c ) · · ⇒ BAM = CAM 10 Phân tích Sau hướng dẫn học sinh vẽ hình ghi gt, kl giáo viên yêu cầu học sinh trả lời câu hỏi sau: a) Để chứng minh AB = CD ta phải chứng minh điều gì? (GV gợi ý: Dựa vào tam giác có chứa hai cạnh hai đoạn thẳng trên: ∆ABM = ∆DCM A ) -Theo em hai tam giác theo C B M trường hợp nào? (GV gợi ý: Hai tam giác có yếu tố nhau? sao? ∆ABM = ∆DCM D (c – g – c)) Với việc phân tích gọi suy luận ngược Từ kết luận toán ta suy luận đến cần điều kiện giả thiết Ta có sơ đồ phân tích sau: AB = CD ∆ABM = ∆DCM AM = DM (GT) ·AMB = DMC · (Đối đỉnh) BM = CM (GT) Sau giáo viên cho học sinh trình bày theo hướng ngược lại (từ lên) Cụ thể: Xét ∆ABM ∆DCM có: AM = DM (gt) ·AMB = DMC · (hai góc đối đỉnh) BM = CM (gt) ∆ABM = ∆DCM Do (c-g-c) 12 b) Để chứng minh hai đường thẳng song song ta dựa vào dấu hiệu nào? (Học sinh nêu dấu hiệu – giáo viên hướng cho học sinh nên sử dụng cặp góc so le nhau) - Để chứng minh AC// BD ta chứng minh cặp góc nhau?( ·ACB = CBD · ) - Muốn chứng minh nhau? ( ∆AMC = ∆DMB ·ACB = CBD · ta chứng minh hai tam giác ) -Từ giả thiết ta chứng minh hai tam giác chưa ? Tại sao? ( ∆AMC = ∆DMB (c - g - c)) Giáo viên để học sinh tự lập sơ đồ phần tam giác Sơ đồ phân tích: AC // BD ·ACB = CBD · (mà hai góc có vị trí so le trong) ∆AMC = ∆DMB AM = DM ·AMC = DMB · (GT) BM = CM (Đối đỉnh) (GT) Sau học sinh trình bày cách chứng minh theo hướng ngược lại (từ lên) Cụ thể: xét ∆AMC ∆DMB có: AM = DM (gt) ·AMC = DMB · (hai góc đối đỉnh) BM = CM (gt) ∆AMC = ∆DMB Do (c-g-c) 13 · ⇒ ·ACB = CBD ( hai góc tương ứng) Suy AC//BD ( có hai góc vị trí so le nhau) Cần nói thêm đối tượng học sinh lớp tập giải tốn chứng minh Do dạy tơi ý tới việc hướng dẫn học sinh xếp luận cho lôgic, chặt chẽ d) Quy tắc suy luận Khi dạy giải tập giáo viên cần ý dạy cho học sinh quy tắc suy luận Trong q trình giải tốn ta thường gặp hai quy tắc suy luận: quy tắc quy nạp quy tắc diễn dịch Quy tắc quy nạp suy luận từ riêng đến chung, từ cụ thể đến tổng quát Quy tắc quy nạp, thường dùng quy nạp hoàn toàn, ta phải xét hết trường hợp xảy Quy tắc diễn dịch từ chung đến riêng, từ tổng qt đến cụ thể - Trong q trình giải tốn, nhiều phải phân chia trường hợp xảy ra, trường hợp riêng, học sinh xét trường hợp đến kết luận có phân chia khơng đầy đủ trường hợp Vì trình giảng dạy cần ý cho học sinh lực phân chia trường hợp riêng Ví dụ Cho tam giác ABC, điểm D, E trung điểm cạnh AB, AC Trên đường thẳng DE lấy điểm F cho E trung điểm DF Chứng minh rằng: a) BD = CF b) DE // BC a) Giáo viên hướng dẫn học sinh phân tích tốn lập sơ đồ phân tích Để chứng minh BD = CF AD = CF 14 ∆ADE = ∆CFE AE = CE, Cụ thể: Xét ∆ADE ∆CFE · · DEA = CEF , DE = EF có: AE = CE (gt) · · DEA = CEF ( hai góc đối đỉnh) DE = EF ( gt) Do ∆ADE = ∆CFE (c-g-c) Suy AD = CF ( hai cạnh tương ứng) Mà AD = BD (gt) nên CF = BD b) Giáo viên hướng dẫn học sinh phân tích hai cách Cách Cách Để chứng minh DE//BC BD = CF, Cụ thể: Để chứng minh DE//BC · · CDF = BCD · · DFB = FBC ∆BDC = ∆FCD ∆BDF = ∆FCB · · BDC = DCF , CD chung ∆ADE = ∆CFE BD = CF, (theo câu a) µ ⇒ ⇒ ·ADE = F so le nhau) AB//CF Xét · · = DCF ⇒ BDC ∆BDC ∆FCD ( so le trong) có: BD = CF (chứng minh phần a) 15 · · DBF = BFC , BF chung AD//CF ( hai góc vị trí · · BDC = DCF ( theo chứng minh trên) CD chung Do ∆BDC = ∆FCD · · = CDF ⇒ BCD ⇒ ( c – g - c) ( hai góc tương ứng) DE // BC ( Có hai góc vị trí so le nhau) Cách : Tương tự học sinh tự chứng minh Với cách hướng dẫn trên, học sinh giải toán cách khác nhau, tùy thuộc vào việc chọn điều kiện Vì giáo viên hướng dẫn học sinh lớp cách suy luận tìm hướng chứng minh tốn, thơng thường dùng phương pháp phân tích, khơng em chọn phương án thích hợp mà cịn có nhiều cách giải khác củng cố kiến thức 7.4.3 Kỹ đặc biệt hoá Đặc biệt hoá chuyển từ trường hợp chung sang trường hợp riêng, sang trường hợp đặc biệt Ta thường đặc biệt hóa tốn cách: - Thay biến số số, cho số đo góc số cụ thể, chẳng hạn thay góc α α = 900 - Thay điều kiện toán điều kiện hẹp hơn, chẳng hạn thay ∆ABC có µ >C µ B ∆ABC có µ = 900 B - Thay vị trí điểm, hình vị trí đặc biệt - Bổ sung thêm quan hệ vào toán, chẳng hạn tam giác ABC, xét tam giác cân đáy BC (bổ sung thêm điều kiện AB = AC) Ta biết tính chất trường hợp chung trường hợp đặc biệt, tính chất sai trường hợp đặc biệt sai trường hợp chung Do phương pháp đặc biệt hố dùng để: 16 - Bác bỏ mệnh đề Điều áp dụng nhiều dạng tập trắc nghiệm - Phát tính chất - Dự đoán kết - Xét trường hợp đặc biệt trước sử dụng kết để chứng minh trường hợp cịn lại Ví dụ : Mệnh đề sau hay sai? Nếu hai tam giác có hai cặp cạnh đơi cặp góc hai tam giác Phân tích: Để bác bỏ mệnh đề cần D nêu trường hợp đặc biệt: tồn hình thoả mãn giả thiết mệnh đề không với kết luận mệnh đề A C Chẳng hạn cho hình vẽ sau: ∆ACB ∆ACD · · DAC = BAC B có AC chung, AB =AC hai tam giác khơng 7.4.4 Kỹ tổng qt hố: Để góp phần rèn luyện kỹ suy luận chứng minh số trường hợp, nên hướng dẫn học sinh tổng quát hoá toán Tổng quát hoá, tức từ trường hợp đặc biệt chuyển sang trường hợp tổng quát Ta thường tổng quát hoá toán cách: - Thay số biến số, chẳng hạn thay góc 1200 góc α - Thay điều kiện toán điều kiện “rộng hơn” (điều kiện cũ trường hợp riêng) - Thay vị trí đặc biệt điểm, hình vị trí nó, chẳng hạn thay trọng tâm tam giác điểm nằm tam giác 17 - Bỏ bớt điều kiện giả thiết để có tốn tổng qt hơn, chẳng hạn thay tam giác vuông tam giác Tác dụng tổng quát hoá: Nếu tốn tổng qt đúng, ta có tốn “mạnh hơn” toán ban đầu, với lớp đối tượng rộng so với toán ban đầu Nhờ tổng qt hố mà ta đến cơng thức tổng quát, giải toán tương tự khó Hơn tìm hướng giải toán ta xét trường hợp đặc biệt suy cách giải tốn Ví dụ 9: Cho ∆ ABC Tia phân giác góc B, góc C cắt cạnh AC, AB tai D, E.Gọi I giao điểm BD CE Tính góc A A biết góc BIC bằng: a) 120o b) α (α > 90 o D E B I ) Phân tích : Bài tốn câu a trường hợp riêng câu b Nếu khơng có câu a việc tìm lời giải cho câu b gặp nhiều khó khăn a) ∆ nên BIC có · BIC = 1200 Bˆ1 + Cˆ1 = 180o − 120o = 60o µ +C µ = 600.2 = 1200 ⇒B (vì µ =B ¶ B ; µ =C ¶ C Â = 180o - 120o = 60o b) Bˆ1 + Cˆ1 = 180 o − α Bˆ + Cˆ = 2.(180o − α ) = 360o − 2α Â= 180o − ( Bˆ + Cˆ ) = 180o − (360o − 2α ) 18 ) C = 180o − 360o + 2α = 2α − 182 o Ví dụ 10: Cho tam giác ABC có µ >C µ B , tia phân giác góc A cắt cạnh BC D Chứng minh rằng: BD < DC Phân tích: Bài tốn học sinh đại trà khó tìm hướng giải ln Nhưng thay dự kiện tốn góc B A = 90 , tốn đơn giản, tìm cách giải E Như ví dụ 10 trường hợp tổng quát tốn sau: Cho tam giác ABC có Bˆ = 900 B , tia phân giác góc A D C cắt cạnh BC D Chứng minh rằng: BD < DC Cụ thể: Để có DC > DB ta phải vẽ đoạn thẳng thoả mãn điều kiện DB có liên quan đến DC Vậy ta kẻ DE ⊥ AC hợp lý Ta có ∆ABD = ∆AED (cạnh huyền – góc nhọn) ⇒ DB = DE Ta xét ∆EDC có DC > DE (cạnh huyền > cạnh góc vng) - Nếu giáo viên hướng dẫn học sinh giải tốn từ em tự giải ví dụ 10 Ở ví dụ 10 có tổng quát phải so sánh DE với DC ∆DEC tam giác vuông Cụ thể: Do Bˆ > Cˆ nên AC > AB Trên cạnh AC lấy điểm E cho AE = AB Ta có ∆ABD = ∆ AED (c.g.c) nên BD = DE (hai A cạnh tương ứng) E B 19 D x C Và · · DEC = DBx Nhưng · µ DBx >C (định lý góc ngồi tam giác) nên · µ DEC >C Do DC > DE Vậy BD < DC Những thông tin cần bảo mật: Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: 9.1 Hướng dẫn học sinh kỹ tìm lời giải chứng minh quan trọng, việc rèn luyện cho học sinh kỹ trình bày chứng minh khơng phần quan trọng Nhất em học sinh lớp Với đối tượng học sinh đại trà việc trình bày chứng minh kém, nhiều em thường nêu khẳng định mà không nêu khẳng định, nên không nắm rõ khẳng định hay sai Vì giáo viên cần phải ln nhắc nhở thiếu sót học sinh trình bày chứng minh Chia chứng minh làm phần: lời chứng minh - khẳng định khẳng định phải có khẳng định Làm tránh chứng minh sai thiếu, giúp học sinh nhớ lâu tiên đề, định lý định nghĩa học Những khẳng định giới hạn điều sau: - Giả thiết - Những định nghĩa học - Những tiên đề học - Những định lý hình học học 9.2 Khi chứng minh thường vẽ thêm đường phụ để giúp ta chứng minh Vì đường phụ bắt đầu chứng minh nên ghi vào đầu làm nói rõ vẽ 9.3 Khi vẽ hình để dễ nhận rõ liên hệ yếu tố hình vẽ ta thường dùng ký hiệu để đánh dấu yếu tố 20 9.4 Trong chứng minh nên dùng hệ thức thay cho lời nói trường hợp có thể, làm cho chứng minh rõ ràng Lời chứng minh cần đơn giản, gọn, đừng dài dòng khơng thiếu hay bỏ sót Trong q trình rèn luyện kỹ giải tốn, giáo viên ln quan tâm nhắc nhở em em tránh sai lầm tiến sau thời gian 9.5 Những thiếu sót cách khắc phục phương pháp giải toán 9.5.1 Đối với học sinh: Nhiều em học Những học sinh lười học, không nắm vững kiến thức đành, nhiều học sinh chịu khó học bài, khơng làm tập làm sai tập Những học sinh thường mắc sai sót sau: - Chưa đọc kỹ đề bài, chưa hiểu rõ toán vội lao vào giải Bởi vậy, đâu, gặp khó khăn khơng biết làm để tìm lời giải Trong trường hợp giáo viên nên hướng dẫn học sinh đọc phân tích kỹ nội dung đề - Khơng chịu đề cập toán theo nhiều cách khác nhau, không chịu nghiên cứu khảo sát chi tiết kết hợp chi tiết toán theo nhiều cách, không sử dụng hết dự kiện toán Trong trường hợp để khắc phục giáo viên nên hướng dẫn học sinh thói quen vận dụng chi tiết có tốn định hướng cách giải khác để gây hứng thú cho học sinh - Không biết vận dụng hay vận dụng chưa thành thạo phương pháp suy luận giải toán, khơng biết sử dụng tốn giải áp dụng - Phương pháp cách máy móc thiếu linh hoạt Khi giải tốn hình học giáo viên nên ý hình thành kỹ nhận dạng định lý vận dụng định lý giải tốn hình học 21 - Không chịu kiểm tra lại lời giải, vận dụng nhầm kiến thức mà để sửa lại Do giáo viên cần rèn luyện tính cẩn thận, yêu cầu xác cho học sinh giải tốn hình học - Khơng chịu suy nghĩ tìm cách giải khác cho tốn hay mở rộng lời giải tìm cho tốn khác, bị hạn chế việc rèn luyện lực giải toán Vậy nên giáo viên cần làm cho học sinh hứng thú trình học hình học thường xuyên tiết học 9.5.2 Đối với giáo viên - Chưa tạo cho học sinh thói quen tiến hành đầy đủ bước cần thiết giải toán, toán lạ tốn khó - Chưa coi trọng phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận việc tìm lời giải tốn Thơng thường người thầy nặng trình bày lời giải tìm mà không ý đế việc hướng dẫn học sinh để học sinh tự đến lời giải, học sinh hiểu lời giải toán mà thầy giải mà chưa biết qua học tập cách suy nghĩ để giải toán khác, toán tương tự - Chưa trọng rèn luyện cho học sinh kỹ thực hành - Bắt học sinh giải nhiều tập hiệu làm cho học sinh coi việc giải toán gánh nặng Chưa ý lựa chọn hệ thống tập đa dạng, đầy đủ mà đơn điệu lặp lại khiến học sinh nhàm chán, giải cách qua loa, đại khái - Chưa gây hứng thú cho học sinh qua việc giải tốn 10 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả theo ý kiến tổ chức, cá nhân tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu, kể áp dụng thử 10.1 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả: Việc tìm lời giải tốn chứng minh hình học khơng phải đơn giản khơng có quy trình sẵn có nên địi hỏi q trình dạy học giáo viên phải thường xuyên ý đến rèn kĩ phân tích tổng hợp, tư 22 lơgíc kĩ trình bày giải Đối với học sinh lớp kĩ bước hoàn thiện dần sau lớp Với cách đặt vấn đề giải vấn đề trên, truyền thụ cho học sinh thấy học sinh lĩnh hội kiến thức cách thoải mái, rõ ràng, có hệ thống Học sinh rèn luyện nhiều kĩ vẽ hình, kĩ suy luận, kĩ tổng qt hố qua rèn luyện cho học sinh trí thơng minh, sáng tạo phẩm chất trí tuệ khác, xố cảm giác khó phức tạp ban đầu hình học, giúp học sinh có hứng thú học mơn Giai đoạn Giỏi Giai đoạn 8,7% Tỷ lệ học sinh mơn hình học Khá Trung bình Yếu 16,3% 35% 27,5% Kém 12,5 % 8,2 % Giai đoạn 12,6% 17,9% 29,5% 31,8 % Giai đoạn 15,2% 24,3% 34,6% 25,9% 10.2 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tổ chức, cá nhân: Mỗi học sinh, sau học tập, tìm hiểu nghiên cứu qua sáng kiến kinh nghiệm có tiến rõ rệt khả chứng minh hình học Quan trọng hơn, em khơng cịn cảm thấy hình học đáng ngại, đáng sợ Các em tự tin, u thích thành cơng giải tập hình học Từ đó, em học tập tích cực, tự giác sáng tạo hơn; tư em phát triển linh hoạt 10.3 Bài học kinh nghiệm 10.3.1 Đối với giáo viên: Để rèn kỹ giải toán chứng minh hình học đạt hiệu cao người giáo viên cần lưu ý số nội dung sau: - Thường xuyên kiểm tra miệng phần tập nhà học nhằm giúp em nắm vững kiến thức học - Để học sinh nắm vững hứng thú học tập giáo viên cần chọn hệ thống tập theo mức độ tăng dần từ dễ đến khó Cần rèn luyện nhiều cách lập luận trình bày học sinh 23 - Tạo cho học sinh thói quen tiến hành đầy đủ bước cần thiết giải toán, toán lạ tốn khó - Chú trọng phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận việc tìm lời giải toán học sinh - Chú trọng rèn luyện cho học sinh kỹ thực hành - Lựa chọn hệ thống tập đa dạng, đầy đủ 10.3.2 Đối với học sinh: - Nắm kiến thức - Trong trình làm phải biết vận dụng linh hoạt phương pháp vào giải cho phù hợp - Đọc kỹ đề lượt, phải hiểu rõ tất danh từ bài, nhằm hồn tồn hiểu ý tập - Phân biệt phần giả thiết kết luận toán, dựa vào điều cho giả thiết để vẽ hình, dùng chữ để làm kí hiệu đường thẳng điểm, giao điểm, hai đầu mút đoạn thẳng - Dựa vào toán ký hiệu hình vẽ để viết giả thiết, kết luận; thay danh từ toán học ký hiệu, làm cho toán đơn giản dễ hiểu - Tìm hiểu định lý, tính chất phục vụ cho việc giải toán - Suy xét vấn đề, tìm hiểu suy đốn bước một, phân tích chi tiết, nghiên cứu điều kiện, để tìm cách giải tốn 11 Danh sách tổ chức/cá nhân tham gia áp dụng thử áp dụng sáng kiến lần đầu Qua kết nghiên cứu nhận thấy: “ Rèn luyện kỹ giải tốn chứng minh hình học cho học sinh lớp 7” áp dụng cho học sinh lớp trường phạm vi rộng Bởi vấn đề nghiên cứu thực khơng q khó, giáo viên thực trình soạn giảng lên lớp 24 Số TT Tên tổ chức/cá nhân Địa Phạm vi/Lĩnh vực áp dụng sáng kiến Tân Tiến, ngày 20 tháng năm 2021 Người thực Lê Việt Tùng TÀI LIỆU THAM KHẢO - Sách giáo khoa Toán tập 1,2 25 - Sách giáo viên Toán tập 1,2 - Sách tập Toán tập 1,2 - Toán nâng cao tập1 (Vũ Hữu Bình) - Bài tập nâng cao số chuyên đề toán (Bùi Văn Tuyên) - Nâng cao phát triển toán tập (Vũ Hữu Bình) - Tốn bồi dưỡng học sinh giỏi lớp (Vũ Hữu Bình - Tơn Thân - Đỗ Quang Thiều 26 ... dẫn học sinh kỹ tìm lời giải chứng minh quan trọng, việc rèn luyện cho học sinh kỹ trình bày chứng minh không phần quan trọng Nhất em học sinh lớp Với đối tượng học sinh đại trà việc trình bày chứng. .. việc chứng minh 7. 4.2 Rèn luyện kỹ suy luận chứng minh I E Việc rèn luyện kĩ suy luận chứng minh có tầm quan trọng đặc biệt Học sinh cần có kỹ khơng giải toán chứng minh mà toán quỹ tích, dựng hình. .. toán chứng minh: - Kỹ vẽ hình - Kỹ vận dụng định lý, suy luận chứng minh - Kỹ đặc biệt hoá - Kỹ tổng quát hoá 7. 4.1 Rèn luyện kĩ vẽ hình Khi vẽ hình giáo viên cần ý học sinh số điểm sau: Hình