CHUYÊN đề HÌNH học ôn THI vào 10

CHUN ĐỀ HÌNH HỌC ƠN THI VÀO LỚP 10 MƠN TỐN A MỘT SỐ BÀI TỐN CƠ BẢN CĨ THỂ ỨNG DỤNG NHƢ BỔ ĐỀ Bài toán 1: Nếu hai tiếp tuyến đường tròn cắt điểm đường thẳng qua tâm điểm trung trực đoạn thẳng nối hai tiếp điểm B O A H C MA, MB tiếp tuyến đường trịn (O) A B OM trung trực AB Bài toán 2: (Bài 31 / SGK T9-Tập / Tr 116) Cho ABC ngoại tiếp đường tròn tâm O a) Chứng minh 2AD  AB  AC – BC b) Hãy hệ thức tương tự A F D B O E C ABC ngoại tiếp đường tròn (O) nên AB, BC, AC tiếp tuyến (O) D, E, F Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có: AD  AF;DB  BE;FC  CE Xét vế phải: VP  AB  AC  BC   AD  DB   AF  FC   BE  EC Thay DB  BE, FC  CE vào biểu thức trên, ta được: VP  (AD  BE)  (AF  CE)  (BE  EC)  AD  BE  AF  CE  BE  EC  AD  AF  (BE  BE)  (CE  EC)  AD  AF  2AD  VT (Do AD  AF ) Vậy 2AD  AB  AC  BC GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG PHONE: 0983.265.289 CHUN ĐỀ HÌNH HỌC ƠN THI VÀO LỚP 10 MƠN TỐN Bài tốn 3: (Bài 60 / SBT T9 Tập 1/ Tr 166) Cho ABC, đường tròn (K) bàng tiếp góc A tiếp xúc với cạnh AB, AC E, F Biết BC  a,AB  c,AC  b Chứng minh : a) AE  AF  a bc b) BE  a bc c) CF  acb A C B F E K a) Gọi D tiếp điểm đường trịn (K) với cạnh BC Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có: BE  BD;CD  CF Mà: AE  AB  BE AF  AC  CF  AE  AF  AB  BE  AC  CF  AB  AC   BD  DC   AB  AC  BC  c  b  a Mà AE=AF (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)  AE  AF  a bc b) Ta có: BE  AE – AB  a bc a bc c  2 c) Ta có: CF  AF – AC  a bc a cb b  2 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC ƠN THI VÀO LỚP 10 MƠN TỐN Bài tốn 4: (Bài tập 23 - SGK T9 Tập / Tr 76) Cho đường tròn (O), điểm M cố định khơng thuộc đường trịn Qua M kẻ hai đường thẳng, đường thẳng thứ cắt đường tròn A B, đường thẳng thứ hai cắt đường tròn C D Chứng minh: MA MB = MC MD M C C A A M D O O D B MAD  MCB  B MA MD   MA.MB  MC.MD MC MB Bài toán 5: (Bài tập 30 / SGK T9 - Tập / Tr 79) x' x A B Giả sử Ax không tiếp tuyến A, A kẻ tia tiêp tuyến Ax’ với đường tròn ( cho Ax’ Ax thuộc nửa mặt phẳng bờ AB)  BAx '  sñAB  BAx  BAx'  tia Ax trùng tia Ax’ Ax tiếp tuyến A (Có thể chứng minh cách kẻ đường thẳng vng góc từ O xuống AB cộng góc) GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC ƠN THI VÀO LỚP 10 MƠN TỐN Bài toán 6: (Bài 34 /Tr 80 - SGK T9 tập 2) Cho đường tròn (O) điểm M nằm ngồi đường trịn Từ M kẻ tiếp tuyến MT tới đường tròn (T tiếp điểm) cát tuyến MAB Chứng minh MT2  MA.MB T B A A O ATM  TBM  MT MA   MT  MA.MB MB MT Bài toán 7: (Bài /Tr 135 SGK T9 - Tập 2) Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn(O) nội tiếp đường tròn (O’), tia AO cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác D Đáp án : A CD  BD  O’D B CD  OC  BD C AO  CO  OD D CD  OD  BD A O O' C B D OBD  BOD  DOB cân D  DB = DO AD phân giác góc BAC  DB  DC  DB  DC  DB  DC  DO GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC ƠN THI VÀO LỚP 10 MƠN TỐN B MỘT SỐ SAI LẦM HS THƢỜNG MẮC PHẢI KHI LÀM BÀI TẬP HÌNH HỌC Sai lầm phần vẽ hình: + Vẽ sai đọc khơng kĩ vị trí điểm thuộc tia, tia đối, thuộc đoạn, yêu cầu đoạn thẳng lớn hơn, nhỏ hơn, cung lớn, cung nhỏ, … + Lấy điểm cho vị trí đặc biệt trung điểm đoạn thẳng, chân đường vng góc, điểm cung, … để dẫn tới cảm nhận trực quan sai hình thành đường lối suy nghĩ, tìm lời giải cho tốn lệch hướng + Không vẽ đoạn thẳng mà phần làm có sử dụng + Cẩu thả nên dễ bị nhầm kí hiệu M với N; E với F; O với D, … + Đánh kí hiệu góc A1; A ; … từ câu a, b nên tới câu c, d xuất tia nằm bên góc mà học sinh khơng vẽ lại hình + Trong lạm dụng góc đánh số A1; A ;….nhưng hình vẽ qn khơng đánh kí hiệu 1, 2, vào góc + Có hai ký hiệu trùng hình vẽ + Lỗi vẽ sai độ dài, đề cho AB < AC hình vẽ AB > AC Những lỗi sai, nhầm lẫn trình bày bài: + Khi sử dụng định lý áp dụng tam giác, tứ giác hay đường trịn HS khơng xét tam giác, tứ giác hay đường trịn + Làm tắt bước (Lỗi sai ngộ nhận kiểu chưa có mà bảo có) + Đưa tính chất hình học song lại thiếu + Khi chứng minh tứ giác nội tiếp đơi học sinh có A  900 ; B  900 khơng có biểu thức A  B  1800 ( Khi đỉnh A; B đối nhau) hay A  B  900 (Khi đỉnh A; B kề nhau) kết luận + Khi chứng minh hai tam giác đồng dạng, viết kí hiệu hai tam giác đồng dạng, viết sai đỉnh tương ứng + Khi sử dụng góc dùng kí hiệu đỉnh, nhiều học sinh viết nhầm đỉnh (Ví dụ BAC viết ABC ) + Nhiều học sinh dùng kí hiệu góc, cung cịn nhầm lẫn, khơng xác + Khi gặp câu u cầu tính tốn em cần để kết số vơ tỷ (Ví dụ ) không để kết dạng số thập phân (  1,4 ) Kết cuối phải có đơn vị đo giả thiết cho đơn vị đo + Khi làm hay bị ngộ nhận vẽ hình rơi vào trường hợp đặc biệt + Khi chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường đồng quy hay ngộ nhận / + Lỗi viết ẩu lập luận: Chữ O chữ D, số chữ b, số 1; ; viết giống + Lỗi lập luận không chặt chẽ, lỗi dùng câu GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC ÔN THI VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN C MỘT SỐ KỸ NĂNG CHỨNG MINH HÌNH HỌC CƠ BẢN I CHỨNG MINH ĐƢỜNG THẲNG LÀ TIẾP TUYẾN CỦA ĐƢỜNG TRÒN KIẾN THỨC CƠ BẢN Phƣơng pháp Chứng minh đường thẳng vng góc với bán kính điểm nằm đường tròn Phƣơng pháp 2: (Bài tập 30 /Tr 79 SGK T9 - Tập 2) Nếu góc BAx (Với đỉnh A nằm đường tròn, cạnh chứa dây cung AB) có số đo nửa số đo cung AB căng dây cung nằm góc BAx cạnh Ax tia tiếp tuyến đường tròn Phƣơng pháp 3: Cho đường tròn (O) điểm M nằm ngồi đường trịn Từ M kẻ cát tuyến MAB tới đường tròn điểm T đường trịn CMR: Nếu MT2 = MA.MB MT tiếp tuyến đường tròn T (Bài toán đảo 34 /Tr80 SGK T9 - Tập 2) VÍ DỤ Phƣơng pháp Từ điểm A nằm ngồi đường trịn (O; R) , vẽ tiếp tuyến AB ( B tiếp điểm) Qua điểm B kẻ đường vng góc với OA cắt đường trịn (O) C Chứng minh AC tiếp tuyến đƣờng tròn (O) Hƣớng dẩn giải B A O C ∆OBC cân O (OB = OC), có OA đường cao nên OA phân giác  AOB  AOC AOC  AOB  c  g  c   ACO  ABO  900  AC  OC C C (O)  AC tiếp tuyến đường tròn (O) GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG PHONE: 0983.265.289 CHUN ĐỀ HÌNH HỌC ƠN THI VÀO LỚP 10 MƠN TỐN Ví dụ Cho đường trịn (O; R) đường kính AB Ax, By tia tiếp tuyến (O) (Ax, By nửa mặt phẳng bờ đt AB) Trên Ax lấy điểm C, By lấy điểm D cho COD  90o Chứng minh rằng: CD tiếp xúc với đường tròn (O) Hƣớng dẩn giải Vẽ OH  CD (H  CD) Tia CO cắt tia đối tia By E Ta có: OAC  OBF (c  g  c)  OC  OE Tam giác DEC có DO vừa đường cao vừa trung tuyến nên tam giác cân  DO đường phân giác  OH  DC Mà OB  DE  OH  OB ( tính chất tia phân giác góc) Ta có OH  CD,OH  OB  R  CD tiếp xúc với (O) H Ví dụ Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Đường trịn đường kính BH cắt AB D, đường trịn đường kính CH cắt AC E Chứng minh DE tiếp tuyến chung hai đường tròn (I) (J) Hƣớng dẩn giải GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG PHONE: 0983.265.289 CHUN ĐỀ HÌNH HỌC ƠN THI VÀO LỚP 10 MƠN TỐN Vì D, E thuộc đường trịn đường kính BH HC nên ta có: BDH  CEH  900  Tứ giác ADHE hình chữ nhật Gọi O giao điểm AH DE, ta có OD = OH = OE = OA  ODH cân O  ODH  OHD IDH cân I  IDH  OHI  IDO  OHD  IHD  OHD  IHA  900  IDO  900  ID  DE Ta có ID  DE, D  (I) nên DE tiếp tuyến đường tròn (I) D Chứng minh tương tự ta có DE tiếp tuyến đường tròn (I) E Phƣơng pháp 2: (Bài tập 30 /Tr 79 SGK T9 - Tập 2) Nếu góc BAx (Với đỉnh A nằm đường trịn, cạnh chứa dây cung AB) có số đo nửa số đo cung AB căng dây cung nằm góc BAx cạnh Ax tia tiếp tuyến đường trịn Ví dụ Cho ABC cân C, trực tâm H Chứng minh AB tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp AHC Hƣớng dẩn giải C O H B A H Là trực tâm ABC Nên AH  BC, CH  AB  HAB  HCB Do ABC cân C nên CH đồng thời phân giác góc ACB  ACH  BCH  HAB  ACH Theo bổ đề AB tiếp tuyến Phƣơng pháp 3: Cho đường tròn (O) điểm T đường trịn Từ điểm M nằm ngồi đường tròn kẻ cát tuyến MAB tới đường tròn Chứng minh rằng: Nếu MT2  MA.MB MT tiếp tuyến đường trịn T (Bài tốn đảo 34 /Tr80 SGK T9 - Tập 2) GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC ƠN THI VÀO LỚP 10 MƠN TỐN Ví dụ Cho đường trịn (O) dây AB khác đường kính M điểm cung AB Một điểm C dây AB, dây MD đường tròn qua C a) Chứng minh MA2  MC.MD b) Chứng minh MB tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp BCD M C A B O D a) MAC  MDA nên  MA2  MC.MD b) Tương tự có MB2  MC.MD , theo bổ đề MB tiếp tuyến đường tròn BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài Cho đường tròn tâm O đường kính AB Một điểm M nằm đường thẳng AB ( A nằm M B), qua điểm M kẻ đường thẳng MC tiếp xúc với đường tròn (O) C Từ O hạ đường thẳng vng góc với BC cắt MC N Chứng minh đƣờng thẳng NB tiếp tuyến đƣờng tròn (O) Hƣớng dẩn giải B N O A C M GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG PHONE: 0983.265.289 CHUN ĐỀ HÌNH HỌC ƠN THI VÀO LỚP 10 MƠN TỐN ∆OBC cân O (OB = OC), có ON đường cao nên ON phân giác  BON  CON BON  CON (c- g -c)  OBN  OCN  900  OC  NC C C (O)  NC tiếp tuyến đường tròn (O) Bài Cho điểm A nằm bên ngồi đường trịn (O) Vẽ đường tròn (A; OA) Gọi CD tiếp tuyến chung hai đường tròn ( C  (O); D  (A) Đoạn nối tâm OA cắt (O) N Chứng minh DN tiếp tuyến (O) Hƣớng dẩn giải ∆AOD cân A (AO = AD )  AOD  ADO OC // AD ( vng góc CD )  COD  ADO  COD  AOD OND  OCD (c  g  c)  DNO  DCO  900  DN  OA N N  (O)  DN tiếp tuyến đường tròn (O) Bài Cho ABC nhọn, đường cao BD CE cắt H Gọi I trung điểm BC Chứng minh ID, IE tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp ADE Hƣớng dẩn giải GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG 10 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC ƠN THI VÀO LỚP 10 MƠN TỐN Bài 12 Cho đường tròn  O; R  điểm M  O  Qua M kẻ tiếp tuyến MA, MB với  O  (A, B tiếp điểm) Gọi I trung điểm MA, BI cắt đường tròn  O  điểm thứ hai C 1) Chứng minh tứ giác OAMB nội tiếp 2) Chứng minh IA2  IB.IC 3) Chúng minh CMA  IBM Lời giải A I O M C B 2) Chứng minh IA2  IB.IC Nối A với B, A với C Đường trịn (O; R) có : A1  B1 (Tính chất góc tạo tia tiếp tuyến dây cung) Xét IAC IBA có : A1  B1 (Chứng minh trên) AIB góc chung  IAC ¡ ï IBA (g - g)  IA IC  (Tính chất tam giác đồng dạng) IB IA  IA2  IB.IC 3) Chứng minh CMA  IBM Có I trung điểm MA (gt)  IA = IM Mà IA2  IB.IC (Chứng minh trên)  IM2  IB.IC  IM IC  IB IM Xét IMB ICM có : IM IC  (Chứng minh trên) IB IM BIM góc chung  IMB ¡ ï ICM (c -g-c)  CMI  IBM (Tính chất tam giác đồng dạng)  CMA  IBM GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG 104 PHONE: 0983.265.289 CHUN ĐỀ HÌNH HỌC ƠN THI VÀO LỚP 10 MƠN TỐN DẠNG HAI TIẾP TUYẾN VNG GĨC VỚI ĐẦU MÚT CỦA ĐƯỜNG KÍNH I KIẾN THỨC CƠ BẢN y x C M D A O B Một số phản xạ quan trọng gặp dạng toán + Ax  OA, By  OB + OD tia phân giác AOM , DO tia phân giác ADM + OC tia phân giác BOM , CO tia phân giác BCM + OD  OC + DM  CM  AD  BC + DM.CM  AD.BC  OM2  R 2 Một số kiến thức trọng tâm thường hay áp dụng làm + Các trường hợp bàng hai tam giác + Tính chất tổng góc tam giác + Tính chất đường tam giác + Tính chất mối quan hệ góc, song song + Tính chất tam giác cân, tam giác + Tính chất, dấu hiệu nhận biết tứ giác đặc biệt + Tính chất góc đường trịn + Định lí Ta – lét , định lí Ta – lét đảo tam giác + Trường hợp đồng dạng góc - góc cạnh – góc - cạnh hai tam giác Một số kĩ chứng minh thường hay sử dụng + Phương pháp cộng góc, cộng đoạn thẳng +Tính chất bắc cầu + Kết hợp hệ thức lượng tam giác đồng dạng chứng minh hệ thức hình học + Để chứng minh góc cần chứng minh tam giác đồng dạng (c- g- c) + Để chứng minh góc cần chứng minh tứ giác nội tiếp + Để chứng minh tứ giác nội tiếp cần chứng minh tứ giác khác nội tiếp + Phương pháp phản chứng Chú ý quan trọng + Có câu hỏi phải chứng minh nhiều cặp tam giác đồng dạng + Có câu hỏi phải chứng minh nhiều tứ giác nội tiếp + Có nhiều câu đòi hỏi việc biến đổi phức tạp, vẽ thêm yếu tố phụ ( bố cháu chịu ) GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG 105 PHONE: 0983.265.289 CHUN ĐỀ HÌNH HỌC ƠN THI VÀO LỚP 10 MƠN TỐN II VÍ DỤ Ví dụ Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB = 2R Vẽ tiếp tuyến Ax, By nửa đường tròn Trên nửa đường tròn lấy điểm C (C khác A B) Gọi D giao điểm đường thẳng BC với tiếp tuyến A nửa đường tròn tâm O I trung điểm AD a) Chứng minh BC.BD = 4R2 b) Chứng minh IC tiếp tuyến nửa đường tròn tâm O c) Từ C kẻ CH  AB (H AB), BI cắt CH K Chứng minh K trung điểm CH Hướng dẫn giải y x D C C I A K H O B AB   ABC vuông C  AC  BC a) Xét  ABC có OA = OB =OC = Ta có AD tiếp tuyến nửa đường trịn tâm O nên AD  AB Trong  ABD vuông A có AC  BD  BC BD =AB2 Mà AB = 2R nên BC BD = 4R2 b) Tam giác ACD vng C có I trung điểm AD  AI  DI  CI  AD Nên  AOI =  COI  IAO  ICO Mà IAO = 900 nên ICO = 900  IC  OC  IC tiếp tuyến nửa đường trịn tâm O Ta có AD//CH (cùng vng góc với AB) KH BK = AI BI CK BK ∆BDI có CK//DI  = DI BI KH CK Suy = AI DI ∆BAI có KH// AI  Mà AI = DI nên KH = CK hay K trung điểm CH GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG 106 PHONE: 0983.265.289 CHUN ĐỀ HÌNH HỌC ƠN THI VÀO LỚP 10 MƠN TỐN Ví dụ Cho đường trịn tâm O có đường kính AB=2 R Gọi I trung điểm đoạn thẳng OA, E điểm thay đổi đường trịn O cho E khơng trùng với A B Dựng tiếp tuyến Ax, By đường tròn O A B Gọi d đường thẳng qua E vng góc với EI Đường thẳng d cắt Ax, By M, N a) Chứng minh tứ giác AMEI nội tiếp b) Chứng minh IAE  NBE c) Chứng minh IB.NE  3IE.NB d) Chứng minh ∆MNI vuông Hướng dẫn giải x y M E N A I B O a) Chứng minh tứ giác AMEI nội tiếp MAI  MEI  90  AMEI nội tiếp b) Chứng minh IAE đồng dạng với NBE Do E nằm đường tròn đường kính AB  AEB  90 Theo giả thiết NEI  90 Từ  AEI  BEN phụ với IEB Lại có EAI  EBN (cùng phụ với ABE ) (1) (2) Từ (1) (2),  AIE  BNE (g - g) c) Chứng minh IB.NE  3IE.NB AIE  BNE (g - g) AI IE (3)   AI.NE  IE.BN BN NE 1 I trung điểm AO  AI  AO  AB  IB  AB hay AI  IB 4 Từ (3) (4)  IB.NE  IE.NB  IB.NE  3IE.NB  (4) d) Chứng minh ∆MNI vuông Tứ giác AMEI nội tiếp  MIE  MAE Tứ giác BIEN nội tiếp  EIN  EBN Mà MAE  900  EAB EBN  900  EBA  MAE  EBN  180  (EAI  EBA)  180  90  90 Do dó MIE  EIN  90  ∆MNI vuông I GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG 107 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC ƠN THI VÀO LỚP 10 MƠN TỐN Ví dụ Cho nửa đường trịn  O  đường kính AB  2R Trên đoạn thẳng OB lấy điểm M ( M khác O B ) Trên nửa đường tròn  O  lấy điểm N ( N khác A B ) Đường thẳng vng góc với MN N cắt tiếp tuyến Ax, By nửa đường tròn  O  C D ( Ax, By nửa đường tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB ) Gọi E giao điểm AN CM Đường thẳng qua E vng góc với BD cắt MD F a) Chứng minh tứ giác ACNM nội tiếp b) Chứng minh AN.MD  NB.CM c) Chứng minh N, F, B thẳng hàng d) Khi ABN  600 , tính theo R diện tích phần nửa hình trịn tâm O bán kính R nằm ngồi  ABN Lời giải y x D N C E I F B A O M a) Chứng minh tứ giác ACNM nội tiếp CAM  CNM  1800  Tứ giác ACNM nội tiếp (dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp) b) Chứng minh AN.MD  NB.CM Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác ACNM có: NCM  NAM (hai góc nội tiếp chắn NM ) Hay DCM  BAN Tứ giác BMND tứ giác nội tiếp  NDM  NBM (hai góc nội tiếp chắn NM )  CDM  ABN CDM  có: DCM  BAN;CDM  ABN  CDM   (g - g)  GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG MD CM   AN.MD  NB.CM (đpcm) NB AN 108 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC ƠN THI VÀO LỚP 10 MƠN TỐN c) Chứng minh N, F, B thẳng hàng Gọi I giao điểm MD BN Xét đường tròn  O  có: Tiếp tuyến Ax  CAN  ABN ANB  900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)  ENI  900 Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác ACNM có: CAN  CMN (hai góc nội tiếp chắn CN ) mà CAN  ABN  ABN  NMC (1) CDM    CMD  ANB Mà ANB  900  CMD  900 hay EMI  900 Tứ giác ENIM nội tiếp  NIE  NME ( hai góc nội tiếp cúng chắn NE ) hay NIE  NMC  2 Từ 1   suy ra: NIE  ABN  EI / /AB Ta có: EF  BD AB  BD  Bx  AB  E F / /AB Vì EI / /AB , E F / /AB mà I  MD, F  MD  I  F mà I giao điểm MD BN (cách vẽ) Vậy N,F,B thẳng hàng d) Tính theo R diện tích phần nửa hình trịn tâm O bán kính R nằm ngồi  ABN ∆ABN vng N có : ABN  600 , AB  2R Ta có: NB  ABcosABN  2Rcos600  R NA  ABsin ABN  2R sin 600  R SABN  1 R2 NB.NA  R 3.R  2 Diện tích nửa đường trịn  O; R  : R 2  Diện tích phần nửa hình trịn tâm O bán kính R nằm ngồi  ABN bằng:  2 R2 R  R   2 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG  109 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC ƠN THI VÀO LỚP 10 MƠN TỐN III BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R Từ A B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt tiếp tuyến Ax , By C D Các đường thẳng AD BC cắt N 1) Chứng minh AC  BD  CD 2) Chứng minh COD = 900 3) Chứng minh AC.BD  AB2 4) Chứng minh OC // BM 5) Chứng minh AB tiếp tuyến đường trịn đường kính CD 6) Chứng minh MN  AB 7) Xác định vị trí M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ Lời giải y x D I M C N A O B 1) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có: CA  CM;DB  DM  AC  BD  CM  DM Mà CM  DM  CD  AC  BD  CD 2) OC tia phân giác góc AOM; OD tia phân giác góc BOM, Mà AOM BOM hai góc kề bù  COD  900 3) COD  900  COD vuông O có OM  CD ( OM tiếp tuyến )  OM2  CM.DM, GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG 110 PHONE: 0983.265.289 CHUN ĐỀ HÌNH HỌC ƠN THI VÀO LỚP 10 MƠN TỐN Mà OM  R;CA  CM; DB  DM  AC.BD  R2  AC.BD  AB2 4) Theo COD  900 nên OC  OD (1) Ta có: DB = DM; lại có OM = OB = R  OD trung trực BM  BM  OD (2) Từ (1) Và (2)  OC // BM ( Vì vng góc với OD) 5) Gọi I trung điểm CD ta có I tâm đường trịn ngoại tiếp COD Ta có AC  AB; BD  AB  AC // BD  tứ giác ACDB hình thang Lại có I trung điểm CD; O trung điểm AB  IO đường trung bình hình thang ACDB  IO // AC , mà AC  AB  IO  AB O  AB tiếp tuyến O đường trịn đường kính CD 6) Theo AC // BD  CN AC CN CM , mà CA  CM;DB  DM    BN BD BN DM  MN // BD mà BD  AB  MN  AB 7) Ta có chu vi tứ giác ACDB AB  AC  CD  BD mà AC  BD  CD  Chu vi tứ giác ACDB AB + 2CD Mà AB không đổi nên chu vi tứ giác ACDB nhỏ CD nhỏ , CD nhỏ CD khoảng cách giữ Ax By tức CD vng góc với Ax By Khi CD // AB  M phải trung điểm cung AB Bài Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, M điểm thuộc nửa đường tròn ( M khác A, B ) Tiếp tuyến M cắt tiếp tuyến Ax By đường tròn (O) C D a) Chứng minh: COD  900 b) Gọi K giao điểm BM với Ax Chứng minh: AKM  DOM c) Chứng minh KM.MD  OM.AM c) Tìm giá trị nhỏ tổng diện tích hai tam giác ACM BDM Hướng dẫn giải GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG 111 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC ƠN THI VÀO LỚP 10 MƠN TỐN y x D K M C A H B O a) Vì CA, CM hai tiếp tuyến cắt C; DB, DM hai tiếp tuyến cắt D Nên theo t/c hai tiếp tuyến cắt ta có OC, OD hai tia phân giác hai góc kề bù AOM BOM nên: COD  900 AM  MB  AM / /OD  CMA  MDO (đồng vị) OD  MB b) Ta có  Mà CMA  KAM  KAM  MDO  AKM  DOM b) AKM  DOM  MA MD  MK MO (1) c) Mặt khác KMO  AMD  900  AMO (2) Từ (1) (2), suy KMO  AMD (c.g.c)  KM OM   KM.MD  OM.AM AM MD d) Gọi S  SABDC ;S1  SMAB ;S2  SMAC ;S3  SMBD  S2  S3  S  S1 R bán kính đường trịn (O) Ta có: S   AC  BD  R  R  MC  MD  OMC  DMO  CM.DM  OM2  R  MC  MD    MC  MD   4MC.MD  MC  MD  2R  S  2R (1), Dấu “=” xảy MC  MD hay M điểm nửa đường trịn (O) Từ M kẻ MH  AB  S1  R.MH  R (2), Dấu “ = “ xảy M điểm nửa đường trịn (O)  S2  S3  S  S1  2R  R  R Vậy min(S2  S3 )  R M điểm nửa đường tròn (O) GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG 112 PHONE: 0983.265.289 CHUN ĐỀ HÌNH HỌC ƠN THI VÀO LỚP 10 MƠN TỐN Bài Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai tiếp tuyến Ax, By (O) ( Ax, By thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Từ M thuộc nửa đường tròn (O) vẽ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax, By E F a) Chứng minh tứ giác AEMO nội tiếp b) AM cắt OE điểm P BM cắt OF điểm Q Tứ giác MPOQ hình gì? Vì sao? c) Vẽ MH  AB H MH cắt EB K Chứng minh K trung điểm MH d) Cho AB = 2R Gọi r bán kính đường trịn nội tiếp ∆EOF Chứng minh r < < R Hướng dẫn: x y I F M E K P A Q H O B Hướng dẫn giải c) Gọi I giao điểm Ax BM Chứng minh AIM  IME (cùng phụ với góc nhau)  IE = EM = EA  E trung điểm AI  MK KH  BK  = =   MK = KH (dpcm) IE AF  BE  d) ∆OEF vuông O  OM.EF = r(OE + OF + EF) = 2.SOEF  EF.R = r.(OE + OF + EF)  r EF r EF = < mà OE + OF > EF  < R OE+ OF+ EF R EF Lại có OE + OF + EF < 3EF  GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG r EF EF r = >  < < R OE+ OF+ EF 3EF R 113 PHONE: 0983.265.289 CHUN ĐỀ HÌNH HỌC ƠN THI VÀO LỚP 10 MƠN TỐN Bài Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB = 2R M điểm tùy ý nửa (O) (M khác A, B) Tiếp tuyến (d) M nửa (O) cắt trung trực đoạn AB I Đường trịn (I) bán kính OI cắt (d) C D ( C nằm góc AOM) a) Chứng minh tia AC, BD tiếp xúc với nửa đường tròn (O) b) OC cắt AM P, OD cắt BM Q Chứng minh tứ giác APQO hình chữ nhật c) Chứng minh bốn điểm C, D, Q, P nằm đường tròn d) Xác định vị trí điểm M nửa đương trịn (O) để bán kính đường trịn ngoại tiếp tứ giác CPQD nhỏ HƯỚNG DẪN y x K D I M C P H A Q O B c) Tứ giác APQO hình chữ nhật  Tứ giác APQO nội tiếp đường tròn  OPQ  OMQ Mà OMQ  MDQ  OPQ  MDQ  Tứ giác MDQP nội tiếp đường tròn  Bốn điểm M, D, Q, P thuộc đường tròn d) Gọi H trung điểm OM MPOQ hình chữ nhật  H trung điểm PQ Trung trực PQ đoạn CD cắt K  Tứ giác OHKI hình bình hành KI = OH = R CK bán kính đường trịn ngoại tiếp tứ giác CPQD Có CK = CI2 + KI2 = OI + OH = OI + R Mà OI  OM  CK  R Dấu “=”  OM = OI  M  I điểm cung AB GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG 114 PHONE: 0983.265.289 CHUN ĐỀ HÌNH HỌC ƠN THI VÀO LỚP 10 MƠN TỐN Bài Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB  2R Trên nửa đường trịn  O  lấy điểm M cho MB  R Vẽ tiếp tuyến Ax, By ( Ax By thuộc nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm M ) Tiếp tuyến M đường tròn  O  cắt Ax, By C D a) Chứng minh tứ giác OBDM nội tiếp b) BC cắt đường tròn F ( F khác B ) Đường thẳng qua O vng góc với BC cắt By E Chứng minh : EF tiếp tuyến đường tròn  O  c) Gọi K giao điểm OE BC Chứng minh KO.KE  KF.KB d) Chứng minh đường trung trực đoạn thẳng MK qua điểm D Lời giải C E F M K A D B O 1) BD tiếp tuyến  O  B  OBM  90 MD tiếp tuyến  O  M  OMD  90  Tứ giác OBDM nội tiếp 2) Ta có OB  OF  OBF cân O  FOE  BOE Xét OFE OBE : OB  OF (cmt) FOE  BOE (cmt) OE : cạnh chung  OFE  OBE (c.g.c)  OFE  OBE  90 ( góc tương ứng)  EF  OF Vậy EF tiếp tuyến đường tròn  O  GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG 115 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC ƠN THI VÀO LỚP 10 MƠN TỐN 3) Ta có: FOK  EBK ( nửa số đo BF ) Xét OKF BKE : FOK  EBK (cmt) FKO  EKB ( góc đối đỉnh)  OKF  BKE (g - g) KO KF  KB KE  KO.KE  KF.KB  4) Ta lại có MB  OM  OB  OBM  BOM  BMO  60 BOM  60  MBD  30 DMO  90; BMO  60  BMD  30 BMD  MBD  30  BMD cân D 1  DM  DB Mặt khác, CMO  CAO  90  90  180  điểm O, A, C, M thuộc đường trịn đường kính OC  ACM  MOB  60 MCO  ACM  30 ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) CMO  CKO  90 4 điểm O, C, M, K thuộc đường trịn đường kính OC  EKM  MCO  30 EKM  EBM  30  Tứ giác BKME nội tiếp Tứ giác BKME có BKE  90  Tứ giác BKME nội tiếp đường trịn đường kính BE  BME  90 BME  90; BMD  30  DME  60  MED  60  DME  DM  DE  2 Từ 1    DM  DB  DE  D tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BKME  DM  DK  D thuộc đường trung trực đoạn thẳng MK GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG 116 PHONE: 0983.265.289 CHUN ĐỀ HÌNH HỌC ƠN THI VÀO LỚP 10 MƠN TỐN Bài Cho nửa đường trịn ( O) đường kính AB Vẽ tiếp tuyến Ax By Lấy M đường tròn cho AM < BM AM cắt By F, BM cắt Ax E a Chứng minh: AB2  AE.BF b Tiếp tuyến đường tròn M cắt AE, BF C D Chứng minh C D trung điểm AE BF c Chứng minh đường thẳng AB, CD, EF đồng quy Hướng dẫn giải a Ta có AMB = 90º (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)  AM  BE Xét ∆EAB ∆ABF có: EAB=ABF; AEB  FAB (cùng phụ với EAM ) Suy ∆EAB  ∆ABF ( g.g)  AB AE  AB2 = AE BF = BF AB b CA = CM CO tia phân giác ACM  ∆AMC cân C CO đường cao  CO  AM Do ∆ABE có OA=OB, OC//BE nên CA=CE c Gọi giao điểm AB EF S Ta chứng minh S, C, D thằng hàng Giả sử SC cắt BF D’ Vì AE // BF nên theo định lí Ta-let, có: AC BD' = =1  D’ trung điểm BF CE D'F  D trùng với D’ hay S, C, D thẳng hàng Vậy ba đường thẳng AB, EF, CD đồng quy S GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG 117 PHONE: 0983.265.289 CHUN ĐỀ HÌNH HỌC ƠN THI VÀO LỚP 10 MƠN TỐN Bài Cho đường trịn (O), đường kính AB, d1, d2 các đường thẳng qua A, B vng góc với đường thẳng AB Lấy M, N điểm thuộc d1, d2 cho MON = 900 1) Chứng minh đường thẳng MN tiếp tuyến đường tròn (O) AB 2) Chứng minh AM BN = 3) Xác định vị trí M, N để diện tích tam giác MON đạt giá trị nhỏ Hướng dẫn giải y x N H M A B O 1) Gọi H hình chiếu O đường thẳng MN Xét tứ giác OAMH A  H  1800 (do A  H  900 ) => OAMH tứ giác nội tiếp đường tròn Tương tự tứ giác OBNH nội tiếp => A1  M1 , B1  N1 (2 góc nội tiếp chắn cung)  A1  B1  M1  N1  900 => AHB = 900 Hay H thuộc (O) lại có OH  MN => MN tiếp tuyến (O) 2) Ta có AM = MH, BN = NH, theo hệ thức lượng tam vuông, ta có: AM BN  MH NH  OH  3) S MON  AB2 (đpcm) 1 OH MN > OH AB (Vì AMNB hình thang vng) 2 Dấu “=” MN = AB hay H điểm cung AB  M, N song song với AB  AM = BN = Vậy S MON nhỏ AM = BN = GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG 118 AB AB PHONE: 0983.265.289 ... CÙ MINH QUẢNG PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC ÔN THI VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN B MỘT SỐ SAI LẦM HS THƢỜNG MẮC PHẢI KHI LÀM BÀI TẬP HÌNH HỌC Sai lầm phần vẽ hình: + Vẽ sai đọc khơng kĩ vị trí... 45 Lại có BCE  45 (do ABCD hình vng)  BKE  BCE  Tứ giác BKCE nội tiếp GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG 23 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC ÔN THI VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN Bài Cho đường trịn đường... đường tròn GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG 31 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC ÔN THI VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN Phƣơng pháp (HS giỏi): (Mệnh đề đảo tập 23 tr 76 – SGK T9( tập 2)) M C C A A M D O O B