d là trung trực của đoạn thẳng AB - M thuộc d suy ra MA = MB - NA = NB suy ra N thuộc d + Ba đờng trung trực của tam giác cắt nhau tại một điểm điểm đó cách đều 3 đỉnh của tam giác và
Trang 11.T/c về góc: Tổng số đo 3 góc trong một tam giác bằng 180o
Góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó.
2 T/c về cạnh: Mỗi cạnh của tam giác lớn hơn hiệu hai cạnh và nhỏ hơn tổng hai cạnh
3 T/c Về quan hệ cạnh và góc: Cạnh đối diện với góc lớn hơn thì lớn hơn và ngợc lại.
4 T/c các đờng trong tam giác A
a Đờng trung bình:
MN là đờng trùng bình của ∆ ABC M N
⇒ MN // BC ; MN = 1/2BC
b Đờng trung tuyến: B C
+G là giao của 3 đờng trung tuyến thì: A
- G là trọng tâm của tam giác
các trung tuyến còn lại tơng tự
+ T/c trung trực của đoạn thẳng.
d là trung trực của đoạn thẳng AB
- M thuộc d suy ra MA = MB
- NA = NB suy ra N thuộc d
+ Ba đờng trung trực của tam giác cắt nhau tại một điểm
điểm đó cách đều 3 đỉnh của tam giác và điểm đó là tâm
đờng tròn ngoại tiếp tam giác.
d Đờng phân giác:
+ T/c tia phân giác của một góc.
- Điểm bất kì nằm trên tia phân giác của một góc cách đều hai cạnh
- Điểm cách đều hai cạnh của góc nằm trên tia phân giác.
+ T/c đờng phân giác trong và ngoài của tam gíac.
Trang 2Đờng phân giác trong và ngoài của tam giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề của hai đoạn thẳng đó.
A
AC
ABDC
BDCD
BD,
,
=
=
D, B D C
+ T/c 3 đờng phân giác trong tam giác: 3 đờng phân giác của tam giác đồng quy tại một
điểm , điểm đó cách đều 3 cạnh của tam giác Điểm đó là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác + Đờng phân giác trong của một góc và hai đờng phân giác ngoài của hai góc còn lại cắt nhau tại một điểm, điểm đó cách đều 3 đờng thẳng chứa 3 cạnh của tam giác Điểm đó là tâm đờng tròn bàng tiếp tam giác đó.
e Đờng cao:
- Ba đờng cao của tam giác cắt nhau tại một điểm , điểm đó gọi là trực tâm của tam giác
f Đờng song song với một cạnh của tam giác ( Định lí ta let và hệ quả )
II Tính chất riêng:
- Có đờng cao đồng thời là đờng trung tuyến …
2 Tam giác vuông:
a Tính chất:
- Cạnh huyền lớn hơn mỗi cạnh góc vuông
- Tổng hai góc nhọn bằng 90o A
- Trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền
- Cạnh đối diện với góc 30o bằng nửa cạnh huyền.
b Các hệ thức lợng trong tam giác vuông:
b2 = a.b, a h = b c
h2 = c, b, 1 2 1 2 1 2
cb
h = + B C
c Tỉ số lợng giác của góc nhọn.
Cần nhớ: - Định nghĩa tỉ số lợng giác của góc nhọn.
- Tỉ số lợng giác của các góc đặc biệt
- Mối quan hệ tỉ số lợng giác của hai góc phụ nhau.
α
α
=αα
;cos
sintg
- Với α nhọn thì: 0 < sin α; cosα<1
Trang 3* Nếu góc α tăng từ 0o đến 90o thì sin α và Tg α tăng còn Cosα và Cotgα giảm
3 Tam giác đều:
a Tính chất:
- 3 cạnh bằng nhau
- các đờng cao, đờng trung trực, đờng trung tuyến , đờng phân giác xuất phát từ một
đỉnh trùng nhau.
- Tâm đờng tròn nội tiếp, tâm đờng tròn ngoại tiếp, trực tâm , trọng tâm trùng nhau.
b Dấu hiệu nhận biết.
- Tam giác có 3 cạnh bằng nhau
- Tam giác có 3 góc bằng nhau
- Tam giác cân có một góc bằng 60o
III Các trờng hợp bằng nhau và đồng dạng của hai tam giác:
1 Hai tam giác thờng:
Hai cạnh góc vuông của tam giác vuông
này bằng hai cạnh góc vuông của tam
giác vuông kia.
Một góc nhọn của tam giác vuông này bằng một góc nhọn của tam giác vuông kia
Cạnh huyền và góc nhọn của tam giác
vuông này thứ tự bằng cạnh huyền và góc
nhọn của tam giac vuông kia.
Hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia.
Cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam
giác vuông này bằng cạnh huyền và canh
góc vuông của tam giác vuông kia.
Cạnh góc vuông và cạnh huyền của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh góc vuông
và cạnh huyền của tam giác vuông kia.
- Tỉ số hai bán kính đờng tròn nội tiếp , ngoại tiếp bằng tơng ứng bằng k
IV Một số công thức tính diện tích của tam giác
1 2
Trang 44 ( R là bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác)
SinC
cSinB
bSinA
Phần 2: Tứ giác
I Tính chất chung: Tổng số đo 4 góc = 360o
II T/c của một số tứ giác đặc biệt.
1 Hình thang:
+ Định nghĩa: Hình thang là tứ giác có hai cạnh song song.
+ Tính chất:
- Tổng hai góc kề một cạnh bên bằng 2v
- Đờng trung bình song song với 2 đáy và băng nửa tổng độ dài hai đáy.
+ Dấu hiệu nhận biết:
- Tứ giác có hai cạnh song song.
- Hai đờng chéo bằng nhau.
- Trục đối xứng là đờng thẳng đi qua trung điểm hai đáy.
+ Dấu hiệu nhận biết:
- Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau
- Hình thang có hai đờng chéo bằng nhau.
3 Hình bình hành:
+ Đ/n: Tứ giác có các cạnh đối song song
+ T/c:
- Có tính chất của hình thang
- Tứ giác có Các cạnh đối bằng nhau.
- Tứ giác có các cạnh đối song song
- Tứ giác có 1 cặp cạnh đối song song và bằng nhau
- Tứ giác có các góc đối bằng nhau
- Tứ giác có hai đờng chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đờng.
4 Hình chữ nhật:
+ Đ/n: Tứ giác có 4 góc vuông
+ T/c:
- Các cạnh đối bằng nhau
- Các cạnh đối song song
- 2 đờng chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đờng.
Trang 5- Có hai trục đối xứng và một tâm đối xứng.
+ Dấu hiệu nhận biết:
- Hai đờng chéo vuông góc với nhau và cắt nhau tại
trung điểm của mỗi đờng.
- Mỗi đờng chéo là phân giác các góc ở đỉnh.
- Tâm đỗi xứng là giao điểm của hai đờngchéo.
- Hai đờng chéo là hai trục đối xứng.
+Dấu hiệu nhận biết:
- Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau
- Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau
- Hình bình hành có hai đờng chéo vuông góc với nhau
- Hình bình hành có 2 đờng chéo là phân giác của một góc ở đỉnh.
6 Hình vuông:
+Đ/n: Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau và có 4 góc vuông.
+ T/c:
- Hai đờng chéo bằng nhau, vuông góc với nhau
cắt nhau tại trung điểm của mỗi đờng ,là phân giác của các góc ở đỉnh.
- Hình thoi có hai đờng chéo bằng nhau.
- Hình chữ nhật có một đờng chéo là phân giác của một góc.
- Hình chữ nhật có hai đờng chéo vuông góc nhau.
Phần 3 : Đa giác đều
a
180 2
- Bán kính đờng tròn nội tiếp là r =
ntg
a
180 2
Trang 63 Tính chất đối xứng của đờng tròn:
- 1 tâm đối xứng chính là tâm của đờng tròn
- Mỗi đờng kính là một trục đối xứng.
4 Định lí liên hệ giữa đờng kính và dây cung
- Đờng kính là dây cung lớn nhất của đờng tròn.
- Trong một đờng tròn, đờng kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.
- Trong một đờng tròn , đờng kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.
5 Định lí liên hệ giữa dây và khoảng cách đến tâm.
Trong một đờng tròn :
- Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm và ngợc lại
- Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn va ngợc lại.
6 Vị trí tơng đối của đờng thẳng và đờng tròn, của điểm và đờng tròn, của hai đờng tròn.
7 Tiếp tuyến của đờng tròn:
a Các dấu hiệu nhận biết một đờng thẳng là tiếp tuyến của đờng tròn.
- Đờng thẳng chỉ có một điểm chung với đờng tròn.
- Khoảng cách từ tâm của đờng tròn đến đờng thẳng bằng bán kính.
- Đờng thăngr đi qua một điểm của đờng tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó.
Trang 7b Tích chất hai tiếp tuyến cắt nhau:
Nếu hai tiếp tuyến của đờng tròn cắt nhau tại một điểm thì:
- Điểm đó cách đều hai tiếp điểm
- Tia kẻ từ điểm đó qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
- Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.
7 Liên hệ giữa cung và dây:
Trong một đờng tròn hoặc hai đờng tròn bằng nhau:
- Chứng minh đờng thẳng vuông góc với bán kính tại mút nằm trên đờng tròn.
- Chứng minh khoảng cách từ tâm đờng tròn tới đờng thẳng bằng bán kính
- Giả sử đờng thẳng a1 là tiếp tuyến của đờg tròn , chứng minh a trùng với a1
- Dựa vào t/c góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung.
II/ Bài tập áp dụng:
Bài 1: Từ điểm A ở ngoài (O) vẽ tiếp tuyến AB ở ngoài (O) (B là tiếp điểm)
kẻ dây BC ⊥AO Chứng minh AC là tiếp tuyến của (O)
Bài 2: Cho điểm A ở ngoài (O) Vẽ ( A;OA) Gọi CD là tiếp tuyến chung của hai
đ-ờng tròn C thuộc (O) và D thuộc (A) Đoạn nối tâm OA cắt (O) tại H.
Chứng minh: DH là tiếp tuyến của (O)
Bài 3: Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB Vẽ hai tiếp tuyến Ax và By với nửa
đ-ờng tròn M là điểm bất kì thuộc nửa đđ-ờng tròn, Qua M kẻ tiếp tuyến bất kì với nửa đđ-ờng tròn cắt Ax tại C và cắt By tại D Chứng minh AB là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính CD.
Trang 8Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A Gọi O là giao điểm của tia phân giác góc B
với AC Chứng minh BC là tiếp tuyến của (O; OA)
Bài 5: Cho tam giác ABC nhọn có hai đờng cao BD và CE cắt nhau tại H Gọi M là
trung điểm của BC Chứng minh
a MD là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác AEHD.
b ME là tiếp tuyến của (AEHD)
c MEOD là tứ giác nội tiếp.
Bài 6: Cho (O;R) dây AB bất kì ( AB < 2R) Gọi M là điểm chính giữa của cung
nhỏ AB Dây MC cắt AB tại D Chứng minh:
a AM là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác ACD
b BM là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD.
Bài 7: Cho (O;R) và từ điểm A cách O một khoảng bằng 2R kẻ hai tiếp tuyến AB và
AC với (O) với B, C là các tiếp điểm Đờng thẳng vuông góc với OB tại O cắt AC tại N, ờng thẳng vuông góc với OC tại O cắt AB tại M
Đ-Chứng minh MN là tiếp tuyến của (O).
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC Trung tuyến AM, CN Trên tia đối của tia NC lấy điểm
K sao cho KN = NC, trên tia đối của tia MB lấy điểm I sao cho MI = MB.
Trang 9B C
Ví dụ 3: Cho (O) và (O,) tiếp xúc ngoài tại I AB và CD là hai đờng kính của (O) và (O,) ; AB // CD
Chứng minh A; I ; D thẳng hàng.
2 Ph ơng pháp 2: Sử dụng tiên đề ơclit
“Chứng minh hai đờng thẳng đi qua 2 trong ba điểm đó cùng song song với một ờng thẳng cố định”
đ-Ví dụ1: Cho hình thang ABCD ( AB//CD) Gọi I là giao của hai đờng phân giác ngoài tại đỉnh A vàD; J là trung điểm của AD , K là trung điểm của BC.
Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD , O là giao điểm của hai đờng chéo Gọi E là
điểm đối xứng của A qua B DE cắt BC tại F, H là trung điểm của EC.
3 Ph ơng pháp 3 : Sử dụng định lí hai đờng thẳng vuông góc:
“Chứng minh 2 đờng thẳng đi qua 2 trong 3 điểm đó cùng vuông góc với một đờng thẳng cố định”
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có D thuộc AC, I là chân đờng vuông góc hạ từ D xuống BC Đờng thẳng qua C vuông góc với BD cắt AB tại K.
Chứng minh: K; I và D thẳng hàng.
Trang 10Ví dụ 2: Cho nửa (O) đờng kính AB C là một điểm trên nửa đờng tròn Gọi D là
điểm trên tia AC sao cho AD = AB E là điểm trên đờng kính AB sao cho AE =AC , BC cắt
DE tại H , AH cắt (O) tại K.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC nội tiếp (O) D là một điểm thoả mãn để tứ giác ABCD
la hình bình hành Đờng thẳng qua A và vuông góc với BD cắt (O) tại H.
Chứng minh rằng: H, O và C thẳng hàng.
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC nhọn có đờng cao BD và CE cắt nhau tai H, Gọi I là trung điểm của BC , đờng thẳng qua C và // với BH cắt đờng thẳng qua B và //CH tại D chứng minh rằng:
a H, I và D thẳng hàng
b A, O , D thẳng hàng ( O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC)
c Gọi J và K thứ tự là trung điểm của AH và FE.
Chứng minh I, J và K thẳng hàng.
- Tâm hình bình hành thuộc đờng chéo của hình bình hành.
Ví dụ 1: Cho hình bình hành ABCD có O là tâm đối xứng Gọi M là trung điểm của
AB, N là trung điểm của DC.
Chứng minh M, O, N thẳng hàng.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC nội tiếp (O) Đờng cao BD và CE cắt nhau tại H, AO cắt (O ) tại D , gọi I là trung điểm của BC.
Chứng minh: H, I và D thẳng hàng.
- Trực tâm thuộc đờng cao:
Ví dụ : Cho nửa (O) đờng kính AB C và D là hai điểm thuộc nửa đờng tròn ( C thuộc cung AD) AD cắt BC tại H , AC cắt BD tại E đờng tròn đờng kính AE cắt đờng kính
AB tại I
Chứng minh E, I và H thẳng hàng.
- Trọng tâm thuộc trung tuyến:
Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD Gọi O là giao điểm của hai đờng chéo E là điểm
đối xứng của A qua B ED cắt BC tại F, OF cắt EC tại H, OE cắt BC tại G.
Chứng minh A, G , H thẳng hàng.
5 Ph ơng pháp 5: chứng minh 3 điểm có cùng một tính chất:
+ Cách đều hai đầu đoạn thẳng cố định
Trang 11+ Cách đều hai cạnh của một góc
+ Cách đều một đờng thẳng và cùng thuộc một nửa mặt phẳng có bờ là đờng thẳng
Chứng minh I, J, K thẳng hàng.
6 Các ph ơng pháp khác:
- A, B , C thẳng hàng ⇔ AB + BC = AC
- Hai điểm là tâm của hai đờng tròn tiếp xúc nhau và tiếp điểm.
- Sử dụng t/c trung điểm các cạnh bên và trung điểm các đờng chéo của hình thang thẳng hàng.
- Sử dụng vị trí của hai góc đối đỉnh.
- Sử dụng t/c các đoạn thẳng tơng ứng tỉ lệ khi đã có 3 điểm tơng ứng thẳng hàng:
KN
KGKD
KFKB
Trang 12BT3: Cho hình thang ABCD có O làgiao điểm của hai đờng chéo , hai cạnh bên kéo dài cắt nhau tại I M, N thứ tự là trung điểm của AB và DC.
Chứng minh rằng I, M, N, O thẳng hàng.
BT4: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) các đờng cao AD, BE, CF cắt nhau tại H Gọi P
là điểm đối xứng của H qua trung điểm K của BC.
a Chứng minh A, O , P thẳng hàng.
b Gọi I là trung điểm của AH, J là trung điểm của EF Chứng minh I, J, K thẳng hàng
Chuyên đề: Chứng minh 3 đờng thẳng đồng quy
A Phơng pháp chung:
- Tìm giao của hai đờng thẳng sau đó chứng minh đờng thẳng thứ 3 đi qua giao điểm của hai đờng thẳng trên nhờ các phơng pháp chứng minh 3 điểm thẳng hàng.
- Chứng minh một điểm thuộc 3 đờng thẳng
- Sử dụng các t/c đồng quy của các đờng trong tam giác.
- Sử dụng tính chất các đờng thẳng định ra trên hai đờng thẳng song song những đoạn thẳng tỉ lệ.
- Chứng minh cho các đờng tròn cùng đi qua một điểm.
B Bài tập:
BT1: Cho tam giác ABC trung tuyến AM, các điểm E và D thuộc các cạnh AB và AC sao cho AE = 1/3AB và AD = 1/3 AC.
Chứng minh AM , BD và CE đồng quy.
BT2: Cho nửa đờng tròn đờng kính AB , C và D là hai điểm thuộc nửa đờng tròn
( AC < AD ) Gọi E là giao điểm của BC và AD F là hình chiếu của E lên AB Chứng minh AC, BD, EF đồng quy.
Chứng minh rằng : AD, BC, MN đồng quy.
Trang 13BT4: Cho tam giác ABC vuông tại A, D thuộc cạnh AC, đờng tròn đờng kính DC cắt BC tại
E và cắt BD tại F.
Chứng minh AB, ED và CF đồng quy.
Chuyên đề 4: Chứng minh tứ giác nội tiếp
A Phơng pháp:
- Chứng minh 4 đỉnh cách đều 1 điểm
- Chứng minh tổng hai góc đối bằng 2 vuông
- Chứng minh hai đỉnh nhìn hai đỉnh còn lại dới một góc vuông.
- Chứng minh hai đỉnh liên tiếp nhìn hai đỉnh còn lại dới hai góc bằng nhau.
B Bài tập:
BT1: Cho tam giác ABC có các đờng cao AD , BE, CF cắt nhau tại H
a Chứng minh tứ giác AEHF và BFEC nội tiếp.
b Trên hình có bao nhiêu tứ giác nội tiếp.
BT2: Cho tam giác ABC nhọn đờng cao AH Gọi D , E thứ tự là hình chiếu của H trên Ab
và AC Chứng minh ADHE và BDEC nội tiếp
BT3: Cho hình vuông ABCD, có E thuộc cạnh DC, F thuộc cạnh BC sao cho góc EAF bằng
45o DB cắt AE tại G, cắt AF tại K.
Chứng minh: a ABFG nội tiếp
b ADEK nội tiếp.
BT4: Cho tam giác ABC có M, N, P thứ tự là trung điểm của BC, CA, AB Các đờng trung trực của tam giác gặp nhau tại O Các đờng cao AD, BE, CF gặp nhau tại H Gọi I, K, R theo thứ tự là trung điểm của AH, HB, HC.
Chứng minh: I, D, M, K, E, N, R, P cùng thuộc một đờng tròn.
Dạng V Bài tập Hình tổng hợp
Bài 1 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O) Các đờng cao AD, BE, CF cắt nhau tại
H và cắt đờng tròn (O) lần lợt tại M,N,P
Chứng minh rằng:
1 Tứ giác CEHD, nội tiếp
2 Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đờng tròn
3 AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC
4 H và M đối xứng nhau qua BC
5 Xác định tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF
Trang 14
Mà ∠ CEH và ∠ CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD , Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp
Theo giả thiết: BE là đờng cao => BE ⊥ AC => ∠BEC = 900
BE = => AD.BC = BE.AC
4 Ta có ∠C1 = ∠A1 ( vì cùng phụ với góc ABC)
∠C2 = ∠A1 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BM)
=> ∠C1 = ∠ C2 => CB là tia phân giác của góc HCM; lại có CB ⊥ HM => ∆ CHM cân tại C
=> CB cũng là đơng trung trực của HM vậy H và M đối xứng nhau qua BC
5 Theo chứng minh trên bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đờng tròn
=> ∠C1 = ∠E1 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BF)
Cũng theo chứng minh trên CEHD là tứ giác nội tiếp
∠C1 = ∠E2 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung HD)
∠E1 = ∠E2 => EB là tia phân giác của góc FED
Chứng minh tơng tự ta cũng có FC là tia phân giác của góc DFE mà BE và CF cắt nhau tại H do đó H là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF
Bài 2 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đờng cao AD, BE, cắt nhau tại H Gọi O là tâm đờng tròn
ngoại tiếp tam giác AHE
1 Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp
2 Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đờng tròn
3 Chứng minh ED =
2
1BC
4 Chứng minh DE là tiếp tuyến của đờng tròn (O)
Mà ∠ CEH và ∠ CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD , Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp
Trang 152 Theo giả thiết: BE là đờng cao => BE ⊥ AC => ∠BEA = 900.
AD là đờng cao => AD ⊥ BC => ∠BDA = 900
Nh vậy E và D cùng nhìn AB dới một góc 900 => E và D cùng nằm trên đờng tròn đờng kính AB.Vậy bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đờng tròn
3 Theo giả thiết tam giác ABC cân tại A có AD là đờng cao nên cũng là đờng trung tuyến
=> D là trung điểm của BC Theo trên ta có ∠BEC = 900
Vậy tam giác BEC vuông tại E có ED là trung tuyến => DE =
2
1BC
Vì O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác AHE nên O là trung điểm của AH => OA = OE => tam giác AOE cân tại O => ∠E1 = ∠A1 (1)
Theo trên DE =
2
1
BC => tam giác DBE cân tại D => ∠E3 = ∠B1 (2)
Mà ∠B1 = ∠A1 ( vì cùng phụ với góc ACB) => ∠E1 = ∠E3 => ∠E1 + ∠E2 = ∠E2 + ∠E3
Mà ∠E1 + ∠E2 = ∠BEA = 900 => ∠E2 + ∠E3 = 900 = ∠OED => DE ⊥ OE tại E
Vậy DE là tiếp tuyến của đờng tròn (O) tại E
5 Theo giả thiết AH = 6 Cm => OH = OE = 3 cm.; DH = 2 Cm => OD = 5 cm áp dụng định lí Pitago cho
tam giác OED vuông tại E ta có ED2 = OD2 – OE2 ED2 = 52 – 32 ED = 4cm
Bài 3 Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By Qua điểm M thuộc
nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax , By lần lợt ở C và D Các đờng thẳng AD và BC cắt nhau tại N
Theo trên ∠COD = 900 nên tam giác COD vuông tại O có OM ⊥ CD ( OM là tiếp tuyến )
áp dụng hệ thức giữa cạnh và đờng cao trong tam giác vuông ta có OM2 = CM DM,
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: DB = DM; lại có OM = OB =R => OD là trung trực của BM
=> BM ⊥ OD (2) Từ (1) Và (2) => OC // BM ( Vì cùng vuông góc với OD)
Gọi I là trung điểm của CD ta có I là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác COD đờng kính CD có IO
là bán kính
Theo tính chất tiếp tuyến ta có AC ⊥ AB; BD ⊥ AB => AC // BD => tứ giác ACDB là hình thang Lại
có I là trung điểm của CD; O là trung điểm của AB => IO là đờng trung bình của hình thang ACDB
=> IO // AC , mà AC ⊥ AB => IO ⊥ AB tại O => AB là tiếp tuyến tại O của đờng tròn đờng kính CD
Trang 166 Theo trên AC // BD =>
BD
AC BN
CN = , mà CA = CM; DB = DM nên suy ra
DM
CM BN
=> MN // BD mà BD ⊥ AB => MN ⊥ AB
7 ( HD): Ta có chu vi tứ giác ACDB = AB + AC + CD + BD mà AC + BD = CD nên suy ra chu vi
tứ giác ACDB = AB + 2CD mà AB không đổi nên chu vi tứ giác ACDB nhỏ nhất khi CD nhỏ nhất , mà CD nhỏ nhất khi CD là khoảng cách giữ Ax và By tức là CD vuông góc với Ax và By Khi đó CD // AB => M phải là trung điểm của cung AB
Bài 4 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I là tâm đờng tròn nội tiếp, K là tâm đờng tròn bàng tiếp góc
A , O là trung điểm của IK
1 Chứng minh B, C, I, K cùng nằm trên một đờng tròn.
2 Chứng minh AC là tiếp tuyến của đờng tròn (O).
3 Tính bán kính đờng tròn (O) Biết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm.
Lời giải: (HD)
1 Vì I là tâm đờng tròn nội tiếp, K là tâm đờng tròn bàng tiếp góc
A nên BI và BK là hai tia phân giác của hai góc kề bù đỉnh B
∠I1 = ∠ ICO (3) ( vì tam giác OIC cân tại O)
Từ (1), (2) , (3) => ∠C1 + ∠ICO = 900 hay AC ⊥ OC Vậy AC là tiếp tuyến của đờng tròn (O)
Bài 5 Cho đờng tròn (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O) Trên đờng thẳng d lấy điểm
M bất kì ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB (B là tiếp điểm)
Kẻ AC ⊥ MB, BD ⊥ MA, gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB
1 Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp
2 Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đờng
tròn
3 Chứng minh OI.OM = R2; OI IM = IA2
4 Chứng minh OAHB là hình thoi
5 Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng
6 Tìm quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đờng thẳng d
Lời giải:
(HS tự làm)
Vì K là trung điểm NP nên OK ⊥ NP ( quan hệ đờng kính
Và dây cung) => ∠OKM = 900 Theo tính chất tiếp tuyến ta có ∠OAM = 900; ∠OBM = 900 nh vậy K, A,
B cùng nhìn OM dới một góc 900 nên cùng nằm trên đờng tròn đờng kính OM
Vậy năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đờng tròn
3 Ta có MA = MB ( t/c hai tiếp tuyến cắt nhau); OA = OB = R
=> OM là trung trực của AB => OM ⊥ AB tại I
Theo tính chất tiếp tuyến ta có ∠OAM = 900 nên tam giác OAM vuông tại A có AI là đờng cao